Prueba Kruskal Wallis

7/23/2019 Prueba Kruskal Wallis

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Profesora : Lic. Rita Guzmn

PRUEBAS PARA K MUESTRASINDEPENDIENTES


Prueba de 2 para K MuestrasIndependientes

Es una extensin de la prueba 2 para dos muestrasindependientes.

Cuando las observaciones de una investigacin

corresponden a muestras independientes y estnformados por frecuencias en categoras discretas, laprueba de 2 puede determinar la significancia de lasdiferencias entre las k muestras.

Para la aplicacin de este prueba se debe considerar queninguna celdilla debe tener frecuencia esperada 0, y slo el20% de las celdillas deben tener una frecuencia esperadainferior a 5. Si no se dan estas condiciones hay que agrupar los datos. En caso contrario la prueba no es vlida.


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2


Para aplicar la prueba 2, se disponen las frecuencias en una tablade contingencia de r x k.

Hiptesis a contrastar:

0 -entre s.

-Las K muestras proceden de la misma poblacin o depoblaciones idnticas. F(x 1)==F(X k)

-Las K muestras se distribuyen similarmente entre r clases

H1: - Al menos dos de las K muestras de frecuencias oproporciones difieren entre s.

- Alguna de las K muestras proviene de una poblacindiferente. F(x i)F(X j)

- Al menos dos de las K muestras se distribuyen de formadiferente.


Estadstico de Prueba :

El estadstico de prueba 2c se aproxima a la distribucinchi-cuadrada con g.l.=(k-1)(r-1), donde k= es el nmerode columnas y r= el nmero de filas.

El valor del estadstico de prueba es calculado por la

formula:

21r 1k

r

i

k

j ij

2ijij2

c e

eO ))*((,

)(

= Donde:

O ij = Nmero observado de casos clasificados en la fila i de lacolumna j.

e ij = Nmero de casos esperados conforme a H 0 para serclasificados en la fila i de la columna j.


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Procedimiento para el calculo del valor del estadstico:

1) Arreglar las observaciones en una tabla de contingencias.

.

3) Calcular las diferencias entre los valores observados conrespecto a los tericos de cada casilla.

4) Elevar al cuadrado las diferencias y dividirlas entre el valorterico de la casilla correspondiente.

5) Obtener la sumatoria de los valores anteriores, que es elestadstico X 2c.

6) Calcular los grados de libertad (g.l):gl = (k columnas -1) (r filas -1).


Donde la probabilidades estimadas estadada por:

C.F.

C 1... C j C k Total

F1e 11

O11

e 1jO1j

e 1kO1k

n 1...

.

...

.

...

.

.

.

.

.

nn

C P j1.)( =

nn

F P i.1)( =

existe independencia entre las Kmuestras, entonces la probabilidad delas observaciones por celda es:

)()()( ji ji C P F P C F P =

.. . . . . .

Fi e i1O i1

e ijO ij

e 2kO2k

n i....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Fre r1

O r1

e rjO rj

e rkO rk

n 3.Entonces calculamos la frecuenciaesperada para la casilla

.1 .j .k

nnn

e

nnn

nn

nn

nnC P F P nC F P e

ij

ji jiij

1..1

1..11..1)]()([))((

=

=

===


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4


Regla de Decisin:Para un nivel de significancia , y si,

> 2 112 )(*)(, k r c Rechazamos H 0

Aplicat ivo :Una empresa que vende cuatro productos desea determinar si lasventas se han distribuido similarmente entre cuatro clase generalesde clientes. Una muestra al azar de 1000 registros de ventasproporciona la siguiente informacin:


Producto

Grupo de Clientes 1 2 3 4

Profesionales 85 23 56 36

Hombres de negocios 153 44 128 75

Obreros Industriales 128 26 101 45

Granjeros 34 7 15 44

Qu conclusin puede obtener usted de los resultados de laprueba?. Utilizar =0.05


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Hiptesis a contrastar:

H0: Las 4 muestras se distribuyen similarmente entre las 4 clases

H1: Dos de las 4 muestras se distribuyen de forma diferente entrelas 4 clases.

