PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE …
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PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL SUSTENTADA EN LA RESOLUCIÓN PROBLEMAS CON UN ENFOQUE INTERDISCIPLINARIO Tesis en opción al título académico de Máster en Educación Matemática Universitaria Autor: Ing. Oscar Eduardo Alcívar Murillo HOLGUÍN 2017
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PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE
DEL ÁLGEBRA LINEAL SUSTENTADA EN LA RESOLUCIÓN
PROBLEMAS CON UN ENFOQUE INTERDISCIPLINARIO
Tesis en opción al título académico de Máster en Educación
Matemática Universitaria
Autor: Ing. Oscar Eduardo Alcívar Murillo
HOLGUÍN
2017
PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE
DEL ÁLGEBRA LINEAL SUSTENTADA EN LA RESOLUCIÓN
PROBLEMAS CON UN ENFOQUE INTERDISCIPLINARIO
Tesis en opción al título académico de Máster en Educación
Matemática Universitaria
Autor: Ing. Oscar Eduardo Alcívar Murillo
Tutor: MSc. Fabio Omar Díaz Silva.
HOLGUÍN
2017
AGRADECIMIENTO
Agradezco a Dios, por darme la fuerza necesaria para superar los momentos
difíciles, levantarme y así conseguir llegar a esta etapa muy importante de mi vida.
A mi esposa, por ese apoyo constante a mi superación.
A mis hermanos, por el apoyo brindado, para seguir formándome como un
profesional, dándome fuerzas para seguir y no decaer en esta etapa
A mi tutor, por encender en mí esa luz de la sabiduría con cada uno de sus
consejos, ya que sin él no se hubiese logrado este resultado.
A cada uno de los docentes y amigos de la prestigiosa Universidad de Holguín,
que me han inculcado buenas enseñanzas, compartiendo sus experiencias y
encontrando la manera más factible de hacernos comprender sus conocimientos.
DEDICATORIA
El presente trabajo investigativo lo dedico con todo mi amor y cariño a mi esposa
Mirellys, por su apoyo y comprensión para la realización de esta etapa de
superación.
A mis hijos, por darme esa motivación para superarme día a día y así luchar para
que la vida nos depare un futuro mejor.
A la memoria de mis padres, quienes siempre apoyaron y respaldaron la
superación de sus hijos y eso hizo no decaer en esta etapa de formación, y con
ello seguir adelante para cumplir con mis ideales.
A mis compañeros de la maestría, con los que en esta travesía pudimos compartir
conocimientos, alegrías y tristezas, así como las personas que durante este
proceso estuvieron a mi lado apoyándome para que este sueño se pueda
cristalizar.
RESUMEN
La presente investigación muestra una propuesta didáctica para favorecer el
proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal, en la carrera de Ingeniería
Civil de la Universidad Laica “Eloy Alfaro de Manabí”, la cual está sustentada en la
resolución de problemas con un enfoque interdisciplinario. La investigación tiene
como finalidad, elevar a niveles superiores la motivación y capacidades
intelectuales a partir de la resolución de ejercicios y problemas que se presentan
en esta asignatura, insertada desde la malla curricular de estudio y con esto incidir
favorablemente en la formación profesional del ingeniero civil.
La investigación se estructura en una introducción, dos capítulos, conclusiones,
recomendaciones, bibliografía y anexos. En la introducción se identifica la
problemática a investigar; el capítulo uno está dedicado a establecer los
fundamentos teóricos de la propuesta didáctica en los que se sustenta la
investigación. El capítulo dos se muestra la propuesta didáctica elaborada, la cual
consta de tres etapas, diseñada desde la caracterización del estudiante en la
actividad de resolución de problema, seguida de la etapa dos, la cual se
subdividen en tres momentos contemplados en el sílabo de la asignatura, con el
objetivo de incidir en formas de actuación en los estudiantes ante esta actividad,
empleando la estrategia dada por Schoenfeld (1985). En la última etapa de la
propuesta se plantea dos condiciones para su implementación que brindan
orientaciones a los docentes para la contextualización (formulación o selección) de
problemas con carácter interdisciplinario.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 1
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA
PARA FAVORECER EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL
ÁLGEBRA LINEAL ........................................................................................... 10
1.1. Proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en las carreras
universitarias ................................................................................................. 10
1.1.1 Diagnóstico del proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal
en la carrera de Ingeniería Civil de la Uleam ................................................ 20
1.2. La interdisciplinaridad como presupuesto teórico ............................... 20
1.2.1 Los riesgos de la interdisciplinariedad ............................................. 26
1.3. Resolución de problemas en el contexto educativo ............................ 27
1.3.1 Metodologías para resolver problemas ............................................ 29
CAPÍTULO 2. PROPUESTA DIDÁCTICA PARA FAVORECER EL PROCESO DE
ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL A PARTIR DE LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE INTERDISCIPLINARIO ... 33
2.1. Propuesta didáctica ............................................................................. 33
2.2. Factibilidad de la propuesta por los expertos analizados a partir de la
técnica Delphi. .............................................................................................. 49
CONCLUSIONES ............................................................................................. 53
RECOMENDACIONES .................................................................................... 54
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 55
ANEXOS
1
INTRODUCCIÓN
La enseñanza en general y la de las matemáticas en particular son asuntos de la
mayor importancia para la sociedad contemporánea. Con el paso del tiempo, las
sociedades han conformado instituciones, con la finalidad de articular el saber
científico y matemático con la cultura de la sociedad, buscando propiciar en la
población una visión científica del mundo. Dentro de estas instituciones ocupa un
lugar relevante las Instituciones de Enseñanza Superior que tienen el desafío de la
formación de los profesionales (ingenieros, licenciados, técnicos superiores, etc.)
