Mayo 2009Ao 1 | N2

Problemas matemticosCuriosidades fsicasTaller y laboratorioHistoriaDemostraciones visuales

In principium erat verbum

Propiedadesinvariantes

Fsica y medicina

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3 Q.e.d.

StaffQ.e.d.Ciencias duras en palabras blandas

Revista trimestral de divulgacinAo I, nmero 2

Universidad de Buenos AiresCiclo Bsico Comn (CBC)Departamento de Ciencias ExactasPabelln 3, Ciudad Universitaria, Buenos Aires, Argentina

Directores:Agustn RelaJuan Carlos Pedraza

Editor:Carlos Borches

Redaccin:Iliana Pisarro

Diseo:Pablo Gabriel Gonzlez

Consejo editorial:Cecilia Di RisioEduardo LaplagneFlora GutirrezPatricia FauringSilvia Reich

Agradecemos la colaboracin deDiana Martnez LlaserFabin BlancoJorge CornejoJorge SalvettiMatas CveczilbergOriana Salvetti

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revistaqed@cbc.uba.arwww.qed.cbc.uba.ar

+54 11 4789-6000, interno 6083+54 11 4781-0706 2008 ISSN 950-29-&070-8.

Todos los derechos reservados;reproduccin parcial o totalcon permiso previo del Editor,y cita de fuente.Registro de propiedad intelectual en trmite

Q.e.d., Quod erat demonstrandum, es una expresin latina que signi ca: lo que se quera demostrar

Tiene su origen en la frase griega (per dei dejai), que usaron muchos matemticos, entre ellos Euclides y Arqumedes, para sealar que haban alcanzado la demostracin que buscaban.

Se va la segunda!

Con esta segunda entrega de Q.e.d., nues-tra revista pasa a integrar el privilegiado tres por ciento de las revistas que perdu-ran ms de un nmero. (ver editorial del Nro 1 de Q.e.d)

Lo debemos en gran parte a los lectores y lectoras que recibieron con entusiasmo nuestra propuesta, y que acercaron, con generosidad, crticas y elogios.

Uno de esos lectores, muy joven por cierto, me dijo que si bien no haba ledo con detenimiento todos los artculos, qued atrapado por varios de los desafos propuestos.

Hace ya muchos aos, era yo tan joven como este lector, miraba por televisin al famoso mago David Copper eld. En un momento del show, el ilusionista invit a los espectadores a acercarse a la pantalla, donde aparecan unas cuantas monedas doradas que for-maban un nueve. Copper eld aseguraba que iba a inducir a todos los televidentes a elegir la misma moneda. Yo estaba solo frente al televisor. Segu con cuidado sus instrucciones, y como era de espe-rar, el mago adivin la moneda que miles de espectadores estba-mos sealando en la pantalla. Tena frente a m un desafo, y corr a buscar un lpiz y un papel (compaeros inseparables de mi limitado cerebro). No entenda, y quera entender. Como aquel joven lector, estaba felizmente atrapado.

Esta fascinacin por plantear y responder desafos es uno de los moto-res de la produccin y transmisin del conocimiento, y un gran ingre-diente de la divulgacin.

Dice Gyrgy Plya, el gran matemtico hngaro, que la resolucin de un problema o de una situacin desa ante no es un asunto puramente intelectivo. La determinacin, la tenacidad y las emociones juegan un papel fundamental. Esperamos que estos ingredientes estn presentes en este nmero. Nuestro desafo es que podamos encontrarnos nueva-mente en el prximo.

Juan Carlos Pedraza

Editorial

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4Q.e.d.

3: Editorial

5: La fsica y las imgenes mdicas Por Jorge Cornejo

Radiografas, tomografas y ecografas forman parte de las herramientas cotidianas de uso mdico. Qu profundos conceptos fsicos encierran su desarrollo?

10: In principium erat verbum Por Jorge Salvetti

La palabra es nuestro instrumento fundamental de conocimiento, pero es mucho ms que eso: es la expresin de nuestro ms profundo anhelo de saber .

16: Invariantes Por Patricia Fauring y Flora Gutirrez

Hay propiedades de objetos que se conservan cuando el objeto se transforma. Reconocer estas propiedades puede ser til a la hora de resolver problemas.

20: El secreto de El Mtodo Por Carlos Borches

La matemtica puede ser lenguaje de la fsica, pero la fsica tambin puede resolver problemas matemticos

9: Problemas matemticos:Juegos con el celular

12: Libros y revistas:Cuando la revolucin baj del cielo

13: Curiosidades fsicas:Impedancia

25: Taller y laboratorio:Pila elctrica de limn

26: Acerca de la Matemtica y sus aplicaciones: Alinealidades

30: Ciencia en la cultura popular: No nos une el amor, sino la

gravedad

32: Correo: Cartas de Lectores y lectoras

33: Intimidades de un cierre: Todo tiene que ver con todo

35: Demostraciones visuales Suma de impares

Artculos

Secciones

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5 Q.e.d.

La fsica y las imgenes mdicas

EL DIAGNSTICO POR IMGENES

En general, todos nos sentimos asombrados ante el desarrollo de la medicina. Y si hay una rama de esa ciencia que ha avanzado enormemente en las ltimas dcadas, es la del diagnstico.

El diagnstico es el primer paso en todo procedimiento mdico. Diagnosticar es responder la pregunta Qu tiene?, y hallar un mtodo teraputico es contestar Cmo lo solucionamos?. El diagnstico y la terapia son los dos extremos del mis-mo procedimiento, pero la segunda es, lgicamente, imposible sin el primero.

Existen distintas formas de diagnosticar, desde el ojo clnico hasta los mto-dos de alta complejidad y ms so sticados. Una de esas formas, que desde el descubrimiento de los rayos X en 1895 no ha dejado de ampliarse y pro-gresar, es el diagnstico por imgenes; lo que en general se conoce como la imagenologa.

Por imagen mdica se entiende el conjunto de tcnicas y procesos usados para crear guras del cuerpo humano, o de sus partes, con propsitos clni-cos, o para la investigacin mdica; esto incluye el estudio de la anatoma y las funciones normales de rganos y tejidos. Dentro de las imgenes mdi-cas incluimos el vasto conjunto de las radiolgicas (radiografa, tomografa computada, uoroscopia, etctera), las imgenes de resonancia magntica nuclear (RMN), las de la medicina nuclear, la ecografa y muchas otras.

Qu tiene que ver la fsica con todo esto? Cuento una pequea ancdota. Hace un tiempo una alumna de escuela secundaria, muy preocupada porque tena que rendir Fsica en marzo, me dijo, con cierto enojo: Por qu tengo que estudiar Fsica, si yo voy a seguir Medicina? Le ped que esperase, y volv con una radiografa, una resonancia y una ecografa. Le dije: Ves? Esto es fsica. La estudiante tena referencias lejanas de esas tcnicas, y pareci en-terarse en el momento de algunos de sus detalles.

Efectivamente, la obtencin de imgenes mdicas es ciencia fsica.

Jorge N. CornejoFacultad de Ingeniera (UBA)

Radiografa tomada por Wilhelm Rntgen en 1896.

La fsica es una fuen

te inagotable de

conceptos, medios y

recursos para la

medicina. Eso se advier

te con claridad en

el diagnstico por imge

nes, y en el uso que

los profesionales de la sa

lud dan a la fsica

para reducir al mnimo

posible los efectos

secundarios de esas tcn

icas.

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6Q.e.d.

LA UTILIDAD DE LAS DIFERENCIAS

La construccin de imgenes mdicas se basa en que las propiedades de rganos y tejidos presentan variaciones y diferencias, lo que permite gene-rar el contraste de las imgenes. Por ejemplo, una radiografa es resultado de la absorcin diferencial de los tejidos frente a la radiacin X. El tejido seo es radioopaco, absorbe mucha radiacin, de forma tal que en las zo-nas correspondientes al hueso, la pelcula radiogr ca se irradia muy poco y prcticamente no se ennegrece. Los tejidos blandos, por el contrario, son radiolcidos, interaccionan escasamente con la radiacin y, por lo tanto, permiten que la pelcula reciba una exposicin elevada, y se ennegrezca. Por todo esto, una imagen radiogr ca no es otra cosa que la sombra que el cuerpo proyecta frente al haz de rayos X.

La fluoroscopia, la tomografa computada, etctera, son variantes y avan-ces complejos de la radiografa convencional, en las que se modifican el dispositivo receptor de la imagen y la geometra del conjunto, entre otros parmetros. Aqu no slo la fsica, sino tambin la matemtica, cumplen un rol esencial: toda tcnica digital implica en este caso resolver un nmero casi inimaginable de ecuaciones acopladas entre s, problema que las computadoras han logrado solucionar reduciendo cada vez ms el tiempo de clculo.

Otras tcnicas se fundan en distintas propiedades. La ecografa se basa en los cambios en la impedancia acstica1, y a la resistencia que los tejidos presentan al paso del ultrasonido. El agua, por ejemplo, permite que los ultrasonidos se propaguen con facilidad. El aire, por el contrario, absorbe rpidamente la energa de las ondas ultrasnicas e impide su propagacin. Este hecho, y la necesidad de evitar los cambios bruscos en la impedan-cia acstica, que implican una importante prdida de energa por re exin, constituyen los dos motivos por los que se coloca un gel entre el transductor que emite ultrasonidos y el cuerpo del paciente; una mnima burbuja de aire interferira la propagacin de las ondas. Los ecos se producen en las interfa-ces que separan medios con diferente impedancia acstica: por ejemplo, el lquido amnitico y el cuerpo del embrin.

La RMN es, desde un punto de vista fsico, la ms compleja de estas tcnicas, que se basa en las propiedades magnticas de los ncleos de hidrgeno. Las diferencias o contrastes que se utilizan en este caso son, entre otros, los tiempos de relajacin de los ncleos; algo as como el tiempo que le demandara a una brjula que hemos alejado de su posicin habitual, regresar a su alineacin con el campo magntico te-rrestre. Estos tiempos se relacionan con la composicin qumica de la zona a estudiar, su temperatura, y dems, y proporcionan informacin tanto anatmica como bioqumica. La RMN, que en sus orgenes era un procedimiento de anlisis qumico, es una tcnica multideterminada, en el sentido de que sus imgenes se pueden construir utilizando diferentes parmetros fsicos de inters.

La medicina nuclear, por ltimo, se basa en la diferente velocidad de capta-cin de los istopos radiactivos que poseen los distintos tejidos, o un mismo tejido en una condicin sana o patolgica. Sus imgenes son esencialmente de tipo siolgico, funcional, en contraste con las imgenes radiogr cas, de naturaleza principalmente anatmica.

1. La impedancia acstica de un medio es el producto de su densidad, por la velocidad a la que se propagan en l las ondas de sonido. La atenuacin de un medio es el cociente entre el logaritmo de la prdida relativa de energa, y la longitud que recorre la onda. (Por ejemplo, si se atena 10.000 veces al recorrer 1 cm, la atenuacin vale 4 beles por centmetro, 40 dB/cm.)

