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Bloque 2

Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 2

Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica

Presentación

Los propósitos centrales de las actividades de este bloque son los siguientes:

(i) abordar el concepto de jerarquía de las operaciones aritméticas como un recurso para construir y leer nuevas expresiones algebraicas que dan lugar a otros patrones numéricos;

(ii) abordar el uso de paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas;

(iii) iniciar el estudio de la transformación y equivalencia de expresiones algebraicas y

(iv) dotar de significados a las letras que se usan en las expresiones algebraicas al relacionarlas con los valores numéricos que los alumnos estudian en su tránsito por la educación básica.

Las actividades de este bloque se sustentan en los conceptos que se abordaron en el bloque 1, de manera especial en los referentes a la construcción de un programa en la calculadora, la producción y lectura de expresiones algebraicas y las nociones empíricas del concepto de valor numérico de un polinomio que se han desarrollado al relacionar los valores de entrada con los valores de salida en una tabla.

En este bloque se aprovecha la experiencia que has adquirido en la construcción y lectura de programas en la calculadora, para abordar de manera empírica el estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas, el uso de paréntesis en operaciones aritméticas y en expresiones algebraicas, y la transformación de expresiones algebraicas.

La jerarquía de las operaciones aritméticas es un antecedente relevante para abordar el estudio del álgebra, el conocimiento y correcta aplicación de la jerarquía permite entender la estructura de una expresión algebraica, cuáles son cada uno de los términos que la constituyen y con cuáles de esos términos podemos realizar transformaciones algebraicas. Las actividades de este bloque te introducirán a ese tipo de tareas y a lo largo de los bloques que conforman este libro irás afinando tus conocimientos a este respecto.



HOJA DE TRABAJO 17

Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (1)

1. Un estudiante dice que el programa b×4+1 produce los mismos valores de salida que el programa b×5.

¿Estás de acuerdo? __________________ Justifica tu respuesta con un ejemplo. ____ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

2. Una estudiante construyó el programa

m+2×3. Dice que si el valor de entrada es 4, el valor de salida será 18. ¿Estás de acuerdo con ella? _____________________________ Justifica tu respuesta con un ejemplo_____ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

3. Otro estudiante dice que si m=5, el programa m+2×3 le dará 21 como valor de salida.

¿Estás de acuerdo con él? _________ ¿Por qué? ____________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

4. Completa la siguiente tabla sin utilizar un programa en la calculadora.

Programa: c+5×2

Valor de entrada

2 5 8 9 12

Valor de salida

65 115 150

5. Ahora teclea ese programa en la calculadora y úsalo para completar la tabla anterior.

¿Obtuviste los mismos resultados? _______. Si no coinciden los resultados de tu programa con los que tú obtuviste explica con detalle por qué ocurre eso. ___________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 18

Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (2)

1. Teclea en tu calculadora el programa n+2×3. Usa ese programa para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada

1 3 5 6 8 9 10 12

Valor de salida

2. Una vez que hayas completado la tabla observa los resultados y explica qué hace aritméticamente ese programa con cada valor de entrada. ______________________

_____________________________________________________________________ 3. ¿Puedes expresar ese programa en forma más breve? Escríbelo a continuación.

________________________________________________________________ 4. Un estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada:

“primero suma 2 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo con lo que él dice? ________ ¿Por qué? __________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

5. Teclea en tu calculadora el programa (r−1)×3. Completa la siguiente tabla usando ese programa. Valor de entrada 2 4 5 7 8 10 Valor de salida

Observa los resultados que obtuviste y explica qué es lo que hace ese programa. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

6. Una estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero resta 1 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo con lo que ella dice? ______ ¿Por qué? ___________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 19

Uso de paréntesis (1) 1. ¿Producen los mismos valores de salida los

programas a+1×5 y (a+1)×5? Justifica tu respuesta. ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

2. Un estudiante quería teclear el programa a×7, sin

darse cuenta tecleó a×11. Sin borrar a×11, ¿qué teclearías antes o después de a×11, para que dé los mismos valores de salida que a×7? ___________________________________________ ¿Cómo puedes verificar que tu respuesta es correcta? ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

3. Otra estudiante quería teclear el programa a×5, sin darse cuenta tecleó a×11. Sin borrar a×5, ¿qué teclearías antes o después de la expresión a×11 para que dé los mismos valores de salida que a×5? ___________________________________________ ¿Cómo puedes verificar que tu respuesta es correcta? ____________________________________________ ____________________________________________

4. Un estudiante quería teclear el programa k×10, sin darse cuenta tecleó k×9. Sin

borrar k×9, ¿qué teclearías, antes o después de k×9, de manera que dé los mismos valores de salida que k×10?____________________________________________ ________________________________________________________________

¿Cómo puedes verificar que tu respuesta es correcta? __________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 20

Transformación algebraica (1)

1. Teclea en tu calculadora el programa

b×5+b×6. Usa ese programa para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada

1 3 4 6

Valor de salida

37.4 50.6 71.5 88

¿Qué operaciones aritméticas hace ese programa con cada número de entrada? ________________________________________________________________________ 2. ¿Puedes expresar ese programa de manera más breve, pero que siga produciendo los

mismos valores de salida? Escríbelo aquí _____________________________________ 3. ¿Cómo puedes comprobar que tu programa y el programa b×5+b×6 son equivalentes?

