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Óptica Geométrica

La óptica geométrica es la parte de la óptica que trata, a partir de representaciones geométricas, de los cambios de dirección que experimentan los rayos luminosos en los distintos fenómenos de reflexión y refracción. Se basa en las siguientes leyes:

Ley de la propagación rectilínea de la luz: tiene su base experimental en la formación de sombras de objetos a partir de focos luminosos puntuales. El tamaño de la sombra real es igual al que se obtendría prolongando geométricamente rectas que partiendo del foco, pasasen por los puntos de la silueta del objeto.

Ley de la independencia de rayos luminosos: establece que la acción de cada rayo es independiente de los demás, es decir, no guarda relación con el hecho de que los demás actúen simultáneamente o no actúen en absoluto.

Ley de la reflexión y refracción

Ley de reciprocidad: establece que la trayectoria de un rayo que partiendo de F llega a un punto P por reflexión en O sería la misma que seguiría un rayo que partiera de P, se reflejara en dicho punto O y llegaría a F.

Conceptos básicos

Óptica por reflexión: imágenes en sistemas de espejos planos y espejos esféricos (cóncavos y convexos).

Óptica por refracción: imágenes formadas a través de lentes delgadas de formas diversas.

Terminología

Sistema óptico: conjunto de superficies que separan medios transparentes, homogéneos e isótropos de distinto

índice de refracción.

Objeto: fuente de la que proceden los rayos luminosos, bien por luz propia o reflejada. Cada punto de la superficie

del objeto será considerado como una fuente puntual de rayos divergentes.

Imagen: figura formada por el conjunto de puntos donde convergen los rayos que provienen de las fuentes

puntuales del objeto tras su interacción con el sistema óptico. Puede ser de dos tipos:

- Real: imagen formada en un sistema óptico mediante intersección en un punto de los rayos convergentes procedentes del objeto puntual después de atravesar el sistema.

- Virtual: imagen formada mediante intersección en un punto de las prolongaciones de los rayos divergentes formados después de atravesar el sistema óptico.

Consideraremos que las superficies curvas son esféricas (espejos y lentes):

Centro de curvatura (C): centro geométrico de la esfera al que corresponde la superficie del espejo o lente. En

espejos planos el centro de curvatura se considera en el infinito.

Vértice (V): Es el punto de corte de la superficie esférica con el eje óptico.

Radio de curvatura: distancia que existe entre el centro de curvatura y el vértice.

Eje óptico: eje que une el objeto con el centro de curvatura de la lente o espejo y con el centro del sistema óptico.

El sistema óptico en el que todos los rayos que parten de un punto se juntan en otro se denomina estigmático. Si el sistema óptico no cumple esta propiedad recibe el nombre de astigmático. Cuando todas las superficies de separación de medio tienen un eje común de simetría el sistema se denomina centrado.

Óptica de la reflexión

Espejos planos

La imagen formada en un espejo plano:

Es virtual.- los rayos reflejados parecen provenir del punto imagen pero no pasan realmente por dicho punto, sólo lo hacen sus prolongaciones

Es del mismo tamaño que el objeto

Presenta inversión lateral (izquierda-derecha)

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Física _ 2º Bachillerato

Para dibujar la imagen:

1º. Desde el punto A1 se trazan dos rayos luminosos:

- Uno de ellos es normal al espejo y se refleja retrocediendo en la misma dirección

- El otro incide con un cierto ángulo i en el espejo y se refleja formado un ángulo igual.

La prolongación de los dos rayos reflejados da lugar a A2, imagen virtual de A1.

2º. Si procedemos de igual modo con B1, obtendremos B2.

3º. Al unir A2 con B2 obtendremos la imagen del objeto.

Sistemas de espejos planos

Existe la posibilidad de combinar espejos planos para producir una imagen sin inversión lateral, por ejemplo, situando dos espejos de forma que formen un ángulo de 90º:

Las imágenes I1 e I2 se obtienen directamente. I3 es la proyección de I1 en el hipotético espejo AB o de I2 en el hipotético CA. Para un observador, las rayas parecen proceder de I3 después de la doble reflexión. La imagen I3 no presenta inversión lateral.

El número de imágenes formadas en general en un sistema de dos espejos es n =360°

α - 1 siendo 𝛼 el ángulo que forman

los espejos.