2. Un ion es una partcula con carga elctrica; por ejemplo, un tomo que ha perdido uno o ms electrones.

3. Bushong, S.C., Manual de radiologa para tcnicos Fsica, biologa y proteccin radiolgica, Elsevier Mosby, 2005.

Equipo de tomografa computada del Instituto del Co-razn de Texas, Estados Unidos.

Una de las ventajas de la ecografa es que no utiliza ondas electromagnticas ionizantes.

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IONIZANTES Y NO IONIZANTES

En todas estas tcnicas es til considerar una diferencia importante: aquellas que emplean radiaciones ionizantes, y las que no las usan. Adems, en estas ltimas debemos distinguir las que utilizan ondas electromagnticas no ioni-zantes, de las que se valen de ondas mecnicas.

Son ionizantes 2 aquellas radiaciones que poseen energa su ciente para arran-car electrones de los tomos. Eso altera su equilibrio elctrico, y da lugar a transformaciones qumicas. Entre las radiaciones ionizantes se encuentran las electromagnticas de frecuencia elevada (rayos gamma, rayos X, y una muy pequea parte del espectro ultravioleta), y las radiaciones de partculas (rayos alfa y beta, entre otros). Estas radiaciones se utilizan en las radiografas, uo-roscopias y tomografas, y en los estudios de medicina nuclear.

La RMN utiliza, junto a un intenso campo magntico, ondas de radiofrecuencia, las que, por su baja energa, no son ionizantes. Los ultrasonidos, empleados en la eco-grafa, carecen de toda capacidad para producir ionizacin, dado que son ondas me-cnicas (es decir, ondas que requieren un medio material para poder propagarse, en contraste con las ondas electromagnticas, que se pueden propagar en el vaco).

Por qu es importante esta clasi cacin? Porque, por ejemplo, el efecto can-cergeno de los rayos X es consecuencia de su poder ionizante. La generacin de cncer radioinducido es un proceso complejo y no del todo conocido, pero es seguro que comienza por ionizacin que se produce a nivel celular.3

La ecografa y la RMN, por lo menos en cuanto concierne a la generacin de proce-sos tumorales, son, por lo tanto, inocuas. Las radiografas comunes implican dosis muy bajas de radiacin y, en general, no entraan riesgo para el paciente.

Qu ocurre con las otras tcnicas? La fsica tiene algo que decirnos sobre esto?

S, la fsica tiene algo que decirnos, a travs de una disciplina conocida como dosi-metra, la que se encarga de mensurar la cantidad de radiacin absorbida por una persona, la emitida por un istopo, etctera. Hay distintas formas de medir las dosis, las que remiten a diferentes unidades, pero desde el punto de vista mdico la ms cmoda es la dosis efectiva caracterstica, medida en sievert (Sv) 4. Una placa co-mn de trax implica, para el paciente, una dosis de 0,02 veces la milsima parte de un sievert, es decir 0,02 mSv. Esto equivale a la radiacin de fondo que todo ser humano recibe durante unos tres das, como consecuencia de las fuentes naturales.

Veamos la tabla siguiente 5.

4. Un sievert es la dosis de radiacin que disipa una energa de un joule en cada kilogramo de tejido vivo. Una kilocalora es la energa que eleva en un grado la temperatura de un kilo de agua, y equivale a 4185 joules. (El dao trmico de la radiacin ionizante es despreciable)

5. Sociedad Argentina de Radiologa, Gua de recomendaciones para la correcta solicitud de pruebas de diagnstico por imagen, Editado por SAR, 2008.

6. La resonancia magntica nuclear brinda imgenes internas del cuerpo, con la ayuda de clculos de computadora; y por eso esta tcnica es, tambin, una tomografa, muchas veces axial, y siempre computada. Pero en el ambiente de los especialistas, cuando se habla de la TAC, se suele sobreen-tender el empleo de rayos X.

Imagen del cerebro humano, obtenida con RMN, una tcnica muy til en el estudio de las partes blandas.

ESTUDIO DOSIS EFECTIVA CARACTERSTICA (MSV)EQUIVALENCIA EN PLACAS DE TRAX

EQUIVALENCIA EN DOSIS DE RADIACIN NATURAL

RADIOGRAFA DE CRNEO 0,07 3,5 11 DAS

RADIOGRAFA DE CADERA 0,3 15 7 SEMANAS

RADIOGRAFA DE ABDOMEN 1 50 6 MESES

UROGRAMA EXCRETOR 2,5 125 14 MESES

COLON POR ENEMA 7 350 3,2 AOS

TOMOGRAFA COMPUTADA DE CABEZA, CON RAYOS X 2,3 115 1 AO

ESTUDIO DE ABDOMEN, CON RMN. 6 0,0002 0 1 HORA

TOMOGRAFA COMPUTADA DE ABDOMEN, CON RAYOS X 10 500 4,5 AOS

CENTELLOGRAMA TIROIDEO 1 50 6 MESES

TOMOGRAFA POR EMISIN DE POSITRONES (CABEZA) 5 250 2,3 AOS

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8Q.e.d.

Algunos de esos datos nos sorprenden. Qu signi can estas dosis, estas equi-valencias? Signi can que la fsica y la medicina se encuentran en un punto comn: el ser humano. Las tcnicas de imagenologa mdica son tiles y ne-cesarias, y salvan vidas. Pero los mdicos y los tcnicos que las aplican deben conocer sus fundamentos fsicos; los principios de las radiaciones y las dosis efectivas caractersticas de cada examen, y en qu momento el tipo o la can-tidad de estudios prescriptos implican el ingreso en la zona de riesgo radiolgi-co. En ese tema, ignorar la fsica sera lo mismo que ignorar al ser humano.

Un trabajo en equipo En 1979, la Academia Sueca otorg el Premio Nobel de Medicina al fsico Allan Cormack y al ingeniero electrnico Godfrey Houns eld por sus de-cisivas contribuciones en el desarrollo del tomgrafo. Todos hicieron refe-rencias al gran ausente, el matemtico Johann Radon, quien falleci en 1956 sin llegar a imaginar lo que sucedera con sus trabajos durante la era de la computacin.

En 1917, Radon ofreci una disertacin donde se combinaban los temas que haba estado estudiando durante los ltimos siete aos. En 1910 se doctor en la Universidad de Viena con un trabajo relacionado con el clculo variacio-nal, una herramienta que luego aplic con xito en el estudio de la geometra diferencial (1914) y ahora volcaba todo lo aprendido en un trabajo inspirado en los problemas relacionados con la teora de la medida de Lebesgue.

En aquel trabajo de caractersticas tericas apareci lo que luego se llamara la transformada de Radon, piedra angular del proceso de construccin de la ima-gen de un cuerpo a partir de cierta informacin que disponemos de ese objeto.

En 1963, Cormack, que haba estudiado fsica e ingeniera en la Universidad de Capetown de su Sudfrica natal, logra un mtodo para obtener de un cuerpo la informacin necesaria para aplicarle luego las transformadas de Radon. Las computadoras ya estaban en condiciones de ocuparse de los cl-culos y hacer el proceso en un tiempo razonable, pero faltaba algo ms.

El tema le interes a Godfrey Newbold Houns eld, un ingeniero electr-nico fascinado con los radares desde su participacin en la fuerza area britnica durante la Segunda Guerra Mundial. Toda su carrera profesional la haba realizado en la empresa EMI, donde su primer trabajo fue en la construccin de un prototipo de radar. Houns eld convenci a la empresa para que nanciara el desarrollo de una mquina capaz de llevar a cabo e cazmente las mediciones de Cormack y las transformadas de Radon.

En 1972 el primer tomgrafo comenzaba a mostrar un mundo nuevo, como ex-presara el comit que entreg el Premio Nobel: Las radiografas de la cabeza mostraban slo los huesos del crneo, pero el cerebro permaneca como un rea gris, cubierto por la neblina. Sbitamente la neblina se ha disipado.

C.B.

Johann Radon Allan Cormack Godfrey Houns eld

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9 Q.e.d.

Juegos con el celular Proble

mas

m

atem

tic

os

El empleo del celular se limita aqu a servir de pizarrn de bolsillo que, a diferencia del lpiz y el papel que requieren las dos manos, se usa con una, y funciona en la oscuridad. sa es una inesperada ventaja evolutiva de nuestro pulgar. Hace millones de aos, los primates que no tenan un pulgar en oposicin no slo recogan menos fruta y se privaban del uso de herramientas; tampoco podan enviar un SMS; quedaban aislados, y sucumban.

Pensando con el celular en la manoConvertido en uno de los elementos centrales de la cultura contempornea, el celular se incorpor a nuestras vidas no slo como un telfono mvil. Su tamao ms pequeo ha ganado en prestaciones y hoy nos sirve de cmara fotogr ca, reproductor de msica, grabador de voz, libreta de apuntes, juego electrnico, agenda, calculadora y reloj, adems de permitirnos hablar por telfono, mandar mails, SMS y navegar en la red.

Cuando tomamos un colectivo o el subte, ese momento de soledad colectiva que compartimos durante un viaje es aprovechado para un encuentro privado con nuestro celu. Es una accin contagiosa, alcanza que una persona saque su aparatito del bolsillo para que el resto repitamos el ritual buscando en el bloquecito luminoso vaya a saber qu secretos.

Pero no es nuestra intencin desatar sentimientos tecnofbicos. Si viajamos apretados, no tenemos crdito ni para un mensaje y no da para escuchar msica, proponemos usar el celular como soporte para pensar los siguientes problemas:

Langford en el celuHe aqu una versin del problema de Langford en compaa del celular. Mos-tremos en la pantalla del celular el nmero 112233 y ahora reordenmoslo de modo tal que entre dos unos haya un solo nmero, entre los dos dos haya dos nmeros y entre los dos tres haya tres nmeros. Sale fcil no?

Ahora escribamos 11223344 en la pantalla y empecemos a mover los nmeros para que respete una ley como en el caso anterior, en este caso entre los dos cuatros deben quedar cuatro nmeros.

Vamos bien? Ahora es tiempo de partir de 1122334455 y luego de 112233445566 y analizar la unicidad de las soluciones encontradas (si es que se encuentran)

Qu nmero?Escribamos un nmero de diez cifras. Los nmeros de mayor peso nos dan el cdigo de rea, y aqu le vamos a pedir que el nmero de mayor peso exprese la cantidad total de ceros que tiene el nmero que buscamos. La cifra que est a la derecha debe indicar la cantidad total de unos, la siguiente la cantidad total de nmeros 2 y as hasta llegar al nmero de menor peso que debe expresar la cantidad total de nueves que hay en el nmero que muestra la pantalla. Ahora marque, creo que con francs al-canzar para comunicarse.

El problema del estribo Aqui el problema es pensar problemas que podamos resolver con el celular convertido en pizarra porttil. Esperamos nuevas propuestas, soluciones y su-gerencias en revistaqed@cbc.uba.ar

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10Q.e.d.

In principium erat verbum (3)

Lo que caracteriza a nuestro siglo XIX no es la victoria de la ciencia, sino la victoria del mtodo cientfi co sobre la ciencia.

