Prueba de hipótesis

Uno de los objetivos de la estadística es hacer inferencias con respecto a los parámetros de

la población desconocidos, basadas en la información obtenida mediante datos muéstrales.

Estas inferencias se expresan en una de dos maneras, como estimaciones de los parámetros

respectivos o como pruebas de hipótesis referentes a sus valores.

El procedimiento de toma de decisión que conduce a la aceptación o rechazo de hipótesis

estadísticas es llamado prueba de hipótesis.

La hipótesis estadística es una proposición sobre los parámetros de una o más poblaciones,

su objetivo es verificar una hipótesis con respecto a los valores de uno ó más parámetros

poblacionales.

El investigador propone una teoría relativa a los valores específicos de uno o más

parámetros poblacionales. Luego obtiene una muestra de la población y compara la

observación con la teoría. Si las observaciones se contraponen a la teoría, el investigador

rechaza la hipótesis. En caso contrario concluye con que la teoría es válida o bien que la

muestra no detectó la diferencia entre los valores reales y los valores de la hipótesis

respecto a los parámetros poblacionales. Las pruebas de hipótesis se realizan en todos los

ámbitos en los cuales puede contrastarse la teoría frente a la observación.

Elementos de una prueba de Hipótesis:

La hipótesis nula es H0

La hipótesis alternativa es H1

El estadístico de la prueba

La región de rechazo y aceptación

Hipótesis nula H0.

Es la suposición que queremos probar. Una hipótesis nula referida a un parámetro de la

población será siempre enunciada de tal forma que se especifique un valor exacto.

Hipótesis alternativa H1.

Cada vez que se rechaza la hipótesis nula, la conclusión que se acepta se llama hipótesis

alternativa. Dicha hipótesis es enunciada de tal forma que permite la posibilidad de muchos

valores del parámetro poblacional.

Rechazar una hipótesis, significa concluir que H0 es falsa, se dice que es una conclusión

fuerte.

Aceptar una hipótesis, solamente implica que no se tiene suficiente información para

rechazar H0, además no implica necesariamente que sea verdadera. Se dice que es una

conclusión débil ya que se es incapaz de rechazar la hipótesis nula.

Estadístico de prueba.

Es una función de las mediciones muéstrales en el cual se fundamenta la decisión

estadística.

Región de rechazo.

Especifica los valores del estadístico de la prueba para los cuales se rechaza la hipótesis

nula, en esta región existe una diferencia significativa entre el estadístico de la muestra y el

supuesto parámetro de la población.

Región de aceptación.

Es la región donde no existe diferencia significativa entre el estado de la muestra y el

supuesto parámetro de la población. Aceptaremos H0 si el estadístico muestral cae en esta

región.

Tipos de pruebas de hipótesis

Prueba de hipótesis de dos extremos o de dos colas

Esto aplica si:

H0: Ө = Ө H0

H1: Ө ≠ Ө H0

Prueba de hipótesis de un extremo

Extremo inferior o cola izquierda

Esto aplica si:

H0: Ө = Ө H0

H1: Ө < Ө H0

Región de aceptación

Región de rechazo Región de rechazo

1 – αSe acepta H0

Se rechaza H0

α/2Se rechaza H0

α/2

Se rechaza

H0

α

1 – αSe acepta H0

1 – αSe acepta H0

Se rechaza H0

α

Extremo superior o cola derecha

Esto aplica si:

H0: Ө = Ө H0

H1: Ө > Ө H0

Matriz de decisión

Situaciones posibles

Decisión

H0 ES VERDADERA H0 ES

FALSA

ACEPTAR H0

Decisión correcta

(1 – α)

ERROR II (β)

RECHAZAR H0 ERROR I (α)

Decisión correcta

(1 – β) potencia de la prueba

El error tipo I (α) es la probabilidad de que el valor del estadístico de la prueba se localice

en la región de rechazo cuando es verdadera H0. También se le denomina nivel de

significancia. Por costumbre se elige dicho nivel en un rango de 0.01 a 0.05.

