Instituto Tecnolgico Superior Beatriz Cueva de Ayora

Tema: La Elipse

DOCENTE: ING. GABRIELA ARCINIEGA

INTEGRANTES: LUIS MOROCHO

FECHA: LOJA 01 DE JULIO DEL 2015ECUADOR- LOJA

DEDICATORIAComment by Gabriela Arciniega: No es necesario, simplemente bsense en el formato que les d.

El presente trabajo est dedicado a los padres de cada uno de los integrantes del presente informe, por el apoyo decidido para poder llevarlo a cabo y al profesor que con su apoyo se hizo posible la siguiente investigacin y as poder concluir exitosamente.

1.-INTRODUCCION

Se llama elipse al lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La lnea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vrtices de la elipse a los puntos donde sta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.-ConstruccinComment by Gabriela Arciniega: Espacio antes de los subttulos.Se debe tomar una hoja de acetato, en ella se dibuja una circunferencia y un punto dentro de ella.Para construir una elipse se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja.Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto de la circunferencia cada vez, tendremos que las marcas de los dobleces han formado una elipse. El punto dibujado es un foco y el centro de la circunferencia es el otro foco.Otra forma de encontrar una elipse es la siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la direccin del corte debe ser de lado a lado de las paredes del cono sin llegar a la base. Mientras mas paralelo a la base sea el corte menos excentricidad tendr la elipse. El permetro de este corte ser una elipse

-Aplicaciones

La elipse tiene propiedades de reflexin similares a la de la parbola, en este caso cuando colocamos un emisor deondasen un foco, estas se reflejarn en las paredes de la elipse y convergern en el otro foco. Con respecto a la elipse la aplicacin primera que tenemos que mencionar es que las rbitas de losplanetasson elpticas conel Solen uno de los focos.En lamedicinase usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar "clculos" renales por medio de ondas intra-acuticas de choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide lleno deaguapegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos "clculos" y as al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergern en el "clculo" y este se desintegrar. Adems existen capillas o galeras de los secretos. Sonestructurascon techos elipsoidales aqu se puede or a unapersonaque est en un foco desde el otro foco y las personas que estn entre las otras dos no oir nada.Ms de mil aos despus de que los griegos definieran las secciones cnicas, en la poca delRenacimiento, el astrnomo polaco Nicholas Coprnico (1473 - 1543), en su obra: Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostena que todos los planetas, incluso laTierra, giraban en rbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las afirmaciones de Coprnico no eran vlidas la controversia provocada por suteoraheliocntrica empuj a los astrnomos a buscar unmodelomatemtico que explicar los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571 - 1630).Kepler descubri que los planetas giran alrededor del Sol en rbitas elpticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar elmovimientode los planetas es tan slo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parbola vamos a definir la elipse como un lugar geomtrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.

1.1 ANTECEDENTESEl matemtico griego Menecmo (vivi sobre el 350 A.C.) descubri estas curvas y fue el matemtico griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cnicas y encontrar la propiedad plana que las defina.Apolonio descubri que las cnicas se podan clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hiprbolas y parbolas.Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cnica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.Las hiprbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cnica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).Las parbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cnica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).Apolonio demostr que las curvas cnicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizs las propiedades ms interesantes y tiles que descubri Apolonio de las cnicas son las llamadas propiedades de reflexin. Si se construyen espejos con la forma de una curva cnica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elpticos, parablicos o hiperblicos, segn la curva que gira.Apolonio demostr que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parablico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parablico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arqumedes (287-212 A.C.) logr incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parablicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisin y espejos solares. La propiedad anloga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automviles concentren el haz en la direccin de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperblicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.En el siglo XVI el filsofo y matemtico Ren Descartes (1596-1650) desarroll un mtodo para relacionar las curvas con ecuaciones. Este mtodo es la llamada Geometra Analtica. En la Geometra Analtica las curvas cnicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado ms sorprendente de la Geometra Analtica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cnicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cnicas son las curvas ms importantes que la geometra ofrece a la fsica. Por ejemplo, las propiedades de reflexin son de gran utilidad en la ptica. Pero sin duda lo que las hace ms importantes en la fsica es el hecho de que las rbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, ms an, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cnica. El astrnomo alemn Johannes Kepler (1570-1630) descubri que las rbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los dems planetas varan desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutn.. Ms tarde el clebre matemtico y fsico ingls Isaac Newton (1642-1727) demostr que la rbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cnica.

