1

ALTERNATIVAS NO PARAMÉTRICAS A LOS CONTRASTES DE MEDIAS

1.- Introducción ............................................................................................................. 2 2.- Prueba U de Mann Whitney para muestras independientes ..................................... 3 3.- Prueba t de Wicoxon para muestras apareadas ........................................................ 8

1.- Introducción

Las pruebas de contrastes de medias en grupos independientes estudiadas hasta ahora exigen dos supuestos en la distribución de los datos: a) las poblaciones orígenes de los grupos estudiados han de proceder de poblaciones que siguen leyes de probabilidad normal y b) las varianzas de tales poblaciones orígenes han de ser iguales.

La primera condición se denomina de normalidad y la segunda de homocedasticidad o de igualdad de varianzas. Como tales supuestos son supuestos de los parámetros poblacionales, estas pruebas se denominan paramétricas. No siempre se cumplen tales supuestos para los valores poblacionales; en ese caso, hemos de recurrir a las pruebas no paramétricas, ya que no hay exigencias respecto a los parámetros, o también definidas en un término más genérico como pruebas de distribución libre, que nos indica que no tenemos ninguna exigencia respeto a la forma de la distribución.

En el caso de la prueba de comparación de grupos relacionados o apareados, la única condición es la de normalidad, ya que en el fondo trabajamos con una única distribución (la variable diferencia) y aquí no tiene sentido comparar la varianza de dos muestras puesto que sólo existe una.

Hay que decir igualmente que en los contrastes de medias en grupos independientes, ya viene implícita la prueba de homocedasticidad y la misma prueba ofrece el contraste adecuado tanto cuando se cumple el supuesto de igualdad de varianzas como cuando no se cumple. Por otro lado, como en los contrastes de grupos relacionados no hay varianzas que contrastar, en la práctica, el único problema consiste en chequear el supuesto de normalidad. Y todavía más, la condición de normalidad sólo se exige para muestras pequeñas (n<30), ya que en el fondo no son con las poblaciones orígenes con los que se hacen los contrastes, sino con las distribuciones muestrales (de medias o diferencias de medias) y éstas, cuando las muestras son grandes (n>30) sí siguen distribuciones normales.

De todo ello se deduce que el recurso de las pruebas no paramétricas sólo va a ser necesario para la condición de normalidad (olvidarse de la de homocedasticidad) y en el caso de la normalidad cuando las muestras sean pequeñas (olvidarse igualmente para muestras grandes). Incluso para el caso de muestras pequeñas, tampoco es un tema muy preocupante, ya que las pruebas paramétricas son pruebas muy robustas que aceptan violaciones de sus supuestos sin que apenas queden afectadas sus tomas de decisiones, lo que significa, tal como se ofrece en la tabla siguiente, que la probabilidad de error al rechazar la Ho cuando se aplica incorrectamente la prueba paramétrica no va a ser muy diferente a la que ocurriría en realidad (en este caso, 𝛼 = 0.05) si se aplicase la prueba adecuada:

2

3

Se observa cómo en el caso más extremo del incumplimiento de la normalidad sólo nos equivocamos un 8.3%, no muy lejos del 5% establecido. Otra cosa es el incumplimiento de la igualdad de varianzas, cuyo error es del 16%, pero esa solución ya se contempla en el contraste de medias.

En resumen, sólo vamos a necesitar recurrir a las pruebas no paramétricas para el caso de muestras pequeñas, y aun así el posible desperfecto no nos llevará a equivocarnos muy lejos del famoso 0.05, muy probablemente no más allá del 0.06. Y aquí una reflexión algo más extensa sobre la robustez de las pruebas paramétricas.

2.- Alternativa no paramétrica a la prueba de comparación de medias en grupos independientes. Prueba U de Mann Whitney

Supongamos que se desea comprobar el efecto de dos tratamientos distintos con relación a la depresión. Tenemos al respecto, el tratamiento A (terapia cognitivo conductual) y el tratamiento B (medicación). Los resultados antes y después de la aplicación de ambos tratamientos, obtenidos por un test que mide el grado de depresión, son los siguientes:

Nos preguntan cuál de las dos terapias es más afectiva. Para ello, hemos de calcular primeramente la mejora que experimentan los pacientes, y esta mejora vendrá dada por la diferencia entre el después y el antes del tratamiento, así que calculemos la variable diferencia. Para ello:

4

El resultado:

Para saber si hay diferencia en la mejora de la depresión entre los tratamientos A y B, lo suyo es el contraste de medias independientes, pero como se sabe, hay que comprobar los supuestos del modelo. Primero tenemos que saber si trabajamos con muestras grandes o chicas. Si son grandes, no hay que preocuparse de nada, ni de la normalidad que no es problema con muestras superiores a 30 sujetos, ni de la homocedasticidad que ya lo contempla la misma prueba de la t de Student. Si son pequeñas, que es el caso, entonces sólo de la normalidad. La forma de comprobarlo:

5

Marcamos en Gráficos:

6

Y entre todas las salidas seleccionamos:

La prueba de Shapiro-Wilk es más conveniente para muestras pequeñas. Observamos que no existe normalidad en el tratamiento A, luego el contraste entre ambos tratamientos lo llevaremos a cabo mediante la prueba no paramétrica de 2 muestras independientes, que en este caso es la U de Mann Whitney:

Pruebas de normalidad

tratamiento

Kolmogorov-Smirnova

Shapiro-Wilk

Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.

mejora A

B

,367 5 ,026 ,684 5 ,006

,283 5 ,200*

,878 5 ,298

*.

a.

