R E S U M E N - Universidad de Cuencadspace.ucuenca.edu.ec/bitstream/123456789/2158/1/tmf135.pdf ·...

UNIVERSIDAD DE CUENCA F.F.L.C.E.

JANETH GARZON- ISRAEL CUENCA 1

R E S U M E N El presente proyecto de graduación es de tipo informático y didáctico y contiene animaciones realizadas en el programa Modellus en el que se aborda tema por tema la unidad didáctica Algebra Vectorial perteneciente a Estática. Estas animaciones son de tres categorías, Conceptuales, Ejercitativas y Lúdicas. Las animaciones Conceptuales presentan al usuario toda la parte teórico-conceptual correspondiente al tema de una manera clara, precisa, amena y directa. Las anima-ciones Ejercitativas le permiten al usuario la interacción entre el computador y él, po-niendo de manifiesto de una forma recreada el conocimiento adquirido a través de las animaciones conceptuales. Y por último las animaciones Lúdicas o “juegos didác-ticos”, que permiten demostrar habilidades de tipo mental y manual ya que las mis-mas serán puramente interactivas. Además presentamos un resumen muy operativo acerca del programa informático Modellus para que los potenciales usuarios lo conozcan y aprendan de una manera sencilla. Por último presentamos cada uno de los contenidos con un breve resumen teórico, el listado de animaciones respectivas, una presentación de muestra y su modelo matemático.



PALABRAS CLAVE

Cantidades escalares y vectoriales Expresión trigonométrica de vectores Suma de trigonométrica de dos vectores en el plano Resta trigonométrica de dos vectores en el plano Vectores unitarios Componentes rectangulares de un vector Expresión analítica de vectores Intercambios de la expresión de un vector Vectores desplazamiento entre dos puntos específicos Suma-resta analítica de vectores Producto de un escalar por un vector Producto escalar de vectores Producto vectorial de vectores Resolución vectorial de triángulos Combinación de operaciones con vectores Vector ángulo plano



Í N D I C E Certificado……………..…………………………………………………………... Dedicatoria……………..………………………………………………………….. Agradecimiento…………………………………………………………………... Introducción…….……………………………….………………………………… Introducción a Modellus………………………………………………….……... Presentación………………………………………………………………………. Cantidades Escalares y Vectoriales…………..…..………………………….. Expresión trigonométrica de vectores…………….....................………….. Suma trigonométrica de dos vectores en el plano.………………………... Resta trigonométrica de dos vectores en el plano.….……….................... Vectores Unitarios………………………………............………………………. Componentes rectangulares de un vector.............................................… Expresión analítica de vectores……………………………………………….. Intercambios de la expresión de un vector………………………………….. Vectores desplazamiento entre dos puntos específicos………………….. Suma-resta analítica de vectores………………………………………………. Producto de un escalar por un vector………………………………………… Producto escalar de vectores………………………………………………….. Producto vectorial de vectores…..……………………………………………. Resolución vectorial de triángulos…………………………………………… Combinación de operaciones con vectores………………………………… Vector ángulo plano……………………………………………………………… Conclusiones…………………………………………….………………………… Recomendaciones……………………….……………………………………….. Bibliografía………………………………………………………………………….

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL EN EL SOFTWARE

MODELLUS PARA PRIMERO DE BACHILLERATO”

Tesina previa a la obtención del título de Licenciados

en Ciencias de la Educación en la especialidad de Matemáticas y Física

DIRECTOR: Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA

AUTOR: JANETH ALEXANDRA GARZÓN GONZÁLEZ

RAMÓN ISRAEL CUENCA MOYANO

CUENCA-ECUADOR 2011



CERTIFICADO Nosotros, Janeth Alexandra Garzón González y Ramón Israel Cuenca Moyano

certificamos que todo el contenido del presente trabajo es

de exclusiva responsabilidad de los autores.

………………………………….. …………………………………..



DEDICATORIA A Dios por haberme permitido realizar este anhelo, por haberme dado salud y poder culminar mis estudios. A mis padres Judith y Joel por ser mis guías, mi horizonte, mis amigos, porque todos mis éxitos en esta vida se los debo a ellos, a sus enseñanzas morales, intelectuales y físicas. A mis hermanos y hermanas por ese gran cariño y apoyo en este proceso, a pesar de la distancia saben que los amo. A mi querido esposo Juan por ser mi inspiración, por su amor, su apoyo in-condicional, su comprensión para culminar mi carrera profesional. Gracias por ser parte de mi vida; eres lo mejor que me ha pasado. A mi dulce abuela Martha por ser mi apoyo y fuerza. A mi profesor y director de tesis Dr. Santiago Avecillas Jara por ser fuente de sabiduría, por su tiempo y por su amistad.

Janeth A. Garzón G.

Quiero dedicar este trabajo a mis queridos abuelitos Manuel Y Rosita que aun-que ya no están a mi lado se que se sienten muy orgullosos de mi y a mis abuelitos José y Mercedes por su cariño y apoyo ayudándome a encontrar la luz cuando todo es obscuridad, por sus sabios consejos, por su comprensiòn y por estar siempre dispuestos a ayudarme.

Ramón I. Cuenca M.



AGRADECIMIENTO

Queremos agradecer a Dios por darnos la oportunidad de vivir la grandiosa expe-riencia de haber cursado por las aulas de nuestra querida Universidad de Cuenca y ahora ser profesionales. A nuestras familias, por el apoyo incondicional que nos han brindado en el transcur-so de nuestra carrera. Y de manera muy especial queremos agradecer a nuestro Director de Tesina, al maestro y amigo Dr. SANTIAGO AVECILLAS JARA, por todas sus enseñanzas, por sus consejos, por su tiempo, por su generodidad al brindarnos la oportunidad de acudir a su capacidad y experiencia científica, y sobre todo por su valiosa amistad. Muchas gracias querido maestro!!!...

Janeth A. Gazón G. Ramón I. Cuenca M.



INTRODUCCIÓN

“MODELLUS COMO PARTE DEL APRENDIZAJE DE ALGEBRA VECTORIAL” es un proyecto que vincula software y elementos informáticos que está al alcance de la mayoría de centros educativos con la Matemática, logrando así que el producto final sea de mayor interés para todas las personas que lo adquieren, además enlaza los modelos pedagógicos y herramientas de enseñanza-aprendizaje, de este modo no solo se consigue aprender nuevos conocimientos sino que se despierta la creatividad, interés y motricidad del usuario, mejorando de una manera sustancial la educación. Los temas desarrollados en clase o casa con el apoyo de algún tipo de recurso di-dáctico adaptadas a las exigencias tecnológicas son los que mayor comprensión proporcionan, por tal motivo la utilización de recursos adecuados y abundantes, aunque no sean reales, sino virtuales, nos facilitan mucho el conocimiento y com-prensión. Y es precisamente esta obra es uno de esos softwares educativos que proporcionan dinamismo en las aulas. Sus animaciones conceptuales, ejercitativas y lúdicas hechas en Modellus son interesantes e ilustrativas.



INTRODUCCIÓN A MODELLUS

(Herramienta para la Modelización de Sistemas)

1. Introducción Modellus es una herramienta orientada a la simulación y modelización de sistemas válida para el estudio de diversas materias dentro del currículo de Educación Secun-daria, Bachillerato y Formación Profesional. Sus autores la han concebido como ins-trumento de apoyo en el aula y con ese objetivo es que se explica su funcionamiento y uso para profesores y estudiantes. Modelo matemático Sabemos que los diversos fenómenos que se estudian en las materias del área de ciencias pueden explicarse y representarse mediante su modelo matemático. Este modelo recogerá el comportamiento del sistema tanto en su aspecto temporal (evo-lución a lo largo del tiempo) como en su aspecto puramente matemático (cálculo de valores). Modellus está orientado a los modelos temporales de tal manera que con él se puede estudiar el comportamiento dinámico de los distintos sistemas. Este com-portamiento se podrá estudiar mediante la simulación en distintos escenarios “casos” en cada uno de los cuales cada uno de los parámetros o constantes del modelo pueden ser modificados. Tal sería el caso del estudio de la caída de un cuerpo en distintos planetas del sistema solar con distintas fuerzas de gravedad, o el compor-tamiento de un muelle con distintas constantes de elasticidad. La modelización de cualquier fenómeno o sistema se apoya en la observación de los fenómenos que lo caracterizan, razón por la cual, en la medida que podamos repro-ducir esos fenómenos y experimentar con ellos, podremos comprender con más cla-ridad el modelo. El estudio del modelo se realizará siempre en orden creciente de complejidad de tal forma que en una primera fase se tendrán en cuenta los aspectos más relevantes para posteriormente derivar hacia un modelo más perfecto a través de un método de “refinamiento”. Según lo define uno de sus autores (V. D. Teodoro), Modellus es, bajo el punto de vista computacional, un micromundo computacional para estudiantes y profesores a la vez, basado en un método de programación en el que el usuario escribe en la “Ventana de modelo”.



