Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica

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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica

Análisis numérico de la estabilidad de paneles compuestos reforzados con fibras

Autor: Alberto Martín Casas Tutor: Luis Rodríguez de Tembleque Solano

Dep. Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Sevilla, 2014

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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica

Análisis numérico de la estabilidad de paneles compuestos reforzados con fibras

Autor:

Alberto Martín Casas

Tutor:

Luis Rodríguez de Tembleque Solano

Profesor Contratado Doctor

Dep. Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla Sevilla, 2014

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Agradecimientos

Con este proyecto finaliza una de las etapas más exigentes de mi vida y con estas líneas me gustaría agradecer a las personas que me han acompañado durante este viaje.

En primer lugar me gustaría agradecer a mi familia, en especial a mis padres y a mi hermana, por todos estos años de paciencia y dedicación continua. Por apoyarme en los momentos más duros e inculcarme el afán de superación.

También me gustaría dar las gracias de forma especial a mi tío Manuel Fernández, por su ayuda cuando más lo necesitaba antes del inicio de esta etapa, y sin el que el llegar hasta aquí habría sido imposible.

A mi novia por dejarme encontrarla y por todos estos años a mi lado.

A mis amigos por aguantar los largos períodos de tiempo perdido y entenderlo.

A mis compañeros de clase y “de armas”: Jesús, Carlos, Nacho, Carmen.... Gracias por todos estos años de amistad y hacer más llevaderas las largas tardes (y mañanas y noches…) de estudio.

A la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Sevilla, por brindarme la oportunidad de cambiar a mejor como profesional y como persona.

Por último me gustaría agradecer a mi tutor, Luis Rodríguez de Tembleque, por su ayuda continua y guía en los peores momentos de este proyecto y, en especial, por su trato afable y cercano. Muchas gracias.

Alberto Martín Casas

Septiembre de 2013

Índice

Agradecimientos .................................................................................................................................................... v

Índice ...................................................................................................................................................................... vi

Índice de Tablas .................................................................................................................................................... ix

Índice de Figuras .................................................................................................................................................. xi

Notación ................................................................................................................................................................ xv

1 Introducción ................................................................................................................................................... 1 1.1 Motivación y objetivos ............................................................................................................................. 1 1.2 Contenido del presente documento ......................................................................................................... 2

2 Micromecánica de Materiales Compuestos .................................................................................................. 5 2.1 Introducción. Material transversalmente isótropo ................................................................................. 5

2.1.1 Material transversalmente isótropo ................................................................................................. 5 2.1.2 Ley de comportamiento en ejes principales .................................................................................... 6 2.1.3 Ley de comportamiento en ejes cualesquiera .................................................................................. 8

2.1.3.1 Transformación de tensiones ................................................................................................. 10 2.1.3.2 Transformación de deformaciones ........................................................................................ 10 2.1.3.3 Relación entre las matrices de rigidez ................................................................................... 11

2.1.4 Material objeto de estudio: IM7/8551-7 Epoxy ............................................................................ 11 2.2 Modelos micromecánicos de fibras unidireccionales ........................................................................... 12

2.2.1 Modelo de fibra continua: Modelo de Hopkins y Chamis ............................................................ 13 2.2.1.1 Ley de mezclas ....................................................................................................................... 13 2.2.1.2 Ley de mezclas modificada: Modelo de Hopkins y Chamis ................................................ 14 2.2.1.3 Resultados para el material IM7/8551-7 Epoxy .................................................................... 16

2.2.2 Modelo de fibra corta: Modelo de Halpin-Tsai ............................................................................. 17 2.2.2.1 Resultados para el material IM7/8551-7 Epoxy .................................................................... 19

3 Análisis lineal de pandeo de paneles compuestos mediante elementos finitos. Estudio de la influencia de la micromecánica ............................................................................................................................................. 21

3.1 Introducción ........................................................................................................................................... 21 3.1.1 Descripción de placa y comportamiento a pandeo ........................................................................ 21 3.1.2 Código para la secuencia de apilamiento ...................................................................................... 22

3.2 Ejemplo de validación: Pandeo de una placa con rigidizadores ......................................................... 23 3.3 Estudio de la influencia de la micromecánica en la carga de pandeo de una lámina de material compuesto .......................................................................................................................................................... 30

3.3.1 Estudio de la influencia de la orientación de las fibras en la carga crítica de pandeo .................. 32 3.3.1.1 Estudio para un modelo de fibra continua ............................................................................. 32 3.3.1.2 Estudio para un modelo de fibra corta ................................................................................... 37 3.3.1.3 Comparación de resultados entre ambos modelos ................................................................ 49

3.3.2 Estudio de la influencia del porcentaje en volumen de fibra en la carga crítica de pandeo ......... 52 3.3.2.1 Estudio para un modelo de fibra continua ............................................................................. 52 3.3.2.2 Estudio para un modelo de fibra corta ................................................................................... 53 3.3.2.3 Comparación entre ambos modelos ....................................................................................... 57

3.4 Estudio de la influencia de la micromecánica en la carga de pandeo de un panel de material compuesto .......................................................................................................................................................... 60

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4 Estudio de la estabilidad de un panel rigidizado de material compuesto de un Airbus A-380 .......... 67 4.1 Introducción ........................................................................................................................................... 67

4.1.1 Datos básicos de la aeronave de estudio ........................................................................................ 67 4.1.2 Metodología empleada en este capítulo ......................................................................................... 67

4.2 Descripción de la geometría y cargas del cajón ................................................................................... 68 4.3 Cálculo de las cargas dimensionantes. Aplicación CS-25 Subpart C .................................................. 73

4.3.1 Envolvente de maniobra ................................................................................................................. 73 4.3.2 Tipos de maniobras ......................................................................................................................... 75 4.3.3 Maniobra simétrica en condiciones de equilibrio a velocidad VC................................................. 76

4.3.3.1 Cálculo del factor de carga máximo ....................................................................................... 76 4.3.3.2 Cálculo de las cargas ............................................................................................................... 76

4.3.3.2.1 Cargas estructurales ............................................................................................................. 79 4.3.3.2.2 Cargas aerodinámicas .......................................................................................................... 82 4.3.3.2.3 Momentos totales ................................................................................................................. 85

4.4 Modelo de elementos finitos del panel y cálculo de la carga lineal de pandeo del panel ................... 86 4.5 Estudio de la influencia de la micromecánica en la carga crítica de pandeo ..................................... 93

5 Conclusiones y Trabajos futuros ................................................................................................................ 99 5.1 Micromecánica de materiales compuestos ............................................................................................ 99 5.2 Influencia de la micromecánica en el comportamiento a pandeo de paneles compuestos .................. 99 5.3 Influencia de la micromecánica en el comportamiento a pandeo de paneles rigidizados compuestos 101 5.4 Trabajos futuros ................................................................................................................................... 102

Referencias .......................................................................................................................................................... 103

ANEXOS ............................................................................................................................................................. 105 ANEXO A. Ensayo de validación 1: Pandeo de placa rectangular isótropa ................................................ 105

A.1 Análisis de pandeo analítico ................................................................................................................. 105 A.2 Estudio numérico del pandeo para la placa patrón ............................................................................... 108 A.3 Código para la validación ..................................................................................................................... 110

ANEXO B. Ensayo de validación 2: Pandeo de placa rectangular isótropa con rigidizador ...................... 113 B.1 Descripción del problema de estudio y del modelo numérico ............................................................. 113 B.2 Código para la validación...................................................................................................................... 117

ANEXO C. Códigos de ANSYS de los modelos presentados en el capítulo 3 ................................................ 121 C.1 Código del apartado 3.2 ........................................................................................................................ 121 C.2 Código del apartado 3.3 ........................................................................................................................ 126 C.3 Código del apartado 3.4 ........................................................................................................................ 128

ANEXO D. Códigos de ANSYS de los modelos presentados en el capítulo 4................................................ 131 D.1 Código del apartado 4.5 ........................................................................................................................ 131

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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2–1. Constantes ingenieriles de un material transversalmente isótropo. 7

Tabla 2–2. Propiedades de la fibra de carbono IM7 11

Tabla 2–3. Propiedades de la resina 8551-7 Epoxy 12

Tabla 2–4. Expresiones de las constantes ingenieriles usando la Ley de mezclas 14

Tabla 2–5. Expresiones de las constantes ingenieriles usando el modelo de Hopkins y Chamis 16

Tabla 2–6. Propiedades mecánicas para IM7/8551-7 Epoxy usando el modelo de Hopkins y Chamis 16

Tabla 2–7. Propiedades para IM7/8551-7 Epoxy usando el modelo de Halpin-Tsai y con vf = 0.45 19

Tabla 2–8. Módulo de Young longitudinal en función del rasp y vf 20

Tabla 2–9. Resto de constantes ingenieriles usando el modelo de Halpin-Tsai 20

Tabla 3–1. Dimensiones de la placa 24

Tabla 3–2. Propiedades material compuesto 25

Tabla 3–3. Secuencia de apilado para la placa ( y en la Figura 3-5) 26

Tabla 3–4. Secuencia de apilado para el rigidizador ( en la Figura 3-5) 26

Tabla 3–5. Condiciones de contorno en desplazamientos 27

Tabla 3–6. Comparación factores de pandeo 29

Tabla 3–7. Diferencias obtenidas 29

Tabla 3–8. Dimensiones geometría de estudio 31


Tabla 3–10. Esfuerzos críticos de pandeo para varias orientaciones y varias vf 35

Tabla 3–11. Esfuerzos críticos de pandeo para varias orientaciones, varias rasp y vf = 0.45 37




Tabla 3–15. Valores de adimensionalización para las Figuras 3-19÷23 39




Tabla 3–19.Definición de los laminados bajo estudio. 61

Tabla 3–20. Dimensiones geometría de estudio 62

Tabla 3–21. Cargas críticas de pandeo para cada laminado y cada fracción en volumen de fibra 63

Tabla 3–22. Densidades obtenidas para cada vf. 63

Tabla 4–1. Masas del A380 70

Tabla 4–2. Dimensiones características del A-380. 71

Tabla 4–3. Datos operativos del A-380 71

Tabla 4–4. Dimensiones del cajón de torsión 72

Tabla 4–5. Distribución de sustentación elíptica 83

Tabla 4–6. Distancias del centro de torsión al centro aerodinámico. 85

Tabla 4–7. Momentos flectores totales para la maniobra simétrica. 85

Tabla 4–8. Momentos torsores totales para la maniobra simétrica. 85

Tabla 4–9. Dimensiones de la unidad repetitiva del panel. 86


Tabla 4–11. Condiciones de contorno en para y = w/2 91

Tabla 4–12. Masas del panel para distintas fracciones en volumen de fibra 94

Tabla 4–13. Cargas críticas de pandeo para cada laminado y fracción en volumen de fibra 95

Tabla 0–1. Dimensiones placa patrón. 107

Tabla 0–2. Propiedades Aluminio 2024 T6. 108

Tabla 0–3. Carga crítica de pandeo mediante cálculos analíticos. 108

Tabla 0–4. Estudio de convergencia 109

Tabla 0–4. Comparación de los esfuerzos críticos 109


Tabla 0–7. Propiedades mecánicas del material bajo estudio 114

Tabla 0–8. Parámetros adimensionales que definen la geometría a estudiar 114

Tabla 0–9. Resultados extraídos de las referencias [9] y [12]. 115

Tabla 0–10. Resultados numéricos. 116

Tabla 0–11. Diferencias obtenidas 116

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1-1.Esquema multiescala de un elemento estructural constituido por material compuesto. Figura extraída de [5] 1

Figura 1-2. Ejemplo de pandeo placas. 2

Figura 2-1. Tipologías de materiales compuestos. Figura extraída de [5]. 5

Figura 2-2. Material con tres planos de simetría. Figura extraída de [5]. 6

Figura 2-3. Ejemplo de material transversalmente isótropo. Figura extraída de [5]. 6

Figura 2-4. Relación entre sistemas de referencia mediante cosenos directores. Figura extraída de [5]. 9

Figura 2-5. Rotaciones sucesivas para llegar al sistema p', q', r'. Figura extraída de [5]. 9

Figura 2-6. Rotación del sistema de coordenadas alrededor del eje r. Figura extraída de [5]. 10

Figura 2-7. Volumen de fibra, matriz y huecos. Figura extraída de [5]. 13

Figura 2-8. Lámina de material compuesto con la fibra alineada en la dirección 1. 14

Figura 2-9. Modelo para la ley de mezclas modificada (arriba) y la representación de la capa media “b” (abajo). Figura extraída de [5]. 15

Figura 2-10. Representación de las propiedades mecánicas de la lámina en función de la fracción en volumen de fibra. 17

Figura 2-11. Geometría de la fibra de estudio 19

Figura 2-12. Módulo de Young longitudinal en función de vf y rasp 20

Figura 3-1. Geometría de una placa. 21

Figura 3-2. Definición del ángulo ϕ. 22

Figura 3-3. Definición del ángulo Θ( ϕ en este proyecto). Figura extraída de [5]. 22

Figura 3-4. Cargas y dimensiones para este ejemplo. Figura extraída de [14]. 23

Figura 3-5. Elemento repetitivo para la construcción de la placa. Figura extraída de [14]. 24

Figura 3-6. Geometría de estudio. 24

Figura 3-7. Laminado de ejemplo. 25

Figura 3-8. Mallado final. 26

Figura 3-9. Ejes X locales y globales paralelos. 27

Figura 3-10. Condiciones de contorno en desplazamientos y cargas. 28

Figura 3-11. Comparación deformada referencia [14] (arriba) y deformada obtenida en este estudio (abajo). 29

Figura 3-12. Comparación deformada referencia [14] (arriba) y deformada obtenida en este estudio (abajo). [Perspectiva] 30

Figura 3-13.Problema de estudio. 31

Figura 3-14. Modelo de elementos finitos de la lámina a analizar. 32

Figura 3-15. Deformada para ϕ = 45 deg. y vf = 0.45. 33

Figura 3-16. Desplazamiento según z para vf = 0.45 y distintas orientaciones. Fibra continua. 34

Figura 3-17. Comparativa entre tres modos de pandeo y dos fracciones en volumen distintas. 35

Figura 3-18. Nx, cr en función de la orientación de la fibra. Fibra continua. 36

Figura 3-19. Esfuerzo crítico en función de la orientación de la fibra. Fibra corta (rasp = 10). 39





Figura 3-24. Comparación Nx, cr para varias rasp y con vf = 0.45 42




Figura 3-28. Desplazamiento según z para vf = 0.45, distintas orientaciones de la fibra y rasp = 10. Fibra corta. 45




Figura 3-32. Comparación Nx, cr para varias rasp y para fibra continua con vf = 0.45 49




Figura 3-36. Nx, cr en función de la orientación de vf. Fibra continua. 52

Figura 3-37. Esfuerzo crítico en función de vf.Fibra corta (rasp=10). 53





Figura 3-42. Variación de los modos de pandeo para fibra corta 56

Figura 3-43. Comparación Nx, cr para varias rasp y para fibra continua con ϕ = 0 deg.. 57





Figura 3-48.Efecto del proceso de curado en dos laminados. 60

Figura 3-49. Ejemplo de laminado. Figura extraída de [10] 61

Figura 3-50. Modelo de elementos finitos para este apartado. 62

Figura 3-51. Detalle del laminado. 63

Figura 3-52.Comparación de esfuerzos para varios laminados en función de vf. 64

Figura 3-53. Deformadas para el Laminado 1 (arriba) y para el Laminado 8 (abajo). 65

xiii

Figura 3-54. Modos de pandeo para varios laminados. 66

Figura 4-1. Airbus A380. Figura extraída de Google Inc. 67

Figura 4-2. Forma en planta del Airbus A-380. Figura extraída de Google Inc. 68

Figura 4-3.”Cutaway” del A-380. Figura extraída de Google Inc. 69

Figura 4-4. Cajón central del ala. Figura extraída de [10]. 69

Figura 4-5. Panel rigidizado. Figura extraída de [10]. 70

Figura 4-6. Esquema del cajón central (arriba). Perfil alar de un cajón de torsión real (abajo) 72

Figura 4-7. Configuración de equilibrio en crucero. Figura extraída de [10]. 73

Figura 4-8.Ejemplos de envolvente de maniobra. Figura extraída de [10]. 74

Figura 4-9.Sistema de referencia ligado al centro de gravedad de la aeronave. Figura extraída de [10]. 75

Figura 4-10. Forma en planta del ala del A380. 77

Figura 4-11. Sistema de referencia auxiliar con origen en el centro de torsores. 80

Figura 4-12. Esquema de la planta motora. 81

Figura 4-13. Distribución de sustentación real. Figura extraída de [10]. 84

Figura 4-14. Panel rigidizado (arriba). Unidad repetitiva del panel(abajo). Figura extraída de [10]. 86

Figura 4-15. Esquema: Descomposición de momentos en el cajón. 87

Figura 4-16.Unidad estructural repetitiva. 88

Figura 4-17.Mallado de la unidad estructural. 89

Figura 4-18. Vista 3D de la unidad estructural con volumen del laminado. 89

Figura 4-19. Modelo de elementos finitos del panel del extradós del cajón central del ala. 90

Figura 4-20. Parte del modelo con las condiciones de contorno aplicadas. 91

Figura 4-21. Perspectiva de la deformada para el primer modo de pandeo. 92

Figura 4-22.Vista del plano X-Y para el primer modo de pandeo. 92

Figura 4-23.Vista lateral de la deformada para el primer modo de pandeo. 93

Figura 4-24. Comparación de cargas críticas de pandeo para varios laminados. 96

Figura 4-25. Comparación del parámetro de eficiencia másica . 96

Figura 0-1. Esquema placa patrón. 106

Figura 0-2. Factor de pandeo en función de la relación a/b. 107

Figura 0-3.Modo de pandeo para la carga crítica calculada. 110

Figura 0-4. Esquema de la geometría de estudio. Figura extraída de [12]. 113

Figura 0-5. Modelo de elementos finitos del problema bajo estudio. 115

Figura 0-6. Modo de pandeo. Vista cenital. 116

Figura 0-7. Modo de pandeo (Perspectiva). 117

xv

Notación

𝐸1,𝐸2,𝐸3 Módulo de Young en las direcciones principales 𝑥1, 𝑥2 y 𝑥3 respectivamente 𝑀𝑇 Momento torsor 𝑀𝑓 Momento flector 𝑁𝑥,𝑐𝑐 Esfuerzo normal por unidad de longitud crítico de pandeo 𝑁𝑥 Esfuerzo normal por unidad de longitud 𝑉𝑖 Volumen del componente i 𝑎ℎ Velocidad del sonido a la altura h 𝑓𝑐𝑐 Factor crítico de pandeo 𝑟𝑎𝑎𝑎 Relación de aspecto 𝑢𝑥 ,𝑢 Desplazamiento en dirección x 𝑢𝑦, 𝑣 Desplazamiento en dirección y 𝑢𝑧,𝑤 Desplazamiento en dirección z 𝑣𝑓 ,𝑣𝑚 Porcentaje en volumen de fibra y matriz, respectivamente 𝜈12, 𝜈23 Coeficientes de Poisson entre las direcciones 1 y 2, y 1 y 3, respectivamente 𝜌𝑖 Densidad del componente i

𝜎1,𝜎2,𝜎3 Tensiones normales en ejes principales 𝜎𝑥 ,𝜎𝑦 ,𝜎𝑧 Tensiones normales en ejes globales 𝜏12, 𝜏13, 𝜏23 Tensiones tangenciales en ejes principales 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧, 𝜏𝑦𝑧 Tensiones tangenciales en ejes globales

𝐿 Sustentación 𝑀 Número de Mach

𝑀𝐿𝑀 Maximum Landing Weight 𝑀𝑀𝑀𝑀 Maximum Take-Off Weight 𝑀𝑀𝑀𝑀 Maximum Zero Fuel Weight 𝑁 Fuerza aerodinámica normal

𝑀𝐸𝑀 Operating Empty Weight 𝑀 Peso 𝑛 Factor de carga 𝑪 Matriz de rigidez en ejes globales 𝑪′ Matriz de rigidez en ejes principales 𝑺 Matriz de flexibilidad en ejes globales 𝑺′ Matriz de flexibilidad en ejes principales 𝜙 Orientación de las fibras

1

1 INTRODUCCIÓN 1.1 Motivación y objetivos

a motivación de este proyecto viene derivada del gran aumento, en las últimas décadas, en el uso de materiales compuestos a la hora de fabricar estructuras, especialmente en la industria aeronáutica donde el uso de materiales compuestos a la hora de fabricar una aeronave ha alcanzado cotas del orden del 50

por ciento de la estructura en el caso del AIRBUS A350-WB. Además, no sólo en el sector aeronáutico se ha experimentado este crecimiento en el uso de este tipo de materiales, en la industria de la automoción y, en los últimos años, en el campo de la ingeniería civil el uso también ha ido en alza.

En toda estructura existen diversos modos de fallo o estados límite. Entre ellos destaca el pandeo o estado límite último de inestabilidad.

Las estructuras aeronáuticas cuentan con multitud de paneles, con o sin rigidizadores, que están constituidos por laminados de materiales compuestos. Uno de los modos de fallo que se ha de estudiar a la hora de diseñarlos es el pandeo. La resistencia a pandeo de paneles compuestos viene condicionada tanto por las propiedades macromecánicas (por ejemplo la geometría) como por la micromecánica de los materiales compuestos que los constituyen.

Es por ello, que en este proyecto se van a analizar no tanto la influencia de la macromecánica, sino sobre todo la influencia de las propiedades micromecánicas, como pueden ser la fracción en volumen de fibra, la relación de aspecto y la orientación de las fibras, sobre las cargas de pandeo que son capaces de soportar. En este proyecto la profundidad de los análisis analíticos (no numéricos) llegará hasta la micromecánica. No se entrará por tanto en el estudio analítico de laminados, dejando esa parte para el análisis numérico. En la Figura 1-1 se pueden apreciar las distintas etapas de estudio de las estructuras de material compuesto.

Figura 1-1.Esquema multiescala de un elemento estructural constituido por material compuesto. Figura extraída de [5]

L

Introducción

2

Para ello se realizará un análisis con elementos finitos de pandeo haciendo uso del software ANSYS. En concreto, los estudios se centrarán en estructuras tipo placa, y placas rigidizadas. La razón de usar un software de elementos finitos es que facilita las labores de análisis ya que supone un ahorro en coste y tiempo. En la Figura 1-2 se puede ver cómo una estructura tipo placa cuando se somete a cargas de compresión en su plano medio y alcanzan éstas un valor crítico se producen desplazamientos transversales a la placa.

Figura 1-2. Ejemplo de pandeo placas.

Pero no todo son ventajas a la hora de usar un software de elementos finitos. Habrá que tener especial cuidado en la creación del modelo que se va a simular mediante ANSYS Inc. Es por ello que para alcanzar el objetivo del proyecto se necesitarán ensayos de certificación para comprobar que los modelos de elementos finitos dan resultados correctos, y que no existen errores.

1.2 Contenido del presente documento ste documento se ha dividido en capítulos de forma que cada uno cubra la distintas líneas de trabajo de las que se compone el proyecto. Se describen a continuación de forma breve el contenido de dichos capítulos.

• Capítulo 2. Micromecánica de los materiales compuestos: Entendiéndose la micromecánica como el análisis de las relaciones entre las propiedades mecánicas de un material compuesto , las propiedades de los materiales constituyentes, la disposición geométrica, los contenidos relativos de fibra y matriz, la orientación de las fibras y la relación de aspecto de las fibras. En este capítulo se hace una descripción del material que se va a estudiar explicándose las razones de su elección, la ley de comportamiento (en ejes principales y en ejes cualesquiera) que rige a dicho material, así como dos modelos micromecánicos propuestos por diversos autores con la finalidad de estimar las propiedades mecánicas que caracterizan al material de estudio en función de la cantidad de fibra que contenga el material compuesto.

• Capítulo 3. Análisis lineal de pandeo mediante elementos finitos de paneles compuestos. Estudio de la influencia de la micromecánica: En este capítulo se comenzarán con los estudios numéricos para calcular las cargas críticas de pandeo en paneles compuestos. Se realizarán ensayos de validación para comprobar el código de elementos finitos que se usará posteriormente en los siguientes apartados donde, con ese código validado y los resultados del capítulo anterior, se analizarán los efectos de la micromecánica sobre las cargas de pandeo. Por último, se analizarán una serie de laminados

E

3 Análisis numérico de la estabilidad de paneles compuestos reforzados con fibras

modificando la secuencia de apilamiento de las láminas de cara al capítulo siguiente.

• Capítulo 4. Estudio de la estabilidad de un panel rigidizado de material compuesto de un Airbus A-380: El objetivo de este capítulo es hacer uso todos los resultados que se han ido obteniendo para estudiar una parte de la estructura de un avión real. Habrá que elegir el laminado (secuencia de apilamiento) y la fracción en volumen de fibra que más se adecue a las solicitaciones de la estructura. También habrá que hacer especial hincapié en el peso propio del panel. Para ello se describirá la geometría de estudio, las solicitaciones que ve la estructura, se hará uso de la normativa europea para el cálculo de cargas que ve la estructura y finalmente se hará el estudio micromecánico mencionado.

• Capítulo 5. Conclusiones y trabajos futuros: Al final del proyecto se sacarán conclusiones a partir de los resultados obtenidos y se propondrán distintas líneas de trabajo de cara a estudios futuros de la estabilidad en estructuras de materiales compuestos.

• ANEXOS: En este último capítulo se describirán los primeros pasos en la validación de códigos con elementos finitos, si bien no se han introducido en alguno de los capítulos anteriores porque los ensayos no se hicieron con materiales compuestos. Además, se recogerán los códigos de ANSYS Inc. que se han usado durante la realización del proyecto.

5

2 MICROMECÁNICA DE MATERIALES COMPUESTOS

2.1 Introducción. Material transversalmente isótropo

n este capítulo se describirán de forma somera el tipo de material que se va a utilizar, y la ley de comportamiento que lo gobierna de acuerdo a la información obtenida de [5] y [17]. Por último, se presentarán los modelos micromecánicos usados en la realización de los ensayos presentados en

posteriores capítulos así como las propiedades mecánicas de la lámina para el material objeto de estudio.

2.1.1 Material transversalmente isótropo

Ante la gran variedad de tipologías existentes de materiales compuestos tales como los materiales anisótropos, ortrótopos, etc.; se ha decidido estudiar la de materiales transversalmente isótropos, que son una particularización de los materiales ortótropos, pues se corresponde con configuraciones ampliamente usadas en la industria aeronáutica. En la Figura 2-1 se pueden observar algunas de las diferentes categorías de materiales compuestos que existen en la actualidad. En particular en este proyecto se centrará la atención en el primero a la izquierda de la fila de abajo y el segundo en la fila de arriba.

Figura 2-1. Tipologías de materiales compuestos. Figura extraída de [5].

Los materiales transversalmente isótropos tienen tres planos de simetría, y en uno de ellos se trata al material como isótropo. Un ejemplo de material transversalmente isótropo puede ser un compuesto reforzado con fibras continuas unidireccionales, con las fibras alineadas en la dirección principal 𝑥1. En este caso el comportamiento isótropo del material se produce en el plano perpendicular a las fibras, es decir, el formado por el plano 𝑥2 − 𝑥3. En la Figura 2-2 y la Figura 2-3 se puede ver la descripción anterior.

E

Micromecánica de Materiales Compuestos

6

Figura 2-2. Material con tres planos de simetría. Figura extraída de [5].

Figura 2-3. Ejemplo de material transversalmente isótropo. Figura extraída de [5].

2.1.2 Ley de comportamiento en ejes principales

En este apartado se pretende determinar la relación existente entre tensiones y deformaciones en un material transversalmente isótropo, así como las constantes elásticas que definen a este tipo de material. Se tomará como referencia lo expuesto en [5] y [13].

Para establecer la ley de comportamiento habrá que hacer uso de una matriz de comportamiento 𝑪′, o también la relación inversa 𝑺′ = 𝑪′−1. Estas matrices son de un tamaño 6x6 si se descomponen los tensores de deformaciones y tensiones en pseudo-vectores de 6x1 componentes. Se puede ver en la ecuación (2-1) la relación existente entre ambos pseudo-vectores de forma general para los ejes principales de una lámina.

⎣⎢⎢⎢⎡𝜎1𝜎2𝜎3𝜏23𝜏13𝜏12⎦

⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝐶11 𝐶12 𝐶13𝐶21 𝐶22 𝐶23𝐶31 𝐶32 𝐶33

𝐶14 𝐶15 𝐶16𝐶24 𝐶25 𝐶26𝐶34 𝐶35 𝐶36

𝐶41 𝐶42 𝐶43𝐶51 𝐶52 𝐶53𝐶61 𝐶62 𝐶63

𝐶44 𝐶45 𝐶46𝐶54 𝐶55 𝐶56𝐶64 𝐶65 𝐶66⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜀1𝜀2𝜀3𝛾23𝛾13𝛾12⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

(2–1)

La relación inversa vendría dada por la ecuación (2-2).


⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝜀1𝜀2𝜀3𝛾23𝛾13𝛾12⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝑆11 𝑆12 𝑆13𝑆21 𝑆22 𝑆23𝑆31 𝑆32 𝑆33

𝑆14 𝑆15 𝑆16𝑆24 𝑆25 𝑆26𝑆34 𝑆35 𝑆36

𝑆41 𝑆42 𝑆43𝑆51 𝑆52 𝑆53𝑆61 𝑆62 𝑆63

𝑆44 𝑆45 𝑆46𝑆54 𝑆55 𝑆56𝑆64 𝑆65 𝑆66⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡𝜎1𝜎2𝜎3𝜏23𝜏13𝜏12⎦

⎥⎥⎥⎤

(2–2)

Ahora bien, esto sería para un material general. En el caso de material transversalmente isótropo existen ciertos términos de estas dos matrices que desaparecen o que incluso pueden ser dependientes los unos de los otros, debido a los 3 planos de simetría existentes en el material. Se puede comprobar además que ambas matrices son simétricas. En [5] también se pueden encontrar cuales son las constantes ingenieriles que habría que determinar para poder realizar un estudio preciso del material. Estas constantes se recogen en la Tabla 2-1.

Tabla 2–1. Constantes ingenieriles de un material transversalmente isótropo.

Independientes Dependientes

𝐸1 𝐸3 = 𝐸2

𝐸2 𝐺13 = 𝐺12

𝐺12 𝐺23 =𝐸2

2(1 + 𝜈23)

𝜈12 𝜈13 = 𝜈12

𝜈23

Como se puede observar de las 9 constantes que habría que determinar, se reducen a sólamente 5. En apartados posteriores se verá como haciendo uso de modelos micromecánicos es posible obtener dichas constantes. Volviendo a la ley de comportamiento, la matriz 𝑺′ se puede escribir en función de las constantes ingenieriles para un material transversalmente isótropo en ejes principales de la siguiente forma.

𝑺′ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

1𝐸1

−𝜈21𝐸2

−𝜈21𝐸2

0 0 0

−𝜈12𝐸1

1𝐸2

−𝜈32𝐸2

0 0 0

−𝜈12𝐸1

−𝜈23𝐸2

1𝐸2

0 0 0

0 0 02(1 + 𝜈23)

𝐸20 0

0 0 0 01𝐺12

0

0 0 0 0 01𝐺12⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2–3)

Si se vuelve a la representación de 𝑺′ inicial, y después de saber qué términos se anulan y cuáles son dependientes se puede escribir:

𝑺′ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝑆11 𝑆12 𝑆12 0 0 0𝑆12 𝑆22 𝑆23 0 0 0𝑆12 𝑆23 𝑆22 0 0 00 0 0 2(𝑆22 − 𝑆23) 0 00 0 0 0 𝑆66 00 0 0 0 0 𝑆66⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

(2–4)


8

Para obtener 𝑪′ habrá que invertir 𝑺′ obteniéndose:

𝑪′ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝐶11 𝐶12 𝐶12 0 0 0𝐶12 𝐶22 𝐶23 0 0 0𝐶12 𝐶23 𝐶22 0 0 0

0 0 0𝐶22 − 𝐶23

20 0

0 0 0 0 𝐶66 00 0 0 0 0 𝐶66⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2–5)

La relación (2-5) se puede descomponer en submatrices de la siguiente manera:

𝑪′ = �𝑳 𝟎𝟎 𝑴� (2–6)

𝑳 =1𝐷

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 𝐸1(1 − 𝜈232 ) 𝐸2𝜈12(1 + 𝜈23) 𝐸2𝜈12(1 + 𝜈23)

𝐸2𝜈12(1 + 𝜈23) 𝐸2 �1 −𝐸2𝐸1𝜈122 � 𝐸2(𝜈23 +

𝐸2𝐸1𝜈122 )

𝐸2𝜈12(1 + 𝜈23) 𝐸2(𝜈23 +𝐸2𝐸1𝜈122 ) 𝐸2 �1 −

𝐸2𝐸1𝜈122 � ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

(2–7)

𝐷 = 1 − 𝜈232 −2(1 + 𝜈23)𝐸2𝜈122

𝐸1 (2–8)

𝑴 =

⎣⎢⎢⎡

𝐸22(1 + 𝜈23)

0 0

0 𝐺12 00 0 𝐺12⎦

⎥⎥⎤ (2–9)

En caso de estar trabajando con unos ejes que no fueran los principales las matrices de comportamiento tomarían unas expresiones distintas pero relacionadas mediante matrices de giro.

2.1.3 Ley de comportamiento en ejes cualesquiera

De acuerdo a lo expuesto en [11], las direcciones principales del material no coinciden habitualmente con las direcciones utilizadas para definir la geometría del material. Dado que habitualmente los criterios de resistencia están referidos a los ejes principales del material y las cargas a los ejes geométricos, es preciso disponer de las relaciones anteriores en ejes cualesquiera. Además tener la ley de comportamiento en ejes cualesquiera permitirá estudiar la influencia de la orientación de la fibra en la estabilidad de la estructura.

Por tanto, y haciendo uso de lo expuesto en [5], hay que considerar dos sistemas de coordenadas cartesianas: {𝑝, 𝑞, 𝑟} y {𝑝′, 𝑞′, 𝑟′}. La orientación del segundo de ellos respecto del primero vendrá dada por los cosenos directores (𝑟11, 𝑟21, 𝑟31), (𝑟12, 𝑟22, 𝑟32), (𝑟13, 𝑟23, 𝑟33) (ver Figura 2-4). Además también se puede determinar la orientación del sistema {𝑝′, 𝑞′, 𝑟′} respecto del {𝑝, 𝑞, 𝑟} se puede obtener con la rotación sucesiva de los ejes del sistema {𝑝, 𝑞, 𝑟}, en una cantidad la indicada por los ángulos Θ𝑎,Θ𝑞 ,Θ𝑐. Se consideran ángulos positivos el sentido antihorario de giro (ver Figura 2-5).


Figura 2-4. Relación entre sistemas de referencia mediante cosenos directores. Figura extraída de [5].

Figura 2-5. Rotaciones sucesivas para llegar al sistema {𝑝′, 𝑞′, 𝑟′}. Figura extraída de [5].

Estos ángulos están relacionados con los cosenos directores mediante las siguientes expresiones:

Θ𝑞 = 𝐴𝐴𝑎𝑛2 �−𝑟31,�𝑟112 + 𝑟212 �

Θ𝑐 = 𝐴𝐴𝑎𝑛2 �𝑟21

𝑐𝑐𝑐Θ𝑞,𝑟11

𝑐𝑐𝑐Θ𝑞�

Θ𝑎 = 𝐴𝐴𝑎𝑛2 �𝑟32

𝑐𝑐𝑐Θ𝑞,𝑟33

𝑐𝑐𝑐Θ𝑞�

(2–10)

Donde 𝐴𝐴𝑎𝑛2(𝑦, 𝑥), es una función arco tangente con dos posibles argumentos:


10

𝐴𝐴𝑎𝑛2(𝑦, 𝑥) = tan−1 �𝑦𝑥� 𝑐𝑠 𝑥 > 0

𝐴𝐴𝑎𝑛2(𝑦, 𝑥) = tan−1 �𝑦𝑥� + 𝜋 𝑐𝑠 𝑥 > 0

(2–11)

Si se particulariza para el caso principal que se va a estudiar, en el que el eje ligado a la orientación de la fibra 𝑝′(sistema de referencia en ejes principales) forma un ángulo 𝜙 con respecto al eje 𝑝 (sistema de referencia global). Para poder componer el sistema en ejes principales respecto al global, habrá que dar un giro Θ𝑐 = 𝜙, lo cual permitirá pasar las tensiones y las deformaciones desde el sistema en ejes principales ligado a la orientación de la fibra, al sistema global en el que el eje 𝑝 coincidirá con la dirección de la fibra si 𝜙 = 0º. Se puede observar esto en la Figura 2-6, donde se ha cambiado la notación respecto a [5], llamando a Θ, 𝜙.

Figura 2-6. Rotación del sistema de coordenadas alrededor del eje 𝑟. Figura extraída de [5].

2.1.3.1 Transformación de tensiones

Se parte del sistema de referencia en ejes principales donde la ley de comportamiento se expresa así:

𝝈′ = 𝑪′𝜺′ (2–12)

Además las tensiones en el sistema con prima se relacionan con el otro mediante:

𝝈′ = [𝑻�𝝈𝒓 ]𝝈 (2–13)

Donde:

�𝑻�𝝈𝒓� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 0 0 0 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 0 0 0 −2𝑐𝑐𝑐𝑐0 0 1 0 0 00 0 0 𝑐𝑐 −𝑐𝑐 00 0 0 𝑐𝑐 𝑐𝑐 0

−𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 0 0 0 𝑐𝑐2 − 𝑐𝑐2⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑐Θ𝑐; 𝑐𝑐 = 𝑐𝑠𝑛Θ𝑐 (2–14)

2.1.3.2 Transformación de deformaciones

Las deformaciones en el sistema de coordenadas con prima se calculan respecto de las deformaciones en el sistema sin prima mediante:

𝜺′ = �𝑻�𝜺𝒓�𝜺 (2–15)

Donde:


�𝑻�𝜺𝒓� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 0 0 0 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑐𝑐2 𝑐𝑐2 0 0 0 −𝑐𝑐𝑐𝑐0 0 1 0 0 00 0 0 𝑐𝑐 −𝑐𝑐 00 0 0 𝑐𝑐 𝑐𝑐 0

−2𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝑐𝑐𝑐𝑐 0 0 0 𝑐𝑐2 − 𝑐𝑐2⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑐Θ𝑐; 𝑐𝑐 = 𝑐𝑠𝑛Θ𝑐 (2–16)

2.1.3.3 Relación entre las matrices de rigidez

Las leyes de comportamiento para el sistema de referencia global y el principal son, respectivamente:

𝝈 = 𝑪𝜺 ;𝝈′ = 𝑪′𝜺′ (2–17)

Si en la ley de comportamiento en términos globales se multiplica a ambos lados por �𝑻�𝝈𝒓�:

�𝑻�𝝈𝒓�𝝈 = �𝑻�𝝈𝒓�𝑪𝜺 (2–18)

Además una matriz multiplicada por su inversa es la identidad por lo que si en la ecuación 2-18 se multiplica en el segundo miembro por �𝑻�𝜺𝒓�

−𝟏�𝑻�𝜺𝒓� se obtiene:

�𝑻�𝝈𝒓�𝝈��𝝈′

= �𝑻�𝝈𝒓�𝑪�𝑻�𝜺𝒓�−𝟏

��𝑪′

�𝑻�𝜺𝒓�𝜺��𝜺′

(2–19)

Finalmente se obtiene la relación entre las matrices 𝑪 y 𝑪′:

𝑪′ = �𝑻�𝝈𝒓�𝑪�𝑻�𝜺𝒓�−𝟏

(2–20)

2.1.4 Material objeto de estudio: IM7/8551-7 Epoxy

Para la realización del proyecto se ha hecho una elección de fibra y matriz basada en información obtenida de [1], [4] y [10]. En concreto se ha elegido como refuerzo del material fibras de carbono IM7 y como matriz una resina 8551-7 Epoxy.

Esta mezcla independientemente del proceso de fabricación del material es ampliamente usada en aplicaciones estructurales que requieren alta resistencia, rigidez así como tolerancia al daño. En concreto la resina 8551-7 se usa en el campo de la aeronáutica en estructuras primarias de aeronaves comerciales y en las nacelles de motores turbofan. En concreto, de acuerdo a la norma, se define una estructura primaria como una estructura compuesta por elementos que garantizan la integridad del vehículo. Además, el fallo de alguno de sus elementos implica la pérdida del vehículo. Este tipo de estructuras protege contra las cargas del entorno, y proporciona estabilidad al vehículo.

En las Tablas 2-2 y 2-3 se presentan las propiedades de fibra y matriz que se han usado en todos los estudios realizados en el presente proyecto.

Tabla 2–2. Propiedades de la fibra de carbono IM7

Propiedades fibra IM7

𝐸𝑓1 [𝐺𝐺𝑎] 276

𝐸𝑓2 [𝐺𝐺𝑎] 19

𝐸𝑓3 [𝐺𝐺𝑎] 19

𝐺𝑓12 [𝐺𝐺𝑎] 27


12

𝜈𝑓12 0.2

𝜈𝑓13 0.2

𝐺𝑓23 [𝐺𝐺𝑎] 7

𝜌𝑓 �𝑔

𝑐𝑚3� 1.78

Tabla 2–3. Propiedades de la resina 8551-7 Epoxy

Propiedades matriz 8551-7 Epoxy

𝐸𝑚 [𝐺𝐺𝑎] 4.08

𝜈𝑚 0.38

𝐺𝑚 [𝐺𝐺𝑎] 1.478

𝜌𝑚 �𝑔𝑐𝑚3� 1.272

2.2 Modelos micromecánicos de fibras unidireccionales n un análisis micromecánico se reconoce la existencia de dos componentes fibra y matriz aunque sin considerar la estructura interna de cada uno de ellos (ver [5] y [11]). Los modelos micromecánicos que se presentarán a continuación se usarán para estimar las propiedades mecánicas de una lámina ortrótopa

de material compuesto en los ejes principales a partir de los valores conocidos de dichas propiedades para fibra y matriz por separado. Para realizar este análisis en general habrá que establecer una serie de hipótesis de forma que se simplifique la estimación de las propiedades mecánicas de la lámina.

En este análisis, en esencia, lo que se puede observar es cómo influye la cantidad de fibra y matriz en las propiedades finales de la lámina de material compuesto. La disposición de las fibras en la lámina también afecta a las propiedades mecánicas finales de ésta. No obstante el estudio de la distribución de las fibras en la lámina no se va desarrollar aquí.

Además existe una diferencia también en las propiedades finales de la lámina según se consideren fibras continuas o fibras cortas, éstas últimas se suponen orientadas todas en la misma dirección. Es por ello que se presentará de forma resumida un modelo micromecánico para cada tipo de fibra, dado que en los posteriores ensayos de pandeo se demostrará cómo influye la micromecánica en la estabilidad de una estructura.

Las hipótesis que se toman a la hora de usar los modelos semi-empíricos aquí expuestos de acuerdo con [7] son:

• Una distribución uniforme de fibras con un patrón regular

• No porosidades ni defectos

• No existencia de tensiones residuales

• Interfaz entre fibra y matriz perfecta.

• Ausencia de interfase entre las fibras y la matriz.

• Comportamiento elástico lineal tanto de la fibra como de la matriz.

• Curado uniforme del material compuesto.

• Alineamiento perfecto de las fibras.

E


2.2.1 Modelo de fibra continua: Modelo de Hopkins y Chamis

El modelo de Hopkins y Chamis, también conocido como “Ley de mezclas modificada”, es un modelo micromecánico usado en la estimación de las propiedades mecánicas e higrotérmicas para materiales compuestos de fibra continua. Además presenta mejores resultados que la Ley de mezclas original en cuanto a la estimación de las propiedades en las direcciones transversales de la lámina ([5]). En estas líneas se van a presentar cuáles son las expresiones de las propiedades mecánicas para la Ley de mezclas y al final se desarrollará con algo más de precisión cómo se modifican dichas expresiones para obtener el modelo de Hopkins y Chamis.

2.2.1.1 Ley de mezclas

En la Ley de mezclas se parte de un volumen 𝑉 compuesto por fibra (fiber), matriz (matrix) y huecos (void) (ver Figura 2-7). Así pues se tiene:

𝑉 = 𝑉𝑓 + 𝑉𝑚 + 𝑉𝑉 (2–21)

Donde los subíndices f,m y V se refieren a la fibra, matriz y huecos respectivamente. Acto seguido, lo ideal es definir las fracciones volumétricas de fibra, matriz y huecos, parámetros que serán de vital importancia en el estudio de la micromecánica:

𝑣𝑓 =𝑉𝑓𝑉

𝑣𝑚 =𝑉𝑚𝑉

𝑣𝑉 =𝑉𝑉𝑉

(2–22)

Agrupando las ecuaciones (2-21) y (2-22) se tiene:

𝑣𝑓 + 𝑣𝑚 + 𝑣𝑉 = 1 (2–23)

Sin embargo, en la realidad, la fracción volumétrica de huecos debe ser despreciable pues no interesa un material relleno de huecos, ya que favorecen el fallo prematuro del material. Por tanto la ecuación (2-23) se puede modificar quedando:

𝑣𝑓 = 1 − 𝑣𝑚 (2–24)

Tanto en [5] como en [13] se puede seguir una descripción bastante detallada de cómo se obtienen las expresiones para la ley de mezclas y no es esa la finalidad de este escrito, por lo que se agrupan a continuación las expresiones para estimar las propiedades mecánicas que interesan. En la Figura 2-8 también se puede ver una imagen de una lámina con las fibras orientadas según la dirección principal 1.

Figura 2-7. Volumen de fibra, matriz y huecos. Figura extraída de [5].


14

Figura 2-8. Lámina de material compuesto con la fibra alineada en la dirección 1.

Tabla 2–4. Expresiones de las constantes ingenieriles usando la Ley de mezclas

Módulo de Young longitudinal 𝐸1 = 𝐸𝑓1𝑣𝑓 + 𝐸𝑚𝑣𝑚

Módulo de Young transversal 𝐸2 = �

𝑣𝑓𝐸𝑓2

+𝑣𝑚𝐸𝑚

�−1

Módulo de cizalladura longitudinal 𝐺12 = �

𝑣𝑓𝐺𝑓12

+𝑣𝑚𝐺𝑚

�−1

Módulo de cizalladura transversal 𝐺23 = �

𝑣𝑓𝐺𝑓23

+𝑣𝑚𝐺𝑚

�−1

Coeficiente de Poisson longitudinal 𝜈12 = 𝜈𝑓12𝑣𝑓 + 𝜈𝑚𝑣𝑚

Coeficiente de Poisson transversal 𝜈23 =𝐸2

2𝐺23− 1

Densidad del compuesto 𝜌𝑐𝑐𝑚𝑎 = 𝜌𝑓𝑣𝑓 + 𝜌𝑚𝜈𝑚

2.2.1.2 Ley de mezclas modificada: Modelo de Hopkins y Chamis

Como se ha comentado anteriormente, lo que se modifica en este modelo son las expresiones para estimar las propiedades relacionadas con la dirección transversal a la fibra. Se explicará este caso con más detalle y poniendo como ejemplo al igual que en [5] la modificación del módulo de Young transversal.

Se parte de un elemento en el que se toma un haz de fibras de sección transversal rectangular. La fracción en volumen de este haz de fibras es la misma que la fracción en volumen del haz circular. En la Figura 2-9 se puede ver esto último.

En primer lugar se reemplaza este elemento por otro con tres capas, las dos capas exteriores se componen de la matriz, mientras que, la capa media se toma por un material homogéneo ficticio.


La capa media de este último elemento, designada por “b” tendrá una cierta fracción en volumen de fibra designada por 𝑣𝑏. El módulo de Young transversal de este elemento cuya capa media es un material homogéneo ficticio, viene dada por la expresión relativa al módulo de Young transversal que da la Ley de mezclas, sustituyendo las "𝑓" de la ecuación por "𝑏", quedando finalmente la ecuación (2-25).

𝐸2 = �𝑣𝑏𝐸𝑏2

+𝑣𝑏𝐸𝑚

�−1

(2–25)

La cuestión ahora sería calcular cuál es la fracción en volumen 𝑣𝑏 equivalente a lo que ocurre en la realidad. De este modo se sabe por la Figura 2-9 que la anchura de la capa media 𝐿𝑏 es la misma que la anchura del haz de fibras rectangular.

Figura 2-9. Modelo para la ley de mezclas modificada (arriba) y la representación de la capa media “b” (abajo). Figura extraída de [5].

Por lo tanto 𝑣𝑏toma el valor de:

𝑣𝑏 =𝐿𝐿𝑏𝐿2

=𝐿�𝑣𝑓𝐿

= �𝑣𝑓 (2–26)

El módulo de Young 𝐸𝑏2 de la capa intermedia “b” se obtiene reemplazando esta capa ficticia homogénea por una capa que conste de un haz de fibras rectangular rodeada de matriz (Parte de abajo de la Figura 2-9). La fracción en volumen de este haz de fibras en la capa media es 𝑣𝑓. Si ahora se aplica la Ley de mezclas para el módulo de Young longitudinal a esta capa media se obtiene:

𝐸𝑏2 = 𝐸𝑓2�𝑣𝑓 + 𝐸𝑚�1 − �𝑣𝑓� (2–27)

Las ecuaciones (2-25)-(2-27) dan el módulo de Young transversal. Otras propiedades se pueden obtener de forma similar, pero los detalles de su obtención no se van a mostrar aquí. De forma resumida se recogen todas las expresiones del modelo de Hopkins y Chamis en la Tabla 2-5.


16

Tabla 2–5. Expresiones de las constantes ingenieriles usando el modelo de Hopkins y Chamis

Módulo de Young longitudinal 𝐸1 = 𝐸𝑓1𝑣𝑓 + 𝐸𝑚𝑣𝑚

Módulo de Young transversal 𝐸2 = �

�𝑣𝑓𝐸𝑏2

+1 − �𝑣𝑓

𝐸𝑚�−1

Donde: 𝐸𝑏2 = �𝑣𝑓𝐸𝑓2 + �1 − �𝑣𝑓�𝐸𝑚

Módulo de cizalladura longitudinal 𝐺12 = �

�𝑣𝑓𝐺𝑏12

+1 − �𝑣𝑓

𝐺𝑚�−1

Donde: 𝐺𝑏12 = �𝑣𝑓𝐺𝑓12 + �1 − �𝑣𝑓�𝐺𝑚

Módulo de cizalladura transversal 𝐺23 = �

�𝑣𝑓𝐺𝑏23

+1 − �𝑣𝑓

𝐺𝑚�−1

Donde: 𝐺𝑏23 = �𝑣𝑓𝐺𝑓23 + �1 − �𝑣𝑓�𝐺𝑚

Coeficiente de Poisson longitudinal 𝜈12 = 𝜈𝑓12𝑣𝑓 + 𝜈𝑚𝑣𝑚

Coeficiente de Poisson transversal 𝜈23 =𝐸2

2𝐺23− 1

Densidad del compuesto 𝜌𝑐𝑐𝑚𝑎 = 𝜌𝑓𝑣𝑓 + 𝜌𝑚𝜈𝑚

2.2.1.3 Resultados para el material IM7/8551-7 Epoxy

En este apartado se presentarán los resultados de las propiedades mecánicas estimadas mediante el modelo de Hopkins y Chamis para el material objeto de estudio. Estas propiedades serán las usadas en los cálculos de la carga lineal de pandeo. El procedimiento que se ha seguido ha sido escoger una serie de valores típicos de fracciones en volumen de fibra y, a continuación calcular las propiedades mecánicas de una lámina en ejes principales.

Tabla 2–6. Propiedades mecánicas para IM7/8551-7 Epoxy usando el modelo de Hopkins y Chamis

𝑣𝑓 0.45 0.6 0.75 0.8

𝐸1[𝐺𝐺𝑎] 126.444 167.232 208.02 221.6160

𝐸2[𝐺𝐺𝑎] 7.7945 9.5436 11.9366 12.9523

𝐺12[𝐺𝐺𝑎] 3.8642 5.2921 7.8510 9.2397

𝐺23[𝐺𝐺𝑎] 2.8396 3.4832 4.3671 4.7435

𝜈12 0.2990 0.272 0.245 0.236

𝜈23 0.3725 0.3699 0.3666 0.3653

𝜌𝑐𝑐𝑚𝑎[𝑘𝑔/𝑚3] 1500.6 1576.8 1653 1678.4


En la Tabla 2-6 se han expuesto los datos numéricos estimados para el material IM7/8551-7 Epoxy y en la Figura 2-10 se han representado estos valores para ver la tendencia que siguen las propiedades mecánicas con 𝑣𝑓 . Se puede observar que tanto 𝐸1 como 𝜈12 tienen una tendencia lineal, y no así el resto de constantes ingenieriles, pues se observa que la tendencia es no lineal. Para valores bajos de 𝑣𝑓 un pequeño incremento de ésta no supone una variación excesiva de cualquier propiedad. Sin embargo, para valores de 𝑣𝑓 superiores a 0.6 se observa como un aumento de 𝑣𝑓 implica una variación en la constante ingenieril mayor.

Figura 2-10. Representación de las propiedades mecánicas de la lámina en función de la fracción en volumen de fibra.

2.2.2 Modelo de fibra corta: Modelo de Halpin-Tsai

Como se especifica en [17], las ecuaciones de Halpin-Tsai han sido durante mucho tiempo populares para la predicción de propiedades mecánicas de materiales compuestos de fibra corta. Originalmente fueron desarrolladas con la idea de predecir propiedades de compuestos de fibra continua en mente y derivaban de los trabajos de Hermans y Hill.

Hermans desarrolló el primer modelo auto-consistente generalizado (“generalized self-consistent model”) para materiales compuestos con fibra continua alineada. Halpin y Tsai descubrieron que tres de las ecuaciones de Hermans para la rigidez podían expresarse de una forma común. Los valores que predicen estas ecuaciones concuerdan razonablemente bien con los valores experimentales para una gran variedad de geometría de los refuerzos, incluyendo fibras, partículas y cintas.

De forma general, las ecuaciones de Halpin-Tsai para refuerzos orientados (en los casos que se van a estudiar serán fibras cortas orientadas) se expresan como:

0.4 0.6 0.8100

150

200

250

vf

E1 [G

Pa]

p p

0.4 0.6 0.85

10

15

vf

E2 [G

Pa]

0.4 0.6 0.80

5

10

vf

G12

[GP

a]

0.4 0.6 0.82

3

4

5

vf

G23

[GP

a]

0.4 0.6 0.80.2

0.25

0.3

0.35

vf

ν 12

0.4 0.6 0.80.365

0.37

0.375

0.38

vf

ν 23


18

𝐺𝐺𝑚

=1 + 𝜉𝜉𝑣𝑓1 − 𝜉𝑣𝑓

(2–28)

Con:

𝜉 =�𝐺𝑓𝐺𝑚� − 1

�𝐺𝑓𝐺𝑚� + 𝜉

(2–29)

Donde:

• 𝐺: Propiedad del compuesto, tales como 𝐸1,𝐸2,𝐺12,𝐺23 𝑦 𝜈23

• 𝐺𝑓: Propiedad del refuerzo, es decir: 𝐸𝑓1,𝐺𝑓12,𝐺𝑓23 𝑦 𝜈𝑓23

• 𝐺𝑚: Propiedad de la matriz, es decir 𝐸𝑚,𝐺𝑚 𝑦 𝜈𝑚

• 𝜉: Parámetro empírico adimensional que tiene en cuenta la geometría del refuerzo, el empaquetamiento y las condiciones de carga

• 𝑣𝑓: Fracción en volumen de fibra

Para los estudios aquí presentados 𝜈12 se calculará mediante la Ley de mezclas, aunque puede ser una aproximación no lo suficientemente precisa si los coeficientes de Poisson de fibra y matriz difieren en exceso (ver [17]).

Halpin y Tsai en su adaptación para materiales compuestos de fibra corta se dieron cuenta de que el parámetro 𝜉 debe tener valores ente 0 e ∞. Si 𝜉 = 0 entonces la ecuación (2-28) se convierte en la inversa de la Ley de mezclas, mientras que para 𝜉 = ∞ las ecuaciones de Halpin-Tsai se reducen a la Ley de mezclas.

Estimaciones fiables para el parámetro 𝜉 se obtienen comparando las ecuaciones de Halpin-Tsai con las soluciones numéricas de ecuaciones de la micromecánica expuestas por Halpin. Para fibra corta alineada existen unas expresiones empíricas que relacionan el parámetro 𝜉 con la geometría del refuerzo y la fracción en volumen de fibra. A continuación se exponen dichas expresiones:

𝜉 =2𝑙𝐴

+ 40𝑣𝑓10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸1

𝜉 =2𝑤𝐴

+ 40𝑣𝑓10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸2

𝜉 = �𝑤𝐴�1.732

+ 40𝑣𝑓10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐺12 𝑦 𝐺23

(2–30)

Donde:

• 𝑙: Longitud del refuerzo

• 𝑤: Anchura del refuerzo

• 𝐴: Espesor del refuerzo

Al estar considerando fibras circulares, 𝑙 = 𝑙𝑓 y 𝐴 = 𝑤 = 𝑑𝑓, donde 𝑑𝑓 es el diámetro de la fibra. Hay que mencionar también que el segundo término de las expresiones en (2-30) puede ser despreciable siempre y cuando 𝑣𝑓 sea inferior a 0.7. A partir de dicho valor no se puede despreciar este segundo término.


2.2.2.1 Resultados para el material IM7/8551-7 Epoxy

En este apartado se mostrarán los resultados que servirán como dato de partida en el siguiente capítulo para la realización de los ensayos. Usando las ecuaciones de Halpin-Tsai y suponiendo fibras cortas alineadas no es suficiente para cerrar el problema. Se define por tanto un parámetro conocido como la relación de aspecto:

𝑟𝑎𝑎𝑎 =𝑙𝑓𝑑𝑓

(2–31)

En la Figura 2-11 se puede ver una imagen del tipo de refuerzo que se va a introducir en el compuesto de estudio.