del futuro.
La tarea en ciencias e ingenierías es analizar y comprender los cambios entre
ciertas cantidades que varían, lo cual en muchas ocasiones se reduce a analizar
datos para construir o verificar una fórmula que predice el valor de una variable en
función de una o varias variables. Esta tarea insiste en que el proceso de
enseñanza aprendizaje (PEA) debe ser lo suficientemente motivador, significativo
y científico, para lograr un aprendizaje que desarrolle al estudiante, el cual logre
ver su finalidad a partir de las aplicaciones de las materias que se enseñan en las
temáticas objetos de estudios.
En los diferentes currículos de estudios de las diferentes carreras de Ciencias
Técnicas y Licenciaturas, las matemáticas están presentes y penetran de manera
decisiva en la formación de los profesionales, por lo que el PEA debe ser
constitutivo de lo que la sociedad demanda, contribuyendo a la concepción
científica del mundo.
“La enseñanza de la Matemática, tiene como principal objetivo el empleo por
parte del alumno, de los conocimientos adquiridos en la solución de problemas
y estos conocimientos adquieren su justo valor en la medida en que se
necesiten y empleen en la solución de un problema y no por el mero hecho de
acumular en el cerebro gran número de definiciones, teoremas, etc.”
(Hernández,1995)
Sobre este último aspecto Álvarez de Zayas (1999), plantea que a pesar de los
avances de la Didáctica de la Educación Superior, se han constatado un conjunto
2
de insuficiencias que determinan cierto nivel de ineficiencia en el PEA, y entre
ellos se destaca:
La insuficiente integración del PEA con el proceso productivo y de servicios.
Los problemas presentes en la práctica social no son objeto y punto de
partida para desarrollar el PEA.
Esto manifiesta que aún existen insuficiencias en la concepción del PEA, de modo
que facilite la visión utilitaria de la materia que se imparte. Dentro del complejo de
materias que se explican de matemáticas en la carrera de Ingeniería Civil, de la
Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí (Uleam), de la República del Ecuador,
están las referidas al Álgebra Lineal, la cual se encuentran dentro del currículo de
estudio considerada como básico, la que posee la característica de ser
propedéutica para otras asignaturas del currículo.
En el programa de estudio de asignaturas, aprobado en el Consejo Universitario
(2014), mediante la Resolución No. 102-2014-HCU-SG-CSG, al referirse a la
asignatura Álgebra Lineal se plantea que las tareas múltiples del Álgebra Lineal
contribuyen al desarrollo de la comprensión, la interpretación, la proposición y
argumentación de conceptos, propiedades, algoritmos, aplicaciones y manejo
computacional, cuyos objetivos es formular, analiza e interpreta una serie de
herramientas del Álgebra Lineal como lenguajes (notación) y analíticas (álgebra)
que de otro modo serían muy complejos y difíciles de abordar, con precisión.
Actualmente la República del Ecuador, está inmersa en diferentes cambios
educacionales, que contribuirán a preparar a la sociedad para los nuevos desafíos
(económicos, políticos y sociales), que se imponen en la nueva era que se vive,
donde los diferentes subsistemas educacionales y a la vanguardia las
universidades cumplirán la función emancipadora de las nuevas generaciones.
Esta asignatura al articularse en el currículo del perfil de egreso de la carrera de
Ingeniería Civil, contribuirá al desarrollo del cálculo mediante la solución de
sistemas de ecuaciones utilizando los métodos matriciales, la resolución de
problemas con el uso de determinantes aplicando diversos métodos, la
construcción de vectores bidimensionales y tridimensionales, así como, la
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resolución de problemas aplicando los vectores y valores propios en ejercicios y
problemas relacionados con su especialidad.(Programa de Estudio, 2014)
También se explicita de forma fehaciente, la necesidad de articular una formación
integral que contribuya a favorecer las Competencias Genéricas para América
Latina, declaradas en el Proyecto Tuning. Entre otras competencias se declaran:
Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.