F. Nietzsche, Nachgelassene Fragmente 1888-1889. (1)

La ciencia no obstante no es ms que una ideacin que la humanidad produ-jo en el curso de su historia, sera por lo tanto absurdo si el hombre decidiese dejarse defi nitivamente juzgar por una sola de esas ideaciones.

Husserl, Di Krisis der europischen

Wissenschaften und die tranzendentale Phnomenologie (1934-1937). (2)

Jorge SalvettiLingista y traductor

(1) Fragmentos pstumos (N. del E.)

(2) La crisis de la ciencia europea y de la fenomenologa trascendental (N. del E.)

(3) De no haber temido pecar de extravagante, me habra gustado titular este breve artculo, no con la versin latina que San Jernimo da de la frase inicial del Evangelio de Juan, y que alude, en uno de sus signi cados, al comienzo del gnesis y al papel creador que la palabra desempea en la cosmogona judeocris-tiana, ni tampoco con la versin original griega de dicha frase, en la que aparecen los dos trminos, tal vez, ms importantes de la historia de la ciencia, como lo son las voces de arj y logos, sino con el primer dstico de lo que puede considerarse uno de los precursores ms directos del Gnesis: el poema babilnico denominado por algunos estudiosos Poema pico de la Creacin. Este primer dstico, cuyas dos primeras palabras se emplean tambin como denominacin de la obra, dice:

Resulta curiosa y paradojal, casi el sntoma de una ex-traa dolencia, la relacin que la ciencia sus sujetos, sobre todo la ms dura, parece mantener con la palabra. Toda la precisin y el rigor de los que se ufana, orgullo-sa, como de su ms preciada posesin parecen desplo-marse de la manera ms estrepitosa, cuando lo que est en juego es el valor de los trminos. Y este fenmeno, constatable en diversas manifestaciones, no slo salta a la vista en las zonas ms marginales o secundarias de su labor, sino tambin en los fundamentos ms bsicos de sus construcciones, en la denominacin misma de sus esferas de actividad y en su terminologa inaugural.

Ya Whitehead seal la particular inteligencia que se re-quiere para poder observar lo obvio. Todos los grandes progresos de la ciencia siempre han tenido su origen, directa o indirectamente, en esa reinterpretacin de las nociones ms esenciales y en esa mirada virginal que ve las cosas, que tantos han visto sin ver, como por vez pri-mera. Por eso no nos parece ftil plantear los siguientes interrogantes.

o sea, Enuma elish l nab shamam, shaplish ammatum shuma la zakrat lo que podra traducirse aproximadamente como: Cuando arriba los cielos no estaban nombrados, abajo la tierra no era llamada por nombre. Y aqu lo curioso no es tanto, quizs, el hecho general de que la creacin del cielo y la tierra, su existencia, parezca estar ligada de una manera aun ms inmediata a la cualidad generativa de la palabra que en el Gnesis, sino, ms bien, el fenmeno particular de que se utilicen vocablos distintos para referirse al acto de otorgar existencia mediante la palabra al mundo superior y al inferior respectivamente. Si ha de juzgarse por el destino peculiar que estas races semticas tuvieron en el hebreo, podra aventurarse que el primer vocablo (nabu) se relaciona con el poder proftico y predictivo (pre-sciente) que se mani esta en la palabra, con su aspecto ms intuitivo e inconsciente, mientras que el segundo grupo (shuma zakrat) parecera remitir a la capacidad rememorativa o determinativa (post-sciente) que caracteriza tambin al lenguaje.

RestrasobTodsa,maren jconla vlaboconde a

Ya Wquieprodirenoclasmerinte

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11 Q.e.d.

Qu puede signi car, desde el punto de vista epistemolgico, que la deno-minacin misma de una ciencia carezca de todo rigor, que sirva, por decirlo as, como una suerte de comodn o cheque en blanco que va llenndose de diversos contenidos y nombrando, por ende, distintos objetos, a medida que dicha ciencia vara con el tiempo? O expresado en otros trminos: Qu puede indicar, cient camente hablando, que el nombre de una ciencia no signi que nada concreto, que resulte ms o menos inde nible, nebuloso o cuestionable, evocando distintos objetos a lo largo de su historia? Qu repre-senta, desde una perspectiva epistemolgica, que quienes cultivan y ejercen una ciencia ignoren casi todo lo que puede saberse del trmino que designa su hacer y sus conceptos fundamentales? Que ignoren en muchsimos casos su signi cacin originaria? Qu tipo de conocimiento implica tal desconocimien-to? Qu clase de saber desprecia ese saber? Qu signi cado puede tener esta peculiar en quienes estn convencidos de dominar el conocimiento ms excelso y riguroso que haya alcanzado el ser humano?

Creemos que es inherente a las ciencias duras cierto desprecio por la palabra y el gnero de conocimiento que esta implica. Este desprecio, que bien podra cali carse en su caso de necesario y que acompa sigilosamente su gestacin durante el Renacimiento y el Iluminismo europeo, estallara en una ensordece-dora y disonante fanfarria triunfal en los ltimos dos siglos. Y este simple he-cho, causa y efecto de su exacerbada valorizacin de un determinado lenguaje el lenguaje matemtico, les ha garantizado un xito muy particular.

Pero toda polarizacin tiende a generar frutos hipertro ados y esta hipertro a no puede superar ciertos lmites sin acercarse peligrosamente al abismo de la monstruosidad, la esterilidad y la impotencia.

Por lo dems, esta desvalorizacin de los trminos y del lenguaje mismo, del lenguaje como fuente primordial del conocimiento del hombre, no es un dato anecdtico o menor dentro de la cultura, obedece a causas muy precisas, que bien podran denominarse histricas, y constituye el meollo alrededor del cual an gira la posibilidad de disponer o no, de manera natural e inmediata, de un lenguaje y una visin totalizadora de la realidad, de un lenguaje que no sacri -que, en nombre de una concepcin necesariamente parcial de universalidad y verdad, las cualidades de plasticidad, uidez y sensibilidad que el lenguaje co-mn y cotidiano comparte con el lenguaje subjetivo de las artes y el sueo.

Estamos convencidos de que un lenguaje slo puede ser universalmente ver-dadero, cuando lo es en cada singularidad, y el lenguaje matemtico, por su misma genealoga, no puede satisfacer este requisito de universalidad por la singularidad; slo es cierto singularmente en el punto en que lo singular se encuentra sometido a un universal de caractersticas tan mani estamente sin-gulares que bien podra catalogarse de monrquico.

Porque la universalidad y la precisin del lenguaje matemtico slo son cier-tas, dadas una traumtica abstraccin y una letal reduccin de la realidad, reduccin que obedece, a nuestro juicio, a un importante factor econmico y poltico, e incluso en gran parte fetichista, de nuestra psicologa. Y puesto que esa universalidad y precisin se basan necesariamente en una reduccin re-duccin que repercute negativamente, sobre todo, en la esfera ms inmediata de universalidad y verdad que posee el ser humano, en la esfera del lenguaje primigenio de su ms palpable individualidad, tanto una como la otra resultan no slo los ca sino tambin cient camente cuestionables como tales.

Actualmente la ciencia sabe que la naturaleza, independientemente de lo que este vocablo pueda designar, posee entre sus fuerzas operativas la de la indeterminacin, la imprecisin y el azar, fuerzas que bien podramos catalogar de estticas, o quiz, por qu no?, de caprichosas o subjetivas: Como si, de pronto, asomara all una extraa criatura que intentase deses-peradamente llamar la atencin de quienes, buscando penetrar en sus miste-rios, no se percatan, quiz, de que, al hacerlo, le pisan un pie, le meten un dedo en el ojo, o le auscultan con un fro e insensible instrumento el recto. Fuerzas que parecieran resistirse a dialogar en el lenguaje matemtico, a pesar de, o precisamente por estar encaradas de manera expresa desde esa unilateral perspectiva.

Caracteres en lengua acadia, usada por babilonios y asirios; los mismos en los que se grab en arcilla fresca el mito del origen del mundo que menciona este artculo.

Los caracteres en forma de cua de la lengua acadia se componen de trazos verticales, horizontales e inclina-dos. Cada conjunto representa una slaba.

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12Q.e.d.

La palabra es nuestro instrumento fundamental de conocimiento, pero es mu-cho ms que eso: es la expresin de nuestro ms profundo anhelo de saber y, por ende, de nuestra consustancial ignorancia. Pero, por sobre todo, de nuestra conciencia de poseer, desde el origen remoto del mito, una conexin sensible e ntima con una fuente de conocimiento tan inmediata y trascenden-tal que toda nuestra arrogancia sera incapaz de concebir, mucho menos de manipular, sin daarnos, de manera expoliadora.

Entendemos que despreciar la palabra, ignorar sus riquezas, su poder y su historia, es ignorar la gnesis misma de la ciencia y su porvenir. Por eso nos pa-rece especialmente til dedicar este espacio crtico y, por as decir, literario, que tan generosamente nos brinda esta publicacin, a un anlisis hermenuti-co y lolgico de los trminos fundamentales de la ciencia, comenzando en el prximo nmero con el concepto de physis-natura.

Una de las tablillas del Enuma elish, pri-meras palabras del poema babilnico que narra el origen del mundo.

Cuando la revolucin baj del cielo

Esta biografa novelada es la primera de la serie Los constructores del cielo que promete seguir con las de Tycho Brahe, Johannes Kepler e Isaac Newton.

De esta manera el autor muestra su inters particular por los cient cos de los siglos XVI y XVII, tal vez porque vivieron en una etapa esencial del desarrollo de las ciencias en general y de la astronoma en particular.

El Universo antiguo y medieval era considerado muy pequeo y con la Tierra como centro. Esta visin perfeccionada por la astronoma de Ptolomeo 1400 aos antes fue apenas retocada durante la Edad Media para ajustarla a las exigencias teolgicas.

Nicols Coprnico desde su Polonia natal viene a patear el tablero propo-niendo un sistema heliocntrico en el cual el Sol ocupa el centro geomtrico del Universo mientras que la Tierra gira a su alrededor y sobre s misma.

La vida de Coprnico transcurre en el medio de acontecimientos trascenden-tes para la humanidad: el descubrimiento de Amrica, la invencin de la im-prenta, la Reforma de Lutero que comienza a agrietar la unidad de la Iglesia y el creciente oscurantismo o cial que avanza sobre toda Europa y que obliga a que las ideas se transmitan en forma casi clandestina.

En este contexto, acusado por la Iglesia de hereje y por los reformistas de papista, el cannigo polaco que nunca lleg a obispo por razones polticas, fue construyendo su teora, arrancando a la Tierra del centro del Universo y colocndola como uno ms de los planetas que giran alrededor del Sol. Son contemporneos de l e in uyen sobre su vida directa o indirectamente, per-sonajes como Leonardo da Vinci, Durero, Erasmo, Maquiavelo y Regiomontano entre otros tantos.

Luminet es astrofsico y nos introduce en forma amena y precisa en los modos de hacer y difundir la ciencia en el turbulento siglo XVI. Se puede percibir el rol que en este sentido, cumplen las Universidades con sus profesores ms in uyentes, la Iglesia y los intereses de los estados. El lector podr comprender por qu la tarea del cient co era, en aquel enton-ces como en muchos otros de la historia, de alto riesgo. J.C.P.