Figura 2-11. Geometría de la fibra de estudio

Fijando la relación de aspecto, se está fijando la geometría del refuerzo que se va a introducir en el material compuesto. Además haría falta fijar una fracción en volumen de fibra 𝑣𝑓. Se escogerán los mismos valores de 𝑣𝑓 que para el caso de fibra continua, y se elegirán una serie de valores de 𝑟𝑎𝑎𝑎, en concreto: 𝑟𝑎𝑎𝑎 ={10,20,50,100,1000}.

Tabla 2–7. Propiedades para IM7/8551-7 Epoxy usando el modelo de Halpin-Tsai y con 𝑣𝑓 = 0.45

𝑣𝑓 = 0.45

𝑟𝑎𝑎𝑎 10 20 50 100 1000

𝐸1[𝐺𝐺𝑎] 48.6670 68.6947 93.8634 107.5717 124.2428

𝐸2[𝐺𝐺𝑎] 8.1066 8.1066 8.1066 8.1066 8.1066

𝐺12[𝐺𝐺𝑎] 3.4871 3.4871 3.4871 3.4871 3.4871

𝐺23[𝐺𝐺𝑎] 2.7079 2.7079 2.7079 2.7079 2.7079

𝜈12 0.2990 0.2990 0.2990 0.2990 0.2990

𝜈23 0.4969 0.4969 0.4969 0.4969 0.4969

Como se puede observar en la Tabla 2-7, con el modelo de Halpin-Tsai aquí presentado la única de las variables que se modifica con la 𝑟𝑎𝑎𝑎 es el módulo de Young longitudinal, 𝐸1. Por tanto para el resto de 𝑣𝑓 estudiados sólo se va a hacer el estudio con 𝑟𝑎𝑎𝑎 para 𝐸1(ver Tabla 2-8). Además la Tabla 2-9 presenta el resto de constantes ingenieriles calculadas mediante el modelo de Halpin-Tsai.


20

Tabla 2–8. Módulo de Young longitudinal en función del 𝑟𝑎𝑎𝑎 y 𝑣𝑓

𝐸1 [𝐺𝐺𝑎]

𝑟𝑎𝑎𝑎 10 20 50 100 1000

𝑣𝑓 = 0.60 76.4308 103.1761 133.2256 148.1472 165.0872

𝑣𝑓 = 0.75 122.8876 151.3057 179.6831 192.5685 206.3378

𝑣𝑓 = 0.80 122.8876 151.3057 179.6831 192.5685 206.3378

Tabla 2–9. Resto de constantes ingenieriles usando el modelo de Halpin-Tsai

𝑣𝑓 0.6 0.75 0.8

𝐸2[𝐺𝐺𝑎] 10.2487 13.6111 14.9284

𝐺12[𝐺𝐺𝑎] 5.2303 10.9768 14.6623

𝐺23[𝐺𝐺𝑎] 3.4660 4.8737 5.4269

𝜈12 0.2720 0.2450 0.2360

𝜈23 0.4785 0.3964 0.3754

En la Figura 2-12 se han usado los datos de la Tabla 2-7 y 2-8 para ver gráficamente cómo al aumentar 𝑟𝑎𝑎𝑎 los resultados convergen a los proporcionados por la Ley de mezclas, que sería la línea roja de la Figura 2-12, tal y como se dijo cuando se describió el modelo.

Figura 2-12. Módulo de Young longitudinal en función de 𝑣𝑓 y 𝑟𝑎𝑎𝑎

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.8520

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

vf

E1 [G

Pa]

rasp=10

rasp=20

rasp=50

rasp=100

rasp=1000

rasp=∞

21

3 ANÁLISIS LINEAL DE PANDEO DE PANELES COMPUESTOS MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS.

ESTUDIO DE LA INFLUENCIA DE LA MICROMECÁNICA

3.1 Introducción ste capítulo enfocará su atención en el cálculo de cargas críticas de pandeo mediante el uso del software comercial ANSYS Inc. en estructuras tipo placa. Para ello se hará una breve descripción en este apartado de qué se considera una placa en terminología estructural así como el comportamiento a

pandeo que tiene este tipo de estructuras de forma cualitativa.

Además como introducción en el cálculo de cargas lineales de pandeo mediante el Método de los Elementos Finitos (MEF) se reproducirá un ensayo encontrado en la literatura y se compararán resultados de forma que el error cometido entre la literatura y el ensayo realizado sea mínimo.

En este capítulo también se estudiará cómo afecta la micromecánica en la carga de pandeo de una lámina de material compuesto. Para ello se realizarán ensayos variando el tipo de fibra, la orientación de las mismas, la fracción en volumen de fibra y la relación de aspecto de las fibras. También se analizarán las deformadas de la lámina. Posteriormente se compararán los resultados obtenidos.

Finalmente se estudiará cómo la secuencia de apilamiento en una placa de material compuesto influye en la carga crítica de pandeo.

3.1.1 Descripción de placa y comportamiento a pandeo

En términos estructurales, una placa es un sólido tridimensional que posee dos de sus dimensiones mucho mayores que una tercera, llamada espesor o canto, y cuya superficie media es un plano.

Figura 3-1. Geometría de una placa.

La placa generalmente está sometida a cargas perpendiculares a su plano medio, lo que origina la flexión de la misma, aunque también puede estar sometida a cargas coplanarias, lo que supondría un comportamiento como laja. Si dichas cargas coplanarias originan compresiones existe la posibilidad de que la placa pandee.

En lo que respecta al pandeo de placas, existe una diferencia crucial si se compara con el pandeo de barras (o pandeo de Euler), pues cuando una barra pandea por flexión se vuelve inestable y no es capaz de resistir más carga, colapsándose así el elemento estructural. La placa, una vez alcanza el pandeo o abolladura, no pierde su capacidad portante totalmente, de forma que es capaz de seguir soportando incrementos de carga. La flexión de la placa se amplifica si aumenta la carga aplicada.

E

Análisis lineal de pandeo de paneles compuestos mediante elementos finitos. Estudio de la influencia de la micromecánica

22

El comportamiento de una placa a pandeo también se ve influenciada si la placa inicialmente contiene imperfecciones iniciales, pues esto hace que la evolución hacia el pandeo sea distinta, pero con un comportamiento asintótico hacia el predicho por la teoría. A la hora de calcular la carga lineal de pandeo mediante ANSYS Inc. habrá que introducir una perturbación inicial, pues lo que calcula ANSYS no es la carga crítica de pandeo en sí, sino un factor multiplicador de una carga inicial (problema que se resuelve de forma estática). En siguientes apartados se explicará esto con más detalle.

3.1.2 Código para la secuencia de apilamiento

Para definir la secuencia de apilamiento de una serie de láminas a la hora de forma un laminado existen una serie de criterios que se definirá a continuación. Para ello se tomará como referencia lo expuesto en [5].

Si se quiere estudiar el comportamiento de un laminado de varias capas, lo usual es usar un sistema de referencia cartesiano {𝑥,𝑦, 𝑧}, siendo la coordenada 𝑧, la perpendicular al plano del laminado. La orientación de las fibras se supone alineada con un sistema de referencia local definido en la Figura 2-8. Se define como ángulo 𝜙 (aunque en [5] se define como Θ), al ángulo existente entre el eje x del sistema de referencia global y el eje 1 del sistema de referencia local. En las Figuras 3-2 y 3-3 se puede apreciar con mayor claridad esta descripción.

Figura 3-2. Definición del ángulo 𝜙.

Figura 3-3. Definición del ángulo Θ( 𝜙 en este proyecto). Figura extraída de [5].

El ángulo 𝜙 se considera positivo en sentido antihorario. Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado Si existen varias capas consecutivas todas en la misma dirección en un mismo laminado se especificará la cantidad de dichas capas mediante un subíndice numérico. Si además dicho laminado es simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los lados y se usará el subíndice S para que dicho laminado es simétrico.

Como ejemplo, si se tiene un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y otra a +45º se puede nombrar a dicho laminado de dos maneras alternativas e igualmente válidas.

[90 3, 02,−45, +45, +45,−45,02, 903]

[90 3, 02,−45, +45]𝑎 (3–1)


Si el laminado anterior tuviera una lámina a 90º justo en el plano de simetría se definiría de las siguientes maneras.

[90 3, 02,−45, +45, +45, 90��,−45,02, 903]

[90 3, 02,−45, +45, 90��]𝑎 (3–2)

Con estos conceptos sobre nomenclatura se considera suficiente para avanzar en desarrollos subsiguientes.

3.2 Ejemplo de validación: Pandeo de una placa con rigidizadores n este apartado se pretende realizar un modelo numérico que sirva como base para ensayos posteriores. Como ya se comentó anteriormente, a la hora de usar el Método de los Elementos Finitos para la resolución de problemas, es necesario tener un modelo numérico que represente con un cierto grado de

exactitud lo que se quiere estudiar. Con modelo numérico se refiere a la definición de las propiedades mecánicas de la geometría, condiciones de contorno en desplazamientos y cargas, número de láminas y orientación de las mismas, y método de resolución para el cálculo de la carga de pandeo lineal.

Es por ello que se validará el modelo numérico creado a lo largo de este apartado, comparando los resultados obtenidos con los desarrollos realizados por [6] y [14], puesto que como son problemas ya resueltos, se puede estudiar con cuánta exactitud el resultado aquí presentado coincide con las referencias citadas.

La geometría que se va a analizar será la de un panel con un rigidizador ambos fabricados de material compuesto, pero con laminados diferentes. Tanto en [6] como en [14] se hace un estudio de pandeo mediante cargas normales a los rigidizadores, cargas tangenciales a lo largo de la placa y una combinación de ambas. En este caso el estudio se limitará sólo a las cargas normales, pues todos los ensayos posteriores considerarán únicamente este tipo de cargas.

Figura 3-4. Cargas y dimensiones para este ejemplo. Figura extraída de [14].

De las Figuras 3-4 y 3-5 se pueden extraer los datos geométricos de la estructura a analizar. Se recogen en la Tabla 3-1.

E


24

Tabla 3–1. Dimensiones de la placa

Dimensión Valor

Longitud en dirección x (𝐿) [m] 0.762

Ancho en dirección y (𝑀) [m] 0.762

Paso entre rigidizadores (𝑏) [m] 0.127

Profundidad del rigidizador (ℎ𝑎) [m] 0.03434

Figura 3-5. Elemento repetitivo para la construcción de la placa. Figura extraída de [14].

En la Figura 3-6 se representa el estado del modelo de elementos finitos cuando se ha definido por completo la geometría que servirá de esqueleto para posteriormente aplicarle el material, mallado y condiciones de contorno.

Figura 3-6. Geometría de estudio.


Las propiedades del material que conformará las láminas de la estructura que se va analizar se presentan en la Tabla 3-2. Se comenta en [14] que es un material compuesto de grafito-epoxy pero no se dan más detalles al respecto.

El elemento que se usa en [6] para modelar los laminados es el SHELL 91, el cual de acuerdo a la biblioteca de elementos de ANSYS es un elemento diseñado para modelar placas delgadas y estructuras laminares. Es un elemento de 8 nodos, de forma cuadrilátera, capaz de realizar análisis lineales y no lineales en laminados, que tiene capacidad para estudiar flexión en láminas y esfuerzos de membrana, y es capaz de almacenar información de hasta 16 capas de material.

Sin embargo, en la versión de ANSYS Inc. usada en la realización del proyecto, la v13.0, el elemento SHELL 91 no está disponible. En su lugar, se usara el elemento SHELL 281 que aúna todo lo descrito anteriormente para el SHELL 91, y es por ello que se ha considerado adecuado para la realización de todos los ensayos.

Tabla 3–2. Propiedades material compuesto

Propiedades lámina Valor

𝐸1 [𝐺𝐺𝑎] 131

𝐸2 [𝐺𝐺𝑎] 13

𝐺12 [𝐺𝐺𝑎] 6.41

𝜈12 0.38

Una vez elegido el elemento a usar, sólo falta una cosa para proceder al mallado de la estructura, y esto es la definición de la sección, o secciones en este caso, que es el apartado del pre-procesador de ANSYS Inc. donde se especifican las distintas secuencias de apilados y el material del que estará compuesta dicha sección.

En esta parte es interesante comentar un detalle respecto a la definición de la orientación de las láminas del laminado. Tras comparar las referencias que toma ANSYS Inc. y [14] para definir un ángulo como positivo se ha llegado a la conclusión de que el sentido positivo lo definen a la inversa. Esto queda claro si se compara la Figura 3-4, donde se ve como el ángulo 𝜃 se define como positivo hacia la derecha, con la Figura 3-7, donde se ha definido un laminado de ejemplo para justificar lo expuesto en este párrafo.

Figura 3-7. Laminado de ejemplo.


26

De esta manera se definen a continuación los laminados de acuerdo a la referencia para los ángulos de ANSYS Inc., definiendo la orientación y el espesor de cada capa. Los laminados se numeran desde el exterior hacia el interior, además se define sólo la mitad del laminado pues son simétricos. Hacer nota que la última capa del laminado, la más interna, no se duplica al realizar la simetría.

Tabla 3–3. Secuencia de apilado para la placa ( y en la Figura 3-5)

Número de capa Orientación [deg.] Espesor capa [cm]

1 -45 0.01397

2 45 0.01397

3 45 0.01397

4 -45 0.01397

5 0 0.01397

6 90 0.12573

Tabla 3–4. Secuencia de apilado para el rigidizador ( en la Figura 3-5)

Número de capa Orientación [deg.] Espesor capa [cm]

1 -45 0.01397

2 45 0.01397

3 45 0.01397

4 -45 0.01397

5 0 0.02794

En referencia al mallado de la estructura, la longitud del panel se discretiza en 36 elementos, así como la longitud de los rigidizadores. El paso entre cada rigidizador se discretizará en 4 elementos y la profundidad de los mismos se dividirá en 2 elementos. El mallado final se puede ver en la Figura 3-8.

Figura 3-8. Mallado final.


En este punto del modelo hay que tener especial cuidado, porque hay que aplicarle unos atributos a los elementos que se están creando. Por ello, es en este punto donde se selecciona el tipo de laminado que se quiere para cada área creada.

Además, a la hora de aplicar atributos hay que seleccionar el sistema de referencia que se quiere asociar a cada elemento. Este detalle es crucial porque el ángulo que se inserta en ANSYS cuando se define la sección es el existente entre el eje X del sistema de referencia de la lámina y el eje X del elemento donde se va a aplicar esa lámina, por lo que si los ejes X de los elementos no coinciden con el eje X global no se está modelando de forma correcta el laminado definido en la sección. En la Figura 3-9 se puede observar lo que sería una posición relativa correcta entre ambos ejes X (ejes de color negro en esta figura).

Figura 3-9. Ejes X locales y globales paralelos.

En cuanto a las condiciones de contorno en desplazamientos, se aplicarán en el perímetro de la placa. Los cuatro bordes se considerarán simplemente apoyados. Este tipo de condición restringe ciertos grados de libertad respecto al sistema de referencia global en cada uno de los lados de la placa. En la Tabla 3-5 se resumen las condiciones de contorno aplicadas al modelo.

Tabla 3–5. Condiciones de contorno en desplazamientos

Grado de libertad Bordes 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 𝐿 Bordes 𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑀

Desplazamiento según x Libre Impedido

Desplazamiento según y Impedido Libre

Desplazamiento según z Impedido Impedido

Rotación alrededor del eje x Impedido Libre

Rotación alrededor del eje y Libre Impedido

Rotación alrededor del eje z Libre Libre


28

Para finalizar con el preprocesado habrá que aplicar una carga de forma que se pueda calcular la crítica de pandeo respecto de la aplicada, porque como ya se comentó anteriormente, lo que calcula ANSYS Inc. es un factor de la carga aplicada. Por ejemplo si se aplica una carga por unidad de longitud de valor 𝑁0, y ANSYS calcula el factor crítico de pandeo 𝑓𝑐𝑐, la carga de pandeo lineal de la estructura sería:

𝑁𝑐𝑐 = 𝑁0 ∗ 𝑓𝑐𝑐 (3–3)

En la referencia [14] se aplica una carga de compresión por unidad de longitud en la dirección x, es decir, en la dirección de los rigidizadores. Esta carga se va a denominar 𝑁𝑥 y tiene el valor de:

𝑁𝑥 = 175.1 · 103𝑁𝑚

(3–4)

En la Figura 3-10 se puede observar una vista del modelo con todas las condiciones de contorno aplicadas.

Llegados a este punto, hay que seleccionar las opciones de resolución del problema lineal de pandeo. En primer lugar, habrá que realizar un análisis estático, con la opción [PSTRES, ON] activada. Con esto se resuelve el problema de forma estática, se calculan las matrices de rigidez y de masa asociadas a la estructura, y se guardan dichas matrices.

Seguidamente se activa la opción para realizar un análisis lineal de pandeo [ANTYPE, BUCKLE], con la opción [BUCOPT, LANB]. Esto permitirá calcular el factor de pandeo, lo cual se reduce en definitiva a un cálculo de autovalores, mediante el método de Lanczos. Este algoritmo es un método iterativo que proviene de una adaptación del método de las potencias para encontrar autovalores y autovectores de matrices cuadradas o la descomposición en valores singulares de una matriz rectangular. Es particularmente útil para encontrar descomposiciones de matrices dispersas de muy alto orden, por lo que se puede aprovechar en el cálculo estructural.

Además a la hora de seleccionar el método de extracción de autovalores, se puede especificar el número de autovalores que se quieren calcular, así como el rango de autovalores en el que se está interesado.

Ejecutando todo lo descrito anteriormente, y aplicándolo al modelo que se está desarrollando aquí, se obtendrá el factor de pandeo de este problema. En la Tabla 3-6 que se presenta a continuación se podrá ver una comparativa entre los factores de pandeo calculados en este proyecto, y los calculados por las referencias [6] y [14].

Figura 3-10. Condiciones de contorno en desplazamientos y cargas.


Tabla 3–6. Comparación factores de pandeo

Referencia [6] (a) Referencia [14] (b) Estudio presente (c)

Factor de pandeo (𝑓𝑐𝑐) 1.0029 1.0030 0.9751

Una vez que se tienen estos resultados, es fundamental calcular la diferencia entre el factor de pandeo de este estudio con respecto a ambas referencias. En la ecuación (3-5) se puede observar cuál es la fórmula usada para estimar estas diferencias.

𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎1 [%] =𝑎 − 𝑐𝑎

· 100 ; 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎2[%] =𝑏 − 𝑐𝑏

· 100 (3–5)

Así pues, en la Tabla 3-7 se presentan las diferencias obtenidas:

Tabla 3–7. Diferencias obtenidas

𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎1[%] 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎2[%]

2.772 2.782

Como se puede observar, las diferencias obtenidas no llegan al 3 %, por lo que se considera que los resultados obtenidos concuerdan para todos los estudios y, en conclusión, el modelo numérico creado para este proyecto proporciona buenos resultados. Una de las posibles causas de estas diferencias puede ser el uso de distintos elementos entre la referencia [6] y este caso. La diferencia respecto a la referencia [14], puede provenir del programa de cálculo que se usa en dicho informe, quizás algo arcaico si se compara con los programas de cálculo hoy existentes.

Otra prueba más para validar el modelo numérico creado se puede encontrar en la comparación del modo de pandeo obtenido en este estudio y el obtenido en las referencias. En las Figuras 3-11 y 3-12 se podrán observar comparativas entre los modos obtenidos mediante el modelo numérico aquí creado y el resultado obtenido en [14].

Figura 3-11. Comparación deformada referencia [14] (arriba) y deformada obtenida en este estudio (abajo).


30

Figura 3-12. Comparación deformada referencia [14] (arriba) y deformada obtenida en este estudio (abajo). [Perspectiva]

A la vista de todas las pruebas se puede concluir que la concordancia entre los ensayos de la literatura y los realizados en este proyecto es satisfactoria. En los siguientes ensayos se hará uso del modelo numérico que sirve como base para el cálculo de factores críticos de pandeo usados en este apartado.

3.3 Estudio de la influencia de la micromecánica en la carga de pandeo de una lámina de material compuesto n este apartado se considerará únicamente una lámina de material compuesto, sobre la que se harán multitud de ensayos variando la orientación de las fibras, la longitud de las mismas, la fracción en volumen de fibra y la relación de aspecto.

Estas variaciones provocarán que las constantes ingenieriles calculadas con los modelos micromecánicos descritos en el Capítulo 2, cambien, y, en consecuencia, también lo hagan las cargas lineales de pandeo de las láminas aquí estudiadas.

La geometría que se va a estudiar será la de una placa rectangular compuesta únicamente por una lámina de material compuesto fabricada con el material IM7/8551-7 Epoxy, sometida a una compresión por unidad de longitud 𝑁𝑥, y de dimensiones 𝑎 𝑥 𝑏. El espesor 𝐴 que se la ha dado a la lámina también está fijo.

El propósito de este apartado es hallar el esfuerzo por unidad de longitud crítico 𝑁𝑥,𝑐𝑐, para cada configuración de ensayo y sacar conclusiones sobre la influencia de la micromecánica en la carga lineal de pandeo.

En la Figura 3-13 se puede observar un esquema del problema de estudio, y en la Tabla 3-8 los datos geométricos de la placa.

E


Figura 3-13.Problema de estudio.

Tabla 3–8. Dimensiones geometría de estudio

Dimensión Valor

𝑎 [𝑐𝑚] 70

𝑏 [𝑐𝑚] 35

𝐴 [𝑐𝑚] 0.02

Las condiciones de contorno en desplazamientos que tendrá la placa para todos los ensayos se corresponden con las relativas a simplemente apoyadas en sus cuatro bordes. Se recogen en la Tabla 3-9 a modo de resumen.


Grado de libertad Bordes 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 𝑎 Bordes 𝑦 = 0 ; 𝑦 = 𝑏

Desplazamiento según x Libre Impedido

Desplazamiento según y Impedido Libre

Desplazamiento según z Impedido Impedido

Rotación alrededor del eje x Impedido Libre

Rotación alrededor del eje y Libre Impedido

Rotación alrededor del eje z Libre Libre

Para modelar los laminados se ha usado el elemento SHELL 281 que, como se vio en el caso anterior proporciona buenos resultados. Además se ha usado una malla de 30 elementos en dirección X y 20 elementos en dirección Y.


32

Para la elección de la malla se ha hecho un análisis de convergencia del factor de pandeo incrementando poco a poco la malla hasta alcanzar una malla eficiente en el sentido de tener buenos resultados sin alargar en exceso el tiempo de resolución. Este análisis de convergencia se presentará en el capítulo de ANEXOS, en concreto en el ANEXO A, pues el análisis de convergencia se realizó para una placa isótropa de aluminio.

El método de extracción de autovalores será el mismo que en el apartado anterior, es decir, el método de Lanczos, para todos los ensayos. En este caso la carga inicial se supondrá de 𝑁𝑥 = 1 𝑁

𝑚 , por lo que si se usa la

expresión (3-3), la carga de pandeo lineal de la estructura será el propio factor de pandeo que calcula ANSYS.

En la Figura 3-14 se puede observar el modelo de elementos finitos sobre el que se trabajará, a falta de realizarle todos los estudios paramétricos mencionados.

Figura 3-14. Modelo de elementos finitos de la lámina a analizar.

3.3.1 Estudio de la influencia de la orientación de las fibras en la carga crítica de pandeo

En este apartado se presentará la influencia de la orientación de las fibras tanto en el valor de las cargas de pandeo como en los modos de pandeo. Se analizarán para un conjunto discreto de ángulos, y tomando la fracción en volumen de fibra como parámetro.

El conjunto de ángulos (en grados sexagesimales) que se ha tomado ha sido:

𝜙 = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90} (3–6)

Como se comentó en el apartado 3.2, la orientación de las láminas se controla a la hora de definir la sección con el comando [SECDATA]. Uno de las entradas de este comando será el ángulo.

3.3.1.1 Estudio para un modelo de fibra continua

En primer lugar se usarán los datos recogidos en la Tabla 2-6, como propiedades del material a modelar, que se recuerda que eran las propiedades mecánicas de una lámina usando un modelo micromecánico de fibra continua (el de Hopkins y Chamis).

Haciendo un análisis para cada orientación se obtendrá la carga crítica de pandeo de la lámina y se podrán visualizar los modos de pandeo.


En la siguiente página se encuentra la Figura 3-16, donde se puede ver la evolución con el ángulo 𝜙 del desplazamiento en la dirección Z para los ensayos con 𝑣𝑓 = 0.45. A la vista de los resultados se puede ver cómo al aumentar el ángulo 𝜙 aumenta el número de semiondas que se forman cuando la lámina de material compuesto pandea.

En la Figura 3-15, en esta página, se representa los desplazamientos en dirección z en forma de perspectiva para poder apreciar las semiondas que se forman cuando pandea la estructura.

Si se aumenta la fracción en volumen de fibra hasta 𝑣𝑓 = 0.60 y se realiza el mismo estudio cambiando las orientaciones de la fibra, se llega a la conclusión de que la fracción en volumen de fibra no es un parámetro que influya en lo que a modos de pandeo se refiere cuando se trata de fibra continua.

En la Figura 3-17 se ha representado una comparativa entre tres modos de pandeo referentes a tres orientaciones distintas, para fracciones en volumen distintas. Se puede apreciar en dicha figura como los modos de pandeo son exactamente iguales, quedando por tanto claro que la fracción en volumen de fibra no afecta a los modos de pandeo para fibra continua.

Figura 3-15. Deformada para 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. y 𝑣𝑓 = 0.45.


34

𝑎) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔.

𝑏) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔.

𝑐) 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔.

𝑑) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔.

𝐷) 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔.

𝑓) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔.

𝑔) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔.

Figura 3-16. Desplazamiento según z para 𝑣𝑓 = 0.45 y distintas orientaciones. Fibra continua.


𝑎) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. ; 𝑣𝑓 = 0.45

𝑏) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. ; 𝑣𝑓 = 0.6

𝑐) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. ; 𝑣𝑓 = 0.45

𝑑) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. ; 𝑣𝑓 = 0.6

𝐷) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔. ; 𝑣𝑓 = 0.45

𝐷) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔. ; 𝑣𝑓 = 0.6

Figura 3-17. Comparativa entre tres modos de pandeo y dos fracciones en volumen distintas.

Tabla 3–10. Esfuerzos críticos de pandeo para varias orientaciones y varias 𝑣𝑓

𝑁𝑥,𝑐𝑐 [𝑁/𝑚]

𝜙 [𝑑𝐷𝑔. ] 𝑣𝑓 = 0.45 𝑣𝑓 = 0.6 𝑣𝑓 = 0.75 𝑣𝑓 = 0.8

0 5.1378 6.6099 8.7397 9.7498

15 8.2315 10.597 13.815 15.26

30 15.601 20.154 25.091 26.89

45 16.526 21.518 27.34 29.593

60 13.99 18.32 23.69 25.881

75 9.7778 12.824 16.886 18.661

90 7.5571 9.8393 13.089 14.592


36

En la Tabla 3-10 se recogen los resultados obtenidos después de realizar toda la batería de ensayos. Como se puede extraer de esta tabla, la tendencia para una fracción en volumen fija es que al aumentar la orientación, aumenta el esfuerzo que es capaz de soportar la lámina antes de pandear.

Para otorgar más claridad y sacar conclusiones no sólo de forma cuantitativa, sino también de forma cualitativa se van a representar los datos de la Tabla 3-10. Se ha buscado el mínimo de la Tabla 3-10 y se le ha llamado 𝑁𝑚𝑖𝑚. En este caso el mínimo ha resultado ser:

𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐 (𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.45) (3–7)

A posteriori se representan en la Figura 3-18 todos los esfuerzos críticos de la Tabla 3-10 de forma adimensional dividiendo los esfuerzos por el mínimo, es decir, por 𝑁𝑚𝑖𝑚, como función de la orientación 𝜙 y con 𝑣𝑓 como parámetro.

Figura 3-18. 𝑁𝑥,𝑐𝑐 en función de la orientación de la fibra. Fibra continua.

Se puede apreciar en esta figura ciertamente existe un máximo para 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔.. Esto es algo que a priori no se podía demostrar. Además ocurre algo también reseñable, y es que las resistencias a pandeo para 𝜙 =90 𝑑𝐷𝑔. siempre son mayores que las relativas a 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔..

Estos hechos son interesantes porque cabe destacar que si se sometiera al panel a cargas de tracción sucedería justamente lo contrario, es decir, la resistencia sería menor para 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔. que para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. .

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

φ [deg]

Nx,

cr/N

min

( p )

vf=0.45

vf=0.6

vf=0.75

vf=0.8


3.3.1.2 Estudio para un modelo de fibra corta

En este apartado se harán los mismos ensayos que para el caso de fibra continua, pero ahora se tiene una variable de estudio más, y es la relación de aspecto. Esta variable permitirá observar cómo para una misma fracción en volumen de fibra y distintas relaciones de aspecto, se tienen distintos modos de pandeo.

