Pruebas de bondad de ajuste.pptx

7/25/2019 Pruebas de bondad de ajuste.pptx

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Pruebas de bonda

de ajustee independencia

CAPTULO 11


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INTRODUCCIN

En este captulo se examinarn prue!as "e #ip$tesis en las %ucaracterstica %ue se "esconoce es al&una propie"a" "e la 'or'uncional "e la "istri!uci$n %ue se muestrea( A"ems se "iscu

prue!as "e in"epen"encia "e "os )aria!les aleatorias en las ce)i"encia muestral se o!tiene me"iante la clasi*caci$n "e ca)aria!le aleatoria en un cierto n+mero "e cate&oras( Este tipprue!a reci!e el nom!re "e !on"a" "e a,uste( Para un tama-espec*co "el error "e tipo I. la #ip$tesis nula ser rec#a/a"a una "i'erencia su*ciente entre las 'recuencias o!ser)a"as 0 la

espera"as(Como en otras prue!as "e #ip$tesis. en stas se comparan loresulta"os muestrales con los espera"os si la #ip$tesis nula e)er"a"era( La conclusi$n "e la prue!a "e #ip$tesis se !asa en2cerca3 se encuentran los resulta"os muestrales "e los resultespera"os(


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Prueba de bondad de ajusteuna poblacin multinomial

En esta secci$n se estu"ia el caso en %ue ca"a elemuna po!laci$n correspon"e a una 0 s$lo a una "e )aclases o cate&oras( A estas po!laciones se les conopoblaciones multinomiales( La distribucinmultinomial se puede entender como una extede la distribucin binomial al caso en el que h

o ms categoras de resultados.En ca"a ensa0oexperimento multinomial uno 0 s$lo uno "e los resuocurre( 4e supone %ue ca"a ensa0o "el experimentin"epen"iente 0 %ue en to"os los ensa0os laspro!a!ili"a"es para los resulta"os permanecen con


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E4TAD4TICO DE PRUE5A PARA PRUE5A DE 5ONDAD DE A6U4TE

Consi"rese una muestra aleatoria "e tama-o n""istri!uci$n "e una )aria!le aleatoria 7 "i)i"i"a eclases ex#austi)as e incompati!les. 0 sea Ni i 8 1;( el n+mero "e o!ser)aciones en la i


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(

La pro!a!ili"a" "e o!tener "e manera exacta nio!ser)aciones en la i


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E4TAD4TICOpara n&ran"e. esta )aria!le aleatoria se "istri!u0una N>1B( A"ems sa!emos %ue el cua"ra"o "e

)aria!le aleatoria N>.1B se "istri!u0e se&+n una cua"ra"o con un &ra"o "e li!erta"( Entonces elesta"stico

4i se si&ue este ra/onamiento. pue"e "emostrarspara ;9 cate&oras "istintas

19(1B

Nies la 'recuencia o!ser)a"a en la i


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CONCLU4IONE44i existe una concor"ancia per'ecta entre las 'recuencias o!selas espera"as. el esta"stico ten"r un )alor i&ual a cero por osi las "iscrepancias entre estas 'recuencias son &ran"es. el est

tomar un )alor. tam!in mu0 &ran"e( Por ello se "espren"e %un )alor "a"o "el error "e tipo I. la re&i$n crtica estar en el esuperior la "istri!uci$n c#i


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CA4O CONTINUO De acuer"o con lo anterior. si @>xB es continua.

prue!a no compara las 'recuencias %ue se o!ser

aisla"as con la 'unci$n "e "ensi"a" propuesta tacomo implica la #ip$tesis nula sino. ms !ien. lacomparaci$n se lle)a a ca!o aproximan"o la"istri!uci$n continua !a,o =>con un n+mero *niinter)alos "e clase(

No o!stante. esta prue!a es un proce"imientora/ona!lemente a"ecua"o para pro!ar suposicionormali"a" siempre 0 cuan"o el tama-o "e la msea su*cientemente &ran"e(


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Fu tan &ran"e "e!e ser el tam"e la muestraGSe ha encontrado que con nigual a 5 veces el nmero de clases,

son aceptables. Una regla conservadora es que ninguna clase te

frecuencia inferior a 5; si esto sucediera, se agruparan clases ve

A menos que se especifique una hiptesis alternativa que consist

alternativo particular !"#$%, la potencia de la prueba #probabilidad

se encuentre en la regin crtica cuando &'es falsa% es mu( difc)or otra parte, puede demostrarse que la potencia tiende a " cua

a infinito. *sto implica que cuando nes mu( grande es casi segur

&', pues es mu( difcil especificar una !

