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Regresin lineal

Para otros usos de este trmino, vaseFuncin lineal (desambiguacin).

Ejemplo de una regresin lineal con unavariable dependientey unavariable independiente.Enestadsticalaregresin linealoajuste lineales unmtodomatemticoquemodelala relacin entre unavariable dependienteY, lasvariables independientesXiy un trminoaleatorio. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.: variables explicativas, independientes o regresores.: parmetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.dondees la interseccin o trmino "constante", lasson los parmetros respectivos a cada variable independiente, yes el nmero de parmetros independientes a tener en cuenta en la regresin. La regresin lineal puede ser contrastada con laregresin no lineal.ndice[ocultar] 1Historia 1.1Etimologa 2El modelo de regresin lineal 3Hiptesis del modelo de regresin lineal clsico 4Supuestos del modelo de regresin lineal 5Tipos de modelos de regresin lineal 5.1Regresin lineal simple 5.1.1Anlisis 5.2Regresin lineal mltiple 6Rectas de regresin 7Aplicaciones de la regresin lineal 7.1Lneas de tendencia 7.2Medicina 7.3Informtica 8Vase tambin 9Referencias 10Bibliografa 11Enlaces externosHistoria[editar]La primera forma de regresin lineal documentada fue elmtodo de los mnimos cuadradosque fue publicada porLegendreen1805,1y en dnde se inclua una versin delteorema de Gauss-Mrkov.Etimologa[editar]El trminoregresinse utiliz por primera vez en el estudio devariablesantropomtricas: al comparar la estatura de padres e hijos, donde result que los hijos cuyos padres tenan una estatura muy superior alvalor medio, tendan a igualarse a ste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendan a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" alpromedio.2La constatacinempricade esta propiedad se vio reforzada ms tarde con la justificacin terica de ese fenmeno.El trminolinealse emplea para distinguirlo del resto de tcnicas deregresin, que emplean modelos basados en cualquier clase defuncin matemtica. Los modelos lineales son una explicacin simplificada de la realidad, mucho ms giles y con un soporte terico mucho ms extenso por parte de lamatemticay laestadstica.Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el trmino lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicacin.El modelo de regresin lineal[editar]El modelo lineal relaciona lavariable dependienteYconKvariables explicitas(k = 1,...K), o cualquiertransformacinde stas que generen unhiperplanodeparmetrosdesconocidos:(2)dondees laperturbacinaleatoriaque recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con elazar, y es la que confiere al modelo su carcterestocstico. En el caso ms sencillo, con una sola variable explicita, elhiperplanoes unarecta:(3)El problema de la regresin consiste en elegir unosvaloresdeterminados para los parmetros desconocidos, de modo que laecuacinquede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observacin i-sima(i= 1,... I)cualquiera, se registra el comportamiento simultneo de lavariable dependientey las variables explicitas (las perturbacionesaleatoriasse suponen no observables).(4)Los valores escogidos comoestimadoresde los parmetros, son loscoeficientesde regresin sin que se pueda garantizar que coincida n con parmetros reales del proceso generador. Por tanto, en(5)Los valoresson por su parteestimacioneso errores de la perturbacin aleatoria.Hiptesis del modelo de regresin lineal clsico[editar]1. Esperanza matemtica nula.

Para cada valor de X la perturbacin tomar distintos valores de forma aleatoria, pero no tomar sistemticamente valores positivos o negativos, sino que se supone tomar algunos valores mayores que cero y otros menores que cero, de tal forma que su valor esperado sea cero.

2. Homocedasticidad

para todo tTodos los trminos de la perturbacin tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersin de cadaen torno a su valor esperado es siempre la misma.

3. Incorrelacin.para todo t,s con t distinto de sLas covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas, lo que quiere decir que no estn correlacionadas. Esto implica que el valor de la perturbacin para cualquier observacin muestral no viene influenciado por los valores de las perturbaciones correspondientes a otras observaciones muestrales.4. Regresores no estocsticos.5. No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.6.Suponemos que no existen errores deespecificacinen el modelo, ni errores de medida en las variables explicativas7. Normalidad de las perturbacionesSupuestos del modelo de regresin lineal[editar]Para poder crear un modelo de regresin lineal es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:31. Que la relacin entre las variables sea lineal.2. Que los errores en la medicin de las variables explicativas sean independientes entre s.3. Que los errores tengan varianza constante. (Homocedasticidad)4. Que los errores tengan una esperanza matemtica igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).5. Que el error total sea la suma de todos los errores.Tipos de modelos de regresin lineal[editar]Existen diferentes tipos de regresin lineal que se clasifican de acuerdo a sus parmetros:Regresin lineal simple[editar]Slo se maneja unavariable independiente, por lo que slo cuenta con dosparmetros. Son de la forma:4(6)dondees el error asociado a la medicin del valory siguen los supuestos de modo que(media cero,varianzaconstante e igual a unycon).Anlisis[editar]Dado el modelo de regresin simple, si se calcula laesperanza(valor esperado) del valorY, se obtiene:5(7)

