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Fsica Computacional, Grupo 8232. Semestre 2016-I.

Anlisis Numrico aplicado al Problema de Kepler y la precesin del

perihelio de Mercurio.Ana Ximena Monroy Romero, Omar Elas Velasco Castillo.

10 de diciembre de 2015

Resumen

El objetivo del proyecto es utilizar las herramientas del anlisis numrico y de las tcnicas de programacin

computacional para el estudio y el clculo de las rbitas de ciertos cuerpos regidos por la Mecnica Celeste. Como

se hall a la hora del desarrollo de este trabajo, la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias normalmente

estudiada en los cursos de anlisis numrico llega a tomar formas ms sofisticadas en su planteamiento con este

tipo de problemas. As pues, se discuten ciertas de ellas y se compara su proximidad.

1. Problema de Kepler.

El desarrollo de este trabajo comienza con la revisin del problema de Kepler, revisado en la Mecnica Celeste.

Considrese el problema de Kepler para el cual un cuerpo celeste pequeo (puede tratarse de un planeta, satlitenatural o un cometa) orbita alrededor de otro cuerpo de masa mucho mayor (el Sol). Para el primer caso, tmeseel modelo copernicano para el cual se fija un sistema coordenado con el Sol en el origen. Por el momento, convieneconsiderar nicamente la fuerza debida a la interaccin gravitacional entre el planeta y el Sol, despreciando as otrotipo de fuerzas (por ejemplo, fuerzas de marea debido a otros cuerpos, el viento solar, etc.).

Entonces, se tiene que la fuerza gravitacional (atractiva, con signo menos) actuando sobre el planeta es:

FG = GmM|r|2

ur= GmM|r|3

r (1)

con r la posicin en el sistema coordenado del planeta, ur un vector unitario en esa direccin ur= (cos , sin ); msu masa,M = 1,991030 kg la masa del Sol y la constante G = 6,671011m3/kg s2 la constante de gravitacinuniversal.

Ahora bien, las unidades convenientes de distancia y tiempo para este problema deben ser las ms convenientes,no deben tomarse pues las unidades en MKS. Como unidad de distancia se optar por emplear la unidad astro-nmica (UA; 1 UA 1,5 1011m), lo cual equivale a la distancia media entre el Sol y la Tierra. Por otro lado,como unidad de tiempo se tomar el ao astronmico (ao UA= 3,2 107 s; que es el periodo de traslacin de una

rbita circular con radio igual a 1 UA). Se pedir tambin tomar al planeta como la Tierra, con masa m 61024

kg.

Para completar nuestro sistema de unidades se debe tambin de ocupar una unidad de masa correspondiente. Estose puede obtener fcilmente considerando el problema de la rbita como un movimiento circular uniforme (debido ala excentricidad de la Tierra de e= 0,0167). Para un movimiento de tal tipo, se tiene que la fuerza completa debeser igual a la centrpeta:

mv2

r =Fcent = FG=

GmMr2

conv la rapidez media de la Tierra. Despejando adecuadamente, se obtiene:

GM = v2r= 42UA3/ao2 (2)

donde se ha utilizado el hecho de que la velocidad de la Tierra es igual a 2r/(1 ao) = 2(1 UA)/(1 ao) 2 UA/ao

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Regresando al planteamiento inicial para la fuerza que rige a la rbita del planeta, se elige a la Tierra y se consideraque como la masa del Sol es lo suficientemente grande, el propio movimiento de ste es despreciable. Nuestra metaser pues calcular la posicin de la Tierra como funcin del tiempo.

Por la segunda ley de Newton se tiene:

d2x

dt2 =

FGxm

(3)

d2y

dt2 =

FGym

dondeFGx y FGx son las componentesx y y de la fuerza FG definida en (1).

De la Figura 1 se tiene que:

FGx = GmM

r2 cos =

GmMx

r3 (4)

FGy = GmM

r2 sin = GmMy

r3

Figura 1: Sistema coordenado utilizado para describir el movimiento de la Tierra orbitando alrededor del Sol. El Sol se sita en elorigen y la Tierra est localizada en las coordenadas (x, y).