Conocimientos sobre el área de estudio y la profesión.
Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de
fuentes diversas.
Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.
Capacidad de trabajo en equipo.
Esto evidencia que la política educacional ecuatoriana está encaminada a elevar
la efectividad del proceso docente educativo y con esto elevar la calidad de la
preparación de los futuros profesionales, lo que implica incrementar la eficiencia
en los profesores y mejorar los resultados académicos de los alumnos. Por lo
tanto, el proceso de enseñanza aprendizaje se debe desarrollar sobre bases
científicas y significativas para lograr las exigencias que la sociedad le plantea a la
educación.
El Álgebra Lineal es una asignatura que sus temáticas se articula entre ellas, y se
relacionan con numerosas materias matemáticas y no matemáticas, que tiene su
origen desde lo teórico formar, a lo teórico-práctico. Lograr la comprensión de la
necesidad de las materias para las diferentes ingenierías no es un trabajo
espontáneo ni a ciegas, se precisa de la formación académica a la configuración
profesional de la materia. Muchos ejemplos pueden ser objetivo de análisis de
este aspecto como los planteados por David C. Lay (1999), entre estos se tienen:
El Diseño Asistido por Computadoras (CAD), así como la Modelación
(fabricación) Asistida por Computadoras (CAM) le ahorra a cualquier
compañía que fabrica automóviles miles de millones de dólares, lo cual
constituye una revolución en la industria automovilística. Los gráficos por
computadores constituyen la tecnología de punta, y todas las manipulaciones
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de las imágenes del diseño se logran mediante las técnicas del Álgebra
Lineal.
Luego plantea que los vuelos espaciales que se han producidos (US
Columbia, 1981), ha sido posible a partir de un sistema de control de un
conjunto de funciones de entrada y salida, las cuales pueden sumarse y
multiplicarse por un escalar, constituyendo un espacio vectorial.
El estudio de vectores propios y valores propios son de gran utilidad para
muchos estudios de las matemáticas puras y aplicadas. Los valores propios
en las ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos continuos,
proporcionan información crítica en el diseño de ingeniería, y se presentan de
forma natural en campos de la Física y la Química.
Al referirse David C. Lay (1999) a las aplicaciones del Álgebra Lineal, plantea
que el Estudio Geodésico Nacional de los Estados Unidos, realizado en 1974
condujo al planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales de 1800000
variables por 900000 ecuaciones, a partir de las latitudes y longitudes
registradas por un software. El estudio se realizó con fines de limitación
extensionista, organización de proyectos ingeniería civil, como carreteras,
puentes, etc. Dicho problema se redujo a un sistema lineal relacionado con
ecuaciones normales.
Los sensores instalados en un satélite, obtienen imágenes simultáneas de
cualquier región de la tierra, las cuales son digitalizadas y almacenadas
como números en forma rectangular. Las imágenes, son de gran uso para el
desarrollo urbanístico, desarrollo industrial, estudio de los suelos, prevención
de desastres naturales, etc. Sin embargo, dichas imágenes pueden tener
datos redundantes, unirlas en un todo es un trabajo matricial, y las matrices
simétricas juegan un papel preponderante, junto a la diagonalización
ortogonal y la descomposición de valores singulares.
El uso en la ingeniería de los diseños, la optimización, el procesamiento de
señales, el cálculo de energía potencial y cinética, etc. Tienen su trasfondo
en el estudio de las formas cuadráticas.
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Otros ejemplos pueden ser propuestos para mostrar las potencialidades del
Álgebra Lineal para la resolución de problemas, las cuales deben de ser vistas
desde la práctica docente. Por la experiencia de más de 10 años en el trabajo con
esta asignatura, las entrevistas a otros docentes de niveles universitarios
superiores (ver anexo 1) donde se explican matemáticas, así como resultados de
observaciones se pudo constatar tres insuficiencias esenciales en el proceso de
enseñanza aprendizaje:
- La motivación de los estudiantes por el estudio de los contenidos del
Álgebra Lineal es bajo, lo que ocasiona desinterés e insuficiente fijación de
conceptos y procedimientos.
- Insuficiente independencia de los estudiantes ante la resolución de
ejercicios y problemas.
- Pobre salida curricular de los contenidos del Álgebra Lineal en otras
materias de las matemáticas, así como, de otras asignaturas del perfil del
profesional.
