¿Quién dijo que las matemáticas eras áridas, aburridas, complicadas?Esta antología de acertijos creados por unmaestro indiscutible en estearte es una continua invitación a pensar, deducir y divertirse.SamLoyddedicóbuenapartedesuvidaalosacertijosmatemáticos.Cuandomurió,suhijo recopiló laobradesupadreenunamonumentalenciclopediadeacertijos, de la que Martin Gardner ha seleccionado los mejores. Loydempezócomoajedrecistaycreadordeproblemasdeajedrez, temaqueendeterminadomomentodejódeinteresarley,talcomocuentaGardnerenelprólogo,«suatenciónseconcentróen losacertijosmatemáticosyen objetos promocionales novedosos, ideándolos con una gracia y unaoriginalidadquenuncafueronsuperadas».BienvenidosalfabulosomundodeSam loyd, a sus endiablados y divertidísimosproblemasdeálgebra,geometríaylógica.

SamLoyd

LosacertijosdeSamLoydRecopiladosporMartinGardner

ePubr1.2koothrapali06.07.15

Títulooriginal:MathematicalpuzzlesofSamLoydSamLoyd,1959Traducción:MirtaRosenbergDiseñodecubierta:koothrapali

Editordigital:koothrapaliRetoquedeimágenes:PiolinCorreccióndeerratas:ElBeniePubbaser1.2

Introducción

SamuelLoyd,elmásgrandecreadordeacertijosdelosEstadosUnidos,nacióen Filadelfia el 30 de enero de 1841. Tres años más tarde su padre, unacomodadoagenteinmobiliario,seestablecióenNuevaYork,dondeSamasistióa la escuela hasta los diecisiete años. Era un joven alto, delgado, silencioso eindividualista, hábil en artes tan curiosas como los conjuros, la mímica, elventrilocuismo,elajedrezyelrecorterápidodesiluetasenhojasdepapelnegro.Lospropósitosdecursar la carrerade ingeniería civil se evaporaronamedidaquecrecíasuinterésenelajedrez.

BertrandRussellseñalóenunaoportunidadquea losdieciochoañosestabatanapasionadoporelajedrezqueseobligóaabandonarlo,pues,deotromodo,jamásharíaningunaotracosa.SiLoydhubiera tomadounadecisiónsimilar, talvez hubiese sido un eminente ingeniero, pero en ese caso el mundo se habríaempobrecidoenotroaspecto,yaquelamatemáticarecreativa(delaquesepuededecirqueincluyeelajedrezytambiénlosacertijosmatemáticos)esunaformadejuegointelectual,¿yquiénseatreveríaaafirmarqueeljuegoesmenosesencialalavidaquelosmisilesdirigidosolabombaatómica?

Samaprendióajugaralajedrezalosdiezaños.Aloscatorcesepublicósuprimerproblemadeajedrez,enelNewYorkSaturdayCourier,el14deabrilde1855,yenpocosañosselereconocíacomoelmejorcompositordeproblemasdeajedrez de todo el país. En esa época existía un enorme interés popular en elajedrez, y los periódicos publicaban regularmente una columna con problemasenviados por los lectores. Loyd colaboró con casi todas las publicaciones,ganando premio tras premio gracias a sus ideas ingeniosas y pococonvencionales.En1857,cuandoteníadieciséisaños,seconvirtióenelredactorde la sección de problemas del Chess Monthly, dirigido entonces por Paul

MorphyyD.W.Fiske. (Con frecuenciaFiskeadornaba losproblemasdeLoydconcuentosyanécdotaspocousuales,técnicaquemástardeLoydutilizócongranefectividadenlapresentacióndesusacertijosmatemáticos).Enañosposteriores,Loyd condujo otras columnas de ajedrez en diarios y revistas, incluyendo unapágina semanal que apareció durante un tiempo en el Scientific AmericanSupplement. Normalmente, él mismo era su mejor colaborador, ocultando suidentidadtrasseudónimostalescomoW.King,A.KnightyW.K.Bishop.

AunqueLoydaceptabaquelosmejoresproblemasdebíanserdeuntipoquefuera posible en el juego real, su virtuosismo hallaba frecuente expresión enproblemasquesólopuedenserdescritoscomofantásticos.Explotabantodaslastretas concebibles: las soluciones dependían de capturas al paso, un mate en«mediomovimiento» que requería completar el enroque, problemas en los quehabíaqueretractarsedeunmovimientoantesdelmate,oforzarunmateencontra,ohacerunmateconelauxiliodelcontrincante.Sedeleitabaconproblemasenlosque laspiezas formabanpeculiaresdiseñosgeométricosenel tablero,números,letrasoinclusoretratosdeobjetosyanimales.LosamigosdeLoydquejugabanalajedrez solían recibir, enviada por Loyd, una tarjeta de felicitación con unproblemadeajedrezqueformabasusinicialesomonograma.

En una oportunidad, Loyd anunció en una de sus columnas que habíadescubiertounmétodoenelqueuncaballoydostorrespodíandarmateaunreysolitario en el centro del tablero. Los lectores se enfurecieron al principio, yluego resultaron muy divertidos cuando Loyd finalmente reveló su absurdasolución:

Desafortunadamente, Loyd no se destacó en los torneos de ajedrez, aunqueocasionalmente ganó alguna partida con una combinación brillante. Durante untorneoenParís,en1867,anuncióunmateenochomovimientos,ytrasexplicarlocuidadosamente, su contrincante abandonó. Más tarde se descubrió que elcontrincante no sólo tenía una «salida», sino que… ¡en realidad tenía unaexcelenteposibilidaddeganar!Losjueces,sinembargo,dieroncomoganadoraLoyd, ya que su oponente había aceptado el pseudo-mate.Después de 1870, elinterésdeLoydporelajedrezempezóadesvanecerseysuatenciónseconcentróen losacertijosmatemáticosyenobjetospromocionalesnovedosos, ideándoloscon una gracia y una originalidad que nunca fueron superadas. En su juventudhabía ideado un rompecabezas de piezas de cartón llamado «Los asnosengañosos»,quefueungranéxito.P.T.Bamumlodistribuyópormillones,ysedicequeeljovenLoydganómuchosmilesdedólaresenpocassemanas.Empezóentoncesadedicarsemásymásaacertijossimilares,deampliointerésgeneralygranvalorcomercial.Suacertijo«rompecabezas14-15»fueunalocuranacional,tantodentrodeEstadosUnidoscomoenelexterior.Su«Caballodeotrocolor»tambiénsevendiópormillones,al igualqueunsimplerompecabezasmecánicoconbolas de acero debajo de un vidrio que se llamaba«Cerdos en el trébol».Muchos de sus rompecabezas de cartón eran impresos por él mismo en unapequeñaimprentaqueposeíaenElizabeth,NuevaJersey.

Unodelosobjetospromocionalesdemayorpopularidadactualmenteesotra

creacióndeLoyd:unlápizconunpequeñolazodehiloenunapunta.Siseloatade cierta manera al ojal de la solapa de la víctima, a ésta le resultaextremadamentedifícilquitárselo.Elparchesi,laadaptaciónquehicieraLoyddeltradicional juego hindú del mismo nombre, sigue siendo popular en EstadosUnidos.Lahistoriadelorigendel juegoes interesante.Unempresario llamóundía a Loyd, diciéndole que había comprado una gran cantidad de cuadradoscoloreadosdecartón,yquedeseabautilizarlosenalgúntipodejuegoquepudieravenderseenlacalleporunpreciobajo.Loydinvirtiótanpocoesfuerzoenidearel juego que se negó a cobrar por él, pero la empresa insistió en pagarle diezdólares por su tiempo. Eso fue todo lo que recibió, aunquemás tarde el juegoprodujoenormesbeneficiosasusdiversosfabricantes.

En 1896 Loyd patentó la más notable de sus invenciones mecánicas, sufamoso «Borrado de la faz de la Tierra». Trece guerreros chinos aparecendispuestossobreelbordedeuncírculodecartóngiratorio.Girandolevementeelcírculoselograqueunodelosguerrerosdesaparezca.¿Cuálguerrerodesaparecey, adónde está? Millones de estos juegos fueron distribuidos como regalospublicitariosen1896.Duranteelañosiguientesedistribuyeronotrosmillones(deuna variación llamada «El japonés perdido») por obra de laMetropolitanLifeInsuranceCompany,conveintepremiosqueoscilabanentreloscincoylosciendólaresparaquienesdieran lasmejores explicacionesenel términodeunaño.Unavariantemástardía,«Teddy,ylosleones»,fueproducidoporLoyden1906.

Durante ladécadade1890,LoydescribióunacolumnadeacertijosparaelBrookDailyEagle,ydesdeprincipiosdeestesiglohastasumuerte,acaecidaen1911,suscolumnasdeacertijosaparecieronennumerososperiódicosyrevistas.SupáginamensualenelWoman’sHomeCompanionsemantuvodesde1904hasta1911.CuandoLoydmurió,el10deabrilde1911,suhijoSamuelLoydJr.siguióeditando las columnas de acertijos de su padre bajo el nombre de Sam Loyd.Duranteeltranscursodesuvida,Loydpadrehabíapublicadounsololibro,ChessStrategy(EstrategiadeAjedrez),queimprimióélmismoensuimprentadeNuevaJersey.Perodespuésdesumuerte,suhijopublicóunnúmerodecoleccionesdelos acertijos de Loyd. La más importante fue una gigantesca Cyclopaedia ofPuzzles,publicadaprivadamenteen1914.EstaCyclopaediaeraresultadodeuntrabajopresurosoeimprovisado;estabacolmadadeerrores,respuestasomitidasy fallos tipográficos; no obstante, sigue siendo actualmente la más excitantecoleccióndeacertijosjamásreunidaenunsolovolumen.

De ese fabuloso tomo, ya hace mucho agotado, se han extraído todos los

notablesacertijosqueaquíofrecemos.Nosesabedequiénsonlosdibujos,peroel textode laCyclopaediaoriginales,encasi todos loscasos,unareimpresiónliteraldelasprimerasColumnasqueLoydpadrehicieraendiariosyrevistas.Eltextoha sidocorregidopara lograrprecisiónyclaridad,perodemanera taldepreservar el estilo y el regusto histórico del original. He agregado algunoscomentariosentreparéntesisenciertoscasos.

MuchosacertijosdelaCyclopaediadeLoydsonsimilaresalosqueaparecenen los libros de Henry Ernest Dudeney (1857-1931), el famoso experto enacertijos inglés.Enalgunoscasos,esposibledecirconcertezaqueDudeneyseinspiróenLoyd;enotroscasos,quefueLoydquienseinspiróenDudeney.

Latareaderastrearlaprimerapublicacióndecadaacertijoes,sinembargo,tanformidable,quenopodemosdecircuáldeambosexpertossebasóenelotro.Existióconsiderablerivalidadentreambosmientraslosdosestabanenactividad(en toda la Cyclopaedia sólo se menciona una vez el nombre de Dudeney), yaparentemente ninguno de los dos vaciló en apropiarse y modificar lasinvenciones del otro. Por añadidura, ambos se basaron en fuentes comunes:acertijostradicionalesalosquelesimprimíanunnuevogiro,ynuevosacertijosdeorigenanónimoquepasabandeunapersonaaotraalamaneradelasbromasyretruécanos.

Los acertijos reeditados aquí son sólo una parte de los que contiene laCyclopaedia. He limitado la selección a los acertijos matemáticos (laCyclopaedia contienemiles de adivinanzas y juegos de palabras), eligiéndolossegún un criterio de variedad e interés contemporáneo. Si este libro es bienrecibido,talvezlesucedaotraseleccióndelamismafuente.

MartinGardner

1PROBLEMASDEARITMÉTICAY

ÁLGEBRA

1.1.Dospavos

«Juntosestosdospavospesanveintelibras»,dijoelcarnicero.«Cadalibradelmáspequeñocuestadoscentavosmásquecadaunadelasdelmásgrande».

LaseñoraSmithcompróelmáspequeñopor82centavos,ylaseñoraBrownpagó$2.96porelpavogrande.¿Cuántopesabacadauno?

RESPUESTA

Elpavograndepesabadieciséislibras;elpequeño,cuatrolibras.

1.2.DeBixleyaQuixley

He aquí un bonito problema que seme ocurrió durante un viaje de Bixley aQuixley,quehicea lomosdemula.LepreguntéadonPedro,elguíanativoquecaminaba delante demí llevando amimula de las riendas, si mi cabalgadurapodíaavanzaraotropaso.Medijoquesí,queteníaqueandarmuchomáslento,por loqueproseguímiviajeavelocidaduniforme.ParaestimularadonPedro,responsabledemiúnicopoder impulsor, ledijequeentraríamosenPixleyparatomaralgúnrefresco,yapartirdeesemomentoélnopudopensarenotracosamásqueenPixley.

Cuando llevábamos cuarenta minutos de viaje le pregunté cuánto caminohabíamosrecorrido,DonPedroreplicó:«LamitaddeladistanciaquehayhastaPixley».

Cuando habíamos cubierto siete millas más, pregunté: «¿Qué distancia hayhastaQuixley?».Mecontestó,comoantes:«LamitaddeladistanciaquehayhastaPixley».

Llegamos aQuixley enotrahoradeviaje, loqueme induce apedirlesquedeterminenladistanciaquehayentreBixleyyQuixley.

RESPUESTA

LarespuestadeLoydutilizalosdosintervalosdetiemposuministradosenelplanteodelproblema,pero talcomoseñalaRonaldC.Read,deKingston,Jamaica, estos intervalos no sonverdaderamente necesarios para resolver elproblema.Supongamosquexseaelpunto(entreBixleyyPixley)enelqueseformulalaprimerapregunta,eyelpunto(entrePixleyyQuixley)endondeseformulalasegundapregunta.Ladistanciadesdexay,senosdice,es7millas.ComoladistanciadesdexaPixleyes2/3deladistanciaentreBixleyyPixley,yladistanciadesdeyaPixleyes2/3deladistanciaentrePixleyyBixley,sedesprendequeladistanciaentrexey,o7millas,es2/3deladistanciatotal.Estohacequeladistanciatotalseade10millasy1/2.

[M.G.]

1.3.Regateandoenmanila

¿Cuántopierdeelabastecedor?

El comerciodelcáñamoosogadeManila, la industriamás importantede lasislas Filipinas, está controlado en gran medida por exportadores chinos queenvían por barco estos productos a todas partes del mundo. Los pequeñoscomerciantes son japoneses que se caracterizan por una peculiar manera deconducirelnegocio,especialmentesupropionegocio.Lacarenciadeunamonedaestablecidaodepreciosfijosconviertecadatransacciónenunacontienda.

El siguiente acertijomuestra cuál es lamanera habitual de cerrar un trato.Omitiendo la lengua vernácula, diremos que un marinero chino entra en unalmacéndesogasypregunta:

—«¿Puedeustedindicarmedóndehayunnegociorespetablequevendabuenasoga?».

Elcomerciantejaponés,tragándoseelinsultoimplícito,dice:—«Yo sólo tengo la mejor, pero la peor de las que tengo es seguramente

mejorquelaqueusteddesea».

—«Muéstreme lamejor que tenga. Puede servirmehasta que encuentre otramejor.¿Cuántopideustedporlasogagruesa?».

—«Sietedólareselovillodecienpiesdelongitud».—«Una soga demasiado larga y demasiado dinero. Jamás pago más de un

dólarporunabuenasoga,yéstaestápodrida».—«Soga común» —replica el comerciante, señalando el sello intacto que

garantiza la longitudy lacalidad—.«Si tieneustedpocodinero, llévese loqueprecisepordoscentavoselpie».

—«Corte veinte pies» —dice el marinero, y ostentosamente extrae unamonedadeorodecincodólaresparademostrarquepuedepagar.

El abastecedor mide veinte pies con un exagerado despliegue de ansiedaddestinado a mostrar al marinero su preocupación por medir con exactitud. Elmarineroadvierte,noobstante,quelavarademedir,supuestamentedeunayardadelargo,tienetrespulgadasdemenos,yaquehasidocortadaenlamarcadelas33pulgadas.Demodoquecuandolasogaestácortada,señalalapartemáslargaydice:

—«Mellevaréestosochentapies.No,noesnecesarioquemelosenvíe.Yolos llevo». —Después arroja la falsa moneda de cinco dólares, que elcomerciante va a cambiar al negocio vecino. En cuanto recibe la vuelta, elmarinerosemarchaconlasoga.

Elacertijoconsisteendecircuántohaperdidoelabastecedor,suponiendoqueselereclamequerepongaporunabuenalamonedafalsa,yquelasogacostaraverdaderamentedoscentavoselpie.(Serecuerdaque1yarda=36pulgadasy1pie=12pulgadas).

RESPUESTA

Losprimeros18piesdesogaquemidióelabastecedortienen3pulgadasdemenosporcadayarda,ountotalde1piey1/2demenos.Nadasepierdeenlosdosúltimospies,yaquelavarademedirsóloesmáscortaenunextremo.Porlotanto,elabastecedordaalmarinero81piesy1/2desoga,quea2centavoselpiehaceun totalde$1,63.Porestacantidad recibe$1,60 (80piesa2centavoselpie),queleespagadoconunamonedafalsadecincodólares.Elabastecedorledaalmarinero$3,40devuelta.Estosumadoasupérdidade$1,63de la soga,haceunapérdidatotalde$5,03.Elhechodequeunvecinolehayacambiadoeldinerofalsonotienenadaqueverconsusgananciasopérdidas.

1.4.¿Cuálfuelaganancia?

Uncomerciantevendióunabicicletapor$50,despuésvolvióacomprarlapor$40,ganandoclaramente$10,yaqueteníalamismabicicletayademás$10.Trashaberlacompradopor$40, la revendiópor$45,ganandoasí$5más,o$15entotal.

«Pero»,diceuncontable,«elhombreempiezaconunabicicletaquevale$50,¡yalconcluirlasegundaventasólotiene$55!¿Dequémodopuedehaberganadoentoncesmásde$5?Laventadelabicicletaa$50esunmerointercambioquenoarrojaganancianipérdidas,perocuandolacompraa$40ylavendea$45,gana$5,yesoestodo».

«Yoafirmo»,diceuntenedordelibros,«quecuandolavendea$50yvuelvea comprarla a $40 ha ganado con toda claridad $10, porque tiene la mismabicicleta y además $10, pero cuando la vende a $45 es cuando hace esemerointercambiodelquehablamos,elquenoarrojaganancianipérdidas.Estehechonoafectasuprimeraganancia,porloqueresultaclaroquehaganadoexactamente$10».

Es una simple transacción que cualquier escolar de primer grado podríaresolver mentalmente y, sin embargo, ¡nos enfrentamos con tres respuestasdiferentes!Ensuopinión,¿cuáleslaacertada?

RESPUESTA

El problema tiene solución ambigua, a menos que uno sepa cuánto habíapagadooriginariamente el comerciante por esa bicicleta.Comoeste dato no sesuministra, el problema no puede resolverse de ninguna manera que resultesatisfactoria.

1.5.Elbaratillo

Aldescribirsusexperienciasenunbaratillo,Smithdicequegastólamitaddesu dinero en treinta minutos, de modo que le quedaron tantos centavos comodólares tenía antes, pero la mitad de dólares de los centavos que antes tenía.Ahorabien,¿cuántogastó?

RESPUESTA

Smithdebehaberempezadocon$99,98,ygastó$49,99

1.6.Lacarreradelgatoyelperro

¿Quiéngana,elperrooelgato?

Hace muchos años, cuando el Circo Bamum era verdaderamente «El MayorEspectáculo delMundo», el famoso dueñome pidió que preparara para él unaserie de acertijos con premio para fines publicitarios. Fueron muy conocidoscomoLas preguntas de la Esfinge, a causa de los grandes premios ofrecidos acualquieraquepudieraresolverlas.

Bamumestabaparticularmentecomplacidoconelproblemadelacarreradelgato y el perro, e hizo saber por doquier que un primero de abril daría larespuestayentregaríalospremioso,talcomoélmismoexpresara:«yanohabríamásgatoencerradosinoliberado,parabeneficiodelosmásinteresados».

Elacertijoestabaanunciadoasí:«Un gato y un perro entrenados corren una carrera de cien pies y luego

regresan.Elperroavanzatrespiesacadasaltoyelgatosólodos,peroMarleneda tres saltosporcadadosdeTerry.Ahorabien, enestas condiciones, ¿cuálessonlosposiblesresultadosdelacompetición?».

Elhechodequelarespuestasehicierapúblicaelprimerdíadeabril(«Día

de tontos», en la tradición norteamericana), y la astuta referencia a «liberar algato de su encierro», fue suficiente para insinuar que el gran showman teníaalgunaextrañarespuestaenlamanga.

RESPUESTA

Gana el gato, por supuesto. Tiene que dar exactamente 100 saltos pararecorrer esa distancia y regresar. El perro, por el contrario, está obligado arecorrer102piesyregresar.Susaltonúmerotreintaytreslollevaalamarcadelos99pies,por loqueselehacenecesariounsaltomás,quelo llevedospiesmásalládelaúltimamarca.Entotal,elperrodebedar68saltospararecorrereltrayecto.Pero como salta con2/3 de la velocidaddel gato, cuando éste últimocompletalos100saltoselperronollegaalos67.

PeroBamumteníaunasenlamanga.SupongamosqueelgatosellamaTerry,y que el perro fuera una perra de nombreMarlene. La frase «Marlene da tressaltosporcadadosdeTerry»significaríaentoncesqueelperrorecorrería9piesal tiempo que el gato avanzaría sólo 4. Así, mientras el perro terminaría lacarreraen68saltos,elgatosólohabríarecorrido90piesy8pulgadas.

Estemismo acertijo despertó considerable irritación en Londres, cuandoHenryDudeneylopublicarael1deabrilde1900,enTheWeeklyDispatch.Laversión de Dudeney, una carrera entre un jardinero (mujer) y un cocinero(hombre) puede hallarse en la obra Amusements in Mathematics, problema428.

[M.G.]

1.7.Elhombredelaazada

Demuestrecómodividieronsusgananciaslosdoshombres.

El siguiente acertijo, muy simple, está tan despojado de dificultadesmatemáticas que vacilo en presentarlo. Sin embargo, al igual que el celebradopoemadeEdwinMarkham,creoqueabreelcaminoainteresantesdiscusiones.

Parece ser que, a cambio de cinco dólares, Hobbs y Nobbs accedieron aplantaruncampodepatatasparaelgranjeroSnobbs.Nobbspuedesembrarunafila de patatas en cuarenta minutos y cubrir el surco con la misma velocidad.Hobbs, por suparte, puede sembraruna fila en sóloveinteminutos, pero en eltiempoqueélcubredossurcos.Nobbscubretres.

Suponiendoqueamboshombres trabajenconstantementehasta sembrar todoelcampo,cadaunodeellossembrandoycubriendolosuyo,ysuponiendoademásqueelcampoconsisteendocefilascomolomuestralailustración,¿cómohabría

que dividir los cinco dólares para que cada uno de los hombres recibiera lacantidadproporcionalalatareacumplida?

RESPUESTA

SiNobbs puede plantar una fila de patatas en cuarentaminutos, le llevaría240 minutos completar las seis filas. Como las cubre a la misma velocidad,terminaríaconsuparteen480minutos,esdecir,en8horas.Hobbs,trabajandoenlasotrasseisfilas,lasplantaríaen120minutos(unafilacadaveinteminutos),ylascubriríaen360minutos,haciendountotalde480minutos,esdecir,8horas.Cadaunode los hombres realizará elmismo trabajo en las ochohoras que lesllevarácompletarlasiembradetodoelcampo,demodoqueacadaunodeelloslecorresponderá$2,50.

1.8.Negociandopollos

Ungranjeroysubuenaesposaestánenelmercadoparanegociarsusavesdecorral por ganado, sobre la base de que ochenta y cinco pollos equivalen a uncaballoyunavaca.Sesuponequecincocaballostienenelmismovalorquedocevacas.

«John», dijo la esposa, «llevemos otros tantos caballos como los que yahemos elegido. Entonces tendremos tan sólo diecisiete caballos y vacas quealimentarduranteelinvierno».

«Creoquedeberíamos tenermásvacasqueésas», replicó su esposo.«Másaún,creoquesiduplicamoselnúmerodevacasquehemoselegido,tendríamosentotaldiecinuevevacasycaballos,ytendríamoslacantidadexactadepollosparahacerelcanje».

Estasimplegentedelcamponadaconocíadeálgebra,ysinembargosabíanen detalle cuántos pollos tenían y qué número de caballos y vacas podríanconseguirporellos.

Pedimosanuestros aficionadosquedeterminen, apartir de losdatosdadosaquí,cuántospollosllevaronalmercadoelgranjeroysuesposa.

RESPUESTA

Enelacertijodelcomerciodepollosresultaevidenteparacualquiergranjeroque una vaca vale 25 pollos, y un caballo vale 60. Ya deben haber elegido 5caballosy7vacas,quevalen475pollos,ycomotienenlosuficientecomoparaconseguir7vacasmás,lequedan175pollos,loqueharíauntotalde650.

1.9.Elcoronelquejugabaalajedrez

Durante mi visita a san Petersburgo conocí a Tschigorinsky, el expertoajedrecista ruso, quien me dijo que al comienzo de las hostilidades ruso-japonesas,selodesignócomandantedeunadivisióndelejércitodondehabía20regimientosencontinuoprocesodeformación,yaqueseagregabansemanalmente100hombresacadaregimiento.Elúltimodíadecadasemana,elregimientoqueteníamayorcantidaddehombreseraenviadoalfrente.

Ocurrióqueenelmomentoenqueelprimerregimientotenía1000hombres,el segundo 950, el tercer 900, y así sucesivamente, disminuyendo 50 hombreshastaelvigésimo,quesólo tenía50,elgeneralTschigorinsky,descubrióqueelcoroneldelquinto(quetenía800hombres)eraungranjugadordeajedrez.Así,conelobjetode impedirque lomandaranal frente,hechoqueseproduciríaencincosemanasmás,leagregósólo30hombrescadasemanaenvezdelos100queseasignabanacadaunodelosotrosregimientos.

Suponiendoquehayapermanentementeveinteregimientosformándose,¿puededecir cuántas semanas pasaron antes de que nuestro coronel ajedrecista fueraenviadoalfrente?

RESPUESTA

ElQuintoRegimiento será pasado por los otros 19 regimientos, dejando aljugador de ajedrez con 1.370 hombres en su regimiento.Requerirá 18 semanasmás, agregando 30 hombres por semana, para que este regimiento pase de los1.900hombresahoranecesarios;demodoque37semanas,con1.910hombreseslarespuestacorrecta.

1.10.LacadenadelrelojdelTíoSam

¿Cuántascadenasderelojpuedenhacerseconlascincopiezas?

Elotrodíameenseñaronunacuriosacadenadereloj,diseñadasegúnlaviejacostumbre de llevar una ristra de monedas unida a un reloj. Esta cadena enparticularconsistíaencuatromonedasylaefigiedeunáguila.Lasmonedas,talcomo se ve en la ilustración, tenían respectivamente cinco, cuatro, tres y dosperforaciones, de modo que los eslabones que las unían podían haber sidosituadosdemanerasdiferentes,suministrandounavariedaddediseños.

Estaparticularidaddepoderproducirunaseriedecadenasdereloj,conunaristradecuatromonedasuniendoelrelojconeláguila,diolugaraunadiscusiónacercadelnúmerodedisposicionesposiblesdiferentesquepueden lograseconlascincopiezas.¿Quéopinausted?

RESPUESTA

Losmatemáticos y los aficionados que se deleitan con losmisterios de laspermutacioneshan calculadoque sepuedenhacer alrededorde92.160cadenasdiferentesconlascuatromonedasyeláguilacolgante,sinquedosdeellasseaniguales.

Esevidentequelamonedagrandepuedesersuspendidadecualquieradelos5agujeros,yconcualquieradelas2carasmirandoalfrente,loqueadmitiría10variantesposibles.Comoel centavopuede ser colocado en8posiciones, estasdosmonedassolasrepresentarían80combinacionesque,multiplicadasporlas6posiciones del penique, y por las 4 variantes de la otra y las 2 posiciones deláguila,demuestranqueenelordendetamañosenelqueahoraestánenhebradaspodría haber 3.840 cambios. Como existen 24 variantes a partir de la simplevariaciónenelordendelasmonedas,3.840veces24da92.160comorespuestacorrectaaesteacertijo.

1.11.Elmaestroexcéntrico

Heaquíunnotableproblemadeedadesqueestoysegurodivertiráalosjóvenesyabrirá,almismotiempo,unanuevalíneaderazonamientoaalgunossabiondosquehanhechodelcálculoestadísticosuespecialidad.

Parecequeunmaestroingeniosooexcéntrico—yaquedeamboscasospuedetratarse—,deseosodereunirciertonúmerodealumnosmayoresenunaclasequeestaba formando, ofreció dar un premio cada día al bando demuchachos o demuchachascuyasedadessumaranmás.

Bien,elprimerdíasóloasistieronunmuchachoyunachica,ycomolaedaddelmuchachoduplicabaladelachica,elpremiofueparaél.Aldíasiguiente,lachica llevó a su hermana al colegio. Se descubrió que sus edades combinadaseraneldobleque ladelmuchacho,demodoqueambaschicascompartieronelpremio.Cuando la escuela se abrió al día siguiente, sin embrago, elmuchachohabíareclutadoaunodesushermanos.Sedescubrióquelasedadescombinadasde ambos duplicaban las edades de las dos chicas, así que los muchachos sellevaronesedíatodosloshonoresydividieronelpremio.

LaluchaempezóacaldearseentoncesentrelasfamiliasJonesyBrowm,porlo que al cuarto día las dos chicas aparecieron acompañadas de su hermanamayor,demodoqueesedíacompitieronlasedadescombinadasdelastreschicascontralasdelosmuchachos.Porsupuestoqueellasganaronestavez,yaquesusedadesenconjuntoduplicabana lasde losdosmuchachos.Labatalla continuóhastaquelaclasesecolmó,peronoesnecesarioquenuestroproblemavayamásallá.Deseamossaberlaedaddeaquelprimermuchacho,sabiendoquelaúltimachicaseunióalaclaseeldíadesuvigésimoprimercumpleaños.

Es un acertijo simple pero hermoso, que requiere más ingenio queconocimientos matemáticos, y fácilmente descifrable por medio de métodostípicosdetodoslosacertijos.

