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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL PROYECTO FIN DE CARRERA SIMULACIÓN DEL FLUJO SANGUÍNEO EN UNA ANASTOMOSIS ARTERIAL AUTOR: MARTA LAGE SOUSA MADRID, Junio 2011

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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE CARRERA

SIMULACIÓN DEL FLUJO SANGUÍNEO

EN UNA ANASTOMOSIS ARTERIAL

AUTOR: MARTA LAGE SOUSA

MADRID, Junio 2011

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Proyecto realizado por el alumno/a:

Marta Lage Sousa

Fdo.: Fecha: ……/ ……/ ……

Autorizada la entrega del proyecto cuya información no es de

carácter confidencial

LOS DIRECTORES DEL PROYECTO

Alexis Cantizano González

Fdo.: Fecha: ……/ ……/ ……

Mario Castro Ponce

Fdo.: Fecha: ……/ ……/ ……

Vº Bº del Coordinador de Proyectos:

José Ignacio Linares Hurtado

Fdo.: Fecha: ……/ ……/ ……

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SIMULACIÓN DEL FLUJO SANGUÍNEO EN UNA

ANASTOMOSIS ARTERIAL

Autor: Lage Sousa, Marta.

Director: Cantizano González, Alexis y Castro Ponce, Mario.

Entidad colaboradora: ICAI – Universidad Pontificia Comillas.

RESUMEN DEL PROYECTO

Las enfermedades coronarias constituyen la primera causa de muerte en Europa y

Estados Unidos, de ahí el interés potencial por simular el comportamiento del flujo de la

sangre a través de estas arterias, ya que son las encargadas de irrigar el miocardio,

asegurando el bombeo del corazón.

La patología más común es la ateroesclerosis coronaria, en la que, debido a la

acumulación de colesterol, grasa y otras sustancias lipídicas, se forma una placa de

ateroma que provoca el cierre –parcial o total– de estas arterias. Una solución que emplea

la cirugía arterial es realizar un bypass: se construye un camino alternativo para sortear la

obstrucción y restituir el flujo normal de la sangre por la arteria principal.

En la siguiente figura se muestra un esquema de la configuración de un bypass. La

geometría objetivo de este proyecto se denomina anastomosis distal, que abarca la zona

del bypass señalada. Consiste en la unión entre la arteria injerto –que realiza el aporte de

sangre– y la arteria coronaria –la arteria principal que se ha obstruido.

Figura i: Esquema del bypass arterial y la zona de anastomosis, de la que se indican sus zonas críticas.

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El comportamiento de las variables hemodinámicas en la anastomosis está

relacionado con las dos enfermedades principales que provocan el engrosamiento de la

pared arterial y el subsiguiente fallo del bypass: la reaparición de aterosclerosis y la

hiperplasia intimal –crecimiento acelerado de la capa interna de la pared arterial.

Es por ello que este proyecto estudia, apoyándose en los principios de la

hemodinámica y consideraciones clínicas, a través de técnicas de la Dinámica de Fluidos

Computacional (CFD), el comportamiento del flujo sanguíneo en una anastomosis

coronaria. De esta forma se podrán tener en cuenta las zonas y parámetros críticos, con el

fin de optimizar este tipo de intervenciones quirúrgicas.

En este estudio por tanto hay dos objetivos principales:

1. La construcción de un modelo tridimensional para comprender y analizar el

comportamiento del flujo sanguíneo en las arterias.

2. El diseño de una geometría de anastomosis óptima que aumente las

probabilidades de éxito del bypass.

La metodología se ajusta a la consecución de ambos objetivos, de la forma que se

explica a continuación.

Primero se realiza un modelo numérico del flujo sanguíneo a través del software de

simulación OpenFOAM. La sangre se caracteriza como un fluido real, Newtoniano e

incompresible, que fluye a través de una arteria de pared totalmente rígida. Se consideran

el régimen estacionario y el oscilatorio, siendo este último el comportamiento real del

flujo sanguíneo.

Para validar el modelo, se comprueba a través de la herramienta Matlab la

coincidencia de los perfiles de velocidad con las soluciones analíticas de Poiseuille –

régimen laminar– y Womersley –régimen oscilatorio– respectivamente.

El segundo objetivo se alcanza en dos etapas. En la primera, se determina la

influencia de las variables geométricas –ángulos del injerto de 30º, 45º y 60º, y diámetros

de 75% y 100% respecto al diámetro de la arteria principal– en las variables

hemodinámicas –velocidad, presión, tensión tangencial. Es decir, se construyen cuatro

geometrías de anastomosis donde se simula el flujo de Womersley validado. Se realiza

una malla tridimensional de volúmenes finitos tetraédricos en Ansys que se traduce a

OpenFOAM para llevar a cabo la simulación.

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En segundo lugar, se investigan los indicadores hemodinámicos críticos para el

desarrollo de enfermedades arteriales asociadas con el fallo del bypass coronario, a través

de una revisión bibliográfica.

De esta forma se encuentran secuencias del tipo:

Relacionando los resultados de ambas etapas, se comprueba que efectivamente los

valores críticos de los parámetros hemodinámicos destacados en la literatura se

identifican también –según la geometría, de forma más o menos pronunciada– en los

resultados de la simulación. Se encuentran siete indicadores clave que sirven para

discriminar el mejor diseño de anastomosis, representados en la Figura ii.

Figura ii: (a) Primer bloque, indicadores críticos del comportamiento del flujo. (b) Segundo bloque, ETP

(esfuerzo tangencial en la pared), GETP (gradiente espacial del esfuerzo tangencial en la pared), GP

(gradiente de presión).

Finalmente se procede a la comparación del comportamiento de estos indicadores

hemodinámicos en las cuatro geometrías. Las tres primeras tienen el mismo diámetro de

injerto que la arteria principal. Las cuatro configuraciones son: “a30” –ángulo de 30º del

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injerto–, “a45” –45º–, “a60” –60º– y “d3a45” –ángulo de 45º del injerto y diámetro del

75% respecto a la arteria principal: 3 mm respecto a 4 mm.

Se resumen los resultados en la tabla siguiente, donde el color azul representa el

mejor comportamiento hemodinámico, que empeora según el orden verde, naranja y rojo,

considerado como inaceptable.

a30 a45 a60 d3a45

BL

OQ

UE

Flujo inverso NO NO SÍ SÍ

Recirculación 1 (suelo) 1 (suelo) 1(punta) 3 zonas

Puntos estancamiento SÍ SÍ SÍ SÍ (más)

Separación de flujo SÍ SÍ SÍ (menos) SÍ (más)

BL

OQ

UE

ETP

< 1 Pa

Estable 1 - 2.5 1 - 2.2 1.75 - 2.5 1 - 1

Talón 0 0.1/0 0.25/0 0.3/0

Punta 1.5/0.4 2.5/0.2 1.5/-1 0.8/-0.2

Suelo 3.5/-0.5 4/-0.5 4/-0.5 4/-1

GETP

alto

Talón 0% 3% 7% 8%

Punta 22% 66% 100% 40%

Suelo 40% 56% 69% 100%

Picos

locales

GP

Talón 0 0 0 0

Punta (mín) 22(30) 37(25) 60(20) 8 (10)

Suelo (máx) 6 (60) 8(70) 4(82) 20 (40)

Tabla i: Resultados

En cuanto al Primer bloque, la variable discriminatoria principal es la presencia o

ausencia de flujo inverso. Respecto a este efecto, y también de forma global, destaca el

mejor comportamiento de “a30” y “a45” frente a “d3a45” que queda descartada.

Respecto al Segundo bloque, es importante aclarar primero el significado de los

resultados numéricos.

- ETP (Pa): Un valor de ETP menor a 1 Pa se considera desfavorable frente a 1.5 Pa

que representa el óptimo. El ETP “estable” es el valor al final de la arteria principal

(ETP en la parte superior – ETP en el suelo). De las cuatro geometrías se comprueba

que las geometrías “a60” y “a30” se ajustan mejor a estos valores.

En las tres zonas críticas se representa: “Valor máximo ETP/ valor mínimo ETP”. Se ha

sombreado en color rojo prácticamente las cuatro geometrías en las tres zonas críticas.

Esto coincide con lo esperado, ya que debido a que presentan valores de ETP menores

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de 1 Pa se consideran precisamente las tres zonas más desfavorables. La principal

conclusión al respecto es que, en la punta, las geometrías donde el ETP no llega a

anularse son “a30” y “a45” exclusivamente. Además, el caso “d3a45” se descarta

nuevamente por su peor comportamiento en las tres regiones críticas.

- GETP (% respecto al máximo): Es el indicador más representativo del Segundo

bloque, ya que el cambio en el ETP es lo que más influye en la lesión de la arteria, y de

hecho las zonas críticas sí presentan grandes diferencias respecto a él. Se comprueba

que el mejor comportamiento global sigue la secuencia “a30”, “a45”,”a60” y “d3a45”,

empeorando en este orden.

- GP (Pa): Los números significan la disminución –en el caso de la punta– y el

aumento –en el caso del suelo– local del GP, seguido entre paréntesis del pico local

mínimo o máximo, en cada caso. Se considera como mejor geometría “a30” porque

aunque esté en color verde, las sombreadas en azul llegan a valores de GP extremo. Los

valores favorables de GP en una arteria no son ni tan pequeños –10 Pa para “a60”– ni

tan altos –80 Pa para “d3a45”.

Por tanto en este proyecto se extraen dos conclusiones clave:

La geometría “d3a45” es claramente la de peor comportamiento y en

consecuencia queda descartada frente al resto. No es recomendable por tanto la

cirugía con diámetros de injerto menores al principal.

La geometría “a30” presenta el mejor comportamiento de forma global,

destacando la ausencia de flujo inverso y debido también a su menor valor de GETP

en las tres zonas críticas.

En conclusión, el presente estudio respalda la recomendación de un ángulo de

anastomosis de 30º basándose en el modelo numérico validado y ensayado para las

diferentes geometrías. De los cuatro casos estudiados, esta configuración es la que

minimiza el riesgo de enfermedad coronaria y el subsiguiente fallo del bypass.

Sin embargo, se hace necesaria una ampliación del modelo tridimensional creado

para reflejar, con mayor exactitud, el comportamiento complejo del flujo sanguíneo y

poder extrapolar las conclusiones obtenidas al campo de la cirugía vascular.

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SIMULATION OF BLOOD FLOW IN ARTERIAL

ANASTOMOSES

Author: Lage Sousa, Marta.

Supervisor: Cantizano González, Alexis and Castro Ponce, Mario.

Organization: ICAI – Universidad Pontificia Comillas.

ABSTRACT

Coronary heart disease is the leading cause of death in Europe and the United States.

It is thus of particular interest to simulate the blood flow in these arteries, which irrigate

the myocardium, enabling the pumping action of the heart.

Coronary atherosclerosis is the most common disease, in which an atheromatous

plaque is formed due to the accumulation of cholesterol, fat and other lipidic

substances, hence causing the total or partial blockage of these arteries. One solution used

in arterial surgery is to perform a bypass: an alternative route is built to bypass the

blockage and restore normal blood flow through the main artery.

Figure i shows a schematic of bypass configuration. The distal anastomotic region is

highlighted in red, and it represents the main geometry of study. A distal anastomosis is

the connection between two arteries, where the bypass graft diverts the blood supply

around the blocked coronary artery.

Figure i: Schematic of arterial bypass and anastomosis region, indicating its critical areas.

Disturbed hemodynamic patterns in the anastomosis are closely related to the two

main diseases that cause the thickening of the artery wall and subsequent graft failure:

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atherosclerosis recurrence and intimal hiperplasia –the accelerated growth of the inner

layer of the artery wall.

Hence, this project studies, based on hemodynamic and clinical considerations, and

it analyzes through Computational Fluid Dynamics (CFD) techniques, the behavior of

blood flow in the coronary anastomosis. The critical areas and parameters are examined

in order to optimize this surgical procedure.

Thus, this project comprises two main objectives:

1. The construction of a three dimensional model to understand and analyze the

behavior of blood flow in arteries.

2. The design of an optimal anastomosis geometry which increases the

probability of bypass success.

The methodology is consistent with the consecution of both objectives, as explained

below.

Firstly, a numerical model of blood flow is performed using the OpenFOAM

simulation software. The blood is characterized as a real, Newtonian and incompressible

fluid, and it flows through an artery of rigid wall. Both steady and oscillatory states are

taken into account, where the latter represents the actual behavior of blood flow.

The matching between the simulation velocity profiles and the Poiseuille –steady

state– and Womersley –oscillatory state– analytical solutions is verified in Matlab in

order to validate the model.

The second objective is achieved in two stages. The first stage studies the influence

of the geometric variables –graft angle of 30 º, 45 º and 60 º, and diameters of 75% and

100% in relation with the main artery diameter– in the hemodynamic parameters –

velocity, pressure, and shear stress. This involves the creation of four different

anastomosis geometries in which the Womersley flow is simulated. A three-dimensional

mesh of tetrahedral volume elements is built in Ansys, and it is translated to OpenFOAM

in order to carry out the simulation.

The second stage consists on a literature review in order to identify the

hemodynamic parameters which are critical to the development of artery diseases that are

related to coronary bypass failure.

This results in the construction of the following type of sequences:

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Relating the results of both stages, it is found that the critical hemodynamic values

that are highlighted in the literature are also identified –to a lesser or greater extent,

depending on the geometry– in the simulation results. There are seven key indicators used

to identify the best anastomosis design. They are shown in Figure ii below.

Figure ii: (a) First set of parameters: critical indicators of the flow behavior. (b) Second set: WSS (wall shear

stress), WSSG (wall shear stress gradient), and GP (pressure gradient).

Finally, the hemodynamic performance of these indicators in the four geometries is

compared. The first three configurations are equal in diameter to the main artery. The

four geometries are: "a30" –graft angle of 30 degrees–, "a45" –45 degrees–, "a60" –60

degrees– and "d3a45” –graft angle of 45 degrees and a graft diameter size of 3 mm

instead of 4 mm of the host artery.

The results of the simulation are summarized in the following table, where blue

represents the best hemodynamic performance, getting worse in a green-orange-red order,

thus considering the red color as unacceptable.

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a30 a45 a60 d3a45

FIR

ST

SE

T

Reverse flow NO NO YES YES

Flow recirculation 1 (floor) 1 (floor) 1 (toe) 3 regions

Stagnation point YES YES YES YES (high)

Flow separation YES YES YES (low) YES (high)

SE

CO

ND

SE

T

WSS

< 1 Pa

Steady 1 - 2.5 1 - 2.2 1.75 - 2.5 1 - 1

Heel 0 0.1/0 0.25/0 0.3/0

Toe 1.5/0.4 2.5/0.2 1.5/-1 0.8/-0.2

Floor 3.5/-0.5 4/-0.5 4/-0.5 4/-1

High

WSSG

Heel 0% 3% 7% 8%

Toe 22% 66% 100% 40%

Floor 40% 56% 69% 100%

Local

PG

peaks

Heel 0 0 0 0

Toe (min) 22 (30) 37 (25) 60 (20) 8 (10)

Floor (max) 6 (60) 8 (70) 4(82) 20 (40)

Table i: Simulation results.

As to the First set, the main discriminating variable is the presence or absence of

reverse flow. Concerning this effect, and also regarding globally behavior, it is noted the

better performance of "a30" and "a45" versus "d3a45" which is rejected.

Regarding the Second set, it is important to firstly clarify the meaning of the

numerical results.

- WSS (Pa): A WSS lower than 1 Pa value is considered as unfavorable, in contrast to

1.5 Pa which represents the optimum. The "steady" WSS stands for the value of this

parameter at the end of the main artery (WSS at the top - WSS in the floor). It is found

that "a60" and "a30" geometries are better suited to these WSS values if compared to

the remaining two.

In the three critical areas the “WSS maximum/WSS minimum” is represented. Note that

the majority of the cells are shaded in red. This is consistent with the actual behavior,

because the toe, heel and floor areas are considered the most unfavorable zones because

the WSS value gets lower than 1 Pa. The single conclusion drawn in this analysis is that

the "a30" and "a45" are the only geometries where the WSS does not become zero at the

toe. The “d3a45” geometry is again rejected because it shows the worst performance in

the three critical regions.

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- WSSG (% compared to maximum): It is the most representative indicator of the

Second set, since the change in the WSS is the largest contributor to coronary disease,

and in fact it shows different behaviors depending on the geometry. It is found that the

best performance follows the sequence "a30"-"a45”-"a60"-"d3a45”, where the first case

represents the best behavior.

- PG (Pa): The numbers in this section represent the local decrease –in the toe– or

increase –in the floor– of PG, followed in parentheses by the minimum and maximum

local peak, respectively. It is considered "a30" to be the best geometry because,

although it is shaded in green, the blue shaded geometries reach extreme PG values. The

favorable PG values in an artery are neither as small –10 Pa in "a60"– nor high –80 Pa

in"d3a45”.

Therefore, two key conclusions are drawn in this project:

Case "d3a45" is clearly the worst performing geometry and consequently

it is rejected. Hence, it is not recommended to perform a graft surgery with lower

diameters than the host artery.

Case "a30" represents the best overall performance, noting the absence of

reverse flow and due to its WSSG lower value in the three critical areas.

In conclusion, this study supports the recommendation of an anastomosis angle of 30

degrees, based on the numerical model validated and tested for different geometries.

From all the four cases studied, this configuration minimizes the risk of coronary disease

and subsequent bypass failure.

However, further development of this three dimensional model is required to more

accurately reproduce the complex behavior of blood flow, in order to extend these

recommendations to the vascular surgery field.