Buscando escribir de (3) y (4) cada una de las ecuaciones diferenciales de segundo orden como dos ecuaciones deprimer orden:

dvxdt

= GMx

r3 (5)

dx

dt =vx

dvydt

= GMy

r3

dy

dt =vy

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Ahora, se busca convertir las ecuaciones de movimiento dadas en (5) en ecuaciones de diferencias para construir unasolucin computacional. Se tiene pues que, bajo el mtodo de Euler para resolver ecuaciones diferenciales y nuestrosistema de unidades indicado por (4), las soluciones se ven como:

vx,i+1= vx,i 42xi

r

3

i

t (6)

xi+1= xi+vx,i+1 t

vy,i+1= vy,i 42yir3i

t

yi+1= yi+vy,i+1 t

Este problema est pues ya resuelto para la consideracin del movimiento de la Tierra como un movimiento circularuniforme con rapidez media dada y recordando su excentricidad cercana al 0. Se piensa que esta es una muy buenaaproximacin, ya que segn datos de archivo del 2013, el afelio de la Tierra se hallaba a 152 millones de kilme-

tros, mientras que su perihelio a 147millones de kilmetros; con lo cual se tiene una diferencia entre distancia deextremo a foco entre ambos puntos de poco ms del 3 %, haciendo que la idea de tomar la rbita como circular conuna cierta rapidez media para este caso no presente complicaciones.

El programa fuente keplertierra.f90muestra un cdigo que resuelve para la rbita terrestre tomando:

x0= 1 UA

y0= 0

V0x = 0

V0y = 2 UA/ao

La velocidad transversal inicial en x es cero, porque se piensa que la Tierra empieza a orbitar hacia un sentido ypara eso no debe desplazarse en direccin de la lnea del Sol. La componente y de la velocidad inicial es la que harlas veces para la velocidad inicial de la Tierra, ya que es la necesaria para que comience a orbitar en direccin levgira.

Se grafica para un tiempo total de 1 ao astronmico (ao UA), utilizando como intervalo de tiempo entre posiciny posicin la aproximacin genrica del ao terrestre: 365 das para el ao entero.

Textualmente, el programa es el siguiente:

program keplercirc

implicit none

integer :: i, year

real(kind=8) :: x, y, Vx, Vy, t, day, r, pi, k

!Dia=1ao/365

day = 1./365.

!1ao=365dias

year = 365.

pi= 4.*atan(1.)

k = 4.*pi**2

x=1. ! 1 UA, x0 inicial Tierra

y=0. ! y0=0 inicial Tierra

Vx=0.

Vy=2.*pi ! Rapidez media Tierra, 2pi*r/T=2pi*1UA/1ao=2pi

open(unit=1,file="kepler.dat")

!Posicion inicial

write(1,*) x, y

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!Loop dia por dia hasta que se cumpla el ao de la rotacion terrestre, se grafica para 365 puntos

do i=1,year

! Contador de dias

t=i*day

! Radio de distancia Tierra-Sol para cada puntor=sqrt(x**2+y**2)

! Velocidades en x y y

Vx=Vx-(k*day*x)/r**3

Vy=Vy-(k*day*y)/r**3

!Nuevas posiciones en x y y

x=x+Vx*day

y=y+Vy*day

write(1,*) x, y

end do

end program keplercirc

Para ese tiempo total de 365 das aproximados, se obtiene en GNUPlot la siguiente grfica:

Figura 2: rbita circular para la Tierra alrededor del Sol, tomando el periodo de revolucin total como el ao astronmico UA.

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2. Precesin del Perihelio de Mercurio

Como se puede revisar de datos de archivo, la mayora de los planetas dentro del Sistema Solar tienen rbitas muycercanas a las circulares. Un planeta cuya rbita se desva ms del tener una circunferencia describiendo su trayec-toria es Mercurio. En su caso, era conocido por inicios del siglo XIX que la orientacin de los ejes de la elipse quedescribe su rbita rota con el tiempo. A este fenmeno se le conoce como la precesin del perihelio de Mercurio,donde se entiende por perihelio como el punto sobre la rbita donde el planeta est ms cercano al Sol.

La magnitud de esta precesin es de aproximadamente 566 segundos de arco por siglo. Un segundo de arco equivalea 1/3600de un grado. De manera que su perihelio realiza una rotacin completa cada 230 mil aos.