RESPUESTA

Laprimeraniñateníasólo638díasdeedad,yelmuchachoeldoble,esdecir,1.276 días. Al día siguiente la niñamás pequeña tendría 639 días, y la nuevarecluta1.915días, totalizando2.544días, loqueduplicaría laedaddelprimerchicoquien, conundíamás, tendría 1.277.Al día siguiente el chico, de1.278días de edad, trae a su hermanomayor, que tiene 3834 días, demodo que susedadescombinadassuman5.112días,justoeldobledelaedaddelaschicas,queenesemomentotendrían640y1.916,esdecir,2.566días.

Llegamosa los7.670díasde la siguientemanera.La jovenha llegadoa suvigésimoprimercumpleaños,porloque21veces365de7.665,más4díasporcuatroañosbisiestosy1díaextraqueeseldesuvigésimoprimercumpleaños.

Losquesupusieronquelaedaddelchicoera3añosy1/2pasaronporaltoelhechodeaumentarlaedaddelosalumnosdíaadía.

1.12.Elacertijodeltirodecuerda

¿Québandoganarálaúltimaprueba?

¿Québandoganarálaúltimaprueba?

1. Elcuartetodechicosfuertesigualalafuerzadelashermanasrollizas.2. Dos hermanas rollizas y un chico fuerte no se quedan atrás contra las

gemelasesbeltas.3. Lasgemelasesbeltasy treshermanas rollizascontraunahermana rollizay

cuatromuchachosfuertes.¿Quiénganará?

RESPUESTA

La fuerza combinada de los cuatro chicos fuertes iguala el de las cincomuchachas rollizas. Como la segunda ilustración muestra que las mellizasdelgadas igualan a un chico fuerte y dosmuchachas rollizas, simplificamos lascosas en la tercera ilustración cambiando a las dos mellizas esbeltas por suequivalenteenfuerza,demodoquelassustituimosporunchicofuerteylasdosmuchachasrollizas.

Gracias a este cambio, tenemos ahora en el tercer cuadro cincomuchachasrollizas y un chico fuerte compitiendo contra una chica rolliza y cuatro chicosfuertes.Despuésquitamoscincochicasrollizasdeunladoycuatrochicosfuertesdelotro,yaqueelprimercuadronosdemuestraquelafuerzadeestosdosgruposesigual.Estodejaaunachicarollizaaladerecha,oponiéndoseaunmuchacho,loquepruebaqueelequipode la izquierdadel tercercuadrodeberíaganar,yaquetieneunquintodelafuerzadeunchicomásqueelotroequipo.

1.13.Lastresnovias

El viejo Moneybags hizo saber que daría a cada una de sus hijas una doteequivalentea supesoenoro,demodoquecon toda rapidezestasconsiguieronpretendientesadecuados.Todassecasaronelmismodíay,antesdeserpesadas,todascomieronunatartadebodasextremadamentepesada,loquealegrómuchoalos novios. En conjunto, las novias pesaban 396 libras, peroNellie pesaba 10libras más que Kitty, y Minnie pesaba 10 libras más que Nellie. Uno de losnovios,JohnBrown,pesabatantocomosunovia,entantoWilliamJonespesabaunavezymediaelpesodesunovia,yCharlesRobinsonpesabaeldoblequesunovia. Las novias y los novios, en conjunto, pesaban 1000 libras. El acertijoconsiste endecir losnombres completosde cadaunade lasnoviasdespuésdequesecasaron.

RESPUESTA

Losnombresdecasadasde las tresnoviassonKittyBrown,NellieJonesyMinnieRobinson.Kittypesaba122,Nellie132,yMinnie142libras.

1.14.Diamantesyrubíes

Deduzcaeltamañodelasdospiedrasquefueroncambiadasporunpardearos.

Valelapenasaberqueelvalordelosdiamantesaumentasegúnelcuadradodesupeso,yeldelosrubíesaumentasegúnelcubodesupeso.Porejemplo,siunfinodiamantedeuncaratvale$100unapiedradedoscaratdelamismacalidadvaldrá$400;unagemadetrescaratdeigualpurezacostaráentonces$900.Siunfinorubíorientaldeuncaratvale$200,unapiedradedoscaratcostará$1.600.

Un renombrado comerciante, familiarizado con las minas de diamantes deBrasil,decapeColonyydeotraszonasdelglobo,meenseñóunpardearosdediamantequehabíacambiadopordosdiamantesdediferentestamaños,sobrelabase,yaexplicada,queuncaratvale$100.¿Puedeusteddeducireltamañodelasdospiedrasdiferentesqueélcambióporunpardearosdetamañouniforme?Porsupuesto,haymuchas respuestaspor loque lepedimosquedescubracuálesel

menor tamaño posible de las dos piedras iguales, equivalente al valor de dosdiferentestamaños,sinemplearparaellofraccionesdecarat.

RESPUESTA

La piedra de cada aro era de 5 carat, por lo que cada uno de ellos valía$2.500,esdecir,$5.000ambos.Laspiedrasdediferentestamañoserande1carat($100)y7carat($4.900),porloquesusvaloressumadosdaban$5.000.

1.15.Númerosausentes

¿Puedeustedrecobrarlosdígitosquefaltan?

Elarqueólogoestáexaminandounacuentadedivisión,yaconcluidaycontodossuspasos,talladaenunpeñasco.Debidoalaerosióndelaroca,granpartedelosnúmerosnosonlegibles.Afortunadamente, losochodígitos legiblessuministraninformación suficiente como para permitirnos proveer las cifras que faltan.Parecequehubieramuchasrespuestascorrectas;sinembargo,porloquesé,hayunasolarestauraciónsatisfactoriadelproblema.

RESPUESTA

1.16.Elpolicíamatemático

«Quetengaustedunabuenamañana,oficial»,dijoelseñorMcGuire.«¿Puedeusteddecirmequéhoraes?».

«Puedohacer esoexactamente», replicóel agenteClancy,queeraconocidocomo el policía matemático. «Sume un cuarto del tiempo que hay entre lamedianocheyahoraalamitaddeltiempoquehayentreahoraylamedianoche,ysabráustedlahoracorrecta».

¿Puede usted calcular la hora exacta en que ocurrió esta intriganteconversación?

RESPUESTA

La conversación se llevó a cabo a las 9:36, porque un cuarto del tiempotranscurridodesde lamedianocheserían2horasy24minutos,quesumadoa lamitaddeltiempohastalamedianoche(7horasy12minutos),da9:36.

Si no fuera por el hecho de queMcGuire señaló que la conversación tuvolugar por la mañana, se podría suponer que era por la tarde, y las 7:12 p.m.podríaserunarespuestatambiéncorrecta.

1.17.Elproblemadeltiempo

TodoelmundohaoídohablardelafamosacarreraentreAquilesyla tortuga.Aquilespodíacaminar12vecesmásrápidoquelatortuga,demodoqueZenón,elfilósofo griego, dispuso una carrera en la que la tortuga tendría 12 millas deventaja.ZenónsosteníaqueAquilesjamásalcanzaríaalatortugaporquemientrasél avanzara12millas, la tortuga avanzaría1.Después, cuandoAquiles hubierarecorridoesa1milla,latortugahabríaavanzado1/12demilla.Siempreexistiríaentreambosunapequeñadistancia,aunqueestadistanciasehicieracadavezmáspequeña.Todossabemos,porsupuesto,queAquilesalcanzaalatortuga,peroenestascircunstanciasnosiempreesfácildeterminarexactamenteelpuntoenquelapasa.Vamosaproponerleunproblemaquerevela lasimilitudexistenteentre lafamosa carrera y los movimientos de las manecillas del reloj. Cuando esexactamentemediodía, lasdosmanecillasaparecen reunidas.Yunosepreguntacuándo, exactamente, volverán las manecillas a juntarse. (Por «exactamente»queremosdecirqueeltiempodeberáserexpresadocontodaprecisiónhastalasfracciones de segundo). Es un problema muy interesante, base de numerososacertijos referidos al reloj, todos de carácter fascinante. Por esta razón, seaconseja a todos los aficionados que procuren una clara comprensión de losprincipiosenjuego.

RESPUESTA

Si elminuteromarcha doce vecesmás rápidamente que lamanecilla de lahora, ambas agujas se encontrarán once veces cada 12 horas. Tomando comoconstante la undécima parte de 12 horas, descubrimos que las manecillas seencontraráncada65minutosy5/11,ocada65minutos,27segundosy3/11.Porlotanto, lasmanecillasvolveránareunirsealos5minutos,27segundosy3/11despuésdela1.

La siguiente tablamuestra la hora de las once reuniones de lasmanecillasduranteunperiodode12horas:

Ahora que se ha familiarizado usted con la técnica que resuelve losproblemasdeestetipo,talvezseatrevaaresolveresteotro,enaparienciamásdifícil. Supongamos que un reloj tiene tres manecillas, todas ellas reunidasexactamenteamediodía.Laterceramanecilla,porsupuesto,esunsegundero.¿Cuándovolveránareunirselastresmanecillas?

Con la ayuda de la tabla anterior y con un golpe de inspiración, el

problemaresultamásfácildeloquesupone.

[M.G.]

1.18.Elcardumendeserpientesmarinas

Laproduccióndeserpientesmarinashasidoinusualmentegrandeesteaño,ysehanvistomuchasvariedadesnuevasenloslugaresdevacacionesjuntoalrasar.Las fábulas de losmarinos deNantucket sonmás estremecedoras que nunca, ynotablementeoriginales,apesardereferirseauntematanantiguo.

Eladvenimientodelacámarafotográfica,sinembargo,hadesilusionadoalaopiniónpúblicayhasituadoalaindustriadelasserpientesdemarsobreunabasesustancialmentecomercial.Loscuentosexageradosdelosviejosmarinerosyloslibrosdebitácoraprofesionalmenteautentificados,yanosonaceptados,amenosqueesténrespaldadosporunaseriedefotografías.

Uncapitánafirmóque,mientrassehallabaalpairoen las inmediacionesdeConeyIsland,fuerodeadoporuncardumendeserpientesmarinas,muchasdelascualeseranciegas.

«Tresnopodíanverconlosojosaestribor»,informó,«ytresnoveíannadaababor.Trespodíanver a estribor, tres ababor; trespodíanver tanto a estriborcomoababor,entantootrastresteníanambosojosarruinados».Demodoqueenel librodebitácora se consignóy se juróque«habíadieciocho serpientes a lavista».

Pero un par de fanáticos de la cámara que fotografiaron el cardumen demonstruos, han revelado sus negativos de un modo que niega todo el relato yreduceelnúmerodeserpientesalmínimodeposibilidades.¿Cuántasserpientesteníaesecardumen?

RESPUESTA

Habíatresserpientestotalmenteciegasytresconambosojossanos.

1.19.Vaca,cabrayganso

Un holandés con una cabra y un ganso se encontró con una muchacha quellevabaunavaca,yquealverlo,aterrorizada,rompióagritar.

—«¿Quéteasusta?»,—preguntóHans.—«Vasabesarmeencontrademivoluntad»,—dijolapúdicadoncella.—«¿Cómo puedo hacerlo con estos horribles animales entre manos?», —

preguntóHans.—«¿Qué te impide clavar tu vara en el suelo para atar la cabra ymeter el

gansobajomicubo?»,—inquirióladoncella.—«Esavacademiradatorvapodríacornearme»,—dijoHans.—«Oh, esta tonta vacano cornearía a nadie, y ¿qué te impediría llevar los

tresanimalesamicampodepastoreo?»,—respondiólaaterrorizadajoven.Yenestepuntoapareceunacertijointeresantísimo,puesduranteladiscusión

que se produjo a continuación se desarrollaron los siguientes hechos.Descubrieronquelacabrayalgansojuntoscomeríantantopastocomolavaca,yqueelcampoabasteceríaalavacaylacabradurantecuarentaycincodías,oalavacayalgansodurantesesentadías,oalacabrayelgansodurantenoventadías.¿Durante cuánto tiempo, entonces, abastecería ese mismo campo a la vaca, lacabrayelganso?Sedemandanrespuestasrápidas,yaqueHansyKatrinadeseanunavelozasociación.

RESPUESTA

En el acertijo del campo de pastura es necesario tomar en cuenta el diariocrecimientodelahierba.Senosdicequelavacacometantocomolacabrayelganso. Por lo tanto, si la vaca y la cabra comen la hierba que haymás la quecreceráen45días,esevidentequedoscabrasyungansoharánlomismoenelmismo tiempo. Como una cabra y un ganso se sostendrán durante el doble detiempo, advertimos que la cabra consumirá la hierba inicial en los 90 días, entantoqueelgansopodrásostenerseconlahierbaquecrezcaeneseintervalo.Porlo tanto, si la vaca come 1/60 del «stock» por día, y la cabra 1/90, juntascomerían 1/36.Así la vaca y la cabra se comerían la hierba disponible en 36días,entantoqueelgansoseocuparíadeconsumirloquecrecieracadadía.

1.20.Pesandoalbebé

¿Cuántopesaelbebé?

La señora O’Toole, una persona decididamente económica, está tratando depesarseella,asubebéyasuperro,todoporuncentavo.Siellapesa100librasmásqueelpesocombinadodelperroyelbebé,ysielperropesaelsesentaporcientomenosqueelbebé,¿puededeterminarustedelpesodelpequeñoquerubín?

RESPUESTA

LaseñoraO’Toolepesa135libras,elbebé25librasyelperro10libras.

1.21.Multiplicaciónyadición

AdjudiquevaloresdiferentesquehaganqueA×B=yyA+B=y.

Elmaestroestáexplicandoasuclaseelhechonotabledequedosvecesdosdalamismarespuestaquedosmásdos.

Aunqueel2eselúniconúmeroquetieneestapropiedad,haymuchosparesdenúmerosquepuedensustituiraAyBenestasecuacionesqueestánaladerechadel pizarrón. ¿Puede usted descubrir algún par así? Por supuesto, pueden serfracciones,perosuproductodebeserigualalasuma.

RESPUESTA

Existeninfinitosparesdenúmerosquetienenlamismasumayproducto.Siunnúmero es a, el otro puede obtenerse siempre dividiendo a por a − 1. Porejemplo:3veces1,5esiguala4,5,y3más1,5tambiénesiguala4,5.

1.22.Eljuegomásjustodelaplaya

¿Cómoconseguirexactamentecincuentapuntos?

UnamigoyyoestábamosdandounpaseoporlosjuegosdeConeyIslandelotrodíacuando llegamoshastauno,que segúnnosdijoelhombre,erael juegomáshonestodelaplaya.Habíadiezmuñequitosqueunodebíavoltearconpelotasdebéisbol.Elhombredijo:«Tieneustedtantostiroscomoquiera,auncentavocadauno,ypuedehacerlosdesdetancercacomolodesee.Sumelosnúmerosdetodoslos muñecos que voltee y cuando la cifra llegue exactamente a 50, ni más nimenos, ganará usted un cigarro Maggie Cline, de 25 centavos, con una bandadoradaalrededor».

Nosarruinamosantesdequepudiéramosganar,ynotamosquenadieestabaallí fumando un Maggie Cline. ¿Puede mostrarnos de qué modo hubiéramospodidohacerexactamente50puntos?

RESPUESTA

Sepuedenlograr50puntosdándolealosmuñecosmarcadoscon25,6y19puntos.

1.23.EldesfiledeldíadeSanPatricio

¿Cuántoshombreshabíaeneldesfile?

Durante un día de desfile de San Patricio, hace poco, se desarrolló uninteresanteycuriosoacertijo.ElGranMariscaldio lanoticiausualanunciandoque«losmiembrosdelaHonorableyAntiguaOrdendelosHibernosdesfilaránala tarde si llueve a lamañana, pero loharán a lamañana si esque llueve a latarde». Esto dio origen a la impresión popular de que se debe contar con quelloverácon seguridadelDíadeSanPatricio.Caseyalardeabaque«duranteuncuartodesiglohabíadesfiladoenlaparadamilitardeldíadeSanPatriciodesdequeeraunmuchacho».

Pasaréporalto lascuriosas interpretacionesquepuedenhacerseapartirdeeste comentario, y diré que, como la edad y neumonía superaron finalmente aCasey,élsemarchójuntoconlainmortalprocesión.

CuandolosmuchachossereunieronnuevamenteparahonrarseyhonraraSanPatricio el 17 de marzo, descubrieron que había en sus filas una vacante tan

embarazosa que arruinó el desfile y lo convirtió en una procesión fúnebreinvadidaporelpánico.

Los muchachos, según la costumbre, se acomodaron en filas de diez, ymarcharonunaodosmanzanaseneseordenconsólonuevehombresenlaúltimafila,dondeCaseysolíamarcharacausadeunimpedimentoensupieizquierdo.La música de la banda fue tan completamente ahogada por los gritos de losespectadoresquepreguntaban«quéhabíapasadoconeltipodelacojera»,quesepensóqueseríamejorreorganizarlaformaciónsobrelabasedenuevehombresporfilayaquecononcenosepodría.

PerounavezmásseechódemenosaCasey,ylaprocesiónsedetuvocuandosedescubrióqueenlaúltimafilasólohabíaochohombres.Hubounapresuradointentodeformarcadafilaconochohombres, luegoconsiete, luegoconcinco,cuatro,treseinclusodos,perosedescubrióqueencadaunadeestasformacionessiempre quedaba un espacio vacante para Casey en la última fila. Después,aunquenosparezcaunatontasuposición,entodaslaslíneasseempezóasusurrarquecadavezqueempezabanamarcharsepodíaoír«elpiearrastrado»delpasodeCasey.Losmuchachosestaban tanconvencidosdequeel fantasmadeCaseymarchabaconellosquenadieseatrevíaacerrarlamarcha.

El Gran Mariscal, sin embrago, era un tipo rápido e inteligente querápidamentedejóafueraelfantasmaordenandoqueloshombresmarcharanenfilaindia,demodoquesielespíritudeCaseyestabaallí,seríaelúltimodelalargaprocesiónenhonordelsantopatrono.

Suponiendo que el número de hombres del desfile no excediera los 7.000,¿puededeterminarcuántoshombresmarchabanenesedesfile?

RESPUESTA

CuandoCaseyestabavivo,elnúmerodehombresdebehabersidounmúltiplode2,3,4,5,6,7,8,9y10.Tomamoselmínimocomúnmúltiplo,2.520,despuéssustraemos1paraobtenerelnúmerodemiembrossinCasey.Estapodríaser larespuesta si no fuera por la frase «con once no se podría». Como 2.519 esdivisiblepor11tenemosquetomarelmúltiplocomúnsiguiente,5.040,ydespuésrestarle1paraobtener5.039.Comoestenúmeronoesdivisiblepor11,ycomomúltiplosmásaltosdaríanrespuestasporencimade7.000,concluimosque5.039eslaúnicarespuestacorrecta

1.24.Lospeniquesquefaltan

He aquí un acertijo conocido como el Problema del Covent Garden, y queapareció en Londres hace medio siglo acompañado por la sorprendenteafirmacióndequehabíalogradoconfundiralosmejoresmatemáticosingleses.

El problema reaparece constantemente de una u otra manera, generalmenteacompañado de la afirmación de que ha desconcertado a los matemáticoseuropeos, aseveración esta que debe ser tomada con la debida desconfianza.Nuestroseruditosyanquistendríantanpocadificultadendesvelarelmisterioquesólomesientojustificadoalpresentarlocomounproblemaprácticodestinadoanuestroslectoresmásjóvenes.

Sedicequedosdamas,vendedorasambulantes,estabanvendiendomanzanasen el mercado cuando la señora Smith, por alguna razón que debe ser elverdaderomisterioqueconfundióalosmatemáticos,debióretirarse.LepidióalaseñoraJones,laotravendedorademanzanas,queseocuparadelaventaensulugar.

Ahorabien,parecequeambas tenían igualnúmerode frutas,pero la señoraJonesteníamanzanasmásgrandesylasvendíadeadosporunpenique,entantolaseñoraSmithvendíatresdelassuyasporunpenique.

Alaceptarlaresponsabilidaddeocuparsedelaventadesuamiga,laseñoraJones,deseandoserimparcial,mezclótodaslasmanzanasylasvendiódeacincopordospeniques.

CuandolaseñoraSmithregresó,aldíasiguiente,todaslasmanzanassehabíanvendido, pero cuando llegó el momento de dividir las ganancias, ambasdescubrieronquefaltabansietepeniques.Estadiferenciaeslaquehaperturbadodurantetantotiempoelequilibriomatemático.

Suponiendoquedividieroneldineroporlamitad,elproblemaesdeterminarcuántodineroperdiólaseñoraJonesacausadesudesafortunadaasociación.

RESPUESTA

Puedeversequesilasmanzanassevendíana1/3depeniquey1/2penique,elpromedio sería de 5/6 cada dos, o 25/60 de penique por manzana. Como sevendieronaunpromediode5manzanaspor2peniques,queeslomismoque2/5ó24/60depeniquepormanzana,seperdió1/60depeniqueporcadamanzana.

Sabemosqueseperdieron7peniques,demodoquemultiplicamos60por7paraobtener420,elnúmerooriginaldemanzanas,delquecadadamaposeíalamitad.LaseñoraJonesdebíahaberrecibido105peniquesporsus210manzanas,perocomorecibiólamitaddelagananciadelaventade5manzanasa2peniques(es decir, 84 peniques), perdió 21 peniques. La señora Smith, que debía haberrecibido70peniquesporsusmanzanas,enrealidadrecibió85.

1.25.Sellosporundólar

Unadamadiounbilletedeundólaraunempleadodelcorreoyledijo:«Demealgunossellosdedoscentavos,diezvecesesacantidaddesellosdeuncentavoyelrestoensellosdecinco».

¿Cómopuedehacerelempleadoparasatisfacerestaproblemáticademanda?

RESPUESTA

5sellosde2centavos,50de1y8de5costaránexactamente$1,00.

1.26.Elacertijodeloráculo

¿Cuángrandesseharánsusrebaños?

Lafeimplícitaquelosantiguosgriegos,romanosyegipciosdepositabanenlosoráculos de sus dioses puede apreciarse cuando advertimos que, desde ladeclaración de una guerra hasta la venta de una vaca, no se llevaba a caboninguna transacción sin el consejo y la aprobación de los oráculos. La famosapintura de Júpiter enDodonamuestra a dos campesinos consultando al oráculoacercadealgúnasuntodepocaimportanciay,demaneraimperiosa,selesordenaquesemirenenunespejo.

Parailustrarlasobrecogedoraimportanciaydignidad,omásbienelmisterioque rodeaba las cosas más insignificantes, el dibujo muestra a dos pobrescampesinos que desean saber si el gran Júpiter sonreirá demanera auspiciosaantelacompradeuncorderoyunacabra.

«¡Sereproducirán»,dijoeloráculo,«hastaquelasovejasmultiplicadasporlascabrasdenunproductoque,reflejadoenelsagradoespejo,muestreelnúmerodelrebañocompleto!».

Hayciertaambigüedadyciertomisterioenlaspalabrasdeloráculo,apesar

delocualpresentamoselproblemaalaconsideracióndenuestroslectores.

RESPUESTA

Puede decirse que muchos campesinos, al igual que nuestros aficionados,experimentaron durante un tiempo frente a un espejo antes de descubrir que larespuestaes9ovejasy9cabras.Elproducto,81,setransformaenelespejoen18,queeselnúmerototaldelrebaño.

1.27.Lacarreradeyates

¿Enquétiempoganóelyate?

Eneldibujoadjunto,losdosyatesestánenlaprimerapartedeunacarreraconrecorridotriangulardelaboyaAalaByalaC,regresandoluegoalaboyaA.

Tres tripulantes del yate ganador trataron de mantener un registro de lavelocidad de la embarcación, pero los tres sufrieron un intenso mareo y susregistrosseperjudicaronenconsecuencia.Smithobservóqueelyatenavególasprimerastrescuartaspartesdelacarreraentreshorasymedia.Jonesadvirtiótansólo que cubrió las tres cuartas partes finales en cuatro horas ymedia.Brownestabatanansiosoderegresaratierraqueloúnicoquelogróobservarfuequeeltramointermediode lacarrera (de laboyaBa laC) le llevódiezminutosmásquelaprimeraparte.

Suponiendo que las boyas delimitan un triángulo equilátero y que el barcomantuvo una velocidad constante en cada tramo, ¿puede usted decirnos cuántotiempolellevóalyateterminarlacarrera?

RESPUESTA

Elprimerladodeltriángulofuerecorridoen80minutos,elsegundoen90,elúltimoen160,sumandountiempototalde5horasy1/2.

Estopuederesolversealgebraicamentedividiendoeltrayectoen12partesiguales,dondexrepresenteeltiempoempleadoenlascuatroprimeraspartes,x+10eldelascuatrodelmedio,eyelde lascuatroúltimas.Nuestrosdatos,expresadosenminutos,nospermitenformularlassiguientesdosecuaciones,apartirdelascualesnoesdifícildeterminarlosvaloresdexey.

[M.G.]

1.28.LabatalladeHastings,unproblemadecuadrados

¿CuántoshombreshabíaenelejércitodeHarold?

Todos los estudiantes de historia conocen el misterio y la incertidumbre quereinaconrespectoalosdetallesdelamemorablebatallaocurridaeltrascendente14deoctubrede1.066.Esteacertijoseocupadeuncuriosopasajedelahistoriadeesabatalla,pasajequenoharecibidolaatenciónquemerece.

El pasaje en cuestión, tal como lo señala el profesorHenryDudeney, dice:«Los hombres de Harold permanecían muy juntos, como era su costumbre, yformarontrececuadradosconigualnúmerodehombresencadacuadrado,¡yhaydelnormandoqueseatrevieraaentraren su reducto,puesunsologolpedeunhacha de guerra sajona quebraría su lanza y penetraría en su cota demalla…!CuandoHaroldselanzóenpersonaalabatalla,lossajonesformabanunúnicoypoderoso cuadrado, profiriendo los gritos de batalla de “¡Ut!”, “¡Olicrosse!”,“¡Godemite!”».

Las autoridades contemporáneas aceptan que los sajones luchaban en esasólida formación. En «Carmen de Bello Hastingensi», poema atribuido a Guy,obispo de Amiens, se nos cuenta que «los sajones permanecían firmes en unamasa densa».YHenry deHuntingdon habla de «el cuadrado como un castillo,impenetrableparalosnormandos».

Si lasfuerzasdeHaroldsedividíanentrececuadradosque,alagregarseelmismoHarold,podíandisponerseenungrancuadradoúnico,¿cuántoshombresdebehaberhabido?

El acertijo es tan difícil que pocos matemáticos lograrán resolverlocorrectamente.

RESPUESTA

Las 13 escuadras de Harold eras cuadrados con 180 hombres por lado,sumando un total de 421.200 hombres. Con la adición de Harold, el númeroaumentaa421.201hombres,loqueformaungrancuadradocon649hombresporlado.

AltomarelproblemadeHenryDudeney,elexpertoenacertijosbritánico,Loyd lo modificó considerablemente para hacerlo más fácil y también másplausible históricamente. La versión deDudeney, que puede encontrar en suobraAmusementsinMathematics,da61escuadrasdehombresenlugarde13.Por si se siente usted tentado a trabajar en este problema, me apresuro adecirle que, en este caso, el menor número posible de hombres alcanza lacantidadde3.119.882.982.860.264.400, yaque cada cuadrado consistiría de226.153.980hombrespor lado.Con la adicióndeHarold,pueden formarunsolocuadradode1.766.319.049hombresporlado.Elproblemageneral,diceDudeney,delqueésteesuncasoespecial, fuepropuestoenprimer lugarporFermat,aunquehallegadoaserconocidocomola«ecuacióndePell».

[M.G.]

1.29.Mezcladetés

¿Cuálessonlasproporcionesdetéverdeyténegro?

EnOriente,lamezcladetésesunacienciatanexactaquelascombinacionesdediferentes tiposde té…¡secalculanhasta lamillonésimapartedeunaonza!Sedicequelasfórmulaspertenecientesaalgunosplantadoresdetéderenombrehansidomantenidasensecretodurantecientosdeañosynopuedenserimitadas.

Sóloparailustrar lascomplicacionesquesurgenenlacienciadelmezcladode tésyparademostrar lodifícil que es traspasar elmisterioque rodea a estearte,llamaremoslaatencióndellectorhaciaunsimpleacertijobasadosolamenteendosmezclas.

Elmezcladorha recibidodos cajas cúbicas,perode tamañosdiferentes.Elcubomásgrandecontieneténegro,elmáspequeñotéverde.Hamezcladoamboscontenidos y ha descubierto que la mezcla alcanza exactamente para llenarveintidós cofres cúbicos iguales. Suponiendo que las dimensiones interiores detodos los cofres pueden ser expresadas con el decimal exacto, ¿puede usteddeterminarlaproporcióndetéverdeconrespectoalténegro?

Enotraspalabras,descubradosnúmerosenterosdiferentesque,alsumarsus cubos, el resultado sea divisible por 22, dando por cociente un númerocuyaraízcúbicaseaunnúmeroentero.

[M.G.]

RESPUESTA

Uncubode17,299pulgadasdelado,yuncubode25,469pulgadasdelado,tienenunvolumencombinado(21.697,794418608pulgadascúbicas)exactamenteigualalvolumencombinadode22cubosde9,954pulgadasdelado.Porlotanto,eltéverdeyelnegrodebieronmezclarseenlaproporciónde17,2993a25,4693.

1.30.Pesosfalsos

EldinerodelOriente,acuñadoentamañosypesosvariablesparapermitirquelosviajerosseanengañados,esdemasiadocomplejoparanuestrosmatemáticos,demodoquealdescribirelcomercioentreorientalessimplificaremoslascosashablandoendólaresycentavos.

Elpelode camello,que seutiliza en la confeccióndechalesyde costosasalfombras, es reunido por lo que se denomina gente común y vendido porintermedio de un comisionista, en grandes o pequeñas cantidades, a loscomerciantes.Paraasegurarimparcialidad,elcomisionistanuncacompraparasísino que, al recibir una orden de compra, busca a alguien que desee vender ycobraundosporcientodelatransacción.Noobstante,manipulandolabalanza,siempre se las arregla para aumentar sus beneficios por medio del engaño,especialmente si el cliente es lo suficientemente inexperto comoparadepositarconfianzaensupalabraoensuspíasexclamaciones.

Aprovecho la ocasión para dirigir la atención hacia un bonito acertijorelacionado con la transacción que ilustra la simplicidad de los métodos. Alrecibir un embarquede pelo de camello, el comisionista lo colocó en el brazocorto de su balanza, como para ganar una onzamás por libra, pero cuando lavendió cambió losplatillos para entregar unaonzamenospor cada libra, y asíganó$25graciasasufraude.(Recordemosqueunalibrason16onzas).Pareceser, y en verdad es, un problemamuy simple, con datos claros suficientes.Noobstante,exigirálainteligenciadeuncontableexpertoparacalcularlarespuestacorrectaalapregunta:¿cuántopagóelcomisionistaporlamercadería?