Error tipo II (β) es la probabilidad de que el valor del estadístico de la prueba no este en la

región de rechazo siendo verdadera H1 se recomienda que sea un valor menor de 0.2.

La potencia de la prueba es la cantidad 1 - β se conoce como el poder de la prueba, es la

probabilidad de rechazar H0 cuando es falsa, cuando en realidad debe ser rechazada. Se

utiliza para “detectar diferencias” entre un valor hipotético y el verdadero valor del

parámetro. Se recomienda que sea un valor mayor de 0.8.

Procedimiento general para una prueba de hipótesis

1. Identificar el parámetro de interés del problema.

2. Establecer la hipótesis nula (H0)

3. Especificar una apropiada hipótesis alternativa (H1)

4. Seleccionar un nivel de significancia α.

5. Establecer un estadístico de la prueba apropiado (Z, t, x2, F)

6. Establecer la región de rechazo para el estadístico.

7. Calcular todas las cantidades muéstrales necesarias, sustituirlas en la ecuación para

el estadístico de prueba y calcular el valor correspondiente.

8. Decidir si debe o no rechazar H0 y notificar en el contexto del problema.

Al formular hipótesis alternativas H1 debe recordarse que el rechazo de H0 siempre es una

conclusión fuerte. En consecuencia, en la hipótesis alternativa H1 debe ponerse la

proposición sobre la que es importante llegar a una conclusión fuerte. Nos deberá importar

rechazar H0 para plantear H1.

Nivel de significancia “p”

 

El valor “p” es el nivel de significación más pequeño que conduce al rechazo de la

hipótesis nula, se calcula de la siguiente manera:

 Sea Z0 el estadístico de prueba.

 *Prueba de dos extremos (solo para curvas simétricas)

P = 2 [1 – P (Z< Z0)]

*Prueba de extremo superior

P = 1 – P (Z < Z0)

*Prueba de extremo inferior

P= P (Z < Z0)

Se rechaza H0 cuando α ≥ p

Prueba de Hipótesis para μ con muestras grandes y σ2 conocida

Estadístico de prueba:

Esta prueba se puede aplicar a muestras pequeñas que se toman de poblaciones con

distribución normal y conocida.

Determinación del tamaño de la muestra “n” en una prueba de hipótesis para .

Por fórmula (para el estadístico de prueba Z):

Para una prueba bilateral

Para una prueba unilateral

Para el estadístico de prueba t solo sustituya en la fórmula a Z por t.

Ejercicio

Un fabricante vende ejes traseros de camiones al Servicio Postal. Los ejes han de soportar

80,000 libras por pulgada cuadrada en las pruebas de esfuerzo, los ejes demasiado fuertes

elevan de modo considerable los costos de producción. La experiencia indica que la

desviación estándar de la resistencia de los ejes es de 4,000 libras por pulgada cuadrada. El

fabricante selecciona una muestra de 100 ejes en la última serie de producción, los somete

a pruebas y averigua que la capacidad media de resistencia de la muestra es de 79,600

libras por pulgada cuadrada. Si el fabricante de ejes usa un nivel de significancia de 0.05

en las pruebas, ¿cumplirán los ejes con los requisitos de esfuerzo?. Si la desviación del

soporte de los ejes es de 1000 libras por pulgada cuadrada, la probabilidad de detectar esta

diferencia no debe ser menor de 0.80 (o sea =0.2) ¿cuál deberá ser el tamaño muestral

para ésta prueba?

