PUNTO DE UNA RECTA QUE EQUIDISTA DE DOS PLANOS
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Ejercicio Resuelto GEOMETRÍA (PROBLEMAS MÉTRICOS) JOSÉ MANUEL GONZÁLEZ GARCÍA
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Ejercicio Resuelto GEOMETRÍA (PROBLEMAS MÉTRICOS)
JOSÉ MANUEL GONZÁLEZ GARCÍA
1. Forma.
Vamos a emplear la fórmula con que se calcula la distancia de un punto a un plano
d P,π( ) = ax0 + by0 + cz0 + da2 + b2 + c2
Como nuestro punto pertenece a la recta r, vamos a expresar r en sus ecuaciones paramétricas para obtener la forma que tendrá un punto genérico de r.
x = t +1y = 2t − 2z = 3t
⎧⎨⎪
⎩⎪
la forma de un punto genérico es de la forma:
Aplicamos la fórmula para calcular la distancia del punto genérico a cada uno de los planos e igualaremos ambas distancias para que nuestro punto equidiste de ambos planos.
Determina el punto o los puntos de la recta:
que equidista de los planos y
P = t +1,2t − 2,3t( )
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para este valor de t
el punto de la recta es
2. Forma.
Vamos a construir un plano que equidiste de los planos dados, una vez hecho esto, calcularemos el punto de corte con la recta y obtendremos el punto de r que equidista de ellos.
Calculamos la recta de intersección de y resolviendo el sistema que forman:
De la recta de intersección necesitaremos un punto y un vector
El otro vector que necesitamos para construir nuestro plano lo obtenemos sumando los vectores normales de cada plano dado.
Q = 53, −13,0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
vds = 1,−1,1( )
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calculamos la intersección del plano y la recta r
r :x = t +1y = 2t − 2z = 3t
3 t +1( )− 3 2t − 2( )− 6 3t( )− 6 = 0
t = 17
P = 87, −127, 37
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