Espejos esféricos

No todos los rayos que se reflejan en la superficie convergen en un punto, esa desviación es la aberración esférica. Por eso usamos la aproximación paraxial. En el estudio de los espejos esféricos, estudiaremos únicamente los rayos próximos al eje óptico, debido a que todos los rayos paralelos que convergen en su superficie los hacen converger en un punto (foco), estos rayos son los llamados rayos paraxiales.

Un espejo esférico es una porción de superficie esférica pulimentada. Son cóncavos cuando su superficie interior es reflectante y convexos cuando lo es la exterior. Consideramos un espejo cóncavo en el que se reflejan los rayos paraxiales que provienen del objeto O para converger en I donde se forma la imagen. C es el centro de curvatura, P es el punto de incidencia con el espejo. Por la ley de reflexión el rayo incidente y el reflejado tienen el mismo ángulo.

I2

I1I3

D

O

C

A

B

O V

P

l

C I

S0

Si

r

i

i

A1 A2

B1 B2

s s’

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Óptica Geométrica

S0 es la distancia desde O al vértice (V), Si la distancia entre el punto imagen (I) y el vértice. La distancia CV es el radio de curvatura (r). Según la figura y considerando que los ángulos son muy pequeños, podemos hacer las siguientes aproximaciones:

tg α ≈ α ≈ l

S0 tg β ≈ β ≈

l

r tg θ ≈ θ ≈

l

Si

En el triángulo OPI tenemos que α + 2i + (180° - θ) = 180° de donde α + 2i = θ

En el triángulo CPI, tenemos que β + i + (180° - θ) = 180° de donde i = θ - β

Sustituyendo en la primera: α + 2(θ - βi) = θ → α + θ = 2β → l

S0 +

l

Si = 2

l

r

De donde se obtiene la ecuación de los espejos que nos sirve para saber el punto donde se formará la imagen si conocemos r y la posición del objeto:

1

S0 +

1

Si =

2

r

Si O está muy distante de forma que 1

S0 ≈ 0 → Si =

r

2 . En este caso, se puede considerar que los rayos son prácticamente

paralelos, puesto que vienen de un punto muy alejado, y por tanto, los reflejados convergen en un punto que llamábamos

foco. En este caso el foco coincide con la imagen y Si es la distancia focal: f = r

2.

Entonces se puede escribir: 1

S0 +

1

Si =

1

f . Es válido tanto para espejos cóncavos como convexos. Solo depende del criterio

de signos que se utilice:

Signo (+).- cuando las distancias (S0, Si , r, f) están por delante del espejo o en el lado llamado real, que es aquel donde los rayos transportan energía.

Signo (-).- cuando las distancias (S0, Si , r, f) están por detrás del espejo o en el lado llamado virtual, que es aquel donde los rayos son simples prolongaciones de los rayos reales y no transportan energía

En un espejo cóncavo las distancias r y f son (+) y en uno convexo son (-). Siempre que intervenga un solo espejo, el signo de S0 será (+).

Si suponemos, que un espejo plano es como un esférico de radio ∞, podemos emplear la ecuación de los espejos esféricos para un espejo plano:

1

S0 +

1

Si =

2

∞ →

1

S0 +

1

Si = 0 → S0 =- Si

Esto es una descripción de lo que sucede en un espejo plano: la imagen es virtual, es decir, negativa, pero las distancias son iguales.

Formación de imágenes en espejos esféricos: diagramas de rayos y aumento de la imagen

Si se consideran las dimensiones del objeto, podemos aplicar el diagrama de rayos, que nos permite saber cómo es la imagen formada del objeto. Consideramos una pirámide de altura h, reflejada en un espejo esférico cóncavo de distancia focal f y radio de curvatura r. El método es el siguiente:

Rayo 1: se traza desde la parte superior del objeto y transcurre paralelo al eje óptico. Al reflejarse según la ley de la reflexión pasará por el foco F.

C F

f = r/2r

Cóncavo

CF

f=r/2r

Convexo

P

C

F

1

3

2

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Física _ 2º Bachillerato

Rayo 2: se traza desde la parte superior del objeto y pasa por el centro de curvatura C. El rayo reflejado tiene la misma dirección que el incidente. El rayo es perpendicular al espejo.

