UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALESLABORATORIO DE FSICA MECNICA_________________________________________________________________PRCTICA N 1: TEORA Y PRCTICA DE LA MEDICIN

PRCTICA C: TEORA DEL ERRORI. OBJETIVOS Realizar medidas de magnitudes fsicas, considerando la precisin de los instrumentos utilizados. Usar la teora de error en el clculo de magnitudes fsicas.

II. MATERIALES

1 balanza de tres barras1 pie de rey (calibrador Vernier)1 palmer o micrmetro1 regla mtrica1 cilindro metlico1 paraleleppedo de metal (placa) 1 baln o esfera metlica

III. FUNDAMENTO TERICO

Medir es comparar cuntas veces existe la unidad patrn en una magnitud fsica que se desea medir, por ejemplo si el largo de la pizarra es 3.40 m, entonces se dice que en esta longitud existe 3.40 veces la unidad patrn (1 metro patrn).

El resultado de una medicin, es una cantidad cuya magnitud dice cunto mayor o menor es la cantidad desconocida respecto de la unidad patrn correspondiente. El valor obtenido va acompaado de la unidad respectiva dada en un sistema de unidades perteneciente a cualquier sistema de unidades como: CGS, MKS, ingls, tcnico, sistema internacional (S). Nosotros haremos nfasis con el sistema internacional porque es requisito para cumplir los estndares internacionales de pesos y medidas.

Cuando se realiza una medicin de la magnitud de una cantidad fsica es imposible que el resultado de esta medicin sea exacto, como quisiramos. Por ejemplo, si medimos con la regla de madera el largo de la gua de este laboratorio, no es exactamente 29.40, sino que hay que incluir una incertidumbre de lectura sobre este valor que corresponde al instrumento de medida que se est usando, entonces para nuestro caso la lectura correcta debe ser 29.40 0.05 (cm), donde el valor de 0.05 cm corresponde a la incertidumbre de lectura de la regla de madera.

El valor de una medicin de una cantidad fsica se expresa de la siguiente manera:

Xi = xi xiDonde,Xi: Valor realxi: Valor i-simaxi: Incertidumbre de lectura

Ejemplo: Al medir la longitud de un objeto estimamos el menor intervalo, 0.05 cm, donde estamos seguros que se encuentra el valor de la medida.

El largo de la tarjeta de crdito mide L = 8.30 0.05 cm

A. TIPOS DE MEDICINSe consideran dos tipos de medicin: directa e indirecta.

Medicin directa: El valor de la cantidad desconocida es obtenido visualmente por comparacin con una cantidad conocida (patrn).

Medicin indirecta: El valor de la cantidad es el resultado obtenido de la aplicacin de frmulas matemticas que vinculan una o ms medidas directas.

Los valores de las mediciones realizadas en las mismas condiciones suelen presentar fluctuaciones en un entorno o intervalo de valores. Como sabemos, estas diferencias indican la imposibilidad de tener una medida exacta. Las mediciones realizadas suelen ser tratadas estadsticamente mediante la Teora de la Medicin, donde se incluye la teora de errores. Los errores pueden ser sistemticos y aleatorios.

B. ERRORES SISTEMTICOS ()

Los errores sistemticos estn relacionados con la destreza del operador, la tcnica utilizada, la operatividad defectuosa de un instrumento, los mtodos de clculo o redondeo. Estos pueden ser: de paralaje (ambientales y fsicos (), de adquisicin de datos (), de clculo (), etc.Errores ambientales y fsicos (). El cambio en las condiciones climticas puede afectar algunas propiedades fsicas de los instrumentos (resistividad, conductividad, fenmenos de dilatacin, etc.).

Los se minimizan y se compensan aislando el experimento, controlando las condiciones ambientales en el lugar de inters, tomando un tiempo adecuado para la experimentacin.

Entre los errores sistemticos es importante considerar los errores del instrumento de medicin.

Los errores relacionados con la calidad de los instrumentos de medicin son: error de lectura mnima y error de cero.

Error de lectura mnima (): llamada por otros autores incertidumbre de lectura, y es cuando la expresin numrica de la medicin resulta estar entre dos marcas mnimas de la escala de lectura del instrumento. La incerteza (indeterminacin) del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mnima del instrumento.

Ejemplo: la regla milimetrada de madera de un metro, tiene por cada centmetro 10 divisiones, luego la incerteza es 1/2 de 1/10 cm en la misma lectura. Por lo tanto,

Error de cero (): es el error propiamente del instrumento no calibrado.

