Proyeccin isomtrica De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda Una proyeccin isomtrica es un mtodo grfico de representacin, ms especficamente una axonomtrica1 cilndrica2 ortogonal.3 Constituye una representacin visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ngulos de 120, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala. El trmino isomtrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medicin es la misma en los tres ejes principales (x, y, z). La isometra es una de las formas de proyeccin utilizadas en dibujo tcnico que tiene la ventaja de permitir la representacin a escala, y la desventaja de no reflejar la disminucin aparente de tamao -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

Proyeccin isomtrica de un filtro Bayer sobre un sensor. Contenido

1 Visualizacin 2 Aplicaciones o 2.1 En el diseo y el dibujo tcnico o 2.2 En arquitectura o 2.3 En videojuegos 3 Aspectos matemticos o 3.1 Factor de reduccin sobre los ejes o 3.2 Transformacin de coordenadas 3.2.1 Transformacin de un crculo del plano conteniendo dos ejes

4 Referencias 5 Enlaces externos

[editar] Visualizacin La isometra determina una direccin de visualizacin en la que la proyeccin de los ejes coordenados x, y, z conforman el mismo ngulo, es decir, 120 entre s. Los objetos se muestran con una rotacin del punto de vista de 45 en las tres direcciones principales (x, y, z). Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vrtice superior de una habitacin cbica, mirando hacia el vrtice opuesto. los ejes x e y son las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el eje z, el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus lneas paralelas), mantienen 120 entre ellos. En perspectiva isomtrica se suele utilizar un coeficiente de reduccin de las dimensiones equivalente a 0,82. El dibujo isomtrico puede realizarse sin reduccin, a escala 1:1 o escala natural, y los segmentos del dibujo paralelos a los ejes, se correspondern con las del objeto. Dentro del conjunto de proyecciones axonomtricas o cilndricas, existen otros tipos de perspectiva, que difieren por la posicin de los ejes principales, y el uso de diferentes coeficientes de reduccin para compensar las distorsiones visuales. [editar] Aplicaciones

Las figuras de la izquierda son las vistas en sistema didrico, mientras que a la derecha se ve una proyeccin isomtrica con una seccin parcial.

[editar] En el diseo y el dibujo tcnico En diseo industrial se representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecnico presenta en general formas con ejes de simetra o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyeccin ortogonal. Se puede fcilmente dibujar una perspectiva isomtrica de la pieza a partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensin de la forma del objeto. [editar] En arquitectura

El castillo del Louvre, dibujo isomtrico de Viollet-Le-Duc,(1814-1879). Eugne Viollet-le-Duc utiliz este sistema en muchos dibujos de sus edificios, evitando acentuar la importancia de unos volmenes sobre otros e independizndose del punto de vista del observador. [editar] En videojuegos Cierto nmero de videojuegos pone en accin a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva isomtrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ngulo prctico, ello permite desplazar los elementos grficos sin modificar el tamao, limitacin inevitable para ordenadores con baja capacidad grfica.

A fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llev la proyeccin a un sistema 2:1, vale decir a una inclinacin de 26,6 (arctan 0,5) en lugar de 30, que no corresponde a una proyeccin isomtrica propiamente dicha, sino "dimtrica". El progresivo incremento en las capacidades grficas de los ordenadores ha posibilitado el uso cada vez ms generalizado de sistemas de proyeccin ms realistas, basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cnica. juegos que la utilizan: el mas conocido habbo [editar] Aspectos matemticos Siendo la perspectiva isomtrica una proyeccin geomtrica sobre un plano segn un eje perpendicular al mismo, sus caractersticas y relaciones pueden ser calculadas analticamente mediante la trigonometra. [editar] Factor de reduccin sobre los ejes

Ilustracin de la proyeccin del eje "z" sobre el plano de representacin.

Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su interseccin con el plano de proyeccin define un ngulo , la proyeccin tendr una longitud equivalente al coseno de .

es tambin el ngulo entre la perpendicular al plano de proyeccin que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e y que pasan por (1,1,0). el tringulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectngulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a 2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una longitud 3.

En consecuencia:

. Puede deducirse que 35,26 . Es posible tambin utilizar el producto escalar:

el vector unitario definido por la diagonal mayor es (1/3, 1/3, 1/3); la arista [(0,0,0),(0,0,1)] se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k1, y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k2 k1 es el producto escalar de y de , y se puede calcular mediante las coordenadas: el teorema de Pitgoras nos indica que k1 + k2 = 1 (longitud de las aristas de un cubo)

En consecuencia:

. La longitud de los segmentos sobre los ejes de representacin se proyectan con un factor de 0.82.