De este modo las relaciones de aspecto que se han escogido han sido:

𝑟𝑎𝑎𝑎 = {10, 20, 50, 100, 1000} (3–8)

Las cargas de pandeo para las cuatro fracciones en volumen de fibra y las relaciones de aspecto se recogerán en forma de tablas y posteriormente se analizarán para observar tendencias. Además también se analizarán los modos de pandeo para 𝑣𝑓 = 0.45 y todas las relaciones de aspecto que se han estudiado, y se hará especial hincapié en los cambios existentes en los modos de pandeo (número de semiondas sobre todo) para una misma orientación y distintas relaciones de aspecto.

Tabla 3–11. Esfuerzos críticos de pandeo para varias orientaciones, varias 𝑟𝑎𝑎𝑎 y 𝑣𝑓 = 0.45


𝜙 [𝑑𝐷𝑔. ] 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 20 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 50 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 100 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 1000

0 4.8634 4.7217 4.8043 4.9028 5.0498

15 5.8149 6.9411 7.485 7.7624 8.1165

30 8.3759 10.393 12.798 14.068 15.5

45 9.1527 11.261 13.655 14.874 16.294

60 8.1636 9.8203 11.667 12.59 13.649

75 6.3822 7.3224 8.3711 8.8811 9.4627

90 5.5502 6.1308 6.7333 7.0126 7.3303




0 6.4931 6.3996 6.5245 6.6314 6.7746

15 8.4948 9.6605 10.203 10.496 10.843

30 12.189 14.768 17.54 18.881 20.381

45 13.377 16.093 18.896 20.215 21.663

60 11.948 14.102 16.288 17.3 18.398

75 9.28 10.498 11.729 12.286 12.894

90 7.9761 8.6896 9.3611 9.6588 9.9789


38




0 10.96 10.679 10.62 10.64 10.684

15 13.94 15.451 15.83 16.02 16.235

30 18.655 21.262 23.772 24.888 26.067

45 20.933 23.89 26.676 27.896 29.173

60 19.299 21.732 24.008 24.998 26.029

75 15.631 16.997 18.269 18.822 19.398

90 13.656 14.409 15.079 15.363 15.651




0 13.516 13.166 13.007 12.978 12.968

15 16.812 18.162 18.782 18.916 19.066

30 21.777 24.081 26.266 27.225 28.228

45 24.724 27.424 29.944 31.038 32.175

60 23.112 25.361 27.453 28.358 29.297

75 19.071 20.334 21.502 22.006 22.529

90 16.808 17.491 18.101 18.359 18.622

Inicialmente, se puede hacer un análisis preliminar simplemente observando las columnas y las filas de todas las tablas anteriores. Observando únicamente las columnas, se observa la misma tendencia para todas las relaciones de aspecto que para el caso de fibra continua, es decir, si se aumenta la orientación se ve cómo el esfuerzo crítico de pandeo alcanza un máximo para 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. y, posteriormente, vuelven a decaer los valores.

Si ahora en lugar de prestar atención a las columnas de las tablas, se observan las filas, se podrán apreciar distintas tendencias, según la orientación de las fibras y según la fracción en volumen de fibras. Por ejemplo, si se observan las Tablas 3-11 y 3-14, los ángulos 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. y 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔., las tendencias con 𝑟𝑎𝑎𝑎 son distintas.

En las siguientes páginas se representarán en primer lugar las tendencias de las cargas críticas de pandeo en función de la orientación con la fracción en volumen de fibra como parámetro y la relación de aspecto fija.

Además también se adimensionalizarán dichas cargas críticas para cada Figura, con el valor mínimo de los que en dicha Figura se representen. Se resumen en la Tabla 3-15 los valores mínimos de cada Figura.


Tabla 3–15. Valores de adimensionalización para las Figuras 3-19÷23

Número de Figura Valor mínimo

Figura 3-19 𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐(𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.45, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10)





Figura 3-19. Esfuerzo crítico en función de la orientación de la fibra. Fibra corta (𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10).

Como se puede apreciar en cada una de estas figuras, se conservan las tendencias que se podían ver para las fibras continuas, sin importar la relación de aspecto o la fracción en volumen de fibra. Además, cuantitativamente se puede ver que los esfuerzos críticos para 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔. siguen siendo mayores que para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔., como ya ocurría cuando se consideró fibra continua.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

vf=0.45

vf=0.6

vf=0.75

vf=0.8


40


Figura 3-21. Esfuerzo crítico en función de la orientación de la fibra. Fibra corta (𝑟asp = 50).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

vf=0.45

vf=0.6

vf=0.75

vf=0.8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

vf=0.45

vf=0.6

vf=0.75

vf=0.8




0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

vf=0.45

vf=0.6

vf=0.75

vf=0.8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

vf=0.45

vf=0.6

vf=0.75

vf=0.8


42

También cabe destacar cómo varían los esfuerzos críticos de pandeo con la relación de aspecto para fibras cortas, tomando como parámetro la orientación y dejando fija 𝑣𝑓. Para este caso la representación va a variar, pues el eje de abscisas se representará en escala logarítmica dada la gran diferencia existente entre las 𝑟𝑎𝑎𝑎. Además los esfuerzos críticos a compresión también se representan de forma adimensionalizada con el mínimo valor de los que intervienen en juego en cada figura. En la Tabla 3-16 se agrupan los valores de adimensionalización usados en cada una de las figuras siguientes. Estos valores se pueden encontrar en las Tablas 3-11÷14.







Figura 3-24. Comparación 𝑁𝑥,𝑐𝑐 para varias 𝑟𝑎𝑎𝑎 y con 𝑣𝑓 = 0.45

En la Figura 3-24 se puede apreciar, como al aumentar la 𝑟𝑎𝑎𝑎 aumenta el esfuerzo crítico de pandeo para todas las orientaciones, si bien es verdad, los máximos incrementos se dan para 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔.. Además se puede destacar otro hecho interesante que ocurre para 𝑣𝑓 = 0.45 y es que los esfuerzos críticos para 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔. son mayores para todas las 𝑟𝑎𝑎𝑎 que los relativos a 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔.. Sin embargo conforme se aumenta la fracción en volumen de fibra esta tendencia cambia.

101

102

103

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

rasp

Nx,

cr/N

min

φ=0 deg.φ=30 deg.φ=45 deg.φ=60 deg.φ=75 deg.φ=90 deg.




101

102

103

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

rasp

Nx,

cr/N

min


101

102

103

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

rasp

Nx,

cr/N

min



44


Si se observan las Figuras 3-24÷27, se puede ver cómo al aumentar la fracción en volumen de fibras existe variación de ciertos parámetros. En primer lugar, se observa que para 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. siempre existen máximos, sin importar la fracción en volumen de fibra, o la relación de aspecto de las fibras.

En segundo lugar, como se comentó para fracciones en volumen entre 0.45 y 0.6 los esfuerzos críticos para una orientación 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔., son mayores que los relativos a 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔.. Sin embargo, si se observan las Figuras 3-26 y 3-27, existe una fracción en volumen de fibra entre 0.6 y 0.75 para la que esta tendencia se ha invertido.

Otro apunte interesante puede venir si se comparan los máximos de cada figura. Bien es verdad que los 𝑁𝑚𝑖𝑚 aumentan conforme lo hace la fracción en volumen de fibra, pero se puede observar que para todas las figuras que se están analizando, los cocientes 𝑁𝑥,𝑐𝑐

𝑁𝑚𝑚𝑚 oscilan entre 1 y 2 para 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10. Ahora bien el comportamiento

cuando 𝑟𝑎𝑎𝑎 y 𝑣𝑓 aumenta es diferente. Se puede observar que conforme aumenta la fracción en volumen de fibra, y aumenta la relación de aspecto, los aumentos del cociente 𝑁𝑥,𝑐𝑐

𝑁𝑚𝑚𝑚 se hacen cada vez menos acusados.

Esto puede tener conclusiones interesantes de cara al diseño.

Por ejemplo, si se estuviera diseñando a pandeo una estructura, y se tuviera que elegir qué 𝑣𝑓 elegir para las láminas, puede ocurrir que con una fracción en volumen pequeña y una relación de aspecto relativamente grande se consigan los mismos efectos que con una fracción en volumen mayor y una 𝑟𝑎𝑎𝑎 relativamente pequeña. La consecuencia directa de esto puede ser un ahorro considerable de peso, lo cual beneficia enormemente al resto del diseño para el caso de estructuras aeronáuticas.

Por último, también se puede analizar la tendencia del esfuerzo crítico para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔.. Para fracciones en volumen de fibra pequeñas (ver Figura 3-24), se observa como este esfuerzo aumenta de forma muy leve conforme lo hace la 𝑟𝑎𝑎𝑎. Por el contrario para 𝑣𝑓 grandes (ver Figura 3-27) se observa como la tendencia es descendiente si aumenta la relación de aspecto. Este hecho es reseñable para esta orientación porque es la única que presenta tal comportamiento con la relación de aspecto.

101

102

103

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

rasp

Nx,

cr/N

min



Hecho este análisis para las cargas críticas de pandeo, una buena manera de seguir estudiando el comportamiento a pandeo de láminas con fibra corta, es pasar a los modos de pandeo. Como se hizo para fibra continua, se estudiarán en este caso los modos de pandeo para una única 𝑣𝑓, varias orientaciones y distintas relaciones de aspecto. A continuación se presentan diversas figuras con los desplazamientos según Z para las relaciones de aspecto para las que se tengan diferencias en cuanto a los modos de pandeo.

𝑎) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔.

𝑏) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔.

𝑐) 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔.

𝑑) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔.

𝐷) 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔.

𝑓) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔.

𝑔) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔.

Figura 3-28. Desplazamiento según z para 𝑣𝑓 = 0.45, distintas orientaciones de la fibra y 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10. Fibra corta.


46

𝑎) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔.

𝑏) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔.

𝑐) 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔.

𝑑) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔.

𝐷) 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔.

𝑓) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔.

𝑔) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔.


En estas dos primeras figuras, se puede observar cómo para orientaciones inferiores a 45 grados, si se aumenta


la relación de aspecto el número de semiondas decrece, y para orientaciones superiores 45 grados el número de semiondas aumenta. Se van a seguir representando modos para las dos relaciones de aspecto restantes a ver qué ocurre.

𝑎) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔

𝑏) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔

𝑐) 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔

𝑑) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔

𝐷) 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔

𝑓) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔

𝑔) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔



48

𝑎) 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔

𝑏) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔

𝑐) 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔

𝑑) 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔

𝐷) 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔

𝑓) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔

𝑔) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔


En las Figuras 3-29 y 3-30, se observa como sigue existiendo la tendencia de disminuir el número de semiondas cuando la orientación de las fibras es inferior a 45 grados, y a aumentar el número de semiondas cuando 𝜙 es superior a 45 grados conforme se aumenta la relación de aspecto.


3.3.1.3 Comparación de resultados entre ambos modelos

En este apartado se van a presentar distintas figuras en las que se compararán los resultados extraídos para la carga crítica de pandeo considerando el modelo de Hopkins y Chamis, y el modelo de Halpin y Tsai. También se presentarán los datos de forma adimensionalizada con el mínimo de los valores representados. Se expresarán como función de la orientación, con la relación de aspecto como parámetro y dejando fija la fracción en volumen de fibra para cada figura.

A continuación se refleja en la Tabla 3-17 cuáles han sido las cargas escogidas como 𝑁𝑚𝑖𝑚 para cada figura. Tener en cuenta a la hora de interpretar dicha tabla, que si no se especifica para qué 𝑟𝑎𝑎𝑎 se da el 𝑁𝑚𝑖𝑚, significa que se refiere a fibra continua y no a fibra corta.




Figura 3-32 𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐�𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.60, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 20�

Figura 3-34 𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐(𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.75)

Figura 3-35 𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐(𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.80)

Figura 3-32. Comparación 𝑁𝑥,𝑐𝑐 para varias 𝑟𝑎𝑎𝑎 y para fibra continua con 𝑣𝑓 = 0.45

En la Figura 3-32 se puede observar cómo para 𝑣𝑓 = 0.45 y una orientación fija, conforme aumenta la relación de aspecto, los resultados convergen a los obtenidos para fibra continua.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

Continuarasp=10

rasp=20

rasp=50

rasp=100

rasp=1000


50


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

Continuarasp=10

rasp=20

rasp=50

rasp=100

rasp=1000


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

Continuarasp=10

rasp=20

rasp=50

rasp=100

rasp=1000



De las tres Figuras anteriores se pueden extraer varias conclusiones. Dada la diferencia existente entre los resultados aportados por los modelos micromecánicos a la hora de estimar propiedades mecánicas de las láminas, el comportamiento que existe en las cargas críticas a pandeo difiere del presentado en la Figura 3-32. Se puede observar cómo a medida que aumenta la fracción en volumen de fibra, las cargas críticas a pandeo para fibra corta, dependiendo de la relación de aspecto de las mismas pueden llegar a ser mayores que las obtenidas para fibra continua tal y como se puede ver con bastante claridad en la Figura 3-35.

Así, por ejemplo, en esta última Figura, para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔 se observa en esta misma Figura como la resistencia a pandeo con fibra continua es menor siempre que para fibra corta. Además, si se observan los datos para una orientación de 𝜙 = 30 𝑑𝐷𝑔 y una relación de aspecto inferior a 100, la lámina compuesta de fibra continua tiene mayor resistencia al pandeo que con fibra corta. Sin embargo, para relaciones de aspecto superiores a 100 y esa misma orientación ocurre justo lo contrario. Existe, por tanto, una orientación y una relación de aspecto para cada orientación tal que esta tendencia cambia.

Se puede extraer más información en este sentido de la Figura 3-35, pues para orientaciones superiores a 75 grados ocurre lo mismo que se comentó para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. Todas estas conclusiones dependen también a su vez de la fracción en volumen de fibra.

No se han encontrado evidencias claras de a qué pueden deberse estos efectos, pero si se observan las propiedades mecánicas obtenidas para fibra corta y fibra continua en el Capítulo 2, se observa que el módulo de rigidez transversal (𝐸2), y los tangenciales (𝐺12,𝐺23) en el caso de fibra corta, para relaciones de aspecto y fracciones en volumen de fibra suficientemente altas, superan a los obtenidos con el modelo de Hopkins y Chamis para fibra continua, y existe el hecho visto a lo largo de todo este capítulo de que para 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔 se obtienen siempre cargas críticas de pandeo mayores que para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. Existe la posibilidad de que exista relación entre ambas evidencias.

Otra posible razón es que el modelo de Halpin y Tsai no proporcione resultados correctos para fracciones en volumen de fibra superiores a 0.6.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

φ [deg.]

Nx,

cr/N

min

Continuarasp=10

rasp=20

rasp=50

rasp=100

rasp=1000


52

3.3.2 Estudio de la influencia del porcentaje en volumen de fibra en la carga crítica de pandeo

En este apartado se usarán todos los datos obtenidos hasta ahora pero para representar las variaciones de las cargas críticas a pandeo con la fracción en volumen de fibra y tomar tanto la orientación de las fibras como la relación de aspecto de las mismas para el caso de fibra corta como parámetros. Posteriormente se hará una comparación entre los resultados obtenidos para fibra continua y fibra corta.

3.3.2.1 Estudio para un modelo de fibra continua

En este apartado se verá cuál es la variación de las cargas crítica de pandeo adimensionalizadas con el mínimo de los valores obtenidos para los ensayos con fibra continua. En este caso el esfuerzo de pandeo mínimo ha sido:

𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐(𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.45) (3–9)

En la Figura 3-36 se pueden observar las tendencias que siguen las cargas de pandeo para las distintas orientaciones estudiadas. Para poder realizar esta representación se han hecho uso de los datos recogidos en la Tabla 3-10. Se observa cómo la tendencia de las cargas críticas es aumentar conforme lo hace la fracción en volumen de fibra. También queda nuevamente de manifiesto que el máximo de los valores obtenidos ha sido para 𝑣𝑓 = 0.8 y 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. También se puede observar como los para todas las fracciones en volumen de fibra estudiadas, los esfuerzos críticos para una orientación de 90 grados son mayores que los calculados para una orientación de 0 grados.

Figura 3-36. 𝑁𝑥,𝑐𝑐 en función de la orientación de 𝑣𝑓. Fibra continua.

En este apartado no se van a analizar la variación de los modos de pandeo con 𝑣𝑓, pues ya se explicó en el apartado 3.3.1.1 que no hay variación en la forma de los modos de pandeo para fibra continua.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

vf

Nx,

cr/N

min

φ=0 degφ=30 degφ=45 degφ=60 degφ=90 deg


3.3.2.2 Estudio para un modelo de fibra corta

Como se ha hecho anteriormente, se presentarán a continuación varias figuras en las se representarán los esfuerzos críticos adimensionalizados con el mínimo de los que aparecen en las figuras como función de la fracción en volumen de fibra. En estas representaciones se tomará como parámetro la orientación de las fibras y se dejará fija la relación de aspecto. Los datos usados para realizar las figuras son los recogidos en las Tablas 3-11÷14.

En la siguiente tabla, como se viene haciendo a lo largo de todo el capítulo, a modo de resumen se especifican cuáles han sido los valores que se han tomado como mínimos en cada una de las figuras.








Figura 3-37. Esfuerzo crítico en función de 𝑣𝑓.Fibra corta (𝑟𝑎𝑎𝑎=10).

En esta primera figura se puede apreciar la misma tendencia que para fibra continua, aunque para la relación de aspecto representada, se puede ver como los esfuerzos para orientaciones de 30 y 60 grados prácticamente se superponen. Además, se puede observar que para esta relación de aspecto, los esfuerzos para una orientación de 90 grados, son ligeramente superiores a los obtenidos para 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔. para todas las 𝑣𝑓 simuladas.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

vf

Nx,

cr/N

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φ=0 deg.φ=30 deg.φ=45 deg.φ=60 deg.φ=90 deg.


54



0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

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0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

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0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

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vf

Nx,

cr/N

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0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

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3

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5

6

7

vf

Nx,

cr/N

min



56

A lo largo de todas las figuras anteriores, se observa que la relación de aspecto, aunque en cada figura sea un parámetro fijo, tienen influencia en el comportamiento de las cargas críticas a pandeo. Así pues, conforme aumenta dicha relación de aspecto, la diferencia entre las cargas críticas obtenidas para 𝜙 = 90 deg.𝑦 𝜙 =0 𝑑𝐷𝑔. se ha aumentado. Además, el comportamiento que se observaba para la Figura 3-37 entre las cargas para 𝜙 = 30 deg.𝑦 𝜙 = 60 𝑑𝐷𝑔. si se variaba la fracción en volumen de fibras, al haber aumentado la relación de aspecto, ha cambiado. Existe una 𝑣𝑓 tal que el comportamiento visto en dicha figura se invierte.

A continuación, se hará un análisis de los modos de pandeo para fibra corta, pues se ha observado que para la misma orientación, misma relación de aspecto y distintas fracciones en volumen de fibra se han obtenido variaciones en los modos de pandeo. Se recogen en la Figura 3-42 algunas de las deformadas que sufren cambios.

𝑎) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.45, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10

𝑏) 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.75, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10

𝑐) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.45, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 20

𝑑) 𝜙 = 15 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.60, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 20

𝐷) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.45, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 50

𝑓) 𝜙 = 75 𝑑𝐷𝑔. , 𝑣𝑓 = 0.60, 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 50

Figura 3-42. Variación de los modos de pandeo para fibra corta


3.3.2.3 Comparación entre ambos modelos

Como se hizo en el apartado 3.3.1.3, en este último subapartado se compararán los resultados obtenidos para ambos modelos como función de la fracción en volumen de fibra, tomando la relación de aspecto como parámetro y orientaciones fijas. De forma que se simplifique la visualización de las gráficas se han seleccionado tres relaciones de aspecto características.

En la Tabla 3-19 se recogen los valores de adimensionalización escogidos para las figuras ya mencionadas.








Figura 3-43. Comparación 𝑁𝑥,𝑐𝑐 para varias 𝑟𝑎𝑎𝑎 y para fibra continua con 𝜙 = 0 𝑑𝐷𝑔..

Se puede observar en la Figura 3-43, que corresponde a una orientación de las fibras de 0 grados, que los resultados obtenidos para la carga crítica de pandeo son similares para fibra corta, para todas las relaciones de aspecto y para todas las fracciones en volumen de fibra. Si se compara esto con los resultados para fibra continua, se observa como hasta 𝑣𝑓 = 0.6 los resultados son similares a los obtenidos para fibra corta. Sin embargo, a partir de dicha fracción en volumen de fibra, los resultados difieren, siendo los esfuerzos críticos mayores en el caso de fibra corta.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

vf

Ncr

/Nm

in

Continuarasp=10

rasp=100

rasp=1000


58



0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

vf

Ncr

/Nm

in

Continuarasp=10

rasp=100

rasp=1000

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

vf

Ncr

/Nm

in

Continuarasp=10

rasp=100

rasp=1000




0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

vf

Ncr

/Nm

in

Continuarasp=10

rasp=100

rasp=1000

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

vf

Ncr

/Nm

in

Continuarasp=10

rasp=100

rasp=1000


60

En la Figura 3-44 se han representado los datos para una orientación de 30 grados. En ella, se observa como los resultados para fibra corta con 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10 son los menores para todas las 𝑣𝑓. Para el resto de relaciones de aspecto de fibra corta así como para fibra continua, los resultados son similares, excepto para fracciones de fibra altas, donde los resultados de fibra corta superan a los de fibra continua. Estas tendencias son similares en el caso de la Figura 3-45.

Para terminar con este apartado, si se presta atención a las Figuras 3-46 y 3-47, se puede ver como los resultados para una fracción en volumen inferior a 0.6 son similares en el caso de fibra corta (exceptuando la 𝑟𝑎𝑎𝑎 = 10) y fibra continua. Para fracciones en volumen de fibra superiores a 0.6 las cargas críticas de pandeo obtenidas para fibra corta superan a las obtenidas para fibra continua.

3.4 Estudio de la influencia de la micromecánica en la carga de pandeo de un panel de material compuesto

En esta parte del capítulo se hará uso del modelo numérico del apartado 3.3 para el cálculo de la carga lineal de pandeo, pero en lugar de analizar únicamente una lámina, se han escogido una serie de laminados, en concreto ocho, de los que se podrán extraer diversas conclusiones.

De estos ocho laminados, se ha hecho un especial enfásis en que todos los laminados sean simétricos. La razón del empleo de estos está relacionada principalmente con el comportamiento post-curado del laminado. Para la fabricación del laminado, las láminas, impregnadas en resina, son colocadas unas sobre otras, siguiendo una determinada secuencia de apilado, a temperatura ambiente.

A continuación, el paquete así formado se coloca bajo la acción de un autoclave o placa de platos calientes de forma que se produzca la polimerización de la resina o proceso de curado. En este proceso se genera calor, apareciendo fenómenos de dilatación térmica. Cuando el laminado no es simétrico, estas dilataciones, que son diferentes según la dirección de las fibras o según la dirección ortogonal a ellas, pueden producir la deformación del laminado y la aparición de tensiones internas de origen térmico.

Sin embargo, cuando el laminado es simétrico, se minimizan estas tensiones residuales de origen térmico, no apareciendo deformaciones de conjunto en el laminado.

En la Figura 3-48 se puede apreciar a modo de ejemplo lo que ocurre con dos laminados, uno simétrico y el otro no simétrico, antes y después del proceso de curado.

Figura 3-48.Efecto del proceso de curado en dos laminados.


Otra de las razones de uso de laminados simétricos es que el acoplamiento existente entre esfuerzos axiles y de flexión en placas, desaparecen, de acuerdo a [5] y [11]. En este proyecto, se ha centrado la atención en laminados simétricos debido a estas peculiaridades, pero el empleo de otra serie de laminados para usar los códigos que se presentarán en el apartado de Anexos, sería igualmente válido.

Otro parámetro que definirá a los laminados que aquí se estudian es la longitud de las fibras. Se usarán propiedades mecánicas para las láminas que componen los laminados considerando que están fabricadas de fibra continua, pues de acuerdo a [1], es el tipo de fibra que se suele utilizar en la fabricación de estructuras primarias de aeronaves. En este caso, se va a usar nuevamente el material IM7/8551-7 Epoxy para la realización de los ensayos.

En la Tabla 3-19 se puede ver la orientación de las láminas para cada capa de material compuesto, en grados sexagesimales, de cada uno de los laminados que se han estudiado. El espesor de cada lámina será el mismo y se definirá un poco más adelante. En esta tabla se define únicamente la mitad de cada laminado por ser simétricos todos. Cada laminado estará compuesto de 8 láminas y en la Tabla 3-19 se definen desde la más exterior a la más interior. Para disminuir los grados de libertad de los ensayos, se han elegido cuatro orientaciones preferentes que serán:

𝜙 = {−45, 0, 45, 90} (3–10)

Figura 3-49. Ejemplo de laminado. Figura extraída de [10]

Tabla 3–19.Definición de los laminados bajo estudio.

Laminado 1 2 3 4 5 6 7 8

Capa 1 0 90 -45 45 -45 45 45 45

Capa 2 90 0 0 -45 90 -45 0 0

Capa 3 45 45 90 0 0 90 -45 90

Capa 4 -45 -45 45 90 45 0 90 45

En cuanto a la geometría del problema que se va a estudiar, será la misma que en el apartado 3.3. Se recuerda que en la Figura 3-13 se puede ver un esquema del problema de estudio. En este caso las dimensiones del laminado se presentarán en la Tabla 3-8. El espesor total del laminado (𝐴) será de 2 cm, y el espesor de cada lámina (𝐴1) será de 0.25 cm. En la Tabla 3-20 se encuentran las dimensiones de la geometría.


62

Tabla 3–20. Dimensiones geometría de estudio

Dimensión Valor

𝑎 [𝑐𝑚] 70

𝑏 [𝑐𝑚] 35

𝐴1 [𝑐𝑚] 0.25

𝐴 [𝑐𝑚] 2

En relación con las condiciones de contorno aplicadas en la placa serán las que aparecen en la Tabla 3-9, es decir, todos los bordes de la placa se encuentran simplemente apoyados.

El mallado del laminado será el mismo que el que se usó en el apartado 3.3 para todos los ensayos porque se ha demostrado que proporciona resultados coherentes. Se recuerda que el mallado estaba compuesto de 20 elementos en dirección Y, y 30 elementos en dirección X.

El elemento que se ha elegido para este apartado también ha sido el SHELL 281 con las opciones por defecto, excepto la del almacenamiento de datos, la cual se pone en la opción 2, de forma que se almacenan los datos para la parte más inferior, el plano medio y la parte superior de la lámina. Se ha usado esta opción porque ANSYS la sugiere en el caso de elementos multicapa, como es este el caso.

El método de cálculo para las cargas lineales, ha sido el mismo que en el apartado anterior. Se ha aplicado una carga de compresión por unidad de longitud en dirección X, y mediante el método de Lanczos se ha vuelto a extraer el factor crítico de pandeo que se corresponde con la carga crítica de pandeo, por ser la carga inicial unitaria.

En las Figuras 3-50 y 3-51 se muestra el estado del modelo justo antes de aplicar las cargas, con el espesor de las láminas en el apartado de visualización de ANSYS activado, [/ESHAPE, ON].

Figura 3-50. Modelo de elementos finitos para este apartado.


Figura 3-51. Detalle del laminado.

El estudio de las cargas lineales de pandeo se hará para cada laminado y para cada una de las fracciones de volumen de fibra de las analizadas en el apartado 3.3, pues se hará un estudio con la densidad también.

Tras efectuar todos los ensayos, se recogen en la Tabla 3-21 todas las cargas críticas obtenidas de realizar los ensayos. En la Tabla 3-22 se recogen las densidades obtenidas mediante el modelo de Hopkins y Chamis para cada fracción en volumen de fibra.

Tabla 3–21. Cargas críticas de pandeo para cada laminado y cada fracción en volumen de fibra

𝑣𝑓 𝑁𝑥,𝑐𝑐 �

𝑘𝑁𝑚�

Laminado 1

Laminado 2

Laminado 3

Laminado 4

Laminado 5

Laminado 6

Laminado 7

Laminado 8

0.45 15823 13624 15419 17809 13419 16939 17120 15404

0.60 20766 17863 20087 23285 17471 22187 22362 20182

0.75 26446 22798 25513 29739 22303 28349 28349 25817

0.80 28642 24721 27615 32243 24213 30734 30709 28023

Tabla 3–22. Densidades obtenidas para cada 𝑣𝑓.

𝑣𝑓 𝜌 �𝑘𝑔𝑚3�

0.45 1500.6

0.60 1576.8

0.75 1653

0.80 1678.4


64

De la Tabla 3-21 se pueden extraer resultados para realizar una presentación más visual de dichos datos. En la Figura 3-50 se han representado las cargas críticas de pandeo de cada laminado en función de la fracción en volumen de fibra.

De la misma manera que en muchas otras figuras a lo largo de este capítulo, los datos presentados se han adimensionalizado con el mínimo. En este caso dicho valor mínimo se ha dado para:

𝑁𝑚𝑖𝑚 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑣𝑓 = 0.45, 𝐿𝑎𝑚𝑠𝑛𝑎𝑑𝑐 2� (3–11)

En dicha figura se puede observar la misma tendencia para todos los laminados con la fracción en volumen de fibra. A mayor 𝑣𝑓 mayor carga crítica de pandeo. De esta figura también se pueden sacar conclusiones interesantes de cara a la orientación y posición preferente de las láminas en la secuencia de apilamiento.