El error sistemtico total se calcula usando la siguiente relacin matemtica:

En ocasiones slo se considera el error de lectura mnima como error sistemtico:

C. ERRORES ALEATORIOS ()

Los errores aleatorios son originados bsicamente por la interaccin del medio ambiente con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemticos hayan sido suficientemente minimizados, balanceados o corregidos.

Se cuantifican por mtodos estadsticos. Cuando se mide n veces un objeto (ejemplo: el ancho de un carn universitario se obtienen n valores, si las lecturas son: x1, x2,, xn ; el valor estimado de la magnitud de esta cantidad fsica X, se calcula tomando el promedio de la siguiente manera,

La diferencia de cada medida respecto de la media se denomina desviacin. El grado de dispersin de la medicin, estadsticamente se denomina desviacin estndar , y se calcula mediante la frmula,

El error aleatorio se toma como:

ERROR TOTAL (ET). Es el resultado de la suma de los errores sistemticos y aleatorios.

Por lo tanto el valor de la medicin se expresa como:

Existen otros tipos de error o incertidumbre, entre ellos est el error relativo y el error porcentual.Error relativo. Se obtiene de efectuar la razn del error absoluto entre el valor promedio de la medida,

Error porcentual. Se obtiene multiplicando el error relatico por 100:

El valor de una medida se expresa,

en funcin del error relativo, en funcin del error porcentual

Cuando existen valores conocidos y aceptados en tablas internacionales de la magnitud fsica medida, se le denomina valor terico.

A partir del valor experimental se obtiene otra forma de expresin del error de la medicin conocido como el error experimental porcentual o porcentaje de error, %:

Error absoluto de una medida

La desviacin de cada medicin xi respecto al valor medio , se llama error absoluto de una medicin dada, esto es:

La medida aritmtica de los errores absolutos de cada medida se denomina error absoluto promedio o error absoluto de la medida.

En ocasiones cuando se tienen varias medidas (menos de 10) tomadas de una magnitud fsica, es conveniente calcular el error absoluto a partir de la medida mxima y mnima de la serie de datos obtenidos en el proceso de medicin:

Cuando se trata de una sola medida (n = 1) el error absoluto es el valor de la apreciacin del instrumento utilizado (corresponde a una fraccin de la unidad ms pequea de la escala del instrumento).

Cuando el nmero de medicin es mayor que 10, el error se calcula por procedimientos estadsticos y se considera el clculo de la desviacin estndar .

En resumen tenemos:n > 10 tratamiento estadsticon < 10 tratamiento estadstico (promedio y error absoluto)n = 1 tratamiento no estadstico (medida y apreciacin)

Ejemplo 1: sean los siguientes valores obtenidos en una medicin de longitud en el laboratorio de Fsica:

l1 = (15.24 0.02)cml4 = (15.72 0.02)cml2 = (15.12 0.02)cml5 = (15.44 0.02)cml3 = (15.18/0.02)cmEntonces 15.34 cm

Luego cm

O tomando la medida mxima y mnima de los cinco valores anteriores, tenemos:

Luego cm

Ejemplo 2 (error relativo)Al tener dos medidas en el mismo error absoluto:Por ejemplo, si a1 = 20 0.1 y a2 = 200 0.1, observamos que la exactitud relativa del segundo caso es bastante ms alta que la del primero. Para caracterizar mejor la exactitud de una medicin respecto a la otra medicin calculamos el error relativo de cada una:

Ejemplo 3. Dados los tres resultados siguientes:

a = 3.22 0.02b = 11.315,4 0.5c = 0.41 0.01

Observamos que la cantidad c tiene el error absoluto ms pequeo, pero ha sido medida con una precisin menor que las otras dos, puesto que los errores relativos de las tres cantidades son:

PROPAGACIN DE ERRORES

En muchas ocasiones las magnitudes a medir o calcular se obtienen de manera indirecta a travs de ecuaciones que relacionan la magnitud con otras magnitudes medidas de manera directa, las cuales tienen un error o incertidumbre en la medida.

P.e., el volumen de un prisma V= l x a x h, donde l = lo l, a = ao a, h= ho h; la rapidez v se obtiene midiendo un desplazamiento r = ro r y un tiempo t = to t los cuales tienen una incertidumbre asociada al proceso de medicin.

Cmo se propaga esta incertidumbre en la magnitud calculada del volumen V?, y de la rapidez v? o mejor, cmo se calcula el error en el volumen y en la rapidez a partir de los errores de las cantidades fsicas medidas?

En primer lugar estudiemos el caso de la medida de dos cantidades fsicas A y B considerando sus errores correspondientes: .

Cmo ser el error en la suma, resta, multiplicacin, divisin y potenciacin de estas cantidades?

