Pv Geometria Metrica 3

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    REEDICIN A CARGO DE JOS MANUEL POZO

    Fernando Nagore

    GEOMETRA MTRICAY DESCRIPTIVA PARAARQUITECTOS

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    edicindireccin

    coordinacindiseo grfico

    dibujo

    fotomecnica

    impresin

    depsito legalISBN

    T6 EDICIONES, S.L.JOS MANUEL POZO

    JOS MANUEL POZORUBN A. ALCOLEA; I. GARCAANA LAVILLA

    CONTACTO GRFICO, S.L.Ro Elortz, 2 bajo, 31005, Pamplona - NavarraINDUSTRIAS GRFICAS CASTUERAPolgono Industrial Torres de Elorz, Pamplona - NavarraNA: 2570/2007978-84-89713-99-5

    GEOMETRA MTRICAY DESCRIPTIVA PARAARQUITECTOS

    T6) ediciones 2007Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicacin, incluyendo el diseo de cubierta, puedereproducirse, almacenarse o transmitirse de forma alguna, o por algn medio, sea ste elctrico, qumico,mecnico, ptico, de grabacin o de fotocopia sin la previa autorizacin escrita por parte de la propiedad.

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    GEOMETRA MTRICAY DESCRIPTIVA PARAARQUITECTOS

    PRESENTACINADVERTENCIA PRELIMINAR

    I. GEOMETRA DEL PLANOII. GEOMETRA DEL ESPACIOIII. LA LNEA CURVAIV. GEOMETRA PROYECTIVA

    COLECCIN DE PROBLEMASDEFINICIONESGLOSARIOBIBLIOGRAFA

    IV

    1123253333

    447463481489

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    IPRESENTACIN

    PRESENTACIN.JOS MANUEL POZO

    Esta presentacin se hace necesaria fundamentalmente para dar

    cuenta de las modificaciones introducidas respecto de la edicin ori-ginal, as como para justificarlas. Porque no es ni una simple reedi-cin ni una obra nueva.

    Para eso previamente es preciso explicar algunas cuestiones relati-vas a la gnesis de los tres libros de la Geometra mtrica y pro-yectiva para arquitectos de Fernando Nagore y a cmo se publi-caron, sobre todo atendiendo al hecho de que se trata de una obraagotada, y que por eso mismo muchos de los usuarios de estanueva edicin no conocern aqulla, que condiciona mucho sta.

    Esta edicin surge como una necesidad, debido a que la edicin

    original, elaborada manualmente por Nagore, ya no poda seguirreproducindose con la debida calidad; lo que ha obligado a pre-parar una nueva, en la que era preciso decidir diversos detallesacerca de su contenido y del modo de presentarlo.

    Una de las ideas que han presidido la preparacin de esta nuevaedicin ha sido respetar, en todo lo que fuera posible, el diseo dela obra original, tanto por lo que se refiere a la ordenacin y com-posicin de los captulos, como a la redaccin de los textos y eldesarrollo de las demostraciones y a la terminologa y simbologaempleadas por Fernando Nagore, a quien sigue correspondiendo elmrito de su preparacin, un tanto extraa y audaz para los vientos

    que corren por las Escuelas de Arquitectura espaolas, poco favora-bles para las materias de corte cientfico y rigurosas; esas para lasque, con frase feliz de un gran amigo mo y buen arquitecto y pro-fesor de proyectos, "no sirve ir con las manos en los bolsillos, y con-fiar en tener una ocurrencia interesante, sino que tienes que saber".

    Sirva esta obra como homenaje al ir contra corriente de Nagore, ytambin como agradecimiento a lo que recibimos de l.

    Sentado esto, es importante sealar que la decisin de no cambiarnada o casi nada no responde al convencimiento de que la obrano sea mejorable. Pero pienso que lo que ofrece es suficiente parala finalidad para la que fue concebida. Y por eso apenas hemosaadido nada. Y eso que hay cosas que, en mi opinin, sobran;tanto desde el punto de vista meramente instrumental, como inclusodesde la consideracin de su posible utilidad en el desarrollo de

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    II

    hbitos mentales tiles para la imaginacin espacial y la concep-cin de arquitectura; pero pienso que aun sas deben mantenerse,para respetar el rigor y el deseo de acabamiento de las cuestionestratadas que Nagore quiso para su obra; por eso, aunque podranhaberse suprimido algunos epgrafes sin que desmereciese la efica-

    cia operativa de la publicacin, hemos preferido mantenerlos.Los cambios son, genricamente considerados, de tres tipos:

    De estructuraFormales o de diseo de las pginasDe contenido

    Todos tienen bastante que ver con el modo en que compuso la obraFernando Nagore: personal y artesanalmente.

    Hay que saber que entonces no se dispona de medios informticospersonalizados y como la composicin de la obra y la redaccin

    de los textos la deseaba hacer l, se tuvo que valer de una sencillamquina de escribir. Elaboraba l los dibujos y ajustaba los textos

    y las explicaciones al espacio disponible, lo cual supona un tre-mendo trabajo, en el que no era fcil que nadie pudiera ayudarle,porque para hacerlo, adems de saber dibujar con limpieza y escri-bir a mquina, haca falta tener un cierto gusto compositivo y, sobretodo, haba que saber geometra, como sealaba el amigo al quealudo al comienzo de estas lneas, para decidir qu deba decirseu omitirse en cada caso en funcin del espacio que hubiese que-dado libre en torno a los dibujos.

    Esto explica algunos 'desrdenes' evidentes de la obra. Si en un

    momento dado se le ocurra una nueva cuestin acerca de un puntoya tratado, o haba tenido un olvido, el nico modo de remediarloera volver a empezar desde el punto en que desease introducir elcambio. Para eludir esa molesta repeticin, algunas cuestiones apa-recen tratadas en varios lugares, o aadidas al final del captulo enla seccin de SUGERENCIAS, ACLARACIONES, NOTICIAS.

    Con esta aclaracin como justificacin de fondo para cuanto hemosmodificado, podemos pasar a sealar los cambios estructurales, for-males y de contenido que finalmente hemos introducido a fin dehacer de la obra algo ms til, ms agradable y ms eficaz.

    I. CAMBIOS EN AL ESTRUCTURA DE LA OBRA

    Como se ve, hemos reunido los tres libros en un nico volumen aun-que manteniendo la autonoma de aqullos dentro de l. Si bienhemos dividido el libro III de Nagore en dos distintos, el III (La lneacurva) y el IV (Geometra Proyectiva).

    Adems, hemos aadido un apndice, completando el volumen,con una COLECCIN DE PROBLEMAS de Geometra Mtrica, cuya reso-lucin pensamos que puede ser de gran utilidad para la asimilacinreal, y no slo memorstica, de los conceptos recogidos en los librosanteriores. Los problemas que conforman ese apndice son unaseleccin de los que Nagore propona en sus clases a sus alumnos,

    y las explicaciones que los acompaan son igualmente suyas.

    JOS MANUEL POZO

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    IIIPRESENTACIN

    No es improbable que l tambin, de haber podido, hubiese publi-cado unidos al menos los dos primeros libros, que se refieren a laGeometra Mtrica, pero como la elaboracin de sus libros fue per-sonal y artesanal, los tres libros vieron la luz con ms de un ao dedistancia entre s. De hecho, la primera edicin del primer volumen

    fue completamente experimental y estaba encuadernada con ungusanillo de plstico.

    Esa sucesin en el tiempo dificultaba mucho, por otra parte, la pre-paracin de un NDICE DE TRMINOS geomtricos, que ahora hemospreparado, que remite a las pginas de la obra en que las cuestio-nes son tratadas con mayor amplitud o especificidad.

    II. CAMBIOS FORMALES

    Como se ha sealado, la elaboracin del libro por Nagore fue pro-

    gresiva; posiblemente por esa razn l recomenzaba la numeracinde los teoremas en cada captulo, a fin de evitar que la introduccinde alguno nuevo, en un momento dado, en algunos de ellos, le obli-gase a renumerar todos, lo que equivaldra a repetir buena parte deltrabajo.

    Nosotros hemos decidido numerar los teoremas correlativamentedentro de cada libro, desde el Teorema 1.1 del libro I al teorema18.6 del libro IV, porque nos parece que as evitamos confusionesinnecesarias, y son ms fciles y claras las referencias internas dela obra.

    Igual criterio hemos adoptado con relacin a las ilustraciones, que

    hemos numerado correlativamente dentro de cada libro.De todos modos el cambio ms evidente desde el punto de vista for-mal se refiere a los dibujos, y a la distribucin de estos con relacinal texto. De entrada esos dibujos ya no son los elaborados a manopor Nagore sino que se han rehecho por medios informticos. Hanperdido gracia, pero pensamos que han ganado en claridad.