Libr

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El enigma de CoprnicoJeanPierre Lumminet

Ediciones B. para el sello Zeta Bolsillo.

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13 Q.e.d.

Impedancia Curiosid

ades

fs

icas

En el ambiente electrotcnico y electrnico, la palabra impedancia tiene va-rios signi cados. Uno de ellos corresponde a la extensin del concepto de resistencia elctrica al caso de la corriente alterna.1

R, en ohms, es la resistencia; Z, tambin en ohms, la impedancia; V, en volts, la tensin, diferencia de potencial o voltaje; e I es la intensidad de la corrien-te, o amperaje, en amperes.

En ese signi cado, la impedancia se interpreta como la di cultad que ofrece un circuito a la circulacin de la corriente, y coincide con el de impedancia hidrulica en la circulacin de uidos, por ejemplo agua en un cao, o sangre en una arteria.

Pero en el mbito de la propagacin de ondas, la palabra impedancia ad-quiere un signi cado muy diferente del anterior. Por ejemplo, un cable coaxial de veinte metros de largo, tiene una impedancia de 75 ohms a las ondas de TV; la misma que la de un cable del mismo tipo de slo cinco me-tros de largo. La impedancia es, en este caso, una propiedad intensiva, o de punto, como la densidad y la temperatura, y no extensiva, o de conjunto, como la masa y el calor.

Quizs alguna vez, aburridos de or la msica grabada, y mientras esperamos que nos atiendan por telfono, jugamos a enviar ondas transversales y longitudinales a lo largo del cordn helicoidal, para ver cmo rebotan invertidas. Ese efecto ilustra el concepto de impedancia de un medio de propagacin.

El hecho de que las ondas se invierten cuando rebotan, se puede entender a partir del principio de superposicin, que establece que cuando las ondas se propagan en un medio lineal 2 , no se in uyen entre s; cada una marcha como si la otra no existiera, y el efecto local es la suma de los que producen cada una de las ondas por separado.

Supongamos una soga elstica tensa, por la que se propagan, en sentidos opuestos, dos pulsos de la misma forma, pero uno de ellos invertido con res-pecto al otro.

1. En el caso de la corriente alterna, la medida de la impedancia es un nmero complejo, con una parte real, la resistencia, y otra imaginaria, la reactancia. sta, a su vez, se compone de la reactancia inductiva, y la reactancia capacitiva.

2. El vaco es un medio lineal para la propagacin de las ondas electromagnticas. En cambio los me-dios elsticos slo se comportan linealmente para perturbaciones pequeas. En otra palabras, una ola in uye sobre la propagacin de otra ola. Leonardo da Vinci, en su Tratado de la pintura, se admiraba de cmo los anillos de ondas que se forman al arrojar dos piedras a un estanque, crecen y se cruzan como si uno ignorara al otro; pero tambin parece que, al contrario, chocaran y se re ejaran. Dilucidar si ocurre una u otra cosa era, para el artista italiano, un atractivo problema.

Adaptadores de impedancia para seal de TV. El trans-formador es muy pequeo y cabe dentro de la cha.

IVR

IVZ

Agustn RelaCBC-UBA

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14Q.e.d.

Por el principio de superposicin, cada pulso viaja como si el otro no existiese, y cada punto de la soga adopta, en cada instante, la posicin de apartamiento de la lnea neutra que resulta de la suma algebraica 3 de los apartamientos individuales.

En el instante en que los dos pulsos se cruzan exactamente, la soga est rec-ta, pero en la zona en la que se estn sumando los pulsos, cada punto tiene una velocidad transversal, hacia abajo del lado izquierdo, y hacia arriba en el derecho, en este caso.

El punto central de la soga nunca se mueve. Por lo tanto, podra estar clavado a un punto jo, sin que cambie nada de lo dicho. En consecuencia, cuando un pulso se propaga por una soga con un extremo atado a un punto jo, el pulso se re eja invertido.

De modo semejante, aunque algo ms complejo, se puede razonar que si el extremo de la soga est libre, el pulso regresa sin inversin.

Si atamos una soga delgada a otra ms gruesa, y enviamos un pulso por la prime-ra, el empalme se puede interpretar como una condicin intermedia entre la de la soga entera y uniforme, y la soga atada a un punto jo. En consecuencia, par-te del pulso que se enve seguir su viaje a travs de la soga gruesa, y otra parte del pulso se re ejar al revs. Similarmente, un pulso que viaje por una soga gruesa, se re ejar sin inversin en el empalme con una soga ms delgada.

3. Es decir, la suma de cada apartamiento con su respectivo signo.

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15 Q.e.d.

Cuanto mayor sea la diferencia de grosores de las sogas, tanto mayor ser la fraccin de energa re ejada en el empalme.

Lo mismo ocurre con el sonido que viaja en el aire, cuando pasa al agua. La fraccin de energa que sigue adelante es insigni cante con respecto a la inci-dente. Y eso es lo que pasa cuando omos: el sonido pasa del canal auditivo del odo externo, areo, al caracol del odo interno, acuoso. Ambos medios tienen diferentes impedancias acsticas 4. Sin embargo, y salvo dolencias, omos bien. Cmo lo conseguimos?

El secreto es la palanca que hacen los huesecillos del odo medio (el martillo, el yunque, el lenticular y el estribo), que convierten el movimiento amplio y la escasa fuerza del tmpano, en un movimiento de menor amplitud, pero de ms fuerza sobre la ventana oval en la que comienza el caracol, o cclea 5.

En el caso del pulso que se propaga a travs de la unin de dos sogas, y si nos interesara que no se re eje energa, podemos intercalar una palanca.

Si los brazos son muy desiguales, habr rebote sin inversin; si son muy se-mejantes, tendremos rebote con inversin; y con los brazos ajustados en las longitudes correctas, el pulso pasar por completo al otro lado, y no habr re exin de energa, ni pulso regresivo al derecho, ni al revs.

La palanca acta como un transformador de impedancia: aumenta la fuerza, y disminuye la amplitud de vibracin.

Lo mismo se hace cuando se adapta un cable chato paralelo de antena de TV, cuya impedancia es de 300 ohms, a uno cilndrico coaxial de 75 ohms. el adap-tador tiene, en su interior, un anillo de ferrita con dos bobinados, uno de ellos con el doble de vueltas que el otro.

El segundo signi cado de impedancia, el relacionado con las ondas, tiene que ver con las caractersticas del medio, y no con la di cultad que ofrezca a la propagacin.

4. La impedancia (vase La fsica y las imgenes mdicas, en este nmero) vale ZA = .v, donde es la densidad, en kg/m3, y v la velocidad de propagacin de las ondas, en m/s. Pero v = (Y/), donde Y es el mdulo de Young del material. Entonces ZA = (Y.). El mdulo de Young, en pascales, o newton por metro cuadrado, se relaciona con la presin que hay que aplicar a una porcin del medio, para que su volumen se reduzca a la mitad. Un newton es la fuerza que aplicada a un cuerpo de un kilogramo de masa, hace que su velocidad cambie en un metro por segundo, cada segundo que transcurre.

5. En algunos libros se dice que los huesecillos del odo actan como un ampli cador. Ampli can, s, la fuerza, y la presin. Pero, naturalmente, y como todo elemento pasivo, no ampli can la energa, ni la potencia. En cuanto a la amplitud espacial de la vibracin, los huesecillos la reducen.

Los megfonos adaptan la impedancia del rgano vocal a la del espacio abierto, y mejoran, con eso, la transfe-rencia de energa.El antiguo teatro griego y romano, anterior a los micr-fonos, usaba megfonos, disimulados en las mscaras de los actores que interpretaban los personajes.Persona, en latn, significa sonar mucho, es decir, megfono.

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16Q.e.d.

Para precisar qu entendemos por invariante, nada mejor que un ejemplo.

Recordemos que un poliedro es cualquier cuerpo geomtrico limitado por ca-ras planas poligonales. Hay una in nidad de formas posibles para un poliedro.

El matemtico suizo Leonhard Euler (1707 1787) descubri que para todos los poliedros que no tengan agujeros que vayan de un lado al otro, el nmero de vrtices, V, el nmero de aristas, A, y el nmero de caras, C, satisfacen la relacin

V A + C = 2.

Esta frmula es un arquetipo de invariante y es, adems, un resultado mate-mtico magn co.

Nuestro propsito es mucho ms modesto: usar la nocin de invariante para resolver algunos problemas y aprovechar estos problemas para comprender la nocin de invariantes.

Invariantes

Los problemasEL TABLERO CON DOS CASILLAS DE MENOS

Patricia Fauring y Flora Gutirrez

CBC - UBA

La gura muestra un tablero de ajedrez al que se le eliminaron las dos casillas opuestas superior izquierda e inferior derecha. Es posible cubrir este nuevo tablero con chas de domin sin que se superpongan ni se salgan del tablero? (Una cha de domin cubre exactamente dos casillas adyacentes del tablero)

Si la respuesta fuese a rmativa, bastara con exhibir una manera de cubrir el tablero y el problema estara resuelto. Pero la respuesta es no. Es imposible cubrir este tablero con domins. Y para demostrarlo tenemos que hallar un argumento general que se aplique a todos los posibles cubrimientos.

Las casillas de nuestro tablero estn pintadas de blanco y negro alternada-mente pues se trata de un tablero de ajedrez. Las casillas eliminadas llevaban igual color, pues eran las dos blancas. El tablero tiene 32 casillas negras y 30 blancas.

Observamos que cada cha de domin cubre exactamente una casilla blanca y otra negra. Por lo tanto, entre las casillas cubiertas por varias chas de domin hay la misma cantidad de blancas que de negras. Como el nmero de casillas negras es distinto del nmero de casillas blancas, es imposible cubrir comple-tamente el tablero con chas de domin (una vez cubiertas todas las casillas blancas quedarn an casillas negras sin cubrir). La solucin est completa.

Hemos usado el siguiente invariante:

En todos los cubrimientos, entre las casillas cubiertas, la cantidad de casillas blancas es igual a la cantidad de casillas negras.

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17 Q.e.d.

LOS TRES SALTAMONTES

Tres saltamontes saltan en un plano. Cada saltamontes puede saltar por encima de otro, y quedar a la misma distancia de aqul que antes de dar el salto. Inicialmente los saltamontes ocupan posiciones en tres de los vrtices de un cuadrado. Es posi-ble que durante el juego uno de ellos aparezca en el cuarto vrtice del cuadrado?

Una vez ms, si la respuesta fuese a rmativa, bastara con exhibir una se-cuencia de saltos mediante los cuales uno de los saltamontes se colocase en el cuarto vrtice del cuadrado y el problema estara resuelto. Pero la respuesta es no. Es imposible llevar a uno de los saltamontes al cuarto vrtice del cua-drado. Y para demostrarlo tenemos que hallar un argumento general que se aplique a todas las posibles secuencias de saltos, que son in nitas.

