Ejercicio mental: Oscilador armnico

Escriba una funcin que al sacarle la segunda

derivada el resultado sea

a x2

Escriba una funcin que al sacarle la segunda

derivada el resultado sea

a x2

ax

4

)( 22

Escriba una funcin f(x) que al sacarle la segunda

derivada el resultado sea

xfxa )(22

Para valores pequeos de a

Escriba una funcin f(x) que al sacarle la segunda

derivada el resultado sea

xfxa )(22

exf

exf

ax

ax

2

2

2

1

2

1

)(

)(

Clase pasada: Oscilador armnico

Oscilador armnico [clase anterior]

Una partcula oscila peridicamente alrededor de

una posicin de equilibrio [sometida a un

potencial variable]

kxxm

H 22

22

2

1

2

)()( xExH

0)(][2

)( 22

xkxEm

x

La reorganizamos para visualizarla de otra forma

y as hacer un cambio de variables

0)(2

)( 222

xkx

mE

mx

Oscilador armnico [clase anterior]

La reorganizamos para visualizarla de otra forma

y as hacer un cambio de variables

2

2

mE

mk

0)(2

)( 222

xkx

mE

mx

0)(][)( 22 xxx

Oscilador armnico [clase anterior]

0)()(1 2

xxx

22 xx

0)()(1 2

xx

0)()(1 2

2

2

xx

dx

d

Oscilador armnico [clase anterior]

Calculando la segunda derivada de :

2

2

2

2

22

22

22

dx

d

d

d

xdd

xdxd

x

Primera derivada

Funcin

Segunda derivada

Reescribiendo la

segunda derivada

Oscilador armnico [clase anterior]

Calculando la segunda derivada de :

2

2

2

2

22

22

22

dx

d

d

d

xdd

xdxd

x

Primera derivada

Funcin

Segunda derivada

Reescribiendo la

segunda derivada

0)()(1 2

2

2

xx

dx

d

0)()(

1 22

2

xx

dx

d

Oscilador armnico [clase anterior]

Aproximacin:

0)()(1 2

2

2

2

xx

d

d

0)()(1 2

2

2

2 xx

d

d

Reescribiendo

Oscilador armnico [clase anterior]

)()( 222

2

xxd

d

Ese fue el problema cuya solucin fue el mago!!!

Oscilador armnico [clase anterior]

22

22

)(x

AeAex

Pero eso realmente fue una aproximacin que se

cumple si:

a.- k es pequeo x es grandeb.- la masa del cuerpo es pequea

c.- elongacin mxima (una elonacin mxima

para un valor de k grande es un x pequeo)

[verificar que se puede despreciar como sumando

el trmino en la ecuacin]

Oscilador armnico [clase anterior]

0)()(1 2

2

2

2

xx

d

d

Oscilador armnico [clase anterior]

Introducimos una funcin de correccin

2

2

)()(

eA

Se verific que la funcin de correccin

corresponde a los polinomios de Hermite y por

tanto:

0)()( 22

eAH n

Donde:22

)1()(

e

d

deH

n

nn

n

0)(1)(2)(2

2

d

d

d

d

n2

Oscilador armnico

Entre las tantas ecuaciones de la clase pasada

De aqu se concluye

n21

22

mE

mk2

Oscilador armnico

La expresin alfa/beta se puede escribir en

trminos de la frecuencia angular

E2

Por tanto

122

nE

2

)12(

nE

Oscilador armnico

Se concluye que

hnnE

2

1

2

1

Grado del polinomio

de Hermite

hnEn

2

1 La energa de un oscilador armnico

esta cuantizada

Oscilador armnico

Diagrama de energa

hnnEEE nn

2

1

2

1)1(1

hE

Para n = 0

hhE2

1

2

100

Oscilador armnico

Para n = 1

hhE2

3

2

111

Para n = 2

hhE2

5

2

122

El oscilador armnico posee energa del punto

cero.

Oscilador armnico

Paridad de la funcin:

0)()( 22

eAH n

Donde:

22

)1()(

e

d

deH

n

nn

n

Cuando n es par como es la funcin=??

Cuando n es impar como es la funcin=??

imparxfxf

parxfxf

)()(

)()(

Oscilador armnico

Problema de potencial simtrico

Valor esperado?????

Determinar la constante de

normalizacin?????

Determinar la probabilidad???