JUSTIFICACION.-La geometra como las matemticas han jugado un papel importante en la consolidacin de muchos saberes, sin embargo dentro del pensum acadmico parece tener una prdida progresiva de su posicin formativa central en la enseanza de las matemticas. Este decaimiento ha sido tanto cualitativo como cuantitativo. Sntomas de esta reduccin se encuentran por ejemplo, en las recientes encuestas nacionales e internacionales sobre el conocimiento matemtico de los estudiantes.Con frecuencia la geometra es totalmente ignorada en ellas, o solamente se incluyen muy pocos tems de geometra. En ltimo caso, las preguntas tienden a ser confinadas a algunos "hechos" elementales sobre figuras simples y sus propiedades, y se reporta un desempeo relativamente pobre. La brecha entre la concepcin de la geometra como un rea de investigacin y como una materia a ser enseada en las escuelas parece estar incrementndose; pero no parece encontrarse consenso en cmo superar esta brecha, ni an si pudiera (o debiera) ser superada a travs de la introduccin de ms tpicos avanzados en los grados inferiores del currculo escolar.En el caso de la geometra analtica, la enseanza se limita tanto en el tiempo dedicado a su enseanza como en la metodologa empleada reducida a la mecanizacin de procesos algebraicos.Es importante recordar que los estudiantes en la educacin bsica y media deben alcanzar competencias matemticas para llegar a resultados que le permitan comunicarse y hacer interpretaciones que les relacionando la matemtica con situaciones cotidianas. Es as , que los docentes deben estar en constante cambio y actualizacin ,dejando atrs las prcticas tradicionales y enfocndose hacia nuevos estilos y mtodos; al respecto el CNTM(Consejo nacional de profesores de matemticas) escribe que los maestros deberan tener en cuenta las mejores prcticas para la enseanza como por ejemplo ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y adquieran confianza en la investigacin ,la solucin de problemas y en el aprendizaje entre otras.Atendiendo a estas necesidades se hace ineludible la bsqueda de nuevas herramientas pedaggicas que lleguen al estudiante, lo motiven y que al mismo tiempo logre el desarrollo de pensamiento matemtico. Es aqu donde la didctica y las tics desempean un rol muy importante en la aprehensin y modificacin del conocimiento. Las computadoras pueden ser usadas para obtener un entendimiento ms profundo de las estructuras geomtricas gracias al software especficamente diseado para fines didcticos. Los ejemplos incluyen la posibilidad de simular las construcciones tradicionales con regla y comps, o la posibilidad de mover los elementos bsicos de una configuracin sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones geomtricas existentes, lo cual puede conducir a una presentacin dinmica de objetos geomtricos y favorecer la identificacin de sus invariantesALCANCE DEL PROYECTO.-

1. OBJETIVOS

Objetivo General:

Proporcionar herramientas que permitan al estudiante caracterizar y construir la elipse, dando solucin a las .diferentes situaciones problemas que se le propongan.

Objetivos Especficos:

Utilizar la ldica como estrategia practica en la construccin de la elipse y a partir de all identificar los elementos que la componen.

Generar pensamiento matemtico relativo a la construccin, representacin de la elipse en el plano cartesiano a travs de diferentes registros de representacin, mediante el diseo, anlisis y puesta en escena de una secuencia didctica en diferentes contextos.

Potencializar el pensamiento de variaciones y su relacin con otros pensamientos por medio del estudio de la elipse

Incentivar en el estudiante la formulacin y resolucin de situaciones problemas que involucren el concepto de la elipse, a travs de diferentes representaciones.

Propiciar aprendizajes ms significativos en nuestros estudiantes a travs del fortalecimiento de los diferentes procesos de pensamiento (Razonamiento, Planteamiento y resolucin de problemas, Modelacin y Comunicacin) y el trabajo por competencias.