RESPUESTA

Si el intermediario pesó los bienes a razón de una onza más por libra,consiguió17porlibra.Cuandolosvendióarazóndeunaonzamenosporlibra,dio 15onzas por cada libra, y obtuvo2 onzas demás.Si estas 2 onzas fueronvendidasalmismoprecio,paraganar$25pormediodelengaño,esevidenteque2onzasrepresentanlas2/15partesde loquepagópor todoycobrópor las15onzas.Si1/15vale$12,50,15/15oeltotal,serían$187,50que,denoexistirlacomisión,seríalacifraquepagóporlamercancía.

Sinembargo,descubrimosquerecibióel2%delvendedor,$3,75,y$4,25delcomprador,porlaintermediación,loqueledio$8enadiciónalos$25quehabíaganadoconsufraude.

Ahorabien,sihubierasidohonesto,hubierapagadopor17onzasloque,paraserexactos,hubieradadoun totalde$199,21875.Suporcentajeporcompraryvenderhubierasidoentoncesde$7,96875,demodoqueconsuengañologróunadicionalde3centavosy1/8.Como lahistoriadicequehizoexactamente$25conelfraude,debemosreducirelpreciode$187,50demodoquesusdosfraudesproduzcanexactamente$25.

Ahora bien, como 3 centavos y 1/8 es exactamente 1/801 de $25,03125,debemosrestara$187,50su1/801parte, loquedará$187,27,demodoqueelintermediariohará,consufraude,lasumade$25y0,0006centavos.Paralosquedeseen ser muy exactos, diría que al vendedor se le pague$187,2659176029973125menoslacomisióndel2%de$3,745.

1.31.Elproblemadelabuelo

¿Cuálesladiferenciadepesoentreseisdocenasdedocenasdelibrasdeplumasymediadocenade

docenasdelibrasdeoro?

He aquí uno de esos antiguos problemas que han pasado de generación engeneración sin que nadie haya tenido la temeridad de cuestionar las respuestasaceptadas.Sinembargo,recientemente,unjovenaficionadodeBostonrecibiódesu abuelo esta reliquia y le respondió con una solución tan inesperada que elancianocaballeroquedósinhabla.

Conmuchafrecuenciaselehapedidoamuchísimaspersonasqueenuncienladiferenciadepesoexistenteentreseisdocenasdedocenasdelibrasdeplumasymediadocenadedocenasdelibrasdeoro,ytodoscontestansinunmomentode

vacilación.«Una libraesuna libraen todoelmundo»,dicen,«Seisdocenasdedocenasdan864,ymediadocenadedocenasson72,loquehaceunadiferenciade792libras».

Sinembargo,silapreguntaseformulaunavezmáscontodaseriedad,yunoleconcede la atención suficiente, se descubrirá que en realidad jamás ha sidocorrectamentecontestadadesdelaprimeravezqueseformulóen1614.

RESPUESTA

Para responderaesteviejoacertijodebemos tomarencuentaqueelorosepesadeacuerdoconelsistematroy(enelqueunalibraequivalea12onzas),entantolasplumassepesanenunidadesavoirdupois(dondelalibraequivalea16onzas). En esos casos la máxima «una libra es siempre una libra» no tienevigencia.

Seisdocenasdedocenasdelibrasdeplumaspesan864librasavoirdupois,entanto 72 libras troy de oro equivalen solamente a 59 libras, 3 onzas y 407,5granos. Como 864 libras pueden ser expresadas como 863 libras, 15 onzas y437,5granos,tenemosquesustraer59libras,3onzasy407,5granosparaobtener804libras,12onzasy30granos.Esaesnuestrarespuestaexpresadaenunidadesavoirdupois.

Las personas en general no conocen la relación que existe entre ambossistemas.Algunoscreenquelalibrapesalomismoenambos,peroenunsistemasedivideen16onzasyenelotroen12.Lamayoríadelaspersonas,sinembargo,creenquelasonzassoniguales,peroquelalibraavoirdupoispesa16onzasylalibratroytansólo12.Nadadeelloescierto.Larelaciónentreambossistemassebasaenelhechodequeuna libraavoirdupoispesa7.000granos,mientrasqueunaonzatroypesasólo5.760granos.

1.32.Unamezclaingeniosa

¿Concuántaaguahadiluidoellecherocadaunodesusdostarrosdeleche?

Se cuenta que un lechero honesto y simplón, que alardeaba mucho de sucorrecciónydelhechodenohaberdesilusionado jamásauncliente,descubriócon desagrado una mañana que su provisión de leche era inadecuada para lademandadesusclientes.Enefecto,sustockerademasiadoescasoparaabastecersurutahabitual,ynoteníaningunaposibilidaddeconseguirmásleche.

Advirtiendoelpésimoefectoqueestopodríatenersobresunegocio,pornohablardeladecepciónylaincomodidadqueproduciríaasusclientes,serompíalacabezapensandoquépodíahacer.

Trasdarlemuchasvueltasalacuestión,decidióqueerademasiadoconscienteyjustocomoatenderaalgunosypasarporaltoaotros.Tendríaquedividirloqueteníaentre todos,perodiluiría la lecheconlacantidaddeaguasuficientecomoparaabastecertodaslasdemandas.

Cuandohalló, trasunadiligentebúsqueda,unpocodeaguaextremadamentepura que podía emplear tranquilamente para su propósito, puso en uno de los

tarros la cantidad de galones de agua que le permitiría atender a todos susclientes.

Sin embargo, como acostumbraba vender leche de dos calidades, una porochocentavoselcuarto,ylaotrapordiez,sedispusoaproducirdosmezclasdelasiguienteingeniosamanera:

Del tarro número 1, que sólo contenía agua, vertió una cantidad suficientecomo para duplicar el contenido del tarro número 2, que sólo contenía leche.Después,vertiódelnúmero2alnúmero1unacantidadde lamezcla igual a lacantidaddeaguaquehabíadejadoenelnúmero1.Después,paraasegurarselasproporcionesdeseadas,procedióaverterdelnúmero1lacantidadsuficienteparaduplicarelcontenidodelnúmero2.Estodejóigualcantidaddegalonesencadatarro, comopuede demostrarse, aunque en el tarro número 2 había dos galonesmásdeaguaquedeleche.

Ahorabien,elprocesonoes tancomplicadocomoparece,pues sólohacenfaltatrescambiosparaigualarloscontenidosdeambostarros.¿Puededeterminarexactamentecuántaaguaycuántalecheconteníafinalmentecadatarro?

RESPUESTA

Elhonesto lecheroempezócon5galonesde lecheenel tarron.º2y11deaguaeneltarron.º1.Lasoperacionesdescritasdaráncomoresultado6galonesdeaguay2de lecheenelprimer tarro,y5galonesdeaguay3de lecheenelsegundotarro.

1.33.Elsalariodelaestenógrafa

Heaquíunproblemaacercade lascuestionescomunesde lavidaque resultainteresante para cualquiera que intente resolverlo. El «jefe» se sentía bastantebienelotrodía,demodoquedijoasuestenógrafa:

«Bien,Mary, envistadequeustednunca sepermite inútilesvacaciones,hedecididoaumentarsusalario$100poraño.Empezandodesdehoy,duranteelañosiguienteselepagarásemanalmentearazónde$600poraño;alañosiguientearazón de $700 por año, el otro $800 y así sucesivamente, siempre aumentando$100poraño».

«Acausademicorazóndébil»,replicólaagradecidayjovenmujer,«sugieroqueseríamejorqueelcambiofueramenosabrupto.Empiecedesdehoysobrelabasede$600anuales,comohadicho,peroalfinaldeseismesesaumente$25elsalarioanual,ysigadándomeunaumentoanualde$25cadaseismeses,entantomisserviciossigansiendosatisfactorios».

Eljefesonrióbenévolamenteasufielempleada,aceptandolaenmienda,perounguiñode suojohizoquealgunosde losmuchachos sepreguntaran si el jefehabíasidosabioonoalaceptarlapropuesta.¿Puededecirlousted?

RESPUESTA

Enelacertijodelsalariodelajovenestenógrafa,ellagana$12,50elprimeraño, pero después pierde constantemente. Algunos aficionados incurren en elerrordesumareltotaldecadaaumentoalfinaldecadaseismeses,enlugardecomprenderquecadavezelsalarioeraaumentadosobrelabasede$25anuales,lo que significa unamejora de sólo $12,50 cada seis meses. Por supuesto, unaumentode$100anualesdaríaalaempleadaencincoaños$600más$700más$800más$900más$1.000.Envezdeello,laempleadapierde$432,50graciasasupropioplan,delasiguientemanera:

Primerosseismeses $300,00 $600

Segundosseismeses $312,50 $625

Tercerosseismeses $325,00 $650

Cuartosseismeses $337,50 $675

Quintosseismeses $350,00 $700

Sextosseismeses $362,50 $725

Séptimosseismeses $375,00 $750

Octavosseismeses $387,50 $775

Novenosseismeses $400,00 $800

Décimosseismeses $412,50 $825

1.34.Adivinelaedaddelamadre

¿Quéedadtienelamadre?

Los acertijos de edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinaciónsobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas. Por lo general, sonextremadamente simples, pero en este problema los datos son tan escasos y laproposicióntandiferentedeloesperadoquelapreguntapareceverdaderamentealarmante.

Unodelosintegrantesdeltríodelailustracióncumplíaaños.EllodespertólacuriosidaddeTommycon referenciaa sus respectivasedades,yen respuestaasuspreguntas,elpadreledijo:

«Bien,Tommy,nuestrasedadescombinadassumansetentaaños.Comoyosoyseis vecesmásviejo de lo que tú eres ahora, puededecirse que cuando sea eldobledeviejoquetú,nuestrasedadescombinadasseráneldobledeloquesonahora.Bien,déjameversipuedesdecirmelaedaddetumadre».

Tommy,queerabrillanteconlosnúmeros,resolviórápidamenteelproblema,pero tenía la ventaja de saber su propia edad y podía adivinar con bastante

certezalaedaddelosotros.Nuestrosaficionados,sinembargo,sólodispondránde los datos acerca de las edades comparativas de padre e hijo, y de lasorprendentepregunta:«¿Quéedadtienelamadre?».

RESPUESTA

Laedaddelamadrees29añosy2meses.LaedaddeTommyes5añosy10meses,yelpadretiene35años.

1.35.Elconcursodetiro

Demuestrecómohacer96contres«dobles».

Comoveteranotiradorquehaparticipadoenmuchascompeticiones,estuvemuyinteresado en el reciente concurso de tiro por cable, en donde losnorteamericanos demostraron su superioridad sobre los franceses, aunque elresultado fue muy justo, 4889 a 4821. El concurso se llevó a cabosimultáneamente a ambos lados del océano, mientras los resultados secablegrafiabandeunsitioaotro,loquehizoqueelconcursofuerainteresanteyexcitante.

Me divirtieron los comentarios de los espectadores no iniciados que sehallaban intrigados por el lenguaje de los tiradores. Parecían nombrarcontinuamente horas del día que no correspondían a la hora correcta. Muchaspersonas les explicaron con gran seriedad que se referían a las diferenciashorariasexistentesentreNuevaYorkyParís.

«¿Aqué hora disparaste?», le preguntaba un experto a otro. «A las cinco ymedia,perocreoqueintentaréalascuatroymedia».

Para explicar esto debo señalar que en los campos de tiro extensos esnecesario tener en cuenta el viento y la distancia. Todos los tiradores, por lotanto,miransusblancoscomosirepresentaranlaesferadeunreloj,demodoque,sicuandosedisparaalcentro,labaladadondedeberíaestarelnúmerocinco,eltirador deberá disparar ahora a las once de la mañana para hacer un «centrojusto».

Durante el concurso se desarrollaron algunos problemas que estoy segurointeresaránanuestrosaficionados.Porejemplo,heaquíunoquemepareciótanbonitoqueseguramentelosrecompensaráporeltrabajoqueimplicaresolverlo.

Unodelostiradoreshizo96puntosconseisdisparos,perofuenecesariounminucioso examen de su blanco para advertir que había hecho tres «dobles»,comosedesignalaproezadehacerpasardosbalasporelmismoorificio.

Elblancoquelosdosárbitrosestánexaminandomuestradequémodoestánmarcadosloscírculospara lapuntuación.¿Seleocurre lamaneradehacer tresdoblesparaconseguirunapuntuaciónfinalde96?

RESPUESTA

Lostresdoblesson:dosenel25,dosenel20ydosenel3.

1.36.Elextrañoplandelpréstamodevivienda

Unproblemaocasionaldecarácterúnico,extraídodelosasuntoscotidianosdelavida,sueleserinstructivo.Heaquíunoelaboradosobrelabasedeunacomúntransaccióncotidianaquetodoelmundopuedecomprender,aunquenosepanadadematemáticas. En realidad, fue sugerido y llevado a cabo por un hombre tandeficienteenaritméticacomúnquenisiquierasabíacalcularelinteréssimple,yteníatantomiedodeserengañadoconlosnúmerosquesenegabaacomerciarconcualquierotrométodoquenofueraelqueahoraexplicaremos.

Parecequedeseabacomprarunapropiedad,perocomosóloteníadisponibleunapartedeldinero,yaborrecíatodotipodenúmeros,hipotecaseintereses,dijoquenoharía lacompraamenosquese lepermitierahacerlasegúnaquelloquedenominaba el «plan de préstamo para viviendas». Podía pagar al contado$1.000,yhacercincopagosmásde$1.000,cadaunodeellosal finaldedocemeses. Esos pagos debían cubrir el costo de la propiedad, incluyendo losintereses,alafechadecadaunadelasentregas.

Laventaserealizóenesostérminos,perocomoeldinerovalíaun5%anualparalapartevendedora,lacuestiónesdeterminarencuántosalióenrealidadesapropiedad.

RESPUESTA

He aquí un método simple, producto del sentido común, para llegar a larespuesta, que difiere delmétodo que otros pueden elegir. Según elmétodo detrabajar de atrás para adelante, yo lo analizaría a partir del último pago,preguntándome: «¿El último pago es el 105 % de qué suma de dinero?». Ladivisión de $1.000 por 1,05 demuestra que $952,3809más el 5 por ciento deinterésseríalasumadelúltimopago.

Retrocediendoahoraalpagoanterior,preguntamosdequésuma$1.952,3809habrá sido el 105%.Dividiendo una vezmás por 1,05, obtenemos 1859,4103.Añadimoselpagode$1.000ytenemos$2859,4103quedivididopor1,05nosda$2.723,2479 como la suma previa. Agregamos otros $1.000 para convertir en$3.723,2479yotradivisiónnosdará$4.329,4764comocifraapartirdelacualcalcularelinterésdespuésdelprimerpagode$1.000.Demodoque$5.329,4764eraelvalorrealdelapropiedad,porqueesasumamásuninterésdelcincoporcientodaríaexactamentelosseispagosde$1.000segúnelacuerdo.

1.37.Elproblemadelasbotellas

Expliquecómosubirlaescaleraenelmenornúmeroposibledepasos.

Elchicode la ilustraciónacabadeproponerleel siguienteproblema,bastantepocousual,alacarreadordeladrillos:

Empiecedesdeelsuelo,despuéssubaybajealternativamentelaescalera,sinsaltarsepeldaños,hastaquelleguealúltimopeldaño.Debeustedsubirybajardetalmodoquellegueotravezalsuelo¿Cómohicieronlosladronesparadividirseequitativamentelasbotellasllenasylasvacías?

He aquí un pequeño estudio de sustracción y división que demuestra laimportanciadelaaritméticaelemental.Losaficionadosquesientanaversiónporlos números, sin embargo, pueden intentar solucionar el acertijo, pues en estecaso la sustracción y la división requieren más de la astucia de un SherlockHolmesquedelsaberdeunmatemático.

Parecequelabodegadeuncaballerohabíasidorobada,despojándoseladedosdocenasdebotellasdevinoquelosladronessellevaron,yquepodríanhaberconservado si hubieran sido tan expertos en división como lo fueron ensustracción.

Robaronunadocenadebotellasdecuarto,yunadocenadebotellasdeunapinta, de champagne, pero encontrándolas demasiado pesadas para cargar,procedieronareducirelpesobebiéndosecincobotellasdecuartoycincodeunapinta, brindando por el éxito de sus respectivos candidatos en las próximaseleccionesdeconcejales.Paranodejarrastros,ytambiénacausadesuvalor,sellevaronconelloslasbotellasvacías.Sinembargo,alllegarasulugardecitanopudierondividirequitativamentelossietecuartosllenosyloscincovacíos,ylassietepintasllenasylascincovacías,paraquecadaunodeellosdispusieradelosmismos valores en vino y en botellas. Tal vez la división no hubiera sido tandifícilsinohubieranbebidotantocomoparaobnubilarsuscerebros.

Siendo tan tontos como para no callarse la boca, hecho esencial en estoscasos, riñeron y armaron un gran barullo. Esto atrajo la atención de un par depolicíasquecayeronsobreellosysebebieron todoelchampagneque tanto leshabíacostadoconseguir.Peroeso,aligualqueloqueocurrióconlasbotellasylacuestióndecómofueroncastigadosalamañanasiguiente,nadatienequeverconesteacertijo.

Sinquesemepidanmayoresinformes,yaquenoquisieraqueparezcaquesédemasiado acerca de esta transacción, les pido queme digan cuántos ladroneshabía,ycómopodríanhaberdivididosussietebotellasdecuartodevinoysussiete de una pinta de vino, y las cinco botellas de cuarto vacías y las cincobotellasdeunapintavacías,demodoquecadaunodeloshombresrecibieraunaparteequitativa.Porsupuesto,sesuponequenosepuedetransferirelvinodeunabotella a otra. Cualquier ladrón experto sabe que el champagne no puede sermanipuladodeesemodo,demodoqueno tieneningunaoportunidaddeutilizartretasdeesetipoenesteacertijo.(Uncuartoequivalea2pintas.N.delE.).

RESPUESTA

Eneldibujoqueilustraelacertijodelasbotellassóloseveíandosladrones,peronohacefaltaserunSherlockHolmesparaprobarquehabíatresladronesenesa banda. Había 21 pintas de vino, 12 botellas grandes y 12 pequeñas paradividir,y3eselúniconúmeroenelqueesacantidadpuededividirsedemanerapareja.

Unodelosladronestoma3cuartosllenos,1vacío,1pintallenay3vacías.Cadaunodelosotrostoma2cuartosllenosy2vacíos,3pintasllenasy1vacía,demodoquecadahombreobtiene3,5cuartosdevino,y4botellasgrandesy4pequeñasvacías.

1.38.Recuentodevotos

Heaquíunproblemasimpleperobonitoqueseprodujoenunarecienteelecciónen la que hubo 5.219 votos y cuatro candidatos. El ganador superó a susoponentespor22,30y73votos,aunqueningunosupocómocalcularelnúmeroexactodevotosquerecibiócadauno.

Denosunareglasimpleparaobtenerlainformacióndeseada.

RESPUESTA

Enelacertijodelaselecciones,hayquesumarlasdiferenciasconelganadoraltotaldevotosydividirporelnúmerodecandidatos.Elcocientedarálosvotosdelganador,delquesepodrándeducirporsustracción losvotosde losdemás.Losresultadosfueron1.336,1.314,1.306y1.263.

1.39.Lasesposasdelosholandeses

Aúnsepreservanenestepaísalgunasviejascostumbresholandesas,talescomointercambiar ganado, aves de corral y productos de granja en cantidades ynúmeros dispares, comprando huevos por veintena, otras cosas por docena,puñados,montonesopequeñasmedidas,azúcardeatreslibrasymedia,yasíporelestilo.

Unantiguoycuriosoproblema,publicadohaceunpardesiglosenunaúnicacoleccióndeanécdotasaceradelviejoManhattan,ilustralacomplejamaneraenqueloscolonizadoresholandeseshacíansuscompras.

Enpalabrasdeesteextrañovolumen:«Vinieronaverme tresholandesesdemiamistad,quienes,comoacababandecasarse,trajeronconellosasusesposas.Los nombres de los hombres eranHendrick,Claas yCornelius; lasmujeres sellamaban Geertring, Catrun y Anna, pero he olvidado quién era la esposa dequién. Bien, me dijeron que habían ido al mercado a comprar cerdos, y cadapersonahabía comprado tantos cerdos comochelinespagaronpor cada animal.Hendrick compró 23 cerdos más que Catrun, y Claas compró 11 más queGeertring.Asimismo,dijeronquecadahombrehabíapagado tresguineas (o63chelines)másquesuesposa.Ahorabien, loquedeseosaberessiesposible,apartir de esta descripción de sus compras, decir el nombre de cada una de lasesposasdecadahombre».

Es un curioso problema que se puede resolver fácilmente con métodosexperimentalesingeniosos.

RESPUESTA

Geertring compró 1 cerdito por 1 chelín, y su esposo, que debe haber sidoCornelius, compró 8 cerdos por 8 chelines cada uno. Catrun compró 9 por 9chelinescadauno,entantosuesposoClaascompró12por12chelinescadauno.Anacompró31cerdosgrandespor31chelinescadauno,mientrassubuenesposoHendrickcompró32a32chelinescadauno.

1.40.Complicacionesdomésticas

Heaquíunabonitacomplicaciónde lavidadiaria,que labuenaamadecasaresolvióenunminuto,peroquellevóaunmatemáticoallímitedelalocura.

Smith,JonesyBrownerangrandesamigos.DespuésdelamuertedelaesposadeBrown,susobrinasehizocargodelacasa.Smithtambiéneraviudoyvivíaconsuhija.CuandoJonessecasó,élysuesposasugirieronquetodosvivieranjuntos.Cadaunodelgrupo(hombreymujer)debíacontribuircon$25elprimerodecadamespara losgastos,y loquequedaraseríadivididoequitativamente,afindemes.

Las expensas del primermes fueron$92.Cuando se distribuyó el sobrante,cadaunodeellosrecibió igualnúmerodedólares,sinfracción.¿Cuántodinerorecibiócadaunoyporqué?

RESPUESTA

LaseñoraJoneseralahijadeSmithylasobrinadeBrown,demodoquesólohabía4personas.Sereunieron$100,segastaron$92,ycadaunodeellosrecibió$2cuandosedistribuyóelexcedente.

1.41.ElrelojlocodeZurich

¿Cuándovolveráamarcarlahoracorrectaestereloj?

Los turistas suizos reconocerán de inmediato en la ilustración una iglesiaabandonadaenunlugarsolitariosituadoenlasafuerasdeZurich,yrecordaránlapavorosahistoriadesurelojembrujado.Omitiendolosaspectossobrenaturalesymisteriososde lahistoria, relatadaa los turistasenmuchasversiones,podemosenunciar brevemente que la iglesia fue construida amediados del siglo quince.Fuedotadadeunrelojporelciudadanomásviejodellugar,unhombrellamadoJorgensen,famosoporserelfundadordelafábricaderelojesquediorenombreallugar.

El reloj fue puesto en funcionamiento a las seis de lamañana, acompañadopor la ceremonia que los suizos emplean en la inauguración de todos losacontecimientos, incluso los de menor importancia. Desafortunadamente, lasmanecillas del reloj habían sido montadas sobre los piñones incorrectos. La

manecilla de las horas empezó amarchar, en tanto la de losminutosmarchabadocevecesmásdespacio,conloqueloscampesinosdesignan«ladignidaddelamanecilladelahora».

Despuésdequeselehubieronexplicadoloscaprichosdelembrujadorelojalviejo y enfermo relojero, éste insistió en que se lo llevara a ver el extrañofenómeno.Debidoaunaasombrosacoincidencia,cuandollegó,lahoraseñaladaporel reloj eraabsolutamentecorrecta.Estehechoejerció sobreel anciano talefecto que murió de alegría. El reloj, no obstante, continuó produciendo susextraños caprichos, y se lo consideró embrujado. Nadie tuvo la audacia derepararloodedarlecuerda,demodoquetodassuspiezasfueronoxidándose,ytodoloquequedadeéleselcuriosoproblemaqueahorapropongo.

Sielrelojfuepuestoenmarchaalasseis,comomuestralailustración,ylamanecilla de las horas se movía doce veces más rápido que la otra, ¿cuándollegaránambasmanecillas,porprimeravez,aunaposiciónenlaqueindiquenlahoracorrecta?

RESPUESTA

Elrelojlocovolveráamostrarlahoracorrectaalas7horas,5minutos,27segundosy3/11.

Loydnoexplicacómoobtenerestarespuesta,peronopodemosresistirnosaseñalarcuánsimpleeselproblemaunavezqueunoharesueltoelanterioracertijo del reloj, «El problema del tiempo». Supongamos que el relojembrujado verdaderamente tiene 4 manecillas —un par que se muevecorrectamente y otro invertido—. Las manecillas intercambiadas sólomostrarán la hora correcta cuando coincidan con el otro par —ambasmanecillasdelashorasjuntas,yambasmanecillasdelosminutostambién—.Como uno de los pares está invertido, podemos considerar que las dosmanecillas que señalan las 12 son unamanecilla horaria y otra,minutera, ypreguntarnoscuándovolveránacoincidir estasdos.Ésees,precisamente, elinterrogantedel anteriorproblemadel reloj, cuya respuesta es5minutos, 27segundosy3/11pasadala1.Enestecaso,sinembargo,sólonosdalaposicióndelminuteroembrujado.

Volvemos ahoranuestra atenciónhacia el par demanecillas horarias queseñalanlas6ynoshallamosensituaciónanáloga.Comounadeellassemuevecomominutero,lasdosvolveránareunirsealamismadistanciadespuésdel6a la que las otras dos manecillas se reunirán después de las 12. De ahí larespuestayacitada.

[M.G.]

1.42.¿QuéedadtendráSmith?

Smithesempleadodeunacompañíadesegurosdevida,yestátanimbuidodetablasmortuoriasycolumnasdedatosqueprácticamentenohablani sueñaconotracosa.Cuando llegaasucasaseapresuraaplantearproblemasestadísticosdentrodesucírculofamiliar,especialmenteparabeneficiodesuesposa,decuyascapacidadesmatemáticasestásiempreprestoahablardespectivamente.Haceuntiempo,sinembargo,ellalelanzóunproblemaquetendráelefectodeacallarlodurante un tiempo, y que posiblemente lo cure de la costumbre de hablar deltrabajoensucasa.

Trasproponerunodesusengendrosestadísticos,quenomereciólarecepciónentusiastaqueélsuponíaquemerecía,comentójactanciosamentequesisuesposaleplanteabaalgúnproblemadeedadesofechasqueélnopudieraresponderendiez minutos, se avendría a no proponer ningún otro problema hasta que seprodujera el aniversario de ese día. Probablemente se refiera a unplazode unaño, pero como la propuesta fue hecha el 29 de febrero de 1896, y los añosbisiestos no tienen aniversarios anuales, se le obligó a cumplir literalmente supromesa.

Elproblemaqueleplanteósuesposaeselsiguiente:«Tom,supongamosquetúhubieras tenidoel tripledemiedadcuandonosconocimos,yqueyo tuvieraahoraexactamentelamismaedadquetúhabríastenidoentonces,yquecuandoyotengatresvecesmiedadactualnuestrosañoscombinadossumarancien,¿puedesdecirmequéedadtendráselpróximo29defebrero?».

RESPUESTA

CuandoSmithysuesposaseencontraronporprimeravez,éltenía3veceslaedaddeella,peroenesedíadelañobisiesto1896,ellateníalaedadqueteníaélcuando se encontraron por primera vez. Los matemáticos y otros sabios enastrologíaycienciasocultashandemostradoqueTomtenía15añosysuadorada5cuandoseconocieron,demodoqueel29defebrerode1896,ellatenía15añosy él 25. Así, cuando ella tenga 45, él tendrá 55, lo que hará que sus edadescombinadasdenlamedidadeunsiglo.

Algunosdenuestroscientíficos,sinembargo,quepensaronqueTomtenía25añosel29de febrerode1896, incurrieronenelerror—al igualqueelmismoTom—decreerque1900,paraelquefaltaban4años,eraunañobisiesto,loqueharíaqueTomtuviera29añosentonces.Porunrarotrucodelcalendario,1900nofueunañobisiesto.Elsiguienteañobisiestonoseprodujohasta1904,encuyaocasiónTomtenía33años.

1.43.Elacertijodelasbalanzas

¿Cuántasbolitasharánfaltaparaequilibrarestetrompo?

RESPUESTA

Enestesimpleejemplode«álgebravisual»,descubrimosunaejemplificacióncapital de los principios de sustitución y suma de cantidades iguales en ambosmiembros de una ecuación, sin que afecte al equilibrio, por así decirlo.Demuestra laverdaddelaxiomaqueafirmaque lascosasqueson igualesa lasmismascosassonigualesentresí.

En la primera ecuación vemos que 1 trompo y 3 cubos son iguales a 12bolitas.Enlasegundaecuación,1tromposoloigualaa1cuboy8bolitas.Ahoraagreguemos 3 cubos a cada platillo de la segunda balanza. Como agregarcantidades iguales en ambos lados no afectará al equilibrio, seguimos teniendouna ecuación. Pero el platillo de la izquierda es idéntico al platillo de laizquierda de la balanza anterior. Por lo tanto, debemos concluir que los dosplatillos de la derecha también son iguales, es decir, que 4 cubos y 8 bolitasdebenserigualesa12bolitas.Porlotanto,4cubosdebenpesarlomismoque4bolitas.Enresumen,1cuboy1bolita tienenelmismopeso.Elsegundocuadronos dice que 1 trompo se equilibra con 1 cubo y 8 bolitas, de modo quesustituimoselcubopor1bolitaytenemosqueel trompotieneigualpesoque9bolitas.

1.44.Oídoenelzoológico

¿Cómoseescribiríaelaño1906enelsistemaoctal?

