PUNT, RECTA, SEMIRECTA I SEGMENT...- Amb centre en el punt 1 es pren el radi 1P i des del punt 2 es...

15
INTRODUCCIÓ A LA GEOMETRIA GEOMETRIA:És una branca de les matemàtiques que s'ocupa de l'estudi de propietats de punts, rectes, polígons, etc.Provè del grec GEO (terra) METROS (mesura). La Geometria pot classificar-se en: - GEOMETRIA PLANA: Estudia les propietats d'elements que tenen una o dues dimensions. És a dir, només s'ocupa de tot el que pot succeir en un pla. - GEOMETRIA ESPACIAL: També s’anomena geometria descriptiva i estudia les figures i tot el que pot succeir en les tres dimensions. Fonamentalment s'ocupa de la representació d'objectes o figures tridimensionals sobre un pla (el paper) que té únicament dues dimensions. PUNT, RECTA, SEMIRECTA I SEGMENT PUNT: Geomètricament podem definir un punt de tres formes: - Intersecció de dues rectes o arcs. - Intersecció d'una recta amb un pla. - Circumferència de ràdi 0. RECTA: Una recta és una successió de punts en una mateixa direcció. Segons aquesta definició una recta és infinita i només la podem concebre virtualment i no realment, ja que tots els suports (papers, teles, la pissarra de classe) són finits. Una recta pot ser definida geomètricament per dos plans que es tallen (geometria descriptiva) o por dos punts (geometria plana). SEMIRECTA: Una semirecta és una porció de recta delimitada per un punt SEGMENT: Un segment és una porció de recta delimitada per dos punts. Per tant un segment té un principi i un fi i és finit i es pot mesurar. Realment totes les rectes que dibuixem són segments, doncs comencen i acaben en algun lloc. Per això per dibuixar un segment se solen marcar clarament els punts de principi i fi. RELACIONS ENTRE RECTES O SEGMENTS Dues rectes o segments poden tenir tres tipus diferent de relació: - PARAL·LELES:Tots els punts de les dues rectes estan sempre a la mateixa distància. És a dir, dues rectes paral·leles mai es tallen. - PERPENDICULARS: Dues rectes són perpendiculars quan es tallen formant quatre angles rectes. Aquest concepte està relacionat amb un adjectiu important, ortogonal, diem que dues rectes són són ortogonals quan formen angles de 90º, són rectes o perpendiculars. - OBLIQÜES:Dues rectes obliqües es tallen sense formar angles rectes. TRES PUNTS determinen en el pla una circumferència. Donats tres punts sempre podrem traçar una circumferència. En termes tridimensionals tres punts defineixen un pla. Una cadira amb tres potes mai estarà coixa. LA CIRCUMFERÈNCIA Una circumferència és un conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un altre punt anomenat centre. És una corba tancada i plana els punts EQUIDISTEN (estan a la mateixa distància) del centre. Anomenem RADI a la distància que hi ha entre el centre i qualsevol dels punts de la circumferència. CERCLE: És la porció de pla compresa dins la circumferència RELACIONS CIRCUMFERÈNCIA - CIRCUMFERÈNCIA / CIRCUMFERÈNCIA - RECTA SECANTS: Es tallen. Quan dues circumferències o una recta i una circumferència es tallen produeixen dos punts d'intersecció. En relació a una circumferència i un segment secants trobem els següents elements: - Corda: És la porció de recta que queda dins de la circumferència sempre que no passi pel centre. - Diàmetre: És un segment que talla a la circumferència en dos punts passant pel centre. - Arc: És la porció de circumferència que queda entre els dos punts d'intersecció amb una altra circumferència o recta. - Fletxa: Es diu així al radi perpendicular a una corda de circumferència. TANGENTS: Una recta i una circumferència són tangents quan es toquen però no es tallen. En aquests cas tots dos elements comparteixen en comú un punt anomenat punt de tangència. EXTERIORS: Es diu així a dues circumferències o una circumferència i una recta que no es toquen ni es tallen. INTERIORS: Es diuen circumferència "interior a una altra" quan està dins d'una altra més gran i ni es toquen ni es tallen. CONCÈNTRIQUES: Es diuen així les circumferències que comparteixen el mateix centre. 1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics DEFINICIONS IMPORTANTS

Transcript of PUNT, RECTA, SEMIRECTA I SEGMENT...- Amb centre en el punt 1 es pren el radi 1P i des del punt 2 es...

INTRODUCCIÓ A LA GEOMETRIA

GEOMETRIA:És una branca de les matemàtiques que s'ocupa de l'estudi de propietats de punts, rectes, polígons, etc.Provè del grec GEO (terra) METROS (mesura). La Geometria pot classificar-se en:

- GEOMETRIA PLANA: Estudia les propietats d'elements que tenen una o dues dimensions. És a dir, només s'ocupa de tot el que pot succeir en un pla.

- GEOMETRIA ESPACIAL: També s’anomena geometria descriptiva i estudia les figures i tot el que pot succeir en les tres dimensions. Fonamentalment s'ocupa de la representació d'objectes o figures tridimensionals sobre un pla (el paper) que té únicament dues dimensions.