Trata de explicarlo de manera que tus argumentos no puedan objetarse. ___________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

4. Observa el programa d×8+d×5. ¿Puedes expresar este programa de manera más breve

y que siga produciendo los mismos resultados? ____________ ¿Qué expresión más breve encontraste para ese programa? ___________________________________

a) Un estudiante dice que el programa 4×n−2×n+5×n da los mismos valores de salida que el programa 7×n. ¿Estás de acuerdo con él? _____ ¿Por qué? _________________________________ _________________________________

b) ¿Los programas 9×n−4×n−2×n y 3×n dan los mismos valores de salida? ___________ ¿Por qué? _________________________ _________________________________



HOJA DE TRABAJO 21

Uso de paréntesis (2) 1. Un estudiante creó un programa que hace lo siguiente:

Primero resta 2 y luego multiplica por 3.

Con ese programa completó la siguiente tabla.

Valor de entrada

2 4 7 9.2 11 15.5 18.4 19.1

Valor de salida

0 6 10 21.6 27 40.5 49.2 51.3

Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados que éste. Comprueba que funciona correctamente y escríbelo en el recuadro de abajo.

2. Un estudiante dice que el programa p+5×4 primero suma 5 y luego multiplica por 4.

¿Estás de acuerdo? _________ ¿Por qué? _________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Los programas (r+2)×3 y 3×r+6 dan los mismos valores de salida? Justifica tu respuesta, trata de que los argumentos que uses sean inobjetables _______________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. La siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis.

¿Puedes encontrar cuál es ese programa? Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el recuadro de abajo.

1 3 4 6 7 9 10 11 4 8 10 14 16 20 22 24



HOJA DE TRABAJO 22

Paréntesis y jerarquía de las operaciones

1. Un estudiante dice que los programas (a×2)+2 y a×2+2 producen valores de salida distintos para los mismos valores de entrada. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta, trata de que tus argumentos sean inobjetables. __________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

2. ¿Los programas (b+2)×2 y b+2×2 producen los

mismos valores de salida. _____________ Justifica tu respuesta, trata de que tus argumentos sean inobjetables. ________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Explica para qué sirven los paréntesis en un programa. Intenta que cualquiera de

tus compañeros(as) pueda entender tu explicación e ilústrala con algunos ejemplos. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

4. Subraya las expresiones en las que, si quitas los paréntesis, aun sigues obteniendo los

mismos valores de salida. No debe haber ningún error en tus respuestas porque puedes verificarlas usando tu calculadora.

a) (3×b)+5 b) 3×(a+5) c) (d+d)×3 d) (c+4)+c

e) (k−2)÷3 f) z−(2÷3) g) (2+p)−1 h) (y+4)÷5 5. Escribe los paréntesis que hacen falta de manera que los resultados sean correctos.

Usa tu calculadora para verificar que no tengas ningún error en tus respuestas.

a) 5+3×4=32 b) 6×7+2−1=48 c) 6×7+2−1=53 d) 4+8÷4=3

e) 3×6+4=18+12 f) 5×3+4=15+20 g) 7−4−2=5 h) 6+8−7−5=10



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. En la presentación de este bloque se menciona el estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda este tema.

2. En la presentación de este bloque se hace referencia al uso de los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones aritméticas. Construye cinco ejemplos donde se muestre cómo empleas los paréntesis para modificar la jerarquía de las operaciones.

3. Construye cinco ejemplos donde muestres que puedes ignorar los paréntesis sin afectar el resultado de las operaciones.

4. Construye cinco ejemplos donde muestres que si ignoras los paréntesis se afecta el resultado de las operaciones.

5. Usa tus propias palabras para explicar la función que desempeñan los paréntesis en la producción de expresiones aritméticas y algebraicas.

6. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet en qué consiste la simplificación de términos semejantes de una expresión algebraica. Indica en qué actividades de este bloque se aborda este concepto.

7. En la presentación de este bloque se habla de transformación de expresiones algebraicas. ¿Hay alguna relación entre dicha transformación y la simplificación de términos semejantes en una expresión algebraica? Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

8. En la presentación de este bloque se habla de la equivalencia de expresiones algebraicas. Indica en qué actividades de este bloque se aborda este concepto.

9. ¿Qué significado has asignado a las letras que empleas en la construcción de un programa para la calculadora? Explica o ejemplifica tu respuesta tan ampliamente como te sea posible.

10.Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este bloque, discute con tus compañeros(as) y tu profesor los aprendizajes que pueden construir los alumnos de educación básica al realizar estas actividades y redacta un resumen de lo que consideres más relevante.

11.Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este bloque, discute con tus compañeros(as) y tu profesor las dificultades que pueden tener los alumnos de educación básica al realizar estas actividades y las estrategias que pueden ayudarles a prevenirlas o superarlas y redacta un resumen de lo que consideres más relevante

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