    Y los textos no envuelven ya a los dibujos, sino que definen un cuer-po propio y continuo, en el que pueden destacarse claramente losdistintos Teoremas, Notas, Corolarios,

    Tambin hemos sustituido el subrayado de la obra original por tex-tos en negrita, y hemos resaltado en color los enunciados de losTeoremas, para introducir un detalle alegre, que rompa la mono-tona de las columnas de texto, y hacer ms grata y cmoda sulectura.

    III. CAMBIOS EN LOS CONTENIDOS

    stas son indudablemente las alteraciones ms delicadas.

    Como se ha sealado anteriormente, se ha procurado mantenercasi ntegra la redaccin y organizacin interna original.

    Sin embargo, parece suficientemente justificado introducir algunasmodificaciones, que la experiencia de uso de esos libros a lo largo

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    IV

    de estos aos recomiendan hacer, o bien que se estiman conve-nientes, porque con ellas se completa alguna carencia advertida, oporque se resuelve algn desorden evidente en la disposicin y con-catenacin de los desarrollos tericos, cuya inadecuada ubicacin,por otra parte, es bastante probable que proceda tambin del modo

    en que fue confeccionada la obra, como se ha apuntado anterior-mente.

    Lgicamente hemos corregido las erratas que hemos descubierto,cosa que no sera necesario ni comentar. Y confiamos en no haberintroducido otras nuevas.

    Por ltimo, hemos completado la BIBLIOGRAFA, aadiendo obras msrecientes, de ms fcil consulta, pero manteniendo las que Nagoredispuso, porque son, en algunos casos, de mayor profundidad yextensin, aunque sean ms difciles de localizar.

    JOS MANUEL POZO

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    VADVERTENCIA PRELIMINAR

    ADVERTENCIA PRELIMINAR, PARA NADA BANAL.JOS MANUEL POZO

    Aunque, como sealo en la PRESENTACIN, al preparar esta edicin

    hemos procurado respetar mximamente el concepto y composicinde la obra original dactiloscrita, como homenaje y reconocimientoa Fernando Nagore, al que tuve la dicha de conocer, y a cuyomagisterio, amistad y seoro debo mi actual conocimiento de laciencia a la que l, tal vez el ltimo romntico de la geometra, con-sagr los ltimos aos de su vida, sin embargo me ha parecidonecesario aadir esta ADVERTENCIA preliminar introductoria, con laque no pretendo corregir una carencia ni completar su contenido,sino, simplemente, poner en su lugar debido una cuestin funda-mental, que l coloc dentro de la obra, posiblemente porque cuan-do tom conciencia de la necesidad de esta advertencia, la obra

    ya estaba adelantada, y su confeccin manual no facilitaba la ubi-

    cacin de las nuevas ocurrencias en el lugar adecuado.Esa advertencia, que juzgo necesaria, consiste sencillamente enponer sobre aviso al lector de que se apresta a emplear una obraconcebida en el universo geomtrico euclidiano.

    Esto es, que la aceptacin del clebre Postulado V del Tratado deGeometra de Euclides es una premisa previa a los desarrollos quecontienen estas pginas.

    Por la razn que sea, esta afirmacin, fundamental, en puro rigorcientfico, no se hace en la obra de Nagore hasta la pgina 27 (enla edicin primera), siendo as que todas las afirmaciones que sevierten en las pginas anteriores requieren de su aceptacin para suvalidez.

    Podr pensar alguno que es una advertencia innecesaria, por loobvio, pero no compartir su opinin, ya que la geometra eucli-diana, en la que vamos a movernos, es tan verosmil como su con-traria; eso s, es ms cmoda para nosotros, porque los modelos aque da lugar coinciden mejor, apreciable e intuitivamente, con loque creemos observar a diario, en el entorno que nos rodea, quelos modelos, ms complejos, propios de las geometras no eucli-dianas.

    Pero en rigor, no se puede decir que el espacio 'real' coincida conel de la geometra eucldea, sino simplemente que esta concepcingeomtrica ofrece representaciones ms fcilmente imaginables.

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    VI

    Lo cual, en una obra cientfica destinada a su uso universitario nosobliga a hacer la advertencia que estamos haciendo.

    As, por ejemplo, en la geometra de Riemann se afirma que por unpunto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela aella, lo que contradice el Postulado V del Tratado de Geometra de

    Euclides y, sin embargo, como seala Artigas, el xito de la teorade la relatividad ha llevado a algunos a plantearse si el espacio'real' no responder en realidad a la geometra de Riemann, y dehecho se han propuesto interpretaciones en esa direccin. Lo quesirve, segn Artigas, para advertir de que al hablar de realismo refe-rido a un modelo geomtrico debe hacerse de modo bastante rela-tivo y limitado.

    Con todo, es ms til seguir hacindolo, en el sentido antes apun-tado. Esto es, que resulta prctico aceptar que la geometra eucl-dea responde a la realidad, ya que parece ajustarse imaginativa-mente a las observaciones que proceden de la experiencia per-

    ceptiva ordinaria, y es la que ofrece modelos de ms fcil com-prensin1.

    UNA SEGUNDA ADVERTENCIA, STA ACERCA DE LA CON-VENIENCIA DE SEGUIR ESTUDIANDO HOY LA GEOMETRAMTRICA Y LA PROYECTIVA. CON VARIOS CONSEJOS, DE MIES VANDER ROHE UNO, DE LE CORBUSIER OTRO, DE BERLAGE EL TERCERO

    No puedo desaprovechar la oportunidad que me ofrece la presen-tacin de esta obra para justificar no slo la validez de su conteni-

    do sino la vigencia de su estudio en una Escuela de Arquitectura acomienzos del siglo XXI.

    Para lo que me voy a servir de la palabra de dos de los maestrosque han alimentado con sus ideas y sus obras el movimiento moder-no: Le Corbusier y Mies van der Rohe.

    Si aceptamos que la arquitectura es "el juego sabio, correcto y mag-nfico de los volmenes reunidos bajo la luz2" , ser forzoso que nos-otros, lectores y usuarios de esta obra, actuales o futuros arquitectos,que anhelamos imaginar nuevas bellezas arquitectnicas, conozca-mos y estudiemos las propiedades geomtricas de esos volmenescon los que la hemos de componer, as como las que afectan a lossistemas mediante los podremos representar."La sensacin, frente a la arquitectura, dir tambin Le Corbusier, laobtendris mediante la medicin de las distancias, de las dimensio-nes, de las alturas, de los volmenes: matemtica poseedora de unaclave que dar (o no) la unidad, segn que tenga xito o fracase.Lo creeris? Esta clave de la arquitectura, la proporcin, se ha per-dido, olvidado. Ya no pensamos en la que en cierta poca fue todo

    y conduca hasta el mismo misterio; ni nos ocupamos de ella, lahemos abandonado"3.

    En lo cual, esto es, en la estima y valoracin de la proporciones

    como generadoras del equilibrio arquitectnico y la unidad, coinci-da incluso con Berlage, que tantas disputas mantuvo con l en otroscampos, pero para quien tambin la proporcin constitua la sal-

    JOS MANUEL POZO

    1. Para una consideracin ms extensa del tema Vid.ARTIGAS, Mariano y SANGUINETI, Juan Jos, "Lugar,Espacio, Geometra"; recogido en Filosofa de la natu-raleza; Ed. Eunsa, Pamplona, 1989, pp. 165-187.

    2. LE CORBUSIER, Hacia una arquitectura; Ed.Poseidn. Buenos Aires, 1978, p. 27.

    3. LE CORBUSIER, Mensaje a los estudiantes de arqui-tectura, La arquitectura, n. 9. Ed. Infinito, Buenos Aires1961, p. 38.

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    VIIADVERTENCIA PRELIMINAR

    vaguardia contra la simple moda pasajera, una garanta de valorpermanente4.

    Por eso aunque debamos reconocer que la Geometra atraviesaactualmente una cierta crisis de identidad, como todo lo riguroso yno sujeto a la volubilidad de lo opinable, no podemos renunciar a

    seguir defendiendo la necesidad de su estudio y a mantener su esen-cia cientfica y a conocer sus fundamentos.

    El proceso mediante el que se logra la transmisin de la ciencia geo-mtrica, inevitablemente arduo y largo y este es posiblemente eltriste origen de la crisis de identidad apuntada, lejos de entender-se como algo surgido de cientifismos obsoletos o de prcticas enca-minadas a lograr la ejercitacin en el dominio de determinadashabilidades grficas, superadas aparentemente por los logros de lainformtica, debe plantearse como un cauce privilegiado (al tiempoque difcilmente sustituible) para adquirir simultneamente hbitosmentales de ideacin espacial y destrezas geomtricas, necesarios

    para potenciar la capacidad creativa.Que es casi lo mismo que afirmaba Mies cuando defenda que "losestudiantes, en paralelo a su formacin cientfica, han de aprenderprimero a dibujar para dominar los medios tcnicos de expresin yeducar el ojo y la mano"5. Dicotoma ciencia, tcnica/arte, sensi-bilidad en la que radica buena parte de la dificultad evidente quecaracteriza al aprendizaje de la arquitectura.