Utilizar las tics como herramienta motivacional y practica en la construccin de la elipse y su anlisis geomtrico y algebraico

ndice

DEDICATORIA2INTRODUCCION3JUSTIFICACIONALCANSE DE PROYECTOOBJETIVOS4ndice5I.Introduccin7II.Historia de las Secciones Cnicas82.1.Se sientan las bases de la Geometra Analtica102.2.Las cnicas como lugares geomtricos112.3.Expresin analtica de las cnicas112.4.Ejemplos de Aplicacin en la vida real.11III.Tema123.1.Elipse123.1.1.Ejemplos de aplicacin en la vida real123.1.2.Definiciones y Propiedades.123.1.3.Elementos de la elipse153.1.4.Excentricidad de la elipse163.1.5.Ecuacin de la elipse183.1.5.1.Ecuacin reducida de la Elipse183.1.5.2.Ecuacin de la elipse con los focos en el eje Y193.1.5.3.Ecuacin de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas.203.1.6.Ejercicios resueltos223.1.7.Ejercicios Propuestos (sin solucin)233.1.8.Construcciones de una elipse243.1.8.1.TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES243.1.8.2.TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS253.1.8.3.TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES CONJUGADOS.253.1.8.4.TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES263.1.8.5.TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A FINES27VIConclusin28VBibliografa29

I. Historia de las Secciones Cnicas

Menecmo (350 A.C.) descubri estas curvas y fue el matemtico griego Apolonio (262-190 A.C.) el primero enestudiardetalladamente las curvas cnicas y encontrar lapropiedadplana que las defina. Apolonio descubri que las cnicas se podan clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hiprbolas y parbolas. Apolonio demostr que las curvas cnicas tienen muchas propiedades interesantes. Quizs las propiedades ms interesantes y tiles que descubri Apolonio de las cnicas son las llamadas propiedades de reflexin. Arqumedes(287-212 A.C.) logr incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parablicos. En laactualidadesta propiedad se utiliza para los radares, lasantenasdetelevisiny espejos solares. La propiedad anloga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automviles concentren el haz en ladireccinde la carretera o paraestufas. En el caso de los espejos hiperblicos, laluzproveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. RenDescartes(1596-1650) desarroll unmtodopara relacionar las curvas conecuaciones. Este mtodo es la llamadaGeometra Analtica. En laGeometraAnaltica las curvas cnicas se pueden representar por ecuaciones de segundogradoen lasvariablesx e y. El resultado ms sorprendente de la Geometra Analtica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cnicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cnicas son las curvas ms importantes que la geometra ofrece a lafsica. Por ejemplo, las propiedades de reflexin son de granutilidaden laptica. Pero sin duda lo que las hace ms importantes en la fsica es el hecho de que las rbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, ms an, la trayectoria de cualquiercuerposometido a unafuerzagravitatoria es una curva cnica. Johannes Kepler (1570-1630) descubri que las rbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso dela tierrala excentricidad es 0.017 y los dems planetas varan desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutn. Ms tarde el clebre matemtico y fsicoinglsIsaac Newton(1642-1727) demostr que la rbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cnica.

El descubrimiento de las secciones cnicas estuvo ntimamente ligado a uno de los tresproblemasclsicos de lageometragriega, la duplicacin del cubo o problema de Delos."...la peste se llev una cuarta parte de lapoblacinateniense y la profunda impresin que produjo esta catstrofe fue probablemente el origen del segundo problema...""...Se envi una delegacin al orculo de Apolo en Delos, para preguntar cmo podra conjurarse la peste, a lo que el orculo contesto que era necesario duplicar el altar cbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvi para detener la peste, obviamente haban aumentado ocho veces suvolumenen lugar de dos...Fue Hipocrtes de Chios quien demostr que se podra conseguir la duplicacin del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo hall dichas curvas como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Prgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulacin definitiva.Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra en "Las Cnicas", que son ocholibrosdedicados al estudio de las cnicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus ms completo que recoga los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigedad. Con posterioridad el rastro de los ocho libros deLas Cnicasde Apolonio se perdi, de tal modo que su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas. Slo los cuatro libros primeros se conservan en griego. El octavo desapareci en su totalidad, pero, gracias a latraduccinal rabe de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos ellos traducidos al latn en los siglos XVI y XVII por Johanms B Aptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661.Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algunos conocidos pormatemticosanteriores a Apolonio, pero la mayora de ellos inditos.En cuanto a la elaboracin deLas Cnicassabemos que, residiendo en Alejandra, Apolonio fue visitado por un gemetra llamado Naucrates, y, a peticin de este ltimo, escribi un apresurado borrador deLas Cnicasen ocho libros. Ms tarde, ya en Prgamo, perfeccion y puli el contenido de su primera obra.El propio Apolonio nos describe en laintroduccinde su primerlibroel contenido del resto. Resumiremos los ocho libros a continuacin: El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas. El libro II trata de los dimetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. El libro III: (el preferido de Apolonio). El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos. El libro V: estudia segmentos mximos y mnimos trazados respecto a una cnica. El libro VI: trata sobre cnicas semejante. El libro VII: trata sobre los dimetros conjugados. El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apndice.Apolonio les da su nombre definitivoEllipsis(deficiencia), se utilizaba cuando un rectngulo dado deba de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la palabraHyperbola(avanzar ms all) se adopt para el caso en que el rea exceda del segmento dado, y por ltimo la palabraParbola(colocar al lado o comparar) indicaba que no haba deficiencia ni exceso.Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ngulo de inclinacin del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo unapropiedadplana fundamental, una condicin necesaria y suficiente para que un punto est situado en la curva, y en ese momento abandon el cono y procedi a estudiar las cnicas pormtodosplanimtricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de lamatemticaantigua".