Consideremos que se mide la cantidad fsica de dos objetos, y sus lecturas vienen dadas por los valores:

Propagacin de errores en la suma y la resta

La respuesta a las operaciones de suma y resta de las cantidades fsicas A y B se da por una expresin de la forma:

donde: Z se calcula por suma de cuadraturas con la siguiente expresin:

Propagacin de errores en la multiplicacin / divisin

La respuesta a las operaciones de multiplicacin y divisin de las cantidades fsicas A y B se dan mediante expresiones de la forma: ,

donde,

Otra forma un tanto prctica para obtener la propagacin de la incertidumbre es calculando los valores mximo y mnimo de la magnitud. Por ejemplo, para el volumen

Vmax = (lo + l) (ao + a) (ho + h)Vmin = (lo l) (ao a) (ho h)luego,

Cmo se proceder para el clculo de la incertidumbre en la rapidez?

IV. PROCEDIMIENTO

A. Determinacin de longitudes1. Con una regla (en cm y mm) mida el radio del disco asignado a su grupo y registre el resultado en la tabla 1. Permita que sus compaeros hagan lo mismo para obtener por lo menos, 5 medidas.

2. Medir el largo l y el ancho a de un texto. Realizar 5 medidas en cada caso y registrarlas en la tabla N 1.

Realice los clculos necesarios para completar la tabla 1.

Tabla 1. MEDIDARADIO DISCO DE MADERA r( )DIMENSIONES DE UN TEXTO

01l ( )a ( )

02

03

04

05

Promedio

Medida

3. Usando el pie de rey y el micrmetro, complete la tabla 2 determinando las dimensiones del cilindro y la placa metlica (prisma rectangular) entregadas a cada grupo. Con los valores obtenidos calcule la densidad de cada uno de los elementos usando su teora de errores:

Tabla 2. Dimensiones del cilindro y placa

CILINDROcon pie de reyCILINDROcon micrmetroPLACAcon pie de rey

MEDIDAD(mm)H(mm)D(mm)H(mm)l(mm)a(mm)hp(mm)

01

02

03

04

05

Promedio

Medida (mm)

Determinacin del volumen

Determinacin de la densidad

4. Comparando los valores de densidad obtenidos para el cilindro, cul de los valores considera que es mejor? Justifique su respuesta.

5. Con ayuda de tablas (Handbooks y en textos de Fsica), identifique de qu materiales son los objetos usados en el experimento.

Objeto (g/cm3) (g/cm3)Sustancia identificada

Placa

Cilindro

6. Analice sus resultados, cules son los factores de influencia que ms aportan a la incertidumbre, y cmo se reducira?

7. Qu cuidados se debe tener en cuenta para obtener resultados ms confiables?

8. Llenar la siguiente tabla utilizando propagacin de errores cuando sea necesario, si las medidas del cilindro fueron tomadas con un pie de rey cuya lectura mnima es 0.05mm y la masa del cilindro fue tomada por una balanza mecnica de 3 brazos, cuya lectura mnima es de 0.1 g.

Tabla: MEDIDAS PARA EL CILINDRO (Calibrador pie de rey)

Cilindro completoOrificio cilndricoRanura paraleleppedo

MedidaD(mm)H(mm)d0(mm)h0(mm)l(mm)a(mm)hp(*)(mm)

0151.1531.1010.1512.5028.503.45

0251.0531.1010.2012.4528.453.45

0351.1531.0510.2012.5028.403.50

0451.0531.0510.0512.4028.453.45

0551.1031.1510.1012.4528.453.40

Promedio

Medida

Volumen (Vc)(cm3)Volumen (Vo)(cm)Volumen (Vp)(cm3)

Medida

Masa (g) m1m2m3m4m5mm

493.8494.1493.9494.0494.0

Volumen del cilindroDensidad del cilindro

9. Medida del dimetro de una esfera con un micrmetro. Un micrmetro est totalmente cerrado y sin embargo, se lee 0,008 mm. Al colocar una esfera se lee un dimetro de 25,43 mm. Con estos valores calcule el volumen de la esfera y su incertidumbre.

10. La presin de un gas se determina mediante la fuerza que ejerce sobre una superficie dada. Si la magnitud de la fuerza es 20,0 0,5 N y el rea es rectangular de lados 5,00,2 mm y 10,0 0,5 mm. Calcule la presin y su incertidumbre.

11. Qu medida ser mejor, la de un tendero que determina 1 kg de azcar con una precisin de un gramo o la de un Fsico que mide 10 cg de una sustancia en polvo en una balanza con una precisin en miligramos? Para fundamentar mejor su respuesta, primero conteste si es ms significativo recurrir al error absoluto o al error relativo.