2. Estructura Básica de Modellus. Modellus presenta un entorno muy “amigable” basado en una serie de ventanas, ca-da una de las cuales recoge o muestra una serie de informaciones muy concretas. En la figura vemos una imagen del entorno; las ecuaciones matemáticas se escriben de la misma manera que lo haría en el papel.

Por ser una aplicación que trabaja en Windows, aprovecha todas las ventajas del en-torno y esto facilita su manejo. La versión que explicamos en este trabajo es la V:2.5 de 2000. Las ventanas permiten la modificación de su tamaño y al activarlas pasan a primer plano colocando en segundo plano a las que estén dentro de su área; del mismo modo las ventanas se pueden mover dentro de la pantalla.



Menú de Modellus:

El menú que presenta el entorno consta de cinco opciones principales: Fichero Editar Caso Ventana Ayuda Fichero: Con la opción Fichero podemos realizar las siguientes operaciones: Nuevo: Crear un nuevo modelo. Abrir: Leer un modelo del disco (ya creado). Guardar: Guardar modelo en un fichero con el mismo nombre que tenga. Guardar Como: Grabar un fichero con el nombre que le queramos dar. Contraseña: Poner una clave al modelo de tal manera que no se puedan modificar los datos de las ventanas de animación y modelo. Preferencias: Configurar ubicación de ficheros. Salir: Salir y abandonar el programa. Editar: Permite las operaciones de edición comunes a cualquier herramienta. Anular: Anula la última operación de edición realizada Cortar: Permite cortar el objeto seleccionado y lo coloca en el portapapeles. Copiar: Copia el objeto seleccionado al portapapeles. Copiar la Ventana: Copia todo el contenido de la ventana en la que estemos y lo deposita en el portapapeles.



Caso: Esta opción presenta dos posibilidades: Adicionar: Añade un caso en la ventana de condiciones. Remover el último: Quita el último de los casos añadidos, téngase en cuenta que al menos debe existir un caso en la ventana de condiciones. Ventanas: Esta opción presenta las siguientes acciones encaminadas a la creación de ventanas dentro del modelo. Nuevo Gráfico: Crea una nueva ventana de gráfico. Nueva Animación: Crea una nueva ventana de animación. Nueva Tabla: Crea una nueva ventana de tabla. Normal: Sitúa las ventanas en la pantalla en modo normal Cascada: Sitúa las ventanas en la pantalla en cascada. Organizar: Sitúa las ventanas en pantalla de forma organizada. 1 Control: Activamos la ventana de control. 2 Condiciones Iniciales: Activamos la ventana de condiciones iniciales. 3 Notas: Activamos la ventana de notas. 4 Modelo: Activamos la ventana de modelo. Las ventanas que se van creando aparecerán en esta opción del menú con números consecutivos a partir del 4, téngase en cuenta que las ventanas 1, 2, 3 y 4 no se pueden eliminar. Ayuda: Muestra las opciones siguientes: Ayuda: Nos despliega la ventana de ayuda. Acerca de Modellus: Esta opción nos presenta información sobre el programa



Modellus está estructurado en torno a un conjunto de ventanas sobre las que se es-

cribe o se muestra la información de los modelos que se pretenden simular. Las ven-

tanas son las siguientes:

Ventana de modelo.

Ventana de condiciones

Ventana de animaciones

Ventana de control

Ventana de gráficos

Ventana de tablas

A continuación se estudian estas ventanas, su utilización y contenidos.

2.1. VENTANA DE MODELO: Escritura de las ecuaciones del modelo. Para ini-

ciar el trabajo con Modellus, una vez arrancada la aplicación, debemos ir al menú

Modelo (Nuevo) y de esta manera iniciamos la creación de un modelo nuevo.

Lo primero que debemos hacer es escribir las ecuaciones del modelo, y esto lo ha-

cemos en la “ventana de modelo” que aparece en la figura. A la hora de escribir las

ecuaciones tenemos que hacerlo observando unas normas básicas en lo que se re-

fiere a la sintaxis. Estas normas son las siguientes:

Sintaxis de los modelos: Modellus soporta ecuaciones algebraicas, diferenciales e iterativas.

Usted puede modelar ecuaciones que van desde las relaciones simples como las lí-

neas rectas y parábolas a los conceptos más complejos como son las ecuaciones de

Van der Pol o de Lorentz.

La entrada de un modelo en Modellus es casi como la escritura de ecuaciones ma-

temáticas en el papel.



2.2. VENTANA DE CONDICIONES Cuando se ha escrito el modelo en la correspondiente ventana y se ha pulsado por primera vez el botón interpretar aparecerá la ventana de “condiciones” que se encar-ga de recoger los valores de los “parámetros” y los “valores iniciales” del modelo en forma de tabla formando parte del “caso 1" que es el primer caso de simulación que Modellus crea por defecto. Los “parámetros” se podrán modificar en esta misma ventana o también en la venta-na de “animación” haciendo uso de algunos de sus objetos como veremos más ade-lante. Cada uno de los posibles casos, que nosotros podremos añadir en el estudio del modelo, no son otra cosa que distintos escenarios para aplicar a las mismas ecua-ciones. Esto nos permitirá poder estudiar el modelo cambiando a nuestro gusto dis-tintos parámetros.



Si deseamos modificar los parámetros desde la ventana de animación quedará inva-lidado el valor del parámetro que se coloque en esta ventana. Cada uno de los ca-sos que nosotros establezcamos en la simulación tendrá la posibilidad de verse en la ventana de “animación”; bastará con seleccionarlo de entre los que aparecerán se-ñalados en la parte superior izquierda de la ventana, y esto ocurrirá en las ventanas de “tabla” y “gráfico” teniendo en cuenta que en la ventana de “gráfico” pueden co-existir los gráficos de cada uno de los casos con el fin de poder ver las distintas cur-vas superpuestas. 2.3. VENTANA DE ANIMACIONES Una vez que hemos escrito las ecuaciones del modelo, la siguiente operación será diseñar la ventana de animaciones en la que se realizarán las representaciones grá-ficas de aquellos valores que nos interese ver. Esta ventana tiene mucho interés de cara a ser el “interface” con el estudiante ya que si se hace buen uso de todas sus posibilidades encontraremos en ella una po-derosa herramienta. En la figura vemos la estructura de esta ventana de “anima-ción” mostrando un ejemplo de movimiento de un balón lanzado hacia arriba. El tamaño y posición de esta ventana, al igual que el resto, se puede modificar colo-cando el puntero en los bordes y estirando hacia dentro o hacia fuera o manteniendo pulsado y moviendo en el caso de cambiar la posición.



En esta ventana se pueden colocar distintos elementos gráficos que se correspon-den con los botones que aparecen en la parte superior. Cada uno de estos elemen-tos se podrá asociar a las variables del modelo y realizar las funciones que corres-pondan a él de acuerdo a los parámetros que se hayan colocado en su ventana de parámetros asociada. Pasaremos a explicar cada uno de los elementos, así como sus ventanas asociadas.

Los botones de la parte superior se usan para realizar mediciones sobre las imágenes (GIF o BMP) o videos (AVI), que pueden colocarse

en el fondo, usando el botón de fondo.

El rayado (grid) puede mostrarse u ocultarse mediante el botón . Pulsando so-bre el botón de fondo puede definir el espaciado del grid y su color así como el color del fondo de la pantalla. A continuación se muestra una tabla en la que se puede identificar cada uno de los botones que representan un determinado objeto. Use esta herramienta………..……..para añadir: Partícula

Imagen, bola (partícula), rectángulo, o referencia. Vector

Vector con o sin flecha resultante o componentes. Indicador de Nivel

Horizontal o Vertical. Medidor Analógico

Aguja, reloj, o medidor circulo completo.