Para demostrar lo difícil que le resulta a una persona común abandonar susconocimientos preconcebidos cuando reflexiona acerca de algún problemasimple,echemosunamiradaalsistemadenumeracióndecimalconelquetodosestamos familiarizados. Podemos decir que la mayoría de las personas handedicadopocasreflexionesaltema.Venquecualquiercolumnapuedemantenersehasta que llega a 9, pero en cuanto supera ese número, debe correrse a otracolumnaalaizquierda.Creenqueesasíporqueesasí,ynopuedeevitarse,delmismomodoquenopuedeevitarseque2más1sean3.Peroenrealidadnoesasí.Elhombreprimitivoaprendióoriginariamenteacalcularutilizandolosdedosdeambasmanos,delmismomodoquevernos,actualmente,quealgunaspersonasutilizan sus dedos para contar durante alguna transacción cotidiana. De allí laintroducción del sistema decimal. Si la raza humana, como se ha afirmado,desciendedelafamiliadelosmonosAngwarribo,quetienesólocuatrodedosen

cada mano, y no hubiéramos incorporado el dedo extra, hubiéramos seguidocalculandoenloqueseconocecomosistemaoctal.

Desde un punto de vista matemático, puede demostrarse que el sistemadecimalnoestanperfectocomoalgunosotros,yqueparaelmismopropósito,elheptal, que sólo va hasta 7, es mejor. En esa anotación, 66 significaría seis«sietes»yseis«unos»,demaneraquelaadicióndeun1másdaría100,loqueseríaiguala49ennuestraanotacióndecimal.

Ya ven, 1 sumado al 6 en la columna de unidades daría 7, de modo quetendríamosqueponerun0yllevar1alotro6,queasuvezseconvierteenun7,porloqueponemosotro0yllevarnosel1alaterceracolumna,haciendo100,loqueequivalea49.Deestamismamanera,222representa114:dosunidades,dos«sietes»ydos«cuarentaynueves».

Suponiendo que el sistema octal fuera la anotación popular de la época denuestrosancestrosAngwarribodeochodedos,cuandocontabanhastaochoynadasabíandel9oel10,¿cómoescribiríaustedelaño1906paramostrarelnúmerode años transcurridos desde el principio de la era cristiana? Es un bonitoproblema que le limpiará el cerebro de telarañas y le presentará algunosprincipioselementalesutilizadosenlaconversióndeunsistemanuméricoaotro.

RESPUESTA

En el sistema octal, 1906 se escribe 3562, lo que representa 2 unidades, 6«ochos», 5 «sesenta y cuatros» y 3 «quinientos doces». El procedimiento mássimpleparaarribaraestenúmeroesdividirprimero1906por512paraobtener3. El resto, 370, es dividido entonces por 64 para obtener 5. El resto, 50, esdivididopor 8 para obtener 6, y el resto final de 2 es, por supuesto, el últimodígito de la respuesta. Si hubiéramos deseado convertir 1906 al sistemaheptalhabríamos seguido un procedimiento similar, dividiendo por las sucesivaspotenciasde7.

1.45.Elpicnicanual

Cuandotodospartieronalgranpicnicanual,cadacochellevabaexactamenteelmismo número de personas. Amitad de camino, se rompieron diez coches, demodoquecadaunodeloscochesdebióllevarunapersonamás.

Cuando volvían a casa descubrieron que se habían descompuesto quincecochesmás,demaneraqueduranteelviajederegresohabíaencadacochetrespersonasmásquealpartiralamañana.

¿Cuántaspersonasasistieronalgranpicnicanual?

RESPUESTA

900excursionistasfueronalpicnicen100coches,9encadauno.

1.46.Elproblemadelconvento

¿Cuántasmonjasvivíanenelconventoyquéhabitacionesocupaban?

ElproblemadelasMonjasenelConventodeMonteMaladettaapareceencasitodaslascoleccionesdeacertijos,peroesmuyinfantilylarespuestademasiadodébilnollegaasatisfacerlasexpectativasdelosaficionados.

Recuerdo que la respuestame desilusionómucho la primera vez que lo vi,haceyamuchosaños,yrecuerdotambiénlaafirmacióndequeelproblemaeradeorigen español y se basaba en un incidente ocurrido varios siglos atrás.Recientemente llegóamismanosunaviejahistoriaespañolaendondeencontréuna breve alusión al convento deMonteMaladetta, situado en la montaña delmismo nombre, la cumbre más alta de los Pirineos. Se hace referencia a laocupación de esa parte del país por invasores franceses que fueron finalmentederrotadosyobligadosamarcharseatravésdeesefamosopasoquefuemarcodetantasluchasdurantemásdeunsiglo.

La alusión directa al acertijo se da, no obstante, en el pasaje que dice:«Muchas de lasmonjas fueron raptadas por los soldados franceses, lo que sinduda dio origen al conocido problema de las monjas del convento de Monte

Maladetta».Comonoseofreceallíningunaexplicacióndelacertijo,ylaversiónpopular

estansusceptibledesolucionesdobles,metomolalibertaddepresentarloenunaforma que preserva el espíritu del problema y que elimina, al mismo tiempo,todaslasotrasrespuestas.

Elconvento,talcomolomuestralailustración,eraunaestructuracuadradadetres pisos, con seis ventanas en cada lado de los pisos superiores. Se veclaramente que hay ocho cuartos en cada uno de los pisos superiores, lo quecoincideconlosrequerimientosdelaantiguahistoria.Segúnlaleyenda,lospisossuperioreseranutilizadoscomodormitorios.Elúltimopiso,queteníacamasencadaunadelashabitaciones,albergabaeldobledeocupantesqueelprimerpiso.

LaMadreSuperiora,deacuerdoconlaviejaregladelosfundadores,insistíaen que las ocupantes debían dividirse de tal manera que ocupasen todas lashabitaciones;debíahaberenelúltimopisoeldoblequeenelprimero,ydebíahabersiempreexactamenteoncemonjasenlasseishabitacionesdecadaunodelos cuatro lados del convento. El problema se refiere tan sólo a los dos pisossuperiores,demodoquenoesnecesarioqueconsideremoslaplantabaja.

Bien,ocurrióquetraslaretiradadelejércitofrancésatravésdelpasodelosPirineos,sedescubrióquehabíandesaparecidonuevemonjas,delasmásjóvenesyatractivas.Siempresecreyóquehabíansidocapturadasporlossoldados.Sinembargo,paranopreocuparalaMadreSuperiora,lasmonjasqueadvirtieronladesapariciónselasarreglaronparaocultarelhechopormediodeunainteligentemanipulaciónocambiodelasocupantesdelashabitaciones.

Así, lasmonjas lograron reacomodarse de tal modo que, cuando laMadreSuperiorahacía sus rondasnocturnas,hallaba todos loscuartosocupados;oncemonjasencadaunodeloscuatroladosdelconvento;eldobleenelúltimopisoqueenelprimero,ynoobstante,faltabannuevemonjas.¿Cuántasmonjashabíaycómosedispusieron?

Elmérito del acertijo estriba en las paradójicas condiciones del problema,que en primera instancia nos parece absolutamente imposible de resolver. Noobstante, cuando se sabe que hay una respuesta, se presta tanto a losmétodosexperimentalesde resolucióndeacertijos,quenuestrosaficionadosdescubriránquesetratadeunalecciónentretenidaeinstructiva.

RESPUESTA

Cuando fueron raptadas 9 monjas, el resto se reacomodó de la siguientemanera:

1.47.LospecesluchadoresdeSiam

¿Cuántotiempolellevaráaunadelasespeciesdepecesvenceralaotra?

LagentedeSiamsonjugadoresnatosqueapostaríanhastasuropaencualquiercasoqueofrecieraunaposibilidaddeganaroperder.Nosonbeligerantes,peroadoranpresenciarunapeleaentreotrascriaturas,desdesaposhastaelefantes.Lasluchasdeperrosolasriñasdegallossonunacontecimientocotidiano,ysellevana cabo siguiendo las tendencias comunes de los países civilizados… ¡pero enningúnotrolugardelatierraesposibleverunaluchaentrepeces!

Poseendosclasesdepecesque,apesardeserbuenalimento,soncriadosyvaloradossolamenteporsuscualidadesdelucha.Unodeellosesunagranpercablanca conocida comopez rey, y el otro es unapequeña carpanegra o pez deldiablo.Entreestasdosespeciesexistetalantipatíaqueseatacanconsóloverse,ylabatallaesamuerte.

Unpez reypuedevencer enunospocos segundosaunoodosde lospeceschicos,perolospecesdiablossontanágiles,ytrabajanjuntostanarmónicamentequetresdeellospuedenigualaraunodelosgrandes,por loquepuedenluchar

durantehorassinningúnresultado.Sulíneadeataqueestanprecisaycientíficaquecuatrodelospeceschicos

puedenmataraunograndeentresminutos,ycincolleganaadministrarelcoupdegrâce en un tiempo proporcional (ej.: cinco puedenmatar a un pez rey en dosminutosy24segundos,seisendosminutos,etc.).

Estacombinacióndefuerzasadversases tanprecisayconfiablequecuandose lleva a cabo un torneo, siempre se puede calcular el tiempo exacto que lellevaráaciertonúmerodeunaespecievenceraciertonúmerodesusenemigos.

La ilustración muestra a cuatro peces rey luchando contra trece de lospequeños.

¿Quiénganará?¿Ycuántotiempollevaráaunaespecieaniquilaralaotra?

ParaevitarambigüedadesenlaenunciaciónqueLoydhacedelproblema,debernosaclararquelospecesdiablosiempreatacanaunpezreyengruposdetresomás,ypermanecenconestepezgrandehastadarcuentadeél.

No podemos suponer, por ejemplo, que mientras los doce peces diablomantienenarayaa loscuatrograndes,elpezdiablonúmero trecevayvieneparaacabaratodoslospecesrey,atacándolessimultáneamente.

Si permitimos fracciones, por así decirlo, de peces diablo, podemosrazonar que si cuatropeces diablomatan a unpez rey en tresminutos, trecepecesdiabloterminaránconunpezreyen12/13minutos,ocuatropecesreyen48/13minutos(3minutos,41y7/3desegundos).

Peroestamismalíneaderazonamientonosllevaráalaconclusióndequedocepecesdiablomatarán aunpez rey enunminuto, o cuatropeces rey encuatrominutos, incluso sin la ayudadel pezdiablonúmero trece, conclusiónque viola claramente la suposición deLoyd de que tres peces pequeños sonincapacesdemataraunpezrey.

[M.G.]

RESPUESTA

¡Por cierto que hubiera habido una real batalla en ese acuario siamés sihubierahabidotantospecescomorespuestasrecibíaesteproblema,ytodasellassosteniendoopinionesdiferentes!

Ennombredelaclaridadylasimpleza,meinclinoaaceptarcomocorrectaladecisióndelcronometrista:

Tres pececitos igualaron fuerzas con cada uno de los tres peces grandes,distrayéndolosmientraslosotroscuatropequeñosluchadoresliquidabanalcuartopez grande en 3 minutos exactos. Luego, cinco pequeños se ocuparon de unogrande y lo mataron en 2 minutos y 24 segundos, en tanto los otros pececitosbatallabanconelrestodelosgrandes.

Es evidente que si los dos grupos restantes hubieran sido ayudados con unluchadormás,todoshubieranterminadoenelmismotiempo,yaquecadaunodelos peces grandes sólo tiene resistencia como para demandar la energía de unpececitodurante2minutosy24segundos.Por lo tanto, si losqueatacanahorasonsieteenvezdeuno,loharánen1/7deesetiempo,o20segundosy4/7.

Al dividir las fuerzas de los pececitos para atacar a los dos peces grandesrestantes,unoseráatacadoporsieteyelotroporseis,alfinaldelos20segundosy 4/7 el último pez rey todavía necesitaría del castigo que un pececito puedeadministrareneselapso.Lostrecepequeñitos,concentrandosuataque,daránfinalpezgrandeen1/13deesetiempo,o1segundoy53/91.

Sumandolostotalesdetiempodelosdiversosrounds,3minutos,2minutosy24segundos,20segundosy4/7,y1segundoy53/91,tenemosqueeltiempoquedurólabatallaesde5minutos,46segundosy2/13.

1.48.Elproblemadeldinerochino

¿Quécombinacióndemonedasserviráparacomprarelcachorro?

Los chinos acuñaron dinero miles de años antes de la era cristiana, pero suincapacidad para comprender los principios fundamentales de la monedacorriente los ha llevado, en ocasiones, a ciertos límites de extravagancia yexperimentación. En el Reino Florido, las transacciones de importancia serealizancon lingotesdeoroque llevanestampadoelnombredelbanqueroy lafecha,perolamonedacorrientedelpaíseseltaeloefectivodevalorfluctuante.Hicieron lasmonedascadavezmás finas,hastaque2.000deellasapiladasnoalcanzabanatrespulgadasdealtura.Demanerasimilar,lamonedacorriente,queesdebronceconunagujerocentral triangular, redondoocuadrado,deunvalorapenasunpocomayorqueunmilésimodenuestrodinero,esdeespesorvariable.Loschinoscalculansuvalorenhebrándolasenunalambreparamedirsualtura,encentavos.

Suponiendoque oncemonedas con orificio redondovalgan 15 centavos, en

tanto once con orificio cuadrado valen 16 centavos, y once de los triangularesvalen 17 centavos, diga cuántas monedas redondas, cuadradas o triangularesseríannecesariasparacomprarelgordocachorritoquevale11centavos.

RESPUESTA

Según la información suministrada, una moneda de agujero redondo vale15/11decentavo,unamonedadeagujerocuadradovale16/11decentavo,yunamoneda de orificio triangular 17/11 de centavo. El cachorro, que vale 11centavos, puede comprarse con1monedade agujero cuadradoy7monedasdeagujeroredondo.

1.49.Carnicero

MirelatosebasaenunincidentequemecontaraIkeReed,delviejoemporiodel caballo Johnson & Reed. Durante el último período de su presidencia, elgeneral Grant regresaba de su paseo vespertino y de modo humorístico, peromortificado,lerelatóalcoronelShadwick,dueñodelhotelWillard,queenlarutalehabíapasadouncarrodecarniceroatalvelocidadquesuscaballoscampeonesparecíanhabersequedadoinmóviles.Dijoademásquelegustaríasaberquiéneraeldueñodelcaballo,yaveriguarsielanimalestabaenventa.

El caballo fue rápidamentehallado, y comprado así a un sencillo carniceroalemánporlamitaddeldineroquehabríapedidodesaberqueelcompradoreraelPresidentedelosEstadosUnidos.

El caballo era de color claro, y se convirtió en el favorito de Grant:«Carnicero»,llamadoasíapartirdelincidentequeyarelatamos.

Bien,algunosañosmástarde,traslacatástrofedeWallStreetqueafectólasfinanzasdelafamiliaGrant,CarniceroysuparejafueronvendidosenelrematedeJohnson&Reed,porlasumade$493,68.

El señorReed dijo que hubiera logrado el doble por ellos si se le hubierapermitido mencionar el nombre del dueño, pero el general Grant prohibióexpresamentequesedifundieraesedato.«Noobstante»,dijoReed,«haganadoustedundosporciento,yaqueganóun12%conCarniceroyperdióun10%conelotro».

«Supongoqueasílocalculanalgunaspersonas»,respondióelgeneral,perolamaneraenqueseriódemostrabaqueeramejorconlosnúmerosquelamayoría,demodoquepediré anuestros aficionadosquemedigancuánto sacóconcadacaballosiperdió10%conunoyganó12%conelotro,peroconunagananciade2%entodalatransacción.

RESPUESTA

Carnicerocostó$264yfuevendidopor$295,68,conunbeneficiode12%.Elotrocaballocostó$220yfuevendidopor$198,conunapérdidadel10%.Costototal:$484;totalrecibido:$493,68,conunbeneficiototaldel2%.

2PROBLEMASDE

PROBABILIDADESYTEORÍADEJUEGOS

2.1.Juegodedadosdelaverbena

Elsiguientejuegodedadosesmuypopularenferiasyverbenas,peroyaqueesraroquedospersonasesténdeacuerdosobrelasposibilidadesdeganarquetieneeljugador,lopresentocomoproblemaelementaldelateoríadeprobabilidades.

En el tablero hay seis cuadradosmarcados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se invita a losjugadoresacolocartantodinerocomodeseenencualquieradeestoscuadrados.Searrojanentoncestresdados.Sielnúmeroquesehaelegidoapareceenunsolodado,unorecuperaeldinerodelaapuestamásunacantidadigual.Sielnúmeroapareceendosdelosdados,unorecuperaeldineroapostadomásdosvecesesamismacantidad.Sielnúmeroapareceentresdados,unorecuperaeldineromástres veces la misma cantidad. Por supuesto que si el número no aparece enningunodelosdados,eldueñosequedaconnuestrodinero.

Paraaclararlopormediodeunejemplo,supongamosqueustedapuesta$1alnúmero6.Siundadomuestraun6,ustedrecuperasudólarmásotrodólar.Sihaydosdadosquemuestren6,ustedrecuperasudólaryganadosmás.Silosdadosquemuestranun6sonlostres,ustedrecuperasudólaryganatresdólaresmás.Cualquierjugadorpodríarazonar:laprobabilidaddequeminúmeroaparezcaenundadoesdel/6,perocomolosdadossontres,lasprobabilidadesdebenserde3/6o1/2,porlotantoeljuegoesjusto.Porsupuestoqueestoesloqueeldueñodeljuegodeseaquesesuponga,pueslasuposiciónesfalaz.

¿Eseljuegofavorablealdueñooaljugador?Encadaunodeloscasos,¿hastaquépuntoesfavorable?

RESPUESTA

De las 216maneras igualmente probables en que pueden ser arrojados losdados, usted ganará en 91 casos y perderá en los otros 125. Demodo que laprobabilidad de ganar lo mismo que se apostó o más es de 91/216 (quetransformadoaprobabilidaddeganarlomismoqueseapostóesde100/216),ylaprobabilidaddeperderesde125/216.

Si los dados mostraran siempre números diferentes, el juego sería justo.Supongamosquetodosloscuadradosestuvierancubiertosporunaapuestadeundólar.Encada tiradaquemostrara tresnúmerosdiferentes, eloperadorganaríatresdólaresytendríaquepagarotrostres.Peroenlosdoblesganaundólar,yenlos triples, dos. A la larga, por cada dólar apostado por un jugador,indiferentementedecómo juegueeldineroyenquécantidades, lecabeesperarunapérdidadealrededorde7,87centavos.Estodaaldueñounbeneficiode7,87porcientosobrecadaapuestadeundólar.

2.2.Pollosenelmaizal

Ayudealgranjeroyasuesposaaatraparlospollos.

Alobservar los retozosde losperros juguetones, losgatitosyotrosanimalesdomésticos,amenudonossentimosimpresionadosporsucapacidaddepenetrarenelespíritudeljuego,talcomolesocurrealossereshumanos.Peroenloqueserefiereaunadivertidísimaexhibicióndetravesura,o«maliciosaterquedad»,como dice el granjero, jamás he visto nada igual al deporte favorito de dosobstinadospollosquesenieganasalirdeunjardín.Nocorrennivuelan,sinoquetan sólo esquivan, manteniéndose cerca de sus perseguidores pero fuera de sualcance. En realidad, cuando los potenciales capturas se retiran, los pollos setransforman en perseguidores y los siguen pisándoles los talones, cacareandodesafiantesydespectivos.

EnunagranjadeNuevaJersey,dondealgunaspersonasdeciudadhabíanidoapasarelverano,lacazadepollossetransformóenundeportecotidiano.Había

dospollosquesiempresemetíaneneljardín,prestosadesafiaracualquieraqueintentaraatraparlos.Elhechosugeríauncuriosoacertijoque,segúncreo,medarálasatisfaccióndepreocuparaalgunosdenuestrosexpertos.

El propósito es comprobar en cuántos movimientos el buen granjero y suesposapuedenapresaralasdosaves.

El campo está dividido en sesenta y cuatro cuadrados, delimitados por lasplantasdemaíz.Supongamosqueeljuegosedesarrolladesplazándoseentrelasfilasdeplantasdeuncuadradoaotro,dearribaaabajoodederechaaizquierda.

Empieza el juego. Primero el hombre y lamujer se desplazan cada uno uncuadrado y luego cada una de las aves hace también unmovimiento. El juegoprosigueporturnoshastaquesedescubreencuántosmovimientosresultaposibleacorralarycapturaralospollos.Lacapturaseproducecuandoelgranjeroosuesposapuedenirrumpirenuncuadradoocupadoporunadelasaves.

Eljuegopuedejugarseencualquiertablerocuadriculado,usandodospiezasdelmismocolorpararepresentaralgranjeroyasuesposa,yotrasdosdistintaspararepresentaralgalloylagallina.

RESPUESTA

El punto divertido de este acertijo es que, se juegue como se juegue, el«hombre»nopuedeatraparal«gallo»nila«mujer»ala«gallina»,pues,comosediceenajedrezoenlasdamas,elgallo«leganaporlamano»alhombre,yporlamismarazón lamujernuncapuede llegara«oponerse»a lagallina.Perosi lascosas se invierten, y es el hombre quien va tras la gallina y la mujer tras elgallo…¡lasavesdecorralpuedenserfácilmentecapturadas!Unadeellaspuedeatraparseeneloctavomovimiento,ylaotraenelnoveno.

2.3.Elgranacertijodelbillaramericano

¿Cuáldelosjugadoresdebepagarlapartida?

Treshombrescomienzanunjuegodebillaramericanodequincebolasy,segúnlacostumbre,acuerdanqueelperdedordeberápagarlapartida.EljugadorN.º1,que era un experto, acepta jugar en contra de los jugadores N.º 2 y N.º 3,metiendo tantas bolas como los otros dos juntos. Cuando estaban a punto decomenzar, se les unió un cuarto hombre. Como era un desconocido, no recibióningunaclasedehandicap,jugandodeigualaigualconcadaunodelosotrostresjugadores.

Elmarcadormuestraelnúmerodebolasquecadaunodeellosmetióduranteeljuego.Seprodujoentoncesunadiscusiónconrespectoaquiéneraelperdedor.

Elproblemaconsisteendeterminarcuáldelosjugadoresdeberápagarporeljuegosegúnlostérminospactados.Elproblemanoestansimplecomoparece,yellopuedeinferirsedequefuetratadoporloscompetidoresdeunrecientetorneopor el campeonato, y no hubo dos jugadores que coincidieran en la respuesta.¿Cuáldeloshombresdebepagarlapartida,yporqué?

RESPUESTA

Elmejor jugador alegó que como había batido alN.º 4, no había perdido.PeroelN.º4,quehabíabatidoalN.º3,dijoquetampocoeraélelperdedor,entantoqueelN.º3sostuvoque,haciendoequipoconelN.º2,habíabatidoalN.º1,porloque,segúnelcontrato,nopodíaserllamadoperdedor.

Hay otras complicaciones que ofrecen distintas líneas de argumentación.Como el N.º 4 entró sin ningún arreglo, no está obligado por ningún contratoprivado,demodoquecuandohizo4contralas2delN.º3,sepusoelsombreroyel abrigoy se fue a casa.Entonces elN.º 1 tuvoque responder a su arregloy,comohabíaganado5bolascontralas6desusoponentes,laderrotadelN.º3fuetransferidaalN.º1,quiendebiópagarporlapartida.

Perohayotroenfoquedelacuestiónquepodríarevertirelveredicto.LosN.º3y2hanjugadocontraelN.º1porunarregloespecial,perocomoelN.º1habatidoalN.º4,estálibredetodaresponsabilidad.ComolosN.º2,3y4jugaronentérminosparejos,sinningúnarreglo,pierdeelN.º3.

Obviamente,elproblemaessemántico,ynotieneningunarespuestaclara.En cuanto el cuarto jugador entró en el juego, los jugadores debieronestablecer por adelantado algún tipo de acuerdo acerca del término«perdedor». Como no sellaron tal acuerdo, la palabra carece, en estascircunstancias, de un significado preciso. De todos modos, el problema deLoydpuedeprovocardivertidasargumentaciones.

[M.G.]

2.4.Carrerasenelpaísdelosacertijos

¿Cuálessonlasprobabilidadesencontradelajirafa?

Sólo para demostrar qué pocas personas fanáticas de las carreras conocenverdaderamentelateoríadelasprobabilidades,formulamoslasiguientepregunta,muysencilla:

Silasprobabilidadessondosaunoencontradelhipopótamo,ydetresadosencontradelrinoceronte,¿cuálesseríanlasprobabilidadesencontradelajirafasitodoesexacto,talcomosiempreloesenelPaísdelosAcertijos?

Heaquíunsegundoacertijorelacionadoconlamismailustración:Silajirafapuedeganarlealrinoceronteporunoctavodemillaenunacarrera

de dos millas, y el rinoceronte puede ganarle al hipopótamo por un cuarto demillaenunacarreradedosmillas,¿porcuántadistanciapuedeganarlelajirafaalhipopótamoenunacarreradedosmillas?

RESPUESTA

Si convertimos las probabilidades en fracciones, descubrimos que elhipopótamo tiene 1/3 para ganar, y el rinoceronte, 2/5. Como las tresprobabilidadessumadasdebendar1,concluimosquelaprobabilidaddeganardelajirafaes4/15,esdecirunaprobabilidadde11a4ensucontra.

La respuesta al segundoproblemaesque la jirafabatirá alhipopótamopor23/64 de unamilla. Suponiendo que la jirafa corriera 2millas en una hora, elrinoceronte correría 1milla y 7/8 demilla en elmismo tiempo, o 2millas en16/15 de hora. En tanto el rinoceronte corriera estas 2 millas, el hipopótamocubriría1y3/4millasenelmismotiempo,o105/64millasen1hora.Como2millas es lomismoque 128/64millas, sólo tenemos que sustraer 105/ 64 paraobtenernuestrarespuesta.Larespuestaserálamisma,porsupuesto,siasignamosalajirafacualquierotravelocidad.

2.5.ElsistemadeLordRosslyn

Larecientenoticiadequealguienhabíaganado777.777francosenMontecarlorecuerdaelprincipiodelsistemadeLordRosslyn,difundidohaceunosaños.

Sinentrarenlascuestionestécnicasdeljuegoderuleta,talcomosepracticaenMontecarlo,aceptaremoslaafirmacióndequeelsistemadeLordRosslynsebasabaenelprincipiodeapostaralosmúltiplosdesiete,ypediremosanuestroslectoresqueresuelvanelsiguienteproblema.

Supongamos que un jugador (que sólo apueste a rojo o negro, donde lasprobabilidadessoniguales),apuestaunsolofrancosietevecesseguidasyluego,haya ganado o perdido, aumenta la apuesta a 7 francos y vuelve a jugar sieteveces. Entonces apuesta 49 francos siete veces, luego 343 francos siete veces,luego 2.401 francos siete veces, después 16.807 francos siete veces, después117.694 francos siete veces. Si jugando así 49 veces llegara a ganar 777.777francos,¿cuántasvecesacertóparallegaraesacifra?

El problema es simple, pero no obstante resulta interesante para ilustrar loquedurantealgúntiemposeconocíacomo«elafortunadosistemaRosslyn».

Sialprincipionopuedeustedconseguirlasumaexactade777.777francos,unas pocas pruebas experimentales le demostrarán que el acertijo no es tanmatemáticocomoparece.

RESPUESTA

Hayunaodosmanerasdevariarlarespuesta,peroelprincipioinvolucradoparaproducirelresultadoessiempreelmismo.

Pierde las7apuestasde1franco,despuéspierde3apuestasde7francosygana4,loqueigualasuspérdidasyganancias.Despuésgana2veces49,pierde5veceselmismonúmero,despuésgana7veces343.Pierdeluego3veces2.401ygana4veces,despuésgana2veces16.807ypierde5veces,yfinalmentegana7veces la apuesta límite de 117.649. En total ha ganado 869.288 francos y haperdido91.511,loqueledejaunagananciade777.777francos.

2.6.ElgranproblemadeColón

¿Cómopuedeganarsiempreelprimerjugador?

Recientemente me encontré con una vívida descripción escrita acerca de lalocuraporlasapuestasduranteelsigloXV,donde,entreotrosjuegosdeazarodeinteligenciaquetantoentusiasmabanaloscaballerosalpuntodehacerlesapostarsincontrol,semencionabaeldeportedeposarhuevossobreunatela.

Ésefue,posiblemente,elverdaderoorigendelahistoriadelhuevodeColón,queapesardetenerunaastutamoralejasiempremehaparecidodemasiadoflojapara un período tan feroz.Caí en la cuenta de que el juego requería ingenio yoriginalidaddepensamiento.

Esunsimplejuegoparadosparticipantes.Éstosdebensituaralternativamentehuevos de tamaño uniforme sobre un paño cuadrado. Cuando se ha puesto unhuevo,estenodebeserrozadonimovidoporotro.Eljuegoprosiguehastaqueelpañoestétancolmadoqueresulteimposiblecolocarotrohuevo.Lapersonaqueacomodóelúltimohuevoeselganador,ycomolasdimensionesdelpañoodeloshuevos,asícomolasdistanciasvariablesquepuedehaberentrehuevoyhuevo,carecen de importancia, parecería que la cuestión de colocar el último huevofuesecosadesuerte.Sinembargo,elprimerjugadorpuedeganarsiempregracias

aunaastutaestrategiaque,talcomoloexpresaraelgrannavegante,«¡eslomásfácildelmundounavezquesenoshadichocómohacerlo!».

RESPUESTA

Elsecretoestribaenponerelprimerhuevoexactamenteenelcentrodelpañotalcomomuestraeldiagramacuadrado.Entonces, independientementedel lugardonde el contrincante coloque un huevo, hay que duplicar su jugada en el ladoopuestoyenlíneadirectaatravésdelhuevoN.º1.Losnúmerosdadosilustranelcomienzodeljuego,continuandoenelordenregulardejugadas.

Elhechodecolocarelprimerhuevoenelcentronobastaríaparaganarsiselocolocara tumbadosobre lamesa,pues,graciasa la formaovaldelhuevo,elsegundo jugadorpodría colocarotrohuevomuypróximoal extremocónico, talcomo se ve en la ilustración, fuera del cuadrado. Esta jugada no podría serduplicada.

Laúnicamaneradeganar,entonces,talcomolodescubrióelgrannavegante,esachatarunextremodelprimerhuevo,detalmodoquesequededepie.

2.7.Elacertijodelgolf

¿Quédosgolpespermitenrecorrerelcampoconel«score»másbajo?

Todo el mundo está hoy en día jugando al golf, e incluso los perezosos quepocas semanas atrás declaraban cuánto más placentero era mecerse en unahamacaalasombra,sehancontagiadodelafiebredelgolf,yandanpersiguiendolapelotaa travésde los links.Yonosoyungrangolfista,peroheconocidoungenio que ha desarrollado un sistema ganador basado en la matemática. Dice:«Sólohayquecultivardosgolpesparadiferentesdistancias,unolargoydefuerza(drive),yotrodeaproximación(aproach),yjugardirectamentehaciaelhoyodemodoquelacombinacióndeambasdistanciasnoslleveallí».