Por ejemplo, si se presta atención a los laminados que han dado valores máximos, como son los Laminados 4,6 y 7, la orientación de las láminas más exteriores era de 45 grados. Esto hace pensar que para favorecer el comportamiento a pandeo de una estructura con las mismas condiciones de contorno en carga y desplazamientos de ésta lo ideal sería colocar láminas a +45 grados en la parte más exterior del laminado. Probablemente si se aumenta el espesor de dicha capa exterior, el comportamiento a pandeo también mejore.

Otra conclusión está relacionada con láminas orientadas a 0 y 90 grados en las zonas más exteriores. Si se observan los resultados obtenidos para los Laminados 1 y 2, la diferencia entre ellos proviene de la posición relativa que tienen las láminas a 0 y 90 grados en ellos. En el Laminado 1 se obtienen cargas a pandeo superiores que en el Laminado 2, por tanto poner láminas exteriores a 0 grados dará una mayor resistencia a pandeo que si se orientan a 90 grados.

Figura 3-52.Comparación de esfuerzos para varios laminados en función de 𝑣𝑓.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

1

1.5

2

2.5

vf

Nx,

cr/N

min

Lam. 1Lam. 2Lam. 3Lam. 4Lam. 5Lam. 6Lam. 7Lam. 8


En relación con los valores máximos de nuevo, si se comparan la secuencia de apilamiento de los Laminados 4 y 6, se observa que bajo la capa de + 45 grados más exterior se ha colocado una de -45 grados. Esto parece que aumenta también la resistencia a pandeo de una estructura de este tipo. Se puede concluir que colocar subgrupos de láminas de este tipo, [+45,-45], en las zonas más exteriores del laminado, mejoran el comportamiento a pandeo.

Siguiendo con la comparación de los Laminados 4 y 6, se observa que para el primero de ellos se obtienen resistencias mayores que para el segundo. La diferencia proviene de la secuencia de apilamiento. En el Laminado 4 se tienen en las capas más internas subgrupos de láminas con orientaciones [0, 90], mientras que en el Laminado 6 el orden es a la inversa en las capas más internas. En consecuencia, de acuerdo a estas evidencias, se puede decir que para aumentar la resistencia a pandeo de un laminado el hecho de poner subgrupos de láminas a [0,90] en las zonas más internas mejoran el comportamiento frente a inestabilidades.

Si se analizan los modos de pandeo de la estructura para cada laminado, queda patente que el número de semiondas de los modos de pandeo no varían con la secuencia de apilamiento. Se ha observado esto en ANSYS. A continuación se presentarán una serie de figuras en las que se podrán ver una perspectiva de los modos para algunos laminados y los desplazamientos en dirección Z de los modos para otros laminados, pudiéndose observar que, efectivamente, no existe variación en el número de semiondas.

Figura 3-53. Deformadas para el Laminado 1 (arriba) y para el Laminado 8 (abajo).


66

Se puede apreciar en las Figuras 3-53 y 3-54 cómo los modos de pandeo son similares en cuanto al número de semiondas, no así en la forma de dichos modos como cabía esperar. Además tampoco existe dependencia de los modos con la fracción en volumen de fibra.

𝑎) 𝐿𝑎𝑚𝑠𝑛𝑎𝑑𝑐 1; 𝑣𝑓 = 0.45

𝑁𝑥,𝑐𝑐 = 15823 kN/m

𝑏) 𝐿𝑎𝑚𝑠𝑛𝑎𝑑𝑐 3; 𝑣𝑓 = 0.45

𝑁𝑥,𝑐𝑐 = 15419 kN/m

𝑐) 𝐿𝑎𝑚𝑠𝑛𝑎𝑑𝑐 4; 𝑣𝑓 = 0.45

𝑁𝑥,𝑐𝑐 = 17809 kN/m

𝑑) 𝐿𝑎𝑚𝑠𝑛𝑎𝑑𝑐 5; 𝑣𝑓 = 0.45

𝑁𝑥,𝑐𝑐 = 13419 kN/m

Figura 3-54. Modos de pandeo para varios laminados.

67

4 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN PANEL RIGIDIZADO DE MATERIAL COMPUESTO DE UN

AIRBUS A-380 4.1 Introducción

l objetivo de este apartado es el estudio de la estabilidad de un panel rigidizado perteneciente a una estructura primaria de un avión real como es el panel superior del cajón central de la sección 21 del modelo de avión A380, fabricado en material compuesto.

4.1.1 Datos básicos de la aeronave de estudio

Como datos puramente informativos, el avión elegido para analizar su estructura será el Airbus A-380, el avión comercial más grande del mundo en la actualidad con una capacidad máxima de 853 pasajeros. Se trata de la primera aeronave a reacción con dos cubiertas a lo largo de todo su fuselaje aumentando de forma considerable el área útil frente a otras aeronaves.

Figura 4-1. Airbus A380. Figura extraída de Google Inc.

Un 40 por ciento de la estructura y de los elementos de este avión están fabricados con materiales compues de fibra de carbono y materiales metálicos avanzados. Además, la bóveda superior del fuselaje es de un nuevo material llamado Glare, una mezcla de aluminio y fibras de cristal impregnadas en resina que es un 10 por ciento menos pesado que el aluminio tradicional pero mucho más resistente.

Sus alas, fabricadas de fibra de carbono y aluminio, soportan cuatro motores turbofán en sus respectivas góndolas que pueden ser del tipo Trent 900 de la compañía británica Rolls-Royce, o del tipo GP 7200 de Engine Alliance, una alianza de General Electric y Pratt and Whitney.

4.1.2 Metodología empleada en este capítulo

En primer lugar se ofrecerá una descripción de la geometría del avión, de la situación de la estructura que se pretende a analizar, y las cargas a las que está sometida dicha estructura.

A continuación se realizará un estudio de las distintas cargas que el panel debe soportar. Con el cálculo de las mismas se obtendrá el caso más restrictivo para proceder al estudio de la estabilidad frente a este tipo de

E

Estudio de la estabilidad de un panel rigidizado de material compuesto de un Airbus A-380

68

cargas. Para ello se realiza un análisis de varias maniobras, tanto simétricas como asimétricas, de acuerdo a la norma CS-25, y se determinará la más restrictiva.

Para la realización del dimensionado estructural del panel se estimarán inicialmente unas medidas para el panel por dos motivos. El primero se debe a la falta de datos por parte del fabricante para una parte de la aeronave tan específica. La segunda y no menos importante es que el objetivo de este proyecto no es el dimensionamiento de todo el panel, pero sí estudiar mediante un análisis micromecánico cuál es el laminado que se debe elegir, de acuerdo a las cargas a las que se ve sometido el panel.

El análisis de los laminados se hará mediante un modelo numérico de elementos finitos de la estructura.

Finalmente se comparan los resultados obtenidos para los laminados teniendo en cuenta las cargas críticas de cada uno, y un parámetro que se definirá posteriormente con el que se tenga en cuenta la resistencia frente al peso.

4.2 Descripción de la geometría y cargas del cajón n este apartado se describirá geometría del A-380 desde lo más general hasta llegar a la zona de la estructura que se pretende estudiar. En la Figura 4-2 se pueden ver las distancias y longitudes características del A-380. Si se presta atención a la zona del encastre del ala, se puede ver cómo la

longitud del fuselaje es de 72.57 m y la cuerda del ala en la raíz es de 17.67 m, lo cual puede dar una idea de la magnitud real de esta aeronave.

Figura 4-2. Forma en planta del Airbus A-380. Figura extraída de Google Inc.

E


En la Figura 4-3 se puede ver una perspectiva estallada de las estructuras del A-380. Se ha señalado con una elipse negra la zona en la que se encuentra el panel motivo de estudio.

Figura 4-3.”Cutaway” del A-380. Figura extraída de Google Inc.

Si se continúa la aproximación hacia la estructura motivo de estudio, debe entrar en juego la Figura 4-3, en la que se representa un cajón de torsión tipo. Se puede observar como el cajón de torsión se puede asemejar a un prisma rectangular. Normalmente la zona del cajón que se encuentra a compresión, es la zona del extradós, estando la zona del intradós sometida a tracción en la mayoría de maniobras. En este proyecto por tanto, se centrará la atención en paneles rigidizados, un ejemplo de los mismos se puede ver también en la Figura 4-4.

Figura 4-4. Cajón central del ala. Figura extraída de [10].


70

Figura 4-5. Panel rigidizado. Figura extraída de [10].

En la Figura 4-5, se puede ver que el extradós del cajón tiene divisiones en la dirección de la envergadura, cada división se marca con una costilla (“rib” en la Figura 4-5). La geometría de estudio, por tanto, se reducirá a un panel rigidizado del extradós del cajón central del avión situado entre dos costillas y el larguero anterior y posterior del ala.

A continuación se establecerán los datos numéricos que definirán la estructura hasta cierto punto. Hay que mencionar que la mayoría de estos datos han sido obtenidos del fabricante, sin embargo, algunos han debido ser estimados de acuerdo a parámetros encontrados en la bibliografía.

En la Tabla 4-1 se pueden apreciar las distintas masas del A380 definidas de acuerdo a la norma mediante siglas. En el apartado de Notación al inicio de este proyecto se describen en inglés el significado de dichas siglas.

Tabla 4–1. Masas del A380

Tipo de masas Valor

𝑀𝑀𝑀𝑀 [𝑀𝑐𝑛] 560

𝑀𝐿𝑀 [𝑀𝑐𝑛] 386

𝑀𝑀𝑀𝑀 [𝑀𝑐𝑛] 361

𝑀𝐸𝑀 [𝑀𝑐𝑛] 270.015

𝑀𝐺𝐿 [𝑀𝑐𝑛] 90.985

𝑀𝑎𝑐𝑎 𝑑𝐷 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑐𝐴𝑐𝑟 [𝑀𝑐𝑛] 6.271

Es importante también definir algunas de las dimensiones representativas de la aeronave, las cuales se presentan en la Tabla 4-2. Nuevamente, a la vista de los resultados queda patente la gran magnitud de esta aeronave.


Tabla 4–2. Dimensiones características del A-380.

Magnitud Valor

Envergadura [𝑚] 79.60

Cuerda en la raíz (𝑐𝑐) [𝑚] 17.70

Cuerda en la punta (𝑐𝑡) [𝑚] 3.98

Alargamiento 7.5

Superficie alar (𝑆)[𝑚2] 845

Longitud total [𝑚] 72.725

Longitud del fuselaje [𝑚] 70.40

Máxima anchura del fuselaje [𝑚] 7.14

Superficie del VTP (𝑆𝑣)[𝑚2] 122.3

Distancia entre motores interiores (𝑑1) [𝑚] 29.60

Distancia entre motores exteriores (𝑑2) [𝑚] 51.40

Para la estimación de cargas en apartados posteriores también serán de utilidad los datos operativos de la aeronave, los cuales se presentan en la Tabla 4-3.

Tabla 4–3. Datos operativos del A-380

Magnitud Valor

Velocidad máxima Mach 0.89

Altitud de crucero [𝑚] 10668

Techo[𝑚] 13100

Una vez presentados todos estos datos generales, es interesante definir los datos geométricos del cajón de torsión que se va a simular numéricamente.

En la Figura 4-6, se ha representado un esquema del cajón de torsión que se va a considerar. La dimensión 𝐿 es la distancia entre dos costillas consecutivas de las que forman el cajón. El fabricante no da datos sobre esta dimensión, pues es un dato de diseño muy específico. En [10] se dice que se la posición de las costillas se hace en relación a la rigidez que han de tener los paneles frente a la inestabilidad por compresión, por lo que sería un grado de libertad en el diseño de alas. En [10] se dice que el larguero anterior se coloca aproximadamente entre el 12 y el 15 por ciento del borde de ataque del ala. Asumiendo estos mismos porcentajes para las distancias entre costillas, se estimará en este proyecto la distancia 𝐿 como un 13 por ciento de la cuerda en la raíz.

La dimensión ℎ, es la altura del cajón de torsión. En la realidad esta altura varía a lo largo del perfil alar, pues el cajón tiene la forma del perfil del ala, como se puede apreciar en la Figura 4-6, pero para este proyecto se va a suponer constante, y se estimará como el espesor máximo del perfil del ala en la sección del encastre. Investigando el perfil alar que usa el Airbus A-380 se ha determinado que es el NACA SC(2)-0606 y que tiene un espesor máximo del 6 por ciento de la cuerda de dicho perfil.


72

Finalmente, la dimensión 𝑤, en la dirección del fuselaje, es la distancia entre el larguero anterior (“front spar” en la Figura 4-6) y el larguero posterior del ala (“Rear spar” en la Figura 4-6). Como no hay datos por parte del fabricante para este tipo de dimensión, se ha tenido que estimar dicha medida. En [10] se dan algunas directrices sobre el diseño de alas, y se dice que la distancia entre ambos largueros debe estar comprendida entre un 50 y un 60 por ciento de la cuerda de la sección. Para este caso se usará la dimensión de la cuerda en la raíz.

Figura 4-6. Esquema del cajón central (arriba). Perfil alar de un cajón de torsión real (abajo)

En la Tabla 4-4 se presentan las dimensiones del cajón de torsión que se han escogido para este proyecto.

Tabla 4–4. Dimensiones del cajón de torsión

Magnitud Valor

𝑤 [𝑚] 10.74

ℎ [𝑚] 1.062

𝐿 [𝑚] 1.3

De acuerdo a la norma CS-25 para la determinación de cargas hay que considerar tres maniobras, cada una de las cuales provocarán una serie de solicitaciones en la estructura. Estas cargas se traducen para el caso del ala en momentos de flexión y momentos de torsión. En la Figura 4-9 se puede ver el sentido de giro definido como positivo para los momentos que actúan sobre la aeronave alrededor del eje X del sistema de referencia definido en el centro de gravedad de la misma( momento 𝐿 en la Figura 4-9), y alrededor del eje Y( momento 𝑀 en la Figura 4-9). Estos momentos actuantes, coincidirán en sentido con los momentos de flexión (𝑀𝑓) y los de torsión (𝑀𝑇), respectivamente


Las distintas maniobras consideradas en la norma CS-25 crean distintos momentos de flexión y torsión, que afectan de forma diferente a los distintos elementos del cajón de torsión. El intradós del cajón de torsión, en general, estará sometido a esfuerzos de tracción por lo que no procede su estudio en este proyecto. El panel del extradós del cajón de torsión en cambio, sufre cargas a compresión en la mayoría de maniobras.

Para definir por completo el panel que se va a analizar faltan aún algunas dimensiones por definir, pero se hará en el apartado 4.4 de este capítulo conforme se vaya creando el modelo numérico.

4.3 Cálculo de las cargas dimensionantes. Aplicación CS-25 Subpart C n este apartado, se estimarán de forma aproximada las cargas que ve una aeronave. En primer lugar se explicará brevemente qué es una envolvente de maniobra. Posteriormente se describirá cuáles son los tipos de maniobras que existen y se seleccionarán varias, calculando las cargas que provocan dichas

maniobras y analizando cuál de las maniobras elegidas es la crítica en cuanto a solicitaciones estructurales.

4.3.1 Envolvente de maniobra

La norma CS-25, en la Subpart C, donde se especifican las normas relativas al cálculo estructural de aviones de gran tamaño, establece que para la obtención de la carga más restrictiva es necesario realizar un estudio de las cargas críticas para una serie de maniobras de la aeronave comprendidas en la envolvente de maniobra de ésta.

Hablar de una envolvente de maniobra implica también hablar de factores de carga, o 𝑛. El factor de carga se puede aproximar como la relación entre la sustentación y el peso. Su definición exacta indica que es el cociente entre la fuerza aerodinámica normal a una línea de referencia del avión, dividida por la masa del mismo. La aproximación antes mencionada es cierta si la aeronave se mueve a ángulos de ataque pequeños. En la Figura 4-8 se puede ver una configuración típica de crucero donde el factor de carga es igual a la unidad.

Figura 4-7. Configuración de equilibrio en crucero. Figura extraída de [10].

𝑛 =𝑀𝑢𝐷𝑟𝑧𝑎 𝑎𝐷𝑟𝑐𝑑𝑠𝑛á𝑚𝑠𝑐𝑎 𝑛𝑐𝑟𝑚𝑎𝑙

𝐺𝐷𝑐𝑐 𝑑𝐷 𝑙𝑎 𝑎𝐷𝑟𝑐𝑛𝑎𝑣𝐷=𝑁𝑀

≅𝑆𝑢𝑐𝐴𝐷𝑛𝐴𝑎𝑐𝑠ó𝑛

𝐺𝐷𝑐𝑐=𝐿𝑀

(4–1)

En la envolvente de maniobra también entra en juego la velocidad aerodinámica equivalente, o también Equivalent Air Speed (EAS).

La envolvente de maniobra pues, es una región del plano 𝑉(𝐸𝐴𝑆) − 𝑛. El cálculo de una envolvente de maniobra es la determinación de la región de este plano en la que el avión podrá moverse sin sufrir daños estructurales.

Se puede comprobar que en la mayoría de las condiciones de vuelo el factor de carga no es igual a la unidad, con lo que el avión debe generar una sustentación superior o inferior al peso, lo que genera unos esfuerzos que el avión debe ser capaz de soportar. Además, la velocidad es un factor determinante en la generación de estos esfuerzos.

E


74

Para calcular una estructura, se deben establecer los factores de carga y las velocidades de proyecto (definidas en el apartado CS-25.335 de la norma) de acuerdo con lo que se establecen en las normas.

Para que un avión se pueda certificar debe de resistir todas las combinaciones de factores de carga y velocidades que estén dentro del diagrama de maniobra, para todos los pesos y en el rango de altura en los que puede operar el avión.

Cada avión tiene un diagrama de maniobra particular y depende de cuatro factores principales:

1. El peso del avión

2. La configuración del avión

3. La altura de vuelo

4. La simetría de las cargas

Un cambio en cualquiera de estos valores significan un diagrama de maniobra diferente y por lo tanto un cambio en los límites operativos. En la Figura 4-9 se puede apreciar una envolvente de maniobra.

Figura 4-8.Ejemplos de envolvente de maniobra. Figura extraída de [10].


4.3.2 Tipos de maniobras

Las maniobras mencionadas en la norma se pueden clasificar como sigue:

• Maniobras simétricas 1. Maniobra simétrica en condiciones de equilibrio a velocidad VC. 2. Maniobras simétricas con aceleración de cabeceo:

2.1.1. Máxima deflexión del timón de profundidad a velocidad VA. 2.1.2. Maniobra contrarrestada entre VA y VD.

• Maniobras de balance 1. Maniobra de balance estacionaria a velocidad VA, hasta velocidad angular constante p. 2. Maniobra de máxima deflexión de los alerones a velocidad VA, hasta velocidad angular

constante p. 3. Maniobra de deflexión de los alerones a velocidad VC, hasta velocidad angular constante

p. 4. Maniobra de deflexión de los alerones a velocidad VD, hasta velocidad angular constante

mayor o igual a p/3.

• Maniobras de guiñada

En el análisis que aquí se realiza, se ha seleccionado una de estas maniobras, en concreto:

1. Maniobra simétrica en condiciones de equilibrio a velocidad VC.

Se ha escogido esta maniobra porque no tiene en cuenta efectos de inercia de la aeronave, ni efectos provocados por la asimetría del movimiento. Todo ello requeriría de un análisis de las cargas mucho más avanzado, y no es ese el objetivo de este escrito. Para efectuar los cálculos de cargas habrá que tener en cuenta un sistema de referencia, el cual se representa en la Figura 4-9. Recordar que los momentos de flexión positivos ( 𝑀𝑓) coinciden con el momento 𝐿 de la Figura 4-9, y los momentos torsores positivos ( 𝑀𝑇) coinciden con el momento 𝑀 de la misma figura.

Figura 4-9.Sistema de referencia ligado al centro de gravedad de la aeronave. Figura extraída de [10].


76

4.3.3 Maniobra simétrica en condiciones de equilibrio a velocidad VC

Para el estudio que aquí se desarrolla se considera un vuelo simétrico con maniobra sin aceleración de cabeceo.

Para el cálculo de las cargas asociadas a esta maniobra se ha tenido en consideración el apartado de la norma CS-25.331.

Esta maniobra se realiza a velocidad de crucero, VC, y con factor de carga máximo, nmáx. Se considera, además, que el peso de la aeronave se corresponde con MZFW (“Maximum Zero Fuel Weight”), ya que será el caso más desfavorable, debido a que el peso del combustible generaría un momento compensador que contrarrestaría el producido por el peso estructural del ala y de los motores.

4.3.3.1 Cálculo del factor de carga máximo

Teniendo en cuenta la norma CS 25.337 b, se tiene que el factor de carga se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión:

𝑛 = 2.1 +24000

10000 + 𝑀 (4–2)

Siendo W el peso de la aeronave en la configuración MZFW en unidades de libras. De la Tabla 4-1, habrá que pasar a unidades imperiales la MZFW. Sabiendo que:

1 𝑙𝑏 = 0.453 𝑘𝑔 (4–3)

Se puede calcular la MZFW en libras, quedando finalmente

𝑀𝑀𝑀𝑀 = 795868.71 lb (4–4)

Y el factor de carga dado por la expresión (4-2),

𝑛𝑚á𝑥 = 2.13 (4–5)

Sin embargo, la norma especifica que el valor del factor de carga máximo se debe encontrar en el rango 2.5-3.8, luego se toma el valor más cercano calculado mediante (4-2), quedando finalmente:

𝑛𝑚á𝑥 = 2.5 (4–6)

4.3.3.2 Cálculo de las cargas

Las cargas bajo consideración son las estacionarias, siendo éstas las estructurales y las aerodinámicas.

En cuanto a las cargas estructurales, se consideran los momentos generados en el encastre debido tanto al peso de las alas como al peso de los motores, mientras que para las cargas aerodinámicas se tiene en cuenta el momento aerodinámico.

Para la realización del cálculo de las cargas, tanto estructurales como aerodinámicas, es necesario definir en primer lugar tanto la distribución de la masa a lo largo de la envergadura, como la distribución de la cuerda.

La distribución de la masa se estimará mediante un modelo de empírico encontrado en la literatura. La distribución de la cuerda del ala para cada sección se puede definir de manera analítica.

• Distribución de la cuerda

Un esquema de la forma en planta del ala de la aeronave se puede apreciar en la Figura 4-11.


Figura 4-10. Forma en planta del ala del A380.

A partir de la figura anterior, teniendo en cuenta las dimensiones del cajón central y del ala del avión, se puede definir la distribución de cuerda a lo largo de la envergadura, 𝑐(𝑦), como la siguiente función a trozos:

𝑐(𝑦) = �𝑐𝑐 𝑦 < 3.57 𝑚

𝑐𝑐 −𝑐𝑐 − 𝑐𝑡

3.57 · 39.8(𝑦 − 3.57) 3.57 𝑚 < 𝑦 < 39.8 𝑚 (4–7)

Sustituyendo los valores de las cuerdas en la raíz y en la punta del ala, así como de la envergadura, se obtiene que la cuerda tome la siguiente forma:

𝑐(𝑦) = � 17.7 𝑦 < 3.57 𝑚19.0961 − 0.391081 𝑦 3.57 𝑚 < 𝑦 < 39.8 𝑚 (4–8)

Para simplificar los cálculos de las cargas que soportará la estructura (momentos flectores y torsores) se realizará el siguiente cambio de variables para definir la segunda parte de la función a trozos:

𝑦′ = 𝑦 − 3.57 (4–9)

Por tanto, se obtiene que:

𝑐(𝑦′) = 17.7 − 0.391081 𝑦 ′ 0 𝑚 < 𝑦 < 36.23 𝑚 (4–10)


78

• Distribución de la masa

Respecto a la distribución de masa, 𝑚(𝑦), se supondrá que mantiene una forma del tipo:

𝑚(𝑦) = 𝐾 𝑐(𝑦)1.2 (4–11)

Que liga la distribución de masas con la de la cuerda y en la que se incluye un parámetro K a determinar. Para hallar dicho parámetro se usará el dato de la masa alar de la aeronave teniendo en cuenta que:

𝑀𝑎𝑎𝑎 =𝑀𝑎𝑎𝑎𝑐

2= � 𝑚(𝑦)

𝑏/2

0𝑑𝑦 = � 𝐾 𝑐(𝑦)1.2

𝑏/2

0𝑑𝑦 (4–12)

Por tanto, conocidas la masa de un ala, la distribución de cuerda y la semi-envergadura se puede determinar K. A continuación se recogen los valores de dichos parámetros:

Semi-envergadura:

𝑏2

= 39.8 𝑚 (4–13)

Distribución de la cuerda:

𝑐(𝑦) = � 17.7 𝑦 < 3.57 𝑚19.0961 − 0.391081 𝑦 3.57 𝑚 < 𝑦 < 39.8 𝑚 (4–14)

Masa de un ala: Dado que el valor de la masa alar no es proporcionado por el fabricante, se supondrá que dicha masa corresponderá al 30% del peso de operación en vacío de la aeronave (OEW, “Operating Empty Weight”); por tanto:

𝑀𝑎𝑎𝑎 =12∙ 0.3 ∙ 𝑀𝐸𝑀 =

12∙ 0.3 ∙ 270000𝑘𝑔 = 40500𝑘𝑔 (4–15)

Definidos estos parámetros se sustituye en la expresión de la distribución de masa obteniéndose:

40500 = 𝐾 �� 17.71.2𝑑𝑦3.57

0+ � (19.0961 − 0.3910781𝑦)1.2𝑑𝑦

39.8

3.57� = 740.5287 ∙ 𝐾

→ 𝐾 = 54.69

(4–16)

Y la distribución de masa queda:

𝑚(𝑦) = � 54.69 · 17.71.2 𝑦 < 3.57 𝑚54.69 · (19.0961 − 0.391081 𝑦)1.2 3.57 𝑚 < 𝑦 < 39.8 𝑚

(4–17)


4.3.3.2.1 Cargas estructurales

En el cálculo de las cargas estructurales se tendrán en cuenta los momentos flectores y torsores que se producen en la sección del encastre, asociados a la distribución de la masa alar a lo largo de la envergadura así como a la masa de los motores. Nótese que las cargas debidas al combustible no se considerarán, ya que se despreciará el fuel de reserva.

• Momentos debido a la distribución de la masa alar

En primer lugar se procede a la obtención del momento flector, cuya expresión viene dada por:

𝑀𝑓,𝑚𝑎𝑎𝑎 = 𝑔� 𝐾𝑐(𝑦′)1.2𝑦′𝑏2−3.57

0𝑑𝑦′ = 𝑔� 𝐾(17.7 − 0.391081 ∙ 𝑦′)1.2𝑦′𝑑𝑦′

36.23

0 (4–18)

𝑀𝑓,𝑚𝑎𝑎𝑎 = 2.9062 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 (4–19)

Las siguientes hipótesis permitirán realizar el cálculo del momento torsor de manera simplificada:

- La línea que une los centros de gravedad del ala pasa por el 40% de la cuerda en cada sección. - La línea que une los centros de torsión pasa por el 50% de la cuerda en cada sección.

Como las fuerzas producidas por la masa distribuida se supone aplicada en la línea de centros de gravedad y los momentos torsores se calculan respecto de la línea que une los centros de torsión, ocurre que la línea de unión de los centros de gravedad queda adelantada un 10% respecto de la línea de unión de los centros de torsión. Se puede definir por tanto el momento torsor en el encastre creado por la masa distribuida, si se toma como sistema de referencia para el cálculo el mostrado en la Figura 4-10 , como:

𝑀𝑇,𝑚𝑎𝑎𝑎 = 𝑔� 𝐾𝑐(𝑦′)1.2�0.1𝑐(𝑦′) + 𝑥(𝑦′)�𝑏2−3.57

0𝑑𝑦′ (4–20)

En la expresión (4-20) queda un parámetro por calcular y es la ecuación de la línea de los centros de torsión 𝑥(𝑦′). Para ello debe determinarse la flecha del ala en el 50 por ciento de la cuerda, y para calcular ésta, se ha obtenido una expresión que proporciona la flecha en función de la flecha en el borde de ataque del ala de la posición en porcentaje respecto de la cuerda. Dicha expresión es la siguiente:

Λ𝑥/𝑐 = atan � 𝑏2 𝐴𝑎𝑛𝛬𝐿𝐿 + 𝑥𝑐 𝑐𝑡 − 𝑥𝑐 𝑐𝑐

𝑏/2� (4–21)

Donde:

• Λ𝑥/𝑐: Flecha en la posición de la cuerda 𝑥/𝑐

• Λ𝐿𝐿: Flecha en el borde de ataque

• 𝑏/2: Semi-envergadura del ala

• 𝑐𝑡 𝑦 𝑐𝑐: Cuerda en la punta del ala y en la raíz, respectivamente


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Figura 4-11. Sistema de referencia auxiliar con origen en el centro de torsores.