Podemos elegir coordenadas en el plano de manera que las posiciones iniciales de los saltamontes sean A=(0,1), B=(0,0) C=(1,0) y nuestro problema se reduce a demostrar que ningn saltamontes puede llegar a D=(1,1).Determinemos primero las coordenadas (a, b) de un saltamontes que salta desde el punto (a, b) por sobre un saltamontes de coordenadas (c, d). La condicin de que un saltamontes salta por encima de otro y queda a la misma distancia de aqul que antes de dar el salto signi ca que el saltamontes que est quieto est en el punto medio de las posiciones inicial y nal del salta-montes que salta sobre l. Es decir,

y

Luego a = 2c - a, b = 2d - b.

LAS DIEZ RANAS

En cada escaln de una escalera de 10 peldaos hay una rana. Cada una de ellas pue-de, de un salto, colocarse en otro escaln, pero cuando lo hace, al mismo tiempo, otra rana saltar la misma cantidad de escalones en sentido opuesto: una sube y otra baja.Conseguirn las ranas colocarse todas juntas en un mismo escaln?

Si la respuesta fuese a rmativa, bastara con exhibir una secuencia de saltos mediante los cuales todas las ranas se colocaran en un mismo escaln y el problema estara resuelto. Pero la respuesta es no. Es imposible llevar todas las ranas a un mismo peldao. Y para demostrarlo tenemos que hallar un argu-mento general que se aplique a todas las posibles secuencias de saltos.

Numeramos los escalones de 1 a 10, de abajo hacia arriba. Inicialmente, la suma de los nmeros de los escalones ocupados por cada una de las diez ranas es

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Cuando se realiza un movimiento, alguna rana salta x escalones hacia arriba y otra salta x escalones hacia abajo. Entonces el nmero del escaln de la rana que salt hacia arriba aumenta en x y el nmero del escaln de la rana que salt hacia abajo disminuye en x, luego la suma de los nmeros de los escalo-nes en los que estn las diez ranas no se modi ca, pues se cancelan la x que se suma con la que se resta.

Si fuese posible tener a todas las ranas en un mismo escaln, la suma de los nmeros de los escalones en los que estn las diez ranas sera 10 si quedaran en el primer escaln, pues se sumara 10 veces 1, sera 20 si quedaran en el segundo escaln, 30 si quedaran en el tercero, y en general 10a, si quedaran en el escaln a. O sea que la suma sera mltiplo de 10. Como 55 no es mlti-plo de 10, la tarea pedida es imposible.

Hemos usado el siguiente invariante:

La suma de los nmeros de los peldaos que ocupan cada una de las 10 ranas es constante a lo largo del movimiento.

caa

2

dbb

2

Estampilla en homenaje a Euler donde puede observar-se a un poliedro y abajo su famosa frmula donde rela-ciona las caras, aristas y vrtices de un poliedro.En 1750, Euler, escribi en una carta a Goldbach: "Encuentro sorprendente que, hasta donde yo s, este resultado general de geometra slida no haya sido es-tablecido an" .Algo de razn tena Euler en lo que deca: Descartes en 1639 ya haba hallado este resultado. El manuscrito de Descartes fue hallado y publicado recin en 1860.

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18Q.e.d.

Observamos que despus de cada salto, cada saltamontes tiene coordenadas enteras. Adems, en cada salto las paridades de ambas coordenadas no cam-bian. Esto es claro para los dos saltamontes que estn quietos en un turno. Para el que se mueve, hay que notar que a tiene la misma paridad que a, y como 2c es par, 2c a tiene la misma paridad que a, o sea, la paridad de a.Los mismos argumentos se aplican a b y 2d b. Luego, los saltamontes que co-mienzan en A=(0,1) y C=(0,1) siempre tendrn una coordenada impar y la otra par, pues 0 es par y 1 es impar, mientras que el que comienza en B=(0,0)slo tiene coordenadas pares. Por lo tanto ninguno de ellos puede llegar al punto D=(1,1), de coordenadas impares.Hemos usado el siguiente invariante:

La paridad de las coordenadas de cada saltamontes es constante.

B C

A D

LOS 57 CAMALEONES

Un viajero lleg a una pequea isla donde vivan 20 camaleones azules, 19 grises y 18 prpuras. El viajero observ que cuando dos camaleones de diferente color se encontraban, inmediatamente cambiaban al tercer color (por ejemplo, si se encon-traban un camalen azul y uno gris, ambos se volvan prpuras), y no cambiaban de color en ninguna otra situacin. Es posible que en algn momento todos los camaleones tengan el mismo color?

Si la respuesta fuese a rmativa, bastara con exhibir una secuencia de en-cuentros mediante los cuales todos los camaleones tuvieran un mismo color y el problema estara resuelto. Pero de nuevo la respuesta es no, es impo-sible lograr que los 57 camaleones sean de igual color. Y para demostrarlo tenemos que hallar un argumento general que se aplique a todas las posibles secuencias de encuentros.

En el comienzo (20, 19, 18) es la terna del nmero de camaleones azules, grises y prpuras, respectivamente. En cada encuentro, se resta 1 en dos de las coordenadas y se suma 2 a la restante. Por ejemplo, si en algn momento la cantidad de camaleones azules, grises y prpuras forman una terna (a, b, c) y se encuentran un camalen azul y uno gris, la terna si-guiente ser (a 1, b 1, c + 2). Miremos los restos en la divisin por 3; estos restos pueden valer 0, 1 o 2, y si recorremos ordenadamente los nmeros enteros positivos, estos restos aparecen en ciclos de 3: 0, 1, 2, 0, 1, 2, De modo que los nmeros a 1 y b 1 tienen los mismos restos en la divisin por 3 que los nmeros a + 2 y b + 2, respectivamente. Esto significa que los restos de dividir por 3 de los tres nmeros que represen-tan a los camaleones cambian de acuerdo con el patrn 0 2, 1 0 y 2 1. En particular si al comienzo los restos son los tres distintos siempre sern todos distintos. Esta es la situacin en la terna (20, 19, 18) cuyos nmeros tienen restos 2, 1 y 0, respectivamente, pues 20 = 3.6 + 2, 19 = 3.6 + 1 y 18 = 3.6. Pero si los camaleones tuvieran todos el mismo color, tendramos una terna con dos 0 y un 57, de modo que los restos seran iguales. Por lo tanto esta situacin jams puede lograrse.

Hemos usado el siguiente invariante:

Los restos de dividir por 3 a las 3 coordenadas son siempre tres nmeros dis-tintos.

Arthur Cayley (1821-1895)

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19 Q.e.d.

LAS TRES HORMIGAS

En el plano hay dibujado un rectngulo y tres hormigas estn paradas en tres de sus vrtices. Las hormigas se mueven por turnos. Cada hormiga, en su turno, cami-na a lo largo de la lnea recta que es paralela a la recta determinada por las otras dos hormigas. Es posible que al cabo de algunos turnos las hormigas se encuen-tren ubicadas en los puntos medios de tres lados del rectngulo?

Observemos que si las con guraciones de las tres hormigas antes y despus de un turno son los tringulos ABC y ABC, respectivamente (es decir, la hormiga que se movi lo hizo de C a C, siguiendo una paralela a AB) entonces el rea de ABC es igual al rea de ABC. Esto se debe a que los dos tringulos tienen la misma base, y el tercer vrtice pertenece a una recta paralela a dicha base trazada por C. Por lo tanto, el rea del tringulo que determinan las tres hormigas es constante.

Inicialmente, el rea es , donde a y b son los lados del rectngulo, en-

tonces por lo visto en el prrafo anterior, el rea del tringulo que forman las

hormigas es siempre . El rea de un tringulo con vrtices en los puntos

medios del rectngulo es (un cuarto del rea del rectngulo).

En consecuencia, es imposible que las hormigas se encuentren en tres puntos medios de sendos lados del rectngulo.

Hemos usado el siguiente invariante:

El rea del tringulo que determinan las tres hormigas es constante.

DEJAMOS TRES PROBLEMAS PROPUESTOS PARA QUIEN QUIERA DISFRUTARLOS

P1. Haba tres nmeros enteros positivos escritos en un pizarrn. Se borr uno de ellos y se lo reemplaz por la suma de los otros dos menos 1. Se repiti este procedimiento varias veces y nalmente los nmeros escritos en el pizarrn son 17, 1983 y 1999. Es posible que los nmeros iniciales hayan sido 2, 2 y 2?

P2. En una mesa hay dos cajas con 17 y 16 bizcochos respectivamente. Juegan dos jugadores, y cada uno en su turno puede comer dos bizcochos de cualquie-ra de las cajas (pero los dos de la misma), o pasar un bizcocho de la primera caja a la segunda.

Pierde el jugador que no puede mover. Qu jugador gana?

P3. En un tablero de 8 8 se elimina una casilla de una esquina. Es posible cubrir el resto del tablero con triomins de esta forma

de manera que no se superpongan ni sobresalgan del tablero? (Las casillas del triomin son del mismo tamao que las casillas del tablero.)

La teora de invariantes surgi a la vida llevada por la fuerte mano de Cayley, pero constituy nalmente una obra completa de arte, para admiracin de las futuras generaciones de matemticos, debido particularmente a los destellos de la inspiracin con que la ilumin la inteligencia de SylvesterPercy MacMahon

James Joseph Sylvester (1814 - 1897)

A

B

C

C

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20Q.e.d.

Carlos BorchesCBC - UBAEl secreto de

El MtodoEn el nmero anterior de Qed contamos los avatares de un libro perdido por siglos, testigo del derrumbe del mundo helnico, de la cada del Imperio Romano y vctima de las cruzadas; fugitivo en el imperio otomano y tabla de salvacin de un anticuario judo durante la ocupacin nazi de Pars.

Digno compaero del highlander Connor MacLeod, el libro se abri paso en el tiempo portando las ideas de su autor. Estamos hablando de El Mtodo escrito por Arqumedes y ya es hora de abordar su contenido.

Para entender las proporciones de la obra de Arqumedes remontmonos al pasado poco ms de dos mil aos. En el mundo helnico se establecen pilares de los que ser la cultura occidental, pero detengmonos un momento en la fsica y la geometra.

La Fsica de Aristteles ensaya una explicacin cualitativa del mundo. Con combinaciones de cuatro elementos pretenda describir todas las sustancias en la Tierra y agregando un quinto elemento saltbamos al cielo. Era con las proporciones de esos elementos cmo Aristteles explicaba las fuerzas y los movimientos naturales desarrollando una teora que cosech adeptos ms all del Renacimiento. En cuanto a la geometra, haba superado la coleccin de datos empricos para erigirse como la expresin ms acabada del pensa-miento humano. Los Elementos de Euclides expresan esa construccin slida y contundente donde las a rmaciones se enhebraban con el hilo de la lgica.

Pero lejos de los centros culturales del helenismo, en una isla al sur de Roma, se encontraba Siracusa, la ciudad donde Arqumedes desnudaba y resolva las limitaciones del pensamiento de su poca.

Dadme un punto de apoyo y mover el mundo, la famosa cita asociada a Ar-qumedes y la palanca, aparece recin en Synagoge o Coleccin matemtica, escrita hacia el 340 por Pappus de Ale-jandra. El grabado de la ilustracin fue publicado en Mechanics Magazine, Londres 1824.