'#$% lo suficientemente ce

distribucin. )or tanto esta prueba es cuestionable para muestra


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Otro caso

Por re&la &eneral. solo se conoce la normali"a" "necesitn"ose estimar la me"ia 0 la )arian/a. enconsecuencia las 'recuencias espera"as npi i 81

no pue"en "eterminarse( 4ea T el esta"stico "el parmetro "esconoci"o H

@>xB( Tanto Ni 'recuencias o!ser)a"asB como np'recuencias espera"as son )aria!les aleatorias. piTB in"ica %ue la pro!a!ili"a" !a,o la #ip$tesis 'unci$n "el esta"stico T "e H(

Pue"e "emostrarse %ue si T es el estima"or "e m)erosimilitu" "e H. entonces?

en "on"e res el n+mero "e parmetros %ue se es


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Ejemplo

El &erente "e una planta in"ustrial preten"e "etesi el n+mero "e emplea"os %ue asisten al consultm"ico "e la planta se encuentran "istri!ui"o en e%uitati)a "urante los "as "e tra!a,o "e la semCon !ase en una muestra aleatoria "e J semanascompletas "e tra!a,o. se o!ser)$ el si&uiente n+mconsultas?

Con K8>.>. existe al&una ra/$n para creer %ue n+mero "e emplea"os %ue asisten al consultorio no se encuentra "istri!ui"o "e 'orma e%uitati)a "

los "as "e la semanaG

unes -artes -ircoles /ueves 0iernes

12 35 34 32 15


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4oluci$n

Una "istri!uci$n uni'orme lle)a consi&o %ue lapro!a!ili"a" sera la misma para ca"a "a "e la sePor tanto pi8>.9 para i 8 1. 9. . J. (

La #ip$tesis nula =>? pi8>.9 para i 8 1. 9. . J. ( %ue n89>>. la 'recuencia espera"a para ca"a "a semana es 9>>M>.98J>( Lue&o. el )alor "el esta"es?

El esta"stico si&ue una c#i


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Ejemplo !.- las cali"caciones obtenidas en la prueba de matemticas #$% por los estudiantes de tercer a&o

los "atos estn a,usta"os a una normal "e me"ia J1 0 "es)iatpica 19>( Con !ase en la prue!a "e !on"a" "e a,uste c#i


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4oluci$n

N$tese %ue la sumas "e las pro!a!ili"a"es no es la uni"a" 0 por tanto la en clases no es ex#austi)a sin em!ar&o. me"iante un rea,uste esto pue"#acien"o %ue la primera clase no ten&a lmite in'erior ni la +ltima superio9>B8 >.>99>Q 0 la P7Q>B8 >.>1J>1( 4ustitu0en"o estos )acalculan"o

4e o!tiene %ue el )alor "e V9con 19 clases es i&ual a 19(Q.J(

e .....a....

7mero de )robabilidad 7mero

#7i8npi%49npe$?"23 " 1>?"23 "4::>,:1


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Por otro la"o el )alor crtico usan"o E7CEL

Por tanto la #ip$tesis nula no "e!e rec#a/arse( Ese,emplo ilustra el comentario 'ormula"o anteriormcon respecto a muestras mu0 &ran"es. en las cuacasi to"a se&uri"a" la #ip$tesis nula ser rec#a/a


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El estadstico de 'olmogoro(-#mirno(

La prue!a "e !on"a" "e a,uste "e Pearson se enlimita"a cuan"o @>xB es continua 0 la muestra a

"isponi!le es "e tama-o pe%ue-o( Una prue!a "!on"a" cuan"o @>xB es continua es la "e Wolmo4mirno)( No necesita %ue los "atos esten a&rupainter)alos 0 es aplica!le cuan"o la muestra es pXsta se !asa en una comparaci$n entre las 'unc"e "istri!uci$n acumulati)as %ue se o!ser)an enmuestra or"ena"a 0 en la "istri!uci$n propuesta#ip$tesis nula(

Consi"eremos la #ip$tesis nula =>? @xB8@>xB. e@>xB se especi*ca "e 'orma completa( Den$tesex

9B

. :. xnB

a las o!ser)aciones or"ena"as "e unamuestra aleatoria "e tama-o n "e'nase la 'un


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)e*nase la *uncin de distribucin acumulati(a muestral co

4i la #ip$tesis nula es correcta las "i'erencias entre 4nxB 0sern pe%ue-as( El esta"stico "e Wolmo&oro)