Se llega igualmente a esta conclusin utilizando la frmula general de proyecciones ortogonales. Por otro lado, si se considera el crculo unitario del plan (x,y), el rayo se proyecta segn la lnea de mayor pendiente, que es la primer bisectriz del plano, con un factor de proyeccin equivalente a sin = k1 = 1/3 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse. [editar] Transformacin de coordenadas

Proyeccin de la base ortonormal del espacio. La transformacin de coordenadas cartesianas se utiliza para calcular las vistas a partir de las coordenadas de los puntos, por ejemplo en el caso de un juego de video, o de simulacin 3D. Suponiendo un espacio provisto de una base ortonormal directa . La proyeccin P se realiza segn el vector de componentes (1,1,1), es decir el vector , segn el plano representado por ese mismo vector. Como toda aplicacin lineal, puede estar representado por la transformacin de los vectores de la base, ms un vector que se transforma segn

Sea . LLamamos de proyeccin.

a la base ortonormal directa sobre el plano

Elegimos arbitrariamente que hace un ngulo de -/6 con . La aplicacin particular del clculo a las proyecciones ortogonales en la perspectiva isomtrica resulta:

; ; k2 = k1 ; k3 = k1

La matriz de la proyeccin MP es en consecuencia:

Considerando un punto (x, y, z) del espacio que se proyecta en (x', y'), su proyeccin ser:

[editar] Transformacin de un crculo del plano conteniendo dos ejes

Si consideramos el crculo trigonomtrico del plano paramtricas de sus puntos sern:

, las coordenadas

Las coordenadas de los puntos proyectados en la base

sern:

La distancia al origen es

, siendo

Esta distancia varia en consecuencia entre 1 y [editar] Referencias Introduccin La perspectiva axonomtrica es un sistema de representacin grfica, consistente en representar elementos geomtricos o volmenes en un plano, mediante proyeccin ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud. La perspectiva axonomtrica cumple dos propiedades importantes que la distinguen de la perspectiva cnica, es decir, que la escala del objeto representado no depende de su distancia al observador y que dos lneas paralelas en la realidad son tambin paralelas en su representacin axonomtrica. Los tres ejes del plano proyectante se dibujan as: el referente a la altura suele ser vertical, y los referentes a longitud y anchura pueden

disponerse con cualquier ngulo. Los ejes del plano proyectante guardan entre s 120 en la perspectiva isomtrica, un caso particular de la perspectiva axonomtrica. Si los ejes guardan entre s 90 y 135 se denomina perspectiva caballera. Para que el dibujo se parezca ms a la realidad, se aplica a veces un coeficiente de reduccin en las medidas paralelas a los ejes de anchura y longitud. Proyeccin axonomtrica La proyeccin axonomtrica es una proyeccin sobre un plano (Axonomtrico) que tiene una posicin arbitraria en el espacio. Si los rayos son perpendiculares al plano axonomtrico, se trata de una proyeccin axonomtrica ortogonal. Este sistema de proyeccin es muy similar a la manera de observar nosotros los objetos en el espacio, conservndose, sin embargo, todas las propiedades de la proyeccin cilndrica (paralelismo, perpendicularidad). Las proyecciones del plano axonomtrico en el plano horizontal XY determina la recta XY cuya proyeccin es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (eje Z y XY) son ortogonales, la recta XY esta contenida en el plano axonomtrico y la proyeccin axonomtrica es una proyeccin ortogonal. Coordenadas y escalas

En axonometra se pueden medir las coordenadas de los puntos sobre los ejes, tomando en cuenta la deformacin correspondiente de estos. (De all se deriva el nombre axonomtrica que en griego significa medida sobre los ejes). Cada eje tiene su escala predeterminada de acuerdo con el plano axonomtrico y su respectiva direccin de los rayos de proyeccin. Todas las lneas paralelas al plano axonomtrico se conservan en esta proyeccin en verdadero tamao. Para determinar las escalas sobre los ejes, rebatimos estos sobre el plano axonomtrico donde se deben proyectar en verdadero tamao.

Para definir la proyeccin axonomtrica basta fijar los ngulos bajo los ejes X, Y, Z, cuya suma debe ser 360 y ninguno puede ser 90. Tambin se puede definir mediante el triangulo axonomtrico.

Trimetra: los tres ngulos son distintos, las tres escalas son distintas.

Bimetra: dos ngulos son iguales y dos escalas tambin son iguales (la escala distinta esta sobre el eje opuesto al ngulo distinto).

Isometra (Monometra): los tres ngulos son iguales a 120, las tres escalas son tambin iguales.

Diversos mtodos para el replanteo de un punto

Usando la escala de los ejes previamente determinada y construyendo el paraleleppedo de aristas iguales a las coordenadas correspondientes.