Trazador

Realiza el trazado interactivo de líneas o puntos. Medidor Digital

Medidor digital, mostrado o no el nombre de la Variable. Importar imagen

Importa imagen en formato BMP o GIF Texto

Texto con el color, fuente, estilo y tamaño especificables. Objeto Geométrico

Líneas y figuras tales como círculos y polígonos. 2.4. VENTANA DE CONTROL Una vez que hemos diseñado el modelo en la ventana “Modelo” y hemos colocado en la ventana “animaciones los objetos, así como las condiciones y las tablas y gráfi-cos que nos haya parecido bien, se debe pasar a la fase de “simulación”. En la fase de “simulación” Modellus realizará los cálculos y mostrará los valores de la forma que hayamos previsto. La ventana “Control” es la que permite el control del proceso de simulación. Los botones de esta ventana sirven para:

Simular o detener la simulación.

Terminar la simulación.



Reiniciar el modelo, ir al principio sin perder los valores calculados.

Saltar al último valor calculado del modelo.

Repetir la simulación del modelo.

Lee el actual valor de la variable independiente.

Muestra el valor actual de la variable independiente y chequea visualmente el progreso de esta variable.

Ir atrás o adelante un simple paso. Acceder a caja de diálogo Opciones…: 2.5. VENTANA DE GRÁFICO Mediante esta ventana podemos realizar representaciones gráficas en ejes de coor-denadas (XY) de las variables que queramos y para los casos que hayamos definido mediante la opción del menú “Casos”. En la figura vemos la ventana de “gráficos” y en ella se puede distinguir el área de representación en donde se dibujan los gráfi-cos y a la izquierda aparecen las ventanas de las variables.



2.6. VENTANA DE TABLA En numerosas aplicaciones será necesario realizar una tabla con los valores de las variables, esta posibilidad nos la brinda la ventana de “tabla” que sencillamente per-mite la creación de tablas con tantas variables como seleccionemos en la ventana de la izquierda simplemente pulsando las teclas “Control” o “Shift” a la vez que señala-mos con el ratón (tecla izquierda) sobre éstas. 2.7. PROTECCIÓN DE LOS TRABAJOS Mediante la opción Contraseña dentro del menú de “Fichero” podremos conseguir proteger el trabajo, de tal manera que a quien realice las simulaciones solo le estará permitido ver los resultados, pero nunca modificar la ventana “Modelo” o la ventana Animación ni podrá modifica ni crear ventanas de “gráficos” o “tablas”. Cuando activamos por primera vez ésta opción aparece una ventana como la de la figura en la que se nos pide el Password y la Confirmación, es decir debemos escri-bir dos veces, una en cada ventana, el password (clave).



PRESENTACIÓN A partir de este momento iniciamos el estudio con Modellus de Álgebra Vectorial, subunidad perteneciente a Estática. Dicho estudio abarca el desarrollo de los dieciséis temas que fueron descritos anteriormente y cada uno de ellos contiene su respectiva fundamentación teórica, sus gráficas en caso de haberlas y sus ecuaciones matemáticas. A continuación se enlistan las animaciones conceptuales, ejercitativas y lúdicas de dada tema y una de estas animaciones es presentada como animación de muestra con su correspondiente modelo matemático. Es necesario indicar que la animación de muestra presentada en esta tesis es sólo un ejemplo de animación por cada tema, puesto que todas las animaciones de la subunidad mencionada se encuentran en un CD adjunto en formato DVD.



2.3.1 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES La Física es una de las ciencias naturales que más se relaciona y trata con magnitudes físicas y sus medidas. Entenderemos por magnitud toda "grandeza físi-ca" susceptible de ser medida, directa o indirectamente. Las magnitudes o canti-dades físicas se subdividen en dos grandes grupos o categorías: escalares y vecto-riales. Las magnitudes o cantidades escalares, alrededor del 70% de las conocidas hasta hoy, son las grandezas físicas que al ser medidas, para su completa especifi-cación o determinación sólo requieren de su tamaño o "magnitud", la que se indica o expresa mediante un número seguido de la unidad correspondiente. Como un ejem-plo citemos la edad de una persona: si nos dicen que una dama tiene 37,5 años (37,5: número; años: unidad), quedamos totalmente satisfechos pues no nos queda ninguna duda acerca de la edad de la persona. Aquí la "cantidad medida" es tiempo (la edad de la persona) y la expresión 37,5 años es su magnitud. Entonces la canti-dad tiempo es simplemente escalar. Algunas de las cantidades escalares son las si-guientes: longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura ter-modinámica, cantidad de sustancia, ángulo sólido, frecuencia, trabajo, potencia, energía, capacitancia, resistencia eléctrica, voltaje, inductancia, momento de inercia, volumen, presión, densidad volumétrica,... Las cantidades vectoriales, alrededor del 30% de las conocidas hasta hoy, son las grandezas físicas que al ser medidas, para su completa especificación o determina-ción requieren de tres "datos": magnitud, dirección y sentido. La magnitud, un núme-ro más la respectiva unidad, representa el tamaño de la cantidad medida; la direc-ción hace referencia a la "recta imaginaria" o matemática sobre la cual actúa la cantidad vectorial considerada; el sentido se refiere a la orientación, sobre la recta directriz, en que actúa la cantidad considerada. Citemos como ejemplo una cantidad física llamada "velocidad lineal": si nos dicen que un avión se mueve a 960 km/h (magnitud) nos queda la duda de la dirección de dicho movimiento; pero si nos acla-ran que el movimiento ocurre sobre un paralelo terrestre (dirección), la información es más completa; sin embargo aún nos queda la duda de la orientación del movi-miento; entonces nos indican que el movimiento ocurre de este a oeste (sentido), con lo que la información es completa. Vemos entonces que para la completa des-cripción de una cantidad vectorial se requiere de magnitud, dirección y sentido. Al-gunas de las cantidades vectoriales son las siguientes: desplazamiento lineal, velo-cidad lineal, aceleración lineal, desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, fuerza, torque, momentum lineal, momentum angular, intensidad de campo gravitacional, intensidad de campo eléctrico, intensidad de campo magné-tico, densidad de flujo eléctrico, densidad de flujo magnético, polarización, dipolo eléctrico, momento dipolar magnético, etc.



Para designar e identificar a un vector se utiliza cualquier letra o símbolo con una flechita en su parte superior, por ejemplo ,...,r,a,A θ

rrrr

Para representar geométricamente una cantidad vectorial se utiliza un símbolo llamado vector, el cual tiene forma de una flecha; figura 1.1.1.1. La longitud de dicha flecha representa la magnitud del vector, la varilla de la flecha indi-ca la dirección y la saeta muestra el sentido. Para indicar o representar únicamente la magnitud de un vector ya identifi-cado se suele utilizar alguna de las dos siguientes formas: a) El nombre del vector encerrado entre barras: ,...||,|r|,|a|,|A| θ

rrrr

b) El nombre del vector, pero sin la flechita: ,...,r,a,A θ

F i g u r a 1 . 1 . 1 . 1



LISTADO DE ANIMACIONES a) Conceptuales:

F1111C01 F1111C02

b) Ejercitativas:

F1111E01

c) Lúdicas

F1111J01



ANIMACIÓN DE MUESTRA



MODELO MATEMÁTICO L1=25 L2=740 L3=90 L4=354 L5=46 L6=210 L7=145 L8=190 L9=30 L10=140 L11=-80 L12X=70 L12Y=135 L13X=70 L13Y=-135 L14=210 L15=-10 L16=-100 L17=150 L18=160 L19=70 L20=210 L21=140 L22=70 L23=60 L24=150 L25=640 L26=-126 L27=73 L28=-80 L29=-10 L30=-4*tif(t<5)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and (v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000)and(v12=1000)



if(t>5)and(t<16)then(v1=0) if(t>16)and(t<25)then(v2=0) if(t>25)and(t<27)then(v3=0) if(t>27)and(t<35)then(v4=0) if(t>35)and(t<42)then(v5=0) if(t>42)and(t<48)then(v6=0) if(t>48)and(t<50)then(v7=0) if(t>50)and(t<54)then(v8=0) if(t>54)and(t<60)then(v9=0) if(t>60)and(t<70)then(v10=0) if(t>70)and(t<80)then(v11=0) if(t>80)and(t<90)then(v12=0)