1.1. Se sientan las bases de la Geometra Analtica Uno de ellos fue el matemtico y astrnomo persa Omar Jayam (1048 1131). Este llev a cabo una serie de trabajos que se convertiran en fundamentales en dicha rea cientfica y que ejerceran como pilares para el desarrollo de teoras posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo,Disertacin sobre una posible demostracin del postulado paralelooTesis sobre demostraciones de lgebra. De estos textos realizados por dicho autor persa parece ser que podra haber bebido el cientfico francs Ren Descartes (1596 1650) que es otra de las figuras clave en el origen de la geometra analtica y es que muchos autores dictaminan que l es el padre de la misma. As, entre sus principales aportaciones se encontraran los llamados ejes cartesianos y entre sus trabajos ms influyentes est, por ejemplo,La Geometra. Junto a estas dos importantes figuras no hay que pasar por alto tampoco la del matemtico francs Pierre de Fermat (1601-1665), tambin conocido como Eric Temple Bell. Este est considerado como el descubridor del principio fundamental de la geometra analtica y ha pasado a la historia no slo por este sino tambin por su teora de los nmeros. Contribuyentes en la teora de la geometra analtica.1.2. Las cnicas como lugares geomtricosSi F es un punto fijo del plano yD una recta, el lugar geomtrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D estn en proporcin constante esuna cnica no degenerada (elipse, hiprbola, parbola).

Al punto F se le denominaFOCOde la cnica y a la recta DDIRECTRIZasociada al foco F.

1.3. Expresin analtica de las cnicasEn coordenadas cartesianas, las cnicas se expresan en forma algebraica medianteecuacionescuadrticas de dosvariables(x, y) de la forma:

En la que, enfuncindelos valoresde los parmetros, se tendr:

h2 > ab: hiprbola. h2 = ab: parbola. h2 < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de la elipse).1.4. Ejemplos de Aplicacin en la vida real.

Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una parbola. En diseos artsticos es comn encuadrar retratos y fotografas en un marco con forma elptica. Las orbitas alrededor del sol son elpticas.

Ll Tema

1.5. Elipse1.5.1. Ejemplos de aplicacin en la vida real Lentes Edificios Construcciones de estadios Mesas, etc.

1.5.2. Definiciones y Propiedades.La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos tiene la propiedad que la suma de distancia de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor de la elipse. Los ejes se cortan perpendicularmente en el centro de la elipse, esta es simtrica respecto a los dos ejes. El "eje mayor" se denomina eje real y el menor "eje imaginario". La distancia focal, o la determinacin de los focos, se realiza de la siguiente manera: Se traza un arco de radio igual al semieje mayor y de centro un extremo del eje menor; los puntos de corte del arco anterior con el eje de simetra mayor son los focos de la elipse (F1 y F2). En la Ilustracin n 1 observamos como trazando dos rectas desde un punto (P) cualquiera de la Elipse, hasta los focos (F1 F2) se obtienen dos segmentos que al sumarlos nos darn una magnitud igual al eje de simetra mayor AB.