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ÍNDICE GENERAL

Índice de Figuras......................................................................................................................i

Índice de Tablas .....................................................................................................................vi

Lista de Símbolos ................................................................................................................. vii

Capítulo 1 Introducción .................................................................................................. 1

1.1 Introducción y motivación .................................................................................... 2

1.2 Objetivos ................................................................................................................ 2

1.3 Contenido del trabajo ........................................................................................... 3

1.4 Introducción a la Hemodinámica ......................................................................... 4

1.4.1 Referencias históricas ........................................................................................................... 5

1.4.2 Aspectos Físicos de la Hemodinámica ................................................................................. 7

1.4.2.1 Conceptos fundamentales de la Hemodinámica. .......................................................... 8

1.4.2.2 Consideraciones del flujo sanguíneo .......................................................................... 20

1.5 Estudio del caso: Anastomosis arterial .............................................................. 22

1.5.1 Morfología .......................................................................................................................... 22

1.5.2 Enfermedades que causan el fallo de una anastomosis. Consideraciones médicas ............ 25

1.5.3 Secuencias .......................................................................................................................... 30

1.5.4 Modelos numéricos previos ................................................................................................ 35

Capítulo 2 Preliminares Matemáticos ......................................................................... 37

2.1 Hipótesis realizadas ............................................................................................. 38

2.2 Ecuaciones de Navier – Stokes. Formulación fuerte del problema ................. 39

2.3 Soluciones analíticas ............................................................................................ 40

2.3.1 Solución de Poiseuille ........................................................................................................ 41

2.3.2 Solución de Womersley ...................................................................................................... 41

Capítulo 3 Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo ................................................. 43

3.1 El software OpenFOAM ..................................................................................... 44

3.1.1 Estructura general ............................................................................................................... 44

3.1.2 Preprocesamiento y postprocesamiento .............................................................................. 45

3.1.3 Estructura de los archivos ................................................................................................... 46

3.2 Validación del modelo ......................................................................................... 47

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3.2.1 Flujo de Poiseuille en un cilindro recto .............................................................................. 47

3.2.1.1 Geometría del modelo y mallado ................................................................................ 47

3.2.1.2 Resultados ................................................................................................................... 47

3.2.1.3 Validación del modelo ................................................................................................ 48

3.2.2 Flujo de Womersley en un cilindro recto. .......................................................................... 49

3.2.2.1 Geometría del modelo y mallado ................................................................................ 49

3.2.2.2 Resultados ................................................................................................................... 50

3.2.2.3 Validación del modelo ................................................................................................ 54

Capítulo 4 Aplicación al Caso: Anastomosis Arterial ................................................ 58

4.1 Objetivos y especificación ................................................................................... 59

4.2 Datos ..................................................................................................................... 59

4.3 Implantación numérica a una anastomosis arterial. Análisis de

sensibilidad ........................................................................................................................ 61

4.3.1 Caso 1 ................................................................................................................................. 65

4.3.1.1 Geometría del modelo y mallado ................................................................................ 65

4.3.1.2 Resultados ................................................................................................................... 66

4.3.2 Caso 2 ................................................................................................................................. 75

4.3.2.1 Geometría del modelo y mallado ................................................................................ 75

4.3.2.2 Resultados ................................................................................................................... 76

4.3.3 Caso 3 ................................................................................................................................. 81

4.3.3.1 Geometría del modelo y mallado ................................................................................ 81

4.3.3.2 Resultados ................................................................................................................... 82

4.3.4 Caso 4 ................................................................................................................................. 87

4.3.4.1 Geometría del modelo y mallado ................................................................................ 87

4.3.4.2 Resultados ................................................................................................................... 88

4.4 Comparación de resultados ................................................................................ 93

Capítulo 5 Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación ................................... 101

5.1 Conclusiones ...................................................................................................... 102

5.2 Líneas futuras de investigación. ....................................................................... 105

Bibliografía .......................................................................................................................... 107

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Índice de figuras i

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Fluido ideal [WEST05] ............................................................................................. 7

Figura 2: Fluido real, régimen de Poiseuille [WEST05] .......................................................... 8

Figura 3: Esfuerzo cortante frente a velocidad de deformación en distintos fluidos [WEST05]

.................................................................................................................................................. 8

Figura 4: Perfil de velocidad y velocidad de deformación [WEST05] ..................................... 9

Figura 5: Perfil parabólico de Poiseuille [WEST05] ................................................................ 9

Figura 6: Flujo laminar (izquierda) y turbulento (derecha) [WEST05] .................................. 10

Figura 7: Régimen del flujo según curva caudal - caída de presión [WEST05] ..................... 11

Figura 8: Sístole y diástole en un ciclo cardiaco. ................................................................... 13

Figura 9: Perfil de velocidad para distintos valores de α. [WEST05] .................................... 14

Figura 10: Relación tensión-deformación en dos tipos de materiales [WEST05] .................. 15

Figura 11: Relación presión-volumen (izquierda) y volumen-presión (derecha) [WEST05] 16

Figura 12: Incremento de la velocidad de onda con la presión. .............................................. 18

Figura 13: Incremento del valor de la velocidad de onda con la edad [WEST05] ................. 18

Figura 14: Ondas de presión y velocidad [WEST05] ............................................................. 19

Figura 15: Configuración de un bypass arterial [LOTH08].................................................... 23

Figura 16: Croquis de una anastomosis término lateral [LOTH08] ....................................... 23

Figura 17: Dibujo esquemático de la anastomosis y regiones de interés reconocidas en la

angiografía. [GRUS09] ........................................................................................................... 24

Figura 18: Bypass aorto coronario. ......................................................................................... 26

Figura 19: Capas de la pared arterial. ..................................................................................... 27

Figura 20: (a) Inicio de la placa de ateroma, arriba. (b) Desarrollo de la placa, medio. (c)

Rotura de la placa, debajo [ROSS99] ..................................................................................... 28

Figura 21: Formación y desarrollo de la placa de ateroma y grado de oclusión en cada etapa.

[STAR95] ............................................................................................................................... 29

Figura 22: (a) Zonas de hiperplasia intimal en una anastomosis, incluyendo la línea de

sutura, y (b) disminución de la luz del vaso, sección transversal [LEE_06] ......................... 30

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Índice de figuras ii

Figura 23: Engrosamiento intimal ateroesclerótico frente a esfuerzo tangencial medio en la

pared en arterias coronarias humanas. La misma relación sirve para los valores medios y

mínimos de tensiones y también para el esfuerzo cortante oscilatorio. [KU__97] ................. 31

Figura 24: Zonas propensas al engrosamiento intimal en una anastomosis [BASS92] .......... 32

Figura 25: Influencia de la presión y el flujo en el radio interior [TAYL96] ......................... 33

Figura 26: Indicadores hemodinámicos (a) Patrones de flujo (b) GETP: gradiente de esfuerzo

tangencial en la pared; ETP: esfuerzo tangencial en la pared; GP: gradiente local de presión.

Adaptado de [LOTH08] .......................................................................................................... 34

Figura 27: Planteamiento del problema flujo estacionario [CALV06]. .................................. 41

Figura 28: Planteamiento del problema flujo oscilatorio [CALV06] ..................................... 42

Figura 29: Estructura general de OpenFOAM [OPEN10] ...................................................... 45

Figura 30: Estructura de los casos [OPEN10] ........................................................................ 46

Figura 31: Simulación del flujo de Poiseuille con OpenFOAM ............................................. 48

Figura 32: Líneas de corriente flujo de Poiseuille, OpenFOAM ............................................ 48

Figura 33: Comparación perfil de velocidad de Poiseuille. En verde, el modelo de simulación

en OpenFOAM. En azul, la solución analítica en Matlab. ..................................................... 49

Figura 34: Oscilación de la velocidad media con el tiempo. .................................................. 51

Figura 35: Flujo de Womersley en el instante F, OpenFOAM ............................................... 51

Figura 36: Flujo de Womersley en los instantes (a) A, sístole (b) B, corte con el eje x (c) C,

diástole (d) D (e) E (f) F, OpenFOAM ................................................................................... 52

Figura 37: Vector velocidad en el instante B a la salida, flujo de Womersley. OpenFOAM . 54

Figura 38: Perfiles de velocidad del flujo de Womersley para los instantes (a) A (b) B (c) C

(d) D (e) E (f) F del ciclo cardiaco. En verde, el modelo de simulación en OpenFOAM. En

azul, la solución analítica en Matlab. ...................................................................................... 56

Figura 39: Esquema en 2D del modelo convencional de anastomosis [ZAHA08] ................ 59

Figura 40: Esquema en 2D del modelo de Miller Cuff de anastomosis [ZAHA08] ............... 60

Figura 41: Esquema en 2D del modelo “en capucha" de anastomosis [ZAHA08] ................ 60

Figura 42: Variables geométricas. .......................................................................................... 60

Figura 43: Instantes t1, t2, t3 y t4 del ciclo cardiaco. ............................................................. 62

Figura 44: Corte longitudinal en geometría tridimensional .................................................... 63

Figura 45: Secciones x1, x2 y x3 para la representación de los perfiles de velocidad ........... 63

Page 17: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Índice de figuras iii

Figura 46: Líneas de representación del esfuerzo tangencial. ................................................ 64

Figura 47: Geometría del caso 1. ............................................................................................ 65

Figura 48: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 1. .................................................... 65

Figura 49: Distribución de velocidad en t1 ............................................................................. 66

Figura 50: Distribución de velocidad en t2 ............................................................................. 66

Figura 51: Distribución de velocidad en t3 ............................................................................. 66

Figura 52: Distribución de velocidad en t4 ............................................................................. 66

Figura 53: Perfiles de velocidad Ux (m/s) en t1, t2, t3 y t4 en la secciones X1, X2 y X3. .... 68

Figura 54: Perfiles de velocidad Uy (m/s) en t1, t2, t3 y t4 en la secciones X1, X2 y X3. .... 68

Figura 55: Distribución general de la tensión tangencial en t1. .............................................. 70

Figura 56: Distribución general de la tensión tangencial en t2. .............................................. 70

Figura 57: Distribución general de la tensión tangencial en t3. .............................................. 70

Figura 58: Distribución general de la tensión tangencial en t4. .............................................. 70

Figura 59: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t1 72

Figura 60: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t2 72

Figura 61: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t3 72

Figura 62: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t4 72

Figura 63: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t1 74

Figura 64: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t2 74

Figura 65: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t3 74

Figura 66: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t4

................................................................................................................................................ 74

Figura 67: Geometría del caso 2. ............................................................................................ 75

Figura 68: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 2. .................................................... 75

Figura 69: Distribución de velocidad en t1 ............................................................................. 76

Figura 70: Distribución de velocidad en t2 ............................................................................. 76

Figura 71: Distribución de velocidad en t3 ............................................................................. 76

Figura 72: Distribución de velocidad en t4 ............................................................................. 77

Figura 73: Perfiles de velocidad Ux en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3. .............. 78

Figura 74: Perfiles de velocidad Uy en t1, t2, t3 y t4 en la sección X1, X2, X3. ................... 78

Page 18: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Índice de figuras iv

Figura 75: Distribución general de ETP en t1. Figura 76: Vista exterior en t1. ..................... 79

Figura 77: Distribución general de la tensión tangencial en t2. .............................................. 79

Figura 78: Distribución general de la tensión tangencial en t3. .............................................. 79

Figura 79: Distribución general de la tensión tangencial en t4. .............................................. 79

Figura 80: Perfil de tensión tangencial en L1. ........................................................................ 80

Figura 81: Perfil de tensión tangencial en L2. ........................................................................ 80

Figura 82: Geometría del caso 3. ............................................................................................ 81

Figura 83: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 3. .................................................... 81

Figura 84: Distribución de velocidad en t1 ............................................................................. 82

Figura 85: Distribución de velocidad en t2 ............................................................................. 82

Figura 86: Distribución de velocidad en t3 ............................................................................. 82

Figura 87: Distribución de velocidad en t4 ............................................................................. 82

Figura 88: Perfiles de velocidad Ux en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3. .............. 83

Figura 89: Perfiles de velocidad Uy en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3. .............. 83

Figura 90: Distribución general del ETP en t1. Figura 91: Vista exterior en t1. .................... 85

Figura 92: Distribución general de la tensión tangencial en t2. .............................................. 85

Figura 93: Distribución general de la tensión tangencial en t3. .............................................. 85

Figura 94: Distribución general de la tensión tangencial en t4. .............................................. 85

Figura 95: Perfil de tensión tangencial en L1. ........................................................................ 86

Figura 96: Perfil de tensión tangencial en L2. ........................................................................ 86

Figura 97: Geometría del caso 4. ............................................................................................ 87

Figura 98: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 4. .................................................... 87

Figura 99: Distribución de velocidad en t1 ............................................................................. 88

Figura 100: Distribución de velocidad en t2 ........................................................................... 88

Figura 101: Distribución de velocidad en t3 ........................................................................... 88

Figura 102: Distribución de velocidad en t4 ........................................................................... 89

Figura 103: Perfiles de velocidad Ux en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3. ............ 90

Figura 104: Perfiles de velocidad Uy en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3. ............ 90

Figura 105: Distribución general de la tensión tangencial en t1. ............................................ 91

Figura 106: Distribución general de la tensión tangencial en t2. ............................................ 91

Page 19: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Índice de figuras v

Figura 107: Distribución general de la tensión tangencial en t3. ............................................ 91

Figura 108: Distribución general de la tensión tangencial en t4. ............................................ 91

Figura 109: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión en L1, eje x en % de la

longitud total. .......................................................................................................................... 92

Figura 110: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión en L2, eje x en % de la

longitud total. .......................................................................................................................... 92

Figura 111: Caso 1, líneas de corriente en t3. ......................................................................... 95

Figura 112: Caso 2, líneas de corriente en t3. ......................................................................... 95

Figura 113: Caso 3, líneas de corriente en t3 .......................................................................... 95

Figura 114: Caso 4, líneas de corriente en t3. ......................................................................... 95

Figura 115: Comparación del perfil de ETP en L1 para las cuatro geometrías analizadas, en

el instante t1. ........................................................................................................................... 97

Figura 116: Comparación del gradiente de presión en L1 para las cuatro geometrías

analizadas, en t1. ..................................................................................................................... 98

Figura 117: Comparación del perfil de ETP en L2 para las cuatro geometrías analizadas, en

el instante t1. ........................................................................................................................... 99

Figura 118: Comparación del gradiente de presión en L2 para las cuatro geometrías

analizadas, en t1. ................................................................................................................... 100

Page 20: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Índice de Tablas vi

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Propiedades de la sangre y arteria aorta. .................................................................. 22

Tabla 2: Valores de α según distintas frecuencias cardiacas. ................................................. 50

Tabla 3: Análisis cualitativo del GETP, L1. ........................................................................... 97

Tabla 4: Comparación del GETP cualitativo en talón y punta ............................................... 98

Tabla 5: Tabla de resultados finales ..................................................................................... 102

Page 21: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Lista de Símbolos vii

LISTA DE SÍMBOLOS

α Parámetro de Womersley [-]

u Velocidad del fluido [m/s]

Velocidad media de la sangre [m/s]

µ Viscosidad dinámica del fluido [Pa·s] , [kg/m·s]

τ Tensión local del fluido

Velocidad de deformación de las partículas fluidas

Densidad de la sangre [kg/m3]

Frecuencia angular de oscilación del flujo pulsatorio [rad/s]

Tensor de tensiones de Cauchy

Tensor de tensiones debidas a las fuerzas viscosas

A

Área luminal de la sección transversal [m2]

Amplitud de la onda sinusoidal [Pa/m]

Complianza (en términos de área) [m4/N]

Módulo de Young incremental [N/m2]

Función de Bessel de orden 0

Función de Bessel de orden 1

Resistencia

Impedancia característica del vaso sanguíneo [kg/m4·s]

Caída de presión en un tubo recto [Pa]

C Complianza [m5/N]

c Velocidad de transmisión de la onda [m/s]

D Diámetro interior de la arteria [m]

D Tensor gradiente simétrico de la velocidad

Page 22: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Lista de Símbolos viii

E Módulo de Young [N/m2]

E* Elastancia

Espesor de la pared arterial [m]

I Tensor identidad

L Longitud de un tubo recto [m]

p , P Presión del fluido [Pa]

Q Caudal [m3/s]

r Coordenada radial [m]

R Radio interior del tubo [m]

Re Número de Reynolds [-]

Inertancia

Volumen [m3]

* Posición radial relativa [-]

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Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

Page 24: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 2

1.1 Introducción y motivación

Las enfermedades del corazón constituyen la primera causa de muerte en Europa y

Estados Unidos, de ahí el interés potencial por simular el comportamiento del flujo de la

sangre a través de los vasos del sistema circulatorio.

De forma adquirida –debido a malos hábitos alimenticios, sedentarismo o

tabaquismo– o congénita, se puede acumular colesterol, grasa y otras sustancias que

gradualmente forman una placa de ateroma. Como resultado, se forma una estenosis, que

consiste en la obstrucción parcial o total de la arteria.

Una solución que emplea la cirugía arterial es realizar un bypass para sortear la

estenosis y restituir el flujo normal de la sangre. Sin embargo, la cirugía realizada afecta a

las capas de la pared arterial, existiendo una tendencia a desarrollar de nuevo

enfermedades vasculares. Las dos causas principales del fracaso del bypass son la

ateroesclerosis –desarrollo de placa de ateroma–, y la hiperplasia intimal –incremento del

número de células de la pared arterial. Ambas enfermedades causan el engrosamiento de

la pared arterial hacia el interior de la arteria y por tanto la reducción de su sección –

denominada luz en términos médicos.

La unión de una arteria con otra da lugar a un tipo de geometría que se denomina

anastomosis arterial, que es la geometría analizada en este proyecto. Se hace necesario,

por tanto, un estudio en profundidad de los factores que provocan el engrosamiento de la

pared y la disminución de la luz de la arteria.

1.2 Objetivos

El objetivo de este proyecto es, en primer lugar, hacer un modelo tridimensional

para entender el comportamiento del flujo sanguíneo tanto estacionario como transitorio

en las arterias. En segundo lugar, se busca diseñar una geometría de anastomosis óptima

que reduzca el riesgo de fracaso del bypass. Es decir, se pretende optimizar el

comportamiento del flujo sanguíneo en la nueva configuración arteria donante – arteria

aorta.

Para diseñar una geometría óptima, es necesario conocer cómo afectan las variables

geométricas al engrosamiento de la pared arterial. Por ejemplo, qué valor debe tener

ángulo para minimizar la formación de una placa de ateroma.

Este objetivo se logra a través de dos etapas: en la primera, se determina la

influencia de las variables geométricas –variando el ángulo y el diámetro del injerto– en

Page 25: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 3

las variables hemodinámicas –velocidad, presión, tensión tangencial– a través de un

modelo tridimensional. En segundo lugar, se estudia cómo afectan los diferentes valores

de las variables geométricas en el engrosamiento de la pared arterial y subsiguiente fallo

del bypass, a través de una revisión bibliográfica.

Para la primera etapa, en este proyecto se hace un modelo tridimensional del

comportamiento del flujo sanguíneo en las arterias. Inicialmente este modelo se valida de

forma analítica para luego aplicarlo a una anastomosis. El modelo aporta la información

necesaria sobre las distintas variables hemodinámicas: distribución de presiones y

velocidades, tensión tangencial, perfil de velocidades en cada sección, líneas de corriente,

etc. Gracias a él se puede conocer, por ejemplo, cómo afecta el ángulo de la anastomosis

–variable geométrica– en el esfuerzo cortante –variable hemodinámica.

En el diseño de dicho modelo se han tenido en cuenta las características reales del

fluido sangre y las dimensiones de una arteria –descritas en la sección 1.4.2.– a la vez que

se han realizado una serie de hipótesis formuladas en la sección 2.1.

En la segunda etapa, se recopila información sobre ensayos clínicos y otros datos

experimentales a través de una profunda revisión bibliográfica. De esta forma se

encuentran los principales indicadores que se relacionan con el engrosamiento de la pared

arterial. Como se explica en detalle en la sección 1.5.3., existen numerosos estudios –

[SAAV99], [ARCH01], [GLAG93], [TAYL96]– donde se explica cómo un esfuerzo

tangencial y con un grado de oscilatoriedad alto –variables hemodinámicas–, favorecen la

formación de la placa de ateroma, disminuyendo la sección interior del vaso sanguíneo. A

través de diversas simulaciones con el modelo validado, se escoge el ángulo que haga

óptimo el valor de tensión tangencial.

De esta forma se encontrarían diferentes secuencias del tipo:

En el ejemplo, se buscarían las relaciones:

1.3 Contenido del trabajo

Este proyecto estudia, apoyándose en los principios de la hemodinámica, y simula,

a través de técnicas de mecánica de fluidos computacional (CFD) el comportamiento del

flujo sanguíneo en una anastomosis de un bypass. De esta forma se podrán tener en

Page 26: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 4

cuenta las zonas y parámetros críticos en esta geometría concreta, para optimizar este tipo

de intervenciones quirúrgicas.

El objetivo del capítulo 1- Introducción es comprender los factores hemodinámicos

que tienen lugar en el flujo sanguíneo –sección 1.4. Introducción a la hemodinámica–

para realizar un estudio previo del caso –sección 1.5– obteniendo secuencias causa-efecto

–sección 1.5.3. – que relacionan las variables geométricas con las hemodinámicas, y a

éstas con la aparición de enfermedades que causan el fallo del bypass.

En el capítulo 2 – Preliminares Matemáticos, se estudian las ecuaciones de Navier-

Stokes, para obtener las soluciones canónicas de Poiseuille y Womersley, a partir de unas

hipótesis previas.

El capítulo 3 – Modelos numéricos del Flujo sanguíneo, explica la herramienta

principal empleada en el presente estudio –sección 3.1. El software OpenFOAM. Con este

software de CFD se crea un modelo de tridimensional de flujo estacionario de Poiseuille

y también para flujo oscilatorio de Womersley. Estos modelos se validan en la sección

3.2., empleando para su comparación con las soluciones canónicas del capítulo 2 la

herramienta Matlab.

La aplicación del flujo pulsatorio validado se aplica a la geometría de anastomosis

en el capítulo 4. Se explican los datos tomados del flujo sanguíneo y la pared de la arteria

coronaria –sección 4.2.– para después simular dicho flujo en cuatro casos, con diferentes

geometrías –sección 4.3. Posteriormente, se realiza una comparación de las cuatro

configuraciones–sección 4.4.– en la que se analizan los valores de los parámetros

hemodinámicos descritos en la sección 1.5.3. con el fin de discriminar la geometría

óptima.

Finalmente, en el capítulo 5 se extraen conclusiones de los resultados del capítulo

4 y se indican las líneas futuras de investigación.

1.4 Introducción a la Hemodinámica

La Hemodinámica es la parte de la Biomecánica que estudia el flujo de la sangre en

el sistema circulatorio, basándose en los principios físicos de la dinámica de fluidos.

