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LÍMITE FINITO DE UNA SUCESIÓN Y SUCESIONES DE

CAUCHY: EQUIVALENCIA MATEMÁTICA VERSUS

EQUIVALENCIA FENOMENOLÓGICA

Resumen

Introducción

Este artículo presenta ideas básicas del trabajo de tesis doctoral de uno de nosotros (Claros,

2010), relativo al límite finito de una sucesión, y consecuencias extraídas de ese trabajo.

También contiene ideas importantes de un trabajo actualmente en elaboración, dedicado a la

fenomenología del límite finito de una función en un punto y que está siendo realizado por

la investigadora Sánchez.

El límite de una sucesión no es fácil, ya que, por una parte, hallamos varias definiciones y,

por otra, observamos distintas maneras de estudiar una definición. De hecho, hay dos ideas

que son matemáticamente equivalentes y que presentaremos con cierto detalle: los términos

de la sucesión parecen acercarse cada vez más (1) al límite o (2) entre sí. Este acercamiento

puede concebirse, a su vez, de dos maneras: una, intuitiva, y otra, formal.

La meta principal del artículo es la de comparar los fenómenos organizados por dos defini-

ciones, matemáticamente equivalentes, de límite finito de una sucesión. Usamos el término

fenómeno siguiendo a Freudenthal (1983), para quien conceptos o estructura matemáticas

son noumenos pero también son piezas de las matemáticas que pueden ser experimentadas

como fenómenos. Como ejemplo de esto señala el concepto de número que organiza el

fenómeno de cantidad pero a su vez es un fenómeno del sistema decimal que sería el nou-

meno y estaría situado en un nivel matemático superior (p. 28).

En nuestro caso, el límite finito de una sucesión, como concepto, integra varias definiciones

y cada una de ellas organiza, al menos, dos fenómenos que serán descritos con detalle en

este trabajo y que, global e informalmente, describen una aproximación de tipo intuitivo y

otra de tipo formal. Hasta donde hemos sido capaces de indagar, Freudenthal no se ocupó

del límite de una sucesión, pero sí resaltó que el aspecto cinético de una variable ha sido

sustituido por definiciones precisas. Como ejemplo, muestra cómo, en lugar de escribir 'xn

converge a cero', escribimos 'limnxn=0' y se define así:

“for every ε >0 there is an n0 such that |an|<ε for n≥ n0”. (Freudenthal, 1983, p. 492)

El formalismo ha hecho que un concepto o estructura matemática quede formalizado por su

definición y ésta sea el medio por el cual se organizan los fenómenos que el concepto lleva

involucrados.

Freudenthal señala la existencia de cuatro tipos de fenomenolgía: fenomenología, fenome-

nología didáctica, fenomenología genética y fenomenología histórica.

Una fenomenologías se diferencian de otras en función de los fenómenos que se tienen en

cuenta con respecto al concepto matemático del que se ocupan. En el primer caso hablamos

de fenómenos que están organizados por las matemáticas en el momento actual y en el uso

actual. En el segundo caso hablamos de fenómenos presentes en el mundo de la enseñanza.

En el tercer caso hablamos de fenómenos que tienen en cuenta el desarrollo cognitivo de los

aprendices y en último lugar hablamos de fenómenos que son organizados por el concepto

matemático y como esta organización se extendió a otros fenómenos.

Nosotros nos ocupamos principalmente del primer tipo de fenomenología con la convicción

de que es necesario comprender los fenómenos hallados en el límite finito de una sucesión

antes de usarlos en la elaboración de una fenomenología didáctica de dicho límite.

El artículo se compone de seis apartados. En el primer apartado, indicamos una selección de

investigaciones que se han ocupado del límite de una sucesión desde una perspectiva educa-

tiva. En los apartados 2 y 3, usamos material del trabajo de tesis doctoral arriba citado para

mencionar dos fenómenos organizados por una definición de límite finito de una sucesión y

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por la definición de Sucesión de Cauchy, respectivamente; éstos son básicamente dos; los

denominamos, respectivamente, aproximación simple intuitiva y retroalimentación en suce-

siones; explicamos su contenido con cierto detalle. Se plantea fácilmente la cuestión de sa-

ber si estos fenómenos están presentes en libros de texto; en el apartado 4 presentamos

ejemplos de algunos fenómenos descritos, en libros de texto españoles o británicos con el

fin de precisar los diferentes fenómenos que estudiamos y también con el fin de acercarnos

a lo que dicen los autores de libros de texto en lo que se refiere al limite de una sucesión.

De esta manera conseguimos acercanos a una fenomenología didáctica.

Para observar las diferencias fenomenológicas entre dos definiciones matemáticamente

equivalentes, hemos dedicado el apartado 5 a comparar los fenómenos asociados a cada

definición, estableciendo diferencias y analogías entre éstos. El articulo termina con un

apartado dedicado a conclusiones en el que se establecen los resultados principales a los que

se han llegado después de realizar el estudio; sobresale un resultado negativo: la equivalen-

cia matemática entre las definiciones trabajadas no se apoya en una equivalencia fenomeno-

lógica entre ambas.