PARMETROS DE LA ELIPSE: (Ilustracin n 1)Comment by Gabriela Arciniega: Esto no va en los subttulos, va dentro de los prrafos donde especifique de lo que se trata el grfico.Igual para todas las partes que estn as.a=La distancia que hay desde el Centro de la elipse aun extremo del eje desimetra mayor(a).Eje disimetra Mayor (AB) se denomina2a.Comment by Gabriela Arciniega: No va centrado, se debe justificar.b=La distancia que hay desde el centro de la elipse aun extremo del eje desimetra menor (b).Eje de simetra Menor (CD) se denomina 2b.c=La distancia que hay desde el centro de la elipse a uno de los focos (F1, por ejemplo) Distancia Focal se denomina 2c.

DIMETROS CONJUGADOS: (Ilustracin n 2)Comment by Gabriela Arciniega: ArreglarSon las cuerdas que pasan por .El Centro de la elipse de Tal modo que cualquier cuerda paralela a uno de dichos dimetros queda dividida en dos partes iguales.Comment by Gabriela Arciniega: JustificarPara construir una elipse a partir de sus dimetros conjugados se sigue el siguiente mtodo:

1.- Se traza una circunferencia de dimetro igual al conjugado mayor (AB) y se levanta perpendiculares a l de manera arbitraria.

2.- Por los puntos de interseccin entre las cuerdas anteriores con el dimetro conjugado AB se trazan paralelas al otro conjugado (CD).

3.- Unir mediante rectas los extremos del dimetro de la circunferencia con los extremos del conjugado menor (CD) y trazar por los extremos de las cuerdas obtenidas anteriormente paralelas a los segmentos anteriores (extremos del dimetro de la circunferencia y CD) hasta que corten a cada paralela a CD en dos puntos ,stos determinan la elipse.

ELIPSE FUNDAMENTOS

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL:(Ilustracin n 3)Comment by Gabriela Arciniega: Arreglar.

Es el lugar geomtrico de los pies de las perpendicularidades trazadas desde un foco a las tangentes de las cnicas correspondiente.

El centro de esta circunferencia es el de la elipse, siendo su radio el semieje mayor (a).

La interseccin de una recta tangente a la cnica con la circunferencia principal determina dos puntos (P y R) que son los pies de las perpendiculares trazadas a dicha recta tangente, estas cortaran al eje de simetra mayor determinando los focos.

CIRCUNFERENCIAS FOCALES:(Ilustracin n 4)Comment by Gabriela Arciniega: Arreglar

Las circunferencias focales se definen como: el lugar geomtrico de los puntos simtricos del otro foco respecto de las tangentes a la cnica.

Los centros de estas circunferencias son los focos de la cnica y su radio es igual al del eje de simetra mayor (2)

La elipse tiene dos circunferencias focales.

OTRA DEFINICION DE ELIPSE:(Ilustracin n 5)Comment by Gabriela Arciniega: Arreglar

Es el lugar geomtrico de todos los centros de las circunferencias que son tangentes a una circunferencia focal y que pasan por el otro foco.

Los puntos de tangencia de la circunferencia con la focal estarn alineados con su foco correspondiente.

En la ilustracin n4 F1 est en lnea con P y F2 con R y F11.5.3. Elementos de la elipseFOCOS: son los puntos fijos F1 y F2. Punto asociado con una elipse.

Comment by Gabriela Arciniega: Seguir enumerando las ilustraciones como se lo estaba haciendo. Hacer lo mismo para el resto.EJE FOCAL: Es la recta que pasa por los focos.VRTICES: Son los puntos V1 y V2 en donde el eje focal corta a la elipseCENTRO: Es el punto M entre los focos.EJE NORMAL: Es la recta L que pasa por M y es perpendicular al eje focal Son EJE MAYOR: Es el segmento V1V2= 2a de la elipse, a es el valor del semieje mayor.EJE MENOR: Es el segmento B1B2=2b de la elipse, b es el valor del semieje menor.CUERDA FOCAL: Es el segmento EP.LADO RECTO: Son los segmentos LR y L r que pasan por los focos.DIMETRO: Es el segmento TH que pasa por el centro de la elipse.DIRECTRICES: Son los segmentos D1D2 y D1D2 y son perpendiculares al eje focal.RADIO FOCAL: Son los segmentos F1N, F2N.EJES DE SIMETRA: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.CENTRO DE SIMETRA: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de interseccin de los ejes de simetra.Comment by Gabriela Arciniega: Arreglar

1.5.4. Excentricidad de la elipseLaexcentricidadde unaelipse(e) es un valor que determina laforma de la elipse, en el sentido de si es ms redondeada o si se aproxima a un segmento. Seacla semidistancia focal yal semieje mayor:Comment by Gabriela Arciniega: Espacio despus de los subttulos.