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21 Q.e.d.

Adelantndose varios siglos, Arqumedes traz un puente con doble sentido de circulacin entre la fsica y la matemtica.

En un sentido, Arqumedes utiliz a la matemtica como lenguaje de la fsica. Algo que hoy parece obvio constitua una revolucin difcil de aceptar en el mundo griego. Con el lenguaje de la geometra, las fuerzas ya no eran objeto de a rmaciones cualitativas apoyadas en el sentido comn sino que eran mag-nitudes medibles y comparables como los volmenes o super cies.

En su escrito Del equilibrio de los planos, Arqumedes llega al concepto de centro de gravedad y a la ley de Palancas, y con notable ingenio calcula los centros de gravedad de diversos polgonos y del trapecio parablico. Pero su trabajo no se agota con un nuevo conocimiento, sino que esto le permiti construir mquinas que asombraron a generaciones, como recuerda Silio Itico Fama tena de haber contado las arenas de la tierra; l, que supo poner a ote una galera con el esfuerzo de una sola mujer; l, que hizo subir rocas amontonadas en contra de la pendiente del terreno 1

Solo por esto Arqumedes merecera un lugar de privilegio en la galera de las mentes brillantes de la humanidad. Pero el siracusano fue ms lejos, no slo cruzaba el puente con herramientas matemticas para resolver problemas fsi-cos, sino que tambin us la fsica para encarar problemas matemticos.

La in uencia de las ideas platnicas, que condenaban todo aquello que se ro-zara con la prctica, sumada a la belleza y el rigor sintetizado por los Elemen-tos conjugaron contra la capacidad de los gemetras para aventurarse ms all de lo permitido por el uso exclusivo de la deduccin lgica.

Veamos un ejemplo. Desde tiempos babilnicos se conoca experimentalmente la relacin entre el permetro de la circunferencia y su dimetro, lo que hoy escribimos como P=. dAntes de que los griegos se metieran en el asunto, era aproximadamente 3, tal como aparece en el detalle de la construccin del Mar de Bronce del templo de Salomn: Hizo el Mar de metal fundido, de diez codos de borde a borde. Era enteramente redondo y de cinco codos de alto. Un cordn de treinta codos meda su contorno. 2

Durante siglos, los lectores ms entusiastas de algunas obras de Arqume-des fueron constructores que buscaban emplear arcos parablicos en sus obras. En el siglo XX, Gaud eutiliz estas curvas hasta transformarlas en un sello caracterstico de estilo. Abajo: Casa Batll (Barcelona) diseada por Gaud. Izquierda: Oceanogr co de Valencia, en la Ciudad de las Artes y las Ciencias, diseado por Flix Candela, recordado por sus atrevidas estructuras en forma de paraboloides hiperblicos, donde cada una de las caras muestra un segmento de parbola.

1. Hay un trabajo llamado Mecnica, que algunos autores lo adjudican a Teofrasto (372-287, AdeC), donde aparecen antecedentes de las ideas de Arqumedes. All se expresa que el peso que se mueve est con el peso que mueve en estado inverso . La idea es tomada por Aristteles en la Fsica: cuanto ms apartado del fulcro, ms fcilmente vamos a levantar el peso. Aunque Teofrasto estuvo en el Liceo como discpulo de Aristteles, los estudios histricos ubican a la Mecnica antes que la Fsica.

2. Libro Segundo de Crnicas, cap 4

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22Q.e.d.

Para los griegos esta aproximacin era insoportable, pero superarla no era tarea fcil porque la razn entre el permetro y el dimetro no era una razn entre nmeros naturales. Dicho en trminos ms actuales: el nmero en cues-tin (), no es un nmero racional.La solucin vino de la mano de un discpulo de Platn, Eudoxo de Cnidus, quien estableci un principio, un mtodo y una de nicin para solucionar el problema de las razones entre magnitudes fueran stas o no racionales. De all en ms, las relaciones entre magnitudes quedaran expresadas por medio de proporciones. Tal como lo recoge Euclides: los crculos estn entre s como los cuadrados de sus dimetros , o en trminos ms modernos:

Donde se evita escribir , tal como quedara en nuestras modernas expresiones

El mtodo de exhaucin ideado por Eudoxo fue mucho ms que una forma ele-gante de eludir la presencia de irracionales, constituy el primer antecedente de los futuros mtodos in nitesimales. Permiti demostrar resultados, pero no conjeturarlos. 3

Qu hizo Arqumedes con esta herencia? Por un lado, ide un sistema que le permita acercarse a tanto como quiso, o como los mtodos de clculo de la poca (mejorados por el propio Arqumedes) se lo permitieron.

Pero a la hora de calcular reas (cuadraturas) o volmenes (cubaturas) dej a sus lectores boquiabiertos. Y no slo a sus contemporneos, sino tambin a los lectores que tendra ms de mil aos despus: Al no poder imaginar qu ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud del razonamiento, es-toy seguro que Arqumedes se vio ayudado por el lgebra, a la que conoca en secreto y que ocultaba de forma estudiada.

LOS SECRETOS DE ARQUMEDES

Los trabajos de Arqumedes tambin tenan un estilo singular. Como en los actuales papers, Arqumedes supone que el lector conoce lo que ha sido creado antes, enuncia principios que necesitar evocar durante las demostra-ciones, algunos lemas previos y luego presenta los nuevos resultados que se dispone a demostrar, y lo hace, alcanzando un virtuoso manejo del mtodo de exhaucin. La novedad es central en los escritos de Arqumedes, y l lo expli-citaba: estas propiedades () no haban sido conocidas por quienes me han precedido en el estudio de la Geometra, apuntaba el gemetra

Lo que nunca quedaba explicitado eran los caminos creativos de Arqumedes que le permitan calcular reas o volmenes fuera del alcance de sus contem-porneos. Pero el secreto no estaba en el lgebra, como sospechaba Barrow, sino en la mecnica. Finalmente Arqumedes decidi revelarlo en El Mtodo,el libro que luego se perdera por siglos.

He credo oportuno exponerte por escrito y desarrollar en este mismo libro las particularidades de un mtodo, por medio del cual te ser posible captar ciertas cuestiones matemticas por medio de la mecnica. Estoy convencido de que ser til tambin para demostrar los propios teoremas. Algunas cosas las descubr primero por la mecnica y luego las demostr geomtricamente, ya que la investigacin hecha por este mtodo no implica verdadera demostra-Isaac Barrow (1630-1677) edit en 1675 Archiedis

Opera, y asombrado por los resutados alcanzados por Arqumedes escribi: Al no poder imaginar qu inge-nio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud del razonamiento, estoy seguro que Arqumedes se vio ayu-dado por el lgebra, a la que conoca en secreto y que ocultaba de forma estudiada.

3. En el Libro V de los Elementos de Euclides se presenta la condicin, siguiendo a Eudoxo, para que dos elementos tengan razn: Existe razn entre dos cantidades cuando un mltiplo de la menor supere a la mayor

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cin escriba Arqumedes a su colega alejandrino Eratstenes, a quien estaba dirigido El Mtodo.

Luego de esta introduccin, Arqumedes presenta once lemas relacionados con los centros de gravedad de diversas guras planas y slidas, algunas de las cuales fueron estudiadas por Arqumedes en Sobre el Equilibrio de los Planos, y explica un mtodo mecnico para realizar la cuadratura del segmento pa-rablico y calcular la relacin entre los volmenes y reas de esferas y conos. Siguen luego otras catorce proposiciones que relacionan volmenes y super -cies de conos, elipsoides y paraboloides para quitarle al lector desprevenido las ganas de no considerar al mtodo.

Terminemos esta aproximacin a El Mtodo dejndonos conducir, frente al papel y con lpiz en mano, por el propio Arqumedes:

Toda esfera es cudruple del cono cuya base sea igual al crculo mximo de la esfera y cuya altura sea igual al radio de la esfera; a su vez el cilindro cuya base sea igual al crculo mximo de la esfera y cuya altura sea igual al dimetro de la esfera, es igual a vez y media la esfera

Sea una esfera cuyo crculo mximo sea ABCD, siendo AC y BD dos dimetros perpendiculares. Sea tambin en la esfera un crculo de dimetro BD, perpen-dicular al crculo ABCD; y a partir de ese crculo constryase un cono que tenga por vrtice el punto A.

Prolongada la superficie del cono, crtese ste por un plano que pase por C y sea paralelo a la base, que dar un crculo perpendicular a AC, cuyo dimetro ser la recta EZ. Constryase despus a partir de este crculo un cilindro de eje igual a AC y sean EL y ZH generatrices del mismo. Proln-guese CA y tmese en su prolongacin una recta AT igual a ella, y consid-rese CT como una palanca cuyo punto medio sea A. Trcese una paralela cualquiera MN a BD, que corte al crculo ABCD en Q y O, al dimetro AC en S, a la recta AE en P y a la recta AZ en R. Levntese sobre la recta MN un plano perpendicular a AC, que cortar al cilindro segn el crculo de dimetro MN, a la esfera ABCD segn el crculo de dimetro QO y al cono AEZ segn el crculo de dimetro PR.

Puesto que el rectngulo determinado por CA y AS equivale al determinado por MS y SP, ya que AC es igual a SM y AS es igual a SP, y el determinado por CA y AS equivale al cuadrado de AQ,4 es decir a los cuadrados de QS y SP, resulta que el rectngulo determinado por MS y SP equivale a los cuadrados de QS y SP.5

Por ser la razn de CA a AS como la de MS a SP y ser CA igual a AT, la razn de AT a AS es como la razn de MS a SP, es decir como la razn del cuadrado de lado MS al rectngulo determinado por MS y SP. Y habindose demostrado que el rectngulo determinado por MS y SP equivale a los cuadrados de QS y SP, la razn de AT a AS ser como la razn del cuadrado de MS a los cuadrados de QS y SP. Y por ser la razn del cuadrado de MN a los cuadrados de QO y PR como la razn del cuadrado de MS a los cuadrados de QS y SP y la razn del crculo seccin del cilindro de dimetro MN a los crculos, secciones del cono y de la esfera, de dimetros PR y QO respectivamente, como la razn del cuadrado de MN a los cuadrados de PR y QO, resulta que la razn del crculo seccin del cilindro a los crculos secciones del cono y la esfera, es como la de AT a AS.

4. Ntese que el tringulo ASQ es semejante al tringulo AQC pues ambos son rectngulos y tienen en comn un ngulo. De esta manera los cocientes entre lados correspondientes son iguales, en particular, la razn entre AS y AQ es igual que la razn entre AQ y AC y esto se traduce diciendo que el rea del rectngulo de lados AS AC es igual al rea del cuadrado de lado AQ. Nosotros, ms acostumbrados al lenguaje algebraico escribiramos:

AS / AQ = AQ / AC luego AS . AC = AQ2

5. Pitgoras! Mirando el trngulo AQS, El cuadrado de lado AQ es equivalente a la suma de los cua-drados de lados QS y AS, y recordemos que AS es de la misma extendin que SP

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Luego, dado que la razn de AT a AS es como la razn del crculo que est en el cilindro, permaneciendo en su lugar, a los crculos cuyos dimetros son QO y PR, trasladados y colocados sobre el punto T, de tal manera que el centro de gravedad de cada uno de ellos sea T, estos crculos estarn en equilibrio respecto del punto A.