1. Antecedentes

El conjunto de los números reales (R) y el límite abren el camino hacia el análisis

matemático, ya que sirven de base para la derivada o la integral. Garbin Dall’Alba y

Azcárate (2001) han reconocido la dificultad del concepto de límite y la explican por la

diversidad de concepciones, por la riqueza de nociones asociadas y por los múltiples

matices de la definición formal.

Las dificultades asociadas al límite han llevado a muchos autores a diseñar secuencias

didácticas que mejoren el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Przenioslo (2005) sugiere prestar atención a las concepciones particulares de los alumnos y

a algunos hechos y principios más generales, entre los que se encuentran las

representaciones visuales (por el papel que juegan en el aprendizaje de los conceptos

matemáticos) y el desarrollo del concepto imagen, el cual puede estar considerablemente

influenciado por los primeros ejemplos que se plantean a los alumnos. Por ello recomienda

que se presente una amplia gama de ejemplos a partir de los cuales los alumnos puedan

construir y desarrollar, además de la definición, las situaciones apropiadas en las que se

empleen los límites.

Mamona-Downs (2001) defiende que se estudie cada límite de manera diferenciada y se

centra en el límite finito de una sucesión. Esta autora considera que el número real y el

concepto de función son requisitos inevitables. Entre las acciones que permiten dominar la

definición, destaca el manejo de los cuantificadores usados en ésta. En la secuencia

didáctica que esta autora propone, la definición se presenta después de un introducción

intuitiva del límite finito de una sucesión y de una serie de debates y discusiones en torno a

él.

La relación entre el número real y el límite o, dicho con más precisión, la relación entre el

principio de continuidad que caracteriza el número real y el análisis infinitesimal en el que

están englobados el cálculo de límites, derivadas e integrales entre otros conceptos, quedó

establecida por Dedekind (1998, pp.93-94) a través del método de las cortaduras; Dedekind

demuestra la equivalencia entre el citado principio y el siguiente teorema “ Si en el proceso de variación de una magnitud x se puede determinar, para cada magnitud positiva δ dada, un valor correspondiente, a partir del cual x varía menos que δ, entonces x se

aproxima a un valor límite”. En primer lugar Dedekind admite la existencia de dos

valores denominados α y β que cumplen que α ≥ β a los que denomina limite superior e

inferior respectivamente, para llegar posteriormente a demostrar la necesaria igualdad entre

ambos valores.

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Las dificultades para comprender el límite, motivadas en muchos casos por la dificultad

para manejar el conjunto de los número reales y todo lo que ello conlleva, ha llevado a

algunos autores como Earles (1995) a investigar la relación que existe entre las creencias de

los alumnos en torno al limite y la comprensión del concepto de límite. Esta autora analiza

el limite de una función aunque incluye cuestiones relativas a las sucesiones como (“What is

between 0,999... and 1?”). En el análisis de las creencias de los alumnos distingue entre

“creencias axiomaticas” entre las que sitúa los conceptos de número real, infinito y función

y “las fuentes de convicción” que hacen referencia a cómo se establece la verdad

matemática y la validez de sus resultados. Entre los resultados que podemos obtener de su

estudio señalamos que las fuentes de convicción, anteriormente descritas, influyen en la

comprensión del concepto de límite y que en los estudiantes analizados se observa la

existencia de tres tipos de conceptos de limite como movimiento (movimiento pasivo,

movimiento activo y movimiento infinitesimal) y dos conceptos de limite como frontera

(frontera local y global).

El número real queda señalado como un concepto que deben conocer los alumnos para

manejar el concepto de límite. La idea de considerar el número real como un requisito para

dominar el límite finito de una sucesión es ampliamente criticada por Burn (2005, p. 293),

para el cual el límite es precisamente un requisito sin el cual no es posible comprender los

números reales; propone una nueva definición de límite basada en su idea de que la

completitud del conjunto de los números reales no es imprescindible para asegurar que una

sucesión tiene límite y en el manejo de sucesiones nulas (p.287):

“A sequence (An) is said to have the limit L, if and only if there exists a null sequence of positive

terms (an) such that −an < An −L < an, for all positive integers n.”

La nueva definición dada por Burn(2005) es criticada ampliamente por Bergé (2006) que recrimina a Éste no haber tenido en cuenta los trabajos de Davis y Vinner (1986), Sierpinska (1990) y Mamona-Downs (2001) quienes, además de señalar las dificultades de los alumnos en torno al limite, proponen categorías para describir la comprensión de éste (en particular, así lo hace sierpinska). burn se centra en el trabajo con sucesiones nulas y Bergé señala que la principal diferencia entre la definición dada por Burn y la definición estándar de sucesión con límite l, es que se restringe el campo de demostración, reduciéndose éste a demostrar que para un ε > 0, existe un n0 tal que si n > n0, an < ε. También señala una ventaja en la definición dada por Burn y es que una vez encontrado ε para la sucesión nula, el proceso se reduce a acotar usando estas sucesiones nulas. En resumen Bergé señala que la definición dada por Burn no disminuye las dificultades que presenta la definición estándar sino que las sitúa en un lugar mas pequeño.