¿Cuáles serían las distancias apropiadas que deberían cubrir cada uno deestos golpes para hacer el más bajo «score» posible en un campo de golf denuevehoyos,de150yardas,300yardas,250yardas,325yardas,275yardas,350yardas, 225 yardas, 400 yardas y 425 yardas? La pelota debe recorrer toda la

distancia con cada golpe, pero es posible pasarse del hoyo con cualquiera deambos golpes y después regresar. Todos los golpes son en línea recta hacia elhoyo.

RESPUESTA

Elcampodegolfpuede recorrerseen26golpesutilizandoundrivede150yardasyungolpedeaproximaciónde125yardas.Losgolpesse realizande lasiguientemanera:

150yardas:1drive.300yardas:2drives.250yardas:2aproximaciones.325 yardas: 3 drives, 1 aproximación de regreso. 275 yardas: 1 drive, 1aproximación.350 yardas: 4 aproximaciones, 1 drive de regreso. 225 yardas: 3aproximaciones,1drivederegreso.400yardas:1drive,2aproximaciones.425yardas:2drives,1aproximación.

2.8.Elacertijodeloscuadraditos

¿Cuáleslamejorjugadaycuántoscuadraditosseconsiguenconella?

HeaquíunconocidojuegodeOrientequesejuegaconreglasmuysimilaresalasdelfamosojuegodel«Ta-Te-Ti».Unadelasjóveneschinasescribedieciséisletras encuatro filas enunapizarra, tal comoseve trasmarcaruna línea rectaentre A y B, pasa la pizarra a su contrincante, quien conecta E con A. Si laprimerajugadoraconectaraahoraEyF,laotraconectaríaBconFyganaría«uncuadradito»,loqueledaríaderechoajugarunavezmás.Peroambashanjugadotanbienqueningunadelasdoshaganadotodavíauncuadradito,aunquecadaunadeellashajugadoseisveces.Eljuegoestállegandoaunpuntocríticoenelqueunade ellasdeberáganar, yaque el juegonoofreceotrasposibilidades.Tienequejugarahoralamuchachaqueestásentada,ysiconectaMyNsucontrincanteharíacuatrocuadraditosenunasolajugada,conderechoaotrajugadamás,enlaqueconectaríaHyLyganaríatodoelresto.

¿Qué jugada recomendaríausted,y cuántos cuadraditosganaría comparando

estajugadaconlamejorjugadaposibledelsegundojugador?Recuerdequecuandounjugadorcierrauncuadradovuelveajugar.Supongamos,porejemplo,queunjugadoruneDconH.Despuéselsegundo

jugador une H y L y, sin importar cuál sea la jugada del primer jugador, elsegundoganalosnuevecuadradosininterrumpidamente.

Esun juegoque requiere considerable habilidad, tal comodescubrirá usteddespuésdejugaralgunaspartidas.

RESPUESTA

Este acertijo suministra muchísimas oportunidades de sorprenderse y dedesarrollar un juego sutil. El primer jugador debería hacer 7 cuadradosempezandoconunalíneaquevadeGaH.SielsegundomarcaentoncesdesdeJaK, el primeropuedehacer2 cuadradosmarcandodeKaOydeP aL,yharáluegounmovimientodeespera,deLaH,envezdecerrar2cuadradosmás.Elotro jugador hace entonces los 2 cuadrados,marcando deG aK, y luego estáobligadoaotrajugadaquedaráalprimerjugadorlaoportunidaddecerrar5más.

SidespuésqueelprimerjugadormarcadeGaH,elsegundojugadormarcaD-H,B-F,E-F,yluegohacelajugadadeesperaM-N,esseguroqueharáotros4cuadrados más. Esta astuta técnica de abandonar la posibilidad de hacer 2cuadradosconelobjetodeconseguirmáseselaspectomásinteresantedeljuego.

Conocido entre los escolares norteamericanos como «Puntos yCuadrados»,ésteesprobablementeelmássimpleydifundidoejemplodeunjuego topológico.Puede jugarseen tableros rectangularesdediversa formaytamaño. El tablero cuadrado de 9 puntos es fácilmente analizable, pero eltablerode16puntosutilizadoporLoydeslosuficientementecomplejocomoparaconstituirunverdaderodesafío.Noconozconingúnanálisispublicadodeestrategiaganadoraparaelprimeroosegundojugador—nopuedeterminarenempateacausadelnúmeroimpardecuadrados.

En 1951, Richard Haynes, de 1215 E. 20th. Street, Tulsa, Oklahoma,inventóunainteresanteversióntridimensionaldeestejuego,alquellamó«Q-bicles».Sepuedeobteneruncuadernillodehojas impresaspara jugar alQ-biclesenviandoundólaralseñorHaynes.

También puede jugarse con tramas de puntos que formen celdillasbidimensionalestriangularesohexagonales.

[M.G.]

2.9.Lacarreradepatatas

¿Quéniñoganará?

Antiguamente,ningunaferiaruralestabacompletasinunacarreradepatatas,yenalgunas localidades elpasatiempoes todavíapopular entre losmuchachosylasjóvenesdelcampo.Secolocancienpatatasenelsuelo,enlínearecta,adiezpiesdedistanciaunadeotra.Sesitúaunacanastaadiezpiesdedistanciadetrásdelaprimerapatata.Losdoscompetidorespartendelacanastaycorrenhastalaprimerapatata.Quien llegaprimeroaella la llevahasta lacanasta,mientraselotrocompetidorvaabuscarlasegunda.Deestamanerasetransportandeunaenuna todas las patatas hasta la canasta, y el ganador es aquel que introduzcaprimerocincuentapatatas.

Nuestroprimerproblemaconsisteendecirquédistanciarecorreunapersonaquepartieradelacanastayrecogieralascienpatatas,deunaenuna.

Nuestrosegundoproblema,muchomásdifícil,serefiereaunacarreraentreTomyHarry.ComoTomes2,04%másrápidoqueHarry,lepermiteaesteúltimoqueelijaunapatatayladejecaerenlacanastaantesdecomenzarlacarrera.En

otraspalabras,paraganarlacarrera,TomdebereunircincuentapatatasantesdequeHarrylogrejuntarlascuarentaynuevequelefaltan.LailustraciónmuestraaHarryarrojandoenlacanastalapatataquehaelegido.

ElresultadodelacarreravariarásegúnlapatataqueHarryelija.DebeusteddeterminarcuálpatatadebeelegirHarryparaaumentarsusposibilidadeslomásposibleycuálseráelresultadodelacarrerasieligecorrectamente.

RESPUESTA

¡Unapersonadeberecorrer101.000pies,ounpocomásde19millas,pararecogerlas100patatas!

LamejorestrategiaparaHarryes ladeelegir lapatatan.º99.Tom,quees2,04%másrápido,recogerálaprimerapatata,Harrylasegunda,Tomlatercera,yasísucesivamentehastalaúltima.Tomnoessuficientementerápidocomopararecoger dos patatas adyacentes. Harry tendrá que recorrer 49.980 pies paraconseguir sus 49 patatas. Durante ese lapso, Tom recorrerá 50.999,592 pies.Comotienequerecorrer51.000piesparatraersus50patatas,¡Harryganarápormenosdemediopie!

2.10.Laconfusióndesombreros

Hay acertijosmuy interesantes que pueden surgir en cualquiermomento entrelos diversos cambios y azares de esta vida. George Washington Johnson, elhonesto encargado del guardarropa en una reciente función de moda, deseaconocerlasolucióndelsiguienteproblema.

Al final de la función sólo quedaban seis sombreros, pero los solicitantesestabantanatontadosqueningunopodíaencontrarlacontraseñacorrespondiente,y mucho menos reconocer cuál era su sombrero. Completamente desesperado,Johnson se vio obligado a permitir que cada uno de ellos hiciera su propiaelección.Ocurrióquelosseistomaronunsombreroquenolespertenecía.Desdeelpuntodevistadeunaficionadoa losacertijos, resulta interesantedeterminarcuáles son las probabilidades de que algo así ocurra. Si cada uno de los seishombresescogeunsombreroalazar,¿cuáleslaprobabilidaddequeningunodeellostomesupropiosombrero?

RESPUESTA

Laprobabilidaddequeningunodelosseishombresrecibasusombreroesde265/720.

Sellegaaesteresultadodelasiguientemanera.Elnúmerodemanerasenquensombrerospuedensertomadosalazarsinqueniunasoladelaspersonasrecibasupropiosombreroes:

Amedidaquenaumenta,larespuestaseaproximacadavezmásaecomolímite, suministrando así una curiosa técnica empírica para calcular eltrascendental número e. Ver W. Rouse Ball, Mathematical Recreations,edición actual, p. 46, para un análisis de este problema, con aplicación depreguntas similares que involucran la coincidencia de cartas en dos mazosbarajados.

[M.G.]

3PROBLEMASCONFICHASY

PIEZASMÓVILES

3.1.Antesydespués

Intercambieellugardelaspiezasblancasynegrasenelmenornúmerodemovimientosposibles

Semepresentalaoportunidaddellamarlaatenciónhaciaunbonitoacertijo,oespeciedesolitario,quesehizomuypopularenEuropa.Esuninventoinglés,yaque fue ideadoporunmarinero inglésquepasócuarenta añosde suvidaenelSailor’sSnugHarbor,enStatenIsland,ycuyomayororgulloerahabernavegadobajolasórdenesdelcapitánRandall,elfundadordelainstitución.

Elviejomarinerosolíahacersedeunpoquitode«plataextra»,comoéldecía,vendiendo estos juegos a los visitantes, a medida que los iba tallando con uncortaplumas.EljuegollegóasíaLondres,dondegozódegranpopularidadconelnombredeAcertijoInglésdelasDieciséis,peronuncafuecomercializadodeesteladodelcharco.

Elobjetodeljuegoestrasponerlasposicionesdelaspiezasblancasynegrasenelmenornúmeroposibledemovimientos.Cadapiezapuedesermovidadeun

cuadrado al adyacente, siempre que este último esté vacío, o puede saltar porencimadeunapiezaadyacente(decualquiercolor),siemprequeaterriceenotrocuadradovacío.Sólosepermitenlosmovimientosdentrodelamismafila(comolatorreenelajedrez);nadademovimientosendiagonalcomoenlasdamas.

Segúnuntestigoocular,elviejomarineroestabamuyorgullosodesupericia,ysolíadaraloscompradoresunareglaparalograrelintercambiodeposicionesenelmenornúmerodemovimientos.Sinembargo,sureglaestabaequivocada,opuedeahoraconsignarseenlalistadelasartesolvidadas,talvezelmundohayaprogresado desde su época, pues los métodos recomendados en los librosinglesesdeacertijos,asícomoenobrasmatemáticas, sondefectuososypuedenmejorarsedisminuyendovariosmovimientos.

RESPUESTA

Loyd no da solución para este acertijo. La mayoría de los libros deacertijos,dice,presentanunasoluciónen52movimientos,entantoelacertijopuedesercorrectamenteresueltoen47.H.E.Dudeney,elexpertoenacertijosbritánico, mejoró a Loyd reduciendo los movimientos a 46. La soluciónbellamente simétrica de Dudeney, la tomamos del libro de W. Rouse Ball,Mathematical Recreations and Essays. Las letras indican las casillas dedonde las piezas van siendo movidas: Hhg • Ffc •CBHh • GDFfehbag •GABHEFfdg•Hhhc•CFf•GHh.

[M.G.]

3.2.LaviñadeMartha

Enlaépocadelacolonia,unodelosdurospionerosquesehabíaabocadoaladificultosa tarea de cultivar el suelo rocoso de una isla próxima a la costa deNuevaInglaterra,intentóplantarunaviñaconlaayudadesuhijitaMartha.Paraestimularla,yenlugardecualquieraotraremuneración,lepermitióaMarthaquecultivara para su propio provecho un pequeño cuadrado cuya extensión era,exactamente,ladecimosextapartedeunacre.

Sedicequeellaplantósusparrassegúnlacostumbre,enfilasseparadasentresí porunadistanciadenuevepies, y las cultivó igualque todoelmundopero,segúncuentalahistoria,supequeñaempresaprosperóycreciódetalmaneraquelaViñadeMarthasehizonotable.Desuterrenocosechómásuvasporacrequecualquierotroviñedode la islayprodujo tambiénmuchasvariedadesnuevasyvaliosas.

Allí termina la historia en lo que se refiere a los hechos. No obstante, sinpretender impugnar lapericiadeMartha,ni tampococuestionar sudulzura,queconfiriófraganciaasusuvas,deseoproponerunproblemaprácticoacercadesuviñaquetalvezexpliquelarazóndesumaravillosoéxito.

¿Cuántas plantas de parra, situadas a nomenos de nueve pies de distancia,pueden plantarse en un terreno cuadrado quemide la decimosexta parte de unacre?

Es un bonito problema, calculado para exigir el ingenio de nuestrosmatemáticos, pero para no forzar un regreso a los libros escolares, hace tantoolvidados, aprovechamos la ocasión para decir que un acre es un cuadrado de208y710/1000piesdelado,demodoqueladecimosextapartedeunacreesuncuadradode52piesy2pulgadasdelado.Siendo1pie=12pulgadas.

RESPUESTA

Dibujandounalíneaalsesgo,quevayadeunrincónaotro,yluegotrazandoparalelas y perpendiculares, se descubrirá que pueden plantarse 41 parras,separadasporunpocomásde9pies,todasellasdentrodelespaciolimitadoporlacerca.

3.3.Elrompecabezas14-15

Deslicelosbloquesnumeradoshastaponerlosenorden

LosveteranoshabitantesdelPaísdelosAcertijosrecordaránqueenladécadade1870enloquecíatodoelmundoconunacajitadebloquesmóvilesquesehizoconocidabajoelnombrede«Rompecabezas14-15».Losquincebloquesestabandispuestosdentrodelacajacuadradaenorden,peroconel14yel15invertidostalcomoseveenlailustración.Elproblemaconsistíaendesplazarlosbloques,unoporvez,hastalograrnuevamentelaposicióninicialperocorrigiendoelerrordel14yel15.

Elpremiode$1.000,ofrecidoaquienpresentaralaprimerasolucióncorrectaal problema, jamás ha sido otorgado, aunque miles de personas dicen haberllevadoacabolaproeza.

La gente se trastornó con el rompecabezas, y se cuentan ridículas historiasacerca de comerciantes que dejaron de abrir sus comercios; acerca de undistinguidoclérigoquepermaneciótodaunanochedeinviernoenlacalle,debajodeun farol, tratandode recordardequémanerahabía resuelto el problema.El

rasgo misterioso del problema es que nadie parecía ser capaz de recordar lasecuenciademovimientosmedianteloscualeshabíalogradoresolverlo.Sediceque hubo pilotos que encallaron sus barcos, ymaquinistas que no detenían sustrenesenlasestaciones.Sesabequelosgranjerosabandonaronsuscosechas,yunodeesoscasoseselqueelegíparalailustración.

Valelapenapresentarvariosproblemasnuevosquesedesarrollaronapartirdelacertijooriginal:

Segundoproblema.Empieceunavezmásconlosbloquesenlaposiciónquemuestralailustraciónymuévalosdetalmododedisponerlosnúmerosenorden,perodejandouncuadradovacíoenlaesquinasuperiorizquierdaenvezdeenlaesquinainferiorderecha.VerFig.1.

Tercerproblema.Empiececonlosbloquescomoantes,déalacajauncuartodegiroymuevalosbloqueshastaquequedencomoenlaFig.2.

Cuarto problema.Empiece como antes, luegodesplace las piezas hasta queformen un «cuadrado mágico», con los números dando una suma de treinta entodaslasfilasverticalesyhorizontales,yenlasdiagonales.

RESPUESTA

Elacertijooriginalesimposiblederesolver,salvopormediodeuntrucoqueconsisteeninvertirlosbloques6y9.Unadelasparticularidadesesquecualquier intercambio de esa clase que involucre dos bloques, convierteinmediatamente el acertijo en solucionable. En realidad, cualquier númeroimpardeintercambiosejerceelmismoefecto,entantoqueunnúmeroparhacequeelacertijosigasiendoimposiblederesolver.Loslectoresinteresadosenaprender algo acerca de la interesante estructuramatemática que subyace eneste acertijo, deben consultar el clásico análisis deW.W. Johnson yW. E.Story en su artículo «Notes on the 15-Puzzle», American Journal ofMathematics,Vol.2,1879,p.397ysigs.,yadiscusionesmásbrevesdeltemaenlasreferenciashabitualesdematemáticasrecreativas.

Losotrostresproblemasseresuelvendelasiguientemanera:

Lafig.1puedelograrseen44movimientos:14,11,12,8,7,6,10,12,8,7,4,3,6,4,7,14,11,15,13,9,12,8,4,10,8,4,14,11,15,13,9,12,4,8,5,4,8,9,13,14,10,6,2,1.Lafig.2puedelograrseen39movimientos:14,15,10,6,7,11,15,10,13,9,5,1,2,3,4,8,12,15,14,10,13,9,5,1,2,3,4,8,12.Elcuadradomágicopuedelograrseen50movimientos:12,8,4,3,2,6,10,9,13,15,14,12,8,4,7,10,9,14,12,8,4,7,10,9,6,2,3,10,9,6,5,1,2,3,6,5,3,2,1,13,14,3,2,1,13,14,3,12,15,3.

[M.G.]

3.4.Unacertijochinodecambiodepalabra

Elijaunapalabradedoceletrasycambiesuposiciónconelmenornúmeroposibledemovimientos.

Heaquíuninteresanteacertijoconcebidoenlamismalíneaquemiviejojuego14-15.Sesuponequehayunaletraencadaunodelosdocebloquesmóviles,yque si se los lee de arriba hacia abajo se encontrará una palabra correcta. Elproblema consiste en deslizar los bloques en el otro surco para que lamismapalabra pueda leerse correctamente de izquierda a derecha. Se comprende quepuedeutilizarsecualquierpalabradedoce letraspara resolverelacertijo,perocadapalabraproduciráresultadosdiferentes.Algunaspalabrassonmejoresqueotras,yesunacuestióndesuerteydeexperimentacióndarconlaqueresolveráelacertijo en el menor número de manipulaciones. (Las dos únicas palabrascastellanasquesehanhalladopararesolvereljuegoenlasmínimasmovidas,unatieneunpronombreenclíticoylaotraesdeunverbopronominal.N.delE.)

RESPUESTA

Enelacertijooriginalchino,seusaunaoracióndedocepalabras,yaqueenla lenguachinacadapalabraes representadapormediodeunsignoespecífico.En la presente versión norteamericanizada del acertijo, la oración deber sertraducidaorepresentadapormediodeunapalabradedoceletras,unaletraporcadabloque.

Pocos aficionados aceptaron mi advertencia de que existía una palabraparticularmente apropiada, ni se sirvieron de lo que sugerían los intérpreteschinos. La afortunada palabra «interpreting» se desplaza en docemovimientos,sin ningún «desvío», como dirían los ferroviarios. (La palabra castellana«reconoceréle», le reconoceré, también lo resuelve en docemovimientos y fuepropuestaporGuillermoDianda.YotradescubiertamásrecientementeporJoséManuelGómezParíses«acurrucásese»,seacurrucase,que tambiénseacurrucaendocemovimientos,sindesvíos.N.delE.)

3.5.Trucosdesobremesa

Levantedoscopasadyacentesporvezyencuatromovimientoscambielasposicionesdemaneraquese

alternencopasllenasconcopasvacías.

Paraloslectoresinteresadosentrucossociales,heaquíunentretenidoacertijoque puede ser usado ventajosamente para divertir a los huéspedes tras unbanqueteounafiesta.Enelprimercaso,ochocopasdevino—cuatrovacíasycuatroparcialmentellenas—,ilustranalaperfeccióneltruco.

Enestecaso,aligualqueentodaslasexhibicionesdecaráctersimilar,tododependedelapericiaydelaactuacióninteligentedequienintenteeltruco.Debesabersesupartealaperfección,demodoquepuedahacereltrucosinlamenorvacilación, mientras convence a sus espectadores, con la ayuda de una charlaincesante,dequeeltrucoessimplísimo,yquecualquierapuedehacerlosiesqueno es un cabeza de alcornoque o un tonto sin remedio.En realidad, parece tansimplequecasitodoelmundoaceptarálainvitacióndeponerseenpieysometera prueba su sobriedad demostrando con cuanta rapidez puede llevar a cabo latreta,yallíescuandocomienzaladiversión,porquenoventaynuevesobrecienserándescalificados.

Elproblemaestáenunciadodebajodelailustración.Unmovimientoconsisteen alzar dos copas vecinas y, sin intercambiarlas, llevarlas juntas a otro lugarsobre la línea. Las copas están numeradas para facilitar la descripción delprocedimiento.

RESPUESTA

Esaexhibicióndehabilidad con las cuatro copasvacíasy las cuatro llenaspuederecordarsesiguiendoestaregla:Unmovimientolargo,doscortos,despuésunolargo.Muevaprimero2y3haciaelextremofinal,despuéslleneelvacíocon5y6.Lleneelvacíocon8y2,yterminecon1y5.

3.6.CaceríadepatosenBuzzardBay

Cambiandolaposicióndelmenornúmeroposibledepatos,dispóngalosparaquehayacincofilasdecuatro.

EltemadeesteacertijoesfamiliaralosresidentesdelvecindariodeBuzzardBay, y presenta uno de losmuchos problemas que sin duda son conocidos portodoslosquedisfrutandelosplaceresdelacaceríadepatos.

Hay mil problemas referidos a este deporte, todos los cuales sonindudablemente merecedores de consideración, pero es posible que losaficionadosesténmásfamiliarizadosconellosqueyomismo,demaneraquesólomereferiréaunaúnicaproposiciónquepuedaserpeculiarmentecaracterísticademi estilopara cazar patos.Por supuesto, es unagranproezadarle amásdeunpatoconunsolodisparo.Comoelloselograúnicamenteenelcasodequehayavariospatosalineados,mepuseaestudiarelprincipioporelquesealineanlospatos de Buzzard Bay, y tal vez haya descubierto algo a partir de mi escasapericiadetirador.

Advertí que los pájaros invariablemente volaban en dos filas, con un patoguía,porasíllamarlo,acadaladoyacargodecadalínea,demodoque,talcomo

lomuestralailustración,unopodíaimaginartreslíneasdecuatro.Ahorabien,encuantopodíatomarpunteríasobreunalíneadecuatro,disparabaconlaesperanzadedarlesavariosdeellosconelmismodisparo.Podíamatarunooinclusodos,peromiambicióndedarleacuatroonadamellevóalsiguienteymuyinteresantedescubrimiento.Tanprontocomosedisipabaelhumoyyopodíaabrirlosojos,veía que los diez pájaros habían cambiado la dirección para reorganizarsenuevamenteenlaciénaga.Loqueadvertíparticularmente,sinembargo,eraque,aunque siempre llegaban, como he mostrado, en líneas de cuatro, se alejabaninvariablemente en cinco líneas de cuatro.Cómohacían el cambio es algo quenuncapudeadvertir,acausadelhumoydelaconfusión,perosípudeverqueelmenor número posible de patos había cambiado de posición, demodo quemecausará especial placer dar crédito a cualquier afortunado que logre resolvercorrectamenteesteproblema.

La ilustración muestra a diez patos que avanzan en tres filas de cuatro.Reorganícelosdemodoquehayacincofilasdecuatro,cambiandolaposicióndelmenor número posible de patos. Incidentalmente, el cambio mostrará tambiéncuántospatoshalogradoelcazadorconsudisparo.

Elproblemapuederesolverseprácticamenteponiendopequeñasfichassobrelospatosdelailustraciónymoviéndolashastalograrcincofilasdecuatro.

RESPUESTA

LacazadepatosenBuzzardBayse resuelvecambiando laposicióndedospatos,comolomuestralailustración.

Estecambioforma5líneasde4patosencadaunaypone1patoenelmorraldelcazador.

3.7.Cuervosenelmaizal

Averigüecómoseposaronlosochocuervosenelmaizalsinquehubieratresdeellosalineados.

Un renombrado ornitólogo, al describir los hábitos y la sagacidad de lospájaros,cuentaquepresenciócómounabandadadecuervosdescendiósobreunmaizalysedispusosegúnlastácticasmilitaresestablecidas,demodoquepudieratener una visión libre de cada uno de sus compañeros, y por medio demovimientospusieronenmarchaunsilenciosocódigodeseñalesquemantuvoatodalabandadainformadadecualquierpeligro.

Tomesesentaycuatropuntoscomocentrosdeloscuadradosdeuntablerode8 × 8, representados en la ilustración por las plantas de maíz, y el acertijoconsiste en situar ocho cuervos en puntos tales como para que no haya doscuervosenlamismalíneaodiagonal;ydemodoqueelhombredelaescopetanopuedadarlesatrespájarosconunsolodisparo.

El acertijo es similar a un conocido problema que consiste en situar en untablerodeajedrezochodamasdeformaqueningunaquedeatacadaporotra,peroéste está mejorado. Hay una sola manera de resolverlo, mientras el otro tienedocerespuestasdiferentes.

RESPUESTA

Eldiagramaadjuntomuestra lamaneracorrectaenque sepuedendistribuirlosochocuervosdemodoquecadapájarotengaunavisiónsinobstruccionesdetodoslosdemás,ysinquehayadosdeellosenlamismafilaodiagonal.

Además, es imposiblequeel cazadordescubraun lugardesdedondepuedateneratrespájarosenlamismalíneadetiro.

4PROBLEMASDEGEOMETRÍA

PLANA

4.1.Lanuevaestrella

¿Dóndepuedesituarseotraestrelladeprimeramagnitud?

Este extraño acertijo está concebido a partir de la reciente afirmación de unastrónomofrancésqueasegurahaber identificadounanuevaestrelladeprimeramagnitud.

La ilustración muestra al erudito profesor describiendo su nuevodescubrimiento a sus colegas astrónomos. Ha dibujado la posición de quinceestrellas de diferentes magnitudes, y ahora está a punto de mostrar cuál es laposiciónqueocupaenelcielosunuevodescubrimiento.

¡Veansipuedendibujarlaformadeunaestrelladecincopuntasqueseatantomásgrandequecualquieradelasotrasperoquenotoqueaningunadeellas!

RESPUESTA

El diagrama adjunto muestra cómo deberían localizar la nueva estrella losastrónomos franceses, que resulta ser de dimensiones tan heroicas queensombreceatodaslasotrasestrellas.

4.2.Elacertijodelapiedradeafilar

¿Cómoeradegrandelapiedracuandopasóalsegundohombre?

Sedicequedossirioshonestosreunieronsusahorrosycompraronunapiedradeafilar. Como vivían a varias millas de distancia, convinieron que el mayorconservaríalapiedrahastaqueeltamañodeéstasehubierareducidoalamitad,yluegoseladaríaalotrohombre.

La piedra tenía un diámetro exacto de 22 pulgadas, con un orificio de 3pulgadas1/7enelcentrodelamanija,comolomuestraeldibujo.¿Cuálseríaeldiámetrodelapiedraalrecibirlaelsegundohombre?

RESPUESTA

Elmejormétodopararesolveresteproblemasebasaenelhechodequelassuperficiesde loscírculossonproporcionalesalcuadradodesusdiámetros,SiinscribimosuncuadradoABCDenuncírculoquetengaeltamañooriginaldelapiedradeafilar,elcírculoE,inscritodentrodeesecuadrado,tendrálamitaddelasuperficiedelcírculomayor.

AhoradebemosagregaralcírculoElamitaddelasuperficiedelorificiodela piedra. Para hacerlo, inscribimos un pequeño cuadrado en el orificio F, ydentrodeestecuadradoinscribimosuncírculo.Elcírculomáspequeñoserá,porlotanto,lamitaddelasuperficiedelorificio.ColocamoselpequeñocírculoenG,haciendoquesudiámetroformeuncatetodeuntriángulorectángulo,cuyootrocatetoeseldiámetrodelcírculoE.LahipotenusaHItendráentonceseldiámetrodeuncírculocuyaáreaesigualalasáreascombinadasdelcírculoEyelpequeñocírculoG.

Estecírculo,queapareceenlíneadepuntos,representaeltamañodelapiedracuandoyahasidousadaamedias.Sudiámetropuedecalcularsedelasiguientemanera:

EldiámetrodelcírculoEesigualalladodelcuadradomásgrande.Sabiendoqueladiagonaldeestecuadradoesde22pulgadas,llegamosalaconclusióndequelaraízcuadradade242eselladodelcuadradoyeldiámetrodelcírculoE.Un procedimiento similar demuestra que el diámetro del círculo más pequeñoequivalealaraízcuadradade242/49.

Elcuadradodeldiámetrodelcírculoenlíneapunteadaesigualalasumadelos cuadrados de los dos diámetros ya citados. De modo que sumamos 242 a242/49paraobtener12.100/49,cuyaraízcuadradaes110/7ó15y5/7.Ésteeseldiámetroenpulgadasdelcírculopunteado,ylarespuestacorrectaalproblema.

4.3.Laestrellaoculta

Descubraunaestrellaperfectadecincopuntasenestedibujo.

RESPUESTA

4.4.Elacertijodellingotedeoro

¿Quépasaconlapulgadacuadradaquefalta?

Esteacertijomuestraconquéfacilidadpuedeserengañadaunapersonacuandocompraunlingotedeoro.Elcuadradodela ilustraciónrepresentael lingotedeoro que el granjero acaba de comprarle al desconocido del sombrero de copa.Susladosestándivididosen24partesiguales.

Sielcuadradotiene24pulgadasdelado,debecontenerentonces24veces24,es decir, 576 pulgadas cuadradas. Adviértase la línea diagonal. Cortamos elcuadradosiguiendoestalínea,despuésdesplazamoslapiezasuperiorunespacioalolargodelalíneainclinada.SirecortamoslapequeñapiezatriangularA,que

sobresaldrádelladoderecho,podremoscolocarlaenelespaciotriangularBenlaesquinasuperiorizquierda.

Hemosformadoahoraunrectángulode23pulgadasdeanchoy25pulgadasdealtura.¡Pero23veces25datansólo575pulgadascuadradas!¿Quéleocurrióaesapulgadacuadradaquefalta?

Se dice que el último volumen escrito por Euclides estaba dedicado porentero a falacias geométricas como ésta: problemas y acertijos que conteníanerrores astutamente disfrazados. Desafortunadamente, esa obra se perdió, peroconseguridaddebióhabersidounodeloslibrosmásimportantesdeesteautor.

