CURSO PROPEDÉUTICO MATEMATICAS 2013

PROPOSITOS GENERALES: Que el alumno recuerde la mecánica que utiliza el lenguaje algebraico para resolver situaciones problemáticas.

Que el alumno repase y recuerde los procesos y los algoritmos para la solución de operaciones básicas con monomios y polinomios.

Que el alumno aplique leyes de los exponentes en la solución de multiplicaciones y divisiones algebraicas de monomios y polinomios.

LENGUAJE ALGEBRAICO

1. Algebra. El álgebra es una ciencia cuyo objeto es simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.

En álgebra, lo mismo que en Aritmética, se efectúan operaciones con los números, pero el modo de representados difiere en ambas ciencias.

En Aritmética, sólo se hace uso de los signos comúnmente llamados arábigos: 0, 1, 2, 3, etc., para escribir los números; mientras que en Algebra, para representarlos se usan letras, como a, b, x, y, etc., las cuales se llaman literales..

2. El algebra se aplica en fórmulas, por ejemplo:

a. El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura.

Esta expresión puede abreviarse así: Área = Base x Altura la abreviación, resulta mas corta, escribiendo, sólo la primera letra de cada palabra suprimiendo el signo X; así se tiene A = ba (fórmula).

Toda fórmula es una regla expresada por

medio de símbolos, e indica las

operaciones que deben efectuarse con los

números representados por las literales,

para obtener ciertos resultados.

Por la aritmética, se sabe que, dado el producto de dos factores, conociendo uno de los factores, se puede calcular el otro, al dividir el producto entre el factor conocido.

Así, de la fórmula del área del rectángulo

A = ba, se deduce que:

� =�

��� =

�

�

El producto de dos factores literales a y b,

puede escribirse: axb, a.b, ab, del

mismo modo, el producto 5 por a, se representa : 5 x a, 5 . a o 5a.

El área de un rectángulo de base b y altura a, es ba. Y el área de tres rectángulos iguales (ba) es:

�� + �� + �� = ���

El duplo de a se escribe 2a,

el triple de b se escribe 3b.

el cuádruplo de �

� es

�

� así se tiene:

� = � + � �� = � + � + �

�

�=�

�+�

�+�

�+�

�

En las expresiones anteriores: 2,3,4, se llaman coeficientes.

Coeficiente es el número o la letra que indica cuentos sumandos iguales se toman.

En las expresiones �, �, ��, � los

números 5 y a se llaman base, y el

número o letra escrito arriba se llama exponente, e indica el número de factores iguales a la base que hay en el producto.

ACTIVIDAD 1. Expresar algebraicamente:

l. El duplo de a, el triple de b. el quíntuplo de cd.

2. El cuádruplo de la suma de a más b, dividido entre 5.

3. El área A de 3 tiras iguales de papel, si cada

tira mide a dm2.

4. La distancia d de 25 arboles situados de un

mismo lado de una avenida, dado que cada árbol esta inmediato del siguiente.

5. La distancia, con respecto al punto de partida, a que esta un automóvil que corre,

con velocidad uniforme durante 3 horas, a

razón de n km por hora.

6. El perímetro p de un cuadrado que mide a m. de lado.

7. El perímetro de un rectángulo de b m. de

LARGO y a ANCHO m.

8. El área de un triángulo de base b y altura

a, sabiendo que esa área es igual al

semiproducto de la base por la altura.

9.La longitud c de una circunferencia, dado

que es igual al producto del número � por el

duplo del radio r, o por el diámetro d.

10. El área de un polígono regular, si se

obtiene multiplicando el semiperimetro s

por la apotema a.

ACTIVIDAD 2. Las siguientes expresiones algebraicas Transformarlas en enunciados: Expresió n enunciado ���

,

��

,

� + ��� , � − ��� , � + �� , �� + �+5

ACTIVIDAD 3. Marca la alternativa correcta de cada pregunta. Escribe también el desarrollo.

1) ¿Cuál es la expresión que corresponde a: "los cuadrados de dos números enteros consecutivos"?

2) El Club popular Colo-Colo anota m goles

en su primer partido, m-5 en el segundo y

m+10 en el tercero.

Cuántos goles anota en el cuarto partido si

en total hizo 4m goles?

En un gallinero hay P pollos. Se enfermo la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos sanos son:

El "triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b" en lenguaje algebraico es:

¿Por cuánto se debe multiplicar a para obtener b?

