Algebra Lineal

Publicación

Jose Antonio Mendez

Carnet: 13204

Vectores

¿Qué es un vector?

Es un segmente de recta que tiene dirección. Va desde un punto A a un punto B. Se escribe el nombre de un vector en negrillas o con una flecha arriba ( A⃗B). Se nombran según sus dos puntos (el de origen seguido por el final) o por un nombre especifico dado al vector.

Notación de vectores

Los vectores se denotan por sus componentes. Estos pueden tener infinitas componentes. Se escriben en renglón o en columna.

Suma de vectores

Al sumar dos vectores resulta un vector, el denota el desplazamiento total de ambos. Para sumar vectores se suman sus componentes por separado, es decir:

u+v=[u1+v1 , u2+v2 ,…un+vn]

Gráficamente la suma de vectores es:

Propiedades de los vectores

u + v = v + u Conmutatividad (u + v) + w = v + (u + w) Asociatividad u + 0 = u u + (-u) = 0

c(u + v) = cu + cv Distributividad u(c + d) = cu + du Distributividad c(du) = (cd)u 1u = u

Producto punto

El producto punto entre dos vectores se obtiene multiplicando por componentes y sumando los resultados. Los vectores deben tener el mismo número de componentes.

u ∙ v=[u1 v1+u2 v2+…un vn]

u ∙ v=v ∙uConmutatividad w ∙(u+v )=w∙u+w ∙vDistributividad (c u ) ∙ v=c (u ∙ v ) u ∙u≥0, u ∙u=0 solo si u=0

Longitud o norma

La longitud o norma de un vector es la distancia que este recorre. Esta dada por:

‖u‖=√u12+u22+…un2

Esto viene del teorema de Pitágoras y también se puede escribir como:

‖u‖=√u ∙u

Distancia entre vectores

Esta es la longitud que separa a ambos. Esta dada por:

d (u , v )=‖u−v‖

Para verlo mejor:

Angulo entre dos vectores

Es el Angulo que separa a ambos vectores entre sí. Esta dado por:

cosθ= u ∙ v‖u‖‖v‖

Vectores ortogonales

En dos dimensiones dos vectores que forman un Angulo de 90° entre si son perpendiculares. Para vectores en n dimensiones a esto se le llama ortogonalidad. Dos vectores u y v son ortogonales si:

u ∙ v=0

Proyecciones

La proyección de u sobe v está dada por:

proyv (u )=( u ∙ vu ∙u )u

En esta imagen

A⃗P

es la proyección de

A⃗B

sobre l.

Ecuaciones de la recta en ℝ2Forma general: ax+by=c

Forma normal: n ∙ x=n ∙ p (donde n = [ab], un vector normal a la recta y p es un punto específico)

Forma vectorial: x=p+t d (donde d es el vector dirección, t es constante y p es un punto específico)

Forma paramétrica: x=p1+t d1, y=p2+t d2 (la forma vectorial dada por componentes)

Ecuaciones de un plano en ℝ3Forma general: ax+by+cz=d

Forma normal: n ∙ x=n ∙ p (donde n = [abc ], un vector normal al plano y p es un punto específico)

Forma vectorial: x=p+su+t v (donde u y v son el vectores de dirección, s y t son constante y p es un punto específico sobre el plano)

Forma paramétrica: x=p1+su1+t v1, y=p2+su2+t v2, z=p3+su3+t v3 (la forma vectorial dada por componentes)

Producto cruz

El producto cruz esta dado para vectores en ℝ3, es una construcción que produce un tercer vector ortogonal a los dos a los que se le aplica. Para los vectores u y v el producto cruz está dado por:

u×v=[u2 v3−u3 v2u3 v1−u1 v3u1 v2−u2 v1]