Espinoza y Azcárate (2000) analizan la tarea de un profesor que tiene que enseñar el

concepto de límite. Para ello se preguntan qué tipo de conocimiento moviliza el profesor

cuando se enfrenta con la tarea de enseñar el límite de una función y las dificultades con las

que se encuentra. La enseñanza-aprendizaje del límite parece haber dado un paso más en los

últimos años situando su medio de investigación en el nivel universitario. (Ver, por ejemplo,

Corica y Otero (2009), en relación con la enseñanza del límite de una función por un

profesor universitario.)

Nuestra aportación al estudio del límite se inicia observando la conveniencia de abordar

cada definición estudiada de manera diferenciada; coincidimos con Mamona-Downs (oc) en

la necesidad de comprender los requisitos matemáticos de un buen aprendizaje del límite y

entendemos que es necesario añadir una cabal comprensión de los diferentes fenómenos

organizados por cada una de las definiciones. (Claros, Sanchez y Coriat, 2006.)

2. Dos definiciones de límite finito de una sucesión.

Existen muchas definiciones de límites y cada autor suele introducir algún matiz o detalle

técnico. Sin embargo, desde nuestra perspectiva, todas las definiciones de límite finito de

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una sucesión se reducen a la formalización de dos ideas.

(1) Los términos de la sucesión deben acercarse, progresivamente, al límite.

(2) Los términos de la sucesión deben acercarse, progresivamente, entre sí.

En nuestra Tesis Doctoral hemos establecido que la elección de una u otra forma de la

definición del tipo (1) no genera diferencias esenciales en lo que vamos a decir. Lo mismo

ocurre con las diferencias entre las variantes de las definiciones del tipo (2). Por eso,

reproducimos las definiciones que vamos a usar.

Definición S11: Sea xn una sucesión en R, decimos que xn converge a un número real x (o tiene como límite el real x y escribimos lim xn= x) si para cada 0, existe un número natural N tal que si n N se cumple quexn-x<(Spivak, 1991, p. 615. Notación

adaptada.)

Definición S22: Una sucesión {an} es una sucesión de Cauchy si para .>0 existe un número natural N tal que, para todo m y n, si m,n>N, entonces |an-am | <. (Esta condición se

escribe generalmente lim m,n | an - am|=0). (Spivak, 1991, p. 624.)

En ambas definiciones, R es el conjunto de los números reales y la convergencia en R se entiende como la convergencia en el espacio métrico R, con la distancia usual d(x,y)=|x-y|. En la jerga estudiantil, Definición S1 se conoce como “definición epsilon-delta”, mientras que Definición S2 se conoce como la caracterización de las sucesiones de Cauchy.

Más detalles sobre estas definiciones pueden consultarse en Claros, Sanchez y Coriat (2009) y en Claros (2010).

3) Fenómenos organizados por Definición S1 y Definición S2

Las dos ideas indicadas en el apartado anterior generarán cada una dos fenómenos, según la

manera en que consideremos el acercamiento. Si adoptamos un punto de vista intuitivo,

tendremos un fenómeno esencialmente distinto del que obtenemos si adoptamos un punto de

vista técnico, en el que el acercamiento deberá controlarse usando herramientas

exclusivamente matemáticas. A continuación presentamos los fenómenos organizados por

cada definición (S1 y S2).

3.1 Fenómenos organizados por la Definición S1

1 (Spivak, M. 2006 p.452) “If a sequence converges, so that the individual terms are eventually all close to the

same number, then the difference of any two such individual terms should be very small. To be precise, if

limn→an =l for some l, then for any 0, there is an N such that |an – l| < 2 for n N; now if both n>N and

m>N, then |an – am| <|an – l|+|l – am|< 2

(Spivak, M. 2006 p.452) “A sequence {an} is a Cauchy sequence if for every there is a natural number N

such that, for all m and n, if m, n >N, then |an – am| <this condition is usually written

lim m,n→|an – am=0)”

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Cuando observamos una sucesión de números reales cuyo límite está declarado, notamos que los valores que toma se van acercando más y más a ese límite. Éste es el primer fenómeno que observamos en las sucesiones que tienen límite, también llamadas convergentes, y lo denominamos fenómeno de aproximación simple intuitiva o fenómeno a.s.i.

Este fenómeno se observa en la siguiente afirmación: “A medida que n aumenta, los términos de la sucesión se aproximan cada vez más al número real 2” (Vizmanos y Anzola, 1998).

Una definición precisa de lo que entendemos por el fenómeno de aproximación simple intuitiva es la siguiente (Claros (2010), páginaS 147-148):

- Aproximación simple intuitiva (a.s.i.). Dados k términos ordenados de una sucesión, generalmente consecutivos, (1, a1), (2, a2), …, (k,ak), caracterizamos la aproximación simple intuitiva como el fenómeno observado al inspeccionar la secuencia de valores a1, a2, ..., ak cuando “parecen acercarse” a otro valor fijo.

Empleamos la expresión parecen acercarse para capturar, al usarla, cualquier intuición para el límite finito de la sucesión; por ejemplo, como conjetura o como resultado del reconocimiento de una pauta (explicita o no) en los valores inspeccionados. El siguiente ejemplo paradigmático muestra lo que entendemos por aproximación simple intuitiva.