La flecha en el borde de ataque del ala se puede calcular aplicando fórmulas básicas de trigonometría en el con las medidas del avión, dando un valor de aproximadamente 53 grados. Aplicando (4-21) para la posición relativa al 50 por ciento de la cuerda, es decir, 𝑥

𝑐= 0.5, se tiene que:

Λ𝑥𝑐=0.5 = 29.92 𝑑𝐷𝑔 (4–22)

Finalmente, para obtener 𝑥(𝑦′), se sigue la fórmula:

𝑥(𝑦′) = − tan �Λ𝑥𝑐=0.5� 𝑦

′ (4–23)

𝑥(𝑦′) = −0.5755 ∙ 𝑦′ (4–24)

Con lo que el momento torsor en el encastre es:

𝑀𝑇,𝑚𝑎𝑎𝑎 = 9.81� 𝐾36.23

0𝑐(𝑦′)1.2(0.1𝑐(𝑦′) − 0.5755 ∙ 𝑦′)𝑑𝑦′ (4–25)

𝑀𝑇,𝑚𝑎𝑎𝑎 = −2.1779 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 (4–26)

• Momentos debido a la masa concentrada en los motores

Para el cálculo de los momentos flectores y torsores generados por los motores se supondrá a efectos de cálculo que son masas concentradas.

De esta forma, el momento flector se puede expresar en función de la masa de los mismos así como de las distancias relativas entre ellos:

𝑀𝑓,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 = 𝑔 ∙ 𝑚𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐 ∙ �−3.57 +𝑑12− 3.57 +

𝑑22� (4–27)


Teniendo en cuenta la colocación de los motores, los valores d1 y d2 se pueden observar en la Figura 4-13:

Figura 4-12. Esquema de la planta motora.

En la Figura 4-13 se puede ver que aparece el peso de cada motor, 𝑀𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐 , que se calcula como la masaa de cada motor, 𝑚𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐 (dato proporcionado por el fabricante) por la gravedad.

Sustituyendo se obtiene que:

𝑀𝑓,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 = 𝑔 ∙ 𝑚𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐 ∙ �−3.57 +29.6

2− 3.57 +

51.42� (4–28)

𝑀𝑓,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 = 2.094 𝑀𝑁 · 𝑚 (4–29)

En cuanto al momento torsor, para su cálculo será necesario definir primero la ecuación del borde de ataque del ala respecto a unos ejes con origen en el centro de torsión en el encastre de ésta (ver Figura 4-12).

Para determinar dicha recta, se calcularán dos puntos:

𝑦 = 0 𝑚 → 𝑥 = 8.85 𝑚

𝑦 = 36.23 𝑚 → 𝑥 = (8.85 − 27.3) = −18.45 𝑚 (4–30)

Conociendo estos dos puntos se puede calcular la ecuación que define el borde de ataque en el sistema de referencia representado en la Figura 4-12, 𝑥𝐿𝐿(𝑦). Finalmente queda la expresión:

𝑥𝐿𝐿(𝑦) = 8.85 − 0.7535𝑦 (4–31)

Utilizando esta relación se obtiene la expresión del momento torsor en función del centro de gravedad de los motores respecto al borde de ataque del ala.

𝑀𝑇,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 = 𝑔 ∙ 𝑚𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐 ∙ ��𝑥𝐿𝐿(𝑦𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐1) + 𝑥𝐶𝐶,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐� + �𝑥𝐿𝐿(𝑦𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐2 + 𝑥𝐶𝐶,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐�� (4–32)


82

𝑀𝑇,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 = 𝑔 ∙ 𝑚𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐

∙ ��8.85 − 0.7535 �−3.57 +𝑑12� + 𝑥𝐶𝐶,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐�

+ �8.85 − 0.7535 �−3.57 +𝑑22� + 𝑥𝐶𝐶,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐��

(4–33)

El valor del centro de gravedad de los motores en ejes locales se ha supuesto 𝑥𝐶𝐶,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐 = 2.5𝑚 por delante de la línea del borde de ataque, por falta de datos por parte del fabricante. El resultado final para este momento es:

𝑀𝑇,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 = −149.91 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (4–34)

4.3.3.2.2 Cargas aerodinamicas

En este apartado se estimarán las cargas aerodinámicas debidas al momento torsor en el centro aerodinámico y a los momentos asociados a las fuerzas concentradas en este punto.

• Momento asociado al momento torsor en el centro aerodinámico del ala

El momento torsor puede expresarse de la siguiente forma:

𝑑𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐1 =12𝜌0𝑉𝐿𝐸𝐸2 𝑐2𝑐𝑚𝑑𝑦 (4–35)

Donde:

• 𝜌0: Densidad del aire a nivel del mar

• 𝑉𝐿𝐸𝐸: Velocidad EAS en la condición de vuelo considerada

• 𝑐: Cuerda en la sección considerada

• 𝑐𝑚 : Coeficiente de momentos del perfil aerodinámico en la sección considerada

Para proceder al cálculo será necesario determinar la velocidad EAS (“Equivalent Air Speed”) asociada a la altitud de crucero y conocer el valor del coeficiente de momentos del perfil. Para el perfil en estudio es de 𝑐𝑚 = −0.128 para condiciones de crucero, y se supondrá constante para todas las secciones a lo largo de la envergadura.

Por otro lado, para obtener la velocidad EAS será necesario partir de la velocidad TAS (“True Air Speed”). Sabiendo que la altura de crucero es de 10668 m y que a esa altura se vuela con Mach 0.89. La velocidad verdadera o TAS se define como:

𝑉𝐶,𝑇𝐸𝐸 = 𝑀 · 𝑎ℎ=10668𝑚 (4–36)

Donde:

• 𝑉𝑐,𝑇𝐸𝐸: Velocidad definida en la norma (CS-25.335) para esta maniobra

• 𝑀: Mach de vuelo en la condición de vuelo considerada

• 𝑎ℎ=10668𝑚: Velocidad del sonido a la altura de crucero


La velocidad del sonido a esa altura está tabulada en multitud de referencias, e incluso en la norma por lo que ya se tienen todos los datos para calcular esta velocidad.

𝑉𝐶,𝑇𝐸𝐸 = 𝑀 · 𝑎ℎ=10668𝑚 = 0.89 ∙ 296.29𝑚 𝑐⁄ = 263.7𝑚 𝑐⁄ (4–37)

Conocida esta velocidad hay que transformarla a velocidad equivalente sabiendo la relación que existe entre ambas velocidades, también proporcionada por la norma. Para este cálculo también hace falta conoce la densidad del aire a la altura de crucero, 𝜌. La relación existente entre ambas velocidades es la siguiente:

𝑉𝐶,𝐿𝐸𝐸 = 𝑉𝐶,𝑇𝐸𝐸�𝜌𝜌0

𝑉𝐶,𝐿𝐸𝐸 = 0.5565 ∙ 263.7𝑚 𝑐⁄ = 212.72𝑚 𝑐⁄

(4–38)

Sustituyendo los valores obtenidos en la expresión (4-35) e integrando a lo largo de la semi-envergadura, se obtiene un momento torsor:

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐1 = −12𝜌0𝑉𝐿𝐸𝐸2 𝑐𝑚 � 𝑐(𝑦′)2𝑑𝑦′

𝑏2−3.57

0= −16.0634 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 (4–39)

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐1 = −16.0634 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 (4–40)

• Momentos asociados a las fuerzas concentradas en el centro aerodinámico

En este subapartado se calcularán tanto el momento flector como el torsor asociados a las fuerzas aerodinámicas. Para ello, es necesario definir en primer lugar la distribución de sustentación a lo largo de la envergadura (ver tabla 4-5) así como la sustentación total del ala que viene dada por la siguiente expresión:

𝐿 = 1.05 ∙ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝑔 ∙ 𝑛𝑚𝑎𝑥 (4–41)

Donde se ha considerado que el ala genera el 105% de la sustentación del avión y MZFW (“Maximun Zero Fuel Weight”) es el peso máximo sin combustible de la aeronave. Sustituyendo los valores pertinentes se obtiene una sustentación total de:

𝐿 = 9.2962 𝑀𝑁 (4–42)

Tabla 4–5. Distribución de sustentación elíptica

𝒚 (𝒃 𝟐⁄ )⁄ 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

𝒍(𝒚) 𝑳⁄ ∙ 𝟏𝟎𝟐 3.00 2.99 2.94 2.86 2.75 2.60 2.40 2.14 1.80 1.30

La Tabla 4-5, es la distribución de sustentación elíptica, la cual es una distribución teórica que se asemeja mucho a una real. Esto se puede comprobar en la Figura 4-14, donde se puede ver una distribución real de sustentación a modo de ejemplo. Se puede ver cómo se parece a una elipse, por tanto, como no se tienen datos reales de la sustentación del A-380, parece una hipótesis razonable el hecho de usar esta distribución elíptica.


84

Figura 4-13. Distribución de sustentación real. Figura extraída de [10].

Dado que los datos se expresan de forma tabulada y no de forma continua habrá que discretizar las ecuaciones relativas a los momentos debidas a las fuerzas concentradas. La expresión del momento flector es la que sigue:

𝑀𝑓,𝑎𝑚𝑐𝑐 = −� 𝑙(𝑦′)𝑦′𝑑𝑦′𝑏2−3.57

0 (4–43)

Como los valores relativos a la distribución de sustentación expresados son adimensionales, se procederá a adimensionalizar la expresión del momento:

𝑀𝑓,𝑎𝑚𝑐𝑐 = −𝐿

102�𝑏2�2

�𝑙(𝑦′)𝐿

102𝜃′𝑑𝜃′0.9

0; 𝑐𝑐𝑛 𝜃 =

𝑦′𝑏 2⁄

(4–44)

Discretizando y sustituyendo los valores obtenidos anteriormente:

𝑀𝑓,𝑎𝑚𝑐𝑐 =𝐿

102�𝑏2�2


102𝜃′∆𝜃′𝜃′=0.9

𝜃′=0

(4–45)

𝑀𝑓,𝑎𝑚𝑐𝑐 = −110.6625 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 (4–46)

Por otro lado, el momento torsor se define como:

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐2 =𝐿

102�𝑏2�2


102𝐷(𝜃′)𝜃′0.9

0 (4–47)

Donde 𝐷(𝑦) es la distancia del centro de torsión de cada sección al centro aerodinámico que se ha considerado que se encuentra en el 25% de la cuerda. Se tiene por tanto que 𝐷(𝑦) es la siguiente función:

𝐷(𝑦) = 0.25𝑐(𝑦) − 0.5755𝑦 (4–48)

Adimensionalizando análogamente al caso anterior:

𝐷(𝜃′) = 0.25𝑐(𝜃′) = 0.25𝑐(𝜃′) − 22.9049 ∙ 𝜃′ (4–49)

A continuación se calcularán los valores discretos de D asociados a los puntos de la envergadura evaluados en el cálculo de la distribución de sustentación que servirán para definir al momento torsor debido a las fuerzas aerodinámicas:


Tabla 4–6. Distancias del centro de torsión al centro aerodinámico.

𝜽′ 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

𝑫(𝜽′) 2.094 -0.585 -3.264 -5.944 -8.624 -11.303 -13.988 -16.663 -19.343

Discretizando la expresión del momento torsor anteriormente definida se obtiene el siguiente resultado:

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐2 =𝐿

102�𝑏2�2

∆𝜃′ � �𝑙(𝑦′)𝐿

102� 𝐷(𝜃′)𝜃′=0.9

𝜃′=0

(4–50)

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐2 = −58.789 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 (4–51)

4.3.3.2.3 Momentos totales

Finalmente se procede a la suma de los momentos obtenidos, flectores y torsores por separado. En las siguientes tablas se puede ver un desglose de los momentos flectores y los torsores, así como los totales para esta maniobra.

Tabla 4–7. Momentos flectores totales para la maniobra simétrica.

Contribución Valor

𝑀𝑓,𝑚𝑎𝑎𝑎 [𝑀𝑁 · 𝑚] 2.9062

𝑀𝑓,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 [𝑀𝑁 · 𝑚] 2.094

𝑀𝑓,𝑎𝑚𝑐𝑐 [𝑀𝑁 · 𝑚] −110.6625

𝑀𝑓,𝑡𝑐𝑡𝑎𝑎 [𝑀𝑁 · 𝑚] −105.6623

Tabla 4–8. Momentos torsores totales para la maniobra simétrica.

Contribución Valor

𝑀𝑇,𝑚𝑎𝑎𝑎 [𝑀𝑁 · 𝑚] −2.1779

𝑀𝑇,𝑚𝑐𝑡𝑐𝑐𝑚𝑎 [𝑘𝑁 · 𝑚] −149.91

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐1 [𝑀𝑁 · 𝑚] −16.634

𝑀𝑇,𝑎𝑚𝑐𝑐2 [𝑀𝑁 · 𝑚] −58.789

𝑀𝑇,𝑡𝑐𝑡𝑎𝑎 [𝑀𝑁 · 𝑚] −77.75

Se puede apreciar que el valor total de los momentos flectores es mayor que el total de los momentos torsores, de manera que será el valor crítico el del momento flector total, por tanto en el cálculo de cargas de pandeo se considerarán únicamente el momento flector, por considerarse que será la carga dimensionante.


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4.4 Modelo de elementos finitos del panel y cálculo de la carga lineal de pandeo del panel n este apartado se describirá cómo se ha creado un modelo de elementos finitos para estudiar las cargas de inestabilidad del panel del extradós del cajón central a partir de los datos que se han presentado a lo largo de este capítulo.

En primer lugar habrá que crear la geometría del panel. Para la creación de la geometría, primeramente habrá que definir por completo la geometría del panel, en especial las dimensiones de los rigidizadores y su separación. En la Figura 4-14, se puede ver un esquema de un panel rigidizado, con las dimensiones básicas. Todas las dimensiones con cotas se han dejado fijas. Los espesores totales de la placa y del rigidizador también se han dejado fijos. Como no se han encontrado datos de la estructura por parte del fabricante todas las medidas se han estimado. En las Tablas 4-4 y 4-9 se recogen las dimensiones necesarias para definir por completo la geometría del panel.

Figura 4-14. Panel rigidizado (arriba). Unidad repetitiva del panel(abajo). Figura extraída de [10].

Tabla 4–9. Dimensiones de la unidad repetitiva del panel.

Magnitud Valor

𝑏 [𝑚𝑚] 179

ℎ𝑎 [𝑚𝑚] 117

𝐴𝑎 [𝑚𝑚] 25

𝐴 [𝑚𝑚] 50

E


Se recuerda que la dimensión 𝑤 es la longitud del cajón en la dirección del eje del fuselaje, es decir, la distancia entre el larguero anterior y el posterior del ala, y, la dimensión 𝐿 es la distancia entre dos costillas consecutivas.

En segundo lugar, se va a explicar por qué únicamente se ha escogido el panel superior del cajón para hacer los análisis de pandeo. En la Figura 4-15 se presenta un esquema del cajón si se mirara frontalmente. El momento en el encastre, punto A del esquema, es el representado por 𝑀𝑓 que toma el valor calculado en el apartado anterior, es decir, 𝑀𝑓,𝑡𝑐𝑡𝑎𝑎. Este momento se puede descomponer en dos fuerzas de mismo valor separadas una distancia la altura del cajón. Haciendo equilibrio de momento respecto del punto A se puede calcular la fuerza 𝑀 de compresión que actúa sobre el panel superior. En la expresión (4-53) se puede ver el módulo de la fuerza en la que se descompone el momento flector que ve la estructura en la maniobra calculada.

𝑀 ·ℎ2

+ 𝑀 ·ℎ2

= 𝑀𝑓 (4–52)

𝑀 =𝑀𝑓

ℎ (4–53)

Figura 4-15. Esquema: Descomposición de momentos en el cajón.

Esta fuerza 𝑀 se supone que actúa uniformemente a lo largo de toda la dimensión 𝑤, por lo que se puede sustituir por un esfuerzo por unidad de longitud, 𝑁𝑥, que actúa a lo largo de todo el plano medio del panel superior en la dirección de los rigidizadores. En el modelo de elementos finitos se aplicará una fuerza por unidad de longitud unitaria para hallar la carga crítica de pandeo del panel, como se ha hecho en otros apartados de este proyecto. Sin embargo, en el siguiente apartado se estudiarán una serie de laminados para escoger el que más interesa atendiendo a la resistencia del panel comparándose con la carga ejercida por la maniobra y el peso del panel. Se explicará con detalle más adelante. Lo importante es saber qué carga es con la que se tiene que comparar. En las expresiones (4-54) y (4-55) se puede ver como se descompone la fuerza 𝑀 en un esfuerzo por unidad de longitud y el valor de este esfuerzo.

𝑁𝑥 =𝑀𝑤

=𝑀𝑓

ℎ · 𝑤 (4–54)

𝑁𝑥 =105.6623

1.062 · 10.74= 9.2638

𝑀𝑁𝑚

(4–55)


88

Una vez con estos datos, en ANSYS se va a crear únicamente una unidad estructural como la mostrada en la Figura 4-14, y se multiplicará esa unidad estructural tantas veces como rigidizadores se tengan. Es por ello necesario calcular cuántos rigidizadores se ponen a lo largo de la dimensión 𝑤. Dada la distancia entre rigidizadores, 𝑏 y la longitud total del panel, 𝑤, el número total de rigidizadores es:

𝑁𝑐𝑖𝑔𝑖𝑟 =𝑤𝑏

=10.740.179

= 60 (4–56)

Lo que se hará en ANSYS será crear previamente la geometría, las secciones donde se definen los laminados, el tipo de elemento a usar y el mallado de la unidad estructural que se presenta en la Figura 4-16. Una vez hecho eso, la finalización de la estructura con todos los larguerillos se hará mediante un comando de ANSYS que permite multiplicar en una dirección o varias del espacio todo el modelo, incluidas las propiedades de los elementos, secciones y zonas de aplicación de las mismas, etc. A continuación se presenta una figura en la que se puede ver la geometría únicamente de la unidad estructural mencionada.

Figura 4-16.Unidad estructural repetitiva.

En referencia al material usado en todos los ensayos, hay que decir que se ha optado por elegir la combinación IM7/8551-7 Epoxy que se viene usando durante todo el proyecto, en su versión de fibra continua. De acuerdo a lo visto en [1], para este tipo de estructuras los materiales compuestos de fibra continua son ampliamente usados. Habrá que usar por tanto las propiedades mecánicas del material definidas en la Tabla 2-6.

En cuanto al elemento elegido para hacer el análisis de pandeo, se ha optado por continuar con el uso del elemento SHELL 281.

Para definir las propiedades de la sección, como en ejemplos anteriores realizados en el capítulo 3, se definirán dos tipos de secciones distintas. Un tipo de sección para la zona del panel, y otro tipo de sección para la


sección del rigidizador. La introducción de las dos secciones se explicará con más detalle en el apartado 4.5, donde se hace un estudio micromecánico en la definición del laminado. Por ahora, es suficiente con saber que se han introducido como parámetros en el código de ANSYS el espesor total del panel y del rigidizador, ambos distintos como se desprende de la Tabla 4-9, y el espesor de cada lámina de laminado.

Para abordar el mallado de la estructura, se ha optado por poner 40 elementos en dirección X (ver Figura 4-17), 2 elementos en dirección Y y 2 elementos en dirección Z. Con este mallado se han obtenido resultados de gran precisión en relación con las cargas de pandeo de la estructura. Hay que tener cuidado a la hora de aplicar el tipo de sección correcta a cada zona de la geometría de la unidad estructural. Además como ya ocurrió cuando se analizó una placa rigidizada de material compuesto, es de vital importancia que los ejes X del sistema de referencia de cada elemento coincidan con el eje X global. En la Figura 4-18 se ha representado el mallado con volumen tras aplicar las dos distintas secciones correspondientes.

Figura 4-17.Mallado de la unidad estructural.

Figura 4-18. Vista 3D de la unidad estructural con volumen del laminado.


90

En este punto del modelo hay que multiplicar la unidad estructural por la cantidad de rigidizadores que se tienen, en este caso 60 veces. Esto se hace con un comando de ANSYS no usado hasta ahora, el comando [AGEN]. Para poder usar este comando en primer lugar hay que seleccionar las áreas malladas o no, es indiferente porque se copia la malla si la hubiera. También es necesario definir la cantidad de copias que se quieren (incluida la selección original), la distancia que separa a las copias (para este caso será el paso entre rigidizadores) y la dirección en la que se quiere copiar la estructura (para el análisis que se estudia aquí será la dirección Y).

Una vez creadas todas las copias, los nodos, líneas y puntos en las interfases entre cada copia se duplican, por habrá que eliminar dichas duplicaciones, pues ello puede provocar a errores de cálculo ya que no se estaría considerando únicamente un panel, sino 60 copias independientes. Habrá que unir la estructura de forma que se tenga únicamente un panel con 60 rigidizadores. Para ello se usará el comando [NUMMRG,ALL]. El resultado final se puede observar en la Figura 4-19.

Figura 4-19. Modelo de elementos finitos del panel del extradós del cajón central del ala.

En este punto del modelo se tienen que definir las condiciones de contorno tanto en desplazamientos como en cargas. Se empiezan por los desplazamientos. Se considerará que todos los bordes se encuentran simplemente apoyados. Se resumen en la Tabla 4-10 las condiciones de contorno en cada borde. Fijarse en el sistema de referencia de la Figura 4-19 para entender las coordenadas que aparecen en la Tabla 4-10.


Grado de libertad Borde 𝑥 = 0 Borde 𝑥 = 𝐿 Borde 𝑦 = 0 Borde 𝑦 = 𝑤

Desplazamiento según x Impedido Libre Impedido Impedido

Desplazamiento según y Impedido Impedido Libre Libre

Desplazamiento según z Impedido Impedido Impedido Impedido

Rotación alrededor del eje x Impedido Impedido Libre Libre

Rotación alrededor del eje y Libre Libre Impedido Impedido

Rotación alrededor del eje z Libre Libre Libre Libre

La carga que se va a aplicar será como se ha comentado anteriormente un esfuerzo unitario por unidad de longitud en dirección X. A diferencia de otros ejemplos aquí realizados, en este caso el esfuerzo de compresión se aplica sobre uno de los bordes únicamente, y es por ello que hay que restringir el desplazamiento según X de uno de los bordes perpendiculares a la dirección de aplicación de la carga. Si no se


restringe este movimiento, no se estaría modelando fielmente lo que ocurre en la realidad en la unión entre costillas y paneles. Es por ello que en la Tabla 4-10 el desplazamiento según X para el borde 𝑥 = 0 se ha impedido. La carga en este caso se aplicará sobre el borde del panel 𝑥 = 𝐿. En la Figura 4-20 se puede ver una parte del modelo de elementos finitos con todas las condiciones de contorno aplicadas.

Figura 4-20. Parte del modelo con las condiciones de contorno aplicadas.

En este punto ya se podría aplicar el método de Lanczos para obtener las cargas críticas de pandeo como en anteriores apartados. El problema del modelo que se tiene actualmente es que es una estructura demasiado grande por tener 60 larguerillos. La principal consecuencia de esto es que los tiempos de cálculo son demasiado elevados.

No obstante, existe una forma de paliar estos efectos. Si se observa la configuración de condiciones de contorno y cargas, se puede apreciar fácilmente como existe un eje de simetría en 𝑦 = 𝑤/2. La principal ventaja de este eje de simetría es que se reduciría a la mitad el número de unidades estructurales a analizar, si se modifica el modelo apropiadamente.

Para ello, cuando se usa el comando [AGEN], en lugar de hacer 60 copias de la unidad estructural, se harán 30. La otra modificación vendrá en las condiciones de contorno en desplazamientos. Para los bordes 𝑥 = 0, 𝑥 =𝐿 e 𝑦 = 0, las condiciones de contorno serán las mismas que las que se resumen en la Tabla 4-10. Para el borde restante, que pertenece al eje de simetría de la estructura, se tienen que aplicar las condiciones de contorno que aparecen en la Tabla 4-11.

Tabla 4–11. Condiciones de contorno en para 𝑦 = 𝑤/2

Grado de libertad Borde 𝑦 = 𝑤/2

Desplazamiento según x Libre

Desplazamiento según y Impedido

Desplazamiento según z Libre

Rotación alrededor del eje x Impedido

Rotación alrededor del eje y Libre

Rotación alrededor del eje z Libre


92

Una forma de verificar si estas condiciones de contorno de simetría son apropiadas es comprobar los modos de pandeo de ambos modelos. En las Figuras 4-21÷23 se representarán diversas vistas en las que se comparan las deformadas para el primer modo de pandeo para el modelo de 60 rigidizadores y el de 30.

𝑎) 60 𝑟𝑠𝑔𝑠𝑑𝑠𝑧𝑎𝑑𝑐𝑟𝐷𝑐

𝑏) 30 𝑟𝑠𝑔𝑠𝑑𝑠𝑧𝑎𝑑𝑐𝑟𝐷𝑐

Figura 4-21. Perspectiva de la deformada para el primer modo de pandeo.



Figura 4-22.Vista del plano X-Y para el primer modo de pandeo.




Figura 4-23.Vista lateral de la deformada para el primer modo de pandeo.

Como se puede observar la forma de los modos son similares, y en el plano de simetría (ver Figura 4-22), se puede ver como existe continuidad en los desplazamientos para 𝑦 = 𝑤/2.

Por tanto en el análisis micromecánico del siguiente apartado se usará el modelo de elementos finitos en el que se consideran 30 rigidizadores dado que los tiempos de cálculo se reducen, haciendo así más eficiente las simulaciones numéricas.

4.5 Estudio de la influencia de la micromecánica en la carga crítica de pandeo n este apartado se hará un estudio sobre varios laminados compuestos por láminas con diferentes fracciones en volumen de fibra y secuencias de apilamiento distintas. Además también se definirá otro parámetro que tenga en cuenta la eficiencia másica del panel, entendiéndose como ésta la capacidad

portante a compresión del panel frente al peso propio del mismo.

Los laminados a estudiar serán los mismos que los definidos en la Tabla 3-19 del apartado 3.4 del capítulo 3. Estarán compuestos por 8 láminas cada una y el espesor de cada lámina será el mismo. Se recuerda que se usan laminados simétricos por razones relacionadas con la fabricación evitándose esfuerzos residuales después del curado del laminado. Además, los laminados serán los mismos para la zona del panel y para la zona del rigidizador, pero las láminas tendrán espesores distintos en cada una de estas zonas.

En concreto para la zona del panel el espesor de cada lámina será de:

𝐴1 = 0.625 𝑐𝑚 (4–57)

Las láminas que se coloquen en la zona del rigidizador tendrán un espesor de:

𝐴2 = 0.3125 𝑐𝑚 (4–58)

Estas dimensiones han sido el resultado de un proceso iterativo hasta comprobar que las cargas de pandeo de los laminados eran para la mayoría superiores de ellos superiores a las cargas últimas. En este punto es interesante definir lo que se entiende en la norma CS-25 por carga límite y carga última.

E


94

Una carga límite de acuerdo a CS-25.301 son las cargas máximas que verá la estructura en servicio. Una carga última es dicha carga límite multiplicada por un factor de seguridad. Según el artículo de la norma CS-25.303 este factor de seguridad (𝑀𝑆) tomará un valor de 1.5. En el caso que ocupa este proyecto la carga límite será la calculada en el apartado 4.4 de este capítulo en la expresión (4-55). La carga última será por tanto:

𝑁𝑥,𝑢𝑎𝑡 = 𝑀𝑆 · 𝑁𝑥 = 13.8957𝑀𝑁𝑚

(4–59)

Para la realización de este apartado habrá que calcular la masa de la estructura. ANSYS te permite calcular la masa de la estructura si, previamente, se aporta la densidad correspondiente con el material de estudio. Existen varias formas de calcular la masa de la estructura. En este proyecto se ha optado por introducir una secuencia de comandos presentada a continuación en el recuadro negro.

/SOLU

/output,mass_output.txt

psolve,elform

/output

FINISH

Con esta secuencia de comandos, ejecutándola antes de resolver el problema se estructura, ANSYS forma las matrices de masa y de rigidez de la estructura. Se obtiene en un archivo de texto con una descripción detallada de todos los parámetros másicos, como las coordenadas del centro de gravedad, las inercias de la estructura y la masa, que es lo que interesa en este momento.

Ejecutando esta secuencia de comandos para cada fracción en volumen de fibra que se ha considerado, se obtienen distintas masas para la estructura de 30 rigidizadores. En la Tabla 4-12 se resumen dichas masas.

Tabla 4–12. Masas del panel para distintas fracciones en volumen de fibra

𝑣𝑓 Masa panel [𝑘𝑔]

0.45 694.97

0.6 730.26

0.75 765.55

0.8 777.31

Es importante mencionar que se tendrán en cuenta únicamente las fuerzas provocadas por el momento flector y no se tendrá en cuenta la fuerza del peso propio del panel del cajón central a la hora de calcular la carga crítica de pandeo del panel. Hay que distinguir entre el peso propio del panel del cajón central del ala y el peso del ala que provoca momentos flexores y torsores en el encastre, ya que el segundo si se han considerado en el cálculo de cargas del apartado 4.3. Viendo la Tabla 4-12, el peso propio del panel, 𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎, en el caso más restrictivo será:

𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎 = 𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎 · 𝑔 (4–60)


𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎�𝑣𝑓=0.8= 𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎�𝑣𝑓=0.8

· 𝑔 = 7.626 𝑘𝑁 (4–61)

Comparando esta fuerza con la fuerza 𝑀 calculada en el apartado 4.4 de este capítulo se tiene:

𝑀 = 99.4937 𝑀𝑁 (4–62)

𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎�𝑣𝑓=0.8

𝑀= 7.6648 · 10−5 (4–63)

Como se puede ver, las fuerzas de peso propio del panel son muy pequeñas en relación con el resto de cargas externas que ve la estructura. Es por esta razón que no se han incluido las fuerzas del panel en el cálculo de cargas críticas de pandeo.