Antes de entrar de lleno en la explicación de la Hemodinámica, se introduce este

tema con una referencia a su desarrollo en la historia:

Page 27: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 5

1.4.1 Referencias históricas

Más allá de las descripciones y explicaciones cualitativas del sistema

cardiovascular, históricamente llega un momento en que se intenta explicar el

comportamiento de éste mediante ecuaciones matemáticas. A continuación se da una

visión histórica de esta evolución, y más adelante –en la sección 1.4.4.– se describirán los

estudios más actuales sobre los modelos matemáticos del flujo sanguíneo en una

anastomosis.

En el siglo IV A.C., Aristóteles describió la comunicación del corazón con los

vasos sanguíneos, aunque no identificó la circulación de la sangre.

En el siglo III A.C., Praxágoras distinguió las funciones de las venas y arterias,

observando que las arterias impulsaban sangre y las venas no.

A finales del siglo II, el griego Galeno propuso que se propagaban los pulsos de

presión originados en el corazón a través de la red arterial.

A principios del siglo XVII, el inglés William Harvey, mediante unos estudios

donde midió el caudal de la sangre que pasa por las venas, concluyó que el flujo

sanguíneo es unidireccional y que la sangre recircula continuamente.

A mediados del siglo XVII, Malpighi y van Leeuwenhoek descubrieron la

existencia de capilares que unían venas con arterias, demostrando definitivamente que el

sistema circulatorio es cerrado y el flujo unidireccional.

A principios del siglo XVIII, Stephen Hales realizó las primeras medidas de la

presión sanguínea en animales vivos, observando que era pulsátil. Inició el estudio de la

hemodinámica, buscando explicación a las fuerzas que hacían que la presión se

transmitiera a través de los vasos sanguíneos.

En el siglo XVIII, se dilucidó que el sistema circulatorio tiene las propiedades de

almacenar energía debido a la elasticidad de las paredes arteriales, y que disipa energía

debido al comportamiento viscoso de la sangre.

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, Young describe la relación entre las

propiedades elásticas de las arterias y la velocidad de propagación de la onda de pulso.

En el siglo XIX, el francés Poiseuille estableció la ley que lleva su nombre:

(1.1.)

Page 28: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 6

Donde es el caudal, la constante que explica la resistencia, la diferencia de

presiones, el diámetro y la longitud del tubo. Además, dedujo la ley parabólica de la

distribución de velocidades en la sección.

En ese mismo siglo, Moens determinó empíricamente la velocidad de transmisión

de una onda de presión en un tubo elástico de pared delgada con fluido incompresible y

no viscoso:

(1.2.)

Donde es la velocidad de la onda, es el módulo incremental de Young de la

pared –explicado en la sección 1.4.2.1.–, el espesor y la densidad del fluido.

A pesar de los logros realizados en los siglos anteriores, no fue hasta el siglo XX

cuando emergieron los métodos experimentales y matemáticos, posibilitando la

descripción del carácter pulsátil del flujo sanguíneo.

A principios del siglo XX se establecen los modelos de Windkessel, donde la aorta

se concibe como un tubo elástico con capacidad de almacenar fluido. Así, en el extremo

del corazón el fluido es introducido de forma intermitente, mientras que en el otro

extremo el fluido sale de una forma aproximadamente constante. El sistema circulatorio

es concebido como un embalse elástico donde el corazón bombea sangre y desde el cual

una red de conductos no elásticos salen para regar el cuerpo. La resistencia del flujo

vendría dada por la Ley de Poiseuille. Se elaboran modelos matemáticos que simulen esta

teoría.

A mediados de los años 50, Womersley, considerando solamente los términos

lineales de la ecuación de Navier-Stokes y el tubo rígido, escribió una ecuación que

predice el flujo sometido a una función sinusoidal de presión. Es decir, aportó la primera

solución analítica fundamental para las ecuaciones que gobiernan el flujo sanguíneo.

Posteriormente, se resolvió para pared elástica y con nuevas condiciones para hacerlo más

realista.

Es importante resaltar que históricamente todos los avances logrados en la

explicación de la función cardiovascular se han basado en simplificaciones a partir del

complejo sistema biomecánico real.

Page 29: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 7

1.4.2 Aspectos Físicos de la Hemodinámica

El análisis de los factores que determinan el flujo sanguíneo es relativamente

complejo ya que es un flujo pulsátil, procedente de las contracciones rítmicas del corazón

y que discurre por un circuito cerrado de tubos distensibles con múltiples ramificaciones

y de calibre variable. Además el fluido circulante, la sangre, es un fluido con propiedades

no lineales y compuesto de líquido –plasma– y elementos formes –hematíes, leucocitos,

plaquetas y otros. Esto explica que se recurra a modelos y simplificaciones que no

siempre se pueden aplicar de manera directa.

Los primeros conceptos sobre la estructura y función del sistema arterial, tal y

como se entienden en la actualidad, fueron referidos por William Harvey en [HARV28].

En él, se comparaba el sistema arterial a una vejiga o guante distendido que atenuaba las

pulsaciones a la vez que distribuía la sangre a los órganos periféricos.

Previamente a la explicación de los conceptos base en la Hemodinámica, es

necesario aclarar la diferencia entre fluido ideal y real.

Fluido ideal: Es un fluido que no ofrece resistencia al desplazamiento. En

él, todas las láminas del fluido se desplazan a la misma velocidad. Se desprecia la

fricción interna entre las distintas partes del fluido, es decir, no se tiene en cuenta

la viscosidad ni se consideran las pérdidas de energía. Por tanto, el perfil de

velocidad es plano.

Figura 1: Fluido ideal [WEST05]

Fluido real: Se tiene en cuenta la viscosidad y las pérdidas de energía

debido al rozamiento viscoso. La Ley de Poiseuille determina el flujo laminar

(extendida luego para turbulento), estacionario, de un fluido incompresible y

uniformemente viscoso (también denominado fluido Newtoniano) a través de un

tubo cilíndrico de sección circular constante. Al considerar el efecto de la

viscosidad, el perfil de velocidad se vuelve parabólico.

Page 30: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 8

Figura 2: Fluido real, régimen de Poiseuille [WEST05]

1.4.2.1 Conceptos fundamentales de la Hemodinámica.

VISCOSIDAD DINÁMICA

La viscosidad dinámica “µ“ es la propiedad que relaciona el esfuerzo o tensión

local en un fluido en movimiento con la velocidad de deformación de las

partículas fluidas. Se mide en Pa·s ó kg/m·s. Según la Fig. 3, se comprueba que en el caso

de que el fluido sea Newtoniano dicha dependencia es lineal ( ). En el caso de

fluido no Newtoniano, como muestra también dicha figura, la viscosidad es el valor de la

tangente en cada punto a la curva. A pesar de que la sangre es un fluido no Newtoniano –

su viscosidad varía– en este proyecto se asume que la sangre es un fluido Newtoniano,

como se ha justificado anteriormente. Se puede despreciar la dependencia de la

viscosidad con la presión pero no con la temperatura. Sin embargo, se asume que para el

tiempo estudiado –unos pocos segundos– la temperatura se mantiene constante.

Figura 3: Esfuerzo cortante frente a velocidad de deformación en distintos fluidos [WEST05]

La velocidad de deformación es el desplazamiento relativo de una capa de

fluido respecto de la siguiente. De forma intuitiva se puede decir que la viscosidad

dinámica mide la resistencia de un fluido al movimiento. Gráficamente, corresponde al

valor de la pendiente de la tangente en cada punto a la curva de velocidad del fluido:

. Esto es lo que se representa en la Fig.4, donde se observa que el esfuerzo

cortante es proporcional a la pendiente del perfil de velocidad y es máximo en la

pared.

Esf

uer

zo c

ort

an

te

Velocidad de deformación

Page 31: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 9

Figura 4: Perfil de velocidad y velocidad de deformación [WEST05]

LEY DE POISEUILLE –Solución al flujo estacionario.

La Ley de Poiseuille es la ley que permite determinar el flujo laminar estacionario

de un fluido Newtoniano a través de un tubo cilíndrico, recto y rígido de sección

circular constante. Esta ley tiene muchas aplicaciones a diferentes configuraciones

“fluido–tubo recto”, por ejemplo, el flujo de agua por una tubería metálica. El caso

concreto a estudiar en este proyecto es la circulación de la sangre a través de una arteria

rígida.

Figura 5: Perfil parabólico de Poiseuille [WEST05]

Como se observa en la Fig. 5, la velocidad depende del radio cuadráticamente. La

ecuación de velocidad confirma que ésta es máxima en el centro y mínima en la pared

(v=0).

(1.3.)

Sabiendo que el flujo Q es la relación de la velocidad media y la sección

transversal del tubo, se obtiene la Ley de Poiseuille:

(1.4.)

En las zonas de bifurcación el perfil de velocidad no es parabólico hasta que supera

la región de entrada y ya se puede considerar el flujo desarrollado. La longitud de la

región de entrada depende del número de Reynolds, en el caso del flujo sanguíneo dicha

longitud de entrada supera la extensión de cualquiera de las arterias del ser humano. Por

Page 32: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 10

tanto, el perfil de velocidad en la realidad nunca llega a ser parabólico y la Ley de

Poiseuille se usa como un mero concepto que relaciona flujo y caída de presión.

Con esta filosofía nace lo que en hemodinámica se llama la Ley de Ohm, una

analogía con la ley de la electricidad para expresar una forma más general de la Ley de

Poiseuille:

(1.5.)

En esta Ley de Ohm, la resistencia es

, la caída de presión se comporta

en este caso como la diferencia de voltaje, y el flujo se corresponde con la intensidad de

corriente.

Se puede calcular la resistencia a través de las medidas de presión y caudal medios

en la sangre, sin necesidad de conocer en detalle la geometría del vaso. Las reglas de

adición de resistencias en serie y paralelo coinciden con la Ley de Ohm original. También

aparece el concepto de conductancia (G), inversa de la resistencia.

FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO.

Figura 6: Flujo laminar (izquierda) y turbulento (derecha) [WEST05]

En una tubería cilíndrica recta, las partículas se mueven en capas concéntricas si

están en flujo laminar. A medida que aumenta la velocidad, el flujo laminar sufre

oscilaciones crecientes, tornándose progresivamente irregular hasta transformarse en flujo

turbulento, donde las partículas no permanecen en una misma capa y se mueven en todas

direcciones. El flujo turbulento es menos eficiente que el laminar ya que necesita más

diferencia de presión para obtener un mismo caudal. La resistencia por tanto también

aumenta en este caso.

Para distinguir en qué tipo de régimen se mueve un flujo, existe un número

adimensional llamado Reynolds (Re), que representa la relación entre los efectos

inerciales y los efectos viscosos, según la siguiente expresión –donde es la velocidad

media de la sangre.

Page 33: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 11

(1.6.)

Para el flujo sanguíneo, el número de Reynolds crítico según [WEST05] es Recrítico

=2200. Por tanto, si el número de Reynolds es inferior, el flujo circula en régimen

laminar. Si es mayor, el flujo es turbulento. Entre ambos casos existe una zona de

transición donde el flujo no es estrictamente laminar ni estrictamente turbulento. Esto se

puede apreciar en la Fig. 7, donde además se observa que cuando el régimen es laminar,

la relación caudal–caída de presión es lineal.

Si se sustituyen los valores reales normales de la sangre y de la arteria –detallados

más adelante en la sección 1.4.2.2.– se tiene que Re ≈ 1000, menor que el Recrítico.

Aunque será necesario hacer las comprobaciones pertinentes en cada caso, se puede decir

como criterio general que, mientras el flujo sanguíneo circule bajo estos valores, el

régimen será laminar.

Figura 7: Régimen del flujo según curva caudal - caída de presión [WEST05]

Por otro lado, se puede comprobar que en régimen turbulento la resistencia

es mayor, ya que la relación caudal-caída de presión deja de ser lineal.

En condiciones normales de reposo, el flujo en las arterias es laminar. Sin embargo,

realizando ejercicio intenso, una persona puede llegar a incrementar su flujo sanguíneo en

cinco veces respecto al reposo. Esto se traduce en un aumento del número de Reynolds

por encima del valor crítico, es decir, el régimen pasa a ser turbulento.

El criterio de Recrítico=2200 es aplicable únicamente a flujo estacionario en tubos

rectos. Sin embargo, este criterio no es aplicable al flujo sanguíneo por ser altamente

pulsátil. Para flujo oscilatorio la transición a régimen turbulento tiene lugar a Reynolds

más elevados.

Según [WEST05], el flujo turbulento está relacionado con el engrosamiento de la

pared arterial. Si el espesor de la pared aumenta considerablemente, el engrosamiento de

Page 34: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 12

la pared puede causar una estenosis o el fracaso de una anastomosis, como se explica más

adelante.

INERTANCIA

Cuando la sangre se somete a una diferencia de presiones, su velocidad cambia. La

inertancia se puede entender como la resistencia del flujo a ese cambio en su velocidad.

Para tubos circulares, por ejemplo las arterias, la inertancia se calcula como:

(1.7.)

Por otro lado, la inertancia representa el gradiente de presión necesario para

lograr una variación del caudal con el tiempo. Este concepto se formula de la siguiente

manera:

(1.8.)

La expresión se ha desarrollado a partir de la Ley de Newton (

). De

hecho, multiplicando a ambos lados por el área transversal se obtiene algo parecido a

dicha ley. Por esta razón se puede entender por qué la inertancia es llamada también

“masa efectiva”. Según la Ley de Newton, al aplicar una fuerza sobre un cuerpo con una

masa considerable, éste presenta mayor resistencia a un cambio en su velocidad que un

cuerpo con una masa menor. Análogamente, si un vaso sanguíneo tiene un valor alto de

inertancia, no existe mucha variación del caudal con el tiempo aunque existan grandes

diferencias de presión a ambos lados del mismo.

La inertancia es un factor a tener en cuenta en los vasos más grandes como es el

objeto de estudio –las arterias– donde la resistencia es pequeña y la oscilatoriedad del

flujo es considerable. En los vasos pequeños, sin embargo, se tiene más en cuenta la

resistencia y el flujo tiende a ser estacionario.

La inertancia sigue las mismas reglas de adición en serie y paralelo que las

resistencias. Estas dos propiedades, inertancia y resistencia de Poiseuille constituyen la

base de la Teoría del Flujo Oscilatorio.

La inertancia juega un papel importante en la aceleración y deceleración del flujo

sanguíneo. Como se observa en la Fig.8, un ciclo cardíaco está formado por una fase de

relajación y llenado ventricular –diástole– seguida de una fase contracción y vaciado

ventricular –sístole.

Page 35: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 13

Figura 8: Sístole y diástole en un ciclo cardiaco.

Cuando el corazón se contrae, el flujo sanguíneo se acelera logrando un aumento

del caudal sanguíneo. Al relajarse el corazón, se produce una deceleración del flujo, la

diferencia de presiones es negativa y por tanto esto combinado con las reflexiones de

onda da lugar a un flujo inverso –sentido negativo– durante una parte del ciclo cardíaco.

TEORÍA DEL FLUJO OSCILATORIO

Si el gradiente de presiones es una onda senoidal, el flujo deja de ser estacionario y

se convierte en oscilatorio, es decir, variable con el tiempo. Al igual que ocurre con la

Ley de Poiseuille, las expresiones del flujo y presión de Womersley se desarrollan a partir

de las ecuaciones de Navier-Stokes, imponiendo una serie de hipótesis –fluido

Newtoniano, vaso sanguíneo recto y totalmente rígido, etc. Aunque el flujo sigue siendo

laminar, el perfil de velocidad ya no es parabólico y ahora depende del parámetro de

Womersley . Este número adimensional representa la relación entre la frecuencia de un

flujo pulsante –donde predominan los efectos inerciales– y los esfuerzos viscosos –donde

los efectos de la fricción juegan un papel más importante. La expresión que define este

parámetro es la que se muestra a continuación –donde representa la frecuencia angular

de oscilación del flujo.

(1.9.)

Como se explica en [WOME55], la forma del perfil de velocidad queda

determinada por el parámetro de Womersley (Fig. 9).

Page 36: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 14

Figura 9: Perfil de velocidad para distintos valores de α. [WEST05]

Gracias a este parámetro se pueden realizar algunas simplificaciones:

Para , (bajas frecuencias y radio del vaso pequeño) dominan los

efectos viscosos y el perfil es parabólico, es decir, la Teoría del flujo oscilatorio

de Womersley se reduce a la Ley de Poiseuille en flujo estacionario. La relación

presión-flujo queda descrita con la resistencia de Poiseuille.

Para , el perfil se vuelve más plano y la velocidad máxima ya

no es en el centro del tubo.

Para , (altas frecuencias y vasos sanguíneos de radios más

grandes) domina el efecto de la inercia lo que se traduce en un perfil de velocidad

plano. La inertancia es el parámetro que describe en este caso las relaciones

presión-flujo. Este es precisamente el tipo de flujo que se pretende estudiar en

profundidad, ya que las arterias son vasos sanguíneos de gran calibre.

Si el gradiente local de presión es una onda sinusoidal con amplitud y

frecuencia angular , entonces el perfil de velocidad correspondiente se expresa con la

siguiente fórmula:

(1.10.)

El flujo viene dado, por tanto, por la expresión:

(1.11.)

Donde es la posición radial relativa ( ), la letra y , son

funciones de Bessel de orden 0 y 1, respectivamente.

La Teoría del Flujo Oscilatorio es importante cuando se estudian fenómenos

locales. Debido a que el presente proyecto estudia valores locales de las variables

hemodinámicas, y que, por otro lado, al simular el flujo oscilatorio los valores de son

α<3, domina la viscosidad 3<α<10

0

α>10, domina la inercia

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Capítulo 1. Introducción 15

superiores a 10, en este proyecto se trabaja con esta teoría como base analítica para

validar el modelo realizado.

ELASTICIDAD

El módulo de Young (E) de un material es una constante que mide su rigidez, lo

que se puede representar en una gráfica tensión-deformación:

Figura 10: Relación tensión-deformación en dos tipos de materiales [WEST05]

Si esta relación es lineal se dice que dicho material obedece a la Ley de Hooke y el

módulo de Young es directamente la pendiente de dicha recta, según la expresión:

(1.12.)

En los tejidos biológicos, la relación tensión-deformación no es lineal sino que es

una curva (Fig. 10). La pendiente en cada punto de dicha curva representa el E

incremental, que aumenta con la tensión –cuanto mayor es la tensión más rígido se hace

el material.

El coeficiente de Poisson es una constante elástica que proporciona una medida del

estrechamiento de sección transversal cuando se estira longitudinalmente el material. Si

durante dicho estiramiento el volumen permanece constante, como ocurre con la mayoría

de los tejidos biológicos, el coeficiente de Poisson es igual a 0,5.

Por otro lado, cabe señalar que el tejido vascular está compuesto por elastina, de

módulo constante y fibras muy elásticas, y por colágeno, de elevada rigidez, y con un

módulo de Young unas 1000 veces superior que el de la elastina. Para bajas tensiones, se

asume que E = Eelastina mientras que para altas tensiones E=Ecolágeno, lo que supone una

pared cada vez más rígida con un E incremental alto.

También es importante recalcar que muchos tejidos biológicos son materiales

viscoelásticos. La viscoelasticidad es un tipo de comportamiento que presentan ciertos

materiales que exhiben tanto propiedades viscosas como propiedades elásticas cuando se

Material

elástico lineal

Deformación

Material

biológico

Page 38: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 16

deforman. Esta deformación generalmente depende del tiempo. Además, la velocidad de

deformación puede ser diferente de cero aún en ausencia de fuerzas.

Las tensiones y esfuerzos resistidos por este tipo de materiales dependen tanto de la

deformación como de la velocidad de deformación. Si se quiere estirar un material

viscoelásico en un corto período de tiempo, inicialmente se necesita una fuerza mayor

para lograr el mismo estiramiento que un material elástico puro. Esto es debido a los

efectos de la viscosidad del material, que disminuyen con el tiempo. De manera inversa,

con un aumento repentino de la tensión, el estiramiento se manifiesta más tarde que en un

material elástico puro.

En régimen oscilatorio, el módulo de elasticidad depende de la frecuencia de

oscilación. Cuando la tensión o deformación se aplica lentamente, se desprecian los

efectos viscosos y el material se comporta como elástico puro.

COMPLIANZA Y ELASTANCIA

La relación presión - volumen en una arteria es una característica estructural y no

es lineal. La derivada en cada punto de esta curva tiene dos posibles representaciones

según la orientación de los ejes de coordenadas, lo que da lugar a dos parámetros

inversos, como se indica en la Fig.11.