Modelo: En la sucesión (1,1), (2,1/2), (3,1/3),…, los términos 1/n, parecen acercarse a 0 a medida que n crece.

La aproximación simple intuitiva remite a los valores que van tomando los términos de una sucesión de números reales con límite real.

El fenómeno de aproximación simple intuitiva es el fenómeno más fácil de observar en las sucesiones que tienen límite y sirve para obtener el primer candidato a límite. Sin embargo este fenómeno no garantiza que el candidato seleccionado sea el verdadero límite de la sucesión presentada, porque la idea de “acercarse cada vez más a” un valor no ha quedado bien establecida con este fenómeno.

- Retroalimentación o ida-vuelta en sucesiones (i.v.s). La seguridad de que un candidato a límite (obtenido a través de la observación del fenómeno de aproximación simple intuitiva en la sucesión) es el verdadero límite de la sucesión presentada se consigue a través del fenómeno que llamamos “retroalimentación” o “fenómeno de ida y vuelta en sucesiones”, por los procesos que controla para establecer o descartar, sin lugar a dudas, el acercamiento indefinido de los valores de la sucesión a un candidato a límite.

En la Definición S1, los procesos son los siguientes.

- El primer proceso, denominado de ida, corresponde a la expresión: “para cada 0,

existe un número natural N”

- El segundo proceso, denominado de vuelta, corresponde a la expresión: “si n N se

cumple que xn-x<”.

La observación conjunta de estos dos procesos da lugar a lo que denominamos retroalimentación o ida-vuelta en sucesiones, que definimos de manera precisa a continuación.

La retroalimentación se manifiesta al interpretar y aplicar las acciones incluidas en la definición formal de límite desde una perspectiva métrica, la cual exige construir una función -n para sucesiones. Dicho en términos coloquiales y gráficos, la retroalimentación corresponde a un proceso de ida-vuelta: una vez establecido el

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entorno en el límite con el dado “vamos” desde éste hacia la variable natural para determinar el correspondiente n asociado, según sea el caso, y “volvemos” al entorno del límite para comprobar que las imágenes así obtenidas pertenecen al entorno considerado.

En la retroalimentación se lleva a cabo la construcción efectiva de una nueva función que queda vinculada unívocamente a la sucesión. De hecho, con el apoyo de la propia sucesión de referencia, la definición formal de límite finito de una sucesión induce la construcción simbólica de tal función, o en su defecto la demostración de su existencia, la cual sirve a su vez para establecer una propiedad de la sucesión dada.

En el caso de las sucesiones, la definición formal de límite hace surgir una función de

variable real con valores naturales (, n()esto es lo que nos conduce a hablar del

fenómeno de idea y vuelta en sucesiones (i.v.s)

Modelo: Partiendo de la sucesión (n, 1/n) se construye la función (, E(1/) + 1) donde E designa la función parte entera. Una vez fijado tenemos que determinar N a partir del cual |1/n|<; resolviendo esta inecuación tendríamos que n debe ser mayor que (1/) + 1. Para asegurarnos que sea un número natural tomamos N=E(1/)+1.

Como consecuencia de todo lo anterior podemos afirmar que la definición de límite finito de

una sucesión organiza estos dos fenómenos: el fenómeno a.s.i y el fenómeno i.v.s. No

descartamos que existan otros fenómenos que sean también organizados por la definición de

límite finito de una sucesión.

3.2 Fenómenos organizados por la Definición S2

Cuando realizamos una lectura informal de la definición de sucesión de Cauchy observamos que las distancias entre los términos de la sucesión se hacen cada vez más pequeñas a medida que n crece. Podemos decir que las distancias entre los términos de la sucesión tienden a cero cuando n y m tienden a infinito. Convenimos en llamar a este fenómeno, fenómeno de aproximación simple intuitiva de Cauchy.

Una definición precisa de lo que entendemos por aproximación simple intuitiva de Cauchy es la siguiente:

- Aproximación simple intuitiva de Cauchy (a.s.i.c): Dados k términos ordenados de una sucesión, generalmente consecutivos, (1, a1), (2, a2), …, (k,ak), caracterizamos la aproximación simple intuitiva de Cauchy como el fenómeno observado al inspeccionar cualquier secuencia de valores; a medida que avanzamos en la sucesión, la diferencia entre dos valores /an – am/ “parece acercarse” a cero. Es decir a medida que avanzamos en la sucesión, las diferencias existentes entre cualesquiera dos valores de la sucesión se hacen cada vez más pequeñas.

Modelo: En la sucesión (1,1), (2,1/2), (3,1/3),…, las diferencias |1/n- 1/m|, parecen acercarse a 0 a medida que n y m crecen.