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E,emplo

A continuaci$n se "an los )alores or"ena"os "e umuestra aleatoria con las respuestas correctas "eestu"iantes %ue in&resaron en la uni)ersi"a" en lprue!a "el 4AT? 9. Q. 1>. . Q. . 1>1>. 1>1. 1>1. 1>9. 1>. 1>J. 1>( En a-

anteriores el n+mero "e respuestas correctas estarepresenta"o por una N >B( Con !ase en lamuestra. existe al&una ra/$n para creer %ue #a un cam!io en la "istri!uci$n "e respuestas correclas prue!as "el 4ATG Emplese un ni)el K8>.>(


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4oluci$n

Valoresordenados Sn(x) F0(x) |Sn(x)-F0(x)|

1 852 0,0625 0,0039 0,0586

2 875 0,1250 0,0139 0,1111

3 910 0,1875 0,0668 0,1207

4 933 0,2500 0,1492 0,1008

5 957 0,3125 0,2877 0,0248

6 963 0,3750 0,3300 0,0450

7 981 0,4375 0,4681 0,0306

8 998 0,5000 0,6026 0,1026

9 1007 0,5625 0,6700 0,1075

10 1010 0,6250 0,6915 0,0665

11 1015 0,6875 0,7257 0,038212 1018 0,7500 0,7454 0,0046

13 1023 0,8125 0,7764 0,0361

14 1035 0,8750 0,8413 0,0337

15 1048 0,9375 0,8962 0,0413

16 1063 1,0000 0,9406 0,0594


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(

La mxima "es)iaci$n es >.19>Q( El )alor crtico pK8>.> para D1es >.9 como pue"e o!tenerse Excel. como >.19>QS>.9 no pue"e rec#a/arse #ip$tesis nula(


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%ablas de contingencia

Una ta!la "e contin&encia es una #erramienta mpara resumir "atos cate&$ricos( 4i se "e*nen "o)aria!les cate&$ricas 7. Y con I. 6 cate&oras

respecti)amente. cual%uier su,eto po"ra clasi*cal&una "e las I 6 . %ue es cual%uiera "e las posi!cate&oras %ue existe( En &eneral una ta!la "econtin&encia tiene "os o!,eti)os?

aB Or&ani/ar la in'ormaci$n o!teni"a en un expe

cuan"o sta est re'eri"a a "os 'actores )aria!lcate&$ricasB( !B Anali/ar si existe al&una relaci$n "e "epen"en

in"epen"encia entre las )aria!les cate&$ricas %uo!,eto "e estu"io(


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Zo"elo "e Ta!la "e contin&encia


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Oi, es el n+mero "e su,etos %ue presentan lascaractersticas Ai 0 5, a la )e/( C, ? Es la suma "e la 6


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4e sortea un )ia,e a Roma entre los 19> me,ores c"e una a&encia "e autom$)iles( De ellos. son m> estn casa"os 0 J son mu,eres casa"as( 4e pCul ser la pro!a!ili"a" "e %ue le to%ue el )ia,e

#om!re solteroG 9(4i "el a'ortuna"o se sa!e %ue ecasa"o. cul ser la pro!a!ili"a" "e %ue sea una


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(

,ategora

recuenciaobser(ada/i0

recuenciaesperada

Ei0

/i 1 Ei02

/i 1Ei023Ei

4 O1 E1

4! O9 E9

...

...

45

O;

E;


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Prueba de chi-cuadrado para el anlisis detablas de contingencia con dos criterios dclasi"cacin

Zuc#as )eces sur&e la necesi"a" "e "eterminarexiste al&una relaci$n entre "os ras&os "i'erente%ue una po!laci$n #a si"o clasi*ca"a 0 en "on"eras&o #a si"o su!"i)i"i"o en cierto n+mero "ecate&oras( Cuan"o una muestra se clasi*ca "e emanera reci!e el nom!re "e ta!la "e contin&enc

criterios "e clasi*caci$n( Es posi!le anali/ar ta!lconten&an ms "e "os clasi*caciones(


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Prueba de independencia

El anlisis "e una ta!la "e este tipo supone %ue lclasi*caciones son in"epen"ientes( Esto es. !a,o #ip$tesis nula "e in"epen"encia se "esea sa!er suna "i'erencia entre las 'recuencias %ue se o!ser)las correspon"ientes 'recuencias %ue se esperan( prue!a c#i