Solución

1.-

2.-

3.-

4.- =0.05

5.-

6.- RR

7.- =80 000 =4000 n = 100 = 79600

8.- = Z 0.025 = 1.96

Por lo tanto se acepta

Cálculo de “p”

p = 2 [1 – P (Z< )] = 2 [1 – P (Z< 1)] = 2 (1 – 0.8413) = 0.3174

< p por lo tanto se acepta

Intervalo de confianza

P [ ] = 0.95 =80 000 está en el intervalo

Para el cálculo de “n“

Por fórmula:

Si =0.2 y

Entonces 784

n = 784

Solución Minitab

Abrimos el programa Minitab, en el menú de opciones colocamos el cursor donde dice

“Stat” y desplegamos las opciones, seleccionamos “Basic Statistics” y damos un clic en la

opción “1-Simple z”

En el siguiente cuadro seleccionamos la opción “sample size” y tecleamos el tamaño de la

muestra, en “mean” la

media de la muestra, y en la

opción “standar

deviation” la desviación

estándar como muestra la

siguiente ventana.

Una vez realizado el paso anterior Minitab nos despliega un menú, damos clic en el botón

“options” y tecleamos el nivel de confianza en el cuadro “confidence level” y damos clic

en “ok”

Una vez realizados los pasos anteriores, Minitab automáticamente nos genera los cálculos

que le solicitamos, como muestra la siguiente imagen:

El programa nos muestra los siguientes datos:

Numero de datos=100

Media de la muestra= 79600

Desviación de la muestra=400

Intervalo de confianza del 95% 78816 a 80384.

Relacionando el intervalo de confianza con la prueba de hipótesis se concluye que como el

Parámetro planteado en esta prueba, o sea el valor de la media de la hipótesis nula =

80000, cae dentro de los limites del intervalo de confianza.

Por lo tanto se acepta la hipótesis nula.

El valor de la variable aleatoria calculada con los datos de la muestra de

Z=-1

El valor de P=0.317 el valor “P” es el valor de significancia mas pequeño

Que conduce al rechazo de la hipótesis nula.

Criterio de decisión;

Se rechaza la hipótesis nula cuando alfa es mayor o igual a P.

En este caso alfa = 0.05 es menor que P=0.317 por lo que se acepta la

Hipótesis nula.

Para contestar la pregunta:

¿Cual deberá ser el tamaño de la muestra para esta prueba?

Nuevamente en Minitab nos posicionamos en Stat > power and simple size > 1-sample Z

Y se desplegara en siguiente cuadro de dialogo donde se tendrá que especificar 2 de los 3

valores que se presentan, esto significa que el valor que dejemos el blanco, Minitab lo

calculara automáticamente. Y seleccionamos el botón “options”

En el siguiente cuadro se presentan diferentes opciones, la única que se seleccionara es

“siginificance level” o nivel de significancia del problema a resolver, y finalmente dar clic

en “ok”

Ahora se muestra el resumen de los datos que proporcionamos a minitab para poder

calcular el tamaño de la muestra del problema anterior y su poder de la prueba

correspondiente. Nótese que el valor que se muestra en Minitab en la ventana “Session”,

“Sample size” es idéntico al efectuado anteriormente con las formulas. Todo esto se

realiza para efectuar rápidamente los cálculos necesarios.

Prueba de Hipótesis para P con muestras grandes y σ2 conocida.

Estadístico de prueba:

Prueba de Hipótesis para con muestras pequeñas y desconocida.

Supuestos: X1, X2,..., Xn es una muestra aleatoria de una distribución normal con E

(Xi)=

Estadístico de prueba:

Prueba de Hipótesis para con Varianzas Conocidas.

Consideraciones:

1. Dos poblaciones con y desconocidas y y conocidas.

2. Se supone que las dos poblaciones son normales o si no lo son se aplican las

condiciones del Teorema del límite central.

3. El interés recae en probar la hipótesis de que las dos medias poblacionales y

son iguales.

4.

Supuestos:

Es una muestra aleatoria de tamaño y es una

muestra aleatoria de tamaño . Las muestras son independientes y ,

además las observaciones están distribuidas de manera independiente para cada

muestra con y para y y para .