Las diferencias entre los términos consecutivos se van haciendo cada vez más pequeñas: |1/2 –1| < |1/3 –1/2| < |1/4-1/3| < …

El fenómeno de aproximación simple intuitiva de Cauchy es el fenómeno más fácil de observar en las sucesiones de Cauchy y sirve para obtener cierta convicción sobre el hecho de que las diferencias entre los términos de la sucesión se hagan cada vez mas pequeña a medida que avanzamos en ella. Sin embargo este fenómeno no garantiza que la sucesión con la que se esté trabajando sea una sucesión de Cauchy, solamente da una primera pista sobre ello.

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-Fenómeno de retroalimentación o ida-vuelta en sucesiones de Cauchy. La seguridad de que la sucesión con la que se está trabajando sea una sucesión de Cachy solo puede tenerse como se verifica el fenómeno de retroalimentación o ida-vuelta en sucesiones de Cauchy, el cual se apoya en dos procesos que describimos a continuación

Los dos procesos que observamos en la definición son.

1º) Si >0 existe un N perteneciente al conjunto de los números naturales.

2º) Si n, m >N entonces |an – am |<.

La observación conjunta de estos dos procesos da lugar a lo que denominamos fenómeno de ida-vuelta en sucesiones de Cauchy o i.v.s.c, que caracterizamos a continuación.

El fenómeno de ida-vuelta en sucesiones de Cauchy se manifiesta al interpretar y aplicar las acciones incluidas en la Definición S2 desde una perspectiva métrica, la cual exige construir una función -N. Dicho en términos coloquiales y gráficos, el fenómeno de Cauchy corresponde a un proceso de ida-vuelta; este fenómeno es distinto del proceso de ida-vuelta implicado en la retroalimentación o i.v.s. Las diferencias entre uno y otro ya fueron señaladas en Claros, Sánchez y Coriat (2009).

En el fenómeno de Cauchy se lleva a cabo la construcción efectiva de una nueva función que queda vinculada unívocamente a la sucesión. De hecho, con el apoyo de la propia sucesión de referencia, la definición de sucesión de Cauchy induce la construcción simbólica de tal función, o en su defecto la demostración de su existencia, la cual sirve a su vez para establecer una propiedad de la sucesión dada. Esta nueva función emergente,resulta ser una función natural de variable real (, N()).

Modelo: Partiendo de la sucesión (n, 1/n) se construye la función (, E(1/) + 1) donde E designa la función parte entera. Si fijamos , tenemos que determinar N de manera que si n, m pertenecen al conjunto de los números naturales se cumpla que |1/n – 1/m|<. Sabemos que |1/n – 1/m|<1/n es una desigualdad que se cumple para todo n, m1 y n<m; además se cumple que 1/n< , por la propiedad arquimediana. Entonces tomando N= E(1/) + 1, aseguramos que |1/n – 1/m|<

Como consecuencia de todo lo anterior podemos afirmar que la definición de sucesión de Cauchy organiza estos dos fenómenos: el fenómeno a.s.i.c y el fenómeno i.v.s.c. No descartamos que existan otros fenómenos que sean también organizados por la definición de sucesión de Cauchy.

4. Los fenómenos en los libros de texto.

La idea de que la definición de límite finito de una sucesión organice dos fenómenos: a.s.i e

i.v.s, llevó ineludiblemente a plantearnos la siguiente cuestión: ¿Los autores de libros de

texto de matemátcias en el nivel de secundaria, usan estos fenómenos cuando desarrollan el

limite finito de una sucesión? En Claros (2010) dimos una respuesta afirmativa a esta

cuestión, estableciendo quÉ fenómenos eran usados con mÁs frecuencia en los libros de

texto, teniendo en cuenta el periodo educativo en el que se había publicado el citado libro.

En este apartado, en lo referente a lÍmite de una sucesión, presentamos algunas muestras

que aclaren al lector lo que entendemos por fenómeno a.s.i e i.v.s y como los autores usaron

estos en sus libros.

En lo que respecta a las sucesiones de Cauchy, al ser un contenido no estudiado en

secundaría, hemos buscado algunas muestras de los fenómenos a.s.i.c e i.v.s.c en manuales

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de texto universitarios. Dado el nivel en el que se desarrolla la idea de sucesión de Cauchy

parece razonable pensar que el desarrollo de la misma tendrá un marcado carácter formal,

hecho que se ve corroborado con el uso del fenómeno i.v.s.c.

4.1 Ejemplos de fenómenos a.s.i e i.v.s en libros de texto españoles y británicos

En este apartado presentamos algunos ejemplos, extraidos de libros de texto, de los fenómenos de aproximación simple intuitiva y retroalimentación, con el fin de aclarar aún mas al lector que entendemos por estos y como los diferentes autores de libros de textos han ido haciendo uso de ellos cuando tenían que ocuparse del estudio del límite finito de una sucesión. Los ejemplos en español forman parte de una muestra de 30 libros de textos que se estudiaron en la realización de la tesis doctoral de Claros (2010) y que abarcaban un periodo comprendido entre 1933-2005.

Los sistemas de representación mas usuales en los que suele presentarse el límite son: verbal, gráfico, simbólico y tabular (también llamado este último numérico). El uso de estos sistemas es señalado por Blazquez y Ortega (2000) y Claros (2010), el cual añade que además de los sistemas de representación en los que aparece el límite debemos considerar los formatos de presentación del mismo, denominando a estos ejemplo o definición.