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4ea pi,la pro!a!ili"a" "e %ue un o!,eto selecciona"o al a/ar se encuentrecate&ora i. ,B. sea pi(la mar&inal "e i "e A 0 p(,la mar&inal "e , "e 5( 4i lacaractersticas son in"epen"ientes. la pro!a!ili"a" con,unta es i&ual al prlas mar&inales

!a,o la #ip$tesis nula. el esta"stico

cuan"o n es &ran"e( 4in em!ar&o. la ma0ora "e las )eces no se conocen las pro!a!ili"a"es

0 "e esta 'orma se estiman con !ase en una muestra(

A'ortuna"amente. la prue!a "e !on"a" "e a,uste "e la c#i


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De esta 'orma el n+mero "e &ra"os "e li!erta" se

rc8"8#r8"%8#c8"%@rc8r8c"@r#c8"%8#c8"%@#r8"%#c8"%

Pue"e "emostrarse %ue los estima"ores "e mxim

)erosimilitu" son

al sustituir se o!tiene


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Ejercicio 6Una compa-a e)al+a una propuesta para 'usionarse con una corporaciconse,o "e "irectores "esea muestrear la opini$n "e los accionistas par"eterminar si esta es in"epen"iente "el n+mero "e acciones %ue poseeUna muestra aleatoria "e 9> accionistas "a los si&uientes resulta"os?

Con !ase en esta in'ormaci$n. existe al&una ra/$n para "u"ar "e %ue con respecto a la propuesta es in"epen"iente "el n+mero "e acciones %accionistaG [sese a 8>.1(

Nmero de 6pinina!ones A favor *n contra =ndecisos "o#ales

-enos de 4'' 3? 42 2 >:

4''8"''' 3' 14 > >2

-


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4oluci$n

@ormulamos la hiptesis nula de independenclos "os caracteres es "ecir?

$0% &

!' &

!&

' i@",4,3; C@",4,3.

Como las pro!a!ili"a"es mar&inales no se conoce%ue estimarlas "e la muestra. en consecuencia. eesta"stico

(

Nmero de 6pinina!ones A favor *n contra =ndecisos "o#ales


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El )alor o!teni"o "e la muestra para V981>.QQ9( El )alo%ue se o!tiene en la "istri!uci$n c#i.J8PRUE5A(C=I(IN>.1JB8 Q.QQJ( Como 1>.Q \ Q.QQ esta"stico "e prue!a se encuentra "entro "e la re&i$n crticatanto la #ip$tesis nula "e!e rec#a/arse(

a!ones A favor *n contra =ndecisos "o#ales

-enos de4'' 3? 42 2

4''8"''' 3' 14 >

-


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P78E9$ )E 9/)$) )E $;8#%E P$7$ L$ )


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Ejemplo @. 4ea la ta!la si&uiente en la %ue se in"ican el n+mero "e anotaciones "e pparti"o "e ru&!0 americano en la tempora"a "e 1Q

Con !ase en los resulta"os a,ustamos una "istri!uci$n "e"e parmetro la me"ia muestral `89.J( Existe al&unapara creer %ue a un ni)el "e >.> el n+mero "e anotaciouna )aria!le "e PoissonG

7mero deanotaciones

7nero deveces

0 35

1 992 104

3 110

4 62

5 25

6 10

7 * mas 3

11?

4oluci$n


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4oluci$n

Da"o %ue el )alor "el parmetro ` no se conoce eestima"o "e mxima )erosimilitu" es la me"ia m

Los "atos a,usta"os se muestran en la ta!la si&ui7mero deanotaciones7nero deveces

!recuenciarelativa

)robabilidadterica

7meroesperado #7i8np

0 35 0,078125 0,08759775 39,2437907 0,451 99 0,22098214 0,21330051 95,5586303 0,12

2 104 0,23214286 0,25969338 116,342632 1,303 110 0,24553571 0,21078446 94,4314366 2,564 62 0,13839286 0,12831504 57,485137 0,355 25 0,05580357 0,06248942 27,9952617 0,32

6 10 0,02232143 0,02536029 11,3614104 0,167 * mas 3 0,00669643 0,01245915 5,58170083 1,19

11? " 11? :,12

(


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El )alor "e V98.J1( Para ;8 cate&oras con unparmetro estima"o. el n+mero "e &ra"os "e li!e( El )alor crtico "e

V9>. 8 PRUE5A(C=I(IN>.>B8 19.1QQJ(

Como el )alor o!teni"o .J1S 19.1 no se puerec#a/ar la #ip$tesis nula

E,emplo Q


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E,emplo Q

Como e,emplo "e esta situaci$n %ue aparececonstantemente en la in)esti&aci$n cient*caB. "u4e&un"a uerra Zun"ial se tu)o la sospec#a "e %

impactos "e las !om!as na/is en el 4ur "e Lon"reo!e"ecan a una Le0 "e Poisson( Para "eci"ir si escon,etura era cierta. se "i)i"i$ el rea total en Qparciales "e >b9 ;m9. 0 se reco&ieron los si&uien"atos?

