Ps3161 t4 - solucion grafica - casos especiales

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Técnicas de Técnicas de OptimizaciónOptimizaciónen Modelos en Modelos

Organizacionales (PS-Organizacionales (PS-3161)3161)

Tema N° 4:Tema N° 4:

Solución Gráfica:Casos EspecialesSolución Gráfica:Casos Especiales

Prof. Orestes G. Manzanilla SalazarCorreo: [email protected] - twitter: @proforestes - http://prof.usb.ve/omanzanillaDpto. de Procesos y Sistemas – Centro de Estadística y Software MatemáticoUniversidad Simón Bolívar ( Caracas – Venezuela )Junio 2012

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AgendaAgenda

Repaso Solución GráficaRepaso Solución Gráfica

Casos EspecialesCasos Especiales Soluciones óptimas alternativasSoluciones óptimas alternativas No acotamientoNo acotamiento DegeneraciónDegeneración InfactibilidadInfactibilidad

Utilidad y recomendacionesUtilidad y recomendaciones

PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011

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Repaso de Solución Gráfica Repaso de Solución Gráfica (1)(1)

Sistema RealSistema RealModelo (lineal)Modelo (lineal)

del Sistema del SistemaFormulación

Solución deSolución deModelo (lineal)Modelo (lineal)

Solu

ción

Solución paraSolución parael Sistema Realel Sistema Real

Interpretación

Impl

anta

ción

Clases 2 a 4 MinZ(x)= c.x s.a.: A.x ≥ b

x ≥ 0

Clase 5

x*

Z(x*)=Z*Caso

s

Especia

les

Gráfica y Analítica


44


EjemploEjemplo::

MinZ(x)= -x1 + 4x2 s.a.: x1 + x2 2 x1 + x2 5 x1 – 2x2 0 2x1 – x2 0 x1, x2 0

Paso 1: Identificar Región FactiblePaso 1: Identificar Región Factible

(0,2)

(2,0)

Restricción: x1 + x2 2

Considero la igualdad:x1 + x2 = 2

Ubico dos puntos:escogo los de “corte” con los ejes, porque la recta no cruza el orígen.

Si x1=0, entonces x2=2. si x2=0, entonces x1=2.

Identifico semi-plano factible, probando con un punto fácil de evaluar: (0,0).

0 + 0 2No se cumple!

x1

x2


55


EjemploEjemplo::



(0,5)

(5,0)

De forma análogax1 + x2 5

Considero la igualdad:x1 + x2 = 5

Ubico dos puntos:escogo los de “corte” con los ejes, porque la recta no cruza el orígen.

Si x1=0, entonces x2=5. si x2=0, entonces x1=5.


0 + 0 5Se cumple!

x1

x2


66


EjemploEjemplo::



(0,0)(2,1)

x1

x2

De forma similar

x1 - 2x2 0Considero la igualdad:

x1 - 2x2 = 0Ubico dos puntos:Uno es el orígen, puesto que la ordenada en el orígen es 0 (término constante).Para obtener otro punto, supongo x1: Si x1=2, entonces x2=1.


1 + 2.0 0No se cumple!


77


EjemploEjemplo::

Paso 1: Identificar Región FactiblePaso 1: Identificar Región Factible(0,0)

(1,2)


De forma análoga

2x1 - x2 0Considero la igualdad:

2x1 - x2 = 0Ubico dos puntos:Uno es el orígen, puesto que la ordenada en el orígen es 0 (término constante).Para obtener otro punto, supongo x1: Si x1=1, entonces x2=2.


2.1 + 2.0 0Se cumple!

x1

x2


88


EjemploEjemplo::



Reg

ión

fact

ible

x1

x2


99


EjemploEjemplo::

Paso 1: Identificar dirección de mejoraPaso 1: Identificar dirección de mejora


x1

x2

Evaluamos la función objetivo en un punto cualquiera del dibujo. Por ejemplo: (5,5).Z(5,5)= -5 + 4.5 = 15Queremos dibujar todos los lugares dondeZ(x) = 15-x1 + 4.x2 = 15

(5,5)

Necesitamos un 2do punto. Suponemos x2=4 y conseguimos x1:

Si x2=4, entonces -x1 + 4.4 =1516 – 15 = x1

x1 = 1(1,4)

(1,4)

Z=15


1010


EjemploEjemplo::

Paso 1: Identificar dirección de mejoraPaso 1: Identificar dirección de mejora


x1

x2(1,4)

Necesitamos identificar la dirección de mejora. Probamos con un punto fácil de evaluar, como el (0,0): Z(0,0) = 0 < 15Es mejor!