7

El resultado:

Por poco no se puede rechazar la Ho, por lo que concluimos que no hay diferencia estadística entre los tratamientos. Obsérvese que en esta prueba se opera con las puntuaciones ordinales (rangos), que no son las originales cuantitativas, lo que implica una pérdida de información y por consiguiente de potencia estadística en los contrastes no paramétricos. Esta es una razón añadida que hace cuestionable la aplicación de las pruebas paramétricas cuando las puntuaciones originales son cuantitativas. Otra cosa que ya de base sean puntuaciones ordinales, que entonces no se puede aplicar otra prueba más que la no paramétrica.

Rangos

tratamiento N

mejora A

B

Total

5 7,30 36,50

5 3,70 18,50

10

Estadísticos de prueba a

mejora

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z

Sig. asintótica (bilateral)

3,500

18,500

-1,946

,052

,056 b

a.

b.

8

Si por curiosidad deseamos aplicar la prueba paramétrica:

No se cumple homocedasticidad, luego nos vamos a la segunda línea, donde nos encontramos con la t de Welch. Su valor es de 2.704, con una probabilidad asociada de 0.044. Aquí rechazaríamos la Ho, aunque también por los pelos. Si somos puristas deberemos elegir la no paramétrica como más adecuada ya que no se cumple el supuesto de normalidad y además esta prueba proporciona probabilidades exactas, pero como por otro lado tiene una medida más pobre, pues nos quedamos en ascuas. Lo mejor, hacer un nuevo estudio con una muestra ampliada.

3.- Alternativa no paramétrica a la prueba de comparación de medias en grupos relacionados. Prueba t de Wilcoxon.

Nos preguntan ahora para el total de sujetos (los 10), si hay diferencia en la depresión entre las puntuaciones antes y después de los tratamientos. Tenemos entonces 10 sujetos a los que se les mide

Estadísticas de grupo

tratamiento N Media

mejora A

B

5 18,8000 1,64317 ,73485

5 12,4000 5,02991 2,24944

Prueba de muestras independientes

prueba t para la igualdad de medias

F Sig. t gl Sig. (bilateral) Inferior Superior

mejora Se asumen varianzas iguales

No se asumen varianzas iguales

7,576 ,025 2,704 8 ,027 6,40000 2,36643 ,94300 11,85700

2,704 4,844 ,044 6,40000 2,36643 ,25755 12,54245

9

la depresión en un determinado momento y luego a esos mismos sujetos se les vuelve a medir la depresión al cabo de un cierto tiempo. Son los mismos sujetos sometidos a dos condiciones experimentales, en consecuencia nos encontramos con una prueba de comparación de medias para grupos apareados o relacionados. En este caso, como se sabe, trabajamos con la variable diferencia entre antes y después y se trata de comprobar si esa diferencia es o no diferente de cero a nivel poblacional. Como solo es una distribución, no hay homogeneidad de varianzas que comprobar, lo único es la normalidad de la distribución, así que esa es la única prueba que hemos de aplicar, y como hemos dicho, para muestras chicas, que para las grandes no hace falta. Calculemos pues la normalidad de la distribución de esta variable diferencia:

Del conjunto de los resultados, nos interesa tan solo la prueba de normalidad. Mejor la de Shapiro- Wilk:

10

No se cumple la normalidad, luego recurrimos a la prueba no paramétrica correspondiente:

Pruebas de normalidad

Kolmogorov-Smirnova

Shapiro-Wilk

Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.

mejora ,216 10 ,200*

,820 10 ,025

*.

a.

11

Tenemos una 𝑃 = 0.005 < 0.05, lo que nos indica una diferencia claramente significativa entre la depresión antes y después.

Aunque lo más apropiado para este caso es hacerlo mediante la prueba no paramétrica, vamos a intentarlo mediante la paramétrica, a ver qué pasa:

Rangos

N

antes - despues Rangos negativos

Rangos positivos

Empates

Total

0a,00 ,00

10 b 5,50 55,00

0c

10

a.

b.

c.

Estadísticos de prueba a

Z

Sig. asintótica (bilateral)

-2,823 b

,005

a.

b.

12

Los resultados:

Más significativo que anteriormente. Si queremos saber cuánto, hacemos doble clic en la significación:

Del orden de 3 millonésimas.

Estadísticas de muestras emparejadas

Media N

Par 1 despues

antes

58,3000 10 9,70739 3,06974

73,9000 10 8,33267 2,63502

Prueba de muestras emparejadas

Diferencias emparejadas

t gl Sig. (bilateral)Media Inferior Superior

Par 1 despues - antes -15,60000 4,88080 1,54344 -19,09151 -12,10849 -10,107 9 ,000