Algunas muestras de fenómenos a.s.i son:

- a.s.i-v-d Este símbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno a.s.i en el sistema de representación gráfico y con el formato ejemplo.

Ejemplo 1: “Diremos que el numero a es el límite de la sucesión (an) cuando a medida que n

toma valores cada vez mayores entonces los términos de la sucesión se aproximan cada vez más

al número real a”. (Vizmanos, Anzola y Primo, 1981).

Se trata de un fenómeno de aproximación simple intuitiva ya que aparecen expresiones como que los términos de la sucesión se aproximan cada vez más a un número real; se usa el sistema de representación verbal y se presenta como una definición.

- a.s.i-g-e . Este símbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno a.s.i en el sistema de representación gráfico y con el formato ejemplo.

Ejemplo 2:

(Bescos y Pena, 2002, p. 90)

Se trata de un fenómeno de aproximación simple intuitiva ya que a partir de la observación de una serie de términos que se aproximan cada vez más al número real 1, se deduce el candidato

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a límite; se usa el sistema de representación verbal y se presenta como un ejemplo.

Algunas muestras de fenómenos i.v.s son:

- i.v.s-v-d Este símbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno i.v.s. en el sistema de representación verbal y con el formato definición.

Ejemplo 3: “Sea an una sucesión de números reales y l un número, también real. Se dice que la

sucesión an tiende a l, o tiene por límite l cuando para todo número >0 es posible encontrar un

término ap de la sucesión tal que él y todos los términos que le siguen difieren de l, en valor

absoluto, en menos que ”. (Segura, 1973) Se trata de un fenómeno de ida-vuelta ya que aparecen expresiones como para cada epsilon existe un término de la sucesión y la diferencia entre este término y el límite es menor que epsilon, mostrándose por lo tanto un doble proceso; se usa el sistema de representación verbal y se presenta como una definición.

- i.v.s-g-d Este símbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno i.v.s. en el sistema de

representación gráfico y con el formato definición.

Ejemplo 4:

(Vizmanos, Anzola y Primo, 1981)

Se trata de un fenómeno de ida-vuelta ya que se observa como los términos de la sucesión a partir de un cierto lugar quedan dentro del entorno determinado por el límite; se usa el sistema de representación gráfico y se presenta como una definición.

Estos fenómenos que mostramos han sido extraidas de libros de textos españoles aunque nuestra sospecha es que dichos fenómenos también van a estar presentes en libros de texto de otros paises. Esta conjetura nos llevó a estudiar algunos libros de texto ingleses intentando buscar evidencias de los fenómenos señalados.

Ejemplos de fenómeno a.s.i en libros de texto ingleses.

-a.s.i-v-e. Este simbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno a.s.i en el sistema de representación verbal y en el formato ejemplo

Ejemplo 5:

Bostock y Chandler (2000, p.228)

Se trata de un fenómeno de aproximación simple intuitiva ya que aparecen expresiones

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como the terms is getting closer to 1, lo cual denota como los términos se aproximan cada vez más a 1; se usa el sistema de representación verbal y se presenta como un ejemplo.

-a.s.i g-e. Este simbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno a.s.i en el sistema de representación gráfico y en el formato ejemplo.

Ejemplo 6 :

Bostock y Chandler (2000)

Se trata de un fenómeno de aproximación simple intuitiva ya que a partir de la observación de una serie de términos se deduce que el límite es 1, se usa el sistema de representación verbal y se presenta como un ejemplo.

-a.s.i v-e.

Ejemplo 7: Kenwood, H.M (2000, p.110).

-a.s.i g-e

Ejemplo 8: Kenwood, H.M (2000, p.110).

-a.s.i v-e

Ejemplo 9: Boardman, Clough y Evans (2005, p.124)

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4.2 Ejemplos de fenómenos a.s.i.c e i.v.s.c en libros de texto

Las sucesiones de Cauchy no aparecen en los libros de texto de enseñanza secundaria en España dejándo parece ser su enseñanza-aprendizaje para el nivel universitario. En los manuales universitarios su enseñanza está muy generalizada, presentandose en la mayoría de los casos la equivalencia matemática entre ella y la definición de límite finito de una sucesión. En los manuales analizados podemos observar que se usa el fenómeno de ida-vuelta en sucesiones de Cauchy en diferentes sistemas de representación y asociado al formato definición.

-i.v.s.c v-d: Este simbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno i.v.s.c en el sistema de representación verbal y en el formato definición.

Ejemplo 1:

Rey Pastor y Castro Brzezicki (1963)

En este caso se presenta la definición de sucesión de Cauchy junto con la caracterización

que demuestra que una sucesión de Cauchy es equivalente a una sucesión que tiene límite.

Aparece el fenómeno i.v.s.c a través del sistema de representación verbal y en una

definición.

-i.v.s.c s-d. Este simbolo lo usaremos cuando detectemos el fenómeno i.v.s.c en el sistema de representación simbólico y en el formato definición.