Figura 3: Precesin del perihelio en la rbita de Mercurio. Para un tiempo de 2 siglos, es prcticamente 2 grados sexagesimales.

La precesin debida a otros objetos calculada para el siglo XIX daba como resultado 523 segundos de arco por siglo.Mientras que ambas estimaciones, experimental y terica resultaban impresionantes, aun quedaba esclarecer el porqu no coincidan. Sera hasta 1917 cuando Albert Einstein mostrara con la relatividad general que para objetos

demasiado cercanos, se presentan unas desviaciones sobre la ley de gravitacin universal que va como el inverso delcuadrado de las distancias.

Einstein mostr que la cercana del Sol con Mercurio lograba que dichas desviaciones fueran significativas y que deellas salan los 43 segundos de arco de precesin de diferencia entre ambas observaciones.

La precesin debida a relatividad general puede ser calculada analticamente. Sin embargo, mediante un modeladoadecuado y no tan rebuscado con mtodos numricos se puede hallar una simulacin de la rbita para Mercurio(utilizando la fuerza que predice relatividad general y midiendo cmo va cambiando la tasa de precesin de esarbita). Sin embargo, los parmetros que describan esa rbita deben ser los adecuados, puesto que la simulacindebe ser cualitativamente mucho mayor que en escalas de segundos de arco.

La fuerza predicha por relatividad general que rige el comportamiento de la rbita de Mercurio viene dada por:

FG =GMMM

r2

1 +

r2

(7)

donde se ve que el trmino

=

1 +

r2

contiene un trmino de perturbacin extra de la ley de gravitacin universal de Newton, que va como 1/r4.

Los efectos debidos a esta desviacin son minscuslos para que puedan ser medidos con facilidad por una simulacinque sea enteramente apegada al valor terico para el parmetro , que es = 1,1 108. La aproximacin que setomar aqu ser para valores mucho ms grandes de este parmetro.

Se pueden tomar los valores tericos de la rbita elptica de Mercurio alrededor del sol, donde la longitud de susemieje mayor es de a = 0,39 UA y un valor de rapidez media en el punto donde se encuentra su afelio comov= 8,2 UA/ao. Y as recrear mediante algunos programas fuente cmo se vera la rbita desviada por la precesincomo los de a continuacin.

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Programa con mtodo de Euler

program precesion_mercurio

!abrimos archivos

open(1,file=tiempo_posicion.dat,status=replace)open(2,file=posicion.dat,status=replace)

!nmero de puntos

n=30000

!definimos constantes

pi=4.*atan(1.)

!paso en aos

h=0.00005

!condiciones iniciales

!posicion en UA

x=0.39

y=0.

t=0.

!velocidad en UA/ao

v_x=0.

v_y=8.2

!valor de la perturbacin

alpha=0.00000001

do i=1,n

!va aumentando el tiempo

t=t+i*h

!calculamos el radio

radio=sqrt((x*x)+(y*y))

!el factor de relatividad

factor=1+(alpha/(radio*radio))

!calculamos los valores de las ecuaciones en y con Runge Kutta

y=y+1*v_y*h

v_y=v_y-(1*(4*pi*pi*y*h)*factor/(radio**3))

!calculamos para las ecuaciones en x con Runge Kutta

x=x+1*v_x*h

v_x=v_x-(1*(4*pi*pi*x*h)*factor/(radio**3))

write(1,*) t, x , y

write(2,*) x, y

end do

end

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Figura 4: rbitas con precesin para los casos que indican los ttulos de las grficas, utilizando el mtodo de Euler.

Programa con mtodo de Runge-Kutta de orden 2


real :: k1,k2,k5,k6,j1,j2,j5,j6,x,y,v_x,v_y,h,alpha,factor

!abrimos archivos

open(1,file=tiempo_posicionRK2.dat,status=replace)

open(2,file=posicionRK2.dat,status=replace)

!nmero de puntos

n=85000

!n=10


pi=4.*atan(1.)