- Complianza:

- Elastancia:

Figura 11: Relación presión-volumen (izquierda) y volumen-presión (derecha) [WEST05]

La complianza de un vaso sanguíneo se refiere a su distensibilidad. Se puede

interpretar de la esta figura que es lo que aumenta el volumen de un vaso sanguíneo

cuando se produce un aumento en su presión. Es decir, un vaso sanguíneo será más

elástico cuanto mayor sea su complianza. La complianza en las arterias es veinte veces

menor que en las venas debido en gran parte a que las paredes venosas son más delgadas.

Page 39: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 17

Este dato refuerza una de las suposiciones principales de este proyecto: la condición de

rigidez de la pared arterial.

Cabe destacar que una reducción de la complianza arterial se traduce en un

aumento considerable de la presión de pulso, uno de los indicadores principales de

mortandad debido a enfermedades cardíacas.

VELOCIDAD Y TRANSMISIÓN DE ONDA

El corazón genera ondas de presión y flujo, las cuales no se transmiten

instantáneamente debido a la elasticidad de las arterias. Se puede decir que se pierde

energía en esa deformación por la que se transmite la onda y por ello ésta se transmite

más lento. Para el planteamiento del caso a la hora de simular, se consideran paredes

rígidas no deformables, como primera aproximación.

La velocidad de propagación de la onda, c, no depende de la velocidad del flujo

sanguíneo. Es más, la velocidad del flujo se superpone a la velocidad de la onda, sin

embargo como su valor es mucho menor, este efecto se desprecia.

Por el contrario, la velocidad c sí depende de otros parámetros relacionados con el

tamaño y elasticidad de las arterias. Estos factores se explican a continuación:

Módulo elástico incremental , cuya relación con la velocidad c

viene dada por la ecuación de Moens-Korteweg según la ecuación (1.2.)

descrita anteriormente. Esta ecuación está formulada para fluidos no

viscosos pero supone una buena aproximación al problema.

Complianza en términos de área – denotada como para

distinguirse de la complianza volumétrica, – está vinculada a la

velocidad c a través de la ecuación de Newton-Young:

(1.13.)

La velocidad de fase, por tanto, depende fundamentalmente de las propiedades de

la pared arterial y de la densidad de la sangre. Los efectos de las reflexiones no se

incluyen en las fórmulas anteriores. Existe un parámetro que sí tiene en cuenta este

fenómeno, llamado velocidad aparente de la onda, calculada para cada armónico a una

frecuencia concreta. Para frecuencias altas, la velocidad aparente se aproxima a la

velocidad real de onda y los efectos de las reflexiones son despreciables.

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Capítulo 1. Introducción 18

La velocidad de la onda c depende, por otro lado, de factores no geométricos, que

son los siguientes:

Presión. La velocidad de onda depende de la presión de forma

directamente proporcional, como se observa en la Fig. 12.

Figura 12: Incremento de la velocidad de onda con la presión.

La edad, incrementando con ésta de forma lineal:

Figura 13: Incremento del valor de la velocidad de onda con la edad [WEST05]

Este comportamiento es debido a que con la edad las paredes de los vasos se hacen

más rígidas, lo que supone un incremento de la velocidad de propagación de onda. Este

aumento de rigidez con la edad se debe al afinamiento, fragilización y fractura de la capa

elástica, debido a los ciclos de presión que soporta, y además provoca que la elastina no

se resintetice tan rápido y sea sustituida gradualmente por colágeno.

ANÁLISIS DE LA FORMA DE ONDA

Como se aprecia en la Fig. 14, las ondas de presión y velocidad consisten en la

superposición de dos ondas que se propagan en sentido contrario: a favor –subíndice f– y

en contra del flujo sanguíneo –subíndice c.

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Capítulo 1. Introducción 19

Figura 14: Ondas de presión y velocidad [WEST05]

Las ondas de presión y caudal que se propagan a favor del movimiento del flujo

sanguíneo se relacionan proporcionalmente mediante la impedancia local característica

del vaso :

(1.14.)

Asimismo ocurre con las ondas reflejadas:

(1.15.)

Estas expresiones explican matemáticamente que las ondas a favor tienen la misma

forma, y las ondas reflejadas, la misma forma dada la vuelta, ya que la impedancia

característica es una constante. Es por esto que, como se puede comprobar en la Fig. 14,

la forma de onda medida –superposición de las dos anteriores –no coincide.

Se puede obtener los parámetros de la onda de presión , –y, análogamente,

los correspondientes para la onda de caudal, y – a partir de los valores medidos

según la siguientes ecuaciones:

(1.16.)

(1.17.)

En vasos pequeños, la fricción y viscoelasticidad de las paredes no se pueden

despreciar, lo que hace que la impedancia característica de dichos vasos sea un número

complejo y el análisis se realiza en el dominio de la frecuencia. Para vasos de mayor

tamaño como es el caso de las arterias estudiadas en este proyecto, es una buena

Page 42: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 20

aproximación que sea un número real. En este caso se calcula según la siguiente

expresión:

(1.18.)

1.4.2.2 Consideraciones del flujo sanguíneo

Una vez explicados los conceptos base de la Hemodinámica, es necesario definir

las condiciones bajo las que se estudia el flujo sanguíneo en este proyecto.

La sangre es un tejido líquido formado por células o elementos como glóbulos

rojos, glóbulos blancos y plaquetas –45% del volumen total– y una parte líquida llamada

plasma, de color ámbar, constituida principalmente por agua –55% del volumen total. Su

temperatura normal es de 36,5ºC y es cinco veces más viscosa que el agua [CALV06].

De esta composición se deducen principalmente dos consideraciones:

Las partículas sólidas suspendidas en la sangre, al rozar entre ellas, van a

ofrecer cierta resistencia al avance del flujo, disipándose más energía. Este

fenómeno es el origen de que la sangre tenga un comportamiento viscoso mayor

que el agua.

La gran cantidad de agua, al ser ésta incompresible, da propiedades de

incompresibilidad a la sangre.

Por tanto el modelo de simulación debe reflejar estas dos características: viscosidad

e incompresibilidad. A continuación se expone la implementación de esas dos

propiedades –junto al resto de características– en la consideración del flujo sanguíneo

bajo la que se trabaja en este proyecto. Todo ello a través de los conceptos

hemodinámicos expuestos en la sección anterior.

La sangre es un fluido real, debido a su VISCOSIDAD. En régimen estacionario –

constante con el tiempo– se comporta según la LEY DE POISEUILLE. Posee una

RESISTENCIA al paso de caudal dependiendo de la diferencia de presión que exista en

el vaso sanguíneo. Aunque puede quedar una pulsación residual, en las arteriolas y

capilares, el flujo es prácticamente estacionario. Sin embargo, este proyecto se centra en

las grandes arterias, donde el flujo sanguíneo se comporta como un flujo pulsátil regido

por la TEORÍA DEL FLUJO OSCILATORIO –Flujo de Womersley. Para este caso es

más interesante el estudio de la INERTANCIA del fluido, es decir, la resistencia que

Page 43: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 21

presenta al cambio de su velocidad cuando en los extremos del vaso existe una diferencia

de presiones determinada.

Hay que tener en cuenta que cuando se estudia el flujo en el caso de régimen

estacionario se considera como flujo LAMINAR. Este flujo es susceptible de desarrollar

TURBULENCIAS de forma fisiológica en las bifurcaciones y, patológiocamente, por

efectos de estenosis.

A pesar de que la viscosidad de la sangre sí sufre variaciones con el tiempo, se

considera como un fluido Newtoniano –viscosidad constante– como primera

aproximación y simplificando considerablemente el problema [KU__97]. También es un

fluido incompresible, ya que su densidad se mantiene constante con el tiempo, y se

considera rotacional. Esto último quiere decir que puede presentar torbellinos.

Por otro lado, la sangre en este problema circula por una arteria coronaria, debido a

que las enfermedades coronarias son las más comunes de entre las arteriales. Por tanto, se

toman los datos y características reales de este tipo de vaso sanguíneo. En concreto, se

estudian arterias con defectos ya sea por enfermedad o vejez. La principal característica

que presenta este tipo de arterias es el endurecimiento de sus paredes, es decir, su pérdida

de ELASTICIDAD. La COMPLIANZA está relacionada con la elasticidad de forma

directa, por tanto en las arterias es baja –veinte veces menor que en las venas. Por todo el

razonamiento anterior, se asume que la arteria posee una pared totalmente rígida

[KU__97].

En resumen, la sangre se considera como un fluido real, newtoniano, incompresible

y rotacional, que se mueve en régimen oscilatorio a través de una arteria de pared

totalmente rígida. La geometría concreta a estudiar será una anastomosis realizada en

dicha arteria.

Para terminar de describir las condiciones del flujo sanguíneo, se definen en la

Tabla 1 los parámetros reales de la sangre y de las arteria aorta, que serán comunes tanto

a la solución analítica como al modelo que se pretende validar.

Este modelo de flujo sanguíneo validado se aplica posteriormente a otro tipo de

geometría: la anastomosis coronaria, donde el diámetro de la arteria principal es de 4 mm

y el diámetro del injerto es de 3 o 4 mm según cada uno de los cuatro casos analizados.

En el capítulo 4 se exponen detalladamente estas configuraciones geométricas.

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Capítulo 1. Introducción 22

Tabla 1: Propiedades de la sangre y arteria aorta.

1.5 Estudio del caso: Anastomosis arterial

Las distintas fuerzas generadas por las perturbaciones del flujo sanguíneo en una

anastomosis juegan un papel fundamental en la remodelación vascular y el riesgo de fallo

de un bypass. Por ello, se hace necesario analizar los patrones de comportamiento del

flujo sanguíneo en relación con el fallo del injerto con el fin de diseñar una geometría

óptima de anastomosis. Al contrario que las bifurcaciones arteriales, las anastomosis son

el resultado de una cirugía y por tanto pueden ser modificadas para maximizar la

longevidad del injerto.

Debido a la naturaleza tridimensional de esta geometría, sometida además a un

flujo pulsátil y, en ocasiones, turbulento, la comprensión profunda de estos patrones se

convierte en un problema complejo.

1.5.1 Morfología

En términos médicos, un bypass o derivación (Fig. 15) es un injerto de un conducto

arterial entre dos puntos de una arteria situados antes y después de una alteración, que en

este caso es una oclusión parcial o total de la luz de dicha arteria –estenosis. La unión

quirúrgica de la arteria que funciona como injerto –arteria donante– a la arteria principal

–arteria “huésped”–se llama anastomosis. El flujo de la sangre entra por el injerto y sale

por el segmento distal. En el segmento proximal tiene lugar una recirculación del flujo.

Page 45: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 23

Figura 15: Configuración de un bypass arterial [LOTH08]

Figura 16: Croquis de una anastomosis término lateral [LOTH08]

La implantación del bypass crea una anastomosis proximal –aguas arriba, cerca del

corazón– y un extremo distal –aguas abajo, más alejado del corazón– de la restricción

(segmento enfermo) para restablecer el flujo sanguíneo en la arteria coronaria (Fig. 16).

Este proyecto se centra en la anastomosis distal, que está compuesta por los segmentos de

salida de flujo proximal y distal (Fig. 17).

La palabra anastomosis significa “unión entre vasos”. Respecto a cómo sea esa

unión, existen principalmente tres configuraciones: en forma latero lateral –anastomosis

en la cual el orificio de comunicación se ha establecido sobre las caras laterales de cada

uno de los dos conductos–, término terminal –los dos conductos se unen en toda su luz en

sus dos extremidades–, y anastomosis término lateral, que es la unión más frecuente y

por tanto la estudiada en el proyecto. En ella, la extremidad de uno de los conductos, la

arteria injerto, se implanta sobre un orificio practicado en la cara lateral del otro, la arteria

coronaria.

En concreto, la configuración objetivo del proyecto es la anastomosis distal

término lateral en arteria coronaria. A partir de ahora será llamada simplemente con el

nombre de “anastomosis”.

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Capítulo 1. Introducción 24

Es necesario destacar que la anastomosis tiene algunas zonas características donde

suele localizarse placa de ateroma, puntos de estancamiento y otras perturbaciones que

afectan a la longevidad del injerto. Estas regiones se señalan en la Fig.17 y son el talón, la

punta y el suelo, principalmente. Nótese que la punta hace referencia a la zona contigua a

la esquina del acoplamiento del injerto, y no a dicha esquina.

Figura 17: Dibujo esquemático de la anastomosis y regiones de interés reconocidas en la

angiografía. [GRUS09]

El flujo en este tipo de geometrías es típicamente laminar, con Reynolds medios

que varían entre 100 y 300, valor que se ve triplicado o incluso cuatriplicado durante el

pico máximo de la sístole [LOTH08].

En cuanto a las condiciones geométricas, el modelo de simulación se valida en la

arteria aorta, con un diámetro de 2 cm. Para el estudio concreto del caso realizado en el

capítulo 4, la simulación del flujo sanguíneo se realiza en una anastomosis arto coronaria,

por lo que el diámetro que debe tenerse en cuanta es el de la arteria coronaria. Estas

arterias tienen un diámetro que varía entre 6 mm –cerca del corazón, de donde proviene el

bombeo de la sangre– y 1 mm –en el extremo. Para la simulación se ha escogido un valor

de 4 mm de diámetro.

Una anastomosis es similar a una bifurcación, con la distinción de que el ángulo

entre las ramas de salida es obtuso. También difiere en la división del flujo entre ellas,

factor hemodinámico que influye en la longevidad del injerto.

La motivación por estudiar el flujo de la sangre se debe a que las variables

hemodinámicas locales juegan un papel fundamental en la longevidad del injerto. Es

necesaria una comprensión profunda del vínculo entre estas variables hemodinámicas y

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Capítulo 1. Introducción 25

las enfermedades arteriales, para poder optimizar el diseño de la anastomosis y predecir

su longevidad.

A continuación se explican las enfermedades que se relacionan con el

engrosamiento de la pared arterial, para después buscar su relación con las variables

hemodinámicas críticas y obtener relaciones del tipo variable hemodin mica →

enfermedad vascular. En el capítulo 4 se buscarán relaciones variable geométrica →

variable hemodinámica para finalmente formular secuencias del tipo variable geométrica

→variable hemodin mica →enfermedad vascular.

1.5.2 Enfermedades que causan el fallo de una anastomosis. Consideraciones

médicas

Aunque las principales causas de muerte dependen de la edad, género, raza y lugar

de residencia de una persona, el principal motivo de la mortalidad en los países

desarrollados es la cardiopatía coronaria. Según [ARCH01], las enfermedades coronarias

están directamente relacionadas con el engrosamiento de la capa íntima debida a las

lesiones ateroscleróticas o hiperplasia íntima. La angioplastia con balón –con colocación

de stent–, la cirugía de bypass, y la endarterectomía son algunas de las técnicas que se

aplican actualmente a los vasos sanguíneos ocluidos. Este proyecto se centra en el estudio

de la cirugía con bypass, que se explica a continuación.

Cirugía con bypass

La enfermedad coronaria ocurre cuando no llega suficiente sangre al corazón, que

puede causar un ataque al corazón. Las personas con mayor riesgo de esta enfermedad

son los fumadores y los individuos con diabetes, hipertensión, colesterol anormal y

aquellos con factores genéticos de riesgo. Las posibilidades de padecer una enfermedad

cardiaca también aumentan para las personas de avanzada edad. Por estas razones, se

puede acumular colesterol, grasa y otras sustancias que gradualmente forman una placa

de ateroma –ateroesclerosis– impidiendo el flujo en la arteria de forma parcial o total.

Una solución que emplea la cirugía arterial es realizar un bypass aorto coronario.

Las arterias coronarias son las que irrigan el miocardio, que es el tejido muscular del

corazón que bombea la sangre al aparato circulatorio. Van desde la aorta hasta el

miocardio, y son dos: la arteria coronaria derecha y la arteria coronaria izquierda (Fig.

18).

El bypass aorto coronario es la intervención cardiaca más común. Solo en Estados

Unidos se realizan más de 240.000 intervenciones al año y en España unas 9.000 al año.

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Capítulo 1. Introducción 26

Se usa para mejorar el flujo sanguíneo al corazón creando una nueva ruta o derivación

alrededor de una sección obstruida o dañada de la arteria.

La Fig. 18 ayuda a comprender este procedimiento. Consiste en primer lugar en

localizar la placa de ateroma en la arteria coronaria. Después se extrae un vaso sanguíneo

–normalmente la arteria mamaria, aunque también se emplean venas ó arterias de la

pierna u otro lugar del cuerpo– y se une un extremo a la parte de la arteria coronaria que

se encuentra más allá de la obstrucción. El otro extremo se coloca en la zona ocluida de la

arteria que lleva la sangre al corazón. De esta forma se crea una nueva ruta por la que

puede fluir la sangre, para que el músculo cardíaco –denominado miocardio– pueda

recibir la sangre rica en oxígeno posibilitando así el bombeo del corazón.

Figura 18: Bypass aorto coronario.

A pesar de que se restituye el flujo normal de la sangre, la cirugía afecta a las capas

de la pared arterial, existiendo una tendencia a desarrollar de nuevo enfermedades

vasculares. Las dos causas principales del fracaso del bypass aorto coronario son la

ateroesclerosis –reaparición de placa de ateroma– y la hiperplasia intimal –incremento

del número de células de la pared arterial. Ambas enfermedades causan el engrosamiento

de la pared de la arteria injerto hacia el interior de la arteria y por tanto la reducción de su

luz.

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Capítulo 1. Introducción 27

Ateroesclerosis

La ateroesclerosis consiste en la formación de la placa de ateroma,que tiende a

localizarse en los bordes externos de las bifurcaciones. Este proceso se explica a

continuación, definiendo previamente unos conceptos médicos necesarios.

Como muestra la Fig. 19, la pared arterial está compuesta por un conjunto de capas

contiguas: la túnica íntima, la túnica media, la túnica adventicia y la lámina elástica

externa.

Figura 19: Capas de la pared arterial.

La placa de ateroma es una lesión que se produce en la capa íntima de una arteria.

El exceso de partículas lípidas LDL –de baja densidad– conlleva a que este se pegue en la

capa interna de las paredes arteriales. Como consecuencia, una porción de glóbulos

blancos llamados monocitos llegan a la zona de la lesión y se adhieren a ella,

convirtiéndose en macrófagos (Fig. 20 a). Si existen demasiadas partículas lípidas LDL,

los macrófagos en lugar de eliminarlas, pasan a formar parte de ellas y se convierten en

células espumosas (Fig 20 b) Las cuales estallan y forman una placa compuesta de

macrófagos muertos, colesterol, triglicéridos y ácidos grasos, llamada ateroma (Fig c). La

placa de ateroma reduce el diámetro interior de la arteria, limitando el flujo de la sangre.

Esta situación causa el cierre total o parcial de las arterias causando una isquemia en ese

punto concreto o desprendiéndose en forma de émbolo y bloqueando cualquier otra

arteria del cuerpo, pudiendo causar un infarto agudo al miocardio o un derrame a nivel

cerebral.

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Capítulo 1. Introducción 28

Figura 20: (a) Inicio de la placa de ateroma, arriba. (b) Desarrollo de la placa, medio. (c) Rotura de la

placa, debajo [ROSS99]

La Fig. 20 detalla el proceso de formación de la placa con el fin de explicar mejor

los elementos biológicos que intervienen. Sin embargo, también es importante visualizar

Page 51: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 1. Introducción 29

comparativamente dicha evolución para comprender el grado de obstrucción arterial que

tiene lugar en cada etapa (Fig. 21).

Figura 21: Formación y desarrollo de la placa de ateroma y grado de oclusión en cada etapa. [STAR95]

La ateroesclerosis es la enfermedad que consiste en la formación de estas placas de

ateroma, que suelen localizarse en las arterias coronarias. El resultado es que se produce

una estenosis, que consiste en la obstrucción parcial o total de estas arterias.

La hiperplasia intimal

Esta enfermedad es una causa importante del fracaso de este tipo de anastomosis,

ya que contribuye a la reestenosis y a la recurrrencia de los síntomas isquémicos

[FUST97]. La hiperplasia es una respuesta a la lesión de un vaso sanguíneo que ha

sufrido un procedimiento de reconstrucción. Puede ser una lesión precursora para el

subsiguiente desarrollo de ateroesclerosis, y suele ir asociada a esta enfermedad, pero no

necesariamente.