    Mies completaba su consejo apuntando algunas ideas acerca decmo propiciar esa educacin visual y tcnica, cuando recordabasus comienzos como director del Departamento de Arquitectura del

    IIT de Chicago: Segn mis convicciones cualquier principiante, conuna formacin y orientacin adecuadas, poda convertirse en elplazo de un ao en un buen dibujante. () Algo ms tarde realicel descubrimiento sorprendente de que los alumnos parecan com-prender aquello que les explicaba sobre las proporciones y, sinembargo, en sus ejercicios no desarrollaban el ms mnimo sentidopara ellas. Se me hizo claro que sus ojos sencillamente no podanpercibir las proporciones6.

    Porque es preciso convencerse de que adquirir ese sentido de laproporcin y la medida no es cosa fcil, y requiere insistir en el estu-dio de las que se dan, lo queramos o no, en los cuerpos y figuras

    con las que habremos de trabajar al crear y delimitar nuevos espa-cios, de modo que de ellas surja la armona y alcancemos la fuer-za de la unidad, y ms aun, ya que, como afirmaba Schulze, paraBerlage "la proporcin en la geometra era un medio formal paralograr el orden en la arquitectura y conducirla a la cualidad msdeseable en el arte de construir: el reposo"7; de modo que para l"la proporcin constitua la salvaguardia contra la simple modapasajera, una garanta de valor permanente"8.

    Que es una idea que nos remite, en ltima instancia, a plantear lanecesidad de no contentarse ni siquiera con hacer consideracionessuperficiales acerca de las medidas y las figuras geomtricas, sino

    que es preciso remontarse a las races, y al estudio riguroso de lageometra arrancando de los principios elementales de la geometraclsica, como puedan serlo, a modo de ejemplo, el V Postulado de

    4. Vid. BERLAGE, Hendrich Petrus, Thoughts on Style1886-1909, Getty Center Publications Programs. SantaMnica, 1996, pp.185-257: The foundations andDevelopement of Architecture, (Zurich, 1908). p. 241.

    5. VAN DER ROHE, Mies, "Directrices para la ense-anza de la arquitectura"; en: Mies van der Rohe, DieKunst der Struktur (Mies van der Rohe, el arte de laestructura), Zurich/Stuttgart, 1965; recogido en NEU-

    MEYER, Fritz, Mies van der Rohe. La palabra sin artifi-cio. Reflexiones sobre arquitectura; 1922-1968. ElCroquis editorial. Madrid, 1995, p. 507.

    6. Cfr. VAN DER ROHE, Mies, "Seminario Peterhanspara entrenamiento visual"; en: Mies van der Rohe.Lehre und Schule (Mies van der Rohe, enseanza yescuela), Basilea/Stuttgart, 1977; recogido en NEU-MEYER, Fritz, Mies van der Rohe. La palabra sin artifi-cio. Reflexiones sobre arquitectura; 1922-1968. ElCroquis editorial. Madrid, 1995, p. 505.

    7. SCHULZE, Frank, Mies van der Rohe; Una biografacrtica; Hermann Blume editor. Madrid, 1986, p. 69.

    8. Vid. BERLAGE, Hendrich Petrus, Thoughts on Style1886-1909, Getty Center Publications Programs. SantaMnica, 1996, pp.185-257: The foundations andDevelopement of Architecture, Zurich, 1908, p. 241.

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    la Geometra de Euclides al que nos hemos referido en la nota pre-liminar, o el fundamental Teorema de Thales, que cito expresamenteporque su estudio no es en absoluto extrao a ese objetivo de lograrel control, intelectual y grfico, de los volmenes bajo la luz.

    LA GEOMETRA MTRICA

    El aprecio por la precisin y la exactitud, el conocimiento y domi-nio de las proporciones, de las cualidades mtricas y la estructurade los volmenes y de las curvas..., as como las cuestiones geo-mtricas que permitirn el estudio del soleamiento, de las propie-dades mtricas de la reflexin, y de la transmisin de la luz y delsonido, y otras muchas, son conocimientos convenientes para unarquitecto.

    Sin duda en esa tarea resulta difcilmente sustituible el papel de la

    Geometra Descriptiva, "que ancla la representacin de escenariosa reglas lineales y proporcionales estrictas que, como fuertes con-venciones, han sido entendidas como peculiaridades estructuralesde la percepcin visual"9.

    Si consideramos que el papel es, a fin de cuentas, tan slo unmedio para anotar la idea y transmitirla, es claro que ese procesono se puede llevar a cabo de modo inteligible al margen de las cua-lidades geomtricas de la realidad, sirvindonos de un cdigo designos caprichosos e inventados, desvinculado de las propiedadesformales y dimensivas de la arquitectura que se representa. Esarepresentacin 'recoge', debe 'recoger', de modo eficaz, la reali-

    dad formal de lo representado, porque "la geometra no ha sidoaplicada sino que surge al efectuar el trato con la materia y lasextensiones en quehaceres de ndole arquitectnica"10.

    Slo respetando las reglas de la biunvoca relacin existente entrela geometra de la realidad y la de su dibujo, las formas finales enque se traduce la representacin de un hecho o imaginacin arqui-tectnicos, forzosamente bidimensionales, reflejarn la riqueza tridi-mensional del espacio definido por ellas, que constituye la esenciade la arquitectura.

    Por eso, lo primero que debe lograrse es adquirir un adecuadoconocimiento de las cualidades mtricas de los cuerpos y de las for-mas geomtricas, de sus proporciones, relaciones y medidas.Aunque las cualidades geomtricas dignas de estudio no sean slolas mtricas y dimensivas.

    Ya que ser preciso, adems, internarse en el ms complejo e inte-lectual mundo de la Geometra Proyectiva, que conduce al conoci-miento de las relaciones existentes entre los cuerpos y las superficies,tan sorprendentes como inevitables, que tienden invisibles lazosentre las figuras y los volmenes, acordndolas entre s o, por el con-trario, poniendo en evidencia sus desavenencias formales.

    Pero slo una vez alcanzado el dominio de las proporciones, se

    podr atender a esas relaciones y a la proyectividad. De modo quela lucha por el dominio de la geometra del plano deber ser lapalestra intelectual de la mente que aspire a dominar el espacio plu-

    JOS MANUEL POZO

    9. SEGU DE LA RIVA, Javier, "El reflejo de la movilidaden la arquitectura", Revista EGA n. 9, p. 27.

    10. SEGU DE LA RIVA, J., "La arquitectura y el dibujocomo envolturas. Para un reajuste en el entendimientodel dibujar y el proyectar"; en Dibujar lo que no vemos,Ed. Universidad de Granada, Granada, 2004, pp.1101-1104.

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    IXADVERTENCIA PRELIMINAR

    ridimensional y a distribuirlo, buscando la mxima riqueza, a partirdel mnimo nmero de elementos.

    La libertad compositiva de la arquitectura moderna y las ilimitadasposibilidades tcnicas que aparentemente posee, permiten hoy porhoy proyectar casi cualquier cosa, pues con los nuevos materiales

    se puede hacer realidad prcticamente todo. Lo cual, paradjica-mente, exige mayor rigor y sentido en la determinacin de lo quese debe hacer, atendiendo aquella sentencia que Paul Valery ponaen boca de Scrates11 cuando afirmaba que "la mayor libertadnace del mayor rigor". El hecho de que ahora se pueda emplearun nmero mucho mayor de trminos o 'vocablos' arquitectnicos,obliga a tener un conocimiento mayor de la sintaxis y la gramticade ese lenguaje plstico, si se quiere 'escribir' correctamente y conelegancia.

    En ese proceso a la Geometra Descriptiva le compete ser precisa-mente el cauce para dominar y sistematizar los lenguajes arquitect-

    nicos al servicio del proyecto, pues "la codificacin lingstica sea-la el advenimiento de la madurez de la historia de la arquitectura"12.

    Ya que tanto si lo que se busca es contribuir al proceso de capaci-tacin para el proyecto, preparando las mentes de los futuros arqui-tectos para diferenciar "lo que es posible, de lo que es necesario yde lo que tiene sentido" que, segn Mies, es lo que deber distin-guir la orientacin correcta de cualquier enseanza de la arquitec-tura13, como si lo que se quiere es simplemente proporcionar habi-lidades grficas tiles para la praxis proyectual, le correspondemximamente a la Geometra Descriptiva el desarrollo de las dis-posiciones intelectuales que requiere la ideacin espacial.