PUNT, RECTA, SEMIRECTA I SEGMENT

PUNT: Geomètricament podem definir un punt de tres formes: - Intersecció de dues rectes o arcs. - Intersecció d'una recta amb un pla. - Circumferència de ràdi 0.

RECTA: Una recta és una successió de punts en una mateixa direcció. Segons aquesta definició una recta és infinita i només la podem concebre virtualment i no realment, ja que tots els suports (papers, teles, la pissarra de classe) són finits. Una recta pot ser definida geomètricament per dos plans que es tallen (geometria descriptiva) o por dos punts (geometria plana).

SEMIRECTA: Una semirecta és una porció de recta delimitada per un punt

SEGMENT: Un segment és una porció de recta delimitada per dos punts. Per tant un segment té un principi i un fi i és finit i es pot mesurar. Realment totes les rectes que dibuixem són segments, doncs comencen i acaben en algun lloc. Per això per dibuixar un segment se solen marcar clarament els punts de principi i fi.

RELACIONS ENTRE RECTES O SEGMENTS

Dues rectes o segments poden tenir tres tipus diferent de relació:

- PARAL·LELES:Tots els punts de les dues rectes estan sempre a la mateixa distància. És a dir, dues rectes paral·leles mai es tallen.

- PERPENDICULARS: Dues rectes són perpendiculars quan es tallen formant quatre angles rectes. Aquest concepte està relacionat amb un adjectiu important, ortogonal, diem que dues rectes són són ortogonals quan formen angles de 90º, són rectes o perpendiculars.

- OBLIQÜES:Dues rectes obliqües es tallen sense formar angles rectes.

TRES PUNTS determinen en el pla una circumferència. Donats tres punts sempre podrem traçar una circumferència. En termes tridimensionals tres punts defineixen un pla. Una cadira amb tres potes mai estarà coixa.

LA CIRCUMFERÈNCIA

Una circumferència és un conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un altre punt anomenat centre. És una corba tancada i plana els punts EQUIDISTEN (estan a la mateixa distància) del centre. Anomenem RADI a la distància que hi ha entre el centre i qualsevol dels punts de la circumferència.

CERCLE: És la porció de pla compresa dins la circumferència

RELACIONS CIRCUMFERÈNCIA - CIRCUMFERÈNCIA / CIRCUMFERÈNCIA - RECTA

SECANTS: Es tallen. Quan dues circumferències o una recta i una circumferència es tallen produeixen dos punts d'intersecció. En relació a una circumferència i un segment secants trobem els següents elements:

- Corda: És la porció de recta que queda dins de la circumferència sempre que no passi pel centre.

- Diàmetre: És un segment que talla a la circumferència en dos punts passant pel centre. - Arc: És la porció de circumferència que queda entre els dos punts d'intersecció amb una altra

circumferència o recta. - Fletxa: Es diu així al radi perpendicular a una corda de circumferència.

TANGENTS: Una recta i una circumferència són tangents quan es toquen però no es tallen. En aquests cas tots dos elements comparteixen en comú un punt anomenat punt de tangència.

EXTERIORS: Es diu així a dues circumferències o una circumferència i una recta que no es toquen ni es tallen.

INTERIORS: Es diuen circumferència "interior a una altra" quan està dins d'una altra més gran i ni es toquen ni es tallen.

CONCÈNTRIQUES: Es diuen així les circumferències que comparteixen el mateix centre.

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics DEFINICIONS IMPORTANTS

Per fer operacions amb segments es sol emprar sempre el compàs : prendre mesures, copiar o traslladar-les. També s'ha d'emprar un regle que pot estar graduat o no, ja que el compàs serà l'eina amb la qual es mesura.

CÒPIA D'UN SEGMENT: Donat el segment AB, copiar amb la mateixa magnitud.

1r - Tracem una semirecta des d'un punt A '. 2n - Prenem la mesura AB amb el compàs. 3r - Traslladem la distància AB sobre la semirecta que hem traçat. Amb la

mesura presa anteriorment amb el compàs farem centre en el punt A '' de la semirecta i la marcarem obtenint B '.

4art- Finalment passem a tinta el resultat (IMPORTANT).

1 2 3

A B A B

A' A'

A B

A' B'

4

A

A

A'

B

B

B'

SUMA DE SEGMENTS: Donats els segment AB, CD i EF, sumar-los gràficament.

1r - Tracem una semirecta des d'un punt A '. 2n - Prenem la mesura AB amb el compàs i la copiem en la semirecta, a partir

de A ', obtenint B'. (copiar el segment AB) 3r - A partir de B 'repetim l'operació amb el següent segment a sumar (CD). 4t - En aquest cas tenim tres segments per sumar, repetim amb l'últim. 5è - La solució és la totalitat d elos segments copiats un darrere l'altre, és

dir, A'F '. Passem a tinta la solució (IMPORTANT).

1 A B C D 2 A B C D

E F E F

A' A' B'

4 A B C D 5 A

E F E

A' B' C' A' B' C'

D' E' F'

3

A

B C

D

E F

A

B C

D

E F

A'

B'

C'

B C

D

F

F'

D' E'

RESTA DE SEGMENTS: AB - CD, restar gràficament.