Estadístico de prueba:

Si

Determinación del tamaño de la muestra “n” en una prueba de hipótesis para

.

Para

Para una prueba bilateral

Para una prueba unilateral

Prueba de Hipótesis para con muestras grandes.

Estadístico de prueba:

Si

Prueba de Hipótesis sobre de dos distribuciones normales con varianzas

desconocidas.

Supuestos: Muestras independientes de poblaciones normales con

Estadístico de prueba:

Prueba de Hipótesis sobre de dos distribuciones normales con varianzas

desconocidas.

Supuestos: Muestras independientes de poblaciones normales con

Estadístico de prueba:

;

Prueba de Hipótesis sobre de dos distribuciones normales con varianzas

desconocidas (observaciones pareadas).

Estadístico de prueba: ;

Donde

Prueba de Hipótesis para una Varianza Poblacional

Estadístico de prueba:

Prueba de Hipótesis para la igualdad de dos varianzas

Estadístico de prueba:

¿Qué es una prueba de hipótesis aplicada en Minitab?

Una prueba de hipótesis usa datos de ejemplo para probar una hipótesis acerca de la

población de cual el ejemplo es tomado. El “one-sample t-test” es uno de los muchos

procedimientos disponibles para la prueba de una hipótesis en MINITAB.

¿Cuándo usar una prueba de hipótesis?

Se usa una prueba de hipótesis cuando se tienen datos de ejemplo y se quiera hacer

inferencias acerca de una o más poblaciones.

¿Por qué usar una prueba de hipótesis?

La prueba de hipótesis puede ayudar a contestar preguntas como:

¿Esta el proceso correctamente centrado?

¿Es el producto de un proveedor mejor que el producto de otro?

¿Hay diferencias entre el tratamiento de los grupos y los experimentos?

Por ejemplo,

¿Es tu surtido de tu papel en media de 8.5 pulgadas de ancho?

¿La gasolina del proveedor es de mejor octanaje que la del proveedor B?

¿El cliente prefiere una formulación de una bebida sobre otra?

Probando la hipótesis nula

Se necesita determinar si la media de un proceso de empaque difiere significativamente del

peso correcto que es 365 gramos. En Términos estadísticos, el proceso de la media es

también llamado la población de la media.

Hipótesis de estadística

Hay 2 posibilidades, µ es igual a 365 o no lo es. Estas alternativas pueden ser usadas como

2 hipótesis:

La hipótesis nula (H0): µ es igual a .365 gramos

La hipótesis alternativa(H1): µ no es igual a 35 gramos

Por que no se puede medir cada caja en la población, nunca se podrá saber con exactitud

cual hipótesis es correcta. Sin embargo una prueba de hipótesis apropiada puede ayudar a

hacer un cálculo formal. Para estos datos la prueba apropiada es la “one-sample t-test”

Escoger Stat > Basic Statistics > 1-Sample t. Y luego llenar el cuadro de dialogo como se

muestra a continuación:

Interpretando los resultados.

La lógica de la prueba de hipótesis

Todas las pruebas de hipótesis siguen los mismos pasos:

Asumir que H0 es verdadera.

Determinar que tan diferente es tu muestra de lo que esperas dado que H0 es verdad.

Si tu muestra es diferente dado que H0 es verdad, entonces descarta H0.

Por ejemplo, los resultados de “t-test” indican que la muestra es 366.704. De esta manera

el examen contestara la pregunta, "Si µ es igual a 365, como se obtiene una muestra de

366.704(o mayor). La respuesta es dada como una probabilidad que vale (P), que para esta

prueba es igual a 0.143.

Tomando una decisión

Para tomar una decisión, se necesita Escoger el nivel de Importancia o Significancia, α

(alpha), antes de la prueba:

Si P es menor o igual a α, se rechaza H0.

Si P es mayor que α, si fallas al rechazar H0 (Técnicamente, nunca se acepta H0,

simplemente fallas al rechazarlo).