RESPUESTA

Elmisterio del lingote de oro se explicamatemáticamente diciendo que lanueva forma mide en realidad 23 × 25 y 1/23, lo que significa que sigueconteniendo576pulgadascuadradas.

4.5.Elproblemadelnenúfar

¿Quéprofundidadtieneellago?

El poeta Longfellow era un buen matemático que a menudo hablaba de lasventajasdeataviar losproblemasmatemáticoscon ropajesatractivos,demodoqueapelaranalafantasíadelestudianteenvezdeutilizarellenguajesecotécnicodeloslibrosdetexto.

ElproblemadelnenúfaresunodelosvariosqueLongfellowpresentabaensunovela Kavanagh Es tan simple que cualquiera, incluso alguien sin ningúnconocimiento matemático o geométrico, podría resolverlo, pero no obstanteilustra una importante verdad geométrica de una manera que jamás podríaolvidarse. No recuerdo con exactitud la enunciación del problema tal comoLongfellowmeladescribiópersonalmenteduranteunadiscusiónacercadeltema,peroserefiereaunnenúfarquecrecíaenunlago.Laflorestabaaunpalmodelasuperficie del agua, y cuando la brisa la inclinaba rozaba la superficie a doscodosdedistancia.Apartirdeestosdatossepodíacalcular laprofundidaddellago.

Ahorabien,supongamosque,talcomolomuestraeldibujo,elnenúfarestáa

diezpulgadasporencimadelasuperficiedelagua,yquesiseloinclinarahaciaunladodesapareceríabajolasuperficieenunpuntosituadoaveintiunapulgadasdedondeoriginalmenteestaba.¿Cuáleslaprofundidaddellago?

RESPUESTA

DiceEuclides:«Cuandodoscuerdasdearcoseintersecanenelinteriordeuncírculo,elproductodelaspartesdeunaseráigualalproductodelaspartesdelaotra». En la siguiente ilustración la superficie del agua forma la cuerda de unarco, y como cada parte de esta cuerda es de 21 pulgadas, el producto es 441pulgadas.

El tallo del nenúfar forma lamitad de la otra cuerda, y como su altura porencima del agua forma una parte de la cuerda, esa parte, 10 pulgadas,multiplicadaporlaotrapartedebedarlasmismas441pulgadasqueseobtienenapartirdelproductodelaspartesdelaotracuerda.Demodoquedividimos441por10,yobtenemos44,1pulgadascomomedidadelaotrapartedeesacuerda.Sumando10y44,1,obtenemoslamedida54,1comolongituddelacuerdadesdeA a F, que es el diámetro del círculo. Debemos dividirlo por la mitad paraobtenerel radio:27,05.Comola florseerguíaa10pulgadasporencimade lasuperficie del agua, debemos deducir esas 10 pulgadas para obtener la

profundidaddellago,queseríade17,05pulgadas.

4.6.Elacertijodellago

¿Cuántosacreshayenellagotriangularinterior?

El otro día fui a Lakewood para asistir a un remate de tierras, pero no hiceningunaadquisiciónacausadeunpeculiarproblemaqueseprodujo.Latierraseanunciaba como de 560 acres e incluía un lago rectangular. Los tres terrenosmuestranlos560acressinellago,perocomoellagoestabaincluidoenlaventa,yo,aligualqueotrospotencialescompradores,deseábamossabersieláreadellagosehabíadeducidoverdaderamentedelatierra.

Elrematadorgarantizó«másomenos»560acres.Estonoresultósatisfactorioaloscompradores,demodoquelodejamosdiscutiendoconalgunasavecillasygritándolealasranasdellago,queenrealidaderaunpantano.

La pregunta que planteo a nuestros lectores es cuántos acres habría en eselagotriangular,rodeadocomolomuestralailustraciónporterrenoscuadradosde370, 116 y 74 acres. El problema resulta particularmente interesante para

aquellos con preocupaciones matemáticas, pues da definitiva respuesta a unaproposición que, según los métodos usuales, produce una de esas fraccionesdecimalesdecrecientes,peroinfinitas.

RESPUESTA

En este notable problema descubrimos que el lago contenía exactamente 11acres, de modo que la respuesta aproximada «unos 11 acres» no essuficientementecorrecta.Larespuestaprecisaydefinidaseelaborapormediodelaleypitagóricaquedemuestraqueencualquiertriángulorectángulo,elcuadradodelladomáslargoesigualalasumadeloscuadradosdelosotrosdoslados.

Enlailustración,ABCrepresentaanuestrotriángulo,ADtiene9unidadesdelongitudyBD17,porque9×9da81,quesumadoa17×17(289)igualalos370acresdelcampomás largo.AECesun triángulorectángulo,yelcuadradode5(25),sumadoalcuadradode7(49)demuestraqueelcuadradodeACes74.CBFestambiénuntriángulorectángulo.Elcuadradodesuslados,4y10,demuestranqueelcuadradodeBCesiguala116acres.EláreadenuestrotriánguloABDesclaramente la mitad de 9 × 17, lo que da 76,5 acres. Como la superficie delrectángulomás la de los dos triángulos es 65,5 restamos esa cantidad de 76,5parademostrarqueellagocontieneexactamente11acres.

4.7.Lastresservilletas

«BetsyRossnofuemuybrillanteconsutrucodecortarlaestrella,meparece»,dijoelrecaderodelaoficina.«Esetrucoestanterriblementefácilquemeresultapenoso.Nodudaríatressegundosconlaschicasdelrestaurante.¡Yvayaquesontontas!».

«HeaquíunacertijoqueMaggiemeenseñóelotrodía,unacertijocomodebeser:Tometresservilletas,cadaunadeellasdeunpiecuadrado(12pulgadas×12pulgadas), y dígame después el tamaño de la mesa cuadrada más grande quepodríaustedcubrirconesastresservilletas».

«No se puede cortarlas. Sólo se pueden superponer o doblar, y ver cuángrandepuedeserelcuadradoquecubran».

RESPUESTA

Tresservilletasde12pulgadascubriránunamesacuadradade15pulgadasy1/4.Coloqueunajustosobreunaesquinaylasotrascubriránelresto.

4.8.Acresgratis

¿Cómopuedeustedcercartantosacresdetierracomotravesañosdedocepieshayaenlacerca?

HeaquíunbonitoacertijoprocedentedelEstadode laEstrellaSolitaria,quenos presenta un famoso y antiguo problema y un poco de la historianorteamericana,conlaquesindudamuchoslectoresestánfamiliarizados.Texasestabaprácticamentecolonizada,omásbienarrasada,porlosnorteamericanosenunafechatanlejanacomo1830,perosólodespuésdequinceañosdeluchaconlosmexicanosylosindiosfueadmitidaenlaUnión.Pocodespuésdeesehecho,entróenvigencialafamosaleydeocupación,quedaba,sincargoalcolono,todalatierraquepudieracercarocultivarenellapsodeunañoapartirdelmomentodehabertomadoposesión.

Algunos de los primeros colonos pasaron momentos duros, pero losdescendientes que se las arreglaron para «mantenerse firmes», como se dice,figuranahoraentre losgrandesreyesdelganadodelmundoy,segúnun informeoficialqueacabadepublicarse,algunosdelosmásricospropietariosdetierrasdelmundoson indios.Entre losgrandes ranchosdelOeste,cuyosdueñosnoseasombraríandelasmanadasde«torosblancosytorosmoteadosquepastabanen

las llanuras deSicilia», tal comograndilocuentemente describieraArquímedes,puede mencionarse el confortable establecimiento de Texas Pete, un indiomestizo. Él estuvo entre los primeros que ocuparon la tierra cuando entró envigencialaleyqueleotorgabalaposesióndetodalatierraquepudieracercarocultivareneltérminodeunaño.

Segúnsupropiorelato—yesaúnunhombresanoyvigoroso,aunqueyahapasado los setenta años—él y su esposa recibirían toda la tierra quepudieranvallarconunacercatripledurantedocemeses,demodoquedurantetodoelañoélysuesposasededicaronatenderestacerca.

Desurelatodevanamosuncuriosoproblema:supongamosqueel terrenoesexactamentecuadradoyqueestárodeadoporunacercade3travesaños,talcomolo muestra la ilustración, y que cada tramo tiene exactamente doce pies delongitud.

Si suponemos que hay tantos acres cercados como travesaños de doce pieshay en la cerca entera (y recuerde que en un acre hay 43.560 pies cuadrados),¿cuántosacresdetierrahayenelgranranchoganaderodeTexasPete?

RESPUESTA

Curiosamente, la respuestaes idénticaalnúmerodepiescuadradosquehayenunacre,esdecir,43.560.Estenúmerodetravesañosformaráunacercadetrestravesañosqueabarcaráuncuadradodeexactamente43.560acres.

4.9.Elacertijodelabanderadanesa

Establezcalasdimensionesdeunacruzcuyasuperficiesealamismaqueelrestodelabandera.

A partir de las recientes y estériles negociaciones delTíoSam, destinadas acomprar las IndiasOccidentalesDanesas, salieron a la luzvarias leyendas conrespectoalosnombresdeesegrupodelasIslasVírgenes.

St. John, St. Thomas y St. Croix, que constituyen las Indias OccidentalesDanesas, se contaron entre los primeros descubrimientos de Colón en 1492.Durante siglos se las consideró sin ningún valor, demodo que cuando algunosdanesesquehabíannaufragadoizaronsubanderapidiendoauxilio,lapropiedaddelasislaspasóasusmanossinningunadisputay,segúnlacostumbre,selesdionombreapartirdelossantospatronosdelosmarineros.

La bandera danesa es tan poco vista que comparativamente pocas personassaben que es una cruz blanca sobre un campo rojo, y jamás he sabido que laenseñahayasidodiseñadadeacuerdoconlasregulaciones,queestipulanquelamitaddelcampodebeserblanco.Suponiendo,porejemplo,quelaproporcióndelabanderaesdecincopiesdeanchoporsietepiesymediodelargo,¿cuántosde

nuestrosaficionadospuedendescubrirunareglasimplequenosdéelespesordeunacruzblancaqueocupeexactamentelamitaddelespacio?

RESPUESTA

Hay muchas maneras de resolver matemáticamente este acertijo, pero ennombre de la simplicidad, les diría a los pobresmarineros daneses, que nadasabenderaícescuadradas,querestaranlamitaddeladiagonaldeuncuartodelperímetro de la bandera. Como el perímetro es exactamente de 25 pies, y ladiagonalesde9,01388,debemossustraer4,50694de6,25paraobtener1,74306pies,queeselespesordelacruz.

5PROBLEMASGEOMÉTRICOSDE

DISECCIÓN

5.1.Buenasuerte(Elacertijodelgranshowdelcaballo)

Condoscortesrectosdividalaherraduraensietepartes,dejandounagujeroencadatrozo.

Este acertijo está basado en el cuento de hadas «La herradura dorada». Esecuento relata cómo una herradura de oro fue cortada en siete partes, con unagujeroencadaunadeellas,graciasadosgolpesdeespada,ycómoluego lassietepartesfueroncolgadasconunacintaalrededordelcuellodesieteniñosquelasusaroncomotalismanes.

Se supone que después del primer corte las piezas deben ser superpuestasantes de descargar el segundo golpe, pero los cortes deben ser rectos y no sepermite doblar o retorcer el papel. Recientemente, lemostré este acertijo a un

pequeñojockeymuylisto.Hizounaherraduradepapel,yconelprimercorteladividió en tres partes; luego las superpuso y con el segundo corte logró seispartes.Noobstante,latretaesconseguirunaséptimapartey,aunqueelacertijoesenrealidadsimple,resultasuficientementeinteresantecomopararequerirciertoestudio.

Unavezquehayanresueltoelacertijotalcomohasidoexplicado,losinvitoaresolver otro problema, más difícil. ¿Cuál es el mayor número de partes quepueden conseguirse condos cortes?Las condiciones son lasmismasque antes,salvoqueyanoesnecesariotomarencuentalosorificiosdelosclavos.

RESPUESTA

CorteprimeroAB,luegopongalastrespiezasjuntasdemaneraqueloscortesCDyEFpuedanrealizarsesimultáneamente.

Laotrafiguramuestracómodoscortesdividenlaherraduraennuevepartes.CorteprimeroAB,despuéspongajuntaslastrespartesdemaneraquelosotrostrescortespuedanrealizarsecomounosolo.

5.2.Elacertijodelasillademano

Cierrelasillademanocortándolaenelmenornúmeroposibledepartes

«HablandodelosdistintosmodosdetransporteenChina»,diceunescritorqueha pasado lamayor parte de su vida en el Reino Florido, «uno se acostumbrarápidamenteasertransportadoenunasillademanos,queescondiferenciamáscómodayexpeditivaqueuncochedealquiler.Estassillasestánhechasconcañasde mimbre, y recuerdan a esas pequeñas cajitas chinas que son comorompecabezashechosconpajasdecolorestandiestramentecombinadasqueunonopuededescubrirenquépuntosestánunidas».

Todo ello sugiere un inteligente acertijo, pues esas sillas demanos puedencerrarseyconvertirseencajascubiertascuandollueve,ysinembargo,elexamenmásminucioso no logra determinar en qué puntos se articulan las partes. Para

ilustraresteacertijo,lepedimosquecortelasillaenlamenorcantidaddepartesquepuedanajustarseparaformaruncuadradoperfecto.

RESPUESTA

Ésteeselprimerodemuchosproblemasde«disección»queseincluyenenesta colección. Al lector le puede interesar saber que David Hilbert hademostradoqueunpolígonopuedeserdivididoenunnúmerofinitodepartesquepueden ser reacomodadaspara formarotropolígonode igual superficie.Esasdiseccionesnosonmuyinteresantes,sinembargo,sielnúmerodepiezasno es lo suficientemente pequeño como para lograr que la disección seaeleganteysorprendente.

Casi todos los polígonos simples y regulares (excepto el pentagrama oestrella de cinco puntas, que ofrece formidables dificultades) han sidoempleados para acertijos de disección de gran ingenio. Para una reciente yexcelentediscusióndelateoríadeladisección,recomendamosverunaseriede artículos del cuerpo de profesores de matemáticas del colegio de la

Universidad de Chicago, en The Mathematics Teacher, mayo, octubre ydiciembrede1956,yfebreroymayode1957.

[M.G.]

5.3.Elacertijodelaserpiente-aro

Acomodelasdiezpartesdemodoquelaserpientesemuerdalacola.

El profesor von Schafskopfen, el distinguido naturalista, ha estado muypreocupado por historias contrapuestas con respecto a la Serpiente-Aro, asíllamadaacausadesupeculiarmododelocomoción,quellevaacaboponiéndoseenlabocalapuntadelacolayrodandoporelsuelocomosifueseunaro.Estaparticularidad del género ophidia es descrita por muchos naturalistas, y unprofesoruniversitarioafirmahabervistotresserpientes,combinadasenunúnicoaro,rodaravelocidadderelámpagoydesaparecerluegotragándoselaunaalaotra.

Nadie cuestiona la posibilidad del truco del engullido, pero han surgidograndesdudasconrespectoalaexistenciamismadelaserpiente-aro.Elprofesorvon Schafskopfen, inspeccionando la campiña en busca de especímenes,descubrió finalmente, en el salvaje territorio de lasMontañasAro, un hermosoespécimen petrificado de serpiente-aro, con la cola en la boca. Con una finasierra cortó la serpiente en diez partes y, envolviendo esas partes en algodón,

regresó triunfalmente con su pieza. Desde entonces, desafortunadamente, le haresultadoimposiblehacercoincidirlaspartesparaqueambosextremossejunten.

Los matemáticos dicen que los diez trozos pueden disponerse para hacer362.882serpientesdiferentessinproducirunaro,porlocuallosescépticosdicenqueellopruebaque…¡hay362.882posibilidadescontra1dequeesaserpientejamáshayaexistido!

RESPUESTA

5.4.LachicadelaCruzRoja

Dividaunacruzgriegaenelmenornúmeroposibledepartesquepuedenacomodarseparaformardos

crucesgriegasdeidénticotamaño.

En el reino de los acertijos no hay nadamás fascinante que la colección deproblemas que conciernen a la cruz griega y sus peculiares relaciones con elcuadrado,elparalelogramoyotrasfigurassimétricas.

Envezdelconocidoproblemadeconvertirunacruzenuncuadradomedianteelmenornúmeroposibledecortes,proponemoséldesafíodehacerdoscrucesapartirdeunasola.

Pareceserqueunodenuestrossoldadosheridos,alregresaracasadespuésdequeunafieljovendelaCruzRojalesalvaralavida,lepidiólacruzrojaqueellallevabaenelbrazo,comorecuerdo.Ella,generosamente,extrajosustijerasyconunospocoscorteshábiles,dividiólacruzenvariaspartesquepodíanunirse

perfectamenteparaformardoscrucesdeigualtamaño.Esunartilugiosimpleperodegranbelleza,ylasatisfaccióndedescubrirloseráparaustedcomosihubieraganadounpremio.

RESPUESTA

Lailustraciónsiguientemuestracómopuedecortarseencincoparteslacruzgriega, y cómoesas partes pueden combinarsepara formardos cruces de igualtamaño.Cortecomolomuestralafigura1yluegoreacomodelaspartescomolomuestralafigura2.

5.5.ElacertijodelaseñoradePitágoras

Sindestruireldiseñoacuadros,cortelafiguraentrespedazosqueformenuncuadradoajedrezado.

Cuando laseñoradePitágoras lepidióconsejoasuesposoconrespectoa lamejor manera de hacer un cuadrado con el resto de estera ateniense quemostramosenlailustración,elgranfilósofolediolasiguienteexplicación:

La línea de puntos que cruza la estera es claramente la hipotenusa de untriángulo rectángulo cuyos lados son los lados de dos cuadrados que reunidosconforman la figura.Según el gran teoremadePitágoras, esta líneadebe ser elladodeuncuadradoqueposeeunárea iguala la sumade lasáreasde losdoscuadradosconstruidossobreamboslados.(Elteoremaestáilustradoporlafigurapequeña en la esquina superior derecha). Una vez que hemos obtenido estamedida, podemos entonces cortar la figura como lo muestran las dos líneasenterasyreacomodarlastrespiezasparaformaruncuadradoperfectoapartirdedospiezascuadradascualesquiera.

«Ahora, Tago», dijo la señora Pitágoras, que siempre lo llamaba así en laintimidad,«temoqueestascosassedeshilachensiselascortaalsesgo,asíqueprefiero arreglármelas sin esa línea hipopótamo. He aquí un plan que tambiénnecesitatrespartes:cortaresaparteA,yponerladepieapoyándolasobreunladocorto,despuésmoverlapiezaCunescalónhaciaabajo,yseformauncuadradode13×13,seguroquesí».

«Peronoacabadegustarme,Tago»,continuóella,«puesyavesqueeldiseñonocorrebienenesapartelarga.¿Puedeshallarunarespuestaperfectasinhacerledaresemediogiroaningunadelaspiezas?».

YahítenemoselnuevoacertijodelaseñoraPitágoras.

Paraaclararunpocoelproblema,adviértaseque lashebrasde todos loscuadrados negros van diagonalmente de NE a SO. Cuando la pieza A escolocada en posición vertical, las hebras van del NO al SE. La señoraPitágorasdeseaunasoluciónquemantengatantoeldiseñoajedrezadocomoladirecciónuniformedelashebras.

[M.G.]

RESPUESTA

5.6.Elproblemadelensamblador

Corteeltableroenelmenornúmerodepiezasqueformenuncuadradoperfecto.

Los estudiantes de geometría hallarán aquí un interesante problema elementalque puede resolverse de la mejor manera gracias a métodos ingeniososexperimentales, aunque hay una regla científica para llegar a la respuestacorrecta, y esta regla se asemeja grandemente a la cuadragésimo séptimaproposicióndeEuclides.Elensambladortieneunapiezadecuatropiesdelargoydospiesde ancho, conunaesquina rebanada.El acertijo consiste endividir latabla en lamenor cantidad posible de partes para que, sin ningún desperdicio,puedanunirseyformaruncuadradoperfectoqueserálatapadelamesaqueseveenlailustración.

En este caso particular, la pieza faltante ha sido cortada en un ángulo dequince grados, pero cuando usted resuelva el acertijo, descubrirá que elprocedimientodecortefuncionaráigualmentebienaunqueesteánguloseamayoromenorqueelqueaquísemuestra.

RESPUESTA

Lamejorrespuestarequieresólodoscortesrectosylainversióndeunaparte,unrecursodelacarpinteríaprácticaenelquenopensaronalgunosseguidoresdeEuclides.

NohaceningunadiferenciaqueelángulodeDaBseamásomenosagudo.Simplemente,traceunalíneadesdeelcentrodelladoizquierdohastaelmediodela líneaBD.Después traceuna líneaperpendiculardesde laesquinaGhasta lalínea EC. Invierta la pieza A y las tres piezas formarán un cuadrado como lomuestralailustración.

5.7.Elacertijodelponi

Coloquelasseispartesparahacerlamejorfiguraposibledeunponi.

Hacemuchosaños,mientras regresabadeEuropaencompañíadeAndrewG.Curtin, el famoso gobernador de Pennsylvania (que retornaba de su puesto enRusia para presentarse como candidato a presidente de los Estados Unidos),conversamos acerca del curioso monumento del Caballo Blanco de UppingtonHill,Berkshire,Inglaterra.

Siustednadasabeacercadeesaextrañareliquiadelosprimerossajones,lailustraciónadjuntaledaráunaexcelenteideadesuaspecto.Representalafigura

deuncolosalcaballodevarioscientosdepiesdelargo,dibujadaenlaladeradeunamontañaaunosmilpiesporencimadelniveldelmaryqueesvisibledesdeunasquincemillasdedistancia.Tienemásdemilañosdeantigüedad,ysecreequefuerealizadoporlossoldadosdeEtelredoyAlfredo(elcaballoblancoeraelemblemadelossajones)despuésdesuvictoriasobrelosdaneses.Loqueparecenievesobrelaladeradelamontañaesenrealidadproductodelaeliminacióndelahierbaverde,quitadaparamostrarlatierrablancaqueestádebajo,enformadecaballo.

Despuésdehaberhabladolargoratoacercadelcaballoblanco,elgobernadorexclamó:«Bien.Loyd,enestohabríaelgermendeunacertijo».

Muchosbuenosacertijoshanaparecidoasí.Demodoque,conmistijerasyunpedazodepapel,improvisérápidamentelafiguradecaballoqueustedespuedenveraquí.

Seríaalgomuysimplemejorardespuéslaspartesylaformageneraldelviejocaballo, y lomodifiqué en laversiónquemás tardepubliqué,pero en realidadamo al viejo jamelgo tal como fue ideado por primera vez, con todos susdefectos,yporellolopresentoaquícomoverdaderamentesemeocurrióenesaoportunidad.

Elmundo se hamovido conmucha rapidez durante la última década, y losaficionados son mucho más sagaces de lo que solían ser. En aquellos días,probablementesólounoentremilsabríaresolververdaderamenteelacertijo,demodo que el hecho de ver cuántos pueden resolverlo en la actualidad será unaverdadera prueba de la inteligencia del pasado comparada con la de lageneraciónactual.

Dibujeunacopiaexactadelafiguraquemostramos.Cortelasseispartesconmuchocuidado,luegotratedeacomodarlasdemodoqueformenlamejorfiguraposibledeuncaballo.Esoestodo,peroelmundoenterodisfrutóduranteunañoconlasdiversasrepresentacionesgrotescasquepodíanconstruirseconesasseispiezas.Vendímás demilmillones de copias del «Acertijo del poni». Estomeimpulsaadecirque,aunqueheideadomuchosacertijos,hepatentadonumerosasinvencionesyhededicadomuchotiempoydinero,pordesgracia,alas«grandescosas»,sehacemásdineroconlascosaspequeñascomoel«Acertijodelponi»,paracuyapromocióneinserciónenelmercadonohacefaltaniunbilletedecincodólares.

RESPUESTA

Las partes negras del papel no son más que una ilusión y una burla. Esaspiezasestánsituadasdemaneraqueformen,enelcentro,uncaballitoblanco,talcomolomuestralailustración.

5.8.Labatalladeloscuatrorobles

Dividaelcampoencuatropartesidénticas,cadaunadelascualesdeberácontenerunárbol.

La ciudad de losCuatroRobles lleva ese nombre a partir de que uno de losprimerospobladores,dueñodeunagranparceladetierra,selalegóasuscuatrohijosespecificandoquela«dividieranenpartesiguales,talcomoloindicanlasposicionesdecuatroantiguosroblesquesiemprehanservidocomomojones».

Los hijos fueron incapaces de dividirse la tierra amistosamente, ya que loscuatroárbolesnolesdabanningunaclavequelosguiara,demodoqueacudieronala leyyperdierontodalapropiedadenloquellegóaserconocidocomo«labatalla de los cuatro robles». La persona queme contó el asunto creía que lahistoriapodíaserelorigendeunbuenacertijo,ylohasido,almenosenloquealtemaserefiere.

La ilustración representa un campo cuadrado con cuatro viejos robles,separadosentre sípordistancias iguales, alineadosenuna filaquevadesdeelcentrodelterrenohastaunodesuslados.Lapropiedadfuelegadaacuatrohijos,

diciéndoles que debían dividir el campo en cuatro partes de lamisma forma ymedida,demodoquecadaunadeellascontuvieraunodelosárboles.Elacertijoesespontáneo,concebidoenelcalordelmomento,asíqueenrealidadnoesmuydifícil. No obstante, nos atrevemos a decir que no todos darán con la mejorrespuesta.

RESPUESTA

5.9.Unabatallareal

Reorganicelasochoparteshastaformaruntableroperfecto.

En lahistoriadeFrancia secuentaunaentretenidahistoriaacercadecómoelDelfínsesalvódeuninminentematemientrasjugabaalajedrezconelduquedeBorgoña, rompiéndole al duque el tablero en la cabeza y partiéndolo en ochopartes.Losautoresdeajedrezsuelencitarestahistoriacomoejemplodequenosiempreesbuenapolíticajugarparaganar,yhadadoademásorigenaunafuertelíneadeataqueconocidacomoelgambitodelRey.

Elhechodequeeltablerosepartieraenochopartessiempreimpresionómifantasía juvenil, ya queme parecía posible extraer de allí los elementos de unimportante problema. La restricción a esas ocho partes no da lugar a grandificultad o variedad, pero como no me siento en libertad de alejarme de laverdadhistórica,daréanuestros lectoresunproblemasimpleadecuadopara laépoca estival. Muestre cómo reunir las ocho partes para formar un tableroperfectode8×8.

El acertijo es simple, y sirve para enseñar una regla valiosa que deberespetarsealconstruirseacertijosdeestaclase.Comonohaydospartesdeigualforma,seevitanotrasvíaspararesolverloylasoluciónsetornamásdifícil.

RESPUESTA

5.10.Elacertijodelapicaroja

Muestrecómosepuedeconvertirlapicaenuncorazóncortándoloentrespartes.

Durante una reciente visita alClub deWhist yAjedrez deCrescentCity,mellamó la atención el curioso diseño de una pica roja que adornaba una de lasventanasdelsalónprincipaldereuniones.EldiseñoprocedíadeDresdey,a lamaneradelasvidrierasdelascatedrales,estáhechoconnumerosaspiececitasdevidriocoloreado,hábilmenteensambladasparalograrlafiguradeseada.

Jamásnadiepidióningúntipodeexplicaciónacercadelaincongruenciadelcolor.Al principio se lo tomó comouna terrible equivocación, peromás tardellegó a ser contemplado con gusto, no sólo a causa de la novedad que puedesignificarunapicaroja,sino tambiénporqueunapicanegrahubieraoscurecidodemasiadolahabitación.

Alenterarme,noobstante,queelfabricantehabíacometidounerror,yaqueelas de corazones debía haber sido la insignia del club,me dediqué a examinarcuidadosamentelaventana.Lapicaestácompuestaportrespiezas,yrápidamente

descubríquereacomodandolaspiezas,éstaspodíanensamblarseparaformarelasdecorazones,queeraloquesehabíadeseadoenprincipio.

Lossociossehabíanacostumbradotantoasupeculiaremblema,pornodecirqueyaloveneraban,quenoconsintieronenquefueracambiado.Noobstante,estaalteracióndalugaraunacertijosingularaunquesencillo.

RESPUESTA

5.11.Lacolchaderetazos

¿Cuáleselmenornúmeroposibledecuadrados,deunaomáspiezas,enquepuededividirselacolcha?

El dibujo representa a los miembros de la sociedad de «TrabajadorasVoluntarias»sorprendiendoasubuenpárrococonunamuestradeamoryestimabajo la forma de una bella colcha de retazos. Cada uno de los miembroscontribuyó con una pieza perfectamente cuadrada, formada por uno o máscuadradospequeños.

Cualquieradelasdamashubierarenunciadosisupiezahubierasidoomitida,demodoque el hechodeunir los diversos cuadrados, de distintos tamaños, seconvirtióenuntemaarduoderesolver.Incidentalmente,debemosmencionarque,ya que cadamiembro colaboró con un pedazo cuadradode colcha, usted sabrácuántoserancuandodescubralamenorcantidadposibledepiezascuadradasenque puede dividirse la colcha. Es un acertijo simple que ofrece considerableposibilidaddeaplicarelingenioylapaciencia.

RESPUESTA

El siguiente diagrama muestra de qué modo la colcha de 13 × 13 puededividirseen11cuadradosmáspequeños,elmenornúmerodepiezascuadradasenquepuededividirsesindestruireldiseñodeloscuadrados.

5.12.LosmosaicosGuido

Corteelmosaicoenpartesqueformendoscuadrados.

Generalmente no se sabe que la celebrada pieza de mosaicos venecianos deDomenichino, conocida como la colección Guido de cabezas romanas, estabaoriginariamente dividida en dos grupos cuadrados, descubiertos en diferentesperíodos.Fueron ensambladosparaque recuperaran loque se supone su formacorrecta,en1671.Aparentemente,fueaccidentalquesedescubrieraquecadaunode los cuadrados se componía de piezas que podían unirse y formar una piezamayorde5×5,comoseveenlailustración.

Esunbonitoacertijo,ycomomuchosacertijos,aligualquelasproposicionesmatemáticas, pueden resolverse de atrás para adelante ventajosamente,invertiremos el problema y le pediremos que divida el cuadrado grande en elmenornúmeroposibledepiezasquepuedanserreensambladasparaformardoscuadrados.