La hiperplasia intimal consiste en el crecimiento acelerado de las células

musculares lisas y la matriz que las rodea, de la túnica media a la íntima. Por ello, la

aparición de esta enfermedad se traduce en un engrosamiento de la pared arterial y

reducción de su luz. ( Fig. 22.)

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Capítulo 1. Introducción 30

Figura 22: (a) Zonas de hiperplasia intimal en una anastomosis, incluyendo la línea de sutura, y (b)

disminución de la luz del vaso, sección transversal [LEE_06]

1.5.3 Secuencias

Variables hemodinámicas que afectan al desarrollo de enfermedades

Debido a que los patrones alterados de flujo desempeñan un papel clave en la

aparición y progresión de la aterosclerosis y la hiperplasia intimal, se estudian los

parámetros hemodinámicos adecuados que indiquen las regiones susceptibles de

engrosamiento de la capa íntima. Se busca la relación entre las variables hemodinámicas

y la aparición de estas enfermedades que en definitiva suponen el engrosamiento de la

pared arterial y fracaso del bypass.

Se han realizado numerosos estudios sobre la relación entre los parámetros

hemodinámicos del flujo sanguíneo y pared arterial, y el desarrollo de ateroesclerosis.

Reuniendo estos datos, se llega a la conclusión de que la aparición de la placa de ateroma

se debe a la existencia de alguna o varias de estas condiciones hemodinámicas:

Un indicador importante de la localización de la placa de ateroma es un

esfuerzo tangencial bajo. Según [KU__97], cuando el valor de esfuerzo

tangencial en la pared (ETP) es bajo –menor que 1 Pa– la pared arterial

reacciona disminuyendo su radio interior, con el fin de subir el valor del ETP y

mantenerlo en un valor determinado –1,5 Pa. Esto se justifica con la Ley de

Poiseuille para tubos cilíndricos:

(1.19.)

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Capítulo 1. Introducción 31

Si el valor de disminuye, la arteria disminuye a su vez el radio para

incrementar finalmente . En [CIAN04], [KU__85] , y [CALV06] se contrasta

este comportamiento de las arterias con datos clínicos encontrando una

correlación directa fuertede de r=0.9 –en una escala de 0 a 1 (Fig.23). Las zonas

donde suele haber un valor de esfuerzo tangencial bajo son el talón de la

anastomosis y el suelo, representadas en la Fig. 26 (a).

Figura 23: Engrosamiento intimal ateroesclerótico frente a esfuerzo tangencial medio en la

pared en arterias coronarias humanas. La misma relación sirve para los valores medios y mínimos

de tensiones y también para el esfuerzo cortante oscilatorio. [KU__97]

En [KU__85] y [KU__97], se profundiza más en la influencia de este

factor, distinguiendose diversos parámetros del ETP, algunos representados en la

Fig.26(a): valores máximo, mínimo y medio de ETP. Si son bajos favorecen la

deposición de placa. También se explica que cuanto mayor sea el índice de

oscilatoriedad del esfuerzo tangencial (IOET) –con una relación directa,

r=0,82–, mayor tendencia a la aparición de placa. El IOET representa la relación

de tiempo en el que el ETP se encuentra en la dirección normal, y el tiempo en

que está en dirección retrógrada. Por otro lado, destaca la influencia de un alto

gradiente de ETP (GETP) como uno de los indicadores más importantes en el

desarrollo de enfermedades arteriales [GLAG93], [ARCH01],[SAAV99].

Aparece en zonas de separación de flujo, como las bifurcaciones o

ramificaciones. [CIAN04], [KU__97]. También la placa aparece en zonas de

recirculación de flujo [CIAN04], [SAAV99]. Como se observa en la Fig. 26(a),

en una anastomosis esta región coincide con el suelo de la arteria. En [TAYL96],

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Capítulo 1. Introducción 32

se explica que la aparición de la placa de ateroma se da, de forma general, debido

al flujo complejo en ramificaciones, bifurcaciones y tramos curvos de las

arterias.

El último indicador de ateroesclerosis el tiempo de residencia de

partículas. Según [KU__85], si este tiempo es alto representa un factor

hemodinámico de riesgo para la aparición de esta enfermedad vascular. En

[ARCH01] también se indica el riesgo que supone una densidad alta de particulas

en la pared (DPP).

La otra enfermedad que suele causar el fallo de una cirugía de derivación es la

hiperplasia intimal. Existen determinadas condiciones que favorecen la aparición de esta

enfermedad tras la implantación de un bypass coronario:

En los puntos de estancamiento (Fig. 24), que se localizan en el suelo de

la anastomosis [GRUS09], [HUGH96], [TAYL96].

En zonas de turbulencia, como la región de acceso de los injertos a la

arteria “huésped”, en concreto las áreas localizadas en la punta y el talón

[WEST05].

En este caso también influyen las separaciones de flujo que tienen lugar

en las bifurcaciones –punta y talón de la anastomosis [HEIS04], [HUGH96]– y el

valor de ETP bajo [LOTH08].

En [TAYL96] se explica que la aparición de hiperplasia en la punta y el

talón de la anastomosis se puede deber al proceso normal de cura en la línea de

sutura o también por incompatibilidad de complianzas entre la arteria huésped y

la arteria injerto.

Figura 24: Zonas propensas al engrosamiento intimal en una anastomosis [BASS92]

Todos estos parámetros están ligados a la aparición de una de las dos enfermedades

citadas previamente, que en última instancia provocan el engrosamiento intimal de la

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Capítulo 1. Introducción 33

arteria. A continuación se explican una serie de variables hemodinámicas no citadas

anteriormente y que influyen en la aparición de ambas enfermedades por igual:

Cambios en la velocidad y dirección del flujo, normalmente localizados

en la punta y el talón de la arteria [SAAV99], y oscilación del flujo [TAYL96].

Aumento de la presión arterial o disminución del flujo. Según

[SAAV99], [ARCH01] y [TAYL96], esto se debe a que, para mantener el valor

de ETP constante, las arterias responden incrementando o disminuyendo su radio,

en la forma que se detalla en la Fig. 25. El mecanismo representado funciona

igual de forma inversa: Si disminuye el flujo, por ejemplo, disminuye el radio.

Figura 25: Influencia de la presión y el flujo en el radio interior [TAYL96]

En la simulación mediante mecánica de fluidos computacional se analiza el

comportamiento de estas variables fijando la atención en las tres regiones más

problemáticas (punta, talón y suelo). La aparición de estos valores críticos se interpretará

como un mayor riesgo de enfermedad vascular y engrosamiento intimal. Todo ello se

tendrá en cuenta en el capítulo 4 y 5 al diseñar una geometría de anastomosis óptima y

extraer conclusiones. Para centrar el estudio, en este proyecto se seleccionan los siete

indicadores más destacados poniendo especial antención en las zonas donde suelen

aparecer. Como se verá en el capítulo 4, estos parámetros se clasifican en dos bloques.

Primer bloque: comportamiento del flujo –Fig. 26 (a).

Flujo inverso, en la entrada al segmento proximal.

Recirculación del flujo, principalmente en la entrada al segmento

proximal.

Separación del flujo en la bifurcación, entre el talón y la punta.

Puntos de estancamiento, en el suelo.

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Capítulo 1. Introducción 34

Segundo bloque: ETP, GETP, gradiente de presión –Fig. 26 (b).

Valores de ETP por debajo de 1 Pa, en el talón, la punta y el suelo.

Gradientes espaciales elevados de ETP, en punta y suelo.

Presión local muy elevada, en alguna de las zonas críticas.

Figura 26: Indicadores hemodinámicos (a) Patrones de flujo (b) GETP: gradiente de esfuerzo tangencial en

la pared; ETP: esfuerzo tangencial en la pared; GP: gradiente local de presión. Adaptado de [LOTH08]

Variables geométricas con influencia en las variables hemodinámicas

En el presente proyecto se pretende diseñar una geometría óptima de anastomosis

para evitar los valores críticos de los indicadores descritos anteriormente. Para ello, es

necesario conocer qué variables geométricas guardan mayor relación con estos

indicadores para poder influir en ellos.

Los datos revelados en [LOTH08] señalan que en una anastomosis existen tres

variables geométricas principales: el ángulo del injerto, la relación del diámetro de la

arteria “huésped” con el diámetro del injerto y la condición de que el injerto se encuentre

en el mismo plano que la arteria principal.

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Capítulo 1. Introducción 35

En el análisis de sensibilidad realizado en el capítulo 4, la atención se pone en el

ángulo como variable a ensayar. No obstante, se analiza un caso con un diámetro de

injerto distinto para intentar obtener conclusiones sobre esta variable.

Las investigaciones coinciden en que el ángulo es el principal parámetro a

considerar en el diseño de una anastomosis. Sin embargo, no está muy claro qué valor o

rango valores se podría considerar como óptimo. Mientras que en [LOTH08] se apunta

hacia un ángulo de 45º y se explica que los ángulos agudos suelen derivar en una oclusión

prematura, en [GRUS09] se afirma que las anastomosis con ángulos más agudos son

menos propensas a la hiperplasia intimal y a la oclusión de la luz. Como se puede

comprobar, existen teorías contradictorias sobre la influencia del ángulo en el

comportamiento del flujo y el riesgo de fracaso del injerto. Por ello, resulta interesante

realizar un análisis de sensibilidad en el modelo de anastomosis creado para extraer

conclusiones propias en base a los resultados obtenidos.

El objetivo es obtener secuencias del tipo:

variable geom trica→variable hemodin mica→enfermedad

La simulación de modelos de anastomosis con distintas configuraciones

geométricas proporcionará los datos necesarios para encontrar la primera etapa de esta

secuencia, es decir, cómo afecta cada ángulo y cada diámetro a los indicadores que

representan una predisposición al engrosamiento intimal. Como la segunda etapa ya se ha

definido, se conocen sus valores críticos para el desarrollo de la enfermedad vascular.

Por ejemplo, y en cuanto al ETP, se estudiará qué ángulo provoca un valor de

tensión superficial óptimo en el talón, punta y suelo –el máximo valor de ETP sin

sobrepasar los 1,5 Pa–, ya que se conoce que ese valor de ETP maximiza la probabilidad

de éxito del bypass coronario.

1.5.4 Modelos numéricos previos

Recientemente, las técnicas computacionales se han utilizado cada vez más para

describir el comportamiento hemodinámico del flujo sanguíneo. Se han realizado

numerosos análisis bidimensionales simplificando las arterias a conductos ramificados.

Sin embargo, el número de modelos tridimensionales realizados en proporción es mucho

menor.

De todos los modelos numéricos de simulación del flujo sanguíneo en una

anastomosis término lateral, se indican a continuación los más representativos y en los

que se ha apoyado el presente proyecto:

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Capítulo 1. Introducción 36

Los estudios desarrollados en [STEI95] y en [PERK91] sobre el flujo pulsatorio de

la sangre mediante modelos tridimensionales de bifurcaciones y modelos simplificados de

anastomosis término lateral.

El modelo tridimensional desarrollado en [TAY96]. Se considera el fluido como

Newtoniano y las paredes totalmente rígidas. Se simula en régimen pulsatorio.

La simulación realizada en [HUGH96] mediante un modelo tridimensional con

flujo estacionario y pulsátil. Se estudian diferentes geometrías para estudiar la influencia

del ángulo en el desarrollo de la hiperplasia intimal.

En [LEUP01] también se desarrolla un modelo según las ecuaciones de Navier-

Stokes tridimensionales y oscilatorias. El fluido se simula como Newtoniano e

incompresible. Las paredes arteriales se consideran como una geometría no lineal en

concha.

Estos modelos definen el fluido como Newtoniano e incompresible y la arteria

como una estructura rígida. Sin embargo, también existen simulaciones de fluido no

Newtoniano –por ejemplo, en [OCAL06]-, de interacción del flujo sanguíneo con la pared

arterial considerándola como elástica [CALV06], e incluso de modelos con geometrías de

anastomosis asimétricas en los tres planos [SHER00]. Como puede intuirse, existen

múltiples líneas de mejora con las que ampliar el modelo de flujo sanguíneo en una

anastomosis.

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Capítulo 2 PRELIMINARES

MATEMÁTICOS

Page 60: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 2. Preliminares Matemáticos 38

En este capítulo se explican los fundamentos matemáticos con los que se valida, a

través de la herramienta Matlab, el modelo de simulación construido en OpenFOAM.

Antes de describir las ecuaciones de comportamiento, se explican en primer lugar

las hipótesis realizadas.

Las magnitudes tensoriales de primer (vectores) y segundo orden se señalan en

negrita.

2.1 Hipótesis realizadas

La expresión de las tensiones de un fluido se escribe:

(2.1.)

donde es un campo escalar indeterminado, es el tensor identidad y es la

parte de las tensiones debida a las propiedades viscosas.

Para determinar es necesario definir si el tipo de fluido es de primer o de

segundo orden. Es decir, si tiene un comportamiento viscoelástico –segundo orden– o no

–primer orden.

Como primera aproximación, en este proyecto se asume un fluido de primer orden

por lo que no se considera la viscoelasticidad. Este tipo de fluidos tienen por tanto un

comportamiento viscoso pero no viscoelástico. Las tensiones locales se determinan

únicamente con las deformaciones locales. En éstos el tensor se relaciona únicamente

con el tensor gradiente de velocidad:

(2.2.)

donde

es el tensor gradiente simétrico de la velocidad.

La segunda cuestión a plantear ahora es si se puede hacer la hipótesis de fluido

Newtoniano o no:

Fluidos Newtonianos: como se explicó en el capítulo 1, en este tipo de

fluidos la viscosidad es constante. Por tanto, la relación entre y es lineal.

Fluidos no Newtonianos: la viscosidad depende de la velocidad de

deformación y la relación entre y deja de ser lineal.

De la misma forma que se justificó en el capítulo anterior, se ha determinado la

elección de fluido Newtoniano como primera aproximación al problema.

Page 61: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 2. Preliminares Matemáticos 39

Por otro lado, al considerar la sangre como un fluido incompresible, la ecuación de

conservación de la masa se simplifica considerablemente:

(2.3)

En la circulación sanguínea se producen fenómenos termodinámicos donde

intervienen variables como la temperatura, la entropía y la energía. No obstante, al asumir

incompresibilidad dichas variables quedan desacopladas automáticamente, ya que la

ecuación de estado es independiente de la temperatura [CALV06].

En cuanto a las paredes arteriales, éstas se consideran rígidas. Precisamente las

arterias que constituyen el objeto del estudio –arterias enfermas o de personas de

avanzada edad– tienen menor complianza y el movimiento de la pared arterial se reduce

[TAYL96].

Bajo la suposición de no movimiento de la pared, la descripción del flujo

incompresible en un dominio de fluido deformable se reduce a las ecuaciones de Navier-

Stokes para fluido incompresible y Newtoniano.

2.2 Ecuaciones de Navier – Stokes. Formulación fuerte del problema

La formulación fuerte del problema consiste en las ecuaciones de comportamiento

junto con las respectivas condiciones de contorno.

Partiendo de la ecuación de balance de la cantidad de movimiento:

(2.4)

Teniendo en cuenta que el tensor es esférico ( y siendo la

derivada material de la velocidad, ésta queda en coordenadas eulerianas de la siguiente

forma:

(2.5)

Por otra parte, la hipótesis de fluido Newtoniano da lugar a la siguiente ley

constitutiva:

(2.6)

Introduciendo la expresión de dada por (2.6) en la ecuación de la dinámica (2.5)

y operando queda:

Page 62: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 2. Preliminares Matemáticos 40

(2.7)

Que junto a la ecuación de incompresibilidad (2.3) dan lugar a las ecuaciones de

Navier-Stokes.

Por otro lado se especifican las condiciones de contorno, que pueden ser

condiciones en velocidades impuestas, en tensiones impuestas, o una combinación de

ambas.

en (condición de Dirichlet o esencial) (2.8)

en (condición de Neumann o natural) (2.9)

Donde , y n es el vector normal a la superficie .

El planteamiento de la formulación fuerte del problema es la siguiente:

Sea el dominio fluido . Dados , y , encontrar un campo

vectorial y un campo escalar tales que:

(2.10)

2.3 Soluciones analíticas

Las soluciones analíticas a estas ecuaciones son posibles en casos muy concretos

con geometrías y condiciones de contorno muy especiales. Existen pocos casos en que se

pueden obtener estas soluciones, y la mayoría de ellos requieren que el flujo sea

estacionario. Por tanto, no se usan para determinar la precisión de un modelo en régimen

oscilatorio como es el flujo sanguíneo. Afortunadamente, existe una solución canónica

para flujo pulsátil, la solución de Womersley para flujo completamente desarrollado en un

cilindro recto de sección circular.

Antes de describir la solución de Womersley, a continuación se expone la solución

canónica para flujo estacionario en tubo recto, que da lugar a la llamada ley de Poiseuille.

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Capítulo 2. Preliminares Matemáticos 41

2.3.1 Solución de Poiseuille

Para obtener la solución para flujo estacionario en un cilindro recto, es necesario

imponer unas condiciones de contorno determinadas.

En primer lugar, la condición de no deslizamiento en la pared o .

Además, y como se observa en la Fig.27, a la entrada del cilindro se impone un valor de

presión uniforme y a la salida se impone presión nula . Se

establecen estos valores de presión debido a que la variable relevante es el gradiente de

presión, cuyo valor es igual a .

Figura 27: Planteamiento del problema flujo estacionario [CALV06].

Las soluciones para las leyes de velocidad (1.3.) y caudal (1.4.) se detallan en la

sección 1.4.2.1 En dicha sección también se muestra, concretamente a través las Fig.2 y

Fig.5, cómo el perfil de velocidad depende cuadráticamente del radio generando un perfil

parabólico.

A continuación se explica el flujo de Womersley, en el que es necesario tener en

cuenta la variable temporal.

2.3.2 Solución de Womersley

Como muestra la Fig.28, a la entrada del cilindro recto se impone presión uniforme

que varía sinusoidalmente y a la salida se impone presión nula.

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Capítulo 2. Preliminares Matemáticos 42

Figura 28: Planteamiento del problema flujo oscilatorio [CALV06]

A suficiente distancia de la región de entrada, se supone que las componentes

radiales y tangenciales de p y v desaparecen. La velocidad axial solo depende del radio

y la presión varía linealmente con la posición axial.

Para llegar a la solución de Womersley, se parte de las ecuaciones Navier-Stokes

en coordenadas cilíndricas. En cuanto a la velocidad, la única componente distinta de cero

es la axial La presión es función de la posición axial y del tiempo.

Se obtiene entonces una solución para la velocidad limitada para un valor

nulo del radio y que satisface la condición de no deslizamiento para . Además

aparece el número de Womersley , que define la forma del perfil según la ecuación

(1.9.). La solución de Womersley proporciona la ley de velocidades (1.10.) y caudal

(1.11.) en el tiempo, detalladas en la sección 1.4.2.1.

Algunas conclusiones sobre el flujo de Womersley descritas en [TAYL96] se

explican a continuación. En general, la variación radial de la velocidad no es parabólica.

Durante parte del ciclo, el perfil de velocidad invierte su dirección cerca de la pared a

pesar de que el caudal total siempre es positivo. Esta es precisamente una característica de

esta solución, la existencia de flujo inverso. La oscilatoriedad del flujo también provoca

que en algún momento las fuerzas viscosas sean contrarias a la dirección dominante del

flujo. Esto se traduce en que la pared –de la arteria, en este caso– tiene fuerzas cortantes

que cambian de dirección durante una parte del ciclo cardiaco.

La representación de estas dos soluciones canónicas con la herramienta Matlab se

emplea como referencia para validar el modelo creado a través del software OpenFOAM.

La comparación y posterior validación de dicho modelo en régimen estacionario y sobre

todo en régimen pulsátil representa el contenido del Capítulo 3.

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Capítulo 3 MODELOS

NUMÉRICOS DEL FLUJO

SANGUÍNEO

Page 66: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 44

El propósito de este capítulo es validar el modelo de simulación, en primer lugar

para flujo estacionario, y después en régimen oscilatorio.

El procedimiento se explica a continuación. Teniendo en cuenta las características

de la sangre y pared arterial descritas en la sección 1.4.2.2. –Tabla 1– se crea un modelo

del flujo sanguíneo en un cilindro recto mediante el software de simulación OpenFOAM.

En Matlab, se introduce la solución canónica correspondiente a cada caso –(1.3.) para

flujo estacionario y (1.10.) para oscilatorio– explicadas en el capítulo anterior.