    LA GEOMETRA PROYECTIVA

    Por eso estimo que para poder dar una respuesta arquitectnica atono con nuestro tiempo, pensando, claro est, en una arquitecturade verdad, esto es, comprometida y propositiva, en una arquitectu-ra con recorrido, se necesita desarrollar una notable capacidad deabstraccin, y tener un considerable dominio de la medida, la pro-porcin y la relacin proyectiva de las masas y los planos. "La arqui-tectura, dir Le Corbusier, es espacio, ancho, profundidad y altura,volumen y circulacin. La arquitectura es una concepcin de lamente"14.Para el diseo de una arquitectura que se define a partir de las rela-ciones que se establecen entre unos elementos y otros, con inter-vencin ineludible de las razones de medida y posicin, se requie-re una mente habituada a plantear y aprovechar esas dependencias

    y relaciones.

    De ah que, a mi modo de ver, la docencia de la geometra enca-minada al diseo de arquitectura, deba tener necesariamente hoyen da, mucho ms que antes, una matriz proyectiva; que deberapoyarse en la posesin previa de los conocimientos mtricos y en

    un adecuado sentido de la proporcin, que contribuya a familiari-zar al futuro arquitecto con el descubrimiento y formulacin de laimportancia de las relaciones que se dan entre los cuerpos y figu-

    11. VALERY, Paul, Eupalinos o el Arquitecto; Galera-Librera Yerba, Murcia, 1982, p. 81.

    12. ZEVI, Bruno, El lenguaje moderno de la arquitec-tura; Ed. Poseidon, Barcelona, 1978, p. 81.

    13. VAN DER ROHE, M., op. cit.

    14. Cfr. LE CORBUSIER, "Si tuviese que ensearlesarquitectura", Architectural Design, n. 29, II-1959;recogido en Mensaje a los estudiantes de arquitectura,Ed. Infinito, Buenos Aires 1961, pp. 61-69.

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    ras, y en las transformaciones y movimientos que se producen en elplano, de modo que encadenados y adecuadamente proporciona-dos entre s, alcancen un equilibro armnico.

    Sobre la formacin proyectiva de mbito bidimensional, se podrfundamentar la educacin de la cabeza en el control y la definicin

    del espacio tridimensional, intelectualmente concebido, sirvindosedel recurso a los sistemas didrico y cnico de representacin,como medios para desarrollar mximamente la visin espacial,explotando las cualidades de ambigedad, superposicin y trans-parencia que caracterizan al empleo de esos lenguajes grficos.

    Por eso se impone la defensa (o recuperacin) no slo de laGeometra Descriptiva, como apuntaba, sino de las disciplinassobre las que se apoya: la Geometra Mtrica y la Proyectiva, cuyadocencia se ha visto ltimamente relegada en las Escuelas, cuandono, en ocasiones, acosada y combatida, con atrevida osada (noexenta de ignorancia), ya que la concepcin del espacio moderno

    como esencia de la arquitectura tiene matriz proyectiva15.Tal vez ese ataque pueda proceder del enfoque 'desenfocado' queha tenido en ocasiones, propiciado por el hecho de que por dece-nios haya sido cultivada sobre todo por matemticos. Que ha sidola causas, adems, de que la materia se haya ido situando demodo progresivo, en la mayora de las Escuelas, al margen delhecho proyectual, como una ms de las materias que componen laparte 'tcnica' (o a lo sumo grfica) de la carrera, perdiendo devista que es precisamente a la Geometra Descriptiva a la que lecompete potenciar al mximo en el futuro arquitecto la capacidadde 'ver' en el espacio y de dominar los 'lenguajes' propios de la

    tarea proyectual-creativa, ensendole a usar y a leer un 'pentagra-ma'. De tal modo que, como postulaba Mies, gracias a eso des-aparezcan de los trabajos la complejidad y el desorden, que serenuncie a las lneas que carezcan de significado y se llegue a estaren condiciones de captar el verdadero sentido de las proporciones."Nosotros los arquitectos, dir Aburto, que manejamos casi exclusi-vamente formas geomtricas, tenemos la obligacin de percibir ycomprender la expresin de las mismas. Es un lenguaje tan elo-cuente como lo es el pentagrama para los msicos. Con la nicadiferencia de que si en stos hay un acuerdo reglamentado y pre-vio, en nosotros hay acuerdo cuando existe sensibilidad"16.

    En realidad la concepcin moderna de la arquitectura, abstracta yvolumtricamente elemental, lejos de rechazar el estudio de la geo-metra, lo precisa aun ms y exige ms de la materia, aunque seaindudablemente de un modo nuevo.

    "Todo est en la planta y en la seccin", afirmaba Le Corbusier pre-cisamente en su Mensaje a los estudiantes de arquitectura17. Pero sinla coherencia de la geometra y su rigor, esa visin de la totalidada partir de esos documentos se hace inalcanzable, y aunque exis-tan planta y seccin, si no se poseen los hbitos intelectuales nece-sarios para generar en la mente el espacio al que se refierenambos, no ser posible disfrutarlo. Aunque tal vez sea posible cons-truirlo, como lo fue para los griegos y para los constructores medie-vales, que aun no haban descubierto ese espacio perspectivo o nosaban representarlo, o ambas cosas a un tiempo.

    JOS MANUEL POZO

    15. A ella pertenece el concepto de espacio tridimen-sional regular y continuo caracterstico de la moderni-dad. Renunciar al estudio y conocimiento de la geo-metra proyectiva supondra renunciar a la visin inte-lectualizada y relacional del espacio y los cuerpos,pues, como seala Piaget, la nocin de espacio pro-

    yectivo lleva consigo una coordinacin de los puntosde vista y un mecanismo operatorio mucho ms com-plejo que las percepciones que corresponden a cadauno de estos puntos de vista considerados aislada-mente (Cfr. PIAGET, Jean, Psicologa y Epistemologa,Ed. Planeta Agostini., Barcelona, 1985, p. 99).Adems, esa renuncia supondra interrumpir la cadena

    evolutiva y de progreso de la ciencia geomtrica, yaque, como seala opor tunamente Ampliato (AMPLIATOBRIONES, Antonio Luis, "Reflejos del pensamiento. Unapunte evolutivo sobre dibujo y arquitectura". En loslmites del reflejo arquitectnico; Actas del VII CongresoInternacional de Expresin Grfica Arquitectnica, SanSebastin, 1998, pp. 267-276), podramos decir quela geometra mtrica (Euclides) se asume en la proyec-tiva (Desargues), y que sta a su vez representa uncaso particular de la geometra topolgica, alcanzn-dose en esta evolucin un grado de verosimilitud cre-ciente, que se puede considerar paralela a la crecien-te verosimilitud que ofrecen los modelos fsicos deAristteles, Newton y Einstein. De modo, contina l,

    que podramos decir que la geometra topolgica es lahiptesis ms real, ms vvida de nuestro medioambiente contemporneo. () Y la forma espacialarquitectnica, y sus manifestaciones instrumentalescontemporneas no son una excepcin". No parecesensato de estos presupuestos renunciar al marco lgi-co-matemtico que proporciona la geometra proyecti-va gracias a la cual podemos acceder a la fruicintopolgica de la geometra dimensiva.

    Abundando en el tema aun podramos aadir lo quecon frase quizs un tanto extrema llegaba a afirmarCayley (1821-1895) cuando deca que: Geometryprojective is all Geometry -La Geometra proyectiva estoda la Geometra- (Cfr. VERA, Francisco, BreveHistoria de la Geometra; Ed. Losada, S. A., BuenosAires, 1948, p. 133). Que indudablemente es unaconsideracin no vlida al hablar de la Geometrapara arquitectos, pero que advierte del peligro quepuede esconder el desprecio por el contenido cientfi-co de la ciencia geomtrica.

    Sobre este punto ofrezco algunas reflexiones en: POZOMUNICIO, Jos Manuel, "La enseanza de la geome-tra y el espacio de la modernidad", Revista EGA, n.10, 2005, Valencia, junio 2006, pp. 126-132.

    16. ABURTO, Rafael, "Razones de la Alhambra", RNAn. 135, marzo 1953, p. 42.

    17. LE CORBUSIER, "Si tuviese que ensearles arqui-tectura", Architectural Design, n. 29, II-1959; recogidoen Mensaje a los estudiantes de arquitectura, op. cit.,pp. 61-69.