Ejemplo 2:

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Martínez Salas (1992)

En este caso se presenta, al igual que en el caso anterior, la definición de sucesión de Cauchy junto con la caracterización que demuestra que una sucesión de Cauchy es equivalente a una sucesión que tiene límite. Aparece el fenómeno i.v.s.c a través del sistema de representación simbólico y en una definición.

-i.v.s.c s-d

Ejemplo 3:

Spivak (1992)

En este caso se presenta la definición de sucesión de Cauchy pero a diferencia de las anteriores no se expone junto con la caracterización que demuestra que una sucesión de Cauchy es equivalente a una sucesión que tiene límite. Aparece de nuevo el fenómeno i.v.s a través del sistema de representación simbólico y en una definición.

5. Comparación de los fenómenos hallados.

En Claros, Sánchez y Coriat (2009) ya se discutieron los fenómenos a.s.i. i.v.s, organizados por la definición s1, y los fenómenos a.s.i.c e i.v.s.c, organizados por la definición sc. también se detallaron las diferencias entre las parejas de fenómenos a.s.i / a.s.i.c, y i.v.s / i.v.s.c.

En el caso a.s.i destacamos que los términos de la sucesión se acercan a un número l (candidato a límite) y en el fenómeno a.s.i.c, lo que se se observa es que las diferencias entre los términos de la sucesión se hacen cada vez mas pequeñas. En el caso de los fenómenos i.v.s e i.v.s.c se observa que las funciones asociadas a cada uno de estos fenómenos es distinta, hecho que se demostrará mas adelante. A pesar de existir diferencias notables entre unos y otros, es decir entre a.s.i y a.s.i.c, y entre i.v.s e i.v.s.c, que dotan a cada uno de ellos de entidad propia, observamos cierta relación al menos entre los fenómenos a.s.i-a.s.i.c. Este hecho se muestra en el siguiente ejemplo.

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Dada la sucesión 1/n, cuyos términos son 1, ½, 1/3, ¼,..., observamos que la sucesión tiene como límite el valor 0. (Los términos de la sucesión se acercan cada vez más a cero; este hecho denota el fenómeno a.s.i.) También observamos que la diferencia entre los términos de la sucesión se van haciendo cada vez más pequeña; este hecho denota el fenómeno a.s.i.c. De esta manera la observación del fenómeno a.s.i implica la presencia del fenómeno a.s.i.c. El recíproco también es aceptable en el ámbito intuitivo: si conocemos que la diferencia de dos términos de la sucesión suficientemente avanzados es cada vez más pequeña, aceptaremos que los términos tienen que acercarse cada vez más a un valor aunque desconozcamos cuál sea ese valor. La aceptación de la equivalencia entre ambos fenómenos (a.s.i y a.s.i.c) en el ámbito intuitivo nos lleva a buscarla entre los fenómenos i.v.s e i.v.s.c; la diferencia fundamental entre uno y otro la hallamos en el objetivo con que se construye la función épsilon-N para cada uno de ellos. En el primer caso (definición S1), intentábamos hacer ver que la distancia entre el límite y los valores de la sucesión se reducía tanto como se quisiera, mientras que en el segundo (definición S2), hemos tratado de establecer que la distancia relativa entre los términos de la sucesión va tendiendo a cero, sin preocuparnos por el conocimiento concreto del límite de la sucesión.

Un análisis más profundo de las funciones epsilon-N asociadas a S1 y S2 ha revelado que son distintas, ya que para los mismos valores de epsilon, toman valores de N diferentes.

La justificación de este hecho puede observarse con el siguiente ejemplo:

Dada la sucesión An={1/n}, observamos que la función (, N(límite finto es distinta de la función (, N(definición de sucesión de Cauchy. Esta afirmamos la vamos a justificar tomando una serie de valores de epsilon y observando que valor tiene que tomar N para que se cumple la definición S1 y la definición S2. El siguiente cuadro que presentamos recoge lo anteriormente descrito.

Función (, N(en la

definición de límite

finito de una sucesión3

Función (, N(en

la definición de

sucesión de Cauchy4

3 Observando los valores que toma epsilon y los valores que toma N, podemos

establecer la siguiente secuencia de valores: (1/4, 5). (1/5, 6), (1/6, 7),... Para estos valores

se cumple la definición de límite 0 de la sucesión 1/n. Es cierto que para valores mayores

de N a los que hemos tomado también se cumpliría la definición, pero los valores (1 / 4, 5).

(1/5, 6), (1/6, 7),... constituyen los primeros valores para los que se verifica Ésta, para cada

epsilon prefijado.