De la misma forma se puede ver que si se traza otra paralela a EZ en el paralelogramo LZ, y sobre la recta as trazada se levanta un plano perpen-dicular a la recta AC, el crculo determinado en el cilindro, permaneciendo en su lugar, estar en equilibrio, respecto del punto A, con los dos crculos determinados, respectivamente, en la esfera y en el cono, trasladados y colocados de tal modo sobre la palanca en el punto T, que el centro de gra-vedad de cada uno de ellos sea el punto T. As pues llenados con tales crculos el cilindro, la esfera y el cono, el cilindro, permaneciendo en su lugar, estar en equilibrio, respecto del punto A, con la esfera y el cono juntos, traslada-dos y colocados sobre la palanca en el punto T, de manera que el centro de gravedad de cada uno de ellos sea T.

As pues, dado que dichos slidos estn en equilibrio respecto del punto A, permaneciendo el cilindro en torno al centro de gravedad K, y la es-fera y el cono trasladados, como se ha dicho, con el centro de gravedad en T, resultar que la razn del cilindro a la esfera y el cono juntos, ser la misma que la razn de AT a AK , y como AT es doble de AK, el cilindro ser doble de la esfera y el cono juntos, y siendo el cilindro triple del mismo cono, tres conos equivalen a dos de los mismos conos y dos esfe-ras. Sustriganse dos conos comunes y resultar que el cono cuya seccin a travs del eje es el tringulo AEZ, equivale a las dos esferas mencio-nadas. Ahora bien, el cono cuya seccin a travs del eje es el tringulo AEZ equivale a ocho conos cuya seccin a travs del eje es el tringulo ABD, porque EZ es doble de BD. Los ocho conos indicados equivalen, pues, a dos esferas. Por tanto la esfera cuyo crculo mximo es ABCD, es cudruple del cono cuyo vrtice es el punto A y cuya base es el crculo de dimetro BD perpendicular a AC.

Trcense ahora en el paralelogramo LZ por los puntos B y D las rectas FBX, IDU, paralelas a AC; y considrese un cilindro cuyas bases sean los crculos de dimetros FI y XU, y cuyo eje sea AC. Entonces, por ser el cilindro, cuya seccin a travs del eje es el paralelogramo FU, doble del cilindro que tiene por seccin a travs del eje el paralelogramo FD 26, y siendo este ltimo cilindro, segn Los Elementos, triple del cono cuya seccin a travs del eje es el tringulo ABD, el cilindro es sxtuplo de este cono; y habin-dose demostrado que la esfera de crculo mximo ABCD es cudruple de este cono, el cilindro es una vez y media la esfera, que era lo que haba que demostrar Qed

John Wallis (1616 - 1703), responsable de las ediciones de matemtica antigua y medival editadas por Oxford, tambin se sinti impresionado por el camino creativo del siracusano: Al parecer Arqumedes ocult adrede las huellas de su investigacin, como si hubiera sepul-tado para la posteridad el secreto de su mtodo de in-vestigacin..Wallis, como todos los pensadores desde el Renacimien-to hasta el siglo XX, desconocieron el contenido de El Mtodo

Un cilndro, un cono y una esfera generados por la ro-tacin alrededor del eje TC del rectngulo HZLE, (ver Pg 23) el tringulo AZE y la circunferencia

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En esta poca, en que se consiguen diodos emisores de luz de alto brillo(1),es ms sencillo que antes construir y hacer funcionar una pila elctrica de jugo de limn.

Para construir una, se pueden usar ocho arandelas de papel, ocho de hierro y ocho de cobre, compradas en una ferretera. Se puede usar tambin papel de aluminio y estropajo de bronce aplastado, o hacer espirales chatas de alambre de cobre y de hierro.

Los diodos luminosos ms comunes tienen tres milmetros de dimetro; en-cienden mejor los blancos. El polo positivo aparece en el cobre, que se debe conectar a la pata ms larga del led. Conviene armar todo en seco, apretar con suavidad para favorecer el contacto, y rociar el conjunto con jugo de limn, o con vinagre.

Suele llamar la atencin que con esta pila improvisada se pueda hacer andar un reloj, o una radio, aunque no tenga potencia su ciente como para ali-mentar un foquito de lamento. Suministra cuatro o cinco voltios, con una corriente de dos o tres miliamperes. Con metales de gran rea, se consiguen corrientes mayores.

Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (17451827) se inspir, para su invento, en los experimentos que haca Luigi Galvani (17371798) con ranas muertas y generadores elctricos. Galvani crea que si los msculos se excitaban con la corriente elctrica, deban ser capaces, tambin, de generarla.

1 Se los consigue en el comercio con el nombre de leds de alto brillo; light emitting diodes.

Pila elctrica de limnEl cido ctrico del fruto reacciona qumicamente con dos metales distintos. La diferencia entre la energa necesaria para quitar un electrn de un tomo de cobre, y la que hace falta para hacer lo mismo con uno de hierro, da lugar a una diferencia de potencial, o tensin elctrica.

Talle

r y

Labo

rato

rio

Con su clebre pila, Alessandro Volta funde alambres, hace chispas y excita los msculos de una rana muerta ante el emperador de Francia, Napolen Bonaparte, su esposa Jose na y miembros de la Corte. Sus trabajos te-nan inters comercial y militar, y permitieron el invento del telgrafo unos aos despus.El nombre pila proviene de que, para construirla, Volta apil veinte o treinta discos de cobre con otros tantos de cinc, separados por eltros embebidos en agua y cidos.El cuadro, de 1800, es de Giuseppe Bertini.

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Aunque a muchos la regla de tres simple nos ha parecido alguna vez una ley del pensamiento, o del mundo material, no siempre se cumple; y en rigor son ms frecuentes, en la naturaleza, las proporciones constantes, que las diferencias uniformes.

Alinealidades

Gabino Ezeiza, 1858-1916

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Por Agustn RelaCBC - UBA

PAYADOR LOGARTMICO

El periodista y caricaturista Jos Mara Cao (18621918) desa una vez a Gabi-no Ezeiza (18581916), conocido como El payador de San Telmo, a que payase sobre el logaritmo: Ezeiza cruz hasta la casa de un mdico amigo para aseso-rarse, y volvi al rato dispuesto a improvisar con el nuevo conocimiento:

Seores, voy a explicarla ciencia del logaritmo,si acierto a cantar al ritmode mi modesto payar.Pongamos, para empezar,dos progresiones enfrente;por diferencia y cocientecorrespondiendo entre s,y ahijuna!1 saldr de aquun sistema sorprendente.Si digo cero, uno, dos,y tres, cuatro, cinco, seis,esta progresin veriscmo concuerda con los trminos de otra:uno, dos cuatro, ocho, diecisis.... 2

Seguramente Cao, que conoca la inagotable capacidad de improvisacin del payador, quiso proponerle un tema ignoto, extrao y atravesado, fuente de perplejidad, asombro y temor: el logaritmo!

En su explicacin Gabino compara una progresin aritmtica, aqulla en la que la diferencia entre dos trminos sucesivos es constante, por ejemplo, 3, 6, 9, 12, 16, ... con una geomtrica, en la que lo constante es no la diferencia, sino el cociente entre dos trminos sucesivos, por ejemplo 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... Los logaritmos de los trminos de una progresin geomtrica constituyen una progresin aritmtica.

1. Casi todos saben que esa expresin proviene de Ah! Hijo de una...!

2. sos son los versos, quizs algo alterados, que recuerda Enrique Mario Mayochi de aquella payada en Tres Arroyos, que habra durado ms de media hora. El alma docente de Gabino lo llev a buscar ayuda cuando ignoraba el tema. Y es notable la cultura matemtica del mdico a quien consult, cuyo nombre no recoge esa historia..

Progresin aritmtica Progresin geomtrica

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27 Q.e.d.

LINEAL, Y LNEA

En fsica y matemtica las progresiones aritmticas se llaman lineales, y eso trae cierta confusin, porque las geomtricas tambin se pueden re-presentar con una lnea, aunque en este caso sea una lnea curva. Lineal, en este contexto, significa concerniente o re la ti vo a una lnea recta.Las progresiones geomtricas son difciles de representar grficamente, porque la escala queda muy chica para unos valores, y demasiado grande para otros.

En un intervalo breve de variacin, todo parece lineal; por ejemplo un capital depositado puede arrojar una utilidad de cien pesos por ao. Pero en intervalos mayores, y a medida que ese capital crezca, lo que es cons-tante es el porcentual de utilidad, por ejemplo el cinco por ciento anual. En este caso la progresin geomtrica, para un capital inicial de mil pe-sos, es aproximadamente 1000, 1050, 1102, 1158, 1216, 1276,... donde cada trmino se obtiene con el producto del anterior por el factor 1,05. La diferencia va creciendo.

MOLUSCO ALINEAL

En los organismos vivientes se observa con frecuencia la progresin geom-trica. En cierta etapa de su vida el nautilo (un molusco de aguas profundas), cuanto mayor es su tamao, con ms velocidad crece, y eso queda registrado en su caparazn. A medida que el animal aumenta su tamao, se retira del es-pacio que le queda chico, y construye uno mayor. Sus compartimientos crecen de manera alineal; pero una escala logartmica permite que la representacin sea una lnea recta.

La espiral regular de la escalera de caracol genera, en la perspectiva de la foto, una espiral logartmica. La relacin, o cociente, entre las longitudes fotogr cas de dos escalones sucesivos, es una constante. (Fotos: Oriana Salvetti)

QU ES EL LOGARITMO 3

En trminos simpli cados, pero intuitivos, el logaritmo decimal es la can-tidad de ceros de un nmero redondo. Por ejemplo, el de 1.000.000 es 6; el de 100 es 2; el de 10 es 1; el de 1 es 0, y el de 0,0001 es 4. Con mayor generalidad, y para nmeros que no sean redondos, el logaritmo es el expo-nente al que se eleva la base. Por ejemplo, 3 es el logaritmo de 8 en base 2, porque 23 = 8. (2 2 2 = 8)

3. La sonora palabra logaritmo inspira temor, reverencia y espanto cuando se la oye por primera vez, o cuando se ignora su signi cado.

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Perspectiva cnicaCuando miramos una gura en perspectiva cnica o fotogr ca (a diferencia de la paralela, y muchas otras perspectivas) el ojo hace los mismos movimien-tos angulares que cuando mira el objeto real.

Curiosamente, esa representacin aparece en una poca muy de nida de la histo-ria del arte, y en una regin tambin muy circunscripta; el Renacimiento italiano; casualmente al mismo tiempo y en el mismo lugar en que se fabrican por primera vez vidrios planos transparentes para las ventanas. Los vidrieros in aban globos de vidrio, los hacan estallar, centrifugaban los restos adheridos a la boquilla, y apoya-ban la lmina de vidrio todava blando sobre una madera plana. Es posible que la gente haya calcado por primera vez un paisaje en el vidrio de una ventana, lo que movi a los pintores a introducir en su arte esa nueva forma de representacin.