2.3.2 EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES Hay varias formas de presentar o expresar un vector; desgraciadamente la mayoría de ellas son algo complejas para este nivel; sin embargo dos son muy sencillas y son las que utilizaremos. La primera de ellas es la “expresión trigonométrica de vec-tores”, según la cual un vector es totalmente descrito mediante su nombre vectorial seguido de su magnitud y de sus ángulos directores. Se llaman “ángulos directores de un vector” a los ángulos planos formados entre el vector y cada uno de los ejes positivos del sistema de referencia utilizado. En consecuencia, en el plano se tienen dos ángulos directores designados con α y β; en el espacio se tienen tres ángulos directores designados con α, β y γ. Los ángu-los directores deben medirse siempre desde cada uno de los ejes positivos del sis-tema de referencia hasta el vector. Los ángulos directores de un vector indican, si-multáneamente, la dirección y el sentido del mismo. La forma general de expresar un vector en forma trigonométrica es:

( )

( ) espacioelen;;;AA

planoelen;;AA

γβα

βα

=

=

r

r

Los ángulos directores se obtienen a partir de los “cosenos directores”, como veremos más adelante. A veces, cuando se expresa trigonométricamente un vector situado en el primer cuadarnte del plano, se omite el ángulo director β y sólo seex-

presa el vector en la forma α;AA =r

. En tales casos evidentemente β es el ángulo

complementario de α, esto es, β = 90 – α. A continuación anotaremos algunos ejemplos de vectores expresados en for-ma trigonométrica en el plano y en el espacio.

60;30;280A °°=r

130;40;400B °°=r

(en el plano)

5,40;5,130;700C °°=r



5,54;50;60;220D °°°=r

5,125;120;130;800E °°°=r

(en el espacio)

2,143;55;100;40023F °°°=r

Es muy sencillo representar vectores en el plano. Por ejemplo los vectores

B,Arr

y Cr

antes anotados se representan en la figura 1.1.2.1. Observe y descubra la

forma de hacerlo: primeramente le recordamos que el ángulo director α se mide a partir del eje +X y que puede hacerlo en ambos sentidos, horario y antihorario; luego se comprueba para cuál de las dos posibilidades concuerda correctamente el ángu-loβ; entonces en esa posición se ubica el vector. A continuación anotaremos algunos ejemplos de vectores expresados en forma tri-gonométrica en el plano y en el espacio.

60;30;280A °°=r

130;40;400B °°=r

(en el plano)

5,40;5,130;700C °°=r

5,54;50;60;220D °°°=r

5,125;120;130;800E °°°=r

(en el espacio)

2,143;55;100;40023F °°°=r

F i g u r a 1 . 1 . 2 . 1




F1112C01 b) Ejercitativas:

F1112E01 c) Lúdicas

F1111J01



MODELO MATEMÁTICO

L1=20 L2=600 L3=10 L4=150 L5=300 L6=-30 L7=30 L8=-30 L9=-300 L10=65 L11=-65 L12=50 L13=30 L14=160 L15=-30 L16=115 L17=50 L18=30 L19=145 L20=-30 L21=107 L22=160 L23=290 L24=50 L25=560 L26=70 L27=130 L28=80 L29=680 L30=-120 L31=100 L32=-90 L33=24 L34=60



if(t<10)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000) if(t>10)and(t<15)then(v1=0) if(t>15)and(t<18)then(v2=0) if(t>18)and(t<21)then(v3=0) if(t>21)and(t<24)then(v4=0) if(t>24)and(t<28)then(v5=0) if(t>28)and(t<38)then(v6=0) if(t>38)and(t<42)then(v7=0) if(t>42)and(t<46)then(v8=0)



2.3.3 SUMA TRIGONOMÉTRICA DE DOS VECTORES EN EL PLANO Para los vectores, como entes matemáticos que son, pueden ser definidas va-rias operaciones vectoriales y otras de más alto nivel matemático. Nosotros aprende-remos en esta introducción algunas de las operaciones correspondientes al nivel más sencillo y elemental, pero que serán suficientes para cubrir las necesidades ma-temáticas de la Física propiamente dicha, es el Álgebra de Vectores. Estos concep-tos y operaciones serán muy utilizados a lo largo del curso de Física que se iniciará en la siguiente subunidad estructural. En realidad el Álgebra de vectores será la principal herramienta matemática durante los dos primeros ciclos de estudio de la Física; sólo a partir del tercer nivel será pre-ciso introducir dos operaciones de mayor nivel matemático. Al dar inicio al Álgebra vectorial empezaremos con la suma de dos vectores expresados en forma trigonométrica. La suma de dos vectores en el plano, expresados en forma trigonométrica, se realiza de acuerdo al siguiente algoritmo o rutina: 1- Se dibujan los dos vectores en el sistema bidimensional y se determina el ángulo φ entre los mismos, sumando o restando los iα . 2- Se traslada el vector de mayor ángulo director α al extremo del otro vector: de es-te modo queda un vector a continuación del otro. 3- Se junta el origen del primer vector con el final del segundo vector mediante otro, que será el vector resultante. Se indican las incógnitas y los parámetros conocidos. 4- Se resuelve el triángulo de vectores: con la ley de los cosenos se determina la magnitud del vector resultante; con la ley de los senos se determina el ángulo θ en-tre el vector resultante y el vector no trasladado (el de menor ángulo director α ). 5- Se determinan los ángulos directores del vector resultante. En esta parte hay que fijarse muy bien en el triángulo de vectores para ver qué hay que hacer (sumar o res-tar) para hallar Rα y Rβ . 6- Se escribe la expresión trigonométrica del vector resultante.



LISTADO DE ANIMACIONES

a) Conceptuales:

F1113C01 b) Ejercitativas:

F1113E01 F1113E02

c) Lúdicas:

F1113J01



MODELO MATEMÁTICO

L1=-90 L2=70 L3=-60 L4=2 L5X=61 L5Y=41 L6X=100 L6Y=100 L7X=30 L7Y=90 L8X=130 L8Y=191 L9=-500 L10=220 L11=240 L12=125 L13=305 L14=55 L15=305 L16=55 L17=305 L18=80 L19=80 L20=30 L21=65 L22=160 L23=150 L24=795 L25=-300 L26=-338 L27=-90 L28=20 L29=-5 L30=-4



L31=-254 L32=-30 L33=20 L34=-5 L35X=30 L35Y=90 L36=-16 L37=-210 L38=-12 L39=20 L40=-124 L41=-240 L42=5 L43=5 L44=20 L45=-35 L46=42 L47=95 L48=200 L49=150 L50=-32 L51=-25 L52=-55 L53=27 if(t<3)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000) if(t>8)and(t<10)then(v1=0) if(t>10)and(t<20)then(v2=0) if(t>20)and(t<40)then(v2=1000) if(t>20)and(t<30)then(v3=0) if(t>33)and(t<40)then(v4=0) if(t>3)and(t<10)then(v5=0) if(t>15)and(t<30)then(v6=0) if(t>25)and(t<40)then(v7=0) if(t>40)and(t<45)then(v8=0) if(t>45)and(t<50)then(v9=0) if(t>50)and(t<60)then(v10=0)



2.3.4 RESTA TRIGONOMÉTRICA DE DOS VECTORES EN EL PLANO Para la resta de dos vectores en el plano expresados en forma trigonométrica se conocen dos métodos: por reducción a suma y por diferencia propiamente dicha. a) PRIMER MÉTODO: REDUCCIÓN A SUMA: Se procede según el siguiente algoritmo: 1- Se invierte el sentido del vector precedido del signo menos restando 180° a cada uno de sus ángulos directores y tomando su valor absoluto. Así se obtienen los valo-res reducidos de los nuevos ángulos. 2- Se continúa con el proceso como si se tratara de sumar el vector que se acaba de invertir con el que se mantuvo inalterado. b) SEGUNDO MÉTODO: DIFERENCIA PROPIAMENTE DICHA: Se procede de acuerdo al siguiente algoritmo: 1- Se dibujan los dos vectores en el sistema bidimensional y se determina el ángulo φ entre los mismos. 2- Se juntan los finales de los dos vectores mediante otro que será el vector resultan-te, el cual va desde el final del "vector negativo" hasta el final del vector positivo. Así se completa un triángulo de vectores. Se traslada el vector resultante al origen y se incluyen los parámetros conocidos así como las incógnitas. 3- Se resuelve dicho triángulo: con la ley de los cosenos se halla la magnitud del vector resultante; con la ley de los senos se determina el ángulo θ comprendido en-tre el vector positivo y el vector resultante. 4- Observando cuidadosamente el triángulo de vectores y más trazos se determinan los ángulos directores del vector resultante. 5- Finalmente se escribe la expresión trigonométrica del vector resultante.