Z=15

Z(0,0)=0

mejora


1111


EjemploEjemplo::

Paso 1: Moverse hasta alcanzar el óptimo (punto extremo)Paso 1: Moverse hasta alcanzar el óptimo (punto extremo)


x1

x2

La dirección de mejora nos sirve para encontrar cuál es la última línea de iso-costo (o iso-ganancia) en esa dirección, que toca al menos en un punto a la región factible

Z=15m

ejora Z=15

x*

Interceptando las ecuaciones correspondientes a las restricciones activas en x*, se obtienen los valores x1* y x2*. Sustituyéndolos en Z, se obtendrá Z*

(4/3, 2/3)


1212

Casos EspecialesCasos EspecialesSon situaciones atípicas que se producen al buscar una solución a un modelo Son situaciones atípicas que se producen al buscar una solución a un modelo de PL. En particular, no ocurre lo usual:de PL. En particular, no ocurre lo usual:

x2

Z=15

x*

Solución en un Solución en un vértice único y vértice único y factiblefactible


1313

Caso 1: Soluciones óptimas Caso 1: Soluciones óptimas alternativasalternativas

Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo, de Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo, de forma que sea paralela a una de las restricciones forma que sea paralela a una de las restricciones “activas” en el óptimo….“activas” en el óptimo….

x2

x*


2x22x2

Veremos en el dibujo que el Veremos en el dibujo que el óptimo son TODOS los puntos óptimo son TODOS los puntos factibles de la restricción que factibles de la restricción que coincide con la línea de iso-coincide con la línea de iso-costo que pasa por el óptimo.costo que pasa por el óptimo.

(4/3, 2/3)

Se debe calcular el otro vértice Se debe calcular el otro vértice del polihedro factible que del polihedro factible que pertenece al óptimo.pertenece al óptimo.

x* (10/3, 5/3)

Se dice que el óptimo es el conjunto de las x Se dice que el óptimo es el conjunto de las x pertenecen a la ecuación de la restricción pertenecen a la ecuación de la restricción coincidente, limitado en rango en alguna de las coincidente, limitado en rango en alguna de las dimensiones:dimensiones:

x*={x/(4/3 x1 10/3)^(x1-2x2=0)}x*={x/(4/3 x1 10/3)^(x1-2x2=0)}

Al usuario habrá que Al usuario habrá que aclararle cuáles son las aclararle cuáles son las soluciones óptimas soluciones óptimas alternativas, pues aunque alternativas, pues aunque matemáticamente sean matemáticamente sean igualmente preferibles, igualmente preferibles, en la práctica del sistema en la práctica del sistema real, podría haber alguna real, podría haber alguna preferencia subjetivapreferencia subjetiva


1414

Caso 2: Degeneración (1)Caso 2: Degeneración (1)Si en el ejemplo, cambiamos la restricción “azul”, de tal forma que pasara Si en el ejemplo, cambiamos la restricción “azul”, de tal forma que pasara por el óptimo también….por el óptimo también….

x2

x*

(4/3, 2/3)

Z=15

El óptimo será al mismo El óptimo será al mismo tiempo:tiempo:• el vértice que forma la el vértice que forma la recta “azul” con la recta “azul” con la “verde”“verde”• el vértice que forma la el vértice que forma la recta “azul” con la recta “azul” con la “magenta”“magenta”• el vértice que forma la el vértice que forma la recta “verde” con la recta “verde” con la “magenta”“magenta”


1515

x2

Caso 2: Degeneración (2)Caso 2: Degeneración (2)

x*

(4/3, 2/3)

Z=15

x*

x*

x*

Matemáticamente, elMatemáticamente, el óptimoóptimo estaría al mismo tiempo en 3 estaría al mismo tiempo en 3

“vértices” diferentes, con igual valor de Z y de Variables “vértices” diferentes, con igual valor de Z y de Variables de Decisión.de Decisión.