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    XIADVERTENCIA PRELIMINAR

    Ms aun, los griegos carecan de una palabra para designar el'espacio'; ellos hablaban de localizacin, distancia, extensin yvolumen18, pero no existan en su vocabulario palabras para defi-nir esa 'materia inmaterial' que surge de la transparencia y la inter-penetracin volumtrica que, junto con la consideracin del tiempo

    como una coordenada vital ms de las experiencias perceptivas,caracterizan la modernidad arquitectnica; esas notas reclamanuna concepcin dinmica para la arquitectura, en la que el infini-to tiene sitio en el papel, ya sea mediante el uso de la perspectivacentral, en la que ese infinito est finitamente representado, yamediante el recurso a la isometra, en la que escapa del papel ynosotros con l; pero siempre, forzosamente, en uno u otro caso,movernos en el universo del espacio proyectivo supone un pasoadelante, un avance respecto a la concepcin clsica del mundo(en paralelo con el que supuso la fsica newtoniana respecto de laaristotlica seala Ampliato con cierta audacia19), para la que larepresentacin y aun la concepcin de ese espacio abierto al infi-

    nito concebido como el marco en el que se desenvuelve el hombrey la arquitectura que le acoge, resultaban inalcanzables, comohemos apuntado.

    Lo cierto, finalmente, es que la concepcin de la arquitectura moder-na va ligada propiamente a un entendimiento del espacio de matrizproyectiva, dentro del cual los cuerpos se ubican y la arquitecturase desarrolla.

    Y eso forzosamente ha de tener un reflejo grfico en el propio pro-ceso creativo, si, como sealaba Sierra, de modo un tanto alambi-cado, tomando la arquitectura como un factor de relacionamiento

    entre las dimensiones pequeas (el punto) y las grandes (la superfi-cie), y cualquier proyecto como el acto transformador del entorno dedoble cara (hacia dentro y hacia fuera), el lugar se convierte en lamisma arquitectura como conformador de la continuidad espacial"20.

    Se trata, a fin de cuentas, de una concepcin del espacio en la quelos muros no son otra cosa que una separacin entre espacios, exte-rior e interior; un filtro que permite comprenderlos al diferenciarlos;una idea, que Navarro Baldeweg ve materializada tanto en lasobras de Mies como en las de Wright y los neoplasticistas, y queVan del Laan21 explica con una comparacin muy expresiva, segnla cual los muros que separan los espacios exterior e interior reali-

    zan entre ambos la misma funcin que cumple una sandalia en elcaminar humano; como esta sirve para proteger y acomodar la fra-gilidad de la planta del pie a la dureza del suelo, los muros de lacasa se afirman como el elemento conciliador entre el hbitat y lanaturaleza, que permite al hombre subsistir en su seno22.

    Estamos en un momento en el que la arquitectura ya no pone elacento en el espacio entendido como simple vaco residual entrerealidades plsticas, ni siquiera en el espacio entendido como 'loque queda contenido', sino que ahora se concibe como algo "limi-tado por superficies planas conjugadas", segn la expresin, deecos casi 'proyectivos', con la que arrancaba el Manifiesto de la

    Alhambra23

    .La arquitectura se concibe ahora como el elemento de separacinentre dos espacios o mejor aun, como el instrumento necesario para

    18. Cfr. SPENGLER, Oswald, La decadencia deOccidente, Ed. Espasa, Madrid, 1958, pp. 175 y ss.;cit. en ARNHEIM, Rudolph, Arte y Percepcin visual.Psicologa de la visin creadora, Ed. Universitaria deBuenos Aires, Buenos Aires, 1962, p. 242.

    19. AMPLIATO BRIONES, A., "Estadios volumtricos.Una aproximacin evolutiva a la ciencia del espa-cio", En La formacin cultural arquitectnica en laenseanza del dibujo; Actas del V Congreso de

    Expresin Grfica Arquitectnica, Las Palmas, 1994,pp. 287-297.

    20. SIERRA DELGADO, J. R., Manual de dibujo dearquitectura, etc, op. cit., p. 48.

    21. Hans VAN DER LAAN (1904-1991).

    22. VAN DER LAAN, H., L'espace Architectonique,cap. 1, Nature et Architecture; op. cit., pp. 1-2.

    23. "La arquitectura moderna da ms nfasis al volu-men y al espacio limitado por superficies planas con-jugadas que a la masa y al espacio sentido como unvaco contenido entre realidades plsticas, que es loque se acusa en el pasado clsico". Cfr. Manifiesto de

    la Alhambra, ("Formas", I), p. 29. Direccin General deArquitectura, Madrid, 1953; Tomado de la EdicinFacsmil realizada por el COA de Aragn; Zaragoza2004.

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    XII

    la segregacin de un espacio para una funcin. Como dir Van derLaan24, "la verdadera morada para el hombre no surge ya de laexcavacin del macizo terrestre, sino de la puesta apartede espa-cios limitados, arrebatados al vasto espacio de la naturaleza con lasformas masivas de los muros". Pero, apunta l, "introducir en un

    espacio una separacin levantando en l un solo muro deja intactala extensin ilimitada del espacio original. () Para llegar final-mente a aislar un espacio dentro del gran espacio natural, serindispensable levantar un segundo muro, situado de tal modo quesu relacin con el primero suscite entre ellos un nuevo espacio". Estoes, dos muros 'conjugados' remitindonos a la expresin delManifiesto, o dos muros proyectivamente relacionados pensando entrminos geomtricos, 'crean espacio'.

    Es a esa percepcin previa intelectual de ese espacio, que podra-mos llamar relacional, a la que debe disponer el aprendizaje de lageometra. Tarea en la que desempear un papel importante el cl-

    culo y dibujo de las sombras, entendidas como mecanismo grficoproyectivo de dibujo, mediante el que se produce un real acerca-miento al espacio continuo y homogneo, que, en la obra de Mies,Navarro relaciona con el recurso al laberinto, en el cual a lo largode todos sus itinerarios tiene que entablarse un juego entre espe-ranza y frustracin: una dialctica entre la visibilidad y la opacidad;una dialctica del otorgar y negar, como corresponde a la pugnaentre el objeto y el sujeto25.

    Una concepcin proyectiva del espacio exige el dominio de esascualidades geomtricas, stas su previa fundamentacin, y ambos,como instrumento elemental, su mtrica.

    Que para nosotros ser la que surge en el universo euclidiano.Por eso me parece justificado tener por un notable beneficio haber-me formado al lado de Nagore a partir de 1981, y haber podidoenfocar estas cuestiones desde su punto de vista. Porque ahora, aundistancindome necesariamente de muchos de sus planteamientospropeduticos, esa formacin me permite valorar esas cuestionescon mayor objetividad y con conocimiento de causa, y me defien-de del peligro de rechazar determinados contenidos docentesdejndome llevar tan slo por prejuicios, que en ocasiones nacensencillamente del recelo que despierta en una Escuela deArquitectura todo lo que es abiertamente cientfico, cuando no de laignorancia de lo que con ellos se puede lograr26.Gracias al magisterio de Nagore tengo gran respeto hacia cuestio-nes que de otro modo hubiesen aparecido tambin a mis ojos noslo arduas y abstrusas sino, por ende, tal vez por eso mismo, inti-les. A l debo agradecer en cambio que me encuentre en condi-ciones de juzgar sin prevenciones cules de ellas pueden o no sertiles, y para qu, con miras a alcanzar los objetivos que entiendoque debe perseguir hoy por hoy la docencia de la GeometraDescriptiva en una Escuela de Arquitectura.

    JOS MANUEL POZO

    24. VAN DER LAAN, H., L'espace Architectonique,cap. 1, Nature et Architecture; op. cit., pp. 10-13.

    25. Vid. NAVARRO BALDEWEG, Juan, "El lmite de losprincipios en la arquitectura de Mies Van der Rohe",Conferencia en el COAC, Barcelona, el 7 de febrerode 1983; tomado aqu de la versin recogida en Lahabitacin vacante; Ed. Pre-textos, Girona, 1999, pp.73-92.

    26. Choca desde este punto de vista ver cmo en otrospases, con menor tradicin de formacin tcnica den-tro del mbito de la arquitectura, se siguen editandolibros cuyo contenido y finalidad se rechazan o igno-ran en las escuelas espaolas, como a modo de ejem-plo pueden ser el citado de JUNGMANN, Jean-Paul,Ombres et Lumires (1995), as como el Cours deDessin d'Architecture partir de la Gomtrie descrip-tivepublicado por Editions de La Villete en la coleccin"Savoir-Faire de L'Architecture", y en Alemania,SCHAARWCHTER, Georg, Perspektive frArchitecten, Verlag Gerd Hatje, Stuttgart, 1993.