La mitad de z aumentada en el producto de

18 por w, se expresa por:

Después de subir x kilogramos, Lorena peso 50 kilogramos. ¿Cual era su peso anterior?

a) x kg b) 50 kg c) (x - 50) kg

d) (x + 50) kg e) (x - 50) kg

Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenla 10 años?

a) x años b) 10 años c) (x + 20) años

d) (20 - x) años e) (x + 20) años

¿En cual (es) de las siguientes ecuaciones, n

toma un valor perteneciente a los números naturales?

l. n+5=2 II. 2n+3=7 III. 3n - 5 = 10

a) Sólo I b) Sólo I y 11 c) Sólo I y III

d) Sólo II y III e) I, II y III

Si las dimensiones de un rectángulo son

(a + x) y (a - x) entonces su área quedara

expresada por:

Lección 2 Termino algebraico

Consta de: a) signo b) coeficiente numérico c) factor lineal d) exponente

GRADO DE UN TÉRMINO: Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:

En el término tiene grado 3 (por el exponente de x)

En el termino tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

GRADO DE UNA EXPRESION: Es el grado mayor de sus distintos términos.

Ejemplo: En la expresión tiene grado 5 (por el grado del segundo término)

En el término tiene grado 12 (por el grado del segundo término) Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

De acuerdo al número de términos puede ser:

MONOMIO: tiene 1 término

BINOMIO: tiene 2 términos

TRINOMIO: tiene 3 términos

POLlNOMlO O MULTINOMIO: tiene más de 3 términos

TERMINOS SEMEJANTES Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal,:

Se pueden sumar o restar: Sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.

Ejemplo: El término y el término son semejantes. Ya que tiene factor literal

iguales) y al sumarlo da

EJERCICIOS: 1) Define con tus palabras: a) Coeficiente numérico b) Factor literal c) Término algebraico

2) En cada término algebraico, determina a) El coeficiente numérico, b) factor lineal y c) el grado

En cada término algebraico, determina a) el coeficiente numérico, b) factor lineal y c) el grado

3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:

4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica, Luego clasifica según su número de términos, antes de reducir términos semejantes:

5) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:

Lección 3 EVALUACION DE EXPRESIONES A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico. Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, remplazamos esos valores en la expresión: 3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =

Ahora : Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1

encuentra el valor de cada expresión 12a-8a+10a+3a-18a +5a= 7a - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a

=

veamos ahora un ejemplo con números racionales si:

Evaluemos la expresión:

a) 3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b

Si:

Encuentra el valor de cada expresión

EJERCICIOS: En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego remplaza en cada caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión

a) 3ab-b+2ab+3b=

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0

Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas.

4) Evalúa la expresión para los valores de x = O, 1, 2, 3, 4, ..., 40.

¿Qué característica tienen los números que resultan?

ENCONTRANDO FORMULAS A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números. , esta fórmula debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe obtener los términos de la sucesión.

Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, .... , tiene una fórmula que generan estos números, una manera de obtenerla es descomponer sus términos:

La fórmula que genera a esta sucesión. 2xn, donde n E N ,

Encuentra la formula para las siguientes sucesiones: 2) Mersenne, antiguo matemático, propuso la expresión 2p - 1. Al remplazar p por un número entre 1 y 10,

¿Cuáles números primos resultan? 3) Verifica si la fórmula 24n + 4(n + 1) + 10

entrega múltiplos de 7, para n E N,

ALGEBRA Y GEOMETRIA CALCULO DE PERIMETROS

Se dan los siguientes segmentos:

1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido 2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos 3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.

Recordemos el concepto de PERIMETRO

Determinar el perímetro de cada figura:

Lección 4 Eliminación de paréntesis

Para resolver paréntesis se debe seguir las siguientes reglas:

a) si el paréntesis esta precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos,

b) si el paréntesis esta precedido por signo negativo, debes cambiar el signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.

COMPLEMENTARIOS Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula para a = 1,2,4, ... , 16

a) La superficie del cubo b) El volumen del cubo c) La superficie y el volumen

¿En qué relación aumentan la superficie y el volumen cuando aumenta en estos valores?

2) En una caja negra hay "b" bolitas blancas y "a" bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios:

1. Sacar 3 bolitas azules y5 blancas 2 Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas 3. Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.

A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final.

Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y8 bolitas azules, en Lugar de b y a, respectivamente. Valorar:

Valorar:

Lección 5. OPERACIONES ALGEBRAICAS

Definiciones. Monomios: un Monomio es una expresión algebraica formada por una parte numérica llamada coeficiente y una parte literal formada por letras y exponentes.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman:

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal

1- Indica el grado, la parte literal y los coeficientes de los siguientes monomios:

Monomio grado Parte literal

coeficiente

2.- Calcula el valor de m para que cada par de monomios tengan el mismo grado:

3.- Une con flechas los monomios semejantes de las dos filas:

4.- Calcula el valor de m, para que cada par de monomios sean semejantes.

5.- Operaciones con monomios

6.- Efectúa las siguientes sumas, resta, multiplicación y división de monomios:

9.- Efectúa las siguientes potencias de monomios:

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica formada por: la suma o diferencia de dos o más monomios no semejantes, o la suma o diferencia de un número y uno o más monomios.

Ejemplos:

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

Indica el grado de cada uno de estos polinomios

Indica el grado de cada uno de estos polinomios

Halla el valor numérico del polinomio:

Halla el valor numérico del polinomio

Halla el polinomio de primer grado tal que su valor numérico para x = 1 es -2, y para x = 0 es 3. Halla el polinomio de segundo grado tal que el coeficiente del término de mayor grado es 1 y su valor numérico para x =1 es 2 y para x=0 es 6.

Calcula el valor de a para que sean iguales los polinomios

p(x) =2x – 3 Y q(x) =2x +a

Calcula el valor de a para que sean iguales. los polinomios

Suma y resta de polinomios En la suma de dos polinomios se suman los monomios semejantes;

Para restar dos polinomios se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo:

El signo negativo que afecta a un paréntesis, cambia los signos de los monomios que contiene l

Calcula

Calcula

a) p(y) - [q(y) - r(y)) = b) q(y) - r(y) - p(y) =

Calcula a) [p(t) +q(t)J - [r(t) +s(t)J = b) q(t) + [p(t) - r(t)] - s(l) =

Calcula a) q(x) - [r(x) +p(x)J = b) r(x) • [q(x) - p(x)J =

Calcula m sabiendo que

p(x) +q(x) - r(x) =

7.- Dado el polinomio:

Halla otro polinomio q(x) tal que:

8.- Dado el polinomio:

Halla otro polinomio q(x) tal que:

9.- La diferencia de dos polinomios es:

Calcula q(x) sabiendo que

10.- ¿Qué polinomio hay que sumar al polinomio?

Para obtener el opuesto del polinomio

LECCION 7. Producto de polinomios - Para multiplicar un monomio por un polinomio , se multiplica dicho monomio por cada uno de los monomios del polinomio:

- ,Para multiplicar dos polinomios : se multiplica cada monomio del primero por los monomios del segundo y por ultimo se realiza la reducción de términos semejantes.

Hallar los siguientes productos:

Hallar los siguientes productos:

Observa los siguientes productos y completa los términos que faltan:

1. Completa la siguiente tabla:

2. Halla el producto p(x)'q(x):

Halla el producto p(x)'q(x) para cada caso

5.Dados los polinomios:

Calcula:

Calcula:

d) ¿Cómo son los resultados de los apartados a y b?

6 Completa la siguiente tabla:

7. Dados los polinomios:

LECCION 8. DIVISION DE POLINOMIOS División de polinomio entre monomio

La división de un polinomio entre un monomio se realiza sumando a sumando, en el caso de que existan las mismas variables. Ejemplo:

Ejemplos:

1. Completa la siguiente tabla:

2. 3. 4.

5. Calcula los siguientes cocientes y verifica que los cocientes son exactos o enteros:

Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

7. El cociente entre un polinomio y el monomio

División de un polinomio entre otro polinomio

La división de dos polinomios, por la división larga, se siguientes pasos:

•1) Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos. 2)- Se divide el primer término de dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

•3) El resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después 4) restar este producto del dividendo y del resultado obtenido, 5) Se ejecutan los pasos 2-3-4 de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio menor que el divisor. • Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo.

8. Completa la siguiente tabla:

9. Realiza las siguientes divisiones:

8. Realiza las siguientes divisiones de polinomios y comprueba en cada caso que

9. Determina el cociente y el resto del polinomio

10. Comprueba: a) El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor

b) El grado del resto es menor que el grado del divisor

11. ¿Qué polinomio dividido entre