Sin embargo no es la misma solución. Los Sin embargo no es la misma solución. Los algoritmos deben incluír un ajuste para evitar algoritmos deben incluír un ajuste para evitar un ciclo infinito entre estros “tres vértices”.un ciclo infinito entre estros “tres vértices”.

Adicionalmente, siempre una Adicionalmente, siempre una de las restricciones es de las restricciones es redundante, cuando el redundante, cuando el problema es de dos variables.problema es de dos variables.Si el problema tiene “n” Si el problema tiene “n” variables de decisión, la variables de decisión, la Degeneracion ocurre al Degeneracion ocurre al coincidir “m” restricciones coincidir “m” restricciones activas en el óptimo, donde activas en el óptimo, donde m>n. Las restricciones m>n. Las restricciones redundantes serían en total redundantes serían en total m-n.m-n.


1616


Caso 3: No AcotamientoCaso 3: No AcotamientoSi en el ejemplo, cambiamos la función objetivo para que su dirección de Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo para que su dirección de mejora sea otra, y eliminamos una restricción….mejora sea otra, y eliminamos una restricción….

x1

x2

x1 + x2x1 + x2

Región factible no acotada

mejora

Si la dirección de mejora coincide con ser una dirección en la Si la dirección de mejora coincide con ser una dirección en la que la región factible carece de cota, jamás se llega a un que la región factible carece de cota, jamás se llega a un óptimo. Para cuaquier iso-costo que se elija, podrá encontrase óptimo. Para cuaquier iso-costo que se elija, podrá encontrase una línea mejor.una línea mejor.

Se le puede Se le puede aconsejar al usuario aconsejar al usuario o al grupo de trabajo o al grupo de trabajo que considere la que considere la posibilidad de posibilidad de agregar más agregar más restricciones al restricciones al problema.problema.


1717

Caso 4: InfactibilidadCaso 4: InfactibilidadEn el ejemplo anterior, puede agregarse una nueva restricción…En el ejemplo anterior, puede agregarse una nueva restricción… (ver nueva restricción en “rojo”) (ver nueva restricción en “rojo”)

x2No existe ningún No existe ningún posible vector “x” que posible vector “x” que pueda satisfacer pueda satisfacer al al mismo tiempomismo tiempo esa esa restricción, y las 4 restricción, y las 4 restricciones originales.restricciones originales.

El usuario y el analista de El usuario y el analista de optimización deben estudiar el optimización deben estudiar el sistema, y probar una sistema, y probar una formulación en la que se formulación en la que se “relaje” alguna(s) “relaje” alguna(s) restricción(es), minimizando restricción(es), minimizando desviaciones (Programación de desviaciones (Programación de Metas / Goal Programming)Metas / Goal Programming)


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Utilidad y RecomendacionesUtilidad y RecomendacionesPermite identificar la naturaleza de las situaciones atípicas que pueden Permite identificar la naturaleza de las situaciones atípicas que pueden presentarse.presentarse.Hace la interpretación de las salidas de los paquetes computacionales más Hace la interpretación de las salidas de los paquetes computacionales más sencilla.sencilla.Permite detectar problemas en la formulaciónPermite detectar problemas en la formulación

Falta alguna restricción importanteFalta alguna restricción importante Hay diversidad en las posibles soluciones óptimasHay diversidad en las posibles soluciones óptimas Hay restricciones de más o parámetros mal estimadosHay restricciones de más o parámetros mal estimados Hay posibles problemas computacionalesHay posibles problemas computacionales Sobra alguna restricciónSobra alguna restricción

Se recomienda realizar al menos un ejercicio de graficación de cada Caso Se recomienda realizar al menos un ejercicio de graficación de cada Caso Especial.Especial.Se recomienda repasar los Casos Especiales antes de la clase de Dualidad Se recomienda repasar los Casos Especiales antes de la clase de Dualidad y Análisis de Sensibilidady Análisis de Sensibilidad


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