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    libro IGEOMETRA DEL PLANO

    INTRODUCCIN

    VOCABULARIO

    7 CAPTULO 1. LA LNEA RECTA Y NGULOSDefiniciones

    A Perpendiculares y oblicuasB Paralelas

    Sugerencias, aclaraciones, noticias

    17 CAPTULO 2. POLGONOSDefiniciones

    A TringulosB Polgonos en general

    Sugerencias, aclaraciones, noticias

    33 CAPTULO 3. CRCULO Y CIRCUNFERENCIADefiniciones

    A Lneas rectas en el crculoB Interseccin y contacto de dos circunferencias

    C Medida de los ngulosD Problemas grficosSugerencias, aclaraciones, noticias

    55 CAPTULO 4. POLGONOS SEMEJANTESA Lneas proporcionalesB Polgonos semejantesC Teoremas consecuencia de la semejanza

    de los tringulosD Problemas grficos

    Sugerencias, aclaraciones, noticias87 CAPTULO 5. POLGONOS REGULARESA Polgonos regularesB Problemas grficos

    Sugerencias, aclaraciones, noticias

    105 CAPTULO 6. REASA reasB Comparacin de reasC Problemas grficos

    Sugerencias, aclaraciones, noticias

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    3INTRODUCCIN: GEOMETRA MTRICA DEL PLANO

    I. GEOMETRA DEL PLANO: INTRODUCCIN

    La carencia de conocimientos bsicos sobre las formas geomtricasque se aprecia en los alumnos que inician los estudios deArquitectura, ha hecho necesaria la introduccin en la asignatura deGeometra Descriptiva, de unas primeras lecciones relativas a laGeometra Mtrica del Plano y del Espacio.

    Las razones acadmicas de esta inclusin son claras, puesto que laGeometra Descriptiva tiene por objeto la resolucin de los proble-mas de la Geometra del Espacio por medio de operaciones efec-tuadas en un plano, y representar en ste las figuras de los slidos,difcilmente podra entenderse y dominar aqulla si no se conoce

    previamente y con la profundidad necesaria lo que requiere serresuelto y representado, el mundo de las formas espaciales.

    Es lamentable que a los alumnos de bachillerato se les quiera ense-ar mtodos de representacin sin tener conocimiento de las formasgeomtricas, ni de lo que con ellas puede realizarse, deducidasestas realizaciones de un anlisis serio de su generacin y propie-dades.

    Se impone, por lo tanto, como primer paso, el estudio de laGeometra de la medida o Geometra Mtrica, en la que el alumnoentra en contacto con la realidad del espacio fsico en que se

    mueve, para conocerlo de una manera nueva, porque tiene queencontrar las relaciones entre sus magnitudes mediante la observa-cin directa.

    La experiencia acumulada en varios aos de docencia, indica queel descubrimiento por parte del alumno de este nuevo mundo, pro-duce en l, primeramente asombro, luego inters, despus tentacinde abandono por las dificultades que se le presentan y, por ltimo,si capta las maravillas que en l se encierran, una profunda fuentede ejercitaciones deleitosas.

    A travs del estudio de la Geometra Mtrica, el alumno se familia-riza con el mtodo del razonamiento lgico y, casi sin darse cuen-ta, llega a formar su mente en la necesidad ineluctable de la demos-tracin como elemento indispensable de la certeza.

    Esta formacin de la mente le servir al alumno, no slo para la pro-pia Geometra y sus problemas, sino para cualquier otra actividadque quiera desarrollar como persona responsable y consciente. Deah deriva la gran importancia del tema que se expone en las pgi-nas que siguen.

    Lo que en ellas se dice no es nuevo; es la antigua disciplina que nosviene de Egipto y de la antigua Grecia, la que sirvi de divertimento

    y ocio cultural a los filsofos griegos; la Geometra clsica, que ha

    llegado a desaparecer como materia de estudio en los programasde Bachillerato y de las Facultades de Ciencias; pero que para losArquitectos sigue siendo una necesidad.

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    4

    FERNANDO NAGORE

    No quiere esto decir que se excluyan, como posibles lectores estu-diosos, a todos los que no vayan a seguir la carrera de Arquitectura,

    antes al contrario, sera deseable que cundiera en la sociedad laaficin a la Geometra como parte intuitiva de la Matemtica perocon una gran carga de formacin espacial.

    Sin olvidar, en uno y otro caso, las dificultades que revela la cle-bre frase atribuida a Euclides cuando el rey Ptolomeo de Egipto lepeda un mtodo fcil para aprender sus lecciones: "Non est regiaad mathematicam via" (No hay camino de reyes para las matem-ticas). Todos pasan por la rigurosa senda trazada por Euclides hace23 siglos.

    Lo nico que se ha hecho con el abundante material heredado, ha

    sido una seleccin de los temas, una clasificacin de los mismossegn un orden que se estima pedaggicamente necesario, y unaadecuacin de la expresin sintctica a los tiempos actuales y a lamentalidad de los jvenes estudiantes. Todo ello fruto, tambin, deuna larga experiencia docente. En el texto se expone slo lo queel estudiante de Arquitectura necesita conocer, pero todo lo quenecesita.

    Para el cmodo entendimiento de las proposiciones expuestas, lasfiguras siempre necesarias en la Geometra se han colocado juntoal texto, como sistema considerado el mejor dentro de los posibles;es aconsejable ya desde este primer momento, indicar al alumno la

    conveniencia de la repeticin por su cuenta de las figuras cuandoestudie los distintos teoremas; as se le fijarn mejor en la mente; yno es consejo despreciable.

    La estructura adoptada para la obra, divide a la Geometra Mtricaen dos libros: la Geometra Mtrica del Plano y la GeometraMtrica del Espacio. ste que tiene el lector en sus manos es elcorrespondiente a la primera de ellas, y para facilitar las referen-cias, se ha dividido en Captulos y stos en Apartados.

    Al final de cada Captulo se han introducido una serie de notas conel ttulo genrico de SUGERENCIAS, ACLARACIONES Y NOTICIAS, que sonprecisamente eso, lo que las propias palabras quieren decir (vase,si hay duda, el Diccionario de la Lengua, operacin muy conve-niente en este y en mltiples casos).

    Habra tambin que aclarar la simbologa y el vocabulario usados;cosa que est en las pginas que anteceden al Captulo 1y que, aligual que esta introduccin, es necesario leer.

    El mximo fruto de la lectura de este libro se sacar con un manejoconstante del mismo hacia delante y hacia atrs; es un libro de per-manente manoseo.

    Lo nico que resta es expresar el deseo de que el lector disfrute,con el estudio de esta Geometra Mtrica del Plano, tanto como elautor de ella goz al escribirla, que fue mucho.

    Fernando Nagore. Pamplona, septiembre de 1985

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    5VOCABULARIO

    VOCABULARIO

    Algoritmo: (De Al-juarizmi, sobrenombre del clebre matemtico Mohamed Ben Musa). Mtodo y notacin delas distintas formas del clculo.

    Demostracin: Comprobacin de un principio o teora con un hecho cierto. Fin y trmino del procedimientodeductivo.

    Proposicin: Enunciacin de una verdad demostrada o que se trata de demostrar.

    Axioma: Proposicin tan evidente que no necesita demostracin.

    Postulado: Proposicin cuya verdad de carcter experimental y que no puede demostrarse, se acepta sin probarla.

    Hiptesis: Suposicin imaginada, sin pruebas o con pruebas insuficientes, para deducir de ella ciertas conclu-siones que estn de acuerdo con los hechos reales.

    Tesis: Conclusin, proposicin que se mantiene con razonamientos.Lema: Proposicin que requiere ser demostrada antes de establecer un teorema. Puede entenderse como un teo-rema auxiliar destinado a facilitar la demostracin de otro teorema ms general.

    Teorema: Proposicin que afirma una verdad demostrable.

    Dos teoremas son recprocos uno de otro, cuando la hiptesis y la tesis del segundo son respectivamente iguales a la tesis y a la hiptesis del primero.

    Dos teoremas son contrarios uno de otro, cuando la hiptesis y la tesis del segundo son respectivamentecontrarias a la hiptesis y la tesis del primero.

    Corolario: Proposicin que no necesita prueba particular por deducirse fcilmente de lo demostrado antes.

    Escolio: Observacin, nota o comentario relativo a una proposicin.

    Problema: Proposicin en la que se pide la determinacin de uno o varios elementos desconocidos llamadosincgnitas mediante el conocimiento de otros llamados datos, relacionados con los primeros. Es una cuestin aresolver, o una figura que construir o una magnitud geomtrica que evaluar.

    Geometra: Parte de las matemticas que trata de las propiedades y medidas de la extensin.

    Geometra Plana es la parte de la Geometra que considera las figuras cuyos puntos estn todos en unmismo plano.