F1114C01 F1114C02

b) Ejercitativas:

F1114E01 F1114E02

c) Lúdicas:

F1114J01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=40 L3=50 L4=70 L5=410 L6=112 L7=5 L8X=90 L8Y=130 L9X=88 L9Y=80 L10X=88 L10Y=30 L11X=89 L11Y=-20 L12X=89 L12Y=-70 L13X=89 L13Y=-124 L14=90 L15=180 L16=35 L17=190 L18=22 L19=60 L20=20 L21=85 L22=110 L23=200 L24=220 L25=600 L26=-120 L27=-305 L28=-30



L29=-60 L30=-60 L31=-65 L32=-65 L33=-65 if(t<2)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000)and(v12=1000)and(v13=1000) if(t>2)and(t<5)then(v1=0) if(t>5)and(t<6)then(v2=0) if(t>6)and(t<12)then(v3=0) if(t>12)and(t<13)then(v4=0) if(t>13)and(t<19)then(v5=0) if(t>19)and(t<20)then(v6=0) if(t>20)and(t<26)then(v7=0) if(t>26)and(t<27)then(v8=0) if(t>27)and(t<33)then(v9=0) if(t>33)and(t<34)then(v10=0) if(t>34)and(t<40)then(v11=0) if(t>40)and(t<41)then(v12=0) if(t>41)and(t<47)then(v13=0)



2.3.5 VECTORES UNITARIOS Llamaremos “vectores unitarios” a unos vectores muy especiales de magnitud 1 y cuya dirección y sentido son los de alguno de los ejes del sistema cartesiano utiliza-do. Así que en el plano hay dos vectores unitarios, representados con i

r y j

r, que co-

rresponden a los ejes +X y +Y, respectivamente, como se muestra en la figura 1.1.5.1.(a). En el espacio hay tres vectores unitarios, representados con j,i

rr y k

r,

que corresponden a los ejes +X, +Y y +Z, respectivamente, como se ve en la figura 1.1.5.1.(b). La expresión trigonométrica de los vectores unitarios en el plano es:

°°=

°°=

0;90;1j

90;0;1i

r

r

y en el espacio es:

°°°=

°°°=

°°°=

0;90;90;1k

90;0;90;1j

90;90;0;1i

r

r

r

Es posible también definir vectores unitarios en direcciones arbitrarias, por ejemplo en direcciones correspondientes a vectores concretos. Para ello basta dividir el vector para su magnitud, así:

F i g u r a 1 . 1 . 5 . 1



AAuA

rr

=

Al multiplicar un número cualquiera N por un vector unitario, se obtiene un vector cuya magnitud es |N|, cuya dirección es la del eje correspondiente al vector unitario y cuyo sentido es el del eje si N > 0 (positivo) o el contrario si N < 0 (negativo). Así, si multiplicamos el número N = -26 por el

vector unitario jr

, obtendremos el vector

j26Vrr

−= , cuya magnitud es 26, cuya direc-

ción es la del eje Y y cuyo sentido es el nega-tivo (hacia –Y), ya que -26 es menor que ce-ro. Esto se ilustra en la figura 1.1.5.2.

F i g u r a 1 . 1 . 5 . 2




F1115C01 F1115C02

b) Ejercitativas:

F1115E01 c) Lúdica:

F1115J01



MODELO MATEMÁTICO

L1=10 L2=185 L3=35 L4=300 L5X=-150 L5Y=-150 L6=220 L7=220 L8X=-18 L8Y=-18 L9X=-18 L9Y=-18 L9X=-18 L9Y=-18 L10X=-18 L10Y=-18 L11X=-18 L11Y=-18 L12X=-18 L12Y=-18 L13=25 L14=25 L15=25 L16=25 L17=25 L18=25 L19=25 L20=25 L21=25 L24=340 L25=70 L26=130 L27=820 L28=-130



L29=-160 L30=-80 L31=-280 L32=-120 L33=-600 L34=-150 L35=-595 L36=30 L37X=-18 L37Y=-18 if(t<3)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000)and(v12=1000)and(v13=1000)and(v14=1000)and(v15=1000)and(v16=0) if(t>4)then(v1=0) if(t>5)then(v2=0) if(t>6)then(v3=0) if(t>7)then(v4=0) if(t>8)then(v5=0) if(t>9)then(v6=0) if(t>12)then(v7=0) if(t>13)then(v8=0) if(t>14)then(v9=0) if(t>15)then(v10=0) if(t>19)then(v11=0) if(t>20)then(v12=0) if(t>21)then(v13=0) if(t>22)then(v14=0) if(t>23)then(v15=0) v16=0



2.3.6 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Se llaman "componentes rectangulares" de un vector, V

r, a los "vectores pro-

yección" o proyecciones de Vr

sobre cada uno de los ejes del sistema de referencia utilizado. Dichas proyecciones son vectores perpendiculares entre sí y cuya suma es efectivamente igual al vector V

r. En el plano se tienen dos componentes rec-

tangulares designadas con xVr

y yVr

; en el espacio se tienen tres componentes rec-

tangulares, yx V,Vrr

y zVr

.

En consecuencia, se cumplen las igualdades:

( )

( )espacioelenVVVV

planoelenVVV

zyx

yx

rrrr

rrr

++=

+=

Los coeficientes y las magnitudes de las componentes rectangulares del vec-tor V

r son, respectivamente, V,V yx y zV & |V|,|V| yx y |V| z ; de modo que los coefi-

cientes pueden ser positivos o negativos, en tanto que las magnitudes serán siempre positivas. Por lo tanto se pueden escribir las componentes rectangulares en la forma

kVV;jVV;iVV zzyyxx

rrrrr=== , con lo cual:

( )

( )espacioelenkVjViVV

planoelenjViVV

zyx

yx

rrrr

rrr

++=

+=

Las componentes rectangulares del vector V

r,

en el plano, de acuerdo a la figura 1.1.6.1 son:

jSenVjCosVjVV

iCosViVV

yy

xx

rrrr

rrr

αβ

α

===

==

cuyos coeficientes y magnitudes son, res-pectivamente: F i g u r a 1 . 1 . 6 . 1



αβ

α

SenVCosVV

CosVV

y

x

==

=

y:

|SenV||CosV||V|

|CosV||V|

y

x

αβ

α

==

=

en donde α y β son los ángulos directores del vector V

r y Cos α y Cos β son los

cosenos directores correspondientes dados por:

VV

Cos;VVCos yx == βα

Las componentes rectangulares del vec-tor V

r, en el espacio, figura 1.1.6.2, son:

kCosVkVV

jCosVjVV

iCosViVV

zz

yy

xx

rrr

rrr

rrr

γ

β

α

==

==

==

cuyos coeficientes y magnitudes son, respectivamente:

γ

β

α

CosVV CosVV CosVV

z

y

x

=

=

=

y:

F i g u r a 1 . 1 . 6 . 2



|CosV||V|

|CosV||V|

|CosV||V|

z

y

x

γ

β

α

=

=

=

en donde α, β y γ son los ángulos directores del vector V

r y Cos α, Cos β y Cos γ

son los "cosenos directores" correspondientes dados por:

VVCos;

VV

Cos;VVCos zyx === γβα




F1116C01 F1116C02 F1116C03

b) Ejercitativas:

F1116E01 F1116E02

c) Lúdica:

F1116J01



MODELO MATEMÁTICO L1=15 L2=180 L3=85 L4=10 L5=50 L6=400 L7=40 L8=147 L9=240 L10=25 L11=25 L12=25 L13=25 L14=25 L15=25 L16=40 L17=350 L18=50 L19=150 L20=240 L21=60 L22=28 L23=15 L24=25 L25=25 L26=25 L27=25 L28=25 L29=25 L30X=145 L30Y=145 L31=40 L32=360 L33=55