Un valor típico para α es 0.05, pero valores mayores o menores pueden ser escogidos

dependiendo de la exactitud requerida para la prueba. Asumiendo que escojas un α-Nivel

de 0.05 para los datos del peso de la caja no se tendrá suficiente evidencia para rechazar

H0. P (0.143) es mayor que α.

Evaluando el Poder de la Prueba

No se esta seguro con en el resultado del análisis del peso de los empaques del ejemplo

anterior. Se requerirá el análisis del Poder de la prueba para determinar si se recolectaron

suficientes datos.

Se pretende asegurar que el llenado de las cajas no difiera del objetivo del peso de 365

gramos no más de 2.5 gramos. Basándose el análisis del Poder de la prueba en los

resultados del “t-test” del ejemplo anterior.

Stat> Power and Sample Size> 1-Sample t

¿Que es un análisis del Poder de la prueba?

Power o Poder de la prueba es la habilidad de una prueba para detectar un efecto cuando

existe. Cuando se conduce una prueba de hipótesis, hay 4 posibles resultados:

Decisión correcta

p =1-α

Error tipo II

p = β

Error tipo I

p = α

Decisión correcta

p = 1- α

(Power)

El Poder de la prueba es la probabilidad que rechazara la hipótesis nula correctamente,

dado que la hipótesis nula es falsa. Se Puede usar un análisis Power para determinar cuanto

poder tiene dicha prueba, o ayudar a designar una nueva prueba para que tenga el poder

adecuado.

¿Por qué usar un análisis del Power?

El análisis del Power puede ayudar a responder preguntas como:

¿Es una muestra lo suficiente grande?

¿Qué diferencia se puede detectar en una prueba?

¿Se debería confiar en los resultados insignificantes de la prueba?

Por ejemplo,

¿Cuántas muestras se necesitan recolectar para determinar si el papel de proveedor

es más delgado que el de otro por 0.0015 pulgadas?

¿Qué tan grande es la diferencia que se puede detectar entre la resistencia de una

viga de acero y un historial de la media si reúnes 8 muestras?

¿Se podría confiar en los resultados de una prueba “t-test” que indica la resistencia

de 2 fórmulas de pegamento que no tienen diferencia?

Valores

Si se especifica valores para cualquiera de los 2 parámetros de la prueba, MINITAB

calculará el parámetro restante:

Sample size----- el número de observaciones en la muestra

Differences----- un significado cambio en el alejamiento del objetivo que se este

interesado en detectar con alta probabilidad.

Power values----- el poder (probabilidad de rechazar H0 cuando es falso) que fuera

el apto que tuviera la prueba.

Sigma

Porque el poder de una prueba es parcialmente determinada por la variabilidad en los

datos, se deberá proveer un estimado para σ. Usa un estimado del historial o la desviación

estándar de la muestra.

Escoger: Stat > Power and Sample Size > 1-Sample t.

Interpretando los resultados

Por ejemplo: Con 6 observaciones, una desviación estándar de 2.043 y un α de 0.05, el

Power solo es de .5376. Esto significa que µ esta fuera del objetivo por 2.5, solo tienes un

53.76% de oportunidad para detectarlo.

De otra manera, hay un 46.24% de probabilidad que se falle al rechazar H0 e

incorrectamente concluye que el proceso está en el objetivo.

¿Qué sigue?

De manera que se incremente la probabilidad de detectar un cambio si existe, es

incrementar el tamaño de la muestra. Determinar él número de observaciones requeridas

para lograr el Power adecuado.

“Power and Sample Size”

1-Sample t Test

Testing mean = null (versus not = null)

Calculating power for mean = null + difference

Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.403

Determinando el Power

Con 6 observaciones el Power de la prueba fue solo de 0.5376. Para tener mejores

posibilidades de detectar un efecto si es que existe, se deberás incrementar el poder de la

prueba, que por lo menos sea de 0.80 (como regla general).