    Geometra del Espacio es la parte de la Geometra que considera las figuras cuyos puntos no estn todosen un mismo plano.

    Geometra Descriptiva es la que tiene por objeto resolver los problemas de la Geometra del Espacio pormedio de operaciones efectuadas en un plano y representar en l las figuras de los slidos.

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    Definiciones previasA Perpendiculares y oblicuasB Paralelas

    Donde se da noticia del ngulo y sus clases.

    De qu cosa sea la perpendicularidad y la oblicui-dad entre dos rectas, y de las consecuencias quede ello se derivan.

    Sobre el paralelismo y su relacin con la perpendi-cularidad.

    Aparece el gran Euclides.

    De lo que sucede cuando una secante corta a dosrectas paralelas.

    Sobre cmo averiguar si dos ngulos son o no iguales.

    captulo 1LINEA RECTA Y ANGULOS

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    DEFINICIONES PREVIAS

    F1.1

    F1.2

    Se llama ngulo la separacin o abertura de dos rectas que tie-nen un punto comn, llamadovrtice del ngulo.

    Las dos rectas se llaman lados del ngulo.

    Un ngulo se designa con tres letras, o por el vrtice si est solo,o por una letra del alfabeto griego.

    La magnitud de un ngulo no depende de la de sus lados, sinode la separacin de stos; y as, dos ngulos sern iguales cuan-

    do coincidiendo el vrtice y un lado, coincida tambin el otrolado, aunque los lados de uno sean desiguales a los del otro.

    Se llaman ngulos adyacentes dos ngulos que tienen un ladocomn y los otros dos lados en lnea recta. F1.1, F1.2

    Se dice que una recta es perpendicular a otra cuando los ngu-los adyacentes que forman las dos son iguales.

    Se llama ngulo recto cualquiera de los dos ngulos adyacentesque forma una recta con otra a la cual es perpendicular.

    Se dice que una recta es oblicua a otra, cuando los ngulosadyacentes que forman son desiguales.

    Se llama bisectriz de un ngulo, la recta que divide el ngulo endos partes iguales.

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    9GEOMETRA MTRICA DEL PLANO

    A. PERPENDICULARES Y OBLICUAS

    TEOREMA 1.1Por un punto de una recta no se puede levantar ms que una per-pendicular a dicha recta. F1.3

    Sea AB la recta y C el punto en ella. Siendo CD perpendicular a AB,los ngulos son iguales.

    Otra recta cualquiera CE que pase por C formar con AB dos ngu-los, uno mayor que el recto, y otro menor que el recto; luegodichos ngulos son desiguales y, por tanto, la recta CE es oblicua ala AB.

    TEOREMA 1.2

    Dos ngulos rectos son iguales, aunque no sean adyacentes. F1.4, F1.5

    En efecto: Si se coloca el ngulo DEF sobre el ABC de modo quecoincida el punto E sobre el By la recta EF sobre la BC, la recta DEcoincidir con la AB y, por consiguiente, los ngulos rectos serniguales.

    DEFINICIN

    Se llama ngulo agudo el ngulo menor que el recto, y nguloobtuso el ngulo mayor que el recto.

    TEOREMA 1.3

    La suma de los ngulos adyacentes es igual a dos rectos. F1.6

    Sean los ngulos adyacentes y. Levntese por el punto C la per-pendicular a AD que formar con CB el ngulo . Se tiene:

    =1R+

    =1R

    +=2R+=2R

    COROLARIO 1

    Los cuatro ngulos que forman dos rectas perpendiculares sonrectos. F1.7

    Pues siendo DE perpendicular a AB, los dos ngulos ACDy BCD sonrectos; luego sus adyacentes ACEy BCE son tambin rectos.

    De aqu resulta que AB forma con DE dos ngulos adyacentes BCDyBCE iguales; y que, por lo tanto, AB es perpendicular a DE. Luego siuna recta es perpendicular a otra, sta es perpendicular a la pri-mera.

    COROLARIO 2La suma de los ngulos consecutivos formados hacia un mismo ladode una recta, es igual a dos rectos. F1.8

    "Una vertical que corta a una horizontal produceal punto un clamor dramtico"

    (Kandinsky)

    F1.4 F1.5

    F1.6

    F1.3

    F1.7

    F1.8

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    10

    En efecto: ACD+DCE+ECF=ACFy como ACF+FCB=2R, sustituyendo serACD+DCE+ECF+FCB=2R.

    COROLARIO 3

    La suma de todos los ngulos consecutivos formados alrededor de

    un punto por varias rectas que salen de este punto, es igual a cua-tro rectos. F1.9

    Pues prolongando OA en sentidos contrarios se obtiene OB, y por elCorolario 2 se tiene:

    1+2+3+4=2Ry++=2R, sumando se tiene: 1+2+3+4+++=4R.

    COROLARIO 4

    Un ngulo cualquiera es menor que dos ngulos rectos. F1.10

    Pues prolongando uno de sus lados, AC, se tiene +=2R luego

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    11GEOMETRA MTRICA DEL PLANO

    Doblando la figura por DE, caer A'B sobre AB por ser ='=1R; A'caer sobre A por ser A'B=AB; luego AC coincidir con A'C por tenersus extremos coincidentes, por lo que ACB=BCA', o y

    siendo este ltimo

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    Pues si dichas rectas se encontrasen, desde el punto de encuentro sepodran trazar dos perpendiculares a una recta, lo que se ha demos-trado ser imposible en una geometra euclidiana. (Teorema 1.6).

    TEOREMA 1.8

    Si los ngulos alternos son iguales, las rectas r y s son paralelas. F1.15

    Sean iguales los ngulos 1y 2. Desde C, punto medio de AB, tr-cese la perpendicular CE a s y, tomando en r un segmento AD igualal BE, trcese la recta DC.

    Haciendo girar el tringulo BCE en su mismo plano alrededor de Chasta que CB coincida con CA, en cuyo caso el punto B caer sobreA por ser C punto medio de AB, la recta BE coincidir con DA por ser1=2 (hiptesis). Y el punto E caer sobre D por ser BE=AD; luego CEcoincidir con CD.

    Por consiguiente, DCA=ECBy como este ngulo es suplemento delACE, tambin DCA es suplemento de ACE, luego las rectas CEy CDforman una sola recta (Teorema 1.5).

    Adems ADC=BEC,y siendo este ltimo recto, tambin lo ser el pri-mero; luego r y s son perpendiculares a DEy, por lo tanto, son para-lelas.

    TEOREMA 1.9

    Si dos ngulos correspondientes cualesquiera son iguales, las rectasr y s son paralelas. F1.16

    Sean iguales los ngulos 1y 2. Los ngulos 1y 3 son iguales poropuestos por el vrtice. Los ngulos 2y 1 son iguales por hiptesis.Luego los ngulos 2y 3 son iguales; y por el teorema anterior, r y sson paralelas.

    TEOREMA 1.10

    Si la suma de los ngulos internos de un mismo lado de la secantees igual a dos rectos, las rectas r y s son paralelas. F1.17

    Sea la suma de los ngulos 1y 2 igual a 2R.

    Ser tambin 1+3=2R por adyacentes.De ambas igualdades se deduce que 2=3 por tener el mismo suple-mento; y como son ngulos alternos, las rectas r y s son paralelas.

    TEOREMA 1.11

    Si dos rectas son paralelas y una de ellas es perpendicular a unatercera, la otra tambin lo ser. (Es recproco del Teorema 1.7). F1.18

    Sea r paralela a s, y r perpendicular a t.

    Si s no fuese perpendicular a t, por H se podra trazar una recta v

    que s fuese perpendicular a t y, por lo tanto, v sera paralela a r porel Teorema 1.7, luego por el punto H pasaran dos paralelas a r locual es imposible si se admite el Postulado de Euclides.

    CAPTULO 1. LINEA RECTA Y NGULOS

    F1.15

    F1.16

    F1.17

    F1.18

  • 7/23/2019 Pv Geometria Metrica 3

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    13GEOMETRA MTRICA DEL PLANO

    TEOREMA 1.12

    Si dos rectas son paralelas, los ngulos alternos producidos en ellaspor una secante son iguales. (Es recproco del Teorema 1.8). F1.19

    Sean r y s paralelas.

    Si 1 fuese diferente a 2, por A se podra trazar una recta t que for-mase con AB un ngulo igual al 2; dicha recta sera paralela a ssegn el Teorema 1.8; luego por el punto A podran pasar dos para-lelas a s; lo que es imposible.

    TEOREMA 1.13

    Si dos rectas son paralelas, los ngulos correspondientes produci-dos en ellas por una secante, son iguales. (Es recproco del Teorema1.9). F1.20

    Sean r y s paralelas.

