Prueba 11.- Calcular

C

2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i dz donde C es el crculo | z |= 5

2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i =

2z 2 + 6i(z + 2)(z 2i) =

2 + 3i

z 2i 3i

z + 2

Basta con tomar C1 :| z + 2 |= 1 y C2 :| z 2i |= 1

C

2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i dz = 3i(

C1

dz

z + 2+

C2

dz

z + 2) + (2 + 3i)(

C1

dz

z 2i +C2

dz

z 2i )

- la funcion1

z + 2es analitica en C2 por lo tanto

C2

dz

z + 2= 0 (T.C)

- la funcion1

z 2i es analitica en C1 por lo tantoC1

dz

z 2i = 0 (T.C)

- la funcion1

z + 2no es analitica en C1 pero es en un solo punto n=1

C1

dz

z + 2= 2pii (C.T.C)

- la funcion1

z 2i no es analitica en C2 pero es en un solo punto n=1C1

dz

z 2i = 2pii (C.T.C)

C

2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i dz = 3i(2pii) (2 + 3i)2pii = 4pii

2.- Desarrollar f(z) = e

z

z 2 en una serie de Laurent alrededor de z=2, indicar el tipo de singularidad y laregion de convergencia.

seau = z 2 f(u) = eu+ 2

u = e e2

u

f(u) = e

{1 +

2

u+

(2/u)2

2!+

(2/u)3

3!+

(2/u)4

4!+ ...

= e

{1 +

2

u+

(4/u2)

2+

(8/u3)

6+

(26/u4)

24+ ...

= e

{1 +

2

u+

2

u2+

4

3u3+

2

3u4+ ...

f(z) = e{

1 +2

z 2 +2

(z 2)2 +4

3(z 2)3 +2

3(z 2)4 + ...

lmz2

e

z

z 2 = 1 es una singularidad evitable, converge para todo z 6= 2

3.- Desarrollar f(z) =z

(z 1)(2 z) en una serie de Laurent valida para

a) 1 2c) 0 1, como para | z |< 2, es decir para 1 2* | z |> 1 se tiene como el inciso a)

1

z 1 =1

z+

1

z2+

1

z3+

1

z4+

1

z5+ ...

* | z |> 2

2

2 z = 2

z(1 2/z) = 2

z

{1 (2

z) + (2

z)2 (2

z)3 + (2

z)4 ...

= 2z 4z2 8z3 16z4 32z5 ...

As la expancion de laurent valida para | z |> 1, como para | z |> 2, es decir para | z |> 2, es por sustraccion:

3

z+

5

z2+

9

z3+

17

z4+

33

z5+ ...

c) 0

Taller1.- Graficar y obtener la serie de Fourier de senos y cosenos de la funcion f(x) = x2 + 1

a) serie de senos

f(x)=n=1 bn sin(

npix

L) =

L2 1 si x = Lx2 1 si L < x < 0

0 si x = 0x2 + 1 si 0 < x < LL2 + 1 si x = L

bn =2

L

L0

(x2 + 1) sin(npix

L) dx

bn =2

L

( L0

(x2) sin(npix

L) dx+

L0

sin(npix

L) dx

)

bn =2L2

(npi)3((1)n(2 3(pin)2) + 2(pin)2 2)

x2 + 1 =

n=1

2L2

(npi)3((1)n(2 3(pin)2) + 2(pin)2 2) sin(npix

L)

b) serie de cosenos

f(x)=a0 +n=1 an cos(

npix

L) =

L2 + 1 si x = Lx2 + 1 si L < x < L

1 si x = 0L2 + 1 si x = L

a0 =1

L

L0

(x2 + 1)

a0 =1

3(L2 + 3)

an =2

L

L0

(x2 + 1) cos(npix

L) dx

an =2

L

( L0

(x2) cos(npix

L) dx+

L0

cos(npix

L) dx

)

an = 4

(L

pin

)2(1)n

x2 + 1 =1

3(L2 + 3) +

n=1

4

(L

pin

)2(1)n cos(npix

L)

Prueba 21) Dada la matriz A, Usar el proceso Grand-Smith para ortonormalizar A.