B. Clculo del error para una funcin

B.1 CLCULO DEL ERROR PARA UNA FUNCIN DE UNA VARIABLE

Sea F una magnitud fsica que depende de la magnitud x, esto es:F = f (x)Si se mide la magnitud x experimentalmente se dice que el resultado de F que se obtiene al reemplazar en la funcin f a x por su valor en una medida indirecta.

El problema que se presenta ahora es conocer el error de F en funcin de la magnitud x.

Como los errores de medicin por regla general son tan pequeos en comparacin con las magnitudes medidas, entonces el proceso de derivacin del clculo diferencial es de suma utilidad en el sentido que las diferenciales pueden ser tomadas como los errores (x =dx, F = dF).

Con base en lo anterior, se puede entonces calcular el error F de F diferenciando la funcin f y reemplazando las diferenciales dx y dF por x y F respectivamente, esto es: F = f (x) diferenciando tenemos: tomando dF y dx por F y x respectivamente, tenemos:

Es decir, el error absoluto de una funcin es igual al error absoluto del argumento multiplicado por la derivada de dicha funcin en valor absoluto. El valor absoluto es necesario porque muchas derivadas pueden resultar negativas y esta opcin garantiza una estimacin justa del error.

El error relativo de la funcin ser:

B.2 CLCULO DEL ERROR PARA UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES

Sea F una magnitud fsica que depende de las m magnitudes distintas z1, z2, , zm.

F = f (z1, z2, , zm)

Si se miden las magnitudes z1, z2, , zm experimentalmente se dice que F es tambin el resultado de una medida indirecta.

Se desea ahora conocer el error F de F en funcin de las magnitudes zk.

El proceso de calcular el error F de F utilizando clculo diferencial, es anlogo al de la seccin previa, slo que en este caso por tratarse de una funcin de varias variables, su diferencial (dF) viene dada por la suma de las diferenciales de la funcin respecto a cada una de las variables independientes, esto es:

F = f (z1, z2, , zm) diferenciando tenemos:

Reemplazando las diferenciales dF, dz1, dz2, dzm por F, z1, , zm respectivamente, tenemos: PREGUNTAS

Los valores absolutos son necesarios porque muchas derivadas parciales pueden resultar negativas y esta operacin garantiza una estimacin justa del error.

El error relativo de la funcin ser:

Ejemplo:

Sea la funcin F = 3xy2z con x = 5.22 0.03 y = 12.5 0.5 z =145.4 0.1calcular

Solucin:

Las derivadas parciales de la funcin son:

, ,

El error absoluto de F es:

El error relativo de F es:

Reemplazando los valores experimentales anteriores, tenemos:

B.3. EJERCICIOS1. Al usar un metro de madera para medir la longitud de mi escritorio. Estoy seguro de que es no menor de 142.3 cm y no ms de 142.6. Enuncie esta medicin como un valor central incertidumbre. Cul es la incertidumbre relativa de la medicin?

2. Al leer un voltmetro y un ampermetro de aguja y escala, y evalo visualmente el margen de incertidumbre. Estoy seguro de que la lectura del ampermetro est entre 1.24 y 1.25 A, y la del voltmetro entre 3.2 y 3.4. exprese cada medida como un valor central incertidumbre, y evale la incertidumbre relativa de cada medicin.

3. En el escritorio mencionado en el ejercicio 1, se mide el ancho, y se est seguro de que la medida cae entre 78.2 y 78.4 cm. Cul es la incertidumbre absoluta en el rea calculada de la cubierta del escritorio?

4. Al medir la resistencia de un resistor, la lectura del voltmetro era de 15.2 0.2 V, y la lectura del ampermetro era de 2.6 0.1 A. Cul es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada usando la ecuacin R = V/I?

5. Un pndulo simple se usa para medir la aceleracin de la gravedad, usando El perodo T medido fue de 1.24 0.02 seg y la longitud de 0.381 0.002 m. Cul es el valor resultante de g con una incertidumbre absoluta y relativa?

V. CONCLUSIONES

VI. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES

VII. BIBLIOGRAFA

Referencias

1. D.C. BAIRD. Experimentacin. Una introduccin a la teora de mediciones y al diseo de experimentos. Segunda edicin. PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.1991.

2. SEARS, F., ZEMANSKY, M., H. y FREEDMAN, R., Fsica universitaria, 9 ed., vol. 1, Addison Wesley Longman, Mxico, 1999.

3. WORSNOP, B. L. y FLINT, H. T., Curso superior de fsica prctica, EUDEBA, buenos Aires, 1964; versin original inglesa de Fethuen C., Ltd., London, 1957.