4 La función (, N(en la definición de sucesión de Cauchy toma los valores: (1/4,

4). (1/5, 5), (1/6, 6),.. por lo que observamos que la secuencia formada es distinta a la

obtenida anteriormente. Este hecho nos lleva a admitir que las dos funciones (,

N(estudiadas son funciones distintas; es cierto sin embargo que tenemos que admitir

que podría buscarse una función que fuese común a las dos definiciones. Este hecho ha

ocurrido en este documento donde se ha buscado como función (, N(la función (,

E(1/) + 1) tanto en la definición del fenómeno i.v.s como en la definición del fenómeno

i.v.s.c

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|1/n|< ¼ para N=5 |1/n - 1/m|< ¼ para N=4

|1/n|< 1/5 para N=6 |1/n - 1/m|< 1/5 para N=5

|1/n|< 1/6 para N=7 |1/n - 1/m|< 1/6 para N=6

|1/n|< 1/7 para N=8 |1/n - 1/m|< 1/7 para N=7

|1/n|< 1/8 para N=9 |1/n - 1/m|<1/8 para N=8

Aunque la definición de la función (, n( parece la misma, los valores que toma no

coinciden y lo que se hace con ellos tampoco. al ser el segundo proceso diferente entre i.v.s

e i.v.s.c nos vemos obligados a concluir que la indiscutible equivalencia matemática entre

las definiciones S1 y S2 no está respaldada por una equivalencia de los fenómenos

respectivos organizados por dichas definiciones.

6. Conclusiones

En este apartado presentamos conclusiones obtenidas después de realizar el análisis minu-

cioso de una definición de límite finito de una sucesión y una definición de sucesión de

Cauchy:

1) La definición de límite finito de una sucesión organiza al menos dos fenómenos: el fe-

nómeno de aproximación simple intuitiva o fenómeno a.s.i y el fenómeno de ida-vuelta en

sucesiones o fenómeno i.v.s.

El fenómeno de aproximación simple intuitiva da un primer candidato a límite que solo

puede ser verificado a través del fenómeno de ida-vuelta en sucesiones denominado i.v.s.

La verificación de este fenómeno exigirá la construcción de una función epsilon-N.

2) La definición de sucesión de Cauchy organiza al menos dos fenómenos: el fenómeno de

aproximaxión simple intuitiva de Cauchy o a.s.i.c y el fenómeno de ida-vuelta en sucesiones

de Cauchy o i.v.s.c.

El fenómeno de aproximación simple intuitiva de Cauchy nos da una primera impresión de

que sucede con la sucesión; si la sucesión es de Cauchy las distancias entre los terminos de

la sucesión se van haciendo cada vez mas pequeña en caso contrario la sucesión no sería de

Cauchy. Una vez que tenemos cierta sospecha de que la sucesión es de Cauchy tenemos

que recurrir al fenómeno de i.v.s.c para asegurar que la citada sucesión es una sucesión de

Cauchy. Epsilon-N. La verificación de este fenómeno exigirá la construcción de una fun-

ción epsilon-N.

3) Encontramos evidencias de los fenómenos a.s.i en libros de texto de Educación Secunda-

ria obtenidos en España y en el Reino Unido.

Hemos presentado algunos ejemplos extraídos de libros de texto que muestran como los

fenómenos señalados anteriormente son usados por los autores de libros en el desarrollo del

limite finito de una sucesión y las sucesiones de Cauchy. Estos ejemplos constituyen una

muestra intencional y solo intentan aclarar al lector lo que entendemos por fenómeno a.s.i.

4) Encontramos evidencias de los fenómenos i.v.s.c en manuales universitarios en español.

También hemos presentado ejemplos extraidos en esta ocasión de manuales universitarios

en los que podemos observar la presencia del fenómeno i.v.s.c. La muestra de nuevo es

intencional y cumple el mismo objetivo que el apartado anterior.

5) Admitimos la equivalencia entre los fenómenos a.s.i (organizado por la definición S1) y

a.s.i.c (organizado por la definición S2) pero no podemos confirmar esa equivalencia entre

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los fenómenos i.v.s (organizado por la definición S1) e i.v.s.c (organizado por la definición

S2), ya que cada uno de ellos lleva asociada una función e-N distinta.

Hemos construido las funciones e-N asociadas a cada uno de los fenómenos i.v.s e i.v.s.c

para un caso concreto, la sucesión 1/n, observándose que tales funciones son distintas. De

aquí deducimos lo siguiente:

6) La equivalencia matemática entre las definiciones S1 y S2 no se ve respaldada por una

equivalencia fenomenológica que implicaría que los fenómenos asociadas a cada una de

ellas son equivalantes entre si.

Una vez señaladas las conclusiones obtenidas debemos mostrar algunas perspectivas futuras de las cuales nos queremos ocupar: – Señalar como se utilizarían los fenómenos a.s.i e i.v.s en el desarrollo del límite fini-

to de una sucesión cuando un profesor tiene que enfrentarse a enseñarlo a un conjunto de

alumnos de secundaria, intentando buscar actividades dedicadas especificamente a potenciar

estos fenómenos, como un paso previo a la definición de límite finito de una sucesión

– Señalar como se emplearían los fenómenos a.s.i.c e i.v.s.c en el desarrollo de las sucesiones de Cauchy cuando un profesor tiene que enfrentarse a enseñarlas a un con-junto de alumnos de universidad, buscando actividades especificas que potencien el uso de estos fenómenos como antesala a la definición de sucesión de Cauchy.

– Realizar un estudio mas profundo sobre la bibliografía relativa a Freudenthal, para buscar referencias en las que haya podido prestar atención al límite de una suce-sión, ya que observamos que en su trabajo de 1983 dedica más atención a la continui-dad y al limite de una función.

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