Ejemplo: Calcular el tamaño de la muestra requerida para llegar los niveles de Power de

0.80, 0.85, 0.95, y 0.95.

Seleccionar: Stat > Power and Sample Size > 1-Sample t.

Llenar los campos con los datos que se pretenda solucionar. Y después clic en “ok”

Interpretando los resultados

Para tener un Power de al menos 0.80 (objetivo del Power) para detectar una diferencia de

2.5 gramos al nivel α de 0.05, se necesitara una muestra de tamaño 10.

Porque el tamaño de las muestras debe ser siempre un numero entero. El Power actual de

la prueba con 10 observaciones (0.8327) es escasamente mayor que el objetivo Power.

Observaciones adicionales que dan más Power:

Con 11 observaciones, el Power es de 0.8739.

Con 12 observaciones, el Power es de 0.9058.

Con 15 observaciones, el Power es de 0.9625.

Al duplicar el tamaño de la muestra de 6 a 12, incrementas tus posibilidades de detectar

una diferencia de 2.5 (sí es que existe) de 53.76% a 90.58%.

Tal vez no se requiera incrementar el Power demasiado. Si el Power es demasiado alto, se

podrá empezar a detectar cambios que son demasiado pequeños para ser parcialmente

importantes.

Power and Sample Size

1-Sample t Test

Testing mean = null (versus not = null)

Calculating power for mean = null + difference

Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.403

Métodos y Formulas de Minitab

Hipótesis

La hipótesis nula de un 1-sample t-test es: H0: = 0

Donde:

     = La media de la población

    0 = La hipótesis nula

Donde se escoge una de los siguientes tres tipos de pruebas de hipótesis:

H1: > 0 Prueba de una cola

H1: < 0 Prueba de una cola

H1: ≠ 0 Prueba de dos colas

Estadístico de Prueba

t = ( 0) / (s /√n)

Donde:

     = La media de la muestra

    0 = la media dé la población de la hipótesis

    s = La desviación estándar de la muestra

    n = El tamaño de la muestra

Intervalo de confianza

t/ 2  (s /√n) to + t/ 2  (s /√n)

Donde:

     = La media de la muestra

    t /2 = La probabilidad acumulativa inversa de una distribución t con n-1 grados de

libertad con 1/2; = 1 nivel de confianza/100

    s = the sample standard deviation

    n = the sample size

Prueba de hipótesis

Hypotheses

La hipótesis nula para una prueba t es: H0: d = 0

Donde:

    d = Diferencia de medias poblacionales

    0 = Diferencia de medias de las hipótesis

Donde se escoge una de los siguientes tres tipos de pruebas de hipótesis:

H1: d > 0 Prueba de una cola

H1: d < 0 Prueba de una cola

H1: d ≠ 0 Prueba de dos colas

Estadístico de Prueba

Donde:

0 = La diferencia de las medias de la población de las hipótesis

= La media de las diferencias de las poblaciones

Sd = La desviación estándar de las diferencias de las poblaciones

n = Tamaño de la muestra

Intervalo de confianza

To

Donde:

Sd =

= d / n, Donde d = x1 x2 y x1 y x2 son pares de observaciones de sus poblaciones 1

y 2, respectivamente

t/2 = La probabilidad inversa acumulativa de una distribución t con n1 grados de

libertad con 1/2; = 1 nivel de confianza/100

Sd = La desviación estándar de las diferencias

n = numero de muestras pareadas

Bibliografía:

Manual de Entrenamiento Estadísticas Básicas - Manual del usuario

Minitab TM - Making Data Analysis Easier - Versión 13, Lic. Cecilia C. Díaz García

Noviembre 2008, http://www.monografias.com/trabajos35/manual-minitab/manual-

minitab.zip

Meet Minitab 15 – Para Windows, Enero 2007, www.minitab.com