(2 1 41 0 13 2 3

)

det(A) =

2 1 41 0 13 2 3 = 0 + (8) + (3) (0) (4) (3) = 10

U1 =V 1

||V 1|| =

(213

)

22 + 12 + 32=

214114314

K=1

W2 = V 2 < U1.V 2 > U2

W2 = (1, 0,2) < ( 214,

114,

314

).(1, 0,2) > ( 214,

114,

314

)

W2 = (1, 0,2) + (4

14

7)(

214,

114,

314

) + (8

7,

4

7,

12

7) = (

1

7,

4

7,2

7)

U2 =W1

||W2|| =

174727

17

2+ 4

7

2+ (2

7)2

=

121421221

K=2

W3 = V 3 [< U1.V 3 > U1+ < U2.V 3 > U2]

W3 = (4, 1,3) [< ( 214,

114,

314

).(4, 1,3) > ( 214,

114,

314

)+

< (121,

421,221

)(4, 1,3) > ( 121,

421,221

)]

W3 = (4, 1,3) [0 + 2

21

3(

121,

421,221

)

W3 = (4, 1,3) (23,

8

3,43

) = (10

3,5

3,5

3)

U3 =W3

||W3|| =

103 53 53

56

3

=

636666

B =

214

121

63

114

421

66

314

221

66

2)Dado el conjunto F, demostrar que F es ortogonal en el intervalo 0 x L, y hallar un conjuntoortonormal (Desarrollar las integrales)

F = {cos(pixL

), cos(3pix

L), cos(

5pix

L); .....}

1)||f1(x)|| = L

0

| cos(pixL

)|2dx = L

0

cos2(pix

L)dx =

L0

(1

2+

cos( 2pixL

)

2)dx

=

(x

2+

L

4pisen(

2pix

L)|L0 =

(L

2+

L

4pisen(2pi))

=

L

2

2)||f2(x)|| = L

0

| cos(3pixL

)|2dx = L

0

cos2(3pix

L)dx =

L0

(1

2+

cos( 6pixL

)

2)dx

=

(x

2+

L

12pisen(

6pix

L)|L0 =

(L

2+

L

12pisen(6pi))

=

L

2

2)||f3(x)|| = L

0

| cos(5pixL

)|2dx = L

0

cos2(5pix

L)dx =

L0

(1

2+

cos( 10pixL

)

2)dx

=

(x

2+

L

20pisen(

10pix

L)|L0 =

(L

2+

L

20pisen(10pi))

=

L

2

Demostracion que F es ortogonal:

(cos(pix

L), cos(

3pix

L)) =

L0

(cos(pix

L))(cos(

3pix

L))dx

=

L0

1

2(cos(

4pix

L) + cos(

2pixL

))dx =1

2[L

4pisen(

4pix

L) +

L

2pi sen(2pixL

)]L0

= 0

(cos(pix

L), cos(

5pix

L)) =

L0

(cos(pix

L))(cos(

5pix

L))dx

=

L0

1

2(cos(

6pix

L) + cos(

4pixL

))dx =1

2[L

6pisen(

6pix

L) +

L

4pi sen(4pixL

)]L0

= 0

(cos(3pix

L), cos(

5pix

L)) =

L0

(cos(3pix

L))(cos(

5pix

L))dx

=

L0

1

2(cos(

8pix

L) + cos(

2pixL

))dx =1

2[L

8pisen(

8pix

L) +

L

2pi sen(2pixL

)]L0

= 0

Por lo tanto, F es ortogonaly su conjunto ortonormal esta dado por:

F = [cos(pix

L)

L2

,cos( 3pix

L)

L2

,cos( 5pix

L)

L2

]