Así pues, con todas estas consideraciones, se realizarán ensayos y se obtendrán las cargas críticas de pandeo para el panel del extradós. En la Tabla 4-13 se recogen todos los resultados de las simulaciones numéricas.

Tabla 4–13. Cargas críticas de pandeo para cada laminado y fracción en volumen de fibra

𝑣𝑓 𝑁𝑥,𝑐𝑐 �

𝑘𝑁𝑚�

Laminado 1

Laminado 2

Laminado 3

Laminado 4

Laminado 5

Laminado 6

Laminado 7

Laminado 8

0.45 20094 18381 19379 18682 18091 18041 19586 14682

0.60 26561 24277 25569 24654 23865 23806 25847 19299

0.75 33573 30682 32220 31098 30100 30041 32570 24461

0.80 36145 33033 34638 33452 32380 32325 35014 26414

A partir de estos datos, se realizarán una serie de representaciones para poner de manifiesto ciertas diferencias con respecto al apartado 3.4. En el apartado 3.4 no se estudiaban placas con rigidizadores y puede ser que las diferencias provengan de ahí. Además la configuración de cargas y condiciones de contorno no era la misma, y las cargas de pandeo dependen de las mismas.

En la Figura 4-24 se han representado las cargas críticas de pandeo para cada laminado y cada fracción en volumen de fibra, adimensionalizadas con la carga última de la expresión (4-59). En dicha figura se tiene que comprobar que para la elección de un laminado, el cociente que se está representando sea mayor que la unidad en primer lugar. Ello querrá decir que el laminado soporta las cargas exteriores sin pandear. Esto es muy importante en estructuras de materiales compuestos, pues la normativa actualmente prohíbe que a cualquier estructura fabricada de material compuesto se le permita el pandeo.

Si se presta atención a dicha figura se comprueba que efectivamente todos los laminados estudiados para todas las fracciones en volumen de fibra soportan hasta la carga última de pandeo. Además, se puede comprobar que para fracciones en volumen pequeñas (inferiores a 0.6) se tienen cargas críticas de pandeo muy similares para todos los laminados. Para fracciones en volumen de fibra superiores a 0.6 las diferencias entre las cargas críticas a pandeo de los distintos laminados se hacen superiores.

De entre todos los laminados, el que menos interesa poner en función de los resultados obtenidos es el laminado 8, ya que es el que menos resistencia a pandeo tiene, y curiosamente, es de los que tenía una carga de inestabilidad mayor en el apartado 3.4, pero al cambiar las condiciones de carga e introducir los rigidizadores han cambiado los resultados drásticamente. El laminado 1, como se puede comprobar es sin duda alguna el que habría que poner atendiendo a la carga crítica de pandeo, pues para todas las fracciones en volumen de fibra es el que presenta una carga de pandeo mayor.


96

Figura 4-24. Comparación de cargas críticas de pandeo para varios laminados.

Figura 4-25. Comparación del parámetro de eficiencia másica .

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

vf

Nx,

cr/N

x,ul

t


0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

vf

(Fcr

/Wpa

nel)·1

04



Faltaría decidir con qué fracción en volumen de fibra habría que fabricar el laminado. Para ello se ha representado la Figura 4-25. En ella se definido un parámetro para valorar la eficiencia másica del panel.

Este parámetro de eficiencia másica intenta evaluar la fuerza crítica de pandeo, 𝑀𝑐𝑐, comparándola con el peso propio del panel para cada laminado y cada fracción en volumen de fibra, 𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎. Atendiendo a la definición del esfuerzo de compresión por unidad de longitud, la fuerza crítica de pandeo será:

𝑀𝑐𝑐 = 𝑁𝑥,𝑐𝑐 · 𝑤 (4–64)

El parámetro que se ha definido tiene la forma:

𝑀𝑐𝑐𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎

= 𝑓�𝑣𝑓 , 𝐿𝑎𝑚𝑠𝑛𝑎𝑑𝑐 𝑠� ∀𝑠 = 1,2, … ,8 (4–65)

Es decir, este parámetro es función de la fracción en volumen de fibra y del laminado que se esté estudiando. Así pues, con estas variables se ha representado la Figura 4-25. Se observa como la tendencia para todos los laminados es que a medida que aumenta la fracción en volumen de fibra, aumentra el parámetro adimensional definido en (4-65).

Este parámetro interesa, desde el punto de vista estructural, que para una fracción en volumen de fibra fija, lo que implica un peso para el panel fijo, sea lo más grande posible, porque se tendría una carga de pandeo elevada para un mismo peso. Además interesa que el peso del panel sea el mínimo posible, por lo que la fracción en volumen de fibra deberá ser la mínima posible.

De la Figura 4-24 se extraía que interesaba escoger el laminado 1 en cuanto a la carga crítica que era capaz de soportar. Esta idea se refuerza con la Figura 4-25, pues se observa como para todas las fracciones en volumen de fibra este laminado es el que aporta el mayor cociente entre la fuerza crítica y el peso del panel.

Como se puede observar de ambas figuras, no existe un punto que sea óptimo. Es por ello que se ha de elegir el punto de las curvas que cumplan con una relación de compromiso entre las solicitaciones exteriores y el peso del panel.

Si se escogiera el laminado 1 con 𝑣𝑓 = 0.45, se cumplirían los requisitos estructurales de forma bastante eficiente para estas condiciones de carga, ya que si se calcula el parámetro de eficiencia másica para la carga exterior y esta fracción en volumen de fibra se tiene:

𝑀𝑢𝑎𝑡𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎

=𝑁𝑥,𝑢𝑎𝑡 · 𝑤𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎

= 21.890 · 103 (4–66)

Y comparándolo con el valor del laminado 1 para 𝑣𝑓 = 0.45, se tiene:

𝑀𝑐𝑐𝑀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎

�𝐿𝑎𝑚.1,𝑣𝑓=0.45

= 31.655 · 103 (4–67)

En cualquier caso, es importante recordar que todos los cálculos realizados son únicamente para una maniobra, y una estructura aeronáutica debe ser certificada para todas las maniobras impuestas por la norma. Por ello, habría que hacer un análisis similar a este para el resto de maniobras, porque vista la variabilidad de las cargas críticas a pandeo, puede ocurrir que en el conjunto de todas las maniobras el laminado y la fracción en volumen de fibra óptima no coincidan con los de este apartado.

En relación con los modos de pandeo, se ha observado que para todos los laminados y fracciones en volumen de fibra se han obtenido los mismos modos de pandeo, variando únicamente las zonas afectadas, pero con el mismo número de semiondas en todos los casos.

99

5 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.1 Micromecánica de materiales compuestos En el estudio de la micromecánica, se han realizado análisis para estimar las cinco constantes elásticas independientes que caracterizan a materiales transversalmente isótropos, en función de la fracción en volumen de fibra para materiales reforzados con fibras continuas y, además, para distintas relaciones de aspecto cuando se han considerado materiales reforzados con fibras cortas alineadas.

Este análisis se ha realizado haciendo uso de un modelo micromecánico para cada tipo de fibra. Para la fibra continua se ha usado el modelo de Hopkins y Chamis, y para el caso de fibras cortas el modelo de Halpin y Tsai. Estos modelos se han aplicado sobre un material compuesto reforzado con fibra de carbono embebida en una resina epoxy. En concreto el material escogido ha sido el IM7/8551-7 para todo el proyecto.

Para observar las diferencias entre las propiedades estimadas por ambos modelos, se han representado las variaciones de las constantes elásticas en función de la fracción en volumen de fibra en el caso de fibra continua, y para el caso de fibra corta se ha representado también como función de la relación de aspecto de las fibras.

En base a todos estos resultados se puede concluir lo siguiente:

1. Las constantes elásticas: 𝐸1,𝐸2,𝐺12 y 𝐺23 aumentan su valor si la fracción en volumen de fibra aumenta. Por el contrario, los coeficiente de Poisson 𝜈12 y 𝜈23 disminuyen con la fracción en volumen de fibra. Esto ocurre para los dos modelos micromecánicos contemplados. Esto último puede ocurrir porque a mayor fracción en volumen de fibra, poniendo como ejemplo la ley de mezclas, se le da mayor ponderación al coeficiente de Poisson de la fibra, el cual es menor que el relativo a la matriz.

2. En el caso de fibra continua se han observado variaciones casi lineales para todas las propiedades mecánicas cuando se consideraban fracciones en volumen de fibra inferiores a 0.6. A partir de dicha 𝑣𝑓 la tendencia de las propiedades mecánicas dejaba de ser lineal.

3. En el caso de fibra corta, se ha observado que al variar la relación de aspecto para una fracción en volumen de fibra fija, la única constante que ingenieril que se ve modificada es el módulo de rigidez longitudinal, 𝐸1, aumentando éste si así lo hace la relación de aspecto. Además para relaciones de aspecto muy grandes, el 𝐸1 se va acercando al obtenido mediante el modelo de fibra continua.

5.2 Influencia de la micromecánica en el comportamiento a pandeo de paneles compuestos

En relación a los ensayos de pandeo realizados sobre una lámina de material compuesto simplemente apoyada y sometida a compresión uniforme en dos de sus lados se puede concluir lo siguiente:

1. En cuanto a los modos de pandeo obtenidos para los ensayos realizados sobre el material reforzado con fibra continua, se ha observado que al aumentar la orientación 𝜙, el número de semiondas aumenta en la dirección de aplicación de la carga. En la dirección transversal a la carga no se ha observado variaciones para la primera carga de pandeo. La variación de la fracción en volumen de fibra para una orientación fija no afecta a los modos de pandeo.

Conclusiones y Trabajos futuros

100

2. En relación con las cargas críticas de pandeo para el caso de fibras continuas, se han observado varias tendencias. Para una fracción en volumen de fibra fija y teniendo la orientación variable, se ha visto que las cargas críticas de pandeo aumentan con la orientación de la fibra hasta llegar 𝜙 = 45 𝑑𝐷𝑔. , donde se alcanza un máximo de las cargas de pandeo, pues si se sigue aumentando 𝜙 la carga vuelve a decrecer. Se observa que la resistencia a pandeo para 45 grados es casi seis veces superior que a 0 90 grados. Además, se ha observado que las cargas críticas para una orientación de 0 grados son menores que las obtenidas para 𝜙 = 90 𝑑𝐷𝑔., algo interesante porque para cargas a tracción ocurre justo lo contrario. Para los casos en que la fracción en volumen de fibra se ha variado y se ha dejado una orientación constante, se ha observado que al variar 𝑣𝑓 las cargas críticas de pandeo siempre han ido en aumento. Además, nuevamente se ha visto que para cualquier 𝑣𝑓 las cargas de pandeo para orientaciones de 0 grados son siempre menores que cuando la orientación es a 90 grados.

3. Para los ensayos con fibra corta hay que incluir una variable más en el estudio, que es la relación de aspecto, aparte de la orientación y las fracciones en volumen de fibra. Para una relación de aspecto fija se observan las mismas tendencias cuando se varía la orientación para las cargas que producen la inestabilidad que lo comentado para el caso de fibra continua. En el caso en el que se mantenga constante la fracción en volumen de fibra y se varíe la relación de aspecto se ha observado que las cargas críticas aumentan con la relación de aspecto. Si ocurre lo contrario, es decir, se mantiene constante la relación de aspecto y se varía 𝑣𝑓 ocurre lo mismo.

4. En relación con los modos de pandeo obtenidos para fibra corta considerando fracciones en volumen de fibra fijas se ha visto que para 𝜙 < 45 𝑑𝐷𝑔., si la relación de aspecto aumenta, el número de semiondas decrece. Para 𝜙 > 45 𝑑𝐷𝑔. ocurre lo contrario, es decir, si aumenta la relación de aspecto, el número de semiondas crece. Además, se ha comprobado que los modos de pandeo varían con la fracción en volumen de fibra. Esto se ha observado variando la fracción en volumen de fibra para una relación de aspecto y una orientación fijas.

5. Si se comparan los resultados obtenidos para fibra continua y fibra corta, se ha observado que para todas las orientaciones estudiadas al aumentar la relación de aspecto de las fibras cortas, las cargas críticas de pandeo se iban acercando cada vez más a las obtenidas para fibra continua. Esto era así para fracciones en volumen de fibra inferiores a 0.6. Para fracciones en volumen de fibra superiores, dependiendo de la orientación de las fibras se obtenían resultados dispares, pues para algunas orientaciones se observaba el mismo comportamiento que para 𝑣𝑓 < 0.6, pero para otras orientaciones las cargas críticas para fibra corta llegaban a superar a las obtenidas para fibra continua. Estos resultados hacen dudar de la validez del modelo de Halpin y Tsai para fracciones en volumen de fibra superiores a 0.6.

En base a los análisis realizados sobre distintas placas rectangulares fabricadas de materiales compuestos, simplemente apoyada y variando la secuencia de apilamiento de las láminas y la fracción en volumen de fibra se puede decir lo siguiente:

1. Se ha observado la misma tendencia para todos los laminados con la fracción en volumen de fibra. A mayor 𝑣𝑓 mayor carga crítica de pandeo, pero también mayor densidad del compuesto y en consecuencia un peso del panel mayor.

2. Analizando los máximos valores de las cargas críticas de pandeo se observó que los laminados para los que se daban dichos máximos correspondían con aquellos para los que las láminas más exteriores estaban orientadas a +45 grados. Por tanto, para estructuras con esta configuración en geometría y cargas es interesante colocar este tipo de láminas en la zona más exterior del laminado.


3. En relación con los laminados cuyas capas más exteriores están formadas por subgrupos de láminas a

0 y 90 grados, se ha observado que aquellos cuyas láminas más exteriores tenía una orientación de 0 grados tenían una resistencia mayor al pandeo que aquellos para los que su láminas más exterior estaba orientada a 90 grados.

4. En relación con los laminados donde se consiguen máximos valores en la carga crítica de pandeo, se ha concluido que si bajo la capa de +45 grados exterior se coloca otra a -45 se consigue más resistencia al pandeo que si se coloca a cualquier otra orientación de las estudiadas.

5. En cuanto a los laminados cuya zona más interna contiene subgrupos de láminas a 0 y 90 grados, se ha concluido que colocando las láminas más internas a 90 grados y la siguiente hacia el exterior a 0 grados se consiguen mejores resistencias al pandeo que si estas láminas se colocaran en orden inverso.

5.3 Influencia de la micromecánica en el comportamiento a pandeo de paneles rigidizados compuestos

Para el panel rigidizado de la estructura analizada en el capítulo 4, se han analizado los mismos laminados fabricados de fibra continua que en el apartado 3.4 de esta memoria. Se han realizado ensayos para todos estos laminados en aras de simular las cargas que vería la estructura durante la maniobra estimada en este capítulo. Los ensayos se han realizado para varias fracciones en volumen de fibra, y se han comparado los esfuerzos críticos. En base a todo lo visto durante el capítulo 4 se pueden enunciar algunas conclusiones.

1. Ha quedado patente que el diseño de una estructura aeronáutica no involucra únicamente a ingenieros de estructuras, sino que es un problema multidisciplinar en el que se necesita información de otras áreas de conocimiento como la mecánica y la aerodinámica. La estimación de cargas aquí presentada para la maniobra elegida debería ser refinada mediante otro tipo de software más especializado en el área que se esté estudiando.

2. A la hora de diseñar una estructura de materiales compuestos que deba ser certificada ante solicitaciones a pandeo para su uso en aplicaciones aeronáuticas, debe demostrarse que dicha estructura no pandea ante ninguna condición de carga. Por ello a la hora de demostrar este cumplimiento habrá que comparar las cargas críticas de pandeo con las máximas esperadas en servicio sobre la estructura, multiplicadas por un factor de seguridad.

3. Tras observar los resultados en cuanto a la carga crítica de pandeo para todos los laminados y todas las fracciones en volumen de fibra, se ha observado que a medida que se aumenta la fracción en volumen de fibra aumenta la carga crítica para la que el panel pandea. Esto ocurre para todos los laminados. Sin embargo para fracciones en volumen pequeñas (inferiores a 0.6) las cargas críticas para todos los laminados no difieren en exceso. Conforme aumenta la fracción en volumen de fibra, la diferencia entre las cargas críticas a pandeo se

4. Una vez realizados todos los ensayos se ha comprobado que nuevamente la secuencia de apilamiento influye en la carga crítica a pandeo. En este caso al variar las condiciones de contorno en desplazamientos y cargas respecto al apartado 3.4 del capítulo 3 las conclusiones extraídas de dichos estudios son válidas para configuraciones similares a la estudiada. Es decir, la configuración en desplazamientos y cargas exteriores sobre el panel rigidizado influyen notablemente sobre la elección del laminado a realizar.

5. Además de la carga crítica a pandeo del panel si la estructura es aeronáutica deben cumplirse estos requisitos estructurales pero garantizando una eficiencia másica del panel razonable, es decir, debe conseguirse la mayor capacidad portante de la estructura con el mínimo peso posible.

Conclusiones y Trabajos futuros

102

En resumen, todos los estudios realizados ponen de manifiesto la importancia de considerar la micromecánica (orientación de la fibra, fracción en volumen de fibra, relaciones de aspecto y secuencia de apilado) de los materiales endurecidos por fibras, a la hora de diseñar paneles más resistentes y estables.

5.4 Trabajos futuros Todos los ensayos aquí presentados dejan abiertas algunas vías de profundización en lo que a estudios de estabilidad se refiere. A continuación se proponen algunas de las posibles vías alternativas que podrían ser estudiadas en trabajos futuros:

1. Estudio de la influencia de esfuerzos térmicos en la carga crítica de pandeo de estructuras de material compuesto, ya que en este proyecto no se ha estudiado la influencia de este tipo de cargas.

2. Estudio del comportamiento post-pandeo (análisis no lineal) en estructuras de material compuesto.

3. Análisis de las cargas críticas de pandeo en estructuras de tipo laminar y con curvatura como pueden ser estructuras laminares cilíndricas o cónicas de materiales compuestos sometidas a cargas a compresión, así como sus versiones con rigidizadores que tanto uso tienen en la industria sirviendo de estructura para el fuselaje de aviones, cofias de lanzadores de satélites o silos de combustible.

4. Tras haber visto los resultados aportados por el elemento SHELL 281 durante este proyecto se propone como otra vía de investigación el estudio de las posibles ventajas e inconvenientes que podría tener usar otro tipo de elemento en el estudio del pandeo para paneles compuestos.

Para finalizar, decir que en el capítulo de ANEXOS se explican los primeros pasos para la realización, ensayos de validación en su mayoría, así como los códigos de ANSYS que han servido de base para la realización de todos los ensayos realizados.

103

REFERENCIAS

[1] Hexcel , 01 09 2014. [En línea]. Available: www.hexcel.com. [Último acceso: 24 02 2014].

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[4] A. S. Kaddour y M. J. Hinton, «Input data for test cases used in benchmarking triaxial failure theories of composites,» Composite Materials, nº 54, pp. 2295-2312, 2012.

[5] L. P. Kollar y G. S. Springer, «Mechanics of Composite Structures,» Cambridge University Press, 2009.

[6] U. K. Mallela y A. Upadhyay, «Buckling of laminated composite stiffened panels subjected to in-plane shear: A parametric study,» Thin-Walled Structures , nº 44, pp. 354-361, 2006.

[7] R. Maurin, P. Davies, N. Baral y C. Baley, «Transverse Properties of Carbon Fibres by Nano-Indentation and Micromechanics,» Applied Composite Materials, vol. 15, nº 2, pp. 61-73, 2008.

[8] T. H. Megson , Aircraft Structures for Engineering Students, Elsevier, 2007.

[9] M. Mukhopadhyay, «Vibration and stability analysis of stiffened plates by semi-analytic finite difference method, Part I:Consideration of bending displacements only,» Sound and Vibration, nº 130, pp. 27-39, 1989.

[10] M. C.-Y. Niu, Airframe Structural Design: Practical design information and data on aircraft structures, Conmilit Press LTD., 1988.

[11] F. París , J. Cañas , J. Marín y A. Barroso, Introducción al análisis y diseño con materiales compuestos, Sección de Publicaciones. Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

[12] R. Rikards, A. Chate y O. Ozolinsh, «Analysis for buckling and vibrations of composite stiffened shells and plates,» Composite Structures , nº 51, pp. 361-370, 2001.

[13] J. M. Ruso Misa, «Proyecto fin de carrera: Estudio de materiales reforzados con fibras en problemas de contacto,» Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla, 2013.

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[15] S. P. Timoshenko y S. Woinowsky-Krieger, Teoría de Placas y Láminas, Urmo, 1976.

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[17] C. L. Tucker y E. Liang, «Stiffness predictions for unidirectional short-fiber composites: Review and evaluation,» Composite Science and Technology , nº 59, pp. 655-671, 1999.

Referencias

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105

ANEXOS

ANEXO A. Ensayo de validación 1: Pandeo de placa rectangular isótropa n este anexo se van explicar los primeros pasos en la realización de este proyecto. En primer lugar se trató de validar una placa isótropa antes de que fuera de material compuesto porque el hecho de introducir materiales compuestos implican más grados de libertad en los estudios numéricos y más

probabilidades de error si no se controlan bien pasos previos.

Al ser la placa aquí analizada isótropa, se han podido validar los cálculos numéricos realizados con ANSYS mediante cálculos analíticos proporcionados por [8], [15] y [16].

A.1 Análisis de pandeo analítico

En todo análisis de placas hay que tener en cuenta la rigidez a flexión de la placa que se define como sigue:

𝐷 =𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈2) (0–1)

Donde:

• 𝐸: Módulo de rigidez del material

• 𝜈: Coeficiente de Poisson del material

• ℎ: Espesor de la placa

Para hallar la ecuación de pandeo de una placa habrá que hallar las ecuaciones de equilibrio en la posición deformada, ya que la hipótesis de pequeños desplazamientos hecha en el estudio de la flexión de placas no es aplicable cuando se estudia la estabilidad de la estructura. Como la finalidad de este escrito es estudiar el pandeo de forma numérica solamente se pondrán los resultados más relevantes encontrados en textos más especializados en el estudio del pandeo.

Así pues, a continuación, se presenta la ecuación de pandeo de una placa en forma general:

𝜕4𝑢𝑧𝜕𝑥4

+ 2𝜕4𝑢𝑧𝜕𝑥2𝜕𝑦2

+𝜕4𝑢𝑧𝜕𝑦4

−𝑁𝑥𝐷


−𝑁𝑦𝐷𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑦2

−2𝑁𝑥𝑦𝐷

𝜕4𝑢𝑧𝜕𝑥2𝜕𝑦2

= 0 (0–2)

En este apartado se va a validar una configuración particular de la placa, y es el problema de la placa patrón. Este problema consta de una compresión por unidad de longitud en dirección X y estando la carga simplemente apoyada. De esa manera la ecuación (0-2) se reduce a:


+ 2𝜕4𝑢𝑧𝜕𝑥2𝜕𝑦2

+𝜕4𝑢𝑧𝜕𝑦4

+𝑁𝐷


= 0 (0–3)

Las condiciones de contorno en el perímetro se reducen a:

-Desplazamientos impedidos en el perímetro:

𝑢𝑧|𝑥=0, 𝑥=𝑎, 𝑦=0, 𝑦=𝑏 = 0 (0–4)

E

ANEXOS

106

-Giros de flexión permitidos en los extremos:


�𝑥=0

=𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑥2

�𝑥=𝑎

=𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑦2

�𝑦=0

=𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑦2

�𝑦=𝑏

= 0 (0–5)

En la Figura 0-1, se puede ver un esquema de la placa patrón aquí considerada:

Figura 0-1. Esquema placa patrón.

Hay una solución que satisface las condiciones de contorno y es la propuesta por:

𝑢𝑧(𝑥,𝑦) = � �𝐴𝑚𝑚𝑐𝐷𝑛 �𝑚𝜋𝑥𝑎

� 𝑐𝐷𝑛 �𝑛𝜋𝑦𝑏�

∞

𝑚=1

∞

𝑚=1

(0–6)

Metiendo esta solución en la ecuación de pandeo de la placa patrón, se puede despejar el esfuerzo crítico de pandeo por unidad de longitud:

𝑁𝑐𝑐 =𝜋2𝐷𝑏2

�𝑚𝑎𝑏

+𝑛2𝑎𝑏𝑚

�

2

(0–7)

𝑁𝑐𝑐 = 𝐾𝜋2𝐷𝑏2

= 𝐾𝜋2𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈2)𝑏2; 𝐾 = �

𝑚𝑎𝑏

+𝑛2𝑎𝑏𝑚

�

2

(0–8)

Como se puede ver aparece una constante K que depende del número de semiondas en dirección X (m) y el número de semiondas en dirección Y (n). La carga crítica de pandeo será la mínima para la que pandea la estructura, por lo que si se minimiza K se obtiene la mínima carga de pandeo. El mínimo de K se obtiene para:

𝑛 = 1;𝑚 =𝑎𝑏→ 𝐾 = 4 (0–9)


El problema es que m siempre es un número entero, pero la relación a/b no tiene por qué serlo. El valor de K cuando esto no ocurre se obtiene de gráficas como la presentada en la Figura 0-2. En ella se puede observar como fijando el número de semiondas en dirección x y la relación a/b se obtiene un valor de K y, en consecuencia una carga crítica de pandeo. Hay que remarcar también que la Figura 0-2 es útil solamente en el caso en que la placa se encuentre simplemente apoyada. Si las condiciones de contorno fueran distintas habría que usar otras gráficas similares.

La tensión crítica de pandeo se puede calcular dividiendo la expresión (0-8) por el espesor de la placa

𝜎𝑐𝑐 =𝑁𝑐𝑐ℎ

= 𝐾𝜋2𝐸

12(1 − 𝜈2) �ℎ𝑏�2

= 𝐾𝜎𝐿 (0–10)

Donde:

• 𝐾: Factor de pandeo, que depende de las dimensiones de la placa (a/b), de las condiciones de contorno y del tipo de carga

• 𝜎𝐿: Depende de la esbeltez de la placa (b/h) y de la constante de rigidez a flexión (D).

A continuación se presentan las dimensiones de la placa que se va a estudiar.

Tabla 0–1. Dimensiones placa patrón.

Dimensión Valor

𝑎 [𝑐𝑚] 90

𝑏 [𝑐𝑚] 50

ℎ [𝑐𝑚] 1

El material de estudio será un material muy usado en la industria aeronáutica como es la aleación de aluminio 2024 T-6. Las propiedades necesarias para el estudio del pandeo se presentan en la Tabla 0-2.

Figura 0-2. Factor de pandeo en función de la relación a/b.

ANEXOS

108

Tabla 0–2. Propiedades Aluminio 2024 T6.

Magnitud Aluminio 2024 T6

𝐸 [𝐺𝐺𝑎] 72.4

𝜈 0.33

Límite elástico: 𝜎𝑚 [𝑀𝐺𝑎] 315

Con todas las expresiones presentadas en este apartado y los datos aportados por las Tablas 0-1 y 0-2, se puede calcular la carga crítica de pandeo. En la Tabla 0-3 se presenta el resultado obtenido mediante cálculos analíticos de la carga crítica de pandeo para este problema patrón.

Tabla 0–3. Carga crítica de pandeo mediante cálculos analíticos.

Magnitud Valor

𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑀𝑁𝑚� 1.069

A.2 Estudio numérico del pandeo para la placa patrón

Para el análisis numérico del pandeo en la placa patrón primeramente habrá que generar un modelo de elementos finitos de la placa. En este caso se generará una geometría rectangular de dimensiones las de la Tabla 0-1.

El material empleado en la simulación será el mismo que en el apartado A.1, por lo que las propiedades mecánicas del material que se va a modelar serán las de la Tabla 0-2. En este caso, a diferencia de los ensayos presentados en anteriores capítulos el material será transversalmente isótropo.

El elemento a usar será el SHELL 281 porque ha dado buenos resultados a lo largo de todo el proyecto.

El modelo numérico de la placa se encuentra simplemente apoyado en todos sus bordes. Las cargas aplicadas serán esfuerzos por unidad de longitud en la dirección X en dos de los cuatro bordes de la placa.

En cuanto al mallado de la placa el elegido finalmente ha sido uno de 20 elementos en dirección Y y 30 elementos en dirección X, debido al estudio de convergencia de la solución.

En este estudio de la convergencia, se ha estudiado la convergencia de la carga lineal de pandeo. No tiene sentido estudiar el desplazamiento máximo en un análisis de pandeo porque para este análisis lo que se hace es resolver un problema de autovalores para la carga crítica.