Finalmente, se comparan los perfiles de velocidad generados, por un lado, a través de la

simulación, y por otro, los perfiles que proporciona la solución analítica. Si coinciden, el

modelo es válido. Si no coinciden, el modelo se desecha.

Es importante tener en cuenta que, en el caso del flujo de Poiseuille o flujo

estacionario, únicamente se compara un perfil, ya que este es el mismo para todos los

instantes de tiempo. Sin embargo, y debido a su oscilatoriedad, el perfil de Womersley

varía para cada valor del tiempo en un ciclo cardíaco. Por esta razón, se realizan varias

comparaciones en los instantes de tiempo más característicos de este ciclo.

3.1 El software OpenFOAM

El conjunto de herramientas OpenFOAM es un paquete de software de CFD –

Computational Fluid Dynamics– de código abierto y libre, que funciona bajo el sistema

operativo GNU/Linux. Este paquete es gratuito y está continuamente desarrollándose y

mejorando gracias a la gran base de usuarios que tiene en la mayoría de las áreas de la

ingeniería y la ciencia. Además, es compatible con otros muchos softwares de CFD de

pre-procesamiento, solución y post-procesamiento de problemas.

OpenFOAM tiene una amplia gama de características para resolver cualquier caso,

como por ejemplo problemas de flujos complejos con reacciones químicas, turbulencia o

transferencia de calor. También resuelve problemas en el campo de la dinámica de

sólidos y el electromagnetismo.

3.1.1 Estructura general

OpenFOAM consiste básicamente en una biblioteca de C++ usada principalmente

para crear archivos ejecutables, conocidos como aplicaciones. Las aplicaciones se dividen

en dos categorías, representadas en la Fig. 29:

- Solvers: diseñados para resolver un problema específico de mecánica de

medios continuos.

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Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 45

- Utilities: llevan a cabo operaciones de pre y postprocesamiento, relativas

a manipulación de datos y cálculos algebraicos.

Figura 29: Estructura general de OpenFOAM [OPEN10]

OpenFOAM se distribuye con un conjunto de numerosas aplicaciones

precompiladas, pero los usuarios pueden desarrollar sus propias aplicaciones o modificar

las existentes. Es decir, que una de las ventajas de OpenFOAM es que los usuarios

pueden crear nuevos solvers y utilities si disponen de los conocimientos de física y

programación necesarios.

3.1.2 Preprocesamiento y postprocesamiento

OpenFOAM tiene numerosas herramientas de preprocesamiento, como por

ejemplo el comando fluentMeshToFoam. Este comando convierte un mallado creado en

Ansys –FLUENT a lenguaje OpenFOAM. Concretamente, lo que hace es leer la

información del mallado en Ansys, y después generar todos los archivos correspondientes

en la carpeta PolyMesh, definiendo la malla para que funcione correctamente en

OpenFOAM.

También cuenta con herramientas de postprocesamiento, como la aplicación de

visualización ParaView, donde se pueden representar los resultados obtenidos. Esta

aplicación es muy útil ya que la visualización de las soluciones para cada instante de

tiempo es de gran ayuda para la comprensión profunda del problema. De hecho, la

inmensa mayoría de las figuras incluidas en los capítulos 3 y 4 se han obtenido gracias a

esta herramienta. Para ejecutar la aplicación ParaView se utiliza el comando paraFoam.

Dentro de las aplicaciones de postprocesamiento, existe la opción de analizar otras

magnitudes además de la presión y la velocidad. A través del comando stressComponents

se obtienen las componentes del tensor de tensiones, también visualizables en ParaView.

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Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 46

3.1.3 Estructura de los archivos

La finalidad de OpenFOAM es resolver casos en los campos de ingeniería o

ciencia. En primer lugar, es necesario asignar un nombre al caso objetivo. Dentro este

directorio, se almacenan todos los subdirectorios y archivos que definen el caso, como

muestra la Fig.30, donde se han destacado los más importantes, que se explican a

continuación.

Figura 30: Estructura de los casos [OPEN10]

En el directorio system se fijan los parámetros asociados al proceso de resolución

en sí. Contiene al menos los tres archivos siguientes:

controlDict: Es el archivo donde se lleva a cabo el ajuste de los parámetros de

ejecución, incluyendo el tiempo de inicio y fin, el paso de tiempo, el intervalo de

registro de soluciones, etc.

fvSchemes: En este archivo se definen los sistemas de discretización.

fvSolution: Aquí se ajustan los controles algorítmicos para llevar a cabo la

ejecución.

El directorio constant contiene, por un lado, el archivo TransportProperties, donde

se especifican las propiedades físicas para la aplicación en cuestión, y, por otro lado, se

encuentra el subdirectorio PolyMesh. Esta carpeta contiene los archivos points, faces,

owner, neighbour, boundary, y puede o no contener el archivo cells. En ellos, se describe

Page 69: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 47

ampliamente el mallado del caso. Para generar la malla en OpenFOAM se utiliza el

comando blockMesh.

El directorio 0, llamado así porque las simulaciones suelen empezar en el

tiempo , contiene archivos que definen las condiciones iniciales y de contorno de

los campos del problema, como por ejemplo los campos de velocidad y de presión. Los

casos en OpenFOAM siempre deben ser inicializados, aun cuando la solución no lo

requiera estrictamente, como ocurre en los problemas de estado estacionario.

Para ejecutar la simulación se pueden utilizar diferentes comandos, dependiendo de

las especificaciones de cada problema. En el caso de este proyecto, al tratarse de un fluido

incompresible, se usa el comando icoFoam. OpenFOAM escribe los resultados de esta

simulación en subdirectorios del caso, nombrados según el instante de tiempo para el que

proporcionen la solución. Es decir, que escribe los valores de, por ejemplo, la velocidad y

presión en cada nodo del mallado, y en cada instante de tiempo definido por el usuario,

dentro de carpetas llamadas, por ejemplo, 0.1, 0.2, 0.3, etc.

3.2 Validación del modelo

3.2.1 Flujo de Poiseuille en un cilindro recto

Aunque el objetivo de este capítulo consiste en validar un modelo del flujo

oscilatorio de la sangre, se comienza por el flujo estacionario de Poiseuille debido a su

mayor simplicidad. En este caso, la sangre –considerada como fluido Newtoniano e

incompresible– circula en régimen estacionario a través de la arteria coronaria –un tubo

circular recto y totalmente rígido.

3.2.1.1 Geometría del modelo y mallado

Acorde a la Tabla 1, la geometría consiste en una arteria circular de 2 cm de

diámetro y 20 cm de longitud. Se impone una condición de velocidad uniforme a la

entrada de valor 14 cm/s. Debido a la condición de no deslizamiento en la pared, se

genera un perfil constante de velocidad a la entrada de valor igual a . A

la salida se impone presión nula.

3.2.1.2 Resultados

Como se aprecia en la Fig.31 –obtenida mediante la aplicación de

postprocesamiento ParaView, en OpenFOAM– la velocidad máxima es de 18,43 cm/s.

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Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 48

Este valor de velocidad se alcanza aproximadamente a 15 cm de la entrada, donde el flujo

está completamente desarrollado. Las diferentes capas de colores representan el perfil

parabólico con el rango de valores que se muestra en la leyenda.

Figura 31: Simulación del flujo de Poiseuille con OpenFOAM

En la siguiente figura se representan las líneas de corriente. Se comprueba el

paralelismo entre ellas por lo que el flujo es laminar.

Figura 32: Líneas de corriente flujo de Poiseuille, OpenFOAM

Sin embargo, para hacer esa afirmación es necesario asegurar que el número de

Reynolds está por debajo del crítico. Se comprueba –ecuación (1.6.)– que el Reynolds

toma un valor de . Como es menor que , ya se puede decir el

régimen es laminar.

3.2.1.3 Validación del modelo

A pesar de que las tres representaciones anteriores son importantes, la figura

fundamental es la que se muestra a continuación. Esta figura representa los resultados de

la simulación en OpenFOAM del perfil parabólico de la velocidad –en color verde– y la

solución analítica en Matlab –color azul.

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Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 49

Figura 33: Comparación perfil de velocidad de Poiseuille. En verde, el modelo de simulación en

OpenFOAM. En azul, la solución analítica en Matlab.

Se puede comprobar que ambas soluciones llegan a un máximo de 20 cm/s en flujo

desarrollado, y que el error entre ellas es mínimo. Por tanto, el modelo para flujo

estacionario se considera válido.

3.2.2 Flujo de Womersley en un cilindro recto.

Este caso es el verdadero objetivo del presente capítulo, ya que el flujo sanguíneo

es en realidad pulsátil. La sangre –considerada como fluido Newtoniano e incompresible–

circula en régimen oscilatorio a través de la arteria coronaria –un tubo circular recto y

totalmente rígido.

3.2.2.1 Geometría del modelo y mallado

La geometría de la arteria consiste en un tubo cilíndrico de 2 cm de diámetro y 50

cm de longitud, para asegurar el desarrollo completo del flujo en este régimen. Se

imponen las mismas condiciones de no deslizamiento en la pared y de presión nula a la

salida que en el caso estacionario.

Sin embargo, la condición a la entrada cambia ya que hay que introducir el carácter

pulsátil de la velocidad. Para ello, se impone en un valor de velocidad uniforme

pero senoidal de la forma . El valor es la amplitud de la velocidad

a la entrada, 0,48 m/s. Por otro lado, el número de latidos por minuto de un corazón

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Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 50

humano en reposo es del orden de 72. Pues bien, este valor equivale a una frecuencia de

1,2 Hz –o pulsaciones por segundo– que corresponde a 7,54 rad/s de frecuencia angular

. La expresión de la velocidad a la entrada queda finalmente

.

Como se explicó en la sección 1.4.2.1. al describir la Teoría del Flujo Oscilatorio,

la forma del perfil de velocidad de Womersley no tiene por qué ser parabólico. Dicha

forma se determina en función del parámetro de Womersley . Si es menor de 3, el

perfil es parabólico. Si es mayor de 10, el perfil se vuelve más plano. Si se calcula el

valor de este parámetro mediante la ecuación (1.9.), teniendo en cuenta los valores

anteriores, se obtiene que . Este valor es mayor que 10, por lo que el perfil deja

de ser parabólico. También es importante aclarar que esta forma del perfil será la que

predomine en el flujo sanguíneo. Esto es así porque, como se refleja en la Tabla 2, para

todo el rango de pulsaciones por minuto que se pueden dar en una persona, el valor de

siempre está por encima de 10.

latidos/min latidos/s (rad/s) α

Atletas bien entrenados,

reposo

40 0,67 4,19 11,26

Adultos y ancianos,

reposo

60 1 6,28 13,79

72 1,2 7,54 15,11

90 1,5 9,42 16,89

100 1,67 10,47 17,81

Ejercicio moderado

120 2 12,57 19,51

140 2,33 14,67 21,07

Ejercicio intenso

170 2,83 17,80 23,22

Tabla 2: Valores de α según distintas frecuencias cardiacas.

3.2.2.2 Resultados

En el caso de flujo oscilatorio, se tiene una solución de presión y velocidad para

cada instante de tiempo. Como no tiene ningún sentido representar todos los instantes de

tiempo del ciclo, se han seleccionado los más representativos del mismo, señalados con

letras mayúsculas en la Fig.34.

El punto A en concreto representa el máximo valor de velocidad media –y máximo

gradiente de presión– o sístole, mientras que C es el pico negativo o diástole – Nótese que

Page 73: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 51

la velocidad media en este punto es negativo, lo que quiere decir que en ese instante parte

o todo el flujo es inverso.

Figura 34: Oscilación de la velocidad media con el tiempo.

Antes de comenzar a validar el modelo, se quiere justificar la elección de una

longitud de arteria mayor que en el caso de flujo estacionario. Esto es debido a que

existen partes del ciclo donde el perfil tarda más en desarrollarse por la mayor

complejidad que presenta. Un buen ejemplo es el instante F representado en la Fig.35,

instante en que la región de entrada se alarga considerablemente.

Figura 35: Flujo de Womersley en el instante F, OpenFOAM

Es importante aclarar que en la Fig.35 se representa el valor absoluto de la

velocidad, como se puede ver en la leyenda ya que no hay valores negativos. Se ha

decidido así ya que es más interesante mostrar las capas de velocidad según su magnitud,

Page 74: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 52

cuando la representación es de todo el tubo. Posteriormente, mediante las gráficas de los

perfiles de velocidad, sí se hará hincapié en analizar el flujo inverso.

Para comprender el carácter pulsátil de este flujo, se muestra a continuación la

Fig.36, que recoge los instantes A, B, C, D, E y F del ciclo cardiaco, todos bajo una

misma referencia de colores –según leyenda, ligeramente distinta a la de la Fig. 35– para

su mejor comparación.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 36: Flujo de Womersley en los instantes (a) A, sístole (b) B, corte con el eje x (c) C, diástole (d) D (e)

E (f) F, OpenFOAM

Page 75: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 53

En la sístole –Fig. 36(a), punto A– se pueden apreciar cerca de la entrada las

distintas capas correspondientes a los valores decrecientes de velocidad desde el centro

hacia la pared. En esta región el comportamiento del flujo es parecido al de la solución de

Poiseuille (Fig. 31), y se podría pensar en un perfil parabólico. Sin embargo, cuando el

flujo se desarrolla, se comprueba que la región del centro –en color naranja– ocupa

prácticamente todo el interior del tubo. Esto indica la presencia de un perfil más plano,

donde el valor de velocidad no cambia gradualmente como el caso de una parábola.

Respecto a los puntos B, D y E –Fig. 36 (b, d, e)– llama la atención que

prácticamente en todo el tubo, y sobre todo, en la zona de flujo desarrollado, la velocidad

se representa en color azul oscuro. Como se muestra en la leyenda, este color abarca las

velocidades mínimas obtenidas. Esto se corresponde con los datos representados en la

Fig. 34, ya que son los puntos más cercanos a la coordenada de gradiente de presión

cero.

En el punto C o diástole –Fig. 36 (c)– la velocidad media es negativa, por lo que

debe dar lugar a flujo inverso. En efecto, si se atiende a esta figura, se comprueba que el

orden normal de los colores está cambiado, siendo menor en el centro. Esto se aprecia

muy bien en la región de entrada. Sin embargo, esta no es la zona de interés, porque la

atención debe fijarse al final del tubo, donde el flujo está desarrollado completamente. En

esta zona se puede ver que la zona del centro se representa con naranja claro –menor

velocidad– y después se pasa a un naranja oscuro, que representa una velocidad mayor.

Sin embargo, esta característica se analizará más en detalle con los perfiles de velocidad.

Para demostrar que el flujo es completamente laminar –las capas de fluido son

paralelas entre ellas– se muestra en la Fig.37 la distribución del vector velocidad –en todo

momento horizontal– en el instante B del cilindro.

Se ha escogido el punto B para verificar por otro lado la existencia de flujo inverso.

Es importante señalar que se ha utilizado otra escala de colores distinta de la Fig. 36, por

lo que los colores hacen referencia a otros valores de velocidad, según la leyenda. En la

Fig. 37 se puede apreciar que el flujo comienza a invertir su sentido en la pared, ya que

los vectores velocidad cerca de la pared apuntan hacia la izquierda.

Page 76: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 54

Figura 37: Vector velocidad en el instante B a la salida, flujo de Womersley. OpenFOAM

3.2.2.3 Validación del modelo

Como se comprobó en el caso anterior, el perfil de velocidad en flujo

completamente desarrollado es la figura que más información aporta sobre el

comportamiento del flujo sanguíneo. Consiste en la prueba definitiva para validar el

modelo, ya que se puede comparar con su solución analítica correspondiente. Esta

representación se incluye en la Fig.38, esta vez, detallada para cada uno de los seis

instantes de tiempo seleccionados. Nuevamente, y en cada una de estas seis figuras, se

representan los resultados de la simulación en OpenFOAM del perfil parabólico de

velocidad –en color verde– y la representación de la solución analítica en Matlab –color

azul.

Page 77: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 55

(a)

(b)

(c)

Page 78: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 56

(d)

(e)

(f)

Figura 38: Perfiles de velocidad del flujo de Womersley para los instantes (a) A (b) B (c) C (d) D (e) E (f) F

del ciclo cardiaco. En verde, el modelo de simulación en OpenFOAM. En azul, la solución analítica en

Matlab.

Page 79: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 3. Modelos Numéricos del Flujo Sanguíneo 57

En las figuras se ha indicado con flechas el sentido hacia el que se dirige la

velocidad, comprobando que en el punto C el perfil comienza a desplazarse en el sentido

contrario.

En primer lugar, cabe señalar la presencia de un régimen laminar, ya que con una

velocidad media de 0.34 m/s, se tiene un Reynolds de , menor que el valor

crítico .

Se comprueba en la Fig. 38 que el perfil de velocidad en los instantes A, E y F se

encuentra completamente en el semiplano positivo de velocidad. Esto es coherente con la

Fig. 36 porque en esos puntos la velocidad decrece del centro hacia la periferia –según

los colores rojo, amarillo, verde y azul– como ocurría en el caso de flujo laminar. A pesar

de que el instante E también tiene un perfil de velocidad completamente positivo, sus

valores de velocidad son más pequeños y no se representan adecuadamente con la escala

de colores impuesta. Es por ello que el flujo de este instante aparece totalmente azul en la

Fig. 36(e).

Por otro lado, el perfil B –Fig. 38(b)– tiene zonas de flujo directo y zonas de flujo

inverso, aunque su velocidad media sea positiva. Esto coincide con los resultados

obtenidos en la Fig. 37 –debido al cambio de sentido del vector velocidad cerca de la

pared. Lo mismo ocurre con el punto D, aunque en este caso predomina el flujo inverso.

Finalmente, se puede decir que, al comparar el modelo y el resultado teórico en los

instantes más representativos del ciclo –Fig. 38– se comprueba que el error entre ellos es

mínimo. Por tanto, el modelo de flujo sanguíneo en régimen oscilatorio creado es un

modelo fiable, que se puede simular en geometrías más complejas donde no se ha

encontrado solución analítica.

Page 80: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4 APLICACIÓN AL

CASO: ANASTOMOSIS ARTERIAL

Page 81: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 59

4.1 Objetivos y especificación

Una vez que se ha validado el modelo numérico de flujo sanguíneo pulsatorio, en

este capítulo se aplica a una geometría realista de relevancia clínica como es la

anastomosis arterial. El objetivo es encontrar la geometría de anastomosis que optimice el

comportamiento de las variables hemodinámicas descritas en la sección 1.5.3.–

disminuyendo por tanto el riesgo del engrosamiento de la pared arterial.

Para ello, en este capítulo se analizan cuatro geometrías distintas de anastomosis,

con variaciones tanto en el ángulo como en el diámetro del injerto. Como se detalla en la

sección 4.3., en total se trabaja con tres ángulos y dos diámetros distintos.

4.2 Datos

Los datos sobre el flujo sanguíneo oscilatorio y características de la sangre se

toman de la Tabla 1.

En cuanto a los valores geométricos, es necesario explicar que existen

principalmente tres modelos estándar de anastomosis en cuanto a su geometría, según

[ZAHA08]. Estos son los siguientes:

Modelo convencional (Fig.39)

Modelo de Miller Cuff (Fig. 40)

Modelo “en capucha” (Fig. 41). La geometría de la “capucha” consiste en

un spline cúbico definido por los cuatro puntos señalados.

Figura 39: Esquema en 2D del modelo convencional de anastomosis [ZAHA08]

Page 82: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 60

Figura 40: Esquema en 2D del modelo de Miller Cuff de anastomosis [ZAHA08]

Figura 41: Esquema en 2D del modelo “en capucha" de anastomosis [ZAHA08]

Para la realización de este proyecto se ha creado un modelo convencional

tridimensional como geometría de anastomosis a analizar.

Como ya se ha comentado, se analizan cuatro geometrías diferentes, variando el

ángulo y el diámetro del injerto, las dos variables geométricas –Fig. 42. Sin embargo, la

configuración de la arteria principal o “huésped” –la arteria coronaria– es igual en todos

los casos, siendo su diámetro de 4 mm y su longitud de 40 mm.

Figura 42: Variables geométricas.

Por otro lado, es importante señalar que no hay flujo en la salida proximal debido a

que esa región de la arteria “huésped” se considera completamente obstruida. Esto se

indica en las tres figuras anteriores mediante la palabra “Bloqueo”.