Derivandorespecto aye igualando a cero, se obtiene:5(9)(10)Obteniendo dos ecuaciones denominadasecuaciones normalesque generan la siguientesolucinpara ambos parmetros:4(11)(12)La interpretacin del parmetro medioes que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementar enRegresin lineal mltiple[editar]La regresin lineal permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razn. De la misma manera, es posible analizar la relacin entre dos o ms variables a travs de ecuaciones, lo que se denominaregresin mltipleoregresin lineal mltiple.Constantemente en la prctica de la investigacin estadstica, se encuentran variables que de alguna manera estn relacionadas entre s, por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse matemticamente en funcin de otra u otras variables.Maneja variasvariables independientes. Cuenta con varios parmetros. Se expresan de la forma:6(13)dondees el error asociado a la medicindel valory siguen los supuestos de modo que(media cero,varianzaconstante e igual a unycon).Rectas de regresin[editar]Las rectas de regresin son lasrectasque mejor se ajustan a la nube de puntos (o tambin llamadodiagrama de dispersin) generada por unadistribucin binomial. Matemticamente, son posibles dos rectas de mximo ajuste:7 La recta de regresin deYsobreX:(14) La recta de regresin deXsobreY:(15)Lacorrelacin("r") de las rectas determinar la calidad del ajuste. Sires cercano o igual a 1, el ajuste ser bueno y las predicciones realizadas a partir del modelo obtenido sern muy fiables (el modelo obtenido resulta verdaderamente representativo); sires cercano o igual a 0, se tratar de un ajuste malo en el que las predicciones que se realicen a partir del modelo obtenido no sern fiables (el modelo obtenido no resulta representativo de la realidad). Ambas rectas de regresin se intersecan en un punto llamado centro de gravedad de ladistribucin.Aplicaciones de la regresin lineal[editar]Lneas de tendencia[editar]Vase tambin:TendenciaUnalnea de tendenciarepresenta unatendenciaen una serie de datos obtenidos a travs de un largo perodo. Este tipo de lneas puede decirnos si un conjunto de datos en particular (como por ejemplo, elPBI, elprecio del petrleoo el valor de lasacciones) han aumentado o decrementado en un determinado perodo.8Se puede dibujar una lnea de tendencia a simple vista fcilmente a partir de un grupo de puntos, pero su posicin y pendiente se calcula de manera ms precisa utilizando tcnicasestadsticascomo las regresiones lineales. Las lneas de tendencia son generalmente lneas rectas, aunque algunas variaciones utilizan polinomios de mayor grado dependiendo de la curvatura deseada en la lnea.Medicina[editar]Enmedicina, las primeras evidencias relacionando lamortalidadcon elfumartabaco9vinieron de estudios que utilizaban la regresin lineal. Los investigadores incluyen una gran cantidad de variables en su anlisis de regresin en un esfuerzo por eliminar factores que pudieran producircorrelaciones espurias. En el caso deltabaquismo, los investigadores incluyeron el estado socio-econmico para asegurarse que los efectos demortalidadportabaquismono sean un efecto de su educacin o posicin econmica. No obstante, es imposible incluir todas las variables posibles en un estudio de regresin.1011En el ejemplo deltabaquismo, unhipotticogenpodra aumentar la mortalidad y aumentar la propensin a adquirir enfermedades relacionadas con el consumo detabaco. Por esta razn, en la actualidad laspruebas controladas aleatoriasson consideradas mucho ms confiables que los anlisis de regresin.Informtica[editar]Ejemplo de una rutina que utiliza una recta de regresin lineal para proyectar un valor futuro: Cdigo escrito enPHP

Vase tambin[editar] Homoscedasticidad Regresin logstica Modelos de regresin mltiple postulados y no postulados Regresin segmentada Econometra Mnimos cuadrados Regularizacin de Tikhonov Cuarteto de Anscombe Capital Asset Pricing Model