El Álgebra Lineal tiene muchas aplicaciones en diferentes materias de las
matemáticas, además de sus aplicaciones a la ingeniería y a la economía
(Parraguez y Bozt, 2012). Sin embargo, Sánchez (2013) plantea en su
investigación que la motivación de los estudiantes en la asignatura es insuficiente.
En búsqueda de las insuficiencias en el proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal, en entrevista aplicada a los docentes (ver anexo 1) con
experiencia en la explicación de temáticas referidas a esta asignatura se
obtuvieron las siguientes regularidades:
- Insuficiencias en el dominio de los conocimientos previos por parte de los
estudiantes, que facilite la comprensión del tratamiento de la nueva materia.
- El bajo nivel que muestran los estudiantes en la comprensión de conceptos,
reglas y leyes de otras disciplinas que permitan mejor nivel de desempeño
de estos ante la resolución de problemas.
- El trabajo interdisciplinario que realizan los docentes para favorecer la
relación de los contenidos con el perfil del profesional es aún bajo.
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Lo antes expuesto revela la siguiente contradicción que se dan en el proceso se
enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal: la necesidad de preparar a los
estudiantes para resolver problemas en el perfil de su profesión y la estructuración
descontextualizada de los contenidos que se imparten en la asignatura Álgebra
Lineal.
De todo lo planteado anteriormente se identifica el siguiente Problema Científico:
¿Cómo favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en
las carreras de ingeniería?, para lo cual se considera como Objeto de
Investigación:
El proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en las carreras de
ingeniería.
Se propone como Objetivo de la Investigación:
Elaboración de una propuesta didáctica sustentada en la resolución de
problemas con enfoque interdisciplinario, que favorezca el proceso de
enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal.
Considerándose como Campo de Acción:
La resolución de problemas del Álgebra Lineal con enfoque
interdisciplinario, en la carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Laica
Eloy Alfaro de Manabí de la República del Ecuador.
Para el cumplimiento del objetivo propuesto y la solución del problema, se
presentan las siguientes Preguntas Científicas:
1) ¿Cuál es el estado actual del proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal en las carreras universitarias, en específico en la carrera de
Ingeniería Civil de la Uleam de la República de Ecuador?
2) ¿Qué presupuestos teóricos sustentan el proceso de enseñanza
aprendizaje del Álgebra Lineal sustentada en la resolución de problemas y
la interdisciplinariedad?
3) ¿Cómo concebir una propuesta didáctica sustentada en la resolución de
problemas con enfoque interdisciplinario, que favorezca el proceso de
enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal?
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4) ¿Es factible la propuesta didáctica elaborada para ser aplicada en la carrera
de Ingeniería Civil de la Uleam de la República de Ecuador?
Para dar respuesta a las preguntas científicas como guía para la solución del
problema científico según el objetivo propuesto, se plantean las siguientes Tareas
de Investigación:
1. Diagnosticar el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en las
carreras universitarias, con énfasis en la carrera de Ingeniería Civil de la
Uleam de la República de Ecuador.
2. Determinar los presupuestos teóricos que sustentan el proceso de enseñanza
aprendizaje de la resolución de problemas y la interdisciplinariedad.
3. Elaborar la propuesta didáctica sustentada en la resolución de problemas con
enfoque interdisciplinario, para favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje
del Álgebra Lineal en la carrera de Ingeniería Civil.
4. Analizar a partir del criterio de expertos con la técnica del Delphi si la
propuesta didáctica elaborada es factible de ser aplicada, en la carrera de
Ingeniería Civil de la Uleam de la República de Ecuador.
Para la realización de estas tareas investigativas, se aplicaron los siguientes
Métodos Científicos de Investigación
Métodos teóricos
Histórico-lógico: se empleó con el fin de valorar la evolución y desarrollo del
proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos del Álgebra Lineal en
general y los ejercicios con textos y problemas de aplicación en particular,
propiciando una interrelación de las tareas propuestas.
Análisis-síntesis e inducción-deducción: se utilizó en todo el proceso investigativo,
por ejemplo, en el procesamiento de la información, tanto teórica como empírica,
para la caracterización del objeto de investigación, y con esto determinar los
fundamentos teóricos y metodológicos, así como la obtención de regularidades y
generalidades que permitieron elaborar conclusiones.
El método sistémico-estructural: se utilizó para la elaboración de la propuesta
didáctica con enfoque interdisciplinario.
Métodos empíricos
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Observación participante (por parte del investigador) del proceso de enseñanza
aprendizaje del Álgebra Lineal en la carrera de Ingeniería Civil de la Uleam, para
constatar cómo se desarrolla este proceso, cuáles son las tipologías de ejercicios
con textos y problemas que se realizan, así como la incidencia de la
interdisciplinaridad en sus