    1 es igual a 3 por opuestos por el vrtice. 2 es igual a 3 por alter-nos internos entre paralelas. Luego 1 es igual a 2.

    TEOREMA 1.14

    Si dos rectas son paralelas, la suma de los ngulos internos de unmismo lado de una secante es igual a dos rectos. (Es recproco delTeorema 1.10). F1.21

    Sean r y s paralelas.

    1+3=2R por adyacentes.

    2 es igual a 3 por alternos entre paralelas.Luego 1+2=2R.

    TEOREMA 1.15

    Si la suma de los ngulos internos de un mismo lado de la secantees menor que dos rectos, las rectas r y s se encontrarn hacia eselado. F1.22

    Sean las rectas r y s.

    Tienen que encontrarse, pues si fuesen paralelas, 1+2=2R por el teo-rema anterior.Esto supuesto, siendo 1+22R.

    Luego si por A se traza t paralela a s como 5+4=2R, ser 3>5.

    Ahora bien; t y s no pueden encontrarse, luego r y s no podrn, conmayor motivo, encontrarse hacia la izquierda de la secante, y comose ha visto que no son paralelas, se encontrarn hacia la derecha,es decir, hacia el lado de la secante en que la suma de los ngulosinternos es menor que dos rectos.

    TEOREMA 1.16

    Dos ngulos cuyos lados sean paralelos, son iguales o suplemen-tarios.

    F1.19

    F1.20

    F1.21

    F1.22

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    14

    CASO 1: Sean 1y 2 dos ngulos de lados paralelos y del mismo sen-tido. F1.23

    Prolnguense los lados de 2 hasta que corten a los de 1. Apareceas el 3.

    Se tendr:1=3 por correspondientes; 2=3 por correspondientes.Luego 1=2.

    CASO 2: Sean 1y 2 de lados paralelos y de sentido opuesto. F1.24

    Prolnguense los lados de 2 para formar el ngulo 3.

    Se tendr: 2=3 por opuestos por el vrtice; 3=1 por el caso anterior.

    Luego 1=2.

    CASO 3: Sean 1y 2 de lados paralelos pero dos en el mismo sentidoy dos en opuestos. Prolnguese s y se obtendr el ngulo 3. F1.25

    Se tendr: 2+3=2R por adyacentes; 1=3 por el Caso 1.

    Luego 1+2=2R; as pues, los ngulos 1y 2 son suplementarios.

    TEOREMA 1.17

    Dos ngulos agudos u obtusos, cuyos lados son perpendiculares,son iguales; y si uno es agudo y otro obtuso, son suplementarios.

    CASO 1: Sean 1y 2 los dos ngulos agudos y de lados perpendicu-lares. F1.26

    Dirjanse por el vrtice de 1 las rectas paralelas a los lados del 2,que formen el 3.

    Se tendr: 2=3 por lados paralelos; 3=1 por igual complemento.

    Luego 1=2.

    CASO 2: Sean 1y 2 ambos obtusos. F1.27A

    Prolnguese un lado de cada ngulo, obteniendo 3y 4. Por el casoanterior, 3=4.

    Luego, 1y 2 tienen el mismo suplemento, luego son iguales.

    CASO 3: Sean 1y 2, uno agudo y otro obtuso. F1.27B

    El ngulo 3 adyacente al 2 es agudo e igual al 1, y como 2+3=2R,

    ser 2+1=2R.

    Luego los ngulos son suplementarios.

    COROLARIO

    Si se trazan perpendiculares a los lados de un ngulo, el ngulo queforman entre s las nuevas rectas es el mismo que formaban las rec-tas originales.

    NOTA: No se considera el caso en que los ngulos seanambos rectos, porque ya se ha demostrado que esta clase dengulos son siempre iguales (Teorema 1.2).

    CAPTULO 1. LINEA RECTA Y NGULOS

    F1.23

    F1.24

    F1.25

    F1.26

    F1.27 A F1.27 B

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    15GEOMETRA MTRICA DEL PLANO

    SUGERENCIAS, ACLARACIONES, NOTICIAS

    Para comenzar bien el estudio de la Geometra hay que olvidartodo lo que cree saberse sobre ella y empezar de cero.

    Es menester conocer el significado de las palabras que se usan enel lenguaje explicativo, no slo las que no se han odo antes, sinolas de uso ordinario en las que el concepto que encierran escapanormalmente a la conciencia y, por ello, se usan mal; muchas vecespor mimetismo.

    Poco a poco se ir aprendiendo el mtodo del razonamiento lgi-co. Al demostrar una proposicin hay que apoyarse nicamente enlas demostradas anteriormente y en nada ms, haciendo uso de laprimera indicacin aqu apuntada.

    La recta, gramaticalmente, es femenina. El punto y el ngulo sonmasculinos. Es ste un carcter genrico de la Geometra quepuede hacerla cambiar de aspecto.

    El plano es el conjunto de sus puntos, o el de sus rectas, o el deambos. Mirado de esta manera, desde fuera de l, se percibe unagran anarqua.

    La Geometra del Plano o Planimetra trata de averiguar qu orden

    se puede establecer dentro del plano para eliminar esa aparenteanarqua; y para ello, comienza por establecer un vocabulario pro-pio y especfico dando as principio a una expresin oidiomageomtrico.

    Dos rectas concretas del plano forman siempre un ngulo que tienelados y vrtices. Hay infinitos ngulos posibles, y slo con estadefinicin de ngulo se puede establecer ya una clasificacin delas posiciones de las rectas entre s. La perpendicularidady elparalelismo; la oblicuidady la convergencia, son definiciones con-

    secuencia del ngulo que dos rectas forman.Dos ngulos pueden ponerse en relacin uno con otro bien sea porsu posicin, bien por sus condiciones intrnsecas o extrnsecas; yas, puede hablarse de ngulos adyacentes, complementarios,suplementarios, iguales, alternos, correspondientes, internos,externos,consecutivos,opuestos por el vrtice, etc. Es una nomen-clatura que sirve para clasificarlos.

    La definicin de ngulo recto es consecuencia de la igualdad de losngulos adyacentes, o sea de la perpendicularidad de dos rectas;no al contrario.

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    El ngulo es un dominador del mundo plano en cuanto es capaz deorganizar a las rectas para que lo definan. Adems de esto, comolos lados del ngulo son rectas de longitud indefinida, su sola exis-tencia clasifica a los puntos del plano en tres categoras: interioresal ngulo, exteriores a l, y de los lados. Y dentro de ellos, aun pue-

    den encontrarse los que, siendo interiores o exteriores, gocen dealguna nueva propiedad relativa al propio ngulo (bisectrices p.e.).

    La superposicin de dos rectas puede entraar la duda de si es lamisma recta o son dos diferentes.

    Como el plano no tiene tercera dimensin, tal superposicin es men-tal ms que fsica; o, si es fsica, las dos rectas se penetran y fun-den convirtindose en una sola.

    Un sano ejercicio de imaginacin ser el de considerar todo lo queocurre en el plano como visto desde l mismo, como si el observa-dor estudioso fuese tambin un ser plano, y le afectase personal-mente todo lo que en el plano sucede. De esta forma, el inters por"entender" aumenta.

    No debe ser difcil concebir un mundo de seres planos, de dosdimensiones. Los nios lo entienden perfectamente y juegan con sol-daditos y muecas de cartulina, recortables.

    EUCLIDES (323-285 a. de C.)

    Matemtico griego que vivi entre los siglos IVy III antes de C. (323-285). Se sabe que reinando Ptolomeo I ense en Alejandra deEgipto, ciudad que, gracias a Euclides, se convirti en un florecien-te centro de los estudios matemticos.

    La fama de Euclides se basa, sobre todo, en la obra tituladaElementos de Geometra en la que se halla reunido cuanto se habaconseguido hasta entonces en la Geometra griega.

    Esta obra est compuesta de 13 libros.

    Los Elementos de Euclides establecen el mtodo analtico deductivoque ser caracterstico de la matemtica de todos los tiempos.

    El quinto postulado de los Elementos es el ms conocido y en el quese apoya toda la Geometra aqu expuesta.

    Slo se puede reprochar a Euclides un poco de extensin, compli-cacin y oscuridad en sus demostraciones. Puede ser debido a estosinconvenientes el que se atribuya las dificultades que experimenta-ba Ptolomeo Filadelfo (hijo de Ptolomeo I), rey de Egipto, que eraun hombre culto. Un da, fatigado por la extrema atencin querequeran las lecciones de Euclides, pidi para l mtodos ms sim-

    ples y fciles. No, prncipe-respondi Euclides- no existen caminosreales para las matemticas.

    CAPTULO 1. LINEA RECTA Y NGULOS