L34=15 L35=40 L36=297 L37=67 L38=140 L39=150 L40=10 L41=120 L42=60 L43=655 L44=-145 L45=95 L46=-80 L47=20 L48=-160 L49=-95 L50=-95 L51=5 L52=-77 L53=48 L54=-150 L55=15 L56=-10 L57=185 L58=-30 L59=-25 L60=30 if(t<5)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000)and(v12=1000)and(v13=1000)and(v14=1000)and(v15=1000)and(v16=1000)and(v17=1000)and(v18=1000)and(v19=1000) if(t>5)and(t<8)then(v1=0) if(t>8)and(t<11)then(v2=0) if(t>11)and(t<12)then(v3=0) if(t>12)and(t<13)then(v4=0) if(t>13)and(t<14)then(v5=0) if(t>14)and(t<15)then(v6=0) if(t>15)and(t<16)then(v7=0) if(t>16)and(t<17)then(v8=0)



if(t>17)and(t<18)then(v9=0) if(t>18)and(t<19)then(v10=0) if(t>19)and(t<20)then(v11=0) if(t>20)and(t<21)then(v12=0) if(t>22)and(t<24)then(v13=0) if(t>24)and(t<26)then(v14=0) if(t>26)and(t<28)then(v15=0) if(t>28)and(t<35)then(v16=0) if(t>35)and(t<40)then(v17=0) if(t>44)and(t<52)then(v18=0) if(t>52)and(t<60)then(v19=0)



2.3.7 EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES La segunda forma de presentar un vector es la denominada “expresión analí-tica de vectores” que consiste en mostrarlo o sintetizarlo como la suma de sus com-ponentes rectangulares. Entonces, en el plano, un vector expresado analíticamente tiene la forma:

jSenViCosVjCosViCosVjViVV yx

rrrrrrrααβα +=+=+=

y en el espacio tiene la forma:

kCosVjCosViCosVkVjViVV zyx

rrrrrrrγβα ++=++=

Son ejemplos de vectores expresados en forma analítica los siguientes: k205i145C;k56j16i34B;j45i23A

rrrrrrrrrr−=−+−=+=

La ecuación analítica de un vector contiene toda la información acerca del mismo, es decir: magnitud, dirección y sentido. En efecto: a) MAGNITUD: está dada por la expresión:

2z

2y

2x VVVV ++=

b) DIRECCIÓN Y SENTIDO: están dados por los ángulos directores, los cuales a su vez se obtienen a partir de los cosenos directores:

VVCos;

VV

Cos;VVCos z1y1x1 −−− === γβα

La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es siempre igual a uno; es decir:

( )

( )espacioelen1CosCosCos

planoelen1CosCos

222

22

=++

=+

γβα

βα

“Un ángulo director es obtuso (mayor que 90 °) cuando su coseno director es nega-tivo”, y esto ocurre cuando su respectivo coeficiente es negativo.




F1117C01 F1117C02

b) Ejercitativas:

F1117E01 F1117E02

c) Lúdica:

F1117J01



MODELO MATEMÁTICO L1=-35 L2=80 L3=40 L4=80 L5=40 L6=350 L7=70 L8=250 L9=100 L10=190 L11=70 L12=400 L13=100 L14=200 L15=10 L16=40 L17=10 L18=80 L19=80 L20=140 L21=150 L22=160 L23=10 L24=330 L25=90 L26=205 L27=5 L28=90 L29=20 L30=282 L31=390 if(t<5)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000) if(t>5)and(t<15)then(v1=0)



if(t>18)and(t<24)then(v2=0) if(t>25)and(t<30)then(v3=0) if(t>32)and(t<35)then(v4=0) if(t>36)and(t<45)then(v5=0) if(t>46)and(t<48)then(v6=0) if(t>49)and(t<51)then(v7=0) if(t>52)and(t<54)then(v8=0)



2.3.8.- INTERCAMBIOS DE LA EXPRESIÓN DE UN VECTOR Puesto que un vector puede ser expresado en las formas trigonométrica y analítica, es conveniente y necesario aprender a cambiar su expresión de cualquiera de las formas a la otra. Esto puede significar un ahorro de tiempo y energía en la resolución de ejercicios, especialmente en los relacionados con “Composiciones de fuerzas”, que veremos más adelante. Se procede de acuerdo a las dos siguientes secuencias: a) CAMBIO DE LA EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA A LA ANALÍTICA: 1- Se determinan las componentes rectangulares del vector dado. 2- Se suman dichas componentes obteniéndose el vector en forma analítica. b) CAMBIO DE LA EXPRESIÓN ANALÍTICA A LA TRIGONOMÉTRICA: 1- Se calcula la magnitud del vector dado. 2- Se calculan sus ángulos directores. 3- Se expresa el vector en la forma trigonométrica.




F1118C01 F1118C02

b) Ejercitativas:

F1118E01 F1118E02

c) Lúdicas F1118J01



MODELO MATEMÁTICO

L1=10 L2=30 L3=-10 L4=22 L5=-5 L6=30 L7=-17 L8=490 L9=70 L10=-10 L11=22 L12=-5 L13=30 L14=-17 L15=80 L16=190 L17=100 L18=190 L19=80 L20=167 L21=100 L22=165 L23=140 L24=230 L25=-30 L26X=-80 L26Y=-80 L27=430 L28=-30 L29X=80 L29Y=-80 L30=120 L31=200 L32=150 L33=t/10 if(t<2)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000) if(t>4)then(v1=0) if(t>15)and(t<29)then(v2=0)



if(t>18)then(v3=0) if(t>28)and(t<29)then(v4=0) if(t>29)and(t<30)then(v2=1000)and(v4=1000) if(t>30)and(t<31)then(v2=0)and(v4=0) if(t>29)then(v5=0)



2.3.9.- VECTORES DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS ESPECÍFICOS La expresión analítica de un desplazamiento, como vector que parte de un punto ini-cial ( )111 z;y;xA y llega a un punto final ( )222 z;y;xB se obtiene restando las coor-denadas respectivas del punto de llegada menos las del punto de partida y multipli-cando los resultados por los vectores unitarios correspondientes; finalmente sumando dichas “componentes”; es decir:

( ) ( ) ( )kzzjyyixxAB 121212

rrr−+−+−=



LISTADO DE ANIMACIONES

a) Conceptuales:

F1119C01

b) Ejercitativas:

F1119E01

c) Lúdica:

F11119J01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=380 L3=50 L4=198 L5=100 L6=390 L7X=50 L7Y=-50 L8=380 L9X=-50 L9Y=-50 L10=20 L11=250 L12=130 L13=110 L14=-80 L15=90 L16X=-50 L16Y=-50 L17=220 L18X=50 L18Y=-50 L19=140 L20=80 L21=70 L22=190 L23=60 L24=330 L25=75 L26=-30 L27=300 if(t<3)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000) if(t>3)and(t<10)then(v1=0)



if(t>10)and(t<11)then(v2=0) if(t>12)and(t<17)then(v3=0) if(t>17)and(t<18)then(v4=0) if(t>18)and(t<22)then(v5=0) if(t>24)and(t<27)then(v7=0) if(t>28)and(t<29)then(v8=0) if(t>29)and(t<31)then(v9=0)



2.3.10.- SUMA-RESTA ANALÍTICA DE VECTORES Para sumar y/o restar dos o más vectores en forma analítica se procede de acuerdo al siguiente algoritmo: 1- Se expresan los vectores en forma analítica (si no lo están). Entonces se los colo-ca encolumnados (especialmente si son muchos vectores) en forma ordenada de modo que queden las componentes respectivas en una misma columna. 2- Se suman (o restan) entre sí las respectivas componentes obteniéndose la expre-sión analítica del vector resultante. NOTA: En caso de operar con varios vectores, es recomendable encolumnarlos en forma ordenada de modo que queden las componentes respectivas en una misma columna. (Si algún vector no tiene alguna de las componentes, se dejará el espacio respectivo en blanco).