=0.05 , Luego calculamos los esperados correspondientes :

Producto

TOTALGrupo de Clientes 1 2 3 4

Profesionales80 20 60 40

20085 23 56 36

160 40 120 80

nnn

eij1..1=

Hombres de negocios 400

153 44 128 75

Obreros Industriales120 30 90 60

300128 26 101 45

Granjeros40 10 30 20

10034 7 15 44

TOTAL 400 100 300 200 1000


El estadstico de prueba ser entonces:

21r 1k

r

i

k

j ij

2ijij2

c e

eO ))*((,

)(

=

24.4720

)2044(30

)3015(...

40)4036(

60)6056(

20)2023(

80)8085( 2222222 =++++++=c

== = 9.162 9)3)*(3(,05.02 )1)*(1(, r k

=>= .. .)9;05.0( gl c Rechazamos H 0Entonces con un 5% de significancia, concluimos que existesuficiente evidencia estadstica para afirmar que las ventas seencuentran distribuidos similarmente entre las cuatro clases declientes.


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Prueba de Kruskal-Wallis para K MuestrasIndependientes

La prueba de rango de Kruskal-Wallis es una generalizacin de laPrueba de Mann-Whitney para dos muestras independientes.

Se aplica cuando la variable en estudio ha sido medida en una escalaordinal.

La Prueba de Kruskal-Wallis compara el rango medio alcanzado encada subgrupo con los dems y determina si estas diferencias sonsuficientemente significativa como para rechazar la hiptesis nula.

Frecuentemente hace falta decir si varias muestras independientesdeben considerarse como procedente de una misma poblacin, estodebido a que los valores de las muestras casi siempre difieren en ciertogrado y el problema es determinar si tras las diferencias muestralesobservadas hay diferencias entre poblaciones o si son solo variacionesal azar que se esperara entre muestras aleatorias de la mismapoblacin.


Muestra 1 x 11 x12

Muestra 2 x 21 x22

1n1 x

2n2 x

supongamos que tenemos k muestras representadas en una tabla como sigue :

La hiptesis a contrastar es:

Muestra k x k1 xk2 k kn x

donde : N=n 1+n 2++n k , N: nmero total de observaciones

(las muestras provienen de Poblaciones con medianas iguales, o dela misma poblacin, o igualdad en los efectos de los tratamientos ).

H1 : Al menos una de las medianas es diferente(alguna de las k muestras proviene de una poblacin conmediana diferente a las dems).


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)()(

1 N 3n

R

1 N N 12

H k

1 j j

2 j +

+=

=

Estadstico de Prueba :

Procedimiento para el calculo del valor del estadstico:

- Se ordenan las observaciones de menor a mayor, asignando a cadauna de ellas su rango (1 para la menor, 2 para la siguiente, ... hastaasignar un rango al mayor de las observaciones).

- Para cada una de las muestras se calcula R =1 2.. k como la suma, , , .., ,

de los rangos de las observaciones que les corresponden a cadamuestra.

- Se reemplazan los datos en la formula arriba indicada y obtenemos elvalor del estadstico de prueba H.


REGLA DE DECISION :

bajo un nivel de significancia

- Si el nmero de muestras es k=3 el nmero deobservaciones en cada una de ellas no pasa de 5:

Se rechaza H 0 si: el valor de H supera el valor terico queencontramos en la tabla de Kruskall-Wallis ( H>H tabla, ).

-Para cualquier otro caso diferente al anterior, se compara el *- - . .

Se rechaza H 0 si el valor del estadstico supera el valor terico de tabla H>2tabla(k-1)*(r-1) g.l; ).


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Observaciones Ligadas:

-Si ms del 25% de las observaciones estn ligadas(empates), es necesario corregir el efecto determinandocuantos grupos ligados ocurrieron y cuantos puntajes

.