Este acertijo difiere del principio pitagórico de cortar con líneas al sesgo,

sabemosquedoscuadradospuedendividirseporsusdiagonalesparaproduciruncuadradomásgrande,yviceversa,peroenesteacertijodebemoscortarsolamentepor las rayas para no destruir las cabezas. Incidentalmente diremos que losestudiantes que dominan el problema pitagórico no hallarán demasiadasdificultades para descubrir cuántas cabezas deberá haber en los dos cuadradosqueresulten.

Los problemas de esta clase, que requieren la «mejor» respuesta con «elmenornúmeroposibledepiezas»,ofrecengranestímuloalainteligencia.Enesteproblema,lamenorsoluciónnodestruyeningunadelascabezasnilasvuelvedelrevés.

RESPUESTA

5.13.ElacertijodeAlexellisto

Corteelpedazodepapelconformademitraenelmenornúmeroposibledepiezasqueformenun

cuadradoperfecto.

Cualquiera que haya presentado un acertijo o un truco a un grupo de amigosconoceaAlexysuhábitodedemostrar,odeintentardemostrar,quelosabetodoacercadeesetruco,antesdequehayasidoexplicado.Enelcasodeconocerdeantemanoelacertijo,enunciatodaslasrespuestasinclusoantesdequetodoslosinteresadoshayantenidooportunidaddeintentarlo.Enelcasodequeelacertijoseanuevoparaél,seponeademostrarhastaquépuntosepareceaalgúnotroquesíconoceyquees,porsupuesto,superioralqueestáencuestión.Engeneralsusexplicacionesnosrecuerdanunproverbiopersa:«Elquenosabe,ynosabequenosabe,esunbuenestorbo».Esunverdaderoplacerhacerlofracasar,comoenelsiguienteejemplo:

Harry está a punto demostrarle a sus jóvenes amigos un divertido acertijocuando es interrumpido por Alex el terrible, que cree que es el que todos los

aficionados conocen como el famoso viejo Acertijo de la Mitra. Ése es unacertijoqueexpusealpúblicohaceunoscincuentaañosyquedemandaunmétodoparacortarelpapelencuatropiezasdeidénticaformaytamaño.

EnrespuestaalajactanciosaofertadeAlex,quepretendeexplicarelacertijo,Harryreplicaconprontitud:

«¡Perfecto! El acertijo consiste en cortar este papel en el menor númeroposibledepiezasqueluegoformenuncuadradoperfecto.Yomismoheolvidadolarespuesta,peroaquímiamigosehaofrecidoamablementeaexplicárnoslo».

RESPUESTA

Para resolver el acertijo con el menor número posible de partes, primerorecortelostriangulitos1y2ycolóquelosjuntosenelcentro.Despuésrecortelospeldañosenzig-zag,desplacelapiezan.º4haciaabajounpeldaño,ylascuatropartescoincidiránparaformaruncuadradoperfecto.

Esirónicoque,enelmismoacertijoenqueLoydfustigaa«Alexellisto»,quienpiensaquetodolosabe,elviejomaestrocaigaenungraveerror.

Tal como lo explicameticulosamenteHenryDudeney enAmusements inMathematics, sólo los rectángulos con lados en ciertasproporcionespuedensertransformadosencuadradospormediodelmétododelaescalera.Enestecaso, los lados del rectángulo guardan la proporción de 3 a 4, lo que nopermitelatransformacióndeseada.

Dudeney presenta una limpia solución en cinco partes. No se hadescubiertonuncaunasoluciónencuatropartes.

InclusoelviejoacertijodelamitradeLoyd,queconsisteencortarlamitraencuatropiezasdelamismaformaytamaño,sólopuederesolversegraciasalapoco satisfactoria suposicióndeque laspiezasque llevan lamisma letra,figura1,estánunidasporlosángulosyporlotanto…¡puedenconsiderarseunasolapieza!Loydtambiénpublicólamáslegítimadisecciónenochopiezasquemuestralafig.2.

[M.G.]

5.14.Acertijodelcarpintero

¿Cuáleselmenornúmerodepiezasenquedebecortarselatapadelamesaparacompletarlacaseta

delperro?

La ilustración por sí misma cuenta la historia, y no hace falta que SherlockHolmesnosdigaquelosmuchachoshanhalladounaviejacajadeherramientasenelcobertizo;quesumadreestáausentepueshaasistidoaunareunión,yquedebeserjueves,queeseldíadesalidadelasirvienta.

Hayotrosaspectosinteresantes,talescomodequémaneravaasalirTowserporlapuertecitaunavezquelosmuchachoshayanclavadoellateraldelacaseta.Ése,sinembargo,esunproblemaqueTowser tendráqueresolverasumanera,así que no perderemos más tiempo y nos dedicaremos al planteamiento delacertijo.

¿Cuáleslamejormaneradecortarlatapacuadradadelamesadelacocinaenelmenornúmeroposibledepiezasqueajustenparacerrarelladoabiertodelacaseta?

RESPUESTA

5.15.Elproblemadelaluna

Silalunaestuvierahechadequesoverde,¿cuántaspartespodríaustedobtenerconcincocortesrectosde

cuchillo?

«Hablandoacercadelaposibilidaddetratarlasenfermedadespormediodelainfluencia de la voluntad», dice un renombrado especialista en una recientecolaboraciónaunapublicaciónmédica,«deseodecirqueenSuizaelpoderdelaimaginación es tan fuerte que los pastoresmontañeses comen su pan negro congrandeleite,creyendoqueesquesoverdedelaluna,ylosniñossepeleanporsusporcionesimaginarias».

AlnoestarinteresadoporelladodelaChristianScience,loquemeimpactófue descubrir la posibilidad de un acertijo en esa vieja historia. Por lo tanto,pasando por alto la tonta fantasía de los hombres que muestra la ilustración,supongamos que el trinchador experto del grupo esté especulando acerca delmayor número posible de pedazos en los que puede dividir la luna con cincocortes. Los pastores deberán conformarse, desafortunadamente, con racionespequeñas,yaquesólotienenparasufestínuncuartomenguante,porloquesevenobligadosasacardeélelmayorprovecho.¿Puedeustedayudarlos?

Conlápizyregla,marqueenlailustracióndelalunacincolíneasrectasyveacuántaspartespuedeproducir.

RESPUESTA

Sacandolamayorventajaposibledelaformadelaluna,sepuedenlograr21pedazosdequesoparaloshambrientosmontañeses.

Sehaobservadoqueparaun círculo, el númeromáximodepedazosquepuedenobtenerseporncorteses(n2+n)/2+1peroparauncuartocreciente,elnúmeroaumentahasta(n2+3n)/2+1.

[M.G.]

5.16.Elperrodepandejengibre

¿Cómocortaríaestacabezadeperro,depandejengibre,endospartesdeigualforma?

He aquí unproblemapráctico de división simple calculadopara complicar aalgunosdenuestrosaficionados.

Vemos que Toodles ha recibido de regalo una cabeza de perro de pan dejengibre,yselehadichoquedebecompartirlaconsuhermanito.

Ensuansiedadporserjustayequitativa,deseadescubrirelmododedividirlacabezaendospiezasdeigualformaymedida.

¿Cuántosdenuestrossagacesaficionadospodránayudarlaenseñándolecómodividirlacabezadeperro?

RESPUESTA

5.17.Elproblemadelqueso

¿Cuántospedazosdequesoprodujoelsoldadoconseiscortesplanos?

Eltemaparaunbuenacertijopuedesersugeridoporcualquiercosaimpactanteonuevaqueuno tenga laoportunidaddever, pero la aplicacióno el adecuadodesarrollo del tema puede requerir considerable tiempo y estudio.Algo de losasuntoscotidianosdelavidanosintrigaunpocoporsurareza,yasísenosocurrenaturalmentelaidea:«Siestomehaintrigadobajosuformaaccidental,cuandonosepretendía presentar ningún aspectodificultoso, ¿dequémanera sería posibleaumentarladificultaddándoleverdaderaformadeacertijoconobjetodeocultarelprincipioinvolucrado?».

El problema debe ser presentado de manera agradable, de modo que lailustraciónayudeaexplicarlostérminosyoculte,almismotiempo,sudificultadreal, confiriendo a todo el relato lo que Bret Harte llamaría una simplicidad«infantily leve».Hastaelnombrepuedeutilizarseparadesviar laatencióndeltruco,pues,talcomounantiguofilósofocomentaravariossiglosantesdequesehablara de los Estados Unidos, «Ars est celare artem», con lo cual pretendíainformar a los aficionados a los acertijos que el verdadero arte consiste en

ocultar el arte. Allí radica la mayor diferencia entre los acertijos modernos yantiguos.

Un día me hallaba casualmente en una dependencia del ejército donde unasistentecortabaunquesoenporciones,ymesorprendióelmodoingeniosoqueutilizabaparadividirlo.Cuantomás lopensaba,más convencido estabaque enese hecho había una feliz sugerencia que eventualmente podría cristalizarse enformadeacertijo.Cumplimentéalintendenteporlahabilidaddesuasistente,aloqueélreplicó:«¡Oh,esonoesnada!¡Deberíaverlocuandocortaunpastel!».

El corte de un pastel compete sólo a la superficie, involucrando así raícescuadradas o segundas potencias, comodiría unmatemático.Al cortar un quesovamosmásalládelasuperficie,internándonosenecuacionescúbicasconocidascomo terceras potencias, pues debemos considerar el problema de laprofundidad.

¿Puede usted decir cuántos pedazos se producen a partir de los seis cortesrectossiguientes?

RESPUESTA

Elquesoesdivididoen2partesconuncorte,en4porelsegundo,en8poreltercero,en15porelcuarto,en26porelquinto,yen42porelsexto.

Estosnúmerosindicanelnúmeromáximodepartesquepuedenproducirsecon cada corte sucesivo de un sólido convexo.A partir de esta serie, no esdifícil derivar la siguiente ecuación cúbica, expresando así la relaciónfuncionalentreelnúmeromáximodepartesyelnúmerodecortes (n): (n3 +5n)/2+1=númerodepartes.

[M.G.]

5.18.Elacertijochino

Dividaunpedazocuadradodepapelendosmitadesqueajustencomomuestralailustración.

Elcepoqueinmovilizalacabezaylasmuñecasdeldesdichadoculpabledelailustraciónfuehechoconunpedazocuadradodemaderadivididoendospartes.Al igualque todos losproblemasmatemáticos, laproposiciónpuederesolverseenambossentidos,esdecir,haciendouncepopordivisióndelcuadradoodividirelcepoenmitadesqueajustenparaformarelcuadrado.

Torneunpedazodepapelperfectamentecuadradoy,sinningúndesperdicio,córteloendospartesqueajustenyformenuncepooblongo,conorificiosparalacabezaylasmuñecasdelprisionero.Lasdospiezasqueformanelcepopuedenhacerse coincidir para formar nuevamente un cuadrado perfecto, con los tres

orificioscerrados.Hayunpequeñotrucorelacionadoconlatareadepracticarlosorificiosenlasposicionesexactasquemuestralailustración.

RESPUESTA

El«bonito»trucoconsisteenquedosentradasdelbordedelagujerocentralestán disimuladas por la cabeza del prisionero. El siguiente diagrama explicacómosehacortadolamadera.

6PROBLEMASTOPOLÓGICOS,DERECORRIDOSYDETRAZADOS

6.1.Untourenbicicleta

MarcarlarutadesdeFiladelfiaaErie,pasandounavezporcadaciudad.

Estemapamuestraveintitrésciudades importantesdePennsylvaniaconectadaspor rutas ciclistas de un diseñomás omenos artístico.El problema es simple:comiencesusvacacionesdeveranoyvayadeFiladelfiaaErie,pasandounavezporcadaciudadysinrecorrerdosveceselmismotrayecto.Estodoloquehay,que hacer. Las ciudades están numeradas para que los participantes puedandescribirlarutaaseguirpormediodeunasecuencianumérica.

Enesteviajeprescindiremosde laprácticausualde llegaradestinopor la«ruta más corta posible». Simplemente llegue allí, sin prestar atención alciclómetro.

RESPUESTA

Laúnica rutaposibleparapasar sólounavezporcadaciudades siguiendoestasecuencia:Filadelfiaa15,22,18,14,3,8,4,10,19,16,11,5,9,2,7,13,17,21,20,6,12,yluegoaErie.

6.2.EnlaantiguaGrecia

Dibujeelsímbologriegoconunalíneacontinua,haciendolamenorcantidadposibledevirajes.

Al mirar algunas fotografías de las maravillosas reliquias de la antigüedaddesenterradas durante las recientes excavaciones en Grecia, me asombró larepetida aparición del símbolo del círculo y el triángulo. Sin entrar en ladiscusión referida a la interpretación aceptada del signo, acerca de la cualmuchos hombres eruditos han escrito muchos volúmenes, simplemente deseollamarlaatenciónconrespectoaloscuriososaspectosmatemáticosquesiempreparecenformarpartedelaestructuradeestoscasos.

Este signo está ligado a ciertas inscripciones de monumentosconmemorativos,yfuncionadealgúnmodocomounselloounasignatura.Resultaagradabledescubrirqueelsímbolopuedetrazarseconunasolalíneacontinua,sinretrazarningunaparte.Perosiadoptamoselplanmáspopulardevolverapasar

sobrealgunas líneas todas lasvecesquedeseemos, requiriendo tan sóloque lafigura trazada par una sola línea continua, con la menor cantidad posible decambiosdedireccióneneltrazo,latareaseconvierteenelmejoracertijodesuclasequesehayainventadonunca.

RESPUESTA

El símbolo griego puede dibujarse con una sola línea continua con trececambiosdedirección:

6.3.ElproblemadelospuentesdeKönigsberg

¿Cuántasrutashayycuáleslamáscorta?

He aquí un extraño acertijo, interesante no sólo a causadel principiogeneralque implica sino también a causa de su antigüedad y de la curiosa historiarelacionadaconél.Königsberg,lasegundacapitaldePrusia,estádivididaporelríoPregel en cuatro zonas, incluyendo la islaKneiphof, tal como lomuestra elmapaadjunto.Hayochopuentesqueconectanlasdiferentespartesdelaciudad,yhay un acertijo acerca de ellos que intrigó grandemente a los ciudadanos deKönigsberghaceunosdoscientosaños.

Dar un paseo por los puentes ha sido siempre un entretenimiento pararecreaciónde los jóvenes.Según losviejos relatos,deunamaneraodeotrasepresentó la pregunta de cuánto llevaría recorrer los puentes. Esto condujo a lasorprendenteafirmacióndequeunrecorridocompletodetodoslospuentes—sinpasarmásdeunavezporningunodelospuentes—,eraimposible.

Es un hecho histórico que un comité de jóvenes visitó a Leonard Euler, el

matemático,en1735,parapedirlequeresolvieraelconflictivotema.Unañomástarde,Eulerpresentóunvoluminoso informea la academiadeCienciasdeSanPetersburgo. Allí afirmaba haber demostrado la imposibilidad de resolver elproblema.EstaconclusiónapareceenelinformedelaAcademia,1741,vol.8,yha sido publicada en inglés y francés por renombradosmatemáticos, ya que seocupadelprincipioaplicándoloacualquiernúmerodepuentes.

El profesorW. Rouse Ball, de Trinity College, discute la antigüedad y losméritos del problema en su gran obra, Mathematical Recreations, pero seequivocaaladjudicarsuorigenaEuleren1736,yhacelanotableafirmacióndequehabíayaúnhay,segúnBaedecker,solamentesietepuentes.Losregistrosmásantiguos se refieren a ocho, y nuestro mapa presenta un acertado esquema deBaedecker, quien se refiere especialmente a los ocho puentes. Euler era muyjovenen1735,ynoseconvirtióenunmatemático famosohastacincuentaañosmástarde,porloquepuedehabercaídoenelerrordepartirdeciertasposicionesque,aligualqueciertascombinacionesdemiacertijo14-15,nofuncionan.

La cuestión de regresar al punto de partida no forma parte en absoluto delproblema. Sólo se trata de demostrar si es posible partir de cierto sitio de laciudadyllegaraotrositiopasandounasolavezportodoslospuentes.

Selepideallectorquedigadecuántasmanerasesposiblehacerlo,ycuáleslarutamáscorta.

RESPUESTA

Hay416manerasdellevaracaboestaprueba,ylarutamáscortaes

O-P,D-C,E-F,H-G,I-J,L-K,N-MyA-B(oalainversa);

perocomohayvariosmillonesdemanerasdenollevarlaacabo,lasescasas416posibilidadescorrectastalvezpasaroninadvertidas.

EllectornodebetomarenseriolasburlasdeLoydalgranEulerquien,talcomo por supuesto Loyd sabía, estaba preocupado solamente con los sietepuentes, y cuyo famoso informe fue el primer análisis publicado de unproblematopológico.

[M.G.]

6.4.Tácticasmilitares

Demuestredequémodopuedeunadivisiónmilitarentrarporlapuertanúmero1,marcharatravésdelassesentaycuatrocasillasysalirporlaotrapuertatras

haberpasadobajoelarcodetriunfo.

MuchosrecuerdanlasensaciónquecausóelgeneralWinfieldScottcuandoledijo al Secretario de Guerra Stanton. «Aunque tenemos muchos comandantescapacesdehacermarchar unadivisiónde soldadospor unparque, ¡ni siquieraunodeellossabelosuficientedetácticasmilitarescomoparapodersacarlosdeallí!». El comentario fue aceptado como unamordaz crítica de lo que todo elmundollamabalahabilidaddenuestrossoldadosparadesfilesfestivos.

SéqueelgeneralScotteraunexcelenteajedrecista,yahorarecuerdohaberideadouncuriosoacertijoajedrecísticoquepretendíapresentarle,sisedaba laocasión,parailustrarlastácticasmilitaresdeunadivisióndesoldadosquedebíaatravesarunparquepúblico.

Nodemandaconocimientosdeajedrez,yaquesetratadeunacertijosimple,

peroparafacilitarlaexplicaciónmehetomadolalibertaddedividirelparqueencasillasparaqueseasemejeauntablerodeajedrez.Elproblema,sinembargo,esmuy interesante. Hay quemostrar de quémodo una división entraría por lapuertanúmero1,marcharíaportodaslascasillas,pordebajodelarcodeltriunfoy saldría finalmente por la puerta número 2, describiendo elmenor número degirosposible.

Hagaundiagramade8×8con64casillasenunahojadepapelydespués,conunlápiz,intentepasarporcadaunadelascasillas,empezandoyterminandoen laspuertas indicadas,ypasandobajoelarco.Podemosasegurarleunbonitorecorrido.

RESPUESTA

Hay una sola manera de resolver el problema con 14 giros, tal como lomuestralailustración,aunqueexistenmilyunarutasquerequierenungiromás.

6.5.Entrandoenacción

Muestrecómopuedeelbarcograndehundiralossesentaytresnavíosenemigosyregresaralpuntodepartidaconelmenornúmeroposibledetrazosrectos.

La ilustración adjuntamuestra a un señalero izando las banderas de combateque, para el beneficio de todos aquellos no familiarizados con las señalesnavales, explicaremos que representan el famoso grito de batalla de la guerrahispano-norteamericana: «¡Recuerden el Maine!». Se muestra al comandanteestableciendoenelmapaelplandeataqueconelquepretendeatacaryhundirtodalaflotilladebarcosenemigos,destruyéndolosconlamayorceleridad.

Comenzando en el punto ocupado por el barco grande, tache con una solalíneacontinua los sesentay tresbarcospequeñosy regresealpuntodepartida,haciendolamenorcantidadposibledemovimientos«rectos»,talcomodecimosenellenguajedelosacertijos.

RESPUESTA

Hay muchas maneras simples de llevar a cabo la solución en 15 a 18movimientos,perolaqueaquíofrecemosinvolucra14movimientosregresandoalpuntoinicial,ynosparecelamejorrespuestaposible:

6.6.LoscanalesdeMarte

Visitetodaslasciudadesdeletreandounafrase.

He aquí un mapa de las recientemente descubiertas ciudades y canales denuestroplanetavecinomáscercano,Marte.ComienceenlaciudadmarcadaconunaN,enelpolosur,yveasipuededeletrearunaoracióncompletarecorriendotodaslasciudades,visitándolassólounavezyregresandoalpuntodepartida.

Cuando este acertijo apareció en una revista por primera vez, más decincuentamil lectores dijeron: «No hay solución posible». Sin embargo, es unacertijomuysimple.

RESPUESTA

Los cincuenta mil lectores que contestaron «No hay solución posible»resolvieronel acertijo, ¡pues ésa es la frasequedaunavuelta completapor elplaneta!

6.7.RegresandodeKlondike

Encuentreunarutanumeradadesdeelcentrohastasalirdelbosque.

Euler, el gran matemático, descubrió una regla para resolver toda clase deacertijoslaberínticosque,comotodoslosbuenosaficionadossaben,consisteentrabajar al revés, es decir, desde el final al principio. El acertijo que aquípresentamos, sin embarco, fue deliberadamente concebido para descalificar laregla deEuler, y entremuchos otros intentos, tal vez sea el único que pone endudasumétodo.

Empiece desde el centro. Avance tres pasos en cualquiera de las ocho

direcciones, norte, sur, este, oeste, o al sesgo, noreste, noroeste, sureste osuroeste.Cuandohayaavanzado trespasosen línea recta llegaráauncuadradonumerado,queseñalaelsegundodíadeviaje,yqueserádetantospasosenlínearectaencualquieradelasochodireccionescomoindiqueelnúmero.Desdeestenuevopunto,vuelvaaavanzarsegúnlaindicacióndelnúmero,yprosigadeestamanerahastaquellegueauncuadradocuyonúmerolehagadarunpaso,sólouno,másalládelborde.Entonceshabrásalidodelbosqueypodrágritartodoloqueseleantoje…¡pueshabráresueltoelacertijo!

RESPUESTA

Para beneficio de aquellos que no pudieron escaparse del interminableremolinodenúmeros,diremosque laúnica salidaposibleespormediodeunacuriosasecuenciadeavancesyretrocesosalolargodeunasoladiagonal.

Losmovimientosson:SOa4,SOa6,NEa6,NEa2,NEa5,SOa4,SOa4yluegounaudazsaltoalNOoalSErumboalalibertad.

6.8.Losvecinosbelicosos

Tracelostrescaminossinentrecruzarlos.

Este raro y simple acertijo fue una demis primeras producciones, publicadahacemásdemediosiglo.Reproduzcoaquíeldibujooriginalquehicecuandoeraunniñodenueveaños.

Sedicequetresvecinosquecompartíanunpequeñoparque,comoseveenlailustración,tuvieronunariña.Eldueñodelacasagrande,quejándosedequelospollosdesuvecinolomolestaban,construyóuncaminoconcercaqueibadesdesu puerta a la salida que está en la parte inferior de la ilustración.Después elhombrede laderecha construyóun caminohasta la salidade la izquierda, y elhombredelaizquierdaconstruyóuncaminohastalasalidadeladerecha.

Ningunodeestoscaminossecruzaba.¿Puededibujarloscorrectamente?

RESPUESTA

Losvecinosbelicososhicieronasísussenderos:

6.9.LatrayectoriadelHeclai

Pasesobretodaslasestrellasconelmenornúmerodetramosrectos.

EsteacertijopretendemostrarlaerráticarutaseguidaporelcometaHeclai,quepartedesdelapequeñaestrellablanca,destruyetodalaconstelacióndesesentaydos estrellas oscuras y termina haciendo estallar la gran estrella blanca.Comience en la pequeña estrella blanca, y dibuje elmenor número posible delíneasconectadasquepasenporcadaunadelasestrellasoscurasytermineenlagranestrellablanca.

RESPUESTA

Catorcelíneasrectasbastaránpararesolverelacertijo.

6.10.AliciaenelPaísdelasMaravillas

¿Decuántasmanerassepuedeleer«WasitacatIsaw»?

Recordemos lasnotables experienciasdeAlicia conelgatodeCheshire, quetenía el hábitodedesaparecer en el aire hastaque sóloquedaba su irresistiblesonrisa.CuandoAliciavioporprimeraveza suamigo felino,deseósaberquéespecie de animal era, y como en el País de la Maravillas las preguntas seformulansiempreporescrito,escribiósupregunta.Perocomoengeneral,enelPaís de las Maravillas, las cosas se leen de adelante para atrás o al revés,escribiólapreguntatalcomoseveenlailustración.Estopermitealoslectoresempezar y terminar donde se les antoje, tal como lo harían en el País de las

Maravillas.Elproblemaes:¿decuántasmanerasdiferentessepuedeleerlapreguntade

Alicia,«WasitacatIsaw»?¿Eraungatoloquevi?EmpieceporcualquieradelasW,muévasealasletrasadyacenteshastallegaralaCyluegovuelvahaciaelborde.Puededesplazarsehaciaarriba,haciaabajo,hacia laderechayhacia laizquierda.

RESPUESTA

Muchosbuenosmatemáticos incurrieronenelerrorde intentarresolveresteproblemasobre labasedequehay24puntosdepartidayelmismonúmerodefinales. Supusieron que el cuadrado de 24, es decir, 576, era el número deposibilidades. Pasaron por alto las rutas laterales que ofrecen 252maneras dellegaralcentroC,ycomohayigualnúmerodemanerasderegresara lasW,elcuadradode252eslarespuestacorrecta:hay63.504manerasdiferentes.

6.11.Elnudogordiano

Saquelastijerassincortarlacuerda.

Por supuesto, en estos días tan lejanos sería imposible corregir la tremendainjusticia que padeció el pobre Gordio. No obstante, como verdaderosaficionados a los acertijos, podemos condenar la manera soberbia en queAlejandro Magno, compitiendo en un torneo de acertijos, se las arregló paraautodesignarse árbitro y concederse el premio por su absurda solución.Estableció así un peligroso precedente y estimuló una especie de delincuenciaquenosehaextinguidotodavía.AmenudoencontramosjóvenesAlejandrosalosquelesgustaríamuchoresolverlosacertijossegúnsuspropiasideasyganarlospremiosalamaneradelospiratas.

Gordioeraunsimplecampesinoquecriabaovejasycultivabauvas,peroqueporsuagudainteligenciaseconvirtióenreydeFrigia.Sedicequecuandosubióal tronoató sus antiguasherramientas con loque lahistoria conoce comonudogordiano,perodetalmaneraquelosnudosnopodíanserdesatados.Losoráculosproclamaronquecualquieraquelograradeshacerlosseconvertiríaenemperador.

AlejandroMagno, según se cuenta, hizo inútiles intentos de desatar algunosnudos,perocuandofinalmenteseenfurecióporsufaltadeéxito,extrajolaespada

ycortólacuerda,exclamandoque«ésaeslamaneradictadaporelsentidocomúndeconseguirunacosaquesedesea».Esextrañoqueaquellosqueconocenestahistoria y sudespreciable culminación la respalden con cierto airede supuestoorgullo cuando han superado alguna dificultad y dicen: «¡He cortado el nudogordiano!».

Según los historiadores y todos los escritores que han tratado el tema, elacertijoeralegítimoyjusto,descritodemaneratanprecisaydetalladaquesehanhechomuchos intentosdepintarlo.Algunos imitadoresdeGordiohaninventadonudos curiosos y complicados, y me pregunto si estarían satisfechos con lasrespuestassilosaficionadossiguieranelmétododeAlejandro.Laúnicaprotestacontra su solución, al menos que yo pueda recordar, son unos pocos versosinteligentescuyoorigendebesermuyantiguo:

«Unacertijonoseresuelve,Señoresimpacientes,Espiandolarespuestaenuntris;CuandoGordio,reycampesinodeFrigiaAtósusherramientasdecultivoConelnudorenombrado,AlejandroelapresuradoNologródeshacerloalcortarloendos».

Al presentar este acertijo,me he basado especialmente en los datos de lasenciclopedias, perome he atenido estrictamente a la descripción que encontré.Todas las enciclopedias coinciden enque la cuerda estaba atadade talmaneraquenohabíaextremosalavista,yquelosimplementosdecultivoestabanatadosaunganchoeneltemplodelosdioses.HeaceptadolainterpretacióndeLattimer,que sostiene que los implementos pueden haber sido atados por separado, yacepto su referencia a las tijeras de podar como un caso digno de especialilustración.

El acertijo es especial para salidas estivales, y es posible que se hagaigualmentepopularenlacostayenloslugaresdemontaña.Puedeserresueltoconpaciencia,perseveranciaysilenciosoestudio.Esunacertijoparaserresueltoenunsitiotranquilo,«lejosdelmundanalruido».

Consigaun trozodecuerdadealrededordeunayardade longitudyate los

extremos.Tomeunpardetijerascomunesycoloquelasogatalcomoseveenlailustración, sólo que en vez de pasar la cuerda por el gancho, póngasela a lamanera de un collar, alrededor del cuello de una joven, sentada en posiciónconveniente,quien leayudaráaconseguir lacoronadeAsiasiconsigueextraerlastijeras.

RESPUESTA

Las tijeras se liberande la cuerdahaciendopasar el lazopor debajode lacuerdadoble.Primeroa travésdel anillode la izquierda,despuéspor elde laderecha,despuéseldelaizquierda,despuéseldeladerecha.Ahorapaseellazoporencimade toda la tijerayéstase liberaráamenosqueusted,al retorcer lacuerda,hayaproducidoundesafortunadoenredo.

7PROBLEMASDEGEOMETRÍA

ESPACIAL

7.1.Elproblemadelfontanero

Heaquíunalecciónprácticadefontaneríaqueinteresaráaaquellosqueposeanbuenapredisposiciónparalamecánica.

Unfontanerodeseabacalcularcuáleraelmenorcostoposibledeuntanquedecobre capazde contener 1.000pies cúbicos.El cobreviene en láminasde trespiescuadrados,ycuesta$1elpiecuadrado,demodoqueelproblemaconsisteendeterminar las dimensionesmás económicas de un tanque rectangular capaz decontener1.000piescúbicos.

Esevidentequesilabasedeltanquedecobreesdediezpiescuadrados,10multiplicadopor10da100paraeláreadelabase,cifraquemultiplicadaporlaprofundidaddelasdimensionescorrectasdeuntanquede1.000piescúbicos.

Un cubo de diez pies cuadrados contendrá 1.000 pies cúbicos: es verdad,pero requeriría 500 pies de cobre (100 para la base y para cada uno de loslados).Nuestroproblemanospidequedeterminemoslaformamáseconómicadeuntanquecapazdecontener1.000piescúbicosutilizandolamenorcantidaddecobreposible.

Es una simple obra cotidiana que cualquier mecánico construiríacorrectamente a su manera, pero los matemáticos descubrirán que implica la«duplicacióndelcubo».