Instrumento musical hecho con tubos de las mismas lon-gitudes que la de los dibujos en perspectiva. Una de las caas extremas mide la mitad de lo que mide la otra; suena con el doble de frecuencia, y se dice que su nota es una octava ms alta, porque en la escala musical que hoy ms se usa, hay seis notas intermedias. Entre dos te-clas consecutivas (blanca o negra, indistintamente), la relacin de frecuencias vale la raz duodcima de dos, o dos elevado a un duodcimo.

Escala bien temperadaSi disponemos trece objetos iguales en la, y sin cambiar la posicin el ojo los calcamos en perspectiva sobre un vidrio plano transparente, de modo que el dibujo del objeto ms cercano duplique en tamao el del ms alejado, y luego cortamos trece tubos de las mismas medidas que las representaciones, con ellos podemos construir un siku, o zampoa andina, a nada en la escala bien temperada. (4)

4. Esa escala de doce notas se usaba en China hace cuatro mil aos, pero se difundi en Europa en 1740 gracias a la composicin El clave bien temperado, de Johann Sebastian Bach. La frecuencia del sonido decimotercio duplica la del primero, por eso se considera la misma nota musical. En la escala natural, las relaciones de frecuencias son las mismas que las que hay entre nmeros enteros, como 3/2, 4/3, etctera; no en cambio en la escala bien temperada, que es una aproximacin a la escala natural.

Ojo

VidrioObjetos

Dibujo calcado

BC

D O

La Anunciacin, de Guido di Pietro Da Mugello (Fra Angelico, 1400 1455).Su representacin en perspectiva utiliza la progresin geomtrica. El cociente de las longitudes de dos columnas sucesivas es siempre el mismo.

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Radiactividad y logaritmoCumpliendo con la promesa asumida en las Intimidades del cierre del ltimo nmero de Q.e.d, continuemos -logaritmo en mano- sobre el terreno de la radiactividad y de la datacin con el carbono 14 (C14 ).

Hay tomos estables, como los cuatro istopos1 naturales del hierro, (54, 56, 57 y 58), y otros inestables, como el carbono 14 y el americio 241. Los inesta-bles tienen una cierta probabilidad ja de desintegrarse, por lo que su nmero se reduce a la mitad cada lapso llamado la vida media de ese istopo, tm en la frmula de la gura.

En escalas lineales, la representacin en funcin del tiempo de la masa que va quedando de un material radiactivo que se desintegra, es una curva expo-nencial. Si la escala de la masa es logartmica, el gr co es recto, y de ms fcil lectura.

En esto se basa la tcnica del carbono 14 para datar fsiles. En la alta at-msfera, el nitrgeno 14, que es el gas ms abundante de la atmsfera, se convierte, por efecto de la radiacin csmica, en carbono 14 radiactivo, que forma dixido de carbono con el oxgeno presente. Los vegetales lo toman en la fotosntesis, y as tanto las plantas, como los animales que las comemos, somos un poco radiactivos.

Cuando un ser muere, deja de tomar materias radiactivas, y tiene el consuelo de que la radiactividad que tena en vida se le va pasando. Entonces, si se mide la radiactividad de sus restos, se sabe cundo muri.2

La masa remanente es directamente proporcional a la radiactividad. Por ejem-plo, en un gramo de carbono 14 se desintegran 165.000 millones de tomos por segundo, y como la proporcin de C14 a C12 es de una en dos billones, en un gramo de carbono de un organismo vivo se producen unas 16 desintegraciones por minuto. Cinco mil setecientos treinta aos despus de muerto, esa activi-dad se reduce a ocho cuentas por minuto.

1 El hierro 54 tiene 28 neutrones y 26 protones en su ncleo, y 26 electrones alrededor. Los istopos del mismo elemento qumico di eren en el nmero de neutrones. Sus propiedades qumicas son prc-ticamente idnticas; por eso les corresponde la misma casilla de la tabla peridica. Istopo signi ca, en griego, en el mismo lugar.

2 Ese mtodo tiene algunos errores, porque en la proporcin de carbono 14 en la atmsfera cambia con las pocas.

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No nos une el amor, sino la gravedadCien

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Por Matias Cveczilberg Puedo asegurar, lector, que entre nosotros dos, existe una ineludible e innega-ble atraccin. No importa en qu punto del globo se encuentre (ms an, no importa en qu punto del universo se encuentre), usted se siente atrado por

m, por esta revista que est sosteniendo, y por la tinta con la que est escrita esta palabra... y esta...y esta.

No hace falta que me conozca ni que me haya visto alguna vez, pues incluso si ese es el caso, la atraccin a la que me re ero trasciende barreras y distancias. Hablo de la fuerza que lo man-tiene pegado a la tierra, y de la que mantiene a sta girando alrededor del Sol. S, me re ero a la gravedad.

Esta fuerza, de la que el gran Newton observ su accin a dis-tancia, es una de las cuatro fuerzas que rigen al universo, y la responsable de mantener su cohesin. Sin embargo, es tan dbil que para vencerla no hace falta ms que intentar levantar un objeto del suelo. (Proeza ms complicada -aunque no imposible- es lanzarlo fuera del planeta).

Pero... exactamente: Cun fuerte es?. Su fuerza, dedujo Newton, es proporcional al producto de las masas, e inversa-mente proporcional al cuadrado de la distancia. (Multiplicado por una constante de gravitacin universal, a la que denomina-mos G, y cuyo valor se aproxima a 6,67 x 10 -11).

Esto atenta contra esa idea intuitiva (y dems est decir, errnea) que tiene mucha gente sobre la gravedad, a la que consideran un fenmeno exclusivamente terrestre, y ms an, super cial.

Entonces,A qu se debe que los astronautas oten en el espa-cio? No es eso acaso ingravidez?

Si entendi lo anterior, notar que la ingravidez (tomando el sentido literal de la palabra) no existe ms que en lugares muy alejados de todo objeto astro-nmico. Incluso considerando que la gravedad acta de forma inversamente proporcional a la distancia, a la altura a la que se encuentran los astronautas (como referencia, la ISS orbita aproximadamente a 350 Km sobre la super cie terrestre) la variacin de la gravedad respecto de la super cie es relativamente poca. Lo que est sucediendo all es otra cosa y la palabra clave es rbita.

Para entender esto vamos a pensar en lo siguiente: Si uno tomase un objeto y lo arrojase con todas sus fuerzas, lo ms probable es que cayese a pocos metros de distancia. Si en lugar de eso utilizase, digamos, un can, sucedera que el objeto caera ahora no slo a una distancia mucho mayor (varios kil-metros con un can actual) sino que adems entrara en juego otro factor: la curvatura terrestre. El objeto lanzado no slo caer varios kilmetros ms lejos, sino que adems comenzar a moverse de forma ms perceptible en torno a la esfera terrestre.

Dicho esto no es difcil imaginar qu pasara si uno pudiese llevar el ejemplo al lmite: con una velocidad (y altura) su ciente, el objeto no caera, pues por cada cierta distancia recorrida en una direccin tangencial (esto es, paralela en un punto) a la super cie, la gravedad lo har descender una cierta medida. Estos movimientos, claro, ocurren en simultneo, y gracias a la redondez de la Tierra se puede pensar el hecho como si el objeto arrojado se pasase del

Estar en rbita es una de las muchas formas en que puede caer un cuerpo, cuando se lo arroja horizon-talmente con su ciente velocidad. (Idea y dibujo ori-ginales de Isaac Newton, publicados en 1684 en sus Principios matemticos de losofa natural.)

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31 Q.e.d.

Brian, el perro intelectual, quiere convencer a Peter que est gordo, para ello arroja una manzana que comienza a orbitar alrededor de su voluminoso vientre

El rincn ms viejo del Universo; en Futurama los cinturones de los hombres y los planetas van subien-do con la edad.

borde, es decir, para el momento en que cae con respecto al plano sobre el que fue lanzado, ya no hay tierra debajo de l.

Cuando esto sucede, cuando un sistema se estabiliza de modo que un objeto movido nicamente por una velocidad inicial, y atrado por una fuerza que apunta hacia el centro de un planeta (o cualquier otro objeto masivo), se dice que ha entrado en rbita.

Ahora bien, esto dicho as no explica el por qu de la supuesta ingravidez a la que se ven expuestos los astronautas. Lo importante es entender que un objeto en rbita (por ejemplo satlites, cometas, planetas, la luna, y lo que nos interesa en este caso, la ISS) est, esencialmente, en cada libre. Y que entre sta y la ingra-videz no hay diferencia alguna (ms all de que una es posible y la otra no).

En otras palabras, los astronautas no dejan de tener peso en el espacio, sen-cillamente no existen fuerzas relevantes que los mantengan unidos a la nave, pues ambos se encuentran cayendo con igual aceleracin.

Para visualizar esto, uno puede pensar el siguiente ejemplo: es probable que si se encontrase en un avin que est cayendo, tenga otras preocupaciones en mente que trasciendan al funcionamiento del universo, pero si se tiene una mente vida de respuestas, y una sana curiosidad, es probable que note -si los gritos no lo distraen- como su pelo parece otar, y su cuerpo parece querer dejar el asiento.

Afortunadamente, existen formas ms seguras de disfrutar de la ingravidez sin tener que ir al espacio o descomponer los motores del avin a medio vuelo.

Hay aviones especialmente diseados que realizan maniobras durante las cua-les se puede sentir la falta de gravedad por un breve lapso. (Vase Ingravi-dez simulada, en Q.e.d. N 1, pg 22)

En un captulo de Futurama, a causa de un accidente los protagonistas co-mienzan a rejuvenecer a un tiempo acelerado. El Prof. Fansworth concluye que la nica esperanza es ir a baarse en las aguas de la mtica Fuente de la vejez que se encuentra en el rincn ms viejo del universo. Llegando a destino, ven un planeta con su sistema de anillos inusualmente alto, y uno de los personajes comenta miren el cinturn de asteroides de ese planeta, llegamos. Para los autores, los cinturones de los hombres y de los planetas suben conforme se envejece. Los escritores se tomaron algunas libertades. Por un lado, nombran los anillos como cinturn de asteroides y por el otro muestran como posible que dichos anillos se encuentren elevados.

Por qu no es esto posible? Porque como ya se dijo, los objetos en rbita (de los cuales los anillos son un buen ejemplo) se encuentran en cada, atrados por el efecto gravitatorio que produce el planeta. Sin embargo, la gravitacin acta atrayendo a los objetos entre sus centros de masa, que en el caso del planeta prcticamente coincide con su centro de simetra. Por lo tanto, inde-pendientemente del radio, espesor o masa de los anillos, uno siempre puede asegurar que stos se encontrarn sobre un plano que pasa justo por el centro del planeta (asumiendo que la densidad del mismo sea homognea).

En un capitulo de Padre de familia (Family Guy) luego de una desopilante visita al mdico, Peter Grif n (protagonista de la serie) se entera para su extraeza ... que est go