1r- Tracem una semirecta des d'un punt A '. 2n - Prenem la mesura AB, el més gran, amb el compàs i la copiem en la semirecta,

a partir de A ', obtenint B'. (copiar el segment AB) 3t - A partir de A ', de nou, repetim l'operació amb el segment CD. És a dir,

copiarem el segment menor dins el més gran que ja hem copiat. 4t - La diferència entre els dos segments (distància de D 'a B') és la solució. la

passem a tinta.

2 3

A B A B

C D C D

A' B' A' D'

B' C'

A

B

C D

1 A

B

C D

A'

4

A B

C D

A' D' B'

C'

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics OPERACIONS AMB SEGMENTS

Mediatriu d'un segment A B

Donat un segment AB, trobar la mediatriu.

La mediatriu d'un segment és una recta perpendicular a aquest pel seu punt mitjà. També es pot definir com "el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten dels extrems d'un segment"

Procediment:

1r - Es tracen dos arcs d'igual ràdi amb centre en ambdós extrems A i B. S'obtenen així els punts 1 i 2 on tots dos arcs es tallen.

2n - S'uneixen els punts 1 i 2 per obtenir la mediatriu. 3r - Es passa el resultat a tinta.

1 1

2 2 1 1

A B A B A B A B

2 2 2

Perpendicular a un segment o semirecta per un extrem:

Donat un segment AB, traçar la perpendicular pel punt A. A

1r -Amb centre en A es traça un arc (gairebé una semicircumferència) que talla al segment en el punt 1. 2n -Amb centre en el punt 1 es traça un altre arc amb el mateix radi que talla l'anterior arc en el punt 2. 3r -Amb centre en el punt 2 i mateix radi es traça un altre arc que talla el primer en el punt 3. 4t -Amb centre en el punt 3 tracem un altre arc, de mateix radi, que talla a l'últim en el punt 4. 5è -S'uneix el punt 4 amb el punt A. Passem a tinta la recta 4A.

1 2 3 4 5 4

2 2 2

3 3

A 1

A 1

A 1

A 1

Perpendicular a una recta per un punt exterior a aquesta:

1r -Amb centre en P es traça un arc de circumferència que talli la recta en dos punts: 1 i 2. 2n -Amb centre en els punts 1 i 2, es tracen dos arcs de radi major a la meitat de la distància entre

ells. On tots dos arcs es tallen obtenim el punt 3. 3r -S'uneix el punt 3 i el punt P.

1 2 3

P P P P

1 2 1 2 1 2

3 3

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics PERPENDICULARITAT amb regle i compàs

Paral·lela a una recta per un punt exterior, dos mètodes:

1r - Es tria un punt X centrat en la recta com a centre i es traça una semicircumferència de radi XP que la talla en dos punts: 1 i 2.

2n - Amb centre en el punt 1 es pren el radi 1P i des del punt 2 es traça un arc que talla al primer en el punt 3.

3r - S'uneix el punt 3 amb P.

1 P 2 P 3 3 P 3

1 X 2 1 X 2 1 X 2

TEOREMA DE THALES DE MILETO

Tota recta paral·lela a un costat d'un triangle que talla als altres dos costats, determina un altre triangle semblant al triangle inicial. C

CB/C'B'=AC/AC'=AB/AB' C'

Si es tallen dues rectes concurrents amb un feix de rectes paral·leles, a raó de dos segments qualssevol d'una d'elles és igual a A B'

la raó dels corresponents de l'altra. B

DIVISIÓ D'UN SEGMENT EN n (7) parts iguals: El procediment sempre és el mateix encara que variï el número de parts en les que vulguem dividir el segment.

A B 1r - Des d'un extrem del segment donat tracem una recta auxiliar. No importa 1 l'obertura de l'angle que aquesta formi amb el segment donat.

A B 2 2n- Prenem un radi de compàs (no importa l'obertura del compàs, només

que càpiga tantes vegades com divisions ens demana el problema sobre la 1 recta auxiliar) i amb centre en el vèrtex de l'angle tracem una marca sobre

la recta auxiliar.

A B 6 7

5

3r- Amb centre en aquesta primera marca, i amb el mateix radi de compàs repetim 3 4

l'operació fins a tenir tantes parts com ens demana el problema en la recta 2 3

auxiliar. 1 6 7

4 5 4 A B

3 2 4t- Tracem un segment que uneix la ÚLTIMA DIVISIÓ de la recta

1 auxiliar amb L'EXTREM B del segment donat. 6 7 5

A B 5 4 3

5è- Tracem paral·leles a l'última recta passada, aquestes passen per les 2

divisions que hem traçat sobre la recta auxiliar i tallen al segment 1 donat donin l'enunciat del problema.

6 7 A B 6 5

4 3 6è- Els punts de tall de les paral·leles amb el segment donat són la

2 solució, les divisions del segment en el nombre de parts que demanava 1 l'enunciat.

A B

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics PARAL·LELISME amb regle i compàs / Teorema de THALES

ANGLE:És la porció de pla compresa entre dues semirectes anomenades costats que parteixen d'un punt en comú anomenat vèrtex.