Las mallas tridimensionales se construyen en Ansys de acuerdo a estos parámetros

geométricos. Posteriormente son traducidas a OpenFOAM para llevar a cabo la

simulación de cada caso.

Page 83: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 61

4.3 Implantación numérica a una anastomosis arterial.

Análisis de sensibilidad

Los cuatro casos analizados se exponen a continuación. La representación de

resultados está enfocada a analizar los siete parámetros hemodinámicos clave descritos en

la sección 1.5.3., que son:

Primer bloque: comportamiento del flujo –Fig. 26 (a).

Recirculación del flujo, principalmente en la entrada al segmento

proximal.

Flujo inverso, en la entrada al segmento proximal.

Separación del flujo en la bifurcación, entre el talón y la punta.

Puntos de estancamiento, en el suelo.

Segundo bloque: ETP, GETP, gradiente de presión –Fig. 26 (b).

Gradientes espaciales elevados de ETP, en punta y suelo.

Valores de ETP por debajo de 1 Pa, en el talón, la punta y el suelo.

Gradiente local de elevado, en alguna de las zonas críticas.

De los seis instantes de tiempo definidos en la Fig. 34, se han escogido los cuatro

más significativos para un análisis más eficiente de resultados. Estos instantes son t1, t2,

t3 y t4, que se corresponden, respectivamente, con los puntos A, B, C y E de la Fig.34.

Estos instantes se muestran en la Fig. 43.

Page 84: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 62

Figura 43: Instantes t1, t2, t3 y t4 del ciclo cardiaco.

La condición de velocidad a la entrada varía sinusoidalmente con la expresión

representada en la Fig.43. A la salida se impone

presión nula. Como ya se ha comentado, el segmento distal es la única salida, ya que el

segmento proximal se considera completamente bloqueado.

Para el análisis de resultados, se sigue un mismo formato para los cuatro casos.

Representaciones generales:

Por un lado, se realiza una representación general de cada caso en los instantes de

tiempo seleccionados. Es decir, se representa el campo de velocidad y tensión tangencial

de forma global, en un corte longitudinal de la geometría 3D.

Page 85: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 63

Figura 44: Corte longitudinal en geometría tridimensional

Perfiles:

Por otro lado, para cada geometría se realizan tres cortes transversales en las

secciones más críticas: x1, a la altura del talón de la anastomosis, x3, en la punta, y x2,

situada entre las dos secciones anteriores y equidistante a ellas (Fig. 45). Con la

información recogida en estos cortes se representan, para los distintos instantes de

tiempo, los perfiles de velocidad –en las direcciones x e y– de la línea media de cada

sección.

Figura 45: Secciones x1, x2 y x3 para la representación de los perfiles de velocidad

Finalmente, también se obtiene el perfil del esfuerzo cortante en la pared. Las

representaciones se hacen a lo largo de dos líneas longitudinales: L1, el suelo de la arteria

Page 86: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 64

“huésped”, y L2, línea que engloba la punta y el talón del injerto, tal y como se puede ver

en la Fig. 46.

Figura 46: Líneas de representación del esfuerzo tangencial.

Se representan los resultados de velocidad en primer lugar, y los de tensión

tangencial el segundo lugar, de la siguiente forma:

- Distribución general de la velocidad.

- Perfiles de velocidad en x1, x2 y x3.

- Distribución general del esfuerzo tangencial.

- Perfiles de esfuerzo tangencial en L1 y L2.

Los resultados obtenidos se analizan brevemente en cada caso por separado, con el

fin de encontrar los parámetros e instantes de tiempo más críticos. En la siguiente sección

–sección 4.4– se realiza una comparación de estos parámetros en los cuatro casos para

decidir qué geometría presenta los valores hemodinámicos óptimos –relacionados con el

menor riesgo de engrosamiento de la pared arterial.

Page 87: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 65

4.3.1 Caso 1

4.3.1.1 Geometría del modelo y mallado

La geometría de anastomosis convencional en este caso tiene un diámetro del

injerto de 4 mm –al igual que la arteria principal– y un ángulo de 30º.

Figura 47: Geometría del caso 1.

Partiendo de estas dimensiones, se realizó una malla de elementos finitos, formada

por 6980 nodos y 33064 elementos tetraédricos (Fig. 48).

Figura 48: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 1.

Page 88: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 66

4.3.1.2 Resultados

Distribución general de la velocidad

Figura 49: Distribución de velocidad en t1

Figura 50: Distribución de velocidad en t2

Figura 51: Distribución de velocidad en t3

Figura 52: Distribución de velocidad en t4

Page 89: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 67

Es importante señalar que las escalas son diferentes en cada tiempo, para la mejor

visualización del flujo. El valor máximo de velocidad –de valor 34 cm/s, en Fig. 49 de los

perfiles de velocidad Ux–se da en la sístole (t1), cuando la presión es mayor, y el menor

valor medio se da en t3, que se corresponde con la diástole del ciclo cardiaco. En este

tiempo se observa además que existe recirculación del flujo –Fig. 51.

Por otro lado, y como comentario general a los cuatro casos, cabe señalar la

presencia de un régimen laminar a lo largo de todo el ciclo, ya que la magnitud de

velocidad máxima global es del orden de 0,36 m/s, lo que resulta en un Reynolds máximo

de , siendo su valor medio , ambos menores que el valor crítico

.

Además, el parámetro que determina la forma del perfil o parámetro de Womersley

para estas configuraciones es, según la ecuación (1.9), de , que se corresponde con

un perfil de velocidad parabólico lo que se puede comprobar en las gráficas

correspondientes.

Perfiles de velocidad en X1, X2 y X3

Respecto a las representaciones de los perfiles hay tres cortes para la velocidad Ux

y los mismos para Uy. La magnitud de la velocidad en m/s se indica en el eje horizontal

para Ux y el vertical para Uy.

Las medidas del eje y en la Fig. 53 representan las divisiones de la altura total de la

sección, que en el caso de las secciones X1 y X2 abarcan las dos arterias –el injerto y la

arteria principal. En el caso de la sección X3 esta altura representa el diámetro de la

arteria “huésped”, es decir, 4 mm. Para la velocidad Uy –Fig. 54– la longitud del eje x

representa el diámetro de la arteria principal, 4 mm. Lo mismo aplica para el resto de

gráficas de perfiles de velocidad.

En la Fig. 53 se puede observar como a medida que la sección se aleja del talón de

la anastomosis, la velocidad cerca del suelo aumenta. Además, en esta zona aparecen

valores de velocidad Ux negativa en la sección X2 pero fundamentalmente en la X1. Este

flujo inverso en el suelo de la arteria cerca a la salida proximal confirma la hipótesis de

que esta zona es crítica para el engrosamiento intimal.

Por otro lado, los valores más altos de velocidad horizontal en t1 –Ux=35 cm/s–se

dan en X3, ya que en esta sección empieza a dirigirse la velocidad en la dirección x según

la arteria “huésped”. De hecho, se comprueba que el valor absoluto de velocidad en y es

Page 90: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 68

mínimo – =12 cm/s. La velocidad en y es unas tres veces menor, ya que la dirección

principal es la horizontal, y es negativa al ser el sentido hacia abajo.

Se emplea la misma leyenda de colores para toda la sección de resultados, t1 en

azul oscuro, t2 en verde, t3 en naranja, y t4 en rojo, como se puede ver en la Fig. 53. Se

comprueba que la magnitud de la velocidad es máxima en t1, la sístole del ciclo cardiaco,

decrece (t2) hasta hacerse mínima en la diástole (t3) y vuelve a aumentar en t4.

Figura 53: Perfiles de velocidad Ux (m/s) en t1, t2, t3 y t4 en la secciones X1, X2 y X3.

Figura 54: Perfiles de velocidad Uy (m/s) en t1, t2, t3 y t4 en la secciones X1, X2 y X3.

Page 91: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 69

Distribución general de la tensión tangencial

Respecto a la tensión tangencial, cabe señalar que la leyenda se refiere a un valor

dividido entre la viscosidad dinámica, de valor . Por tanto, para la

Fig. 55 por ejemplo los valores de la tensión tangencial en la pared variarán entre 0 y 3.5

Pa. Realmente, el objetivo de las figuras 55 a 58 es detectar las zonas de tensión menor a

1 Pa, y comprobar que se corresponden con la literatura. Este valor de 1 Pa se

corresponde en la leyenda con un valor de

, por lo que en las zonas críticas se

detectarán valores

.

Se comprueba que las zonas del suelo y el talón presentan un valor de ETP

prácticamente nulo, con oscilación de ese punto en los diferentes tiempos. Además, la

zona de la punta de la anastomosis se ve afectada por un alto GETP –con valores muy

bajos de ETP que varían rápidamente hacia valores muy elevados.

Page 92: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 70

Figura 55: Distribución general de la tensión tangencial en t1.

Figura 56: Distribución general de la tensión tangencial en t2.

Figura 57: Distribución general de la tensión tangencial en t3.

Figura 58: Distribución general de la tensión tangencial en t4.

Page 93: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 71

Perfiles de tensión tangencial en L1 y L2

Si se analiza más en detalle la distribución del esfuerzo tangencial en la pared

(ETP) y del gradiente de presión (DP), se comprueba que en t1 los picos son máximos en

ambas. Este instante del ciclo es el más crítico y por ello es el principal objeto de análisis.

Respecto al gradiente de presión, es crítico porque muestra el máximo del ciclo. Si

se atiende a la Fig. 59 se puede ver que el pico de 282.67 Pa se corresponde con la zona

detectada en la Fig. 55 de bajo , aproximadamente al 50% de la longitud total de la

arteria principal. En concreto, el pico de presión se sitúa en la misma zona que la máxima

variación espacial de . El gradiente de esfuerzo tangencial en la pared está directamente

relacionado con el engrosamiento de la pared arterial, como se explicó en el capítulo 1.

Hay que señalar que los valores negativos de ETP indican que en esa zona esta

magnitud se orienta en sentido opuesto. Por ello, las zonas de ETP –su valor absoluto–

bajo, se localizan donde la gráfica de ETP corta al eje horizontal. Es más relevante a la

hora de analizar, fijarse en el instante t1 ya que si en ese tiempo el ETP es inferior a 1 Pa,

el resto del ciclo será menor aún. Esto ayudará a detectar las zonas críticas de ETP bajo.

Se comprueba en la Fig.59 que la zona de mayor GETP (gradiente espacial del

esfuerzo tangencial), valores de ETP menores de 1 Pa, y el pico máximo de GP se

localizan aproximadamente en la zona del suelo, entre el 40-65% de la longitud total de la

arteria.

Debido a que el pico máximo de gradiente de presión y el GETP máximo indican

la misma zona crítica, en los casos 2, 3 y 4 se muestran los cuatro instantes de tiempo de

ETP en una sola gráfica, para un análisis de resultados más eficiente. Se ha comprobado

efectivamente esta relación en los casos restantes. Además, en la sección siguiente se

comparan valores del gradiente de presión y ETP para las cuatro geometrías.

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Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 72

Figura 59: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t1

Figura 60: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t2

Figura 61: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t3

Figura 62: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L1 en tiempo t4

Page 95: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 73

En cuanto a la línea superior, se comprueba que la mayor variación de presión se

da en la punta de la anastomosis -55% de la longitud total, Fig. 63- por lo que también se

confirma como zona crítica. Extraña, sin embargo, que no exista algún cambio de ETP

antes de la punta, en la zona del talón de la anastomosis, ya que en algunos estudios esta

región se señala como crítica. Esto se debe a que en dichos estudios el segmento proximal

se considera parcialmente –y no totalmente– obstruido.

Se representan en la siguiente página –Fig. 63 a Fig. 66– los perfiles de gradiente

de presión (DP) y ETP (tau). Las divisiones del eje x se corresponden con la posición en

porcentaje de la longitud total de la arteria, 40 mm.

Page 96: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 74

Figura 63: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t1

Figura 64: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t2

Figura 65: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t3

Figura 66: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión a lo largo de L2 en tiempo t4

Page 97: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 75

4.3.2 Caso 2

4.3.2.1 Geometría del modelo y mallado

En el segundo caso, el injerto tiene un diámetro de 4 mm y un ángulo de 45º.

Figura 67: Geometría del caso 2.

Partiendo de estas dimensiones, se realizó una malla de elementos finitos formada

por 6132 nodos y 28354 elementos tetraédricos (Fig. 73).

Figura 68: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 2.

Page 98: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 76

4.3.2.2 Resultados

Distribución general de la velocidad

Figura 69: Distribución de velocidad en t1

Figura 70: Distribución de velocidad en t2

Figura 71: Distribución de velocidad en t3

Page 99: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 77

Figura 72: Distribución de velocidad en t4

Perfiles de velocidad en X1, X2 y X3

Se comprueba que los patrones del flujo son similares a los del caso anterior, por lo

que se analizarán sus diferencias en la comparación posterior. Nótese en la Fig. 73 que el

corte en la sección X1 muestra un valor de velocidad casi nulo en la arteria principal. Esto

no era tan pronunciado en el caso 1 y probablemente es debido a que el corte está

realizado más cerca del talón, ya el perfil de velocidad es muy sensible en esta zona. Se

ha obtenido un valor máximo de velocidad en la sístole de en X3,

coincidiendo de nuevo con la velocidad vertical mínima , en sentido

descendente.

Page 100: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 78

Figura 73: Perfiles de velocidad Ux en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3.

Figura 74: Perfiles de velocidad Uy en t1, t2, t3 y t4 en la sección X1, X2, X3.

Distribución general de la tensión tangencial

Se ha ampliado la zona de interés, encontrando que las zonas críticas coinciden de

nuevo con las señaladas en la literatura. Se muestra en la Fig. 76 una vista exterior del

comportamiento tridimensional del ETP en la punta. La zona ovalada en azul oscuro se

corresponde con el menor ETP local, señalando esa zona como región crítica a analizar,

junto con la zona del suelo y el talón –que presentan aún menores valores de ETP.

Page 101: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 79

Figura 75: Distribución general de ETP en t1. Figura 76: Vista exterior en t1.

Figura 77: Distribución general de la tensión tangencial en t2.

Figura 78: Distribución general de la tensión tangencial en t3.

Figura 79: Distribución general de la tensión tangencial en t4.

Page 102: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 80

Perfiles de tensión tangencial en L1 y L2

Figura 80: Perfil de tensión tangencial en L1.

La zona conflictiva del suelo de la arteria –Fig. 80– vuelve a localizarse a un 40-

65% de la longitud total de la arteria, ya que presenta el mayor GETP y valores de ETP

menores de 1 Pa. En el 55%, el valor de ETP es nulo para la sístole.

En cuanto a la línea superior L2 –Fig. 81– se localiza en este caso por primera vez

el talón de la anastomosis a un 40% de la longitud total, por el cambio de ETP, a pesar de

que este no es significativo respecto al alto GETP que presenta la punta, al 60%. Los

valores de ETP a partir de la punta se mantienen bajos sobre todo hasta el 80%.

Figura 81: Perfil de tensión tangencial en L2.

Page 103: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 81

4.3.3 Caso 3

4.3.3.1 Geometría del modelo y mallado

En este tercer caso, el injerto tiene un diámetro de 4 mm y un ángulo de 60º.

Figura 82: Geometría del caso 3.

Partiendo de estas dimensiones, se realizó una malla de elementos finitos formada

por 5266 nodos y 23711 elementos tetraédricos (Fig. 91).

Figura 83: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 3.

Page 104: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 82

4.3.3.2 Resultados

Distribución general de la velocidad

Figura 84: Distribución de velocidad en t1

Figura 85: Distribución de velocidad en t2

Figura 86: Distribución de velocidad en t3

Figura 87: Distribución de velocidad en t4

Page 105: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 83

Perfiles de velocidad en X1, X2 y X3

Figura 88: Perfiles de velocidad Ux en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3.

Figura 89: Perfiles de velocidad Uy en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3.

Debido a que el flujo del injerto incide con mayor ángulo en este caso, se observa

que los patrones de comportamiento cambian. En la Fig. 88 se observa el flujo inverso

generado en la arteria “huésped”, principalmente en la sección X1. En esa sección, la

velocidad en y es positiva, indicando una zona de recirculación del flujo.

Page 106: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 84

En la sección X3 la velocidad máxima en la sístole es , ligeramente

inferior a los casos anteriores . Sin embargo llama la atención que

, frente a una media de para los casos anteriores, lo que

se debe a que mayor ángulo de incidencia del injerto provoca una mayor velocidad en

dirección vertical.

Page 107: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 85

Distribución general de la tensión tangencial

Figura 90: Distribución general del ETP en t1. Figura 91: Vista exterior en t1.

Figura 92: Distribución general de la tensión tangencial en t2.

Figura 93: Distribución general de la tensión tangencial en t3.

Figura 94: Distribución general de la tensión tangencial en t4.

Page 108: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 86

Perfiles de tensión tangencial en L1 y L2

Figura 95: Perfil de tensión tangencial en L1.

Figura 96: Perfil de tensión tangencial en L2.

Los comentarios respecto a la tensión tangencial son análogos al caso anterior.

Page 109: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 87

4.3.4 Caso 4

4.3.4.1 Geometría del modelo y mallado

El último caso estudia además la variación del diámetro del injerto. El injerto tiene

un diámetro de 3mm y un ángulo de 45º respecto a la arteria “huésped”, que conserva su

diámetro de 4 mm.

Figura 97: Geometría del caso 4.

Partiendo de estas dimensiones, se realizó una malla de elementos finitos formada

por 6731 nodos y 30919 elementos tetraédricos (Fig. 107).

Figura 98: Malla de elementos finitos tetraédricos, caso 4.

Page 110: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 88

4.3.4.2 Resultados

Distribución general de la velocidad

Figura 99: Distribución de velocidad en t1

Figura 100: Distribución de velocidad en t2

Figura 101: Distribución de velocidad en t3

Page 111: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 89

Figura 102: Distribución de velocidad en t4

Page 112: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 90

Perfiles de velocidad en X1, X2 y X3

Figura 103: Perfiles de velocidad Ux en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3.

Figura 104: Perfiles de velocidad Uy en t1, t2, t3 y t4 en las secciones X1, X2, X3.

La magnitud de la velocidad en este caso es del orden del caso 2, también con un

ángulo de 45º. Por otro lado, los patrones de comportamiento del flujo sanguíneo en esta

geometría son parecidos al caso anterior, donde se localizaron zonas de flujo inverso

pronunciado. A pesar de que se analizará posteriormente con una comparación de los

cuatro casos, no parece una buena idea aumentar el ángulo demasiado ni tampoco

disminuir el diámetro de la arteria injerto respecto de la principal.

Page 113: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 91

Distribución general de la tensión tangencial

Figura 105: Distribución general de la tensión tangencial en t1.

Figura 106: Distribución general de la tensión tangencial en t2.

Figura 107: Distribución general de la tensión tangencial en t3.

Figura 108: Distribución general de la tensión tangencial en t4.

Se comprueba en estas cuatro figuras que el valor de

está por debajo de 250

no solo en las zonas críticas, sino que además en este caso la zona de la punta

se alarga hasta el final de la arteria principal.

Page 114: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 92

Perfiles de tensión tangencial en L1 y L2

Figura 109: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión en L1, eje x en % de la longitud total.

Figura 110: Perfil de tensión tangencial y gradiente de presión en L2, eje x en % de la longitud total.

En la Fig. 109 se puede ver que la tensión tangencial en el suelo se estabiliza en un

valor de 1 Pa en la sístole, mientras que en los casos anteriores el ETP al 100% de la

longitud de la arteria principal era del orden de 2,5 Pa. El máximo gradiente de presión se

localiza en el 60%. En la Fig. 110, se muestran valores ETP por debajo de 1 Pa en el

100% de la longitud total, y un pico mayor de ETP en el talón de la anastomosis al 45%.

La conclusión general de este caso es que se puede descartar el uso de un injerto de

menor diámetro que la arteria principal para realizar un bypass aorto coronario, debido al

flujo inverso, a los bajos valores de ETP y alargamiento de la región crítica en la punta, y

a que el valor estable del ETP en la sístole es muy bajo.

Page 115: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 93

4.4 Comparación de resultados

El objetivo de esta comparación es identificar aquella geometría que presente los

valores de los parámetros hemodinámicos –descritos en la sección 1.5.3.– que minimicen

el riesgo de engrosamiento de la pared arterial.

A la vista de los resultados, se han clasificado dichos parámetros en dos bloques

principales.