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0e1). Es 0 cuando laelipsees unacircunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1y F1) coinciden en el centro de laelipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.Comment by Gabriela Arciniega: ArreglarExiste otra frmula que calcula laexcentricidada partir de los dos semiejes (ayb).

Esta frmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

Laexcentricidad angulares el ngulo para el cual el valor de la funcin trigonomtricasenoconcuerda con la excentricidad, esto es:

1.5.5. Ecuacin de la elipse1.5.5.1. Ecuacin reducida de la ElipseTomamos como centro de la elipse el centro de las coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de las coordenadas. Las coordenadas de los focos son:Comment by Gabriela Arciniega: Arreglar.F'(-c, 0) y F(c,0)Cualquier punto de la elipse cumple.Comment by Gabriela Arciniega: Centrar

Esta expresin da lugar a:

Realizando las operaciones:Comment by Gabriela Arciniega: Centrar1.5.5.2. Ecuacin de la elipse con los focos en el eje Y

Si el eje principal se encuentra en las ordenadas se obtendr la siguiente ecuacin:Comment by Gabriela Arciniega: CentrarLas coordenadas de los focos son:F'(0, -c) y F(o, c)Comment by Gabriela Arciniega: Arreglar. enumerar

1.5.5.3. Ecuacin de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas.

El eje principal que contiene las coordenadas de los focos y vrtices del eje mayor es paralelo al eje de ordenadas.Comment by Gabriela Arciniega: Seguir enumerandoLa suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos se mantiene constante e igual a

Las coordenadas de los focos son: F1 (0, c) y F2 (0,-c).Hacemos uso del clculo de la distancia entre dos puntos:

Pasamos la primera raz a la izquierda del (=):

Elevamos ambos miembros al cuadrado y hacemos operaciones tal como tienes a continuacin, paso a paso:

Sabemos que sacamos factores y constituyendo portenemos:

Dividiendo todos los trminos por significando y ordenando llegamos a:, o bien,

1.5.6. Ejercicios resueltosComment by Gabriela Arciniega: Debe ir en la otra pgina

Comment by Gabriela Arciniega: En la siguiente hoja1.5.7. Ejercicios Propuestos (sin solucin)Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar grficamente cada una de las siguientes elipses:

Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar grficamente cada una de la siguiente elipse:

Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar grficamente cada una de la siguiente elipse:

Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:a)Sus focos son F'(-3, 0) y F(3, 0)y dos de sus vrtices son(-4, 0) y (4, 0)b)Pasa por los puntos(3, 0) y (2, 1/5)Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:a)F'(-4, 0) y F(4, 0)y longitud del eje menor 6b)F'(0, -2) y F(0, 2)y cuya excentricidad es igual a 0,4c)El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)d)El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6Halla la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias aR (-4, 0) y S (4, 0)es igual a 10.Escribe la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a los focosR(0, -3) y S(0, 3)es igual a 10.Escribe la ecuacin de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el puntoP(10,-4)y que su eje mayor es igual al doble del menor.Hallar la ecuacin de la tangente y de la normal de la elipse 2x2+y2=3 en el punto A (-1,1).Dada la siguiente elipse4x2+ 5y2= 20hallar las rectas tangente y normal en el punto de ordenada y= - 1 y abscisa positiva.Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P (5, 0):

1.5.8. Construcciones de una elipse1.5.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuenta la definicin de la elipse, como el lugar geomtrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor,1,2,3,etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1-B1,A2-B2,A3-B3, y as sucesivamente, determinando los puntos1',2',3', etc. de la elipse.Con cada pareja de radios vectores, se determinarn cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.Cuanto mayor sea el nmero de puntos, mayor ser la precisin del trazado de la elipse, que deber realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