UNITATS DE MESURA: Existeixen diverses unitats per mesurar els angles: 180º 90º g

200g 100 - Radiants: una circumferència sencera mesura 2 radiants. rad /2rad - Graus centesimals: Una circumferència sencera mesura 400

g.

- Graus sexagesimals: Una circumferència sencera mesura 360º. 3 /2rad 2 rad

270º 360º

g g

Generalment en geometria s'empren els graus sexagesimals. 300 400

TIPUS D'ANGLES SEGONS LA SEVA MAGNITUD

Pla Obtús Recte Agut Còncau Convex = 180º + de 90º = 90º - de 90º - de180º y + de 0º + de 180º y - de 360º

RELACIONS ANGULARS

Relacions angulars SEGONS LA POSICIÓ

Angles Adjacents: Són aquells que comparteixen ADJACENTS CONSECUTIUS OPOSATS

una banda i el vèrtex, però no tenen cap punt en comú. Angles Consecutius: Són els que comparteixen un B

vèrtex i un costat (es superposen). A A B A

Angles Oposats: Són els formats per semirectes B

oposades.

BISECTRIU D'UN ANGLE:

És la semirecta que divideix un angle en dues parts iguals passant pel vèrtex. Tots els punts de la bisectriu equidisten (estan a la mateixa distància) dels costats de l'angle.

La bisectriu és el lloc geomètric dels punts d'un plànol que equidisten dels costats d'un angle.

TRAÇAT DE LA BISECTRIU: Donat un angle a, traçar la seva bisectriu.

1r- Amb centre en el vèrtex i un radi qualsevol (prou ampli) es traça un arc que talla a banda i banda de l'angle en els punts 1 i 2.

2n- Amb centres en els punts 1 i 2 es tracen dos arcs d'igual radi (major a la meitat de la distància entre 1 i 2) que es tallen en el punt 3.

3r- S'uneix el punt 3 amb el vèrtex de l'angle donat.

1 1 2 1 3

3

2 2

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics

Angles, conceptes teòrics / Bisectriu

Relacions angulars SEGONS LA MAGNITUD

Angles Complementaris: Són aquells que sumen 90º Angles Suplementaris: Són els que sumen 180º. Angles Conjugats: Són els que sumen 360º.

ADJACENTS (no tenen per què ser-ho)

COMPLEMENTARIS SUPLEMENTARIS

A A

B B

CÒPIA D'ANGLES AMB COMPÀS I REGLE: donat un angle (a) traçar un altre angle (a ') igual.

1r- Es traça un segment o semirecta i s'indica v 'que serà el vèrtex del nou angle copiat. 2n- Amb centre en el punt v es traça un arc de radi qualsevol que talla els costats d'aquest en

els punts 1 i 2. Amb centre en v 'es traça un arc d'igual ràdi que tallarà al costat ja dibuixat en el punt 1 '.

3r- Des del punt 1 de l'angle donat, es mesura amb el compàs la distància d'1 a 2. En el nou angle copiat amb centre en 1 'es traça un arc que talli l'anterior obtenint 2'

4t- S'uneix v 'amb 2'. 2 2 2

1 2 3 4

v a v a 1 v a 1 v a 1

2'

2'

v' a' v' a' 1' v' a' 1' v' a' 1'

SUMA DE ANGLES AMB COMPÀS I REGLE: donats els angles (a) i (b) traçar un altre angle (c) = (a + b)

Es tracta de copiar un angle sobre de l'altre, compartint tots dos una banda que finalment no serà part del resultat.

1r- Es traça un segment o semirecta i s'indica v 'que serà el vèrtex del nou angle resultat a + b. 2n- Amb centres en els punts (va) i (vb), es traça un arc de radi qualsevol però igual, que

tallarà banda i banda dels angles en els punts 2a i ab. Amb centre en v 'es traça un arc de igual ràdi que tallarà al costat ja dibuixat en el punt 1 '.

3r- Des del punt 1a, es mesura amb el compàs la distància des 1a-2a, col·locant-la en el resultat des de 1 ', obtenint així el punt. 2 '.

4t- Es mesura, amb compàs, la distància 1b-2b.Desde 2' tracem un arc de radi 1b-2b per obtenir 3 '.

5è- S'uneix v 'amb 3'. 2a 2a

1 2 3 4 2b 5 2b

va a 1a vb b 1b va a 1a vb b 1b va a 1a

vb b 1b

3' 3'

2' 2'

v' c 1' v' c 1' v' c 1'

RESTA D'ANGLES AMB COMPÀS I REGLE: Donats els angles (a) i (b) traçar un altre angle (c) = (a-b) Es tracta de copiar l'angle menor dento del major, compartint tots dos una banda que finalment no serà part del resultat.

1r- Es traça un segment o semirecta i s'indica v 'que serà el vèrtex del nou angle resultat a-b. 2n- Amb centres en els punts (va) i (vb), es traça un arc de radi qualsevol però igual, que

tallarà banda i banda dels angles en els punts. Amb centre en v 'es traça un arc d'igual ràdi que tallarà al costat ja dibuixat en el punt 1 '.

3r- Des del punt 1a, es mesura amb el compàs la distància des 1a-2a, col·locant-la en el resultat des de 1 ', obtenint així el punt. 2 '.