El Primer bloque engloba el análisis en cuanto al comportamiento del flujo:

presencia de flujo inverso y recirculación del flujo cerca del segmento proximal, puntos

de estancamiento en el suelo, y separación del flujo en la bifurcación.

El Segundo bloque analiza los valores de ETP por debajo de 1 Pa, GETP altos y

picos de GP elevados, en el talón, punta y suelo de la pared arterial. Como se explicó en

la sección de resultados, estas comparaciones se realizan en la sístole del ciclo por ser el

instante más crítico.

Con estos dos bloques se abarca el análisis de los parámetros hemodinámicos

críticos definidos en el capítulo 1.

Primer bloque: comportamiento del flujo

A lo largo de la sección anterior se han detectado ya algunas diferencias entre las

cuatro geometrías analizadas.

En la geometría del caso 4 se detectan parámetros de flujo inverso a la altura del

talón en la arteria “huésped”. Esto también ocurre en el caso de mayor ángulo –caso 3– lo

que contrasta con los casos 1 y 2 en los que el flujo se dirige en un sentido positivo del

eje x. Estos resultados llevan, en primera instancia, a descartar estas dos últimas

geometrías en comparación con las dos primeras, debido a sus peores condiciones de

flujo y por tanto mayor riesgo de engrosamiento de la pared arterial.

En la simulación se ha encontrado otro instante de tiempo crítico además de la

sístole: la diástole (t3), instante del ciclo cardiaco donde aparece recirculación del flujo, a

pesar de que los valores máximos de velocidad son del orden de 5 a 10 veces menores

que en la sístole, y en general la velocidad es casi nula.

Se puede ver en las cuatro figuras siguientes, mediante la representación de las

líneas de corriente, que en las geometrías con ángulos de 30º o 45º las zonas de

recirculación y estancamiento del flujo se dan en el suelo arterial, lo que se corresponde

con lo esperado según la sección 1.5.3., ya que dichas regiones coinciden con lo señalado

Page 116: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 94

en la Fig. 26 (b). Sin embargo, en el caso de ángulo de 60º esta zona se ve desplazada

hacia la punta de la anastomosis.

En el caso de 30º y 60º se identifica una zona de recirculación, mientras que en el

caso de 45º además hay un comportamiento complejo del flujo a la altura del

acoplamiento del injerto, lo que indica una situación favorable en esta geometría. Sin

embargo, de este análisis de las líneas de corriente destaca la formación de tres zonas de

recirculación en la última geometría, que se evidencia como nada óptima para el diseño

de un bypass.

En los cuatro casos se puede comprobar la separación del flujo en la bifurcación,

entre la punta y el talón.

Debido a que las líneas de corriente representan un estudio cualitativo en el que en

los cuatro casos existe comportamiento complejo del flujo sanguíneo, la decisión de qué

geometría es óptima se tomará en base a la existencia de flujo inverso explicado

anteriormente, y en las comparaciones numéricas del Segundo bloque. Sin embargo, y

aunque seguirá considerándose esta geometría hasta las conclusiones finales, en principio

puede descartarse la opción de implantar un injerto de diámetro menor de la arteria

principal (caso 4). Por otro lado, cabe recordar que aunque muestre valores aceptables

para algunos indicadores de este bloque, la geometría de mayor ángulo parece no tener

muy buen funcionamiento debido a la aparición de flujo inverso en la arteria principal.

Page 117: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 95

Figura 111: Caso 1, líneas de corriente en t3.

Figura 112: Caso 2, líneas de corriente en t3.

Figura 113: Caso 3, líneas de corriente en t3

Figura 114: Caso 4, líneas de corriente en t3.

Page 118: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 96

Segundo bloque: ETP, GETP, gradiente de presión.

Este bloque basa sus conclusiones en los resultados numéricos obtenidos en la

sección anterior. Para su mejor comparación, se han representado los perfiles de ETP de

las cuatro geometrías en una misma gráfica –para el instante crítico t1. Lo mismo aplica

para el gradiente de presión.

Se tienen por tanto cuatro gráficas clave a analizar: comparación del ETP a lo largo

del suelo, L1 –Fig. 115– y también en la línea superior L2 que abarca la punta y el talón–

Fig. 117– y lo mismo para el gradiente de presión –Figs. 116 y 118.

Nótese que la leyenda de colores ha cambiado respecto al resto de representaciones

anteriores. En lugar de hacer referencia a los instantes de tiempo, ahora los colores

indican cada una de las cuatro geometrías estudiadas: “a30” representa el caso 1 con un

ángulo del injerto de 30º, en color naranja. El caso 2, “a45”en verde, con un ángulo de

45º. El caso 3 con el nombre de “a60” debido al valor de 60º del ángulo, se representa en

color rojo. Finalmente, el caso 4, en azul oscuro, representa la geometría de diámetro del

injerto igual a 3 mm y ángulo 45º, llamada “d3a45” en la leyenda.

En las gráficas de los perfiles de ETP la franja horizontal sombreada en gris

representa la región de ETP menor de 1 Pa, que constituye el rango de valores críticos de

ETP. La franja vertical sombreada en color rojizo representa la región de mayor variación

espacial –mayor GETP. Nótese que esta franja coincide con la de mayores GP –como se

señaló en la sección de resultados– por lo que se ha sombreado en el mismo color.

El eje x representa la posición en tanto por ciento respecto de la longitud total de la

arteria principal –es decir, el porcentaje respecto a 40 mm.

Se observa en la Fig. 115 y Fig. 116 que la zona de interés del suelo (L1) se sitúa

entre el 43% - 68% de la longitud total. El análisis es el siguiente:

En primer lugar llama la atención que el valor “estable” del ETP –entendiendo por

estable el valor de ETP en el 100%, que es el que predominará en el resto de la arteria

coronaria– en los tres primeros casos es de 2 a 3 Pa –valor superior y cercano al óptimo,

de 1.5 Pa. Sin embargo, en el último caso, “d3a45”, el valor estable es el más

desfavorable de los cuatro casos, ya que es igual a 1Pa. Es importante recordar que la

representación se corresponde al instante de ETP máxima y por tanto los valores del resto

del ciclo en esa geometría siempre estarán por debajo del valor mínimo aceptable.

Se observa además que el mayor cambio de ETP se da para este caso, ya que

presenta los mayores picos negativo y positivo, y la variación se da en el tramo más corto

Page 119: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 97

del eje x. Al cambiar tan rápidamente en el espacio, se descarta prácticamente este caso

como óptimo.

Se comprueba que los tres casos restantes presentan aproximadamente los mismos

picos negativos, mientras que el menor pico positivo se da para “a30”. Esto quiere decir

que su variación es menor. Es importante señalar que el análisis de la variación de ETP se

realiza de forma cualitativa y no cuantitativamente.

Para poder basar el análisis sobre el GETP en resultados numéricos, se formula una

medida cualitativa de GETP, como , donde es la diferencia

entre picos de ETP, y la diferencia de las coordenadas en x de esos picos.

Diferencia entre

picos

(Pa)

(en % de 40

mm)

(Pa/mm)

a30 3.5-(-0.5)=4 65-45=20 5

a45 4-(-0.5)=4.5 68-52=16 7.03

a60 4-(-0.5)=3.5 56-43=13 8.65

d3a45 4-(-1)=5 64-54=10 12.5

Tabla 3: Análisis cualitativo del GETP, L1.

Se observa que el GETP cualitativo en “a45”, “a 60” y “d3a45” es superior en un

41%, 73% y 150% respectivamente, en cuanto al valor en “a30” que es mínimo.

Figura 115: Comparación del perfil de ETP en L1 para las cuatro geometrías analizadas, en el instante t1.

Respecto a los picos locales del gradiente de presión, se puede ver en la Fig. 116

cómo el caso “d3a45” presenta el pico local más pronunciado –aumento local de 20 Pa,

entre 20 y 40 Pa– y por ello las condiciones más desfavorables. El pico local más suave

Page 120: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 98

se da en la geometría “a60”, seguido de “a30” y “a45”, con GP locales de 4, 6 y 8 Pa

respectivamente. La geometría que parece más favorable según este análisis es “a60”. Sin

embargo, se debe tener en cuenta que el GP es demasiado elevado –alcanza un máximo

en 82 Pa– además, “d3a45” presenta un GP de 40 Pa que se considera demasiado bajo, lo

que no se considera favorable para la pared arterial ya que es mejor que el GP presente un

valor medio. Las geometrías restantes presentan un valor de 60 Pa en “a30” y 70 Pa en

“a45”.

Figura 116: Comparación del gradiente de presión en L1 para las cuatro geometrías analizadas, en t1.

Respecto a la línea superior de la arteria principal, L2, se muestran las dos zonas

críticas –talón y punta– de dicha línea. En ambos casos se comprueba –Tabla 4– que en

ambas zonas el mejor comportamiento lo presenta “a30”, frente a “d3a45” cuyo GETP es

máximo, en el talón, y “a60” con un valor máximo, en la punta.

GETP Talón

(Pa/mm)

GETP Punta

(Pa/mm)

a30 0 2,75

a45 0,33 8,21

a60 0,83 12,5

d3a45 1 5

Tabla 4: Comparación del GETP cualitativo en talón y punta

En primer lugar, es necesario recordar que para el caso de “d3a45” la zona crítica

de bajo ETP en la punta se extiende hasta el final de la arteria principal, mientras que en

los casos anteriores se limitaba a una zona localizada y de mucho menor calibre. Este

Page 121: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 99

resultado se dedujo en la sección anterior. En la Fig.117 se resaltan el talón y la punta

mediante la primera y segunda franja vertical, respectivamente.

En cuanto al valor permanente de ETP, la geometría de “a60” alcanza el valor

óptimo, en torno a 1.5 Pa, mientras que en “a30” el valor es de 1 Pa. Otro factor a

destacar en la gráfica es en “a30” y “a45” el ETP en la punta no llega a anularse –el ETP

en “a60” es cero en 51% y en “d3a45” a 58%. De “a30” y “a45” la primera presenta un

menor GETP, como se indica en la Tabla 4.

Figura 117: Comparación del perfil de ETP en L2 para las cuatro geometrías analizadas, en el instante t1.

La zona crítica según el gradiente de presión se corresponde con la región de la

punta, la segunda franja vertical en la Fig. 117.

Ahora en lugar de máximos, son los mínimos locales del gradiente de presión los

que representan un parámetro a estudiar. En la punta, el GP de “a60” destaca como el más

pronunciado –60 Pa– seguido de “a45” –37 Pa–, “a30” –22 Pa–, y “d3a45” –8 Pa. En el

talón el GP es cero.

Page 122: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 4. Aplicación al caso: Anastomosis arterial 100

Figura 118: Comparación del gradiente de presión en L2 para las cuatro geometrías analizadas, en t1.

Después de estas comparaciones, se extraen una serie de conclusiones detalladas en

el capítulo 5.

Page 123: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 5 CONCLUSIONES Y

LÍNEAS FUTURAS DE

INVESTIGACIÓN

Page 124: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 5. Conclusiones y líneas futuras de investigación 102

5.1 Conclusiones

Se resumen los resultados sobre los siete indicadores hemodinámicos en la tabla

siguiente, donde el color azul representa el mejor comportamiento hemodinámico, que

empeora según el orden verde, naranja y rojo, considerado como inaceptable.

a30 a45 a60 d3a45

BL

OQ

UE

Flujo inverso NO NO SÍ SÍ

Recirculación 1 (suelo) 1 (suelo) 1(punta) 3 zonas

Puntos estancamiento SÍ SÍ SÍ SÍ (más)

Separación de flujo SÍ SÍ SÍ (menos) SÍ (más)

BL

OQ

UE

ETP

< 1 Pa

Estable 1 - 2.5 1 - 2.2 1.75 - 2.5 1 - 1

Talón 0 0.1/0 0.25/0 0.3/0

Punta 1.5/0.4 2.5/0.2 1.5/-1 0.8/-0.2

Suelo 3.5/-0.5 4/-0.5 4/-0.5 4/-1

GETP

alto

Talón 0% 3% 7% 8%

Punta 22% 66% 100% 40%

Suelo 40% 56% 69% 100%

Picos

locales

GP

Talón 0 0 0 0

Punta (mín) 22(30) 37(25) 60(20) 8 (10)

Suelo (máx) 6 (60) 8(70) 4(82) 20 (40)

Tabla 5: Tabla de resultados finales

En cuanto al Primer bloque, la variable discriminatoria principal es la presencia o

ausencia de flujo inverso. En los perfiles de velocidad, para las geometrías de “d3a45” y

“a60”, aparece flujo inverso durante todo el ciclo. Se localiza en la zona del segmento

proximal (corte X1) en la arteria huésped, especialmente cerca del suelo.

Debido a este efecto, y también de forma global, la geometría “d3a45” que queda

descartada por presentar las condiciones más desfavorables respecto al resto de casos.

Por otro lado, la geometría “a60” tiene buen resultado respecto a los tres últimos

indicadores de este bloque, pudiéndose considerar como óptima. Sin embargo, la

presencia de flujo inverso hace que se descarte esta opción.

Destaca el mejor comportamiento de “a30” y “a45” frente al resto principalmente

debido a la ausencia de flujo inverso.

Page 125: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 5. Conclusiones y líneas futuras de investigación 103

Respecto al Segundo bloque, es importante aclarar primero el significado de los

resultados numéricos.

- ETP (Pa): Un valor de ETP menor a 1 Pa se considera desfavorable frente a 1.5 Pa

que representa el óptimo. El ETP “estable” es el valor al final de la arteria principal (ETP

en la parte superior – ETP en el suelo). De las cuatro geometrías se comprueba que las

geometrías “a60” y “a30” se ajustan mejor a estos valores.

En las tres zonas críticas –talón, punta y suelo– se representa: “Valor máximo ETP/

valor mínimo ETP”. Se ha sombreado en color rojo prácticamente las cuatro geometrías

en las tres zonas críticas. Esto coincide con lo esperado, ya que debido a que presentan

valores de ETP menores de 1 Pa se consideran precisamente las tres zonas más

desfavorables. La principal conclusión al respecto es que, en la punta, las geometrías

donde el ETP no llega a anularse son “a30” y “a45” exclusivamente –de ahí su color

naranja frente al rojo de las otras dos.

La geometría “d3a45” se descarta nuevamente debido a su peor comportamiento

para los tres parámetros analizados. Además en este caso la región desfavorable –zona en

la que el ETP es menor que 1 Pa– en la punta se extiende hasta el final de la arteria

principal, mientras que en los otros casos se limita a una zona localizada.

La geometría “a60” presenta el mejor valor estable, sin embargo, su ETP sí se anula

en la punta.

- GETP (% respecto al máximo): Es el indicador más representativo del Segundo

bloque, ya que el cambio en el ETP es lo que más influye en la lesión de la arteria, y de

hecho las zonas críticas sí presentan grandes diferencias respecto a él. En el talón y el

suelo, es máximo en “d3a45” En la punta, “a60” presenta el máximo valor. Se

comprueba que el mejor comportamiento global sigue la secuencia “a30”, “a45”,”a60” y

“d3a45”, empeorando en este orden.

- GP (Pa): Los números significan la disminución –en el caso de la punta– y el

aumento –en el caso del suelo– local del GP, seguido entre paréntesis del pico local

mínimo o máximo, en cada caso.

Se considera como mejor geometría “a30” porque aunque esté en color verde, las

sombreadas en azul llegan a valores de GP extremo. Los valores favorables de GP en una

arteria no son ni tan pequeños –10 Pa para “a60”– ni tan altos –80 Pa para “d3a45”. En la

punta, el pico de “a60” destaca como el más pronunciado, seguido de “a45”, “d3a45” y

“a30”. En el talón no hay picos de presión.

Page 126: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 5. Conclusiones y líneas futuras de investigación 104

Por tanto en este proyecto se extraen dos conclusiones clave:

La geometría “d3a45” es claramente la de peor comportamiento,

especialmente en la punta y el suelo de la anastomosis y, en consecuencia, se

descarta frente al resto. No es recomendable por tanto la cirugía con diámetros de

injerto menores al principal.

La geometría “a30” presenta el mejor comportamiento de forma global,

destacando la ausencia de flujo inverso y debido también a su menor valor de GETP

en las tres zonas críticas.

En cuanto a los casos “a45” y “a60”, no queda del todo claro qué ángulo es mejor de

ellos.

La geometría de “a45” parece mejor, ya que no demuestra un mal comportamiento

respecto a la mayoría de parámetros del Segundo bloque y además no presenta flujo

inverso.

Por otro lado, el caso “a60” presenta condiciones aceptables respecto a los tres

últimos parámetros del Primer bloque. Sin embargo, sí presenta flujo inverso y, en cuanto

a los parámetros del Segundo bloque, muestra el peor comportamiento en la punta.

En conclusión, el presente estudio respalda la recomendación de un ángulo de

anastomosis de 30º basándose en el modelo numérico validado y ensayado para las

diferentes geometrías. De los cuatro casos estudiados, esta configuración es la que

minimiza el riesgo de enfermedad coronaria y el subsiguiente fallo del bypass.

Finalmente, se afirma que se han alcanzado los dos objetivos principales del presente

proyecto. El primero, la validación del modelo tridimensional del flujo sanguíneo

caracterizado como flujo pulsatorio de Womersley. El segundo, la aplicación de este

modelo a cuatro configuraciones de anastomosis con el fin de elegir el diseño óptimo

entre ellas y sacar conclusiones.

Sin embargo, se hace necesaria una ampliación del modelo tridimensional creado

para reflejar, con mayor exactitud, el comportamiento complejo del flujo sanguíneo y

poder aplicar las conclusiones obtenidas al campo de la cirugía vascular.

Page 127: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 5. Conclusiones y líneas futuras de investigación 105

5.2 Líneas futuras de investigación.

Como trabajo futuro se proponen las siguientes líneas de mejora:

En cuanto al modelo:

La consideración de la pared como un tejido elástico que interacciona con

las ondas de presión pulsatorias. Esto implica la construcción de un modelo de

interacción fluido-pared. A pesar de que las arterias enfermas presenten elevada

rigidez, su composición sigue teniendo una componente elástica, por lo tanto el

modelo sería más ajustado.

La simulación de la sangre como fluido no-Newtoniano, ya que en el

presente proyecto la hipótesis de fluido Newtoniano se asume como una primera

aproximación.

En cuanto a las condiciones de contorno:

Ajustar la condición de entrada a la onda de presión real del flujo

sanguíneo.

Aplicar una condición de salida de flujo en el segmento proximal. Esto

implica que el bloqueo de la arteria principal aguas arriba no es total y aumenta la

complejidad del flujo, con mayor presencia de flujo inverso.

En cuanto a la geometría de anastomosis:

Estudiar la influencia de otras variables geométricas como la asimetría

total de la anastomosis –ya que en el presente estudio sí existe un plano de

simetría.

Analizar un mayor rango de valores de ángulo del injerto.

Construir geometrías basadas en los otros dos modelos estándar de

anastomosis: el modelo de Miller Cuff, y el modelo “en capucha”.

Debido al peor comportamiento de una geometría con un diámetro de

injerto menor al de la arteria principal, se señala la importancia de realizar un

estudio posterior sobre la influencia de un diámetro mayor que el de la arteria

“huésped”.

En cuanto a la influencia de otras variables hemodinámicas:

Analizar cuantitativamente el gradiente espacial de ETP.

Page 128: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

Capítulo 5. Conclusiones y líneas futuras de investigación 106

Debido a la fuerte correlación del índice de oscilación IOET y gradiente

temporal del ETP con el desarrollo de enfermedad arterial, se recomienda ensayar

estas variables para estudios posteriores.

Otras consideraciones médicas deben tenerse en cuenta si se quiere construir un

modelo del flujo sanguíneo con resultados aplicables a la cirugía vascular. Entre ellos,

destaca la influencia de la incompatibilidad de complianzas entre el injerto y la arteria

“huésped” en la línea de sutura o la deposición de partículas lípidas en la pared arterial,

como variables precursoras del desarrollo de enfermedades coronarias.

Sin embargo, el modelo tridimensional propuesto explica el comportamiento del

flujo sanguíneo real expuesto en la literatura y en los ensayos clínicos. Por tanto, se

considera como una buena base de la que partir y mejorar, con el fin de extraer

conclusiones extrapolables a la cirugía arterial.

Page 129: PROYECTO CALCULO FLUIDOS 2 2014.pdf

BIBLIOGRAFÍA

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