Rayo 3: se traza desde la parte superior del objeto y pasa por el foco F. El rayo reflejado sale paralelo al eje óptico.

En realidad solo se necesitan dos de los tres rayos. El tercero puede servir para la comprobación.

Se denomina aumento de la imagen a la relación que existe entre el tamaño de la imagen h’ y del objeto h:

El rayo que proviene de la parte superior del objeto y que se refleja en el vértice, pasa por la parte superior de la imagen:

tg i = h

S0

tg i' = - h'Si

}→ Aumento de Imagen = h'

h = -

Si

S0

El signo (-) indica que la imagen está invertida.

Imágenes en los espejos esféricos cóncavos

Inversión Lateral

Distancia objeto mayor que el radio de curvatura

S0 > r

Real

Invertida

Disminuida

Si < S0

El objeto está justo en C

S0 = r

Real

Invertida

Tamaño Natural

Si = S0

El objeto está entre C y F

f <S0 < r

Real

Invertida

Aumentada

Si < S0

El objeto está justo en F

S0 = f

Borrosa

Irreconocible

Llena todo el espejo

Si <

El objeto está entre F y V

S0 < f

Virtual

Derecha

Aumentada

Si = - S0

C

Vi

i’

Si

S0

CF

C

F

C

F

C F

C F

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Óptica Geométrica

Imágenes en los espejos esféricos convexos

Virtual

Cualquier posición 1

Si =

1

f -

1

S0→ {f < 0

r < 0

Derecha

Disminuida

Imágenes por refracción en superficies esféricas.

Consideremos un objeto luminoso O, situado en un medio de índice de refracción n1, a una distancia S0 del vértice V, de una superficie refractora esférica convexa. Si el segundo medio tiene un índice de refracción n2, mayor que n1, los rayos que llegan a cualquier punto de la superficie serán desviados hacia una mayor aproximación a la normal a la superficie.

Consideremos el rayo que incide en el punto P, a una altura l sobre el eje óptico. El radio de curvatura es r y C es el centro de curvatura. El lugar donde se forma la imagen es I localizado a una distancia Si del vértice de la superficie. Los ángulos , , y son los que forman el rayo incidente, la normal y el refractado con el eje óptico.

Teniendo en cuenta la aproximación paraxial (tg sen ángulo, para ángulos pequeños) se tiene que:

= l

S0 β =

l

r θ =

l

Si

Si aplicamos la ley de Snell n1 · sen i = n2 · sen r y teniendo en cuenta la aproximación paraxial n1 · i = n2 · r

En el triángulo OPC se observa que + + (180° – i ) = 180° y por tanto i =+

En el triángulo 𝑃𝐶𝐼 se observa que r + θ + (180° – β) = 180° y por tanto r = - θ

n1 · ( + ) = n2 · ( - θ) → n1 · (l

S0+

l

r) = n2 · (

l

r -

l

Si)

Dando lugar a la expresión del dioptrio (superficie de separación de dos medios con distinto n) esférico o aproximación gaussiana:

n1

S0 +

n2

Si =

n2 - n1

r

Criterio de signos para la óptica de la refracción a través de una superficie.

Al igual que en los espejos, la distancia a la imagen Si es positiva si la imagen es real. Esto determina una diferencia fundamental entre los criterios de la reflexión y refracción: la imagen real en la primera se forma delante del espejo (en el medio de incidencia), mientras que en la segunda se forma en el medio de transmisión.

S0 es (+) si es objeto está enfrente de la superficie (en el lado de incidencia).

Si es (+) si la imagen es real, es decir, si se forma detrás de la superficie (en el lado de transmisión).

r es (+) si el centro de curvatura se encuentra detrás de la superficie (en el lado de transmisión).

CF CF

O V

P

C I

S0Si

r

i

r

medio 1 medio 2

l

n1 < n2

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Física _ 2º Bachillerato

Aumento de la imagen por refracción

Se define el aumento lateral de la imagen como la relación existente entre la altura de la imagen formada, h’, y la del objeto, h.