Se define:ti: Nmero de observaciones ligadas en un grupo i

Ti = t3i - tiFactor de correccin para el estadstico H:

t

)(

)(

N N 1 31i

i

=

])(

)([

N N

T 1

H

3

t

1ii

corregido

=

=

Ti: Indica sumar en todos los grupos de ligaN=n 1+n 2++n k , N: nmero total de observaciones


Aplicat ivo :Se desea probar la hiptesis que los administradores escolares soncaractersticamente ms autoritarios que los profesores de clase.Para eso el investigador decide dividir sus 14 sujetos en tresgrupos: Profesores orientados a la enseanza (profesores quedesean permanecer en la enseanza), profesores orientados a laadministracin (profesores que aspiran a ser administradores) y

administradores. Se aplica un test a cada grupo para obtener lospuntajes de autoritarismo.

Profesores Profesores Administradores

Puntajes de autoritarismo de tres grupos de educadores

orientados a laenseanza

orientados a laadministracin

96 83 115

128 128 149

83 132 166

83 115 147

101 109


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Solucin:

Planteamos las hiptesis:

H0 : No hay diferencia entre las medianas de puntajes de,

los profesores orientados a la administracin y losadministradores.

H1 : Al menos uno de los grupos de educadores tiene medianadistinta a los otros.

Calculo del estadstico de prueba:

1) Ordenar de menor a mayor todas las observaciones de lostres grupos en una sola serie y asignamos rangos :


Grupos Puntajes Rango(R i)

A 83 2

B 83 2

A 83 2

A: Profesores orientados a laenseanza

B: Profesores orientados a la

A 101 5

B 109 6

C 115 9B 115 9

B 128 8.5

A 128 8.5

B 132 10

C: Administradores

C 147 12

C 149 13

C 166 14

2) Reagrupamos los rangos :


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Profesoresorientados a la

enseanza

Profesoresorientados a laadministracin

Administradores

4 2 7.5

Rangos

9.5 9.5 13

2 11 14

2 7.5 12

5 6

R1=22.5 R 2=36 R 3=46.5

3) Calculamos el valor del estadstico de prueba:

)()( 1 N 3n

R

1 N N 12 H k

1 j j

2

j ++= =

49.6)114(34

)48(5

)5.35(5

)5.21()114(14

12 222 =+

+++

= H


49.6= H Como se presentan ligas entre dos o mspuntajes, corregimos el valor de H de los efectosde ligas con el factor de correccin: )(

)(

N N

T 1 3

t

1ii

=

e emp eza a e erm nar cu n os grupos ga os an ocurr o ycuntos puntajes estaban ligados en cada grupo. La primera ligaocurri entre 3 puntajes en los profesores orientados a laenseanza y los orientados a la administracin (83 puntos) aquienes se les asign el rango de 2, entonces , t el nmero depuntajes ligados =3 entonces:

T1 = t3 t = (3) 3 3 = 24

La siguiente liga ocurri entre 2 puntajes a los que se les asign elrango promedio de 7.5, entonces t = 2

T2= t3 t = (2) 3-2 = 6


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Y la ltima liga ocurri entre 2 puntajes a los que se les asign el

rango promedio de 9.5, entonces t = 2T3= t3 t = (2) 3-2 = 6

Resumiendo:

T 24 6 6 36

Entonces calculamos el factor de correccin:

)(

)(

N N

T 1 3

t

1ii

= 987.0

)14)14(()36(

1 3 =

Entonces aplicando la correccin de H:

])(

)([

N N

T 1

H H

3

t

1ii

corregido

=

=

58.6987.049.6 == corregido H


58.6=corregido H

Como el nmero de muestras es k=3 y el nmero de observaciones encada una de ellas no pasa de 5, usaremos la tabla de Kruskal-Wallis.

uego e va or e a as e a o un n ve e s gn canc a e . es:

64295 H 050455tabla ..),,( ==Donde: rechazaremos H 0 s i : H corregido > H tabla

Comparando el valor calculado con el de tabla rechazamos H 0 bajoun nivel de significancia de 0.05.

Bajo un nivel de significancia del 5% concluimos que los tres gruposde educadores especificados difieren en grado de autoritarismo,entonces podemos asegurar que las diferencias que se presentanentre los grupos de observaciones no pueden ser atribuidos a laaleatoriedad incorporada en la muestra.

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