Los desplazamientos que calcula ANSYS en un análisis lineal de pandeo son función de los autovectores asociados al modo de pandeo que se quiere representar (no dependen de la carga aplicada), por lo que los desplazamientos obtenidos mediante análisis lineal de elementos finitos no tienen validez en cuanto a su módulo. Lo que sí que tiene validez es la forma que adopta la placa tras alcanzar la carga crítica de pandeo.

En la Tabla 0-4 se han recogido los valores de las cargas críticas de pandeo para el análisis de convergencia en el que se han ido aumentando los elementos que se ponían en cada dirección progresivamente. Se observa como a partir de 200 elementos (20 en la dirección X y 10 en la dirección Y), la carga de pandeo se ha mantenido constante. Finalmente se ha elegido el mallado de 600 elementos por motivos relacionados con la representación de los modos de pandeo, de forma que se tengan transiciones más suaves, y para ganar precisión en el caso de trabajar con materiales compuestos.


Tabla 0–4. Estudio de convergencia

Número de elementos 𝑁𝑥.𝑐𝑐 �𝑘𝑁𝑚�

150 1064.4

200 1064.3

375 1064.3

600 1064.3

875 1064.3

1200 1064.3

1575 1064.3

Una vez que se ha hecho este estudio hay que comparar esta carga crítica de pandeo para validar finalmente este modelo numérico. Se ha elegido la carga crítica para el mallado de 600 elementos y se comparará con la carga crítica obtenida mediante métodos analíticos. Esta comparación se hará en forma de porcentaje definiéndose así:

𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎 [%] =𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑎𝑚𝑎𝑎í𝑡𝑖𝑐𝑐 − 𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑚𝑢𝑚é𝑐𝑖𝑐𝑐

𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑎𝑚𝑎𝑎í𝑡𝑖𝑐𝑐· 100 (0–11)

Tabla 0–5. Comparación de los esfuerzos críticos

𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑎𝑚𝑎𝑎í𝑡𝑖𝑐𝑐 �𝑘𝑁𝑚� 𝑁𝑥,𝑐𝑐 �𝑚𝑢𝑚é𝑐𝑖𝑐𝑐 �

𝑘𝑁𝑚� 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎 [%]

1069 1064.4 0.4564

Tras los resultados obtenidos se puede observar como los errores cometidos son inferiores al 1 por ciento, por lo que se considera que el modelo numérico creado queda validado.

También se puede visualizar la cantidad de semiondas del modo de pandeo. En la Figura 0-3 se ha representado el modo de pandeo obtenido para este problema.

Se puede ver como en dirección X se han formado 2 semiondas y en dirección Y únicamente una. Se recuerda que cuando se explicó el pandeo de forma analítica, el mínimo de la carga crítica se obtenía para el mínimo de K.

El mínimo de K se obtenía para una semionda en dirección Y, y el número de semiondas para la dirección X dependía de la relación entre los lados de la placa. Si se observa la Figura 0-2 se puede ver que para la relación a/b que se tiene en este ejemplo, es decir, 1.8, el mínimo de K se obtiene para un número de semiondas en dirección X igual a 2.

Con todos estos datos se corroboran los resultados obtenidos mediante el modelo numérico.

ANEXOS

110

Figura 0-3.Modo de pandeo para la carga crítica calculada.

A.3 Código para la validación /PREP7

!1.-Elementos

ET,1,SHELL281

!2.-Material

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,72.4e9

MPDATA,PRXY,1,,0.33

!3.-Sección

sect,1,shell,,

secdata, 10e-3,1,0.0,3

secoffset,MID

seccontrol,,,, , , ,

!4.-Geometría

BLC4,0,0,900e-3,500e-3

!5.-Mallado

LSEL, , , ,2,4,2

LESIZE,all, , ,20, , , , ,1

LSEL, , , ,1,3,2

LESIZE,all, , ,30, , , , ,1

allsel


MSHKEY,1

AMESH,1

MSHKEY,0

FINISH

/SOLU

ANTYPE,0

PSTRES,ON

!6.-Aplicación de condiciones de contorno

LSEL, , , ,1,4,1

DL,all, ,UZ,0, ,

LSEL, , , ,4

DL,all, ,UX,0, ,

LSEL, , , ,1

DL,all, ,UY,0, ,

allsel

!7.-Aplicación de cargas

allsel

SFL,2,PRES,1,1, , ,

allsel

SFL,4,PRES,1,1, , ,

/STATUS,SOLU

SOLVE

FINISH

/SOLU

ANTYPE,1

EXPASS,0

BUCOPT,LANB,1,0,0,

MXPAND,1,0,0,0,0.001,

/STATUS,SOLU

SOLVE

FINISH

113

ANEXO B. Ensayo de validación 2: Pandeo de placa rectangular isótropa con rigidizador n este segundo ensayo de validación se pretende reproducir de forma exacta los ensayos realizados en [9] y [12]. En [9] los ensayos se realizarán mediante un método semi-empírico de diferencias finitas. En [12] los ensayos se realizan con ANSYS pero con un elemento distinto al empleado en este caso. La

finalidad de este anexo es crear un modelo numérico para un material isótropo y en el que se usen rigidizadores.

B.1 Descripción del problema de estudio y del modelo numérico

La geometría del problema de estudio será la de una placa cuadrada con un rigidizador en el centro de ella. Un esquema de dicha geometría se puede ver en la Figura 0-4.

Figura 0-4. Esquema de la geometría de estudio. Figura extraída de [12].

Como se puede observar el panel rigidizado está sometido a una compresión por unidad de longitud. Las condiciones de contorno en desplazamientos de la placa de acuerdo a [9] y [12] se han resumido en la siguiente tabla.


Grado de libertad Borde 𝑦 = 0 Bordes 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 𝑎 Borde 𝑦 = 𝑏

Desplazamiento según x Impedido Impedido Impedido

Desplazamiento según y Impedido Libre Libre

Desplazamiento según z Impedido Impedido Impedido

Rotación alrededor del eje x Impedido Impedido Impedido

Rotación alrededor del eje y Impedido Impedido Libre

Rotación alrededor del eje z Libre Libre Libre

E

ANEXOS

114

En las referencias mencionadas no se especifica el tipo de material empleado, salvo que será isótropo y las propiedades que tendrá. Estas propiedades se recogen en la Tabla 0-7.

Tabla 0–7. Propiedades mecánicas del material bajo estudio

Magnitud Valor

𝐸 [𝐺𝐺𝑎] 68.7

𝜈 0.3

De acuerdo a [12] la carga crítica de pandeo de la placa puede ser expresada como:

𝜎𝑐𝑐 = 𝐾 �𝜋2𝐷𝑎2ℎ

� ; 𝑐𝑐𝑛 𝐷 =𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈2) (0–12)

El parámetro K es función de ciertos parámetros adimensionales que se definen a continuación:

𝛽 =𝑏𝑎

; 𝜅 =𝐸𝐸𝑎𝐷

; 𝜀 =𝐴𝑎ℎ

(0–13)

Donde:

Los ensayos realizados por [12] se basan en un modelo geométrico dado por las relaciones adimensionales presentadas en la Tabla 0-8.

Tabla 0–8. Parámetros adimensionales que definen la geometría a estudiar

Parámetro Valor

𝛽 1

𝜀 0.2

𝜅 20

ℎ𝑎/ℎ 10.483

ℎ𝑎/𝐴𝑎 2.75

𝑎/ℎ 200

Como se puede observar, si se define un espesor para la placa, ℎ, la geometría de estudio estaría completamente definida. El espesor escogido ha sido:

• 𝑎 𝑦 𝑏: Dimensiones de la placa

• 𝐸: Módulo de rigidez del material

• 𝐸: Momento de inercia del rigidizador

• 𝐷: Constante de rigidez a flexión de la placa

• ℎ: Espesor de la placa


ℎ = 5 𝑚𝑚 (0–14)

La base de la validación en este apartado será calcular la constante 𝐾 de la expresión (0-12) y compararla con las obtenidas por las referencias [9] y [12].

El elemento escogido para la realización del análisis, como viene siendo habitual, será el elemento SHELL 281. Hay que mencionar que este elemento es distinto al usado en [12], ya que en esta referencia aunque se hacen los análisis en ANSYS, se usa el elemento SHELL 36. Además, en la referencia [9] no se usa ANSYS sino un método de resolución del problema mediante diferencias finitas.

En relación con el mallado se realizarán dos mallados distintos, ya que en [12] se realizan dos mallados distintos. El primero será de 18x18 elementos, y el segundo de 20x20 elementos. En la Figura 0-5 se puede ver el modelo de elementos finitos hasta la aplicación de cargas, a falta de calcular la carga crítica de pandeo de la estructura.

Figura 0-5. Modelo de elementos finitos del problema bajo estudio.

En la siguiente tabla se exponen los resultados calculados en las referencias para el factor K de la expresión (0-12).

Tabla 0–9. Resultados extraídos de las referencias [9] y [12].

Magnitud Referencia [9]

(a)

Referencia [12]. 18x18 elementos.

(b)

Referencia [12]. 20x20 elementos.

(c)

𝐾 25.46 24.85 23.44

Usando ANSYS para la resolución del problema planteado no se obtiene el factor K directamente. Lo que se obtiene son los esfuerzos críticos de pandeo en dirección Y, 𝑁𝑦,𝑐𝑐. Para hallar el factor K de estos valores, habrá que calcular la tensión crítica 𝜎𝑐𝑐 en primer lugar multiplicando el valor obtenido con ANSYS por el espesor ℎ de la placa y, posteriormente despejar el factor K de la expresión (0-12).

ANEXOS

116

Así pues, tras realizar los ensayos pertinentes se presentan los resultados obtenidos para las mallas de 18x18 elementos y la de 20x20 elementos en la Tabla 0-10.

Tabla 0–10. Resultados numéricos.

Magnitud 18x18 elementos. 20x20 elementos.

𝐾 26.4911 (d) 26.4512 (e)

𝑁𝑦,𝑐𝑐 �𝑘𝑁𝑚� 2056.1 2053

Tras esto es importante definir las diferencias existentes entre los resultados obtenidos en este análisis con los presentados por las referencias [9] y [12]. Para ello se comparan los factores K obtenidos para cada mallado. En las siguientes expresiones se ponen las fórmulas usadas para calcular estas diferencias.

𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎1 [%] =𝑑 − 𝑎𝑎

· 100 ; 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎2[%] =𝑑 − 𝑏𝑏

· 100 (0–15)

𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎3 [%] =𝐷 − 𝑎𝑎

· 100 ; 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎4[%] =𝐷 − 𝑐𝑐

· 100 (0–16)

Así pues, en la Tabla 0-11 se presentan las diferencias obtenidas:

Tabla 0–11. Diferencias obtenidas

𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎1[%] 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎2[%] 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎3[%] 𝐷𝑠𝑓𝐷𝑟𝐷𝑛𝑐𝑠𝑎4[%]

4.0500 6.6041 3.8931 12.8463

Figura 0-6. Modo de pandeo. Vista cenital.


Figura 0-7. Modo de pandeo (Perspectiva).

Haciendo balance de los valores obtenidos en la Tabla 0-11 para las diferencias, se observa que para ambos mallados se obtienen resultados razonables al comparar con lo obtenido por la referencia [9], pues se obtienen diferencias inferiores al 5 %. Sin embargo, al comparar los resultados obtenidos con la referencia [12] para el mallado de 20x20 se obtiene un valor más elevado de lo normal.

En las Figuras 0-6 y 0-7 se han representado el primer modo de pandeo del panel rigidizado, y aunque en la referencias no viene ninguna imagen con la que se pueda comparar esta información, sí que se comenta en [12] que el modo de pandeo que aparece es antisimétrico en dirección X, como ocurre aquí, si se presta atención a la Figura 0-6.

B.2 Código para la validación /PREP7

!0.-Datos de partida

E=68.7e9

nu=0.3

h=5e-3 !Espesor de la placa

beta=1 !Ratio de longitudes de la placa

a=200*h !Longitud de la placa en direccion x

b=beta*a !Longitud de la placa en direccion y

hs=10.483*h !Profundidad rigidizador(Ver Croquis)

ts=hs/2.75 !Espesor rigidizador

!1.-Elementos

ET,1,SHELL281

!2.-Material

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E

MPDATA,PRXY,1,,nu

!3.-Sección

sect,1,shell,,

ANEXOS

118

secdata, h,1,0.0,3 !Seccion asociada a la placa

secoffset,MID

sect,2,shell,,

secdata, ts,1,0.0,3 !Seccion asociada al rigidizador

secoffset,MID


!4.-Geometría

!4.1-KeyPoints

K,1,0,0,0

K,2,a/2,0,0

K,3,a,0,0

K,4,a,b,0

K,5,a/2,b,0

K,6,0,b,0

K,7,a/2,0,hs

K,8,a/2,b,hs

!4.2-Lines

L,1,2

L,2,3

L,4,5

L,5,6

L,3,4

L,6,1

L,2,5

L,8,7

L,5,8

L,7,2

!4.3-Areas

AL,1,7,4,6

AL,2,3,5,7

AL,7,9,8,10

!5.-Mallado

LSEL, , , ,1,4,1

LESIZE,all, , ,9, , , , ,1

LSEL, , , ,5,8,1

LESIZE,all, , ,18, , , , ,1

LSEL, , , ,9,10,1

LESIZE,all, , ,2, , , , ,1


allsel

ASEL, , , , 1, 2, 1 !Seleccionamos área 1 y 2

AATT, 1, , 1, , 1 !Aplicamos el primer tipo de seccion a la seleccion hecha

ASEL, , , , 3 !Seleccionamos área 1 y 2

AATT, 1, , 1, ,2 !Aplicamos el segundo tipo de seccion a la seleccion hecha

allsel

MSHKEY,1

AMESH,1,3,1

MSHKEY,0

FINISH

/SOLU

ANTYPE,0

PSTRES,ON

!6.-Aplicación de condiciones de contorno en desplazamientos

LSEL, , , ,1,2,1

DL,all, ,UX,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,

DL,all, ,ROTY,0, ,

LSEL, , , ,5,6,1

DL,all, ,UX,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

!DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,

DL,all, ,ROTY,0, ,

LSEL, , , ,3,4,1

DL,all, ,UX,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,

!DL,all, ,ROTY,0, ,


allsel

LSEL, , , ,1,4,1

SFL,all,PRES,1,1, , ,

allsel

/STATUS,SOLU

SOLVE

FINISH

/SOLU

ANTYPE,1

ANEXOS

120

EXPASS,0

BUCOPT,LANB,1,0,0,

MXPAND,1,0,0,0,0.001,

/STATUS,SOLU

SOLVE

FINISH

121

ANEXO C. Códigos de ANSYS de los modelos presentados en el capítulo 3

C.1 Código del apartado 3.2 /PREP7


E1=131e9 ![Pa]

E2=13E9 ![Pa]

G12=6410E6 ![Pa]

G23=G12 ![Pa]

NU12=0.38

NU23=E2/2/G23-1

Nx=175.1e3 !Esfuerzo aplicado en direccion x [N/m]

a=762E-3 !Longitud de la placa en direccion x [m]

b=a !Longitud de la placa en direccion y [m]

l=a/12 !parámetro que me va a definir la posición en la dirección X ¡de los rigidizadores

hs=34.34e-3 !Profundidad rigidizador(Ver Croquis de Stroud)

t1=0.1397E-3 ![m]

t2=1.2573E-3 ![m]

t3=0.2794E-3 ![m]

!1.-Elementos

ET,1,SHELL281

ET,2,SHELL281

!2.-Material

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E1

MPDATA,EY,1,,E2

MPDATA,PRXY,1,,NU12

MPDATA,PRYZ,1,,NU23

MPDATA,GXY,1,,G12

MPDATA,GYZ,1,,G23

MPDATA,GXZ,1,,G12

!3.-Sección

sectype,1,shell,,

secdata,t1,1,-45,

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,0,3

secdata,t2,1,90,3

ANEXOS

122

secdata,t1,1,0,3

secdata, t1,1,45,3

secdata, t1,1,-45,3

secdata, t1,1,-45,3

secdata, t1,1,45,3

secoffset,MID

sectype,2,shell,,

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t3,1,0,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,-45,3

secoffset,MID


!4.-Geometría

!4.1-KeyPoints

!Puntos de la placa

K,1,0,0,0

K,2,0,l,0

K,3,0,3*l,0

K,4,0,5*l,0

K,5,0,7*l,0

K,6,0,9*l,0

K,7,0,11*l,0

K,8,0,12*l,0

K,9,a,12*l,0

K,10,a,11*l,0

K,11,a,9*l,0

K,12,a,7*l,0

K,13,a,5*l,0

K,14,a,3*l,0

K,15,a,l,0

K,16,a,0,0

!Puntos de los rigidizadores

K,17,0,l,-hs

K,18,a,l,-hs

K,19,0,3*l,-hs

K,20,a,3*l,-hs


K,21,0,5*l,-hs

K,22,a,5*l,-hs

K,23,0,7*l,-hs

K,24,a,7*l,-hs

K,25,0,9*l,-hs

K,26,a,9*l,-hs

K,27,0,11*l,-hs

K,28,a,11*l,-hs

!4.2-Lines

L,1,2 !1

L,2,3 !2

L,3,4 !3

L,4,5 !4

L,5,6 !5

L,6,7 !6

L,7,8 !7

L,9,10 !8

L,10,11 !9

L,11,12 !10

L,12,13 !11

L,13,14 !12

L,14,15 !13

L,15,16 !14

L,1,16 !15

L,2,15 !16

L,3,14 !17

L,4,13 !18

L,5,12 !19

L,6,11 !20

L,7,10 !21

L,8,9 !22

L,17,18 !23

L,19,20 !24

L,21,22 !25

L,23,24 !26

L,25,26 !27

L,27,28 !28

L,2,17 !29

L,3,19 !30

L,4,21 !31

L,5,23 !32

L,6,25 !33

L,7,27 !34

L,10,28 !35

ANEXOS

124

L,11,26 !36

L,12,24 !37

L,13,22 !38

L,14,20 !39

L,15,18 !40

!4.3-Areas

AL,16,14,15,1 !A1

AL,17,13,16,2 !A2

AL,18,12,17,3 !A3

AL,19,11,18,4 !A4

AL,20,10,19,5 !A5

AL,21,9,20,6 !A6

AL,22,8,21,7 !A7

allsel

AL,16,40,23,29 !A8

AL,17,39,24,30 !A9

AL,18,38,25,31 !A10

AL,19,37,26,32 !A11

AL,20,36,27,33 !A12

AL,21,35,28,34 !A13

ASEL, , , ,8,13,1

AREVERSE,ALL

!5.-Mallado

allsel

LSEL, , , ,1,7,6

LESIZE,all, , ,2, , , , ,1

LSEL, , , ,8,14,6

LESIZE,all, , ,2, , , , ,1

LSEL, , , ,2,6,1

LESIZE,all, , ,4, , , , ,1

LSEL, , , ,9,13,1

LESIZE,all, , ,4, , , , ,1

LSEL, , , ,15,28,1

LESIZE,all, , ,36, , , , ,1

LSEL, , , ,29,40,1

LESIZE,all, , ,2, , , , ,1

allsel

LOCAL, 11,0


CSYS,0

ESYS,11

ASEL, , , , 1, 7, 1 !Seleccionamos área 1 y 3

AATT, 1, , 1,11, 1 !Aplicamos el primer tipo de seccion a la seleccion hecha

ASEL, , , ,8,13,1 !Seleccionamos área 2

AATT, 1, , 2,,2 !Aplicamos el segundo tipo de seccion a la seleccion hecha

allsel

MSHKEY,1

AMESH,1,13,1

MSHKEY,0

FINISH

CSYS,0

/SOLU

ANTYPE,0

PSTRES,ON ¡ Se activan los efectos pre-stress


LSEL, , , ,1,14,1

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,

LSEL, , , ,15,22,7

DL,all, ,UX,0, ,

!DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

DL,all, ,ROTY,0, ,


allsel

LSEL, , , ,1,14,1

SFL,all,PRES,Nx,, , ! Este sería el Nx

allsel

SOLVE

FINISH

/SOLU

ANTYPE,1

EXPASS,0

BUCOPT,LANB,1,0,0,

MXPAND,1,0,0,0,0.001,

SOLVE

FINISH

ANEXOS

126

C.2 Código del apartado 3.3 /PREP7 !0.-Datos de partida

E1=220.1796e9 ![Pa]

E2=14.9284e9 ![Pa]

G12=14.6623e9 ![Pa]

G23=5.4269e9 ![Pa]

NU12=0.2360

NU23=0.3754

angulo=90 !Ángulo de orientación de la fibra

Nx=1 !Esfuerzo aplicado en direccion x [N/m]


b=a/2 !Longitud de la placa en direccion y [m]

t1=0.02E-2 ![m]

!1.-Elementos

ET,1,SHELL281

KEYOPT,1,8,2

!2.-Material

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E1

MPDATA,EY,1,,E2

MPDATA,EZ,1,,E2

MPDATA,PRXY,1,,NU12

MPDATA,PRXZ,1,,NU12

MPDATA,PRYZ,1,,NU23

MPDATA,GXY,1,,G12

MPDATA,GYZ,1,,G23

MPDATA,GXZ,1,,G12

!3.-Sección

sectype,1,shell,,

secdata,t1,1,angulo,3

secoffset,MID

secoffset,MID

!4.-Geometría

!4.1-KeyPoints

K,1,0,0,0

K,2,a,0,0

K,3,a,b,0

K,4,0,b,0


!4.2-Lines

L,1,2 !1

L,2,3 !2

L,3,4 !3

L,4,1 !4

!4.3-Areas

AL,1,2,3,4 !A1

Allsel

!5.-Mallado

LSEL, , , ,2,4,2

LESIZE,all, , ,20, , , , ,1

allsel

LSEL, , , ,1,3,2

LESIZE,all, , ,30, , , , ,1

allsel

MSHKEY,1

AMESH,1

MSHKEY,0

FINISH

/SOLU

ANTYPE,0

PSTRES,ON


LSEL, , , ,1,4,1

DL,all, ,UZ,0, ,

allsel

LSEL, , , ,1,3,2

DL,all, ,UX,0, ,

DL,ALL, ,ROTY,0, ,

LSEL, , , ,2,4,2

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,


allsel

LSEL, , , ,2,4,2


allsel

SOLVE

FINISH

/SOLU

ANEXOS

128 ANTYPE,1

EXPASS,0

BUCOPT,LANB,1,0,0,

MXPAND,1,0,0,0,0.001,

SOLVE

FINISH

/POST1

SET,FIRST

PLNSOL,U,Z,1,0

C.3 Código del apartado 3.4 /PREP7


E1=221.6160e9 ![Pa]

E2=12.9523e9 ![Pa]

G12=9.2397e9 ![Pa]

G23=4.7435e9 ![Pa]

NU12=0.2360

NU23=0.3653



b=a/2 !Longitud de la placa en direccion y [m]

t=2e-2 ![m]

t1=t/8 ![m]

!1.-Elementos

ET,1,SHELL281

KEYOPT,1,8,2

!2.-Material

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E1

MPDATA,EY,1,,E2

MPDATA,EZ,1,,E2

MPDATA,PRXY,1,,NU12

MPDATA,PRXZ,1,,NU12

MPDATA,PRYZ,1,,NU23

MPDATA,GXY,1,,G12

MPDATA,GYZ,1,,G23

MPDATA,GXZ,1,,G12

!3.-Sección

sectype,1,shell,,


secdata,t1,1,90,3

secdata,t1,1,0,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,0,3

secdata,t1,1,90,3

secoffset,MID

!4.-Geometría

!4.1-KeyPoints

K,1,0,0,0

K,2,a,0,0

K,3,a,b,0

K,4,0,b,0

!4.2-Lines

L,1,2 !1

L,2,3 !2

L,3,4 !3

L,4,1 !4

!4.3-Areas

AL,1,2,3,4 !A1

allsel

!5.-Mallado

LSEL, , , ,2,4,2

LESIZE,all, , ,20, , , , ,1

allsel

LSEL, , , ,1,3,2

LESIZE,all, , ,30, , , , ,1

allsel

MSHKEY,1

AMESH,1

MSHKEY,0

FINISH

/SOLU

ANTYPE,0

PSTRES,ON


LSEL, , , ,1,4,1

DL,all, ,UZ,0, ,

allsel

LSEL, , , ,1,3,2

ANEXOS

130

DL,all, ,UX,0, ,

DL,ALL, ,ROTY,0, ,

LSEL, , , ,2,4,2

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,


allsel

LSEL, , , ,2,4,2


allsel

SOLVE

FINISH

/SOLU

ANTYPE,1

EXPASS,0

BUCOPT,LANB,1,0,0,

MXPAND,1,0,0,0,0.001,

SOLVE

FINISH

131

ANEXO D. Códigos de ANSYS de los modelos presentados en el capítulo 4

D.1 Código del apartado 4.5 /PREP7


E1=208.0200e9 ![Pa]

E2=11.9366E9 ![Pa]

G12=7.8510E9 ![Pa]

G23=4.3671e9 ![Pa]

NU12=0.2450

NU23=0.3666

rho=1653 ![kg/m3]


h=1.3 !Espaciado entre costillas=Longitud de los larguerillos [m]

b=179e-3 !Paso entre larguerillos [m]

t=3e-3 !Espesor total del panel de material compuesto [m]

hs=117e-3 !Altura de los rigidizadores [m]

t1=5e-2/8 !Espesor de una lámina de material compuesto [m]

t2=2.5e-2/8

!1.-Elementos

ET,1,SHELL281

!2.-Material

MPTEMP,,,,,,,,

MPTEMP,1,0

MPDATA,EX,1,,E1

MPDATA,EY,1,,E2

MPDATA,EZ,1,,E2

MPDATA,PRXY,1,,NU12

MPDATA,PRXZ,1,,NU12

MPDATA,PRYZ,1,,NU23

MPDATA,GXY,1,,G12

MPDATA,GYZ,1,,G23

MPDATA,GXZ,1,,G12

MPDATA,DENS,1,,rho

!3.-Sección

sectype,1,shell,,

secdata,t1,1,45,3

secdata,t1,1,0,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,90,3

ANEXOS

132

secdata,t1,1,90,3

secdata,t1,1,-45,3

secdata,t1,1,0,3

secdata,t1,1,45,3

sectype,2,shell,,

secdata,t2,1,45,3

secdata,t2,1,0,3

secdata,t2,1,-45,3

secdata,t2,1,90,3

secdata,t2,1,90,3

secdata,t2,1,-45,3

secdata,t2,1,0,3

secdata,t2,1,45,3

secoffset,MID


!4.-Geometría

!4.1-KeyPoints

K,1,h,0,0

K,2,h,b/2,0

K,3,h,b,0

K,4,0,b,0

K,5,0,b/2,0

K,6,0,0,0

K,7,h,b/2,-hs

K,8,0,b/2,-hs

!4.2-Lines

L,1,2 !1

L,2,3 !2

L,4,5 !3

L,5,6 !4

L,3,4 !5

L,6,1 !6

L,2,5 !7

L,2,7 !8

L,7,8 !9

L,8,5 !10

!4.3-Areas

AL,1,7,4,6 !A1

AL,2,5,3,7 !A2

AL,7,10,9,8 !A3


ASEL, , , , 1, 2, 1

AREVERSE,ALL

Allsel

!5.-Mallado

LSEL, , , ,1,4,1

LESIZE,all, , ,2, , , , ,1

LSEL, , , ,5,7,1

LESIZE,all, , ,40, , , , ,1

LSEL, , , ,9,,

LESIZE,all, , ,40, , , , ,1

LSEL, , , ,8,10,2

LESIZE,all, , ,2, , , , ,1

allsel

ASEL, , , , 1, 2, 1

AATT, 1,, 1,, 1

ASEL, , , , 3

AATT, 1,, 1,, 2

allsel

MSHKEY,1

AMESH,1,3,1

! Ahora hay que multiplicar esta unidad estructural

ASEL, , , , 1, 3, 1

AGEN, 30, all, , , , b, , , 0,0

NUMMRG,ALL

FINISH

/SOLU

ANTYPE,0

PSTRES,ON


!6.1.-Condición de contorno en el borde de ataque del panel

LSEL, , , , 6

DL,all, ,UX,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

DL,all, ,ROTY,0, ,

!6.2.-Condiciones de contorno en los apoyos entre costillas,es decir, donde va aplicada la carga. Se dividen en dos bloques

LSEL, , , , 1, 291, 10

LSEL,A, , , 15, 295, 10

LSEL,A, , , 2

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

ANEXOS

134

DL,all, ,ROTX,0, ,

LSEL, , , ,3,293,10

LSEL,A , , ,17,297,10

LSEL,A, , ,4

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,UZ,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,

DL,all, ,UX,0, ,

!6.3.-condiciones de contorno en el plano de simetría del panel

LSEL, , , , 296

DL,all, ,UY,0, ,

DL,all, ,ROTX,0, ,

allsel


LSEL, , , , 1, 291, 10

LSEL,A, , , 15, 295, 10

LSEL,A, , , 2


allsel

SOLVE

FINISH

/SOLU

ANTYPE,1

EXPASS,0

BUCOPT,LANB,1,0,0,

MXPAND,1,0,0,0,0.001,

SOLVE

FINISH

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica

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