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!paso en aos

h=0.0001


!posicion en AUx=0.39

y=0

t=0

!velocidad en AU/ao

v_x=0

v_y=8.2

!valor de la perturbacin

alpha=0.0008

!alpha=0.01

do i=1,n


t=t+i*h



!el factor de relatividad

factor=1+(alpha/(radio*radio))

!calculamos para la velocidad en x con RK orden 2

k1=h*(-4*pi*pi*x*factor/radio)

k2=h*(-4*pi*pi*(x+(k1))*factor/radio)

v_x=v_x+0.5*(k1+k2)

!write(*,*) x,h,t,k1,k2,k3,k4

!write(*,*) factor,radio,k1, -(4*pi*pi*x*factor/radio)*h

!calculamos para la posicion en x con RK orden 2

k5=h*(v_x)

k6=h*(v_x+(k5))

x=x+0.5*(k5+k6)

!calculamos para la velocidad en y con RK orden 2

j1=h*(-4*pi*pi*y*factor/radio)

j2=h*(-4*pi*pi*(y+(j1))*factor/radio)

v_y=v_y+0.5*(j1+j2)


j5=h*(v_y)

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j6=h*(v_y+(j5))

y=y+0.5*(j5+j6)

!!calculamos los valores de las ecuaciones en y con Runge Kutta orden 4

!y=y+0.5*v_y*h!v_y=v_y-(0.5*(4*pi*pi*y*h)*factor/(radio**3))!

!!calculamos para las ecuaciones en x con Runge Kutta

!x=x+0.5*v_x*h

!v_x=v_x-(0.5*(4*pi*pi*x*h)*factor/(radio**3))!

write(1,*) t, x, y

write(2,*) x, y

end do

end

Figura 5: rbitas con precesin para los casos que indican los ttulos de las grficas, utilizando el mtodo de Runge-Kutta de orden 2.

Programa con mtodo de Runge-Kutta de orden 4


real :: k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8,x,y,v_x,v_y,h,alpha,factor

!abrimos archivos

open(1,file=tiempo_posicionRK4.dat,status=replace)open(2,file=posicionRK4.dat,status=replace)

!nmero de puntos

n=85000

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!n=10


pi=4.*atan(1.)

!paso en aosh=0.0001


!posicion en AU

x=0.47

y=0

t=0

!velocidad en AU/ao

v_x=0

v_y=8.2

!valor de la perturbacinalpha=0.0008

do i=1,n


t=t+i*h



!el factor de relatividadfactor=1+(alpha/(radio*radio))

!calculamos para la velocidad en x con RK orden 4

k1=h*(-4*pi*pi*x*factor/radio)

k2=h*(-4*pi*pi*(x+(k1/2))*factor/radio)

k3=h*(-4*pi*pi*(x+(k2/2))*factor/radio)

k4=h*(-4*pi*pi*(x+k3*factor/radio))

v_x=v_x+((k1+(k2*2)+(k3*2)+k4)/6)

!write(*,*) x,h,t,k1,k2,k3,k4

!write(*,*) factor,radio,k1, -(4*pi*pi*x*factor/radio)*h


k5=h*(v_x)

k6=h*(v_x+(k5/2))

k7=h*(v_x+(k6/2))

k8=h*(v_x+k7)

x=x+((k5+(k6*2)+(k7*2)+k8)/6)

!calculamos para la velocidad en y con RK orden 4

j1=h*(-4*pi*pi*y*factor/radio)

j2=h*(-4*pi*pi*(y+(j1/2))*factor/radio)

j3=h*(-4*pi*pi*(y+(j2/2))*factor/radio)

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j4=h*(-4*pi*pi*(y+j3)*factor/radio)

v_y=v_y+((j1+(j2*2)+(j3*2)+j4)/6)


j5=h*(v_y)

j6=h*(v_y+(j5/2))

j7=h*(v_y+(j6/2))

j8=h*(v_y+j7)

y=y+((j5+(j6*2)+(j7*2)+j8)/6)

!!calculamos los valores de las ecuaciones en y con Runge Kutta orden 4

!y=y+0.5*v_y*h

!v_y=v_y-(0.5*(4*pi*pi*y*h)*factor/(radio**3))!

!!calculamos para las ecuaciones en x con Runge Kutta

!x=x+0.5*v_x*h!v_x=v_x-(0.5*(4*pi*pi*x*h)*factor/(radio**3))!

write(1,*) t, x , y

write(2,*) x, y

end do

end

Figura 6: rbitas con precesin para los casos que indican los ttulos de las grficas, utilizando el mtodo de Runge-Kutta de orden 4.

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