A *n "e a,ustar los "atos anteriores a una "istri!uPoisson. se #icieron las si&uientes consi"eracione

A impactos 50 B ! > ? 6A reas con 5impactos

!!C ! C> >6 D

(


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1B Para "e*nir una "istri!uci$n "e Poisson. es necesarconocer el )alor "el parmetro ` correspon"iente( Cocoinci"e con la me"ia "e la "istri!uci$n. se estim$ el )parmetro como la me"ia "el con,unto "e "atos anter

Pue"e compro!arse %ue esta me"ia es "e >b( Enconsecuencia. se estim$ ` 8 >((

9B En consecuencia. el mo"elo propuesto 'ue Esta '$rmula proporciona!a la pro!a!ili"a" "e %ue u

esos pe%ue-os reas "e >b9 ;m9B reci!iera exactam

!om!as( B Para compro!ar la !on"a" "el mo"elo. se compar

pre"icciones "el mo"elo con los "atos reales( Con es"eterminaron las si&uientes pro!a!ili"a"es. utili/an"expresi$n o!teni"a en el aparta"o anterior?

( ,0)( 93,0ekXP ==

A impactos 50 B ! > ?


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(@inalmente. tra"ucien"o ca"a pro!a!ili"a" a porcenta,e multippor 1>>B. 0 consi"eran"o un total "e impactos "e 99 911 Q 1 8 Q. se "etermin$ el n+mero "e reas con ; impactos por el mo"elo( Por e,emplo. el n+mero pre"ic#o "e reas con > se calcula como el bJd "e Q. es "ecir. 99Q %ue est mu099B( Estas pre"icciones se muestran en la si&uiente ta!la?

4e pue"e compro!ar %ue las pre"icciones concuer"an mu0 !ie"atos o!ser)a"os. con lo cul el mo"elo o!teni"o es ra/ona!le(O!sr)ese %ue el mo"elo pre"ice una me"ia "e impactos en cacasi i&ual a 1 concretamente. >bB en otras pala!ras. %ue es un mismo rea reci!a ms "e 1 impacto(

p

Probabilidad B>C?@ B>@@C BDB@ BB6!C BB!>

A impactos 50 B ! > ?

A predicho0 de reascon 5 impactos

!!D ! CF >B D

Pruebas de bondad de ajuste e independencia


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Pruebas de bondad de ajuste e independenciamediante Ginitab

Este proce"imiento "e Zinita! se usa para prue!!on"a" "e a,uste para la "istri!uci$n multinomia

secci$n 1 0 las "istri!uciones "e Poisson 0 normsecci$n +ltima( El usuario ten"r %ue o!tener las'recuencias o!ser)a"as. calcular las 'recuenciasespera"as e in&resar tanto 'recuencias o!ser)a"como espera"as en la #o,a "e clculo "e Zinita!columna C1 se rotula como O!ser)a"a 0 contien

'recuencias o!ser)a"as( La columna C9 se rotulaEspera"as 0 contiene las 'recuencias espera"as

(


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pasos para la prue!a "e !on"a" "e a,uste usan"o Zinita! son los Paso . 4eleccionar el men+ ,alc Paso !. Ele&ir ,alculator Paso >. Cuan"o apare/ca el cua"ro "e "ilo&o Calculator? In&resar C#i4%uare en el cua"ro #tore result in (ariable In&resar 4umC1


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Prueba de independencia

se empie/a con una nue)a #o,a "e clculo "e Zise in&resan los "atos "e las 'recuencias o!ser)alas columnas 1. 9 0 . respecti)amente(

Es "ecir. las 'recuencias o!ser)a"as se in&resancolumna C1. otras 'recuencias o!ser)a"as se in&en la columna C9 0 si #u!iera otras 'recuenciaso!ser)a"as se in&resan en la columna C( Los ppara la prue!a "e in"epen"encia usan"o Zinita!si&uientes(


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(

Paso . 4eleccionar el men+ #tat Paso !. 4eleccionar %ables Paso >. Ele&ir ,hi-#quare %est %able inHor5sheet0

Paso ?. Cuan"o apare/ca el cua"ro "e "ilo&o C

4%uare Test In&resar C1

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