Teniendo en cuenta la aproximación paraxial:

r = - h'

Si i =

-h

S0

Si utilizamos la ley de Snell:

n1 · sen i = n2 · sen r → n1 · sen -h

S0 = n2 ·

- h'

Si

Por lo que el aumento de la imagen viene dado por:

h'

h=

n1 · Si

n2· S0

Distancias focales en la óptica de refracción

En una superficie de refracción convexa que separa dos medios de índices n1 y n2, en donde n1 < n2, si el objeto está a una distancia muy lejana (S0 = ) los rayos incidentes pueden considerarse paralelos. El punto Fi en el que convergen los rayos refractados es denominado foco imagen y Si, en este caso particular fi, distancia focal imagen.

Se puede obtener dicha distancia a partir de la ecuación del dioptrio esférico:

n1

∞ +

n2

fi =

n2 - n1

r → fi=

n2

n2 - n1 · r

De forma análoga se puede establecer un foco objeto F0, que es el punto de donde debería partir los rayos para que los rayos refractados salieran paralelos. Así, Si = y S0, correspondiente a la distancia focal objeto, f0.

n1

f0 +

n2

∞ =

n2 - n1

r → f0 =

n1

n2 - n1 · r

Si dividimos ambas expresiones obtenemos la relación entre ambas distancias focales:

f0

fi =

n1

n2

Imágenes formadas por refracción en superficies planas

Una superficie plana puede considerarse como si fuera una superficie esférica de radio infinito (r = ). La ecuación del dioptrio esférico sería:

n1

S0 +

n2

Si = 0 → Si = -

n2

n1· S0

Como los n > 0 y teniendo en cuenta nuestro criterio de signo podemos decir que: “La imagen de un objeto visto a través de una superficie refractora plana, es virtual y se forma del lado del objeto (lado de incidencia)”.

Si el medio de incidencia de los rayos tiene un mayor índice de refracción que el de transmisión (n1 > n2) veremos el objeto más próximo de lo que realmente está:

V

f1

FiC

V C

f0

F0

V

C

S0 Si

i

r

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Óptica Geométrica

La razón por la que un objeto parcialmente sumergido en agua parece estar curvado, es que la imagen que nosotros vemos del objeto sumergido se forma a una profundidad menor que la real. Si consideramos que el nagua = 1.333 (medio de

incidencia) y el naire = 1 (medio de transmisión), la distancia a la que se forma la imagen de nosotros será:

Si = -1

1.333 · S0 = - 0.75 · S0

Como S0 es la profundidad real del objeto, la imagen del objeto está a las 3

4 partes de la profundidad real. Por esto el

objeto parece estar curvado. Es un efecto de refracción. El (-) indica que la imagen está debajo del agua (virtual).

Lentes delgadas

Una lente es un sistema óptico formado por dos o más superficies refractoras, de las que al menos una está curvada. Cuando las superficies refractoras son 2 se llama lente simple. Si, además, su grosor es despreciable en relación con las distancias S0, Si y r, recibe el nombre de lente delgada, las cuales se clasifican en:

Lentes convexas o divergentes o positivas.- son más gruesas en su parte central y hacen converger los rayos que las atraviesan (nlente > nmedio).

Lentes convexas o convergentes o negativas.- son más delgadas en su parte central y hacen diverger los rayos que las atraviesan (nlente > nmedio).

Convexas o Convergentes

Cóncavas o Divergentes

Biconvexa

Bicóncava

Plano-Convexa

Plano-Cóncava

Menisco-Convexa

Menisco-Cóncava

Ecuación de las lentes delgadas

La superficie de las lentes es esférica. Consideremos una lente delgada biconvexa. Las superficies que la constituyen tienen radios de curvatura r1 y r2 respectivamente. Supongamos que el nlente > 1 y el medio que la rodea es aire (naire ≈ 1). Si suponemos que la lente es delgada (espesor 0), podemos considerar las distancias desde el centro óptico de la lente O en vez de desde el vértice V.

Desde el objeto P, que se halla a una distancia S0 del centro óptico O, parten rayos luminosos que llegan a la superficie de radio r1. Sufren una primera refracción que hace que parezcan provenir del punto P’, situado a una distancia Si’ de O. La imagen sería virtual y se formaría en P’.

Aplicando la ecuación del dioptrio esférico tenemos 1

S0 +

n

Si' =

n-1

r1. Sin

embargo la imagen no se forma en dicho punto porque los rayos sufren una segunda refracción en la superficie de radio r2 para converger finalmente en I, donde se forma la imagen a una distancia Si de O. Suponemos que en esta segunda refracción los rayos provienen de P’ y que el medio incidente es n, mientras que el medio al que se transmiten los rayos es el aire.

