Quinta Practica Calificada

UNIVERSIDADNACIONAL DEINGENIERÍA

Facultad De Ingeniería Mecánica

Laboratorio: N°5 (Flexión)

Curso: MC 516-A Calculo por elementos finitos

Profesor: Cueva Pacheco, Ronald

Estudiante: Arroyo Cóndor, Jean Marco Codigo: 20102678K

2013-II

Universidad Nacional de Ingeniería Calculo por elementos FinitosFacultad de Ingeniería Mecánica Flexion

INDICE

Enunciado del Problema....................................................................2

Solución (Modelado de la viga)..........................................................3

Matriz de Rigidez de los Elementos...................................................3

Matriz de Rigidez Local………………….............................................5

Fuerza Total Sometida a la viga........................................................7

Esfuerzos Longitudinales...................................................................8

Diagrama de Flujo..............................................................................9

Uso de Matlab....................................................................................10

Ejecución del Programa.....................................................................12

Conclusiones................................................................................... 15

2


QUINTA PRÁCTICA CALIFICADA

(FLEXIÓN)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por lo menos), y calcular en ellos los esfuerzos debido a la flexión de la misma.

3


Material: Acero estructural A-36E=2.1x10^5 N/mm2

=7.8 gr-f/cm3

-Esfuerzos.- En cada elemento finito de la viga; en un punto genérico ( , y):

Donde “y” es la distancia del punto genérico a la fibra neutra.

1. MODELADO DE LA VIGA

Hacemos el modelado de la viga, en 4 elementos finitos:

4


2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

Para el elemento finito 1:

mm4

Matriz de Rigidez Local:


mm4


5



mm4



mm4

3. MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL:

6


Hallamos las fuerzas que es sometida la viga debido al peso del material:

N/mmN/mm

Hallamos las fuerzas debido a la carga distribuida:

7


4. LA FUERZA TOTAL A LA QUE ES SOMETIDA LA VIGA ES :

Como los desplazamientos Q1, Q2, Q9 y Q10, quedan restringidos a cero, necesitamos encontrar Q3, Q4, Q5, Q6, Q7 y Q8.

8


Obtenemos:

5. LOS ESFUERZOS LONGITUDINALES: Para un punto genérico (z,y), donde zє[-1,1]

Para y=50 mm

Para z=-1

9


Para z=1

Para z=0

6. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: 10


11

INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1:4

Calcula la matriz de rigidez de cada elemento y también la

global.

Calcula desplazamientos, reacciones

Imprime esfuerzos y reacciones.

Para i=1:4

Calcula esfuerzos para e=-1,1

Si ES1<=ES2

Emax=ES2 Emax=ES1


7. USANDO MATLAB

PROGRAMA EN MATLAB

clc;format long;n=input('Ingrese Numero de Elementos Finitos:');e1=input('Espesor de las alas(mm):');e2=input('Espesor del alma(mm):');l1=input('Longitud de las alas(mm):');L=input('Ingrese Longitud de la Viga(mm):');E=input('Modulo de Elasticidad(N/mm2):');yp=input('Ingrese Peso Especifico(N/mm3):');pe=input('Carga Distribuida Externa(N/mm):');disp('MOMENTOS DE INERCIA')for i=1:(n/2) d(i)=(4*(L*(i-1)/n)/15+100+4*(L*i/n)/15+100)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1;endfor i=((n/2)+1):n d(i)=(900-4*(L*(i-1)/n)/15+900-4*(L*i/n)/15)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1;enddisp(I)disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K')k=zeros(2*(n+1),2*(n+1));for i=1:n l=L/n; ke(:,:,i)=E*I(i)/l*[12 6*l -12 6*l; 6*l 4*l*l -6*l 2*l*l; -12 -6*l 12 -6*l; 6*l 2*l*l -6*l 4*l*l]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; k(gl,gl)=k(gl,gl)+ke(:,:,i);enddisp(k)disp('FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL')for i=1:n A(i)=l1*e1*2+e2*(d(i)-2*e1); p(i)=-yp*A(i);end

12


w=zeros(1,2*(n+1));for i=1:n l=L/n; we(:,:,i)=[p(i)*l/2 p(i)*l^2/12 p(i)*l/2 -p(i)*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; w(1,gl)=w(1,gl)+we(:,:,i);endwt=w';disp(wt)disp('FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA')c=zeros(1,2*(n+1));for i=2:3 l=L/n; ce(:,:,i)=[pe*l/2 pe*l^2/12 pe*l/2 -pe*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; c(1,gl)=c(1,gl)+ce(:,:,i);endct=c';disp(ct)disp('FUERZA TOTAL')f=ct+wt;disp(f)disp('DESPLAZAMIENTOS')disp('Q=')kf=k(3:8,3:8);ff=f(3:8,1);qf=inv(kf)*ff;Q=[0;0;qf;0;0];disp(Q)disp('ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)')y=input('Ingrese punto generico a analizar:');z=-1;es1=zeros(n,1);for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1;

