UNIVERSIDAD TECNOLOGICA PRIVADA DE SANTA CRUZ

LLENADO DE UN

TANQUE Simulación y Modelos

Jorge Luis Aguirre Leigue

Saúl Calle Espinosa

Fernando Rene Gareca Vallejos

Eileen Katherine Marinez Leaños

Ing. Gabriel Alejandro Cabezas

Introducción.-

Las matemáticas son conocidas comúnmente por operaciones, cálculos algebraicos,

graficas geométricas, etc., pero más que eso son aplicadas en la vida real en problemas

cotidianos en nuestra sociedad.

Calculo I, calculo II, calculo III y ecuaciones diferenciales son materias en el plan de

estudios de cualquier ingeniería, donde se resuelven ejercicios sin ningún significado. Pero

una vez estudiando esta materia nos damos cuenta de la importancia que tienen las

matemáticas.

Problemas de caída libre, vaciado de cualquier recipiente, hidráulica, tensión de cables,

circuitos eléctricos, etc., son problemas del cual podemos ver las aplicaciones de las

matemáticas del cual se utilizan todos los métodos aprendidos en materias anteriores,

especialmente con ecuaciones diferenciales.

Objetivos.-

Demostrar de forma analítica aplicando ecuaciones diferenciales el llenado de un

recipiente cilíndrico.

Aplicar todos los métodos matemáticos aprendidos en clase en la demostración de

dicho proyecto.

Comprender las aplicaciones de las matemáticas aplicadas en problemas reales, que

surgen en nuestra vida cotidiana.

Marco Teórico.-

Los tanques de agua son un elemento fundamental en una red de abastecimiento de agua

potable, para compensar las variaciones horarias de la demanda de agua potable.

El llenado de estos tanques es un tema muchos matemáticos y físicos han demostrado que se

puede calcular por fórmulas matemáticas, como lo haremos en este proyecto.

Problema.-

Calcular el tiempo que tarde en llenarse un tanque de agua de forma cilíndrica.

𝑑ℎ

𝑑𝑡𝛼𝐴

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝑘2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 2𝑘𝜋𝑟ℎ + 2𝑘𝜋𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡− 2𝑘𝜋𝑟ℎ = 2𝑘𝜋𝑟2

h = [∫ 2𝑘𝜋𝑟2 𝑒− ∫ 2𝑘𝜋𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡+c]𝑒∫ 2𝑘𝜋𝑟 𝑑𝑡

h = ∫ 2𝑘𝜋𝑟2 𝑒−2𝑘𝜋𝑟𝑡

−2𝑘𝜋𝑟𝑑𝑡 +c]𝑒2𝑘𝜋𝑟𝑡

h = [-r𝑒−2𝑘𝜋𝑟𝑡 + 𝑐]𝑒2𝑘𝜋𝑟𝑡l

h = [-r𝑒−2𝑘𝜋𝑟𝑡𝑒2𝑘𝜋𝑟𝑡+c𝑒2𝑘𝜋𝑟𝑡]

h = [-r +c𝑒2𝑘𝜋𝑟𝑡]

𝑡 = 0 ℎ = 0

0 = −𝑟 + 𝑐

𝑐 = 11.85

𝑡 = 0 ℎ = 5.8

5.8 = −11.85 + 11.85 𝑒2𝑘∗11.85∗3.93

5.8 + 11.85

11.85= 𝑒2𝑘∗11.85∗3.93

ln 1.48 = ln 𝑒292.61𝑘

0.39 = 292.6𝑘

K = 1.3𝑥10−3

Reemplazando en la fórmula: h(t)

ℎ(𝑡) = −11.85 + 11.85 𝑒2∗1.33𝑥10−3∗𝜋∗11.85∗𝑡

ℎ(𝑡) = −11.85 + 11.85 𝑒0.01𝑡

Aplicación de la transformada de La Place en el llenado del tanque:

ℎ(𝑡)= −𝑟+𝑐𝑒2𝑘𝜋𝑟𝑡

ʆ

ℎ(𝑠)=−

𝑟𝑠

+𝑐1

𝑠−2𝜋𝑟𝑘

Grafica utilizando MATLAB.-

Conclusiones.-

Podemos concluir los siguientes puntos:

La importancia que tienen las matemáticas en los problemas de la vida real, gracias

a ella se pueda calcular de manera exacta sus resultados.

Aprender a plantear un problema utilizando leyes y formulas aprendidas en materias

anteriores.

Anexos.-

Ejemplos de llenado de tanques