F111XC01

b) Ejercitativas:

F111XE01

c) Lúdica:

F111XJ01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=253 L3=20 L4=470 L5=20 L6=38 L7=115 L8=275 L9=188 L10=290 L11=5 L12=500 L13=112 L14=-0.99*t L15=220 L16=63 L17=63 L18=250 L19=105 L20=100 L21=440 L22=290 L23=70 L24=40 L25=192 L26=60 L27=50 L28=200 L29=70 L30=55 L31=40 L32=640 L33=-80 IF(t<4)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000) IF(t>4)then(v1=0) IF(t>8)then(v2=0) IF(t>16)then(v3=0)



IF(t>17)then(v4=0) IF(t>27)then(v5=0) IF(t>28)then(v6=0) IF(t>38)then(v7=0) IF(t>48)then(v8=0) IF(t>49)then(v9=0)



2.3.11.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Al multiplicar un escalar m por un vector V

r se obtiene otro vector definido por

V.mRrr

= . a) Si el vector está expresado en forma trigonométrica, el producto de m por V

r se

define mediante:

( )

( )0msi180;180;180;V|m|V.m

0msi;;;mVV.m

<+++=

>=

γβα

γβα

r

r

b) Si el vector está expresado en forma analítica, el producto de m y V

r se define

mediante:

kmVjmVimVV.m zyx

rrrr++=

El producto escalar de dos vectores, llamado también producto interno o producto punto, es una operación cuyo resultado es un escalar y cuyo operador o signo de operación es un punto grueso centrado ( ⋅ ).




F111AC01 b) Ejercitativas:

F111AE01

c) Lúdica:

F111AJ01



MODELO MATEMÁTICO L1=100 L2X=50 L2Y=50 L3=210 L4=30 L5X=50 L5Y=50 L6=159 L7=25 L8=100 L9X=50 L9Y=-50 L10=158 L11=100 L12X=50 L12Y=-50 L13=210 L14=25 L15=157 L16=100 L17=-89 L18=160 L19=-80 L20=80 L21=150 L22=90 L23=140 L24=120 L25=60 v=15*t m1 m2 m3



2.3.12.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES En forma trigonométrica, el producto escalar

de dos vectores Ar

y Br

, que forman entre sí un ángulo φ (para lo cual ambos vectores o inician o terminan en el punto común o vérti-ce, figura 1.1.12.1) está dado por:º

φCosABBA =⋅rr

En forma analítica, el producto escalar de dos vectores Ar

y Br

está dado por la su-ma de los productos de los coeficientes de las respectivas componentes rectangula-res; es decir:

zzyyxx BABABABA ++=⋅rr

La operación del producto escalar de dos vectores permite determinar el án-gulo φ formado por los mismos. Para ello utilizamos la definición de producto escalar y de allí despejamos la variable φ:

BABACos 1

rr⋅

= −φ

El producto escalar de vectores es conmutativo, es decir: ABBA

rrrr⋅=⋅

Es distributivo con respecto a la suma, esto es: ( ) CABACBA

rrrrrrr⋅+⋅=+⋅

Un vector A

r multiplicado escalarmente por sí mismo es igual al cuadrado de su

magnitud, es decir: 2AAA =⋅

rr

F i g u r a 1 . 1 . 1 2 . 1




F111BC01 b) Ejercitativas:

F111BE01 c) Lúdica:

F111BJ01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=200 L3=250 L4=250 L5=-200 L6x=6*cos(5*w*t) w=8*t Ax Ay Bx By phi=acos(((Ax*Bx)+(Ay*By))/((#(Ax^2+Ay^2))*((#(Bx^2+By^2)))))



2.3.13.- PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES El producto vectorial (llamado también producto externo o producto cruz de vectores) es una operación cuyo resultado es un vector y cuyo operador es la “cruz de San Andrés”, (×). En forma trigonométrica, el producto vectorial de dos vectores A

r y B

r, que forman

entre sí un ángulo φ (para lo cual ambos vectores o inician o terminan en un mismo punto) está definido de la siguiente manera:

».anteresultvectordelsentidoelindicacualel,garpulelextiendese,vectorsegundodelsentidoelenpuñode

posiciónlahaciaarquealosse,vectorprimerdelsentidoelendedoslosextiendense«:derechamanoladeLey:oditneS

BacomoAaantotlarperpendicu:Dirección

SenABBA:Magnitud

BA

rr

rr

rr

φ=×

=×

Con frecuencia se requiere representar en el papel o en el pizarrón vectores perpendiculares al plano de los mismos; para esto los físicos han ideado los dos si-guientes símbolos: ⊙: vector que sale del plano del papel o del pizarrón hacia el lector. ⊕: vector que entra en el plano del papel o del pizarrón, alejándose del lector. A manera de ejemplo, la figura 1.1.13.1 nos muestra los productos vectoriales: BA

rr× y AB

rr× .

En forma analítica, el producto vectorial de dos vectores A

r y B

r se define co-

mo un determinante de tercer orden, cuya primera fila contiene los vectores unita-rios, cuya segunda fila contiene los coeficientes de las componentes rectangulares del primer vector y cuya tercera fila contiene los coeficientes de las componentes rectangulares del segundo vector, esto es:

F i g u r a 1 . 1 . 1 3 . 1



zyx

zyx

BBBAAAkji

BA

rrr

rr=×

La magnitud del vector resultante del producto vectorial de dos vectores representa el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores. Por ejemplo, para el paralelogramo de la figura 1.1.13.2, su área es: |QP|S

rr×=

El producto vectorial de vectores no es conmutativo, pues al conmutar el orden del producto se invierte el sentido del vector resultante, es decir: ABBA

rrrr×−=×

Sin embargo es distributivo con respecto a la suma:

( ) CABACBA &rrrrrrr×+×=+×

Un vector multiplicado vectorialmente por sí mismo es siempre igual a cero: 0AA =×

rr

F i g u r a 1 . 1 . 1 3 . 2




F111CC01 F111CC02 F111CC03

b) Ejercitativas:

F111CE01 c) Lúdica:

F111CJ01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=250 L3=45 L4=40 L5=100 L6=80 L7=280 L8=-18 L9X=30 L9Y=-30 L10X=30 L10Y=30 L11=90 L12=40 L13=85 L14=350 L15=125 L16=30 L17=100 L18=60 L19=700 L20=-120 L21=80 L22=-80 L23=10 L24=5 L25=15 L26=-30 L27=30 L28=30 L29=20 L30=35 L31=15 L32=-5 if(t<4)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000)and(v12=1000)and(v13=1000)



if(t>4)and(t<10)then(v1=0) if(t>10)and(t<20)then(v2=0) if(t>21)and(t<27)then(v3=0) if(t>27)and(t<33)then(v4=0) if(t>33)and(t<35)then(v5=0) if(t>35)and(t<37)then(v6=0) if(t>37)and(t<38)then(v7=0) if(t>39)and(t<40)then(v8=0) if(t>41)and(t<45)then(v9=0) if(t>45)and(t<46)then(v10=0) if(t>46)and(t<47)then(v11=0) if(t>47)and(t<48)then(v12=0) if(t>48)and(t<50)then(v13=0)



2.3.14.- RESOLUCIÓN VECTORIAL DE TRIÁNGULOS Cuando se conocen las coordenadas de los vértices de un triángulo, es factible re-solverlo haciendo uso únicamente de conceptos u operaciones vectoriales. Por lo tanto ésta es una alternativa matemática interesante. Se procede de acuerdo al siguiente algoritmo: 1- Se dibuja un triángulo de vectores orientados de tal manera que desde uno de los vértices partan dos vectores y a otro de los vértices lleguen dos vectores. Entonces se incluyen los nombres de las incógnitas. 2- Se escriben las ecuaciones analíticas de los vectores-lados. 3- Se determinan las magnitudes de dichos vectores, las cuales representan los va-lores de los lados del triángulo. 4- Mediante el producto escalar se determinan los dos ángulos formados por vecto-res, esto es los correspondientes a los vértices desde los cuales o parten o llegan dos vectores. El tercer ángulo se determina por simple diferencia. 5- Se calcula el área, la cual es la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores que parten o llegan a un mismo vértice.