13


gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es1(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;enddisp('z=-1')disp(es1)z=1;es2=zeros(n,1);for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es2(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;enddisp('z=1')disp(es2)z=0;es0=zeros(n,1);for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es0(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q;enddisp('z=0')disp(es0)

EJECUCIÓN DEL PROGRAMA

Ingrese Número de Elementos Finitos: 4

Espesor de las alas (mm):13

Espesor del alma (mm):25

Longitud de las alas (mm):100

Ingrese Longitud de la Viga (mm):3000

Modulo de Elasticidad(N/mm2):2.1e5

Ingrese Peso Especifico(N/mm3):76.518e-6

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Carga Distribuida Externa(N/mm):-5

MOMENTOS DE INERCIA 1.0e+008 *

0.33741516666667 2.06373183333333 2.06373183333333 0.33741516666667

MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K 1.0e+017 *

Columns 1 through 4

0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00000113371496 0.00042514311000 0.00042514311000 0.21257155500000 -0.00042514311000 0.10628577750000 -0.00000113371496 -0.00042514311000 0.00000806785392 0.00217515900000 0.00042514311000 0.10628577750000 0.00217515900000 1.51272261000000 0 0 -0.00000693413896 -0.00260030211000 0 0 0.00260030211000 0.65007552750000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 5 through 8

0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00000693413896 0.00260030211000 0 0 -0.00260030211000 0.65007552750000 0 0 0.00001386827792 0 -0.00000693413896 0.00260030211000 0 2.60030211000000 -0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00000693413896 -0.00260030211000 0.00000806785392 -0.00217515900000 0.00260030211000 0.65007552750000 -0.00217515900000 1.51272261000000 0 0 -0.00000113371496 -0.00042514311000 0 0 0.00042514311000 0.10628577750000

15


Columns 9 through 10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00000113371496 0.00042514311000 -0.00042514311000 0.10628577750000 0.00000113371496 -0.00042514311000 -0.00042514311000 0.21257155500000

FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL 1.0e+004 *

-0.01994250375000 -2.49281296875000 -0.05423213250000 -1.79339062500000 -0.06857925750000 0 -0.05423213250000 1.79339062500000 -0.01994250375000 2.49281296875000

FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA 0 0 -1875 -234375 -3750 0 -1875 234375 0 0

FUERZA TOTAL 1.0e+005 *

16


-0.00199425037500 -0.24928129687500 -0.02417321325000 -2.52308906250000 -0.04435792575000 0 -0.02417321325000 2.52308906250000 -0.00199425037500 0.24928129687500

DESPLAZAMIENTOSQ= 1.0e-006 *

0 0 -0.06887011717571 -0.00007462641465 -0.10005353989168 -0.00000000000000 -0.06887011717571 0.00007462641465 0 0

ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)Ingrese punto generico a analizar: 50

z=-1 1.0e-005 *

0.56239135133738 -0.06865358764229 -0.14030037338828 -0.35343739030681

z=1 1.0e-005 *

-0.35343739030681 -0.14030037338828 -0.06865358764229 0.56239135133738

z=0

17


1.0e-005 *

0.10447698051528 -0.10447698051528 -0.10447698051528 0.10447698051528

8. CONCLUSIONES :

Las matrices que se analizan en estos sistemas son de orden muy elevado, por

tal razón es necesario utilizar un lenguaje de programación que nos permita

manejar las variables con mayor flexibilidad y poder generalizar el método de

análisis.

El análisis de viga de sección variable es la generalización del análisis de una

viga se sección constante.

El vector desplazamiento es desarrollado en base a la conectividad de los

elementos, por ello es importante manejar una tabla de conectividad ordenada y

secuencial.

En este caso de viga se sección variable era de esperarse que cada elemento

tuviera 4 grados de libertad.

Cada elemento de la viga está sujeto a fuerzas y un momento; las fuerzas que

pueden ser de compresión o tensión directa mientras los momentos son de

flexión.

Como es propio de la viga, en este caso todas las cargas son aplicadas en los

nodos, además los cálculos se realizan despreciando la fricción en los nodos.

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