Volviendo a aplicar la ecuación del dioptrio esférico se tiene que n

S0' +

1

Si =

1 - n

r2. Según el convenio de signos usado en la refracción las distancias

P

S0 Si

aireaire

r2r1

C1C2 O IP’

S’i

medio

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Física _ 2º Bachillerato

objeto (S0y S0’) son positivas en el lado de incidencia, mientras que las distancias imagen son negativas S0' = - Si', así, la

ecuación para la segunda superficie puede escribirse: n

- Si' +

1

Si =

1 - n

r2 . Sumando las dos ecuaciones tenemos la ecuación del

fabricante de lentes o fórmula de las lentes delgadas

1

S0 +

1

Si = (n - 1) (

1

r1 -

1

r2)

Podemos expresar esta ecuación en función de la distancia focal de la lente. Una lente delgada presenta dos distancias focales: objeto e imagen. La primera se obtiene haciendo Si = ∞ y entonces S0 = f0. La segunda distancia focal (imagen) se halla haciendo S0 = ∞ y entonces Si = fi. Al sustituir en cualquiera de los dos casos la expresión obtenida es la misma. Esto quiere decir que en las lentes, la distancia focal objeto e imagen valen lo mismo, es decir:

f = f0 = fi 1

f = (n - 1) (

1

r1 -

1

r2)

Que es la ecuación del fabricante de lentes en función de la distancia focal. Comparando las dos expresiones del fabricante de lentes se obtiene:

1

S0 +

1

Si =

1

f

Que es la fórmula gaussiana de las lentes delgadas. Esta ecuación es la misma que usamos con los espejos, pero el criterio de signos es diferente.

En el caso de que la lente se encuentre inmersa en un medio que no sea el aire, con índice de refracción 𝑛’, la ecuación sería idéntica sin más que sustituir el índice de refracción absoluto de la lente 𝑛, por su índice de refracción relativo al medio nrelativo = n

n'⁄

1

f = (nrelativo - 1) (

1

r1 -

1

r2)

Esto quiere decir que el comportamiento convergente o divergente de una lente depende del medio en el que esté inmersa. Una lente biconvexa se comporta como convergente cuando está en el aire y como divergente si el medio de alrededor tiene un índice de refracción mayor que la lente.

Formación de imágenes en lentes delgadas

1

S0 +

1

Si =

1

f

Rayo 1. paralelo al eje óptico y tras ser refractado en la lente, pasa por el foco imagen de la misma.

Rayo 2. pasa por el centro óptico de la lente. No sufre desviación alguna y atraviesa la lente en línea recta.

Rayo 3. pasa por el foco anterior a la lente, foco objeto y tras ser refractado en la lente, emerge paralelo al eje óptico.

Si observamos la figura y utilizamos la aproximación paraxial: θ = h

S0 θ = -

h'

Si, por lo que el aumento de la imagen es:

h'

h = -

Si

S0

Un aumento negativo significa que la imagen resulta invertida.

Fi

nmedio < nlente

Fi

nmedio > nlente

Lado de

incidencia

Convergente Divergente

OFF

S0 S1

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Óptica Geométrica

Imágenes a través de lentes biconvexas

Inversión Lateral

Objeto entre y 2f

S0 =

Real

Invertida

Disminuida

2f < Si < f

Objeto a una distancia

S0 = 2f

Real

Invertida

Tamaño Natural

Si = 2f

El objeto está a una distancia S0 comprendida entre f y 2f

Real

Invertida

Aumentada

2f < Si <

El objeto está justo en

S0 = f

Gran Borrón

Si =

El objeto está a una distancia

S0 < f

Lupa

Virtual

Derecha

Aumentada

Si < 0

Imágenes a través de lentes bicóncavas

Virtual

Cualquier posición

(r1 < 0

r2 > 0)→

1

Si =

1

f =

1

S0 < 0 → Si < 0

Derecha

Disminuida

F

F

O

S0 S1

f f

2f 2f

F

F

O

S0 S1

F

F

O

S0 S1

F

F

O

F

F

O F

F

O