F111DC01

b) Ejercitativas:

F111DE01

c) Lúdica:

F111DJ01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=280 L3=30 L4=180 L5=150 L6=30 L7=65 L8=100 L9=22 L10=40 L11=33 L12=20 L13=5 L14=10 L15=15 L16=35 L17=55 L18=40 L19=-05 L20=12 L21=15 L22=40 L23=100 L24=47 L25=-38 L26=-05 L27=10 L28=15 L29X=80 L29Y=80 L30=160 L31X=-80 L31Y=80 L32=20 L33=119 L34=60 L35=132 L36=72 L37=262



L38=20 L39=174 L40=20 L41=170 L42=20 L43=35 L44=267 L45=25 L46=331 L47=25 L48=55 L49=270 L50=325 L51X=15 L52X=15 L53=75 L54=200 L55=50 L56=245 L57=50 L58=235 L59=50 L60=125 L61=70 L62=105 L63=15 IF(t<5)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000)and(v12=1000)and(v13=1000)and(v14=1000)and(v15=1000)and(v16=1000)and(v17=1000)and(v18=1000)and(v19=1000)and(v20=1000)and(v21=1000)and(v22=1000) IF(t>5)then(v1=0) IF(t>7)then(v2=0) IF(t>9)then(v3=0) IF(t>11)then(v4=0) IF(t>13)then(v5=0) IF(t>15)then(v6=0) IF(t>16)then(v7=0) IF(t>17)then(v8=0) IF(t>20)then(v9=0) IF(t>23)then(v10=0) IF(t>26)then(v11=0) IF(t>27)then(v12=0) IF(t>30)then(v13=0)



IF(t>33)then(v14=0) IF(t>34)then(v15=0) IF(t>37)then(v16=0) IF(t>40)then(v17=0) IF(t>43)then(v18=0) IF(t>49)then(v19=0) IF(t>54)then(v20=0) IF(t>55)then(v21=0) IF(t>57)then(v22=0)



2.3.15.- COMBINACIÓN DE OPERACIONES CON VECTORES A veces se presentan ejercicios, desarrollos matemáticos, demostraciones o proble-mas que involucran combinaciones de operaciones con vectores. La resolución se la hace poco a poco, de acuerdo a lo que sugieren los signos de agrupación, y avan-zando de izquierda a derecha. Es conveniente hacer, de entrada, un análisis más o menos detenido para conocer de antemano si el resultado final será escalar o vecto-rial.




F111EC01 b) Ejercitativas:

F111EE01

c) Lúdica:

F111EJ01



MODELO MATEMÁTICO L1=10 L2=20 L3=140 L4=160 L5=140 L6=200 L7=60 L8=290 L9X=-70 L9Y=-50 L10=80 L11=-50 L12=85 L13X=70 L13Y=-50 L14=25 L15=230 L16=39 L17=95 L18=20 L19=120 L20=40 L21=700 L22=-118 L23=75 L24=-80 L25=10 L26=-150 L27=-1/2.85*t^2 L28=100 L29=-210 L30=-50 L31=8 if(t<3)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000)and(v9=1000)and(v10=1000)and(v11=1000) if(t>3)and(t<9)then(v1=0) if(t>10)and(t<14)then(v2=0) if(t>14)and(t<15)then(v3=0) if(t>15)and(t<17)then(v4=0)



if(t>17)and(t<18)then(v5=0) if(t>18)and(t<20)then(v6=0) if(t>20)and(t<21)then(v7=0) if(t>21)and(t<23)then(v8=0) if(t>25)and(t<30)then(v9=0) if(t>15)and(t<36)then(v10=0) if(t>38.9)and(t<41)then(v11=0)



2.3.16.- VECTOR ÁNGULO PLANO El ángulo plano es una cantidad vectorial y como tal tiene magnitud, dirección y sen-tido. Hasta esta parte, siempre que hemos hablado de ángulo plano nos hemos refe-rido exclusivamente a su magnitud, la cual se expresa en grados sexagesimales, en grados centesimales o en radianes. El sistema de medición realmente definido en forma matemática es el sistema cíclico y es el que deberíamos utilizar siempre; allí

se define la magnitud del ángulo plano en la forma RS

=φ y se expresa en radianes;

S es el arco de circunferencia y R es el radio de la misma. Vamos ahora a completar la conceptualización del vector ángulo plano. El ángulo plano φ

r es una magnitud vectorial que se define de la siguiente forma:

».planoángulovectordelsentidoelmarcacualelarlgpuelextiende

se;ánguloelaumentaqueensentidoelenpuñoelhacia,dedoslosencorvanse«:derechamanoladeLey:oditneS

.ángulodelplanoallarPerpendicu:DirecciónRS:Magnitud =

=

φ

φ

Por convenio se han aceptado como positivos los ángulos que aumentan en sentido antihorario y como negativos los ángulos que aumentan en sentido horario. Por lo tanto un vector ángulo plano positivo, perpendicular al plano del papel o del pizarrón, está dirigido hacia el lector, en tanto que un vector ángulo plano negativo se aleja del lector. F i g u r a 1 . 1 . 1 6 . 1



Para indicar el sentido en que aumenta un ángulo plano se utiliza una flecha arquea-da con su saeta indicando dicho sentido; en esta forma se hace relación al ángulo plano como vector. Pero si la flecha arqueada no tiene saeta o tiene doble saeta, significa que se hace relación únicamente a la magnitud del vector ángulo plano. La figura 1.1.16.1 muestra dos ángulos, uno positivo y otro negativo, cada cual con su respectivo símbolo.




F111FC01 F111FC02

b) Ejercitativas:

F111FE01

c) Lúdica:

F111FJ01



MODELO MATEMÁTICO

L1=40 L2=25 L3=30 L4=25 L5=60 L6=260 L7=-10 L8=20 L9=-15 L10=12 L11=-2 L12=10 L13=-22 L14=10 L15=15 L16=-3 L17=10 L18=30 L19=-30 L20=90 L21=25 L22=70 L23=25 L24=60 L25=60 L26=680 L27=-120 L28=75 L29=-90 L30=10 L31=10 L32=25 L33=30 L34=70



L35=56 L36=-65 L37=3/2*t L38=-38 L39=3/2*t L40=-40 L41=3*t/2 L42=50 L43=25 L44=70 L45=20 if(t<5)then(v1=1000)and(v2=1000)and(v3=1000)and(v4=1000)and(v5=1000)and(v6=1000)and(v7=1000)and(v8=1000) if(t>13)and(t<15)then(v1=0) if(t>15)and(t<16)then(v2=0) if(t>16)and(t<18)then(v3=0) if(t>18)and(t<19)then(v4=0) if(t>19)and(t<21)then(v5=0) if(t>21)and(t<26)then(v6=0) if(t>27)and(t<33)then(v7=0) if(t>32)and(t<34)then(v8=0)



CONCLUSIONES

Los métodos de enseñanza deben adaptarse a las nuevas exigen-cias tecnológicas y Modellus es precisamente un programa informático acorde a los requerimientos actuales.

El programa Modellus es un programa informático que facilita el aprendizaje de Álgebra Vectorial, en este caso de Elementos de Álgebra Vectorial.

Al desarrollar y utilizar el programa Modellus se crean destrezas y sobre todo se despierta la atención del usuario.

El uso de este tipo de software hace que la comunicación entre profesor-alumno se vea incrementada debido a que se establece un asesoramiento más cercano y continuo.

Con la ayuda de Modellus se pueden crear infinidad de animacio-nes para usar como soporte del aprendizaje, no solo en la parte conceptual, sino en la parte ejercitativa y lúdica.

Las animaciones de Modellus posibilitan el desarrollo de la creati-vidad, el pensamiento, la inteligencia y el razonamiento.



RECOMENDACIONES

Se recomienda que el estudiante o usuario tenga un conocimiento básico acerca del manejo de Modellus antes de usar este software.

Es muy importante y necesario que el maestro que guíe este pro-yecto tenga amplio conocimiento del programa para poder asesorar a sus alumnos.

Si se modifican las animaciones presentes es aconsejable que las modificadas se las guarde con otro nombre para no perder la información de la fuen-te.

Es aconsejable leer detenidamente las indicaciones de cada anima-ción previa a la reproducción de la misma, para lograr el óptimo aprendizaje

Es muy importante que el estudiante revise las animaciones en el siguiente orden: primero conceptuales, seguidas de ejercitativas y finalmente por las lúdicas; al seguir este algoritmo, el usuario podrá tener un aprendizaje significativo.

Es recomendable que la nomenclatura de animaciones e imágenes sea ordenada y que tengan cada una un código propio.



BIBLIOGRAFÍA

AVECILLAS JARA, Alberto Santiago, Física , Estática Cinemática, Colección de obras científico – didácticas, Cuenca-Ecuador.

BLATT, Frank, Fundamentos de Física, III Edición, Prentice Hall.

WEBER, WANNING, WHITE, Física, Editorial Reverté.

ALVARENGA, Máximo, Física General, Editorial Harla.

ALONSO-ROJO, Física, I Tomo, Addison Wesley.

DIRECCIONES EN INTERNET

http://www.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)

http://www.platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/

http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m1_vectores.php

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