1.5.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOSTrazaremos el rectnguloAOCE, y dividiremos los ladosAOyAEen un mismo nmero de partes iguales.Seguidamente iremos trazando las rectasC1-D1,C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetir para los cuatro cuadrantes de la elipse.Comment by Gabriela Arciniega: Seguir enumerando.1.5.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES CONJUGADOS.Trazaremos el romboideA'O'C'E', y dividiremos los ladosA'O'yA'E'en un mismo nmero de partes iguales.Seguidamente iremos trazando las rectasC'1-D'1,C'2-D'2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetir para los cuatro cuadrantes de la elipse.Comment by Gabriela Arciniega: Seguir enumerando.1.5.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES

Esta construccin se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geomtrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como elP, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el focoF, y trazaremos porPla perpendicular al segmentoPF, obteniendo la rectat, tangente a la elipse. Repitiendo esta operacin, obtendremos una serie de tangentes que irn envolviendo a la elipse.Comment by Gabriela Arciniega: No dejar tantos espacios. Regirse a un formato estndar con espacios definidos.Comment by Gabriela Arciniega: Seguir enumerando

1.5.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A FINES

Partiendo de los ejes conjugadosA'B'yC'D', comenzaremos trazando la circunferencia de centroOy dimetroA'B'.Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares aA'B', como la1-2. Uniendo2conC', y1conD', obtendremos los tringulosO2C'yO1D'. Solo restar construir en el resto de cuerdas tringulos semejantes a estos como elMPN, de lados paralelos al tringuloO2C', obteniendo as puntos de la elipse.Comment by Gabriela Arciniega: Seguir enumerando.

VIConclusin

Gracias a la investigacin obtenida hemos concluido que: Para poder hallar una ecuacin elptica solo hay que aplicar las formulas y el desarrollo ser ms sencillo. Para la realizacin de un trabajo o desarrollo de problemas se tiene que poner mucha atencin y mucho empeo. El estudio de la elipse se torna un poco complicado al no tener la base necesaria para el desarrollo del tema. La elipse es una figura a la cual hay formas de construirlo y si no tomas esos pasos no te podr salir exacta.

VBibliografa

www.monografias.com/trabajos82/trabajo-conicas/trabajo-conicas2.shtml#ixzz3egjk2gV3 www.monografias.com/trabajos82/trabajo-conicas/trabajo-conicas2.shtml#ixzz3egkpcDwA

www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php Clculo y geometra analtica /. (Larson, Roland E) autores analticos Hostetler, Robert P., coaut. Edwars, Bruce H., coaut. Abellanas Rapn, Lorenzo, tr. Mxico: McGraw-Hill. 1999. 2 v.: 25 cm. Edicin; 6a ed. Ttulo original: Calculus With Analytic Geometry. V. 1.-- Cap. P Preparacin para clculo.-- Cap. 1 Lmites y sus propiedades.-- Cap. 2 La derivada.-- Cap. 3 Aplicaciones de la derivada.-- Cap. 4 Integracin.-- Cap. 5 Funciones logartmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes.-- Cap. 6 Aplicaciones de la integral.-- Cap. 7 Mtodos de intergracin, regla de L'Hopital e integrales impropias.-- Cap. 8 Series.--V. 2.-- Cap. 9 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares.-- Cap. 10 Vectores y geometra del espacio.-- Cap. 11 Funciones vectorales.-- Cap. 12 Funciones de varias variables.-- Cap. 13 Integracin mltiple.-- Cap. 14 Anlisis vectorial.-- Cap. 15 Ecuaciones diferenciales.Comment by Gabriela Arciniega: Esto no va en una bibliografa. Calculo y geometra analitica.2. ed. (Simmons, G.F.; Martinez Fernandez, J.J. (Trad.) Llovet, J. (Rev.Tec.). Mexico (Mexico). McGraw-Hill/Interamericana. 2002. 919 p. MATEMATICAS.CLCULO; GEOMETRIA ANALITICA; FUNCIONES; ANALISIS FUNCIONAL; FUNCIONES DIFERENCIALES; FUNCIONES EXPONENCIALES. http://www.vitutor.com/geo/coni/elipse.html http://www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html http://www.roberprof.com/2009/09/08/elipse-elementos/ Www.sites.google.com/site/geometriaanaliticageraferjenny/unidad-3/la-elipse