RESPUESTA

Enelproblemadelfontanero,sedescubriráqueuntanqueconbasecuadrada,dosvecesmásanchoqueprofundo,darálaformamáseconómica.Siuncubodeaproximadamente 12,6 pies cuadrados contiene 2000 pies cúbicos, entonces lamitaddeesaprofundidaddarálos1000piescúbicosrequeridos.

Las dimensiones exactas del tanque no pueden determinarse en númerosracionales porque aluden a lamitad de un«cuboduplicado».Expresadas ennúmerosirracionales,podemosdecirqueeltanquetendríaunlargoyunanchoiguala la raízcúbicade2000,yunaprofundidad iguala lamitadde la raízcúbicade2000.

[M.G.]

7.2.LaviejatorreBeacon

¿Cuántospeldañoshayenlaviejatorre?

LosturistasquesehantomadovacacionesestivalesenlacostadeJerseyestánfamiliarizados con la vieja TorreBeacon de Point Lookout. Las ruinas de estatorre,quefuncionócomofarodurantemásdemediosiglo,seyerguenensuúltimaetapa de disolución sobre un arrecife rocoso que se interna en el mar. Lailustración que presentamos ha sido tomada de un boceto hecho hace unoscincuenta años, que obtuvimos de un anciano residente que está ahora en sunonagésimo sexto añodevida.Recuerdaque la torre fue erigida cuando él eraniño. Todo el condado se sintió honrado por el acontecimiento, y había pocaspersonas en el vecindarioqueno creyeranque lavieja torreno eraunpoquitomásaltaquelatorredeBabel.

Ahorasóloquedaunmaltratadopostedeunossesentapiesdealtura,yaquelas escaleras fueron destruidas por un incendio hacemás de veinte años. Perotanto la ilustración como los registros del condado demuestran que laconstrucciónteníaoriginariamente300piesdealtura.

Esta era entonces una altura indudablemente respetable.Durantemás de un

siglo, la capacidad de concebir alturas en la ciudad deNuevaYork era decir:«TanaltocomolaagujadelcampanariodeTrinityChurch».Perolostiemposhancambiado desde entonces, y recientemente el venerable capellán de Trinity sequejabadequelosmuchachosdeledificiodeoficinasvecinotirabancosassobrelaagujadelcampanario.

El apoyo central de la TorreBeacon estaba compuesto por enormes posteshábilmente ensamblados, alrededor de los cuales serpenteaba una escalera enhéliceconlabalaustradadehierroconpasamanos.Estepasamanocontorneabacuatro veces la columna, tal como lomuestra la ilustración.Había un apoyo oestacaparacadapeldaño,ycomoestasestacasestabanseparadasporunpiededistancia,deberíasertareasimpleladedeterminarcuántospeldañoshabíahastala cima. Sin embargo, y para citar las palabras del capitán Huff, quien nossuministrólailustraciónytambiénlahistoriadelatorre,«noconozcoanadiedelaciudadquehayavenidoaquíapasarelveranoyhayapodidohacerelcálculo».

Resumamos losdatos: la torre tenía300pies de alturadesde el primero alúltimo escalón, el pasamano de hierro circundaba cuatro veces la torre y lasestacas, una por peldaño, estaban separadas por un pie de distancia. A estodebemos agregar que el diámetro de toda la torre (es decir, del cilindroimaginario que es el eje de la hélice) era de veintitrés pies y diez pulgadas ymedia. (Recordemosqueunpie=12pulgadas). ¿Cuántospeldañoshabía en laescaleradecaracol?

RESPUESTA

Sisetrazaunadelasdiagonalesenunahojarectangularyluegoseenrollaelpapelparaqueformeuncilindro,ladiagonalformaráunahélicealrededordeesecilindro. En otras palabras, una hélice que circunde a una columna puedeconsiderarsecomo lahipotenusadeun triángulo rectángulo.Enestecaso,esuntriángulo rectángulo que envuelve cuatro veces a la columna. La base de estetriángulo es cuatro veces la circunferencia del cilindro (pi por diámetro, porcuatro),loqueresultaserunapequeñísimafracciónporencimadelos300pies.Estaestambiénlaalturadelatorre,loqueesunacoincidencia,porquelaalturanoestáinvolucradaenabsolutoenlaresolucióndelproblema.

Tampocodebemosconsiderarlalongituddelaescalera.Puessilospeldañosestánseparadosaunpiededistanciasobrelabasedeuntriángulorectángulo,elmismonúmerodarálaseparaciónsobrelahipotenusaindependientementedecuánlargasea.Comolabasedenuestrotriángulorectánguloesde300pies,habrá300escalonesenesaescaleracircular.

7.3.Elproblemadelapelotadefútbol

¿Quétamañotienelapelota?

No poseo un protector nasal de acero, por lo tanto no arriesgaré el órganometiéndolo enun juego con el que no estoy familiarizado.Las hombreras y lastobillerasnoestabandemodaenmisdíasdeestudiante.Solíamosjugaralfútbolconnuestrospies,comoloindicaelnombredeldeporte,ynuncatratábamosdemataromutilaraloscontrincantes.

Miacertijo,noobstante,nadatendráquevercon«voleas»,«gambetas»ynisiquiera con puntapiés. Es simplemente una reminiscencia de los días en quenosotros,chicosdecampo,amábamospatearlasuavepelotadegomaenelverdecampodejuego.

Vivíamosenelcampo,ysolíamospedirnuestrapelotaporcorreo,segúnlasmedidaspromocionadasenelcatálogodeunacasadedeportesquesolicitabaalos clientes que «especificaran el número exacto de pulgadas». En este puntoapareceelproblema.

Se nos pedía que especificásemos el tamaño deseado en pulgadas, pero nosabíamos si se refería al número de pulgadas de goma en la superficie o a las

pulgadas cúbicas de aire contenidas en la pelota, demodo que combinábamosambos principios y ordenábamos una pelota que contuviera… ¡tantas pulgadascúbicasdeairecomopulgadascuadradasdesuperficie!

¿Cuántos de nuestros lectores pueden determinar el diámetro de la pelotapedida?

RESPUESTA

Elvolumende unapelota puede considerarse como constituidopor ungrannúmerodepequeñaspirámidescuyosápicessereúnenenelcentrodelapelotaycuyas bases forman su superficie. Sabemos que el volumende una pirámide esigual a la superficie de su basemultiplicada por un tercio de la altura. Por lotanto,elvolumendelaesferaesigualalasumadelasbasesmultiplicadaporunterciodelaalturaconstante,enestecaso,lasuperficiedelaesferamultiplicadapor un tercio del radio. Si este volumen debe ser igual al de la superficie, sedesprende que un tercio del radio es la unidad. Por tanto, el radio es 3, y eldiámetrodelapelota,6pulgadas.

7.4.LoscubosdePlatón

¿Cuántoscuboshayenelmonumentoyenlaplaza?

A menudo se hace referencia a la clásica leyenda del problema délico deduplicarodoblareláreadeuncubo.Filoponuscuentaquelosatenienses,enel432 a. C., infectados por esa plaga, fueron a consultar a Platón. Previamentehabían consultado al oráculo de Delos, y Apolo les había dicho que debíanduplicar las dimensiones del altar de oro del templo. Fueron incapaces dehacerlo. Platón, elmás grandematemático y filósofo de la época, les dijo queestaban siendo castigados por haber descuidado la sublime ciencia de lageometría,ydeploróquenohubieraentre todosellosun solohombrecapazderesolverelproblema.

El problema délico, que es nadamás y nadamenos que la duplicación delcubo,sueleconfundirsegeneralmenteconelde loscubosdePlatón,a talpuntoque los autores no familiarizados con lamatemática losmezclan terriblemente.Esteúltimoproblemaeselaveces llamadoNúmerosGeométricosdePlatón,yusualmente se agrega que muy poco o nada se sabe acerca de las verdaderas

condicionesdelproblema.Algunosautoressostienenquesus términossehanperdido.Hayunaantigua

descripcióndeunenormecuboerigidoenelcentrodeunaplazaembaldosada,ynohacefaltaunesfuerzode la imaginaciónparaasociarestemonumentoconelproblemadePlatón.

La ilustración muestra a Platón contemplando el enorme cubo de mármolconstruidoconunciertonúmerodecubosmáspequeños.Elmonumentodescansaenelcentrodeunaplazacuadradapavimentadaconsimilaresbloquescúbicosdemármol.Enesepavimentohaytantoscuboscomoenelmonumento,ytodosellossonprecisamentedelamismamedida.

Establezca lacantidaddecubosnecesariaparaconstruir elmonumentoy laplazacuadradaenlaqueestásituado,yhabráustedresueltoelgranproblemadelosNúmerosGeométricosdePlatón.

RESPUESTA

El problema requiere un número que, elevado al cubo, dé un númerocuadrado.Esteeselcasodecualquiernúmeroqueseauncuadrado.Elcuadradomáspequeño(apartede1)es4,demodoqueelmonumentopodríaestarformadopor64cubos(4×4×4)quesealzaríanenelcentrodeuncuadradode8×8.Esto, sin embargo, no se adecuaría a las proporcionesde la ilustración.Por lotanto,probamosconel siguientecuadrado,9,quenosdaunmonumentode729cuboserigidosobreuncuadradode27×27.Éstaeslarespuestacorrectapueseslaúnicaquecoincideconlailustración.

7.5.ElexpresoDeadwood

ElexpresoDeadwoodllegaaunaciudadmineradelOesteconunenvíodedoscajasparaunajovendama.Muyprontoseproduceunaacaloradadisputaentreelencargadoylosamigosminerosdeladama.

Ladificultaderaqueelencargadoqueríacobrarporeltransportedelascajasunatarifade$5porpiecúbico,segúnlasinstruccionesdelafactura.Losmineros,noobstante, loobjetabandiciendoque lacostumbreerapagaresacifraporpielineal, según las leyesmineras.De todosmodos, ¡conquéderecho lacompañíatransportadorasemetíaconel«contenidocúbico»delacajadeunajoven!

Elencargadosevioobligadoaaceptarlostérminospropuestos,demodoquemidió la longitud de las cajas y cobró $5 por pie lineal. Ambas cajas eranperfectamentecúbicasyunateníaexactamentelamitaddelaalturadelaotra.

Loextrañodelproblemaesquecuandoelencargadopusolasdoscajasjuntasymidiósuslongitudescombinadas,sedescubrióquenohabíaningunadiferenciaentreambosmodosdecobrar,$5porpiecúbicoo$5porpielineal.

¿Quédimensionesteníanambascajas?

RESPUESTA

Lacajagrandedebeteneraproximadamente1,155piesdeladoylapequeña0,577 pies. Las dos juntasmiden 1,732 pies, lo que a $5 por pie lineal serían$8,66.

Lasdoscajasjuntascontienenapenasunpocomásde1,732piescúbicos.A$5porpiecúbico,latarifaseríatambiénde$8,66.

8PROBLEMASLÓGICOSYDEINVESTIGACIÓNOPERATIVA

8.1.Elsobrinoenfermo

He aquí un problemita de parentesco cuya respuesta es muy graciosa. El tíoReubenestabaenlagranciudadparavisitarasuhermanaMaryAnn.Caminabanjuntosporunacalledelaciudadcuandopasaronanteunpequeñohotel.

—«Antesdealejarnos»,dijoReubenasuhermana,«megustaríadetenermeunmomentoypreguntarporunsobrinoenfermoqueviveenestehotel».

—«Bien»,replicóMaryAnn,«comoyonotengoningúnsobrinoenfermodelquedebapreocuparme,mevolveréacasa.Podemoscontinuarnuestropaseoestatarde».

¿CuáleralarelacióndeMaryAnnconesemisteriososobrino?

RESPUESTA

MaryAnneralamadredelmuchachoenfermo

8.2.Lascuatrofugas

Transportealascuatroparejascelosasatravésdelrío.

Porsupuesto,todoslosaficionadosalosacertijosconocenelantiguoproblemadelhombreque teníaquecruzaraunzorro,ungansoyun repollohastaelotroladodel río enunboteque sólopodía llevar adosporvez.Lahistoriade lascuatrofugas,igualmenteantigua,estáconstruidademanerasimilar,peropresentatantascomplicacionesquelamejorrespuesta,olamásbreve,parecehabersidopasadaporaltoporlosmatemáticosquesehandedicadoaltema.

Sedicequecuatrohombressefugaronconsusamadas,peroalllevaracabosusplanessevieronforzadosacruzarunríoenunbotequesólopodíallevarados personas por vez. En el medio de la corriente, tal como lo muestra lailustración,habíaunapequeñaisla.Parecequelosjóveneserantancelososqueninguno de ellos permitía que su futura esposa permaneciera ni un segundo en

compañía de otro hombre u hombres a menos que también él mismo estuvierapresente.

Tampoco ninguno de ellos se avenía a embarcarse solo en el bote cuandohubiera una muchacha sola, en la isla o en la costa, si esta muchacha no eraaquellaconlaqueestabacomprometido.Estehechonoshacesospecharquelasmuchachastambiénerancelosasytemíanquesuscompañeroshuyeranconalgunade lasotras si se lesdaba laoportunidad.Bien, fueracomo fuese, elproblemaconsisteendescubrircuáleslamaneramásrápidadehacercruzarelríoatodoelgrupo.

Supongamos que el río tiene doscientas yardas de ancho, y una isla en elmedio en la que pueden permanecer todos. ¿Cuántos viajes debe hacer el boteparacruzaratodaslasparejassegúnlascondicionesimpuestas?

RESPUESTA

Elacertijopuedesersolucionadoen17viajes.ComenzamosconABCD(loshombres)yabcd(lasmuchachas)enlacosta.La

siguientetablaseexplicaporsímisma.

Hayotrosmétodospararesolverelproblemaen17movimientos,perotalcomo lo explica Henry Dudeney en su Amusements in Mathematics, estaresolucióneslaqueinvolucramenos«subidas»y«bajadas».Cuandosólosetratadetresparejas,laislanoesnecesaria,peroconcuatroomásparejas,senecesitalaislaparapodercumplirconlosrequisitosdelplanteodelproblema.

[M.G.]

8.3.Elacertijodelcollar

¿Cuántodebepagarladamaparaquelehaganelcollar?

Aprovecharé la ocasión para señalar que el hecho de quemis acertijos seanmuyconocidosnoimplicaquetodoelmundoconozcalasrespuestas.

Las respuestas correctas de algunos de los más populares jamás han sidopublicadas y, por lo que sé, tampoco han sido descubiertas. Ejemplificaré estepunto presentando el «Acertijo del collar», quemostré varios años atrás y quehace que cada persona que lo ve crea que podrá resolverlo de inmediato. Sinembargo,norecuerdoquenadiehayaencontradolarespuestacorrecta.

Estábasadoenunatransaccióncomercialcotidiana,ydestinadoademostrar

hastaquépuntoseequivocalapersonacomúncuandosetratadehaceralgoquedemandaunmínimodehabilidadoconocimientomatemático.Estádesprovistodecualquiertipodetrampaosubterfugio,ynohayenélningún«eslabónperdido»misterioso.

Fue propuesto a los principales joyeros y orfebres deNuevaYork, quienesdijeron que no emplearían a ningún vendedor que no pudiera dilucidar unatransaccióntansimpley,sinembargo,ningunodeellosdiolarespuestacorrecta.

Unadamacompródocetrozosdecadena,talcomosemuestrarodeandoalailustración,yquisohacersemontaruncollarcerradode100eslabones.Eljoyerodijo que costaría 15 centavos cortar y unir un eslabón pequeño y 20 centavoscortaryuniruneslabóngrande.Lacuestiónconsisteendecircuántodebepagarladamaparaqueselehagaelcollar.Esoestodo,yesunbonitoproblemaparalosjóvenes.

RESPUESTA

Al dar respuesta a este acertijo del collar puede afirmarse que cualquierjoyero,asícomoelnoventaynueveporcientodelosmatemáticos,diránquelamejormanera sería abrir losdocepequeños eslabones al final denuevede lasdocepiezas,hechoquereduciríaelcostoa$1,80.

La respuesta correcta, sin embargo, es abrir los diez eslabones de los dostrozos de cinco eslabones, situados en los laterales izquierdo y derecho, quetienen tres eslabones pequeños y dos grandes cada uno. Abrir y engarzar esoseslabones para hacer un collar cerrado costaría $1,70, que es la soluciónmásbarataposible.

8.4.Loslicorerosdelpaísdelosacertijos

¿Cómohaceellicoreroparamedir$21,06de«MountainDew»?

Por supuesto todos conocemos el problemadel hombreque tenía unbarril demiel para vender y se encuentra con un cliente que posee un recipiente de trescuartosdegalónyotrodecincocuartos,yquedeseacomprarcuatrocuartosdemiel. Es simple trasvasar lamiel con ambasmedidas hasta llegar a los cuatrocuartosrequeridos,peroejercitenlamateriagrisdesuscerebrosyveansipuedendescubrirconcuánpocoscambiospuedesolucionarseeseproblema.

Ese problema bien conocido preparará la mente para nuestro acertijo deahora, que consiste en descubrir de qué modo el licorero, con un barril deaguardientedemanzanasyotrodesidra31½galonescadabarril)puededarasucliente$21,06de«MountainDew»,queescomollamana lamezcladesidrayaguardientedemanzanas.Ellicorerodisponesolamentedelasmedidasde2y4galones,yelclientedeseacolmarlos26galonesdesubarril.

Determineprimeroquéproporcionesdesidrayaguardientedan26galonesde«MountainDew»auncosteexactode$21,06,despuésintentedescubrirelmenornúmero de manipulaciones que se deberán hacer para llenar el barril con lascantidadesrequeridas.

RESPUESTA

Elviejoproblemademedir4cuartosconunamedidade5cuartosyunade3cuartospuederesolverseen6movimientos:

1. Llenarlamedidamásgrande.2. Llenarlamáspequeñaconlagrande,dejando2cuartosenestaúltima.3. Verterelcontenidodelamedidapequeñaotravezalbarril.4. Transferirlosdoscuartosalamedidapequeña.5. Llenarlamedidagrandeenelbarril.6. Llenarlamedidapequeñadejando4cuartosenlagrande.

Enelsegundoproblema,unpocodeálgebraelementallediráaustedque26galones deMountainDewdeben contener 24 galones y 8/17 de aguardiente demanzanas y 1 galón y 9/17 de sidra para que cueste $21,06 según los preciosdados. Paramedir esta mezcla de la maneramás rápida posible, es necesarioseguirlossiguientespasos:

1. Llenarambasmedidasconaguardientedemanzana.2. Vaciarelbarrildeaguardienteeneltoneldelcliente.3. Vaciarambasmedidasotravezenelbarrildeaguardiente.4. Transferir 2 galones del tonel del cliente al barril de aguardiente de

manzana.5. Transferir2galonesdesidradelbarrilaltoneldelcliente.6. Llenarambasmedidascon lamezcladel tonel.Estodejaráenel toneluna

mezclaquecontiene1galóny9/17desidra.

7. Llenareltonelconelbarrildeaguardientedemanzana.

8.5.Matrimoniosenemistados

Comoprefacioauninteresanteproblemaquemuestradequémodoungrupodepaseantespeleadorespuedencruzarunríoenelmismobotesinhundirlo,daréporhechoque todos los aficionados, viejos y jóvenes, están familiarizados con lasastutastácticasdelbarqueroqueteníaquecruzarunzorro,ungansoyunpocodemaízenunpequeñobote«sóloparados».

Enestaversión,ungrupodetresmatrimoniosqueregresandeun«picnic»sevenobligadosacruzarunríoenunpequeñobote.Elbotesólopuedellevaradosporvez,yningunadelasdamassaberemar.

OcurrióqueelpárrocoCinch,unpredicadorpopular,sehabíaenemistadoconlos otros dos caballeros del grupo. Como resultado, la señora Cinch estabadesavenidaconlasotrasdamas.

¿Cómoesposiblequeloscaballerosllevenatodosalotroladodelríodetalmodo que ninguna de las partes enemistadas crucen juntas o permanezcan, almismotiempo,encualquieradelasdosriberas?Otrorasgocuriosodelastensasrelaciones de esta historia es que ninguno de los caballeros debe quedar encualquieradelasdosriberasacompañadodedosdelasdamas.

El acertijo consiste sólo en ver cuántas veces debe cruzar la corriente elpequeñobotededosplazaspara transportara todoelgrupo,peroaprovecholaocasión para decir que ni una persona entremil está dotada de unamente quepueda calcularlo sin lápiz y papel, aunque esta facultad pueda adquirirserápidamente.

RESPUESTA

Todoelgrupopuedecruzarelríoen17viajes,delasiguientemanera:

1. CruzanelseñorylaseñoraC.2. ElseñorCregresasolo.3. ElseñorCllevaaunadama.4. ElseñorCregresaconsuesposa.5. ElseñorCllevaaotradama.6. ElseñorCregresasolo.7. Losdoscaballeroscruzan.8. Uncaballeroysuesposaregresan.9. ElseñorylaseñoraCcruzan.10. Regresanuncaballeroysuesposa.11. Doscaballeroscruzan.12. ElseñorCregresasolo.13. ElseñorCllevaaunadama.14. ElseñorylaseñoraC.regresan.15. ElseñorCllevaaunadama.16. ElseñorCregresasolo.17. ElseñorCysuesposacruzan.

8.6.Elacarreadordeladrillos

Expliquecómosubirlaescaleraenelmenornúmeroposibledepasos.

Elchicode la ilustraciónacabadeproponerleel siguienteproblema,bastantepocousual,alacarreadordeladrillos:

Empiecedesdeelsuelo,despuéssubaybajealternativamentelaescalera,sinsaltarsepeldaños,hastaquelleguealúltimopeldaño.Debeustedsubirybajardetalmodoquellegueotravezalsuelosólounavez,pisarsólodosveceselúltimopeldañodearribaypisartodoslosotrosigualnúmerodeveces.

Porejemplo,puedesubirhastaelfinal,volverabajarhastaelsueloyvolvera subir.De estamanera podrá cumplir con todas las condiciones en veintisietepasos.Suproblemaescumplircontodaslascondicionesenelmenornúmerodepasosposible.¡Seguramentetendráquesubirybajaresaescaleramuchasvecesantesdedarconlarespuestacorrecta!

RESPUESTA

Laacciónpuedellevarseacaboen19pasosdelasiguientemanera:peldaño1,luegosebajaalsueloysesiguedespuésporlospeldaños1,2,3,2,3,4,5,4,5,6,7,6,7,8,9,8,9.

8.7.Ferrocarrilesprimitivos

Descubraelmétodomássimpleparaqueambostrenespuedanpasar.

En esta clase de ferrocarril primitivo tenemos unamáquina y cuatro vagonesenfrentadosaunamáquinacontresvagones.Elproblemaconsisteendescubrirelmodomásexpeditivoparaqueambos trenespasenpormediode lavía lateral,queporsulongitudsólopuedealbergarunalocomotoraounvagónporvez.

Nosepuedenutilizarsogasnivaras,ysecomprendequenosepuedeunirunvagóndelantedelalocomotora.

¿Cuántas veces será necesario invertir el sentido de marcha de laslocomotorasparalograrelpaso,contandocomounmovimientocadacambiodesentidodeunalocomotora?

RESPUESTA

HagaretrocederlalocomotoraRlosuficientementelejoshacialaderecha.LlevelalocomotoraRalavíamuerta.LlevelalocomotoraLcontresvagoneshacialaderecha.LocomotoraRderegresoalavíaprincipal.LocomotoraRhacialaizquierda,llevandotresvagonesalaizquierdadelavíamuerta.LocomotoraLalavíamuerta.LocomotoraRyvagoneshacialaderecha.LocomotoraRllevasietevagonesalaizquierda.LocomotoraLalavíaprincipal.LocomotoraLretrocedehastaeltren.LocomotoraLllevacincovagonesaladerechadelavíamuerta.LocomotoraLretrocedeyllevaelúltimovagónalavíamuerta.LocomotoraLllevacuatrovagonesaladerecha.LocomotoraLretrocedellevandocuatrovagoneshacialaizquierda.LocomotoraLvasolahastaladerecha.LocomotoraLretrocedehastalavíamuerta.LocomotoraLllevaelvagóndesdelavíamuertaalavíaprincipal.LocomotoraLretrocedehacialaizquierda.LocomotoraLadelantaconseisvagones.LocomotoraLretrocedeconelúltimovagónhacialavíamuerta.LocomotoraLvahacialaderechaconcincovagones.

LocomotoraLretrocedeconcincovagoneshacialaizquierda.LocomotoraLvahacialaderechaconunvagón.LocomotoraLretrocedehastalavíamuerta.LocomotoraLvahacialaderechacondosvagones.LocomotoraLretrocedehastalaizquierdadelavíamuerta.LocomotoraLllevasietevagonesaladerechadelavíamuerta.LocomotoraLretrocedeconelúltimovagónalavíamuerta.LocomotoraLvahacialaderechaconseisvagones.LocomotoraRretrocedehacialaderechaEltrenRenganchasuscuatrovagonesydesaparece.EltrenLretrocedehastalavíamuerta.EltrenLenganchasutercervagónysiguesucaminocontodaalegría.

8.8.ElmercaderdeBagdad

¿Cómohizoelmercaderparamedirelvinoyelagua?

Un mercader de Bagdad que atendía las necesidades de los peregrinos quecruzaban el desierto debió enfrentarse en una oportunidad con el intriganteproblemaque a continuacióndetallamos.Levisitó el guíadeuna caravanaquedeseabaadquirirunaprovisióndevinoydeagua.Presentandotresrecipientesdediezgalonesdevino,tresgalonesdeaguaenelsegundo,ytresdevinoytresdeaguamezcladoseneltercero,yqueseledierantresgalonesdeaguaacadaunodesustrececamellos.

Como el agua y el vino, según la costumbre oriental, sólo se venden encantidades pares de galones, el mercader tenía solamente una medida de dosgalones y otra de cuatro para llevar a cabo una tarea que le presentabadificultadesinesperadas.Noobstante,sinrecurriraningunatretaoartilugio,nianingúnmedio extraño para problemas de este tipo, extrajo el agua de un tonellleno (63 galones), y el vino de un barril lleno (311/2 galones) en las

proporciones requeridas, sinningúndesperdicio.¿Cuáles lamenorcantidaddemanipulaciones en que se puede llevar a cabo la tarea, contando como unamanipulacióncadavezqueellíquidoseextraedeunrecipienteparaverterloenotro?

RESPUESTA

Elnúmeroalfinaldecadapárrafodenotaelnúmerodemanipulacionesenesepárrafo.

Eltonelcontiene63galonesdeagua,yelbarril,31galonesy1/2devino.Llenarlastresbotellasde10galonesconvino,vertiendoelrestante1galóny1/2enlamedidade2galones,vaciandoasíelbarril(4manipulaciones).Pormediodelamedidade4galones,llenarelbarrilconeltonel,dejando1/2galónenlamedidade4galones.Dareste1/2galónalcamellon.º1.Pormedio de lamedida de 4 galones verter 28 galones de agua del barril altonel. Verter 1 galón y 1/2 de vino de la medida de 2 galones a la de 4galones. Verter 2 galones de agua del barril en lamedida de 2 galones yvolverlosaltonel.Extraigadelbarrilel1galóny1/2deaguarestanteconlamedidade2galonesydéselaalcamellon.º2.Vierta1galóny1/2devinodelamedidade4galonesenlade2galones(37manipulaciones).Repitatodaslasoperacionesdelúltimopárrafo11vecesmás,demodoque6camellosreciban2veces1/2galóndeagua,yotros6camellos2veces1galóny1/2.Peroenladécimaylaundécimarepetición,envezderetornarlos 2 galones al tonel, déselos a 2 cualesquiera de los camellos que hanrecibido solamente 2 veces 1/2 galón. 8 camellos han recibido ahora 3galonescadauno,y4camellos1galóncadauno,yquedarán35galonesdeaguaeneltonel(407manipulaciones).Paseelaguadeltonelalbarrilconlamedidade4galones,hastallenarlo,ydeleel1/2galónrestantealcamellon.º13.Extraiga3galonesdeltonelconlamedidade4galones(18).Vuelvaaponertodoelvinoeneltonel.Vacíeelbarrilentresbotellasde10galones, y extraiga el 1 galón y 1/2 restante con lamedida de 2 galones.

Vuelvaaverterelcontenidodelastresbotellasenelbarril,yvierta1galóny1/2delamedidade2galonesenlabotellan.º1(12).Llenelamedidade2galonesconlade4galones,dejando1galónenestaúltima. Llene el barril con la medida de 2 galones, y dele el 1/2 galónrestante al camello n.º 13. Déle 2 galones a cada uno de los 5 camellosrestantes,yhabráterminadoasídeatenderaloscamellos(13).Llenelasdosbotellasvacíasconelaguadelbarril,yviertael1galóny1/2restanteenlabotellan.º1.Devuelvaalbarrilloscontenidosdelasbotellasn.º2y3(5).Vierta1galóndelamedidade4galonesenlabotellan.º2.Ponga6galonesde vino en la botella n.º 3, utilizando la medida de 2 galones y la de 4galones.Paseel1galóndelabotellan.º2alamedidade4galonesylleneestaúltimaconelvinodelabotellan.º3.Viertaelcontenidodelamedidade 4 galones en la botella n.º 2. Extraiga 2 galones de agua del barril yviértalosenlabotellan.º2(10).

Los 13 camellos han recibido ya 3 galones de agua cada uno, una de lasbotellas de 10galones contiene3 galones de agua, otra 3 galones de vinoy latercera3galonesdevinoy3deaguamezclados.Eltonelcontiene25galonesy1/2devino,yelbarril18galonesdeagua.Númerototaldemanipulaciones:506.

EnunaentrevistapublicadaenlarevistaTheStrand,abrilde1926,HenryDudeney,elgranespecialistabritánico,revelóqueenunaoportunidadLoydlepidióayudaconesteproblema.Loydhabíaofrecidopremiosasuslectoresporla mejor solución, y estaba ansioso por evitar otorgarlos y por tener unarespuesta propia que sobrepasara en calidad a todas las recibidas.Dudeneyelaboróunasoluciónen521movimientosquemás tarde redujoa los506yaexplicados. Esta respuesta cumplió su cometido, yLoyd siempre afirmó queDudeneylehabíaahorradomilesdedólares.

[M.G.]

SAMUELLOYD.(1841-1911)NacióenFiladelfiaysecrioenNuevaYork.Fueundestacadojugadorycreadordeproblemasdeajedrez,autorderompecabezas,y matemático recreativo. Es autor de infinidad de problemas y acertijosmatemáticos,problemasdeajedrezyotrosdesafíosparalamente.