4t- Es mesura, amb compàs, la distància 1b-2b.Desde 2 'tracem un arc, situat entre 1' i 2 ', de radio 1b-2b para obtener 3'. 2a 2a

5è- S'uneix v 'amb 3'. 3 4 5

2a 2b 2b

1 2 2b

va a 1a vb b 1b va a 1a vb b 1b

vb b 1b 2' 2'

va a 1a

3' 3'

v' c 1' v' c 1'

v' c 1'

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics

Operacions bàsiques amb Angles: CÒPIA SUMA I RESTA

XARXA DE CIRCUMFERÈNCIES

Es tracta d'omplir la làmina de circumferències de 2'5 cm. de ràdi. Però has de seguir un ordre i unes pautes concretes:

1r- Traça una circumferència de 2'5 cm de radi a qualsevol lloc de la làmina.

2n-Traça una altra circumferència de 2'5 cm de radi fent centre en qualsevol punt de la primera circumferència.

3r- Els dos punts on es tallen les circumferències són nous punts per fer centre i traçar noves circumferèncias del mateix radi.

4t- A mesura vagis fent circumferències aniràs obtenint nous punts on hauràs de fer centre per traçar més circumferències (TOTES DE 2'5 cm.!!)

5è- Omple tota la làmina. Tot i que les circumferències se surtin del marge dibuixa, doncs on es tallin tindras nous punts on fer centres d'altres circumferències, part de les quals si quedessin dins del marge.

6è- Esborra tot el que queda fora del marge.

7è- ACOLOREIX TOTA LA LÀMINA: Si segueixes un ordre concret (per exemple: triangles arquejats d'un color i "pètals" d'un altre color) obtindràs una xarxa de circumferències acolorida.

MOLT IMPORTANT: Has de tenir la mina del compàs ben esmolada. És molt important que mantinguis sempre la mateixa obertura de compàs i que facis centre en el punt exacte.

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics

Enunciat, Ús del Compás: Xarxa de circumferències

1r- Distribueix punts per tota la làmina. No cal que els situïs de manera ordenada o que medeixis. NO t'oblidis de posar alguns punts sobre el marge.

2n Uneix els punts, amb ajuda del regle, amb els punts més propers.

-Els Segments que els uneixen no han de creuar altres segments, si ho fas et sortiran més triangles dels que vols.

-Els Segments que uneixen els punts no han de passar per sobre d'altres punts.

-És a dir: cada segment que uneix els punts va sol d'un punt a un altre i no creua cap un altre segment.

-NO t'oblidis dels punts del marge.

3r- Si segueixes correctament aquests dos primers passos hauras omplert de triangles la làmina.

4t- Has d'omplir amb retoladors de colors els triangles de paral·leles amb l'escaire i el cartabó:

-Els Triangles que comparteixen el mateix costat no poden tenir el mateix color. -Has d’ omplir TOTS els triangles -Has d’omplir-los amb diferents inclinacions i diferents separacions. -Pots Distribuir els colors dels triangles amb la finalitat de realitzar un disseny, però també pots fer un dibuix abstracte.

1r ESO: Traçats Geomètrics Bàsics Enunciat, Ús d'escaire i cartabó:

Triangles i paral·leles.

ELS POLÍGONS

Un polígon és la porció de pla tancada per diversos segments anomenats costats. El terme "polígon" procedeix del grec antic i significa "molts" (poli) angles (gon).

CLASSIFICACIONS

Polígon convex: És aquell polígon que en ser travessat per una recta únicament té o pot tenir un punt de la recta d'entrada i un altre de sortida. Si al recolzar-rse en un en un dels seus costats sobre una recta el polígon queda en la seva totalitat a un costat d'aquesta.

Polígon còncau: És aquell que en ser travessat per

una recta té més d'un punt d'entrada i sortida en la trajectòria de la recta. També és convex quan és possible donar suport al polígon sobre algun dels seus costats en una recta quedant part a un costat d'aquesta i part a l'altre.

Equiangle: Un polígon és equiàngle quan té tots els seus angles iguals. Equilàter: Un polígon és equilàter quan tots els seus costats soon iguals. Regular: Un polígon és regular quan tots els seus costats i angles són iguals. Irregular: És el polígon que té costats i angles desiguals

ELS NOMS DELS POLÍGONS SEGONS ELS COSTATS

PARTS D'UN POLÍGON

COSTAT: Cada un dels segments que componen el polígon.

COSTAT

VÈRTEX: És el punt en què s'uneixen dues costats consecutius.

DIAGONAL: Segment que uneix dos vèrtexs no consecutius. Alguns polígons tenen diagonal major i diagonal menor.

PERÍMETRE: És la suma de tots els costats. VÈRTEX

CENTRE

En un polígon regular a més trobem:

CENTRE: És el punt equidistant de tots els vèrtexs i costats. En l'es troba el centre de les circumferències inscrita i circumscrita.

APOTEMA: És el segment que uneix el centre del polígon amb el punt mig dels costats perpendicularment.

1r ESO: Polígons DEFINICIONS IMPORTANTS

3 Triangle 12 Dodecàgon

4 Quadrilàter 13 Triskaidecàgon

5 Pentàgon 14 Tetradecàgon

6 Hexàgon 15 Pentadecàgon

7 Heptàgon 16 Hexadecàgon

8 Octògon 17 Heptadecàgon

9 Enneàgon 18 Octodecàgon

10 Decàgon 19 Eneadecàgon

11 Ondecàgon

DESENES I UNITATS ALTRES

20 Icosa-

kay

1 -henà- / -monó-

-gon

100 Hectògon / Hectàgon 30 Triaconta- 2 -dí-

40 Tetraconta- 3 -trí- 1000 Kiliàgon

50 Pentaconta- 4 -tetrà- 10000 Miriàgon

60 Hexaconta- 5 -pentà- 70 Heptaconta- 6 -hexà- 80 Octaconta- 7 -heptà- 90 Eneaconta- 8 -octà- 9 -eneà-

TRIANGLE: Superfície plana limitada per tres segments o costats que es tallen dues a dues en tres vèrtexs. La suma dels seus angles és 180º NOMENCLATURA: Els vèrtexs es nomenen amb lletres minúscules i els costats amb lletres majúscules emprant la mateixa lletra que el vèrtex oposat.

C

CLASSIFICACIÓ DELS TRIANGLES: Segons els seus costats

Equilàter: Isòsceles: Escalè: Els tres costats Dos costats Tres costats iguals iguals desiguals

Segons els seus angles

Recte: Acutangle: Obtusangle: Un angle Tres angles Un angle recte(90º) aguts obtús

a

b

B

c

A

QUADRILÀTER: És un polígon que té quatre costats, quatre vèrtexs i dues diagonals. -La Suma dels seus angles interiors és igual a 360º.

CLASIFICACIÓ:

PARAL·LELOGRAM: És un tipus especial de quadrilàters dels quals té els costats paral·lels dos a dos.

PROPIETATS DELS PARAL·LELOGRAMS: - En tot paralelogram els angles i costats oposats són paral·lels (la mateixa mesura). - Tenen dos parells de costats oposats paral·lels. - Les diagonals es tallen al punt mitjà. - Dos angles contigus són suplementaris (sumen 180º).

QUADRAT: RECTANGLE: Quatre angles Quatre angles Quatre costats iguals rectes (90º) . Costats

iguals dos a dos. ROMBE: Costats iguals ROMBOIDE: Angles iguals dos a dos. Costats iguals dos a dos Diagonal major i una altra angles iguals dos a dos. menor es tallen en punts. costats iguals i Mitjans formant 90º. paral·lels dos a dos

TRAPEZI: Quadrilàter que té dos costats oposats paral·lels

TRAPEZI ISÒSCELES: TRAPEZI RECTANGLE: Dos costats paral·lels Dos angles rectes Dos costats iguals Dos costats paral·lels Dos diagonals iguals

TRAPEZI ESCALÈ: TRAPEZOIDE: Dos costats paral·lels Angles desiguals costats i angles desiguals costats desiguals i

No paral·lels

1r ESO: Polígons TRIANGLES I QUADRILÀTERS

Construcció d'un triangle coneguts els seus tres costats:

A B A C B C

1 2 3 4 C 1r Sobre una recta r es copia el

segment AB. 2n Amb ràdio AC i centre A

A B A B A B A B tracem un altre arc.

3r Amb ràdi BC i centre a B tracem un altre arc. 4t La intersecció de tots dos arcs és el vèrtex C.

Construcció d'un triangle rectangle coneguda la hipotenusa hi un catet AB:

A B h

1r- Tracem 1 semirecta i pel seu extrem

A 1 2 3 vam fer una perpendicular. Sobre aquesta copiem la mesura del catet AB.

2n- Amb centre en B (extrem superior del catet) i ràdio h tracem

C C

3r- un arc que talla a la semirecta en C, tercer vèrtex del triangle.

Tracem el triangle.

Construcció d'un rectangle coneguts els seus costats: A B A D

1r- Per un extrem del segment AB tracem D D C una perpendicular i copiem sobre ella

1 2 3 2n

el segment AD. tracem un arc de radi

- Amb centre en B AD.

3r- Amb centre en A tracem un arc de radi A B AB. Trobant el punt C. Tracem el

rectangle.

Construcció d'un rectangle conegut un costat AB i la diagonal AC:

A C A B B B 1r- Tracem la mediatriu de la diagonal Ab i des

el punt mig tracem la circumferència de la 1 2 3 qual és diàmetre.

2n- Amb radi AB i centres A i C tracem dos arcs A C A C A C

que tallen a la circumferència en B i D 3r- Tracem el rectangle.

D D

Construcció d'un rombe conegudes les diagonals AC i BD: A C

B D

1 2 B 1r- Tracem les mediatrius d'ambdues

A C diagonals. 2n- Sobre la mediatriu de AC ia partir del punt

A C mitjà de la diagonal copiem les dues meitats de la diagonal menor, obtenint

B D los punts B i D sobre aquesta. Tracem el D rombe ABCD.

Construcció d'un trapezi rectangle a partir de A (vèrtex recte) coneixent la base major AB, l'altura h i la diagonal AC:

D D C D C

A B

A h

D 1 2 3 A C

A B A B A B

1r- Situem el segment AB com a base. Per l'extrem A vam fer una perpendicular i sobre aquesta copiem h. obtenint d'aquesta manera el punt D.

2n- Pel punt D tracem una recta paral·lela al segment AB. Amb centre en A i radi AC tracem un arc que talla a la paral·lela (base superior) en C.

3r- Tracem el trapezi ABCD.

1r ESO: Polígons

CONSTRUCCIONS: TRIANGLES I QUADRILÀTERS

Donat el radi de circumferència a (o la circumferència amb el seu centre), inscriure els polígons regulars:

1 2 3 1r- Tracem un diàmetre

2n- Amb centre en un extrem i ràdio igual al la cir. tracem un arc

3r-Unim l'altre extrem del diàmetre amb els dos punts en la circumferència que ens han donat els arcs.

1 2 3

1r- Tracem un diàmetre. 2n- Tracem un diàmetre perpendicular. 3r- Unim els punts de tall dels

diàmetres amb la circumferència.

1 2 3 4 5 6

1r- Tracem un diàmetre. 2n- Tracem un diàmetre perpendicular al primer. 3r- Fem la mediatriu d'un radi obtenint. 4t- Amb centre en m i ràdi ab tracem un arc per obtenir b => b és el costat del pentàgon inscrit. 5è- Amb ràdi ab començant per a tracem arcs sobre la circumferència 6è- unim els punts de la circumferència.

1 2 3 4 1r- Tracem un diàmetre. 2n- Amb centre en un extrem i ràdi

igual al la cir. tracem un arc. 3r- Repetim l'operació des de

l'altre extrem. 4º- Unim els punts.

1r- Tracem un diàmetre. 1 2 3 4 5 2n- Tracem un arc d'igual radi

a la cir. des d'un extrem. 3º- Unim a amb b obtenint m.

am és el costat de l'heptàgon 4t- Amb arcs de ràdi ab tracem

arcs sobre la cir. 5è- Unim els punts.

1 2 3 4

1r- Tracem un diàmetre horitzontal. 2n- Tracem un diàmetre perpendicular al

primer. 3r- Tracem dues bisectrius a dues

quadrants. 4t- Hem obtingut vuit punts sobre la

circumferència, els unim.

1r ESO: Polígons

CONSTRUCCIONS: POLÍGONS REGULARS INSCRITS

Donat el radi de circumferència a: construir un polígon regular de n (13) costats:

1r Tracem una circumferència amb el radi que ens han indicat i tracem un diàmetre vertical DIVIDIM EL DIÀMETRE A TANTES PARTS COMO costats VOLEM QUE TINGUI el POLÍGON

2n Des de l'extrem superior tracem una semirecta auxiliar i la dividim en tantes parts com volem dividir el diàmetre (podem fer-ho amb el compàs o amb el regle graduat) 3r unim l'últim extrem amb l'extrem oposat del diàmetre 4t Tracem paral·leles per les divisions del segment auxiliar obtenint la divisió del diàmetre en n parts iguals

1 2 3 4

5è amb radi igual al diàmetre de la circumferència i des dels extrems d'aquest tracem dos arcs que ens donaran un focus 6è des del focus tracem rectes per les divisions parells. en els extrems contràries de la circumferència obtindrem la meitat dels vèrtexs de la solució. el punt 0 del diàmetre també ho incloem, encara que donada la seva situació no hem necessitat traçar una recta ja que aquest ja es troba sobre la circumferència

5 6

7è Repetim l'última operació des del costat contrari

7

8è Unim tots els punts obtinguts sobre la circumferència, recordant comptar amb el punt 0 del diàmetre

8

1r ESO: Polígons

POLÍGONS INSCRITS (Mètode General)

Els polígons estrellats s'obtenen unint de forma constant i no consecutiva els vèrtexs de los polígonos regulares. Segons el nombre de vèrtexs que tingui el polígon no estrellat podrem obtenir cap, un o diversos polígons estrellats:

Per il·lustrar el quadre de l'esquerra prenem l'exemple del enneàgon, del qual podem obtenir fins a quatre estrelles depenent del nombre de vèrtexs que saltem. Unint vèrtexs Unint vèrtexs Unint vèrtexs Unint vèrtexs saltant al segon. saltant al tercer. Saltant al quart. saltant al cinquè.

11/5

11/2 11/3 11/4

Es defineixen per N / M sent N el nombre de vèrtexs polígon del regular convex i M el salt entre vèrtexs. N / M ha de ser fracció irreductible, en cas contrari no es genera el polígon estrellat que indica la fracció.

Per saber quants polígons estrellats és possible inscriure en un polígon convex: n és el nombre de vèrtexs del polígon regular convex. És possible construir tants polígons estrellats com nombres enters hi ha, menors que la seva meitat (n / 2) i primers amb n.

Exemple::Eptàgon (7 costats), la seva meitat és 3,5 i els numeros sencers menors de 3,5 cosins són el 2 i el 3. Llavors podem unir els vèrtexs

FALSES ESTRELLES

En alguns casos en unir els vèrtexs de manera alterna podem trobar-nos que en realitat inscriure altres polígons convexos dins el polígon inicial. En aquests casos no obtindrem veritables polígons estrellats sinó FALSES

L'estrella de David. Fals Octògon estrellat. ESTRELLES.

ESTRELLAR POLÍGONS

Estrellar un polígon consisteix a perllongar els seus costats perquè es tallin novament entre si, així s'obté un nou polígon amb forma d'estrella.

A l'esquerra podem veure el procés costat del polígon estrellat

1 2 d'estavellar un pentàgon. Per a aquest polígon només podem

estrellar una vegada, ja que el pentàgon únicament genera un polígon estrellat. A l'pentàgon estrellat també se li polígono

3 diu generalment PENTAGRAMA o generador pentáculo i és una figura molt significativa simbòlicament, sobretot per contenir la proporció divina oculta en les seves mesures

Estrellar un polígon consisteix a perllongar els seus costats perquè es tallin novament entre si, així s'obté un nou polígon amb forma d'estrella.

Si estrellem un polígon convex observem que la primera estrella que es genera és la que es produeix en saltar el menor nombre de vèrtexs. si continuem estrellant-la aconseguirem la segona estrella. I així successivament podrem dibuixar, unes dins les altres, totes les estrelles possibles que aquest polígon ens ofereix. El mateix passa si inscrivim l'estrella començant pel màxim salt de vèrtexs (procediment invers).

1r ESO: Polígons POLÍGONS ESTRELLATS

nº de vèrtexs

nº de estrelles

forma d'unir els vèrtexs

5 1 2

6 0 -

7 2 2-3

8 1 3

9 2 2-4 10 2 3-4

11 4 2-3-4-5

12 1 5

13 5 2-3-4-5-6

14 4 3-4-5-6

15 4 2-4-6-7 ... ... ...

SIMETRIA AXIAL I SIMETRIA RADIAL SIMETRIA: És una transformació geomètrica en què tot punt i el seu simètric (relació biuníboca) es troben a diferent costat d'un centre o un eix i a igual distància d'aquest. Hi ha dos tipus de simetria: SIMETRIA AXIAL (eix): Els punts simètrics es SIMETRIA CENTRAL (centre-punt): Els punts troben sobre una perpendicular a l'eix de simetria, simètrics es troben alineats amb el centre, a igual a igual distància i en diferents costats de l'eix. distància i en diferent costat.

1 1'

2 2'

5 5' 3 3'

4 4'

Els parells de rectes simètrics (axials) tenenla seva

intersecció sobre l'eix de simetria. Quan l'eix de La simetria central equival a un gir de 180º amb el

simetria talla una recta, la recta simètrica tallarà a la mateix centre. La rectes o segments simètrics respecte

primera sobre l'eix de simetria i el punt d'intersecció a un centre són paral·leles

serà un PUNT DOBLE. qualsevol punt que estigui sobre l'eix de simetria té el seu simètric en el mateix punt, a aquests els anomenem PUNTS DOBLES.

Traçar el triangle simètric respecte d'un eix. Traçar el triangle simètric respecte d'un centre.

1 2 3 1 2 3

1r- A patrir d'un vèrtex tracem una perpendicular al 1r- A patrir d'un vèrtex tracem una recta que passi

eix. En el punt d'intersecció fem centre de pel centre de simetria. Al centre fem centre compàs i

traslladem la distància de l'eix al punt a de compàs i traslladem la distància del centre al

altra banda per obtenir el punt simètric del vèrtex. punt a l'altre costat per obtenir el punt simètric del 2n- Repetim l'operació amb els altres vèrtexs. vèrtex.

3r- Unim els vèrtexs simètrics 2n- Repetim l'operació amb els altres vèrtexs. 3r- Unim els vèrtexs simètrics

Es diu ORDRE de SIMETRIA (n) al nombre de vegades que cal rotar l'angle menor (a) per fer una volta completa (N = 360 º / a) o, al nombre de figures idèntiques que formen la figura completa. Així doncs els polígons regulars compleixen amb una simetria radial d'ordre Simetria Simetria Simetria igual al seu nombre de costats. d'ordre 3 d'ordre 5 d'ordre 7

EIX: Línia que divideix en dues parts una figura o imatge, o que marca la seva direcció.

AXIAL: Relatiu a l'eix

RADIAL: Relatiu al radi.

SIMETRIA GEOMÈTRICA: És aquella que segueix amb exactitud i rigor les normes de la geometria

SIMETRIA APARENT: És aquella que fa una figura, imatge o forma, aparèixer visualment simétrica pero que no sigue con total exactitud las leyes de la simetría.

TRANSVERSAL: Una cosa que s'estén travessat d'un costat a un altre.

MASSA VISUAL: És una forma o grup de formes que atreu l'atenció de l'observador d'una imatge.

COMPENSACIÓ DE MASSES: Forma de compondre imatges situant les masses de manera que atreguin l'atenció per igual a un costat i un altre d'un eix imaginari.

CONFIGURACIÓ: Disposició de les parts que componen una imatge.

1r ESO: SIMETRIA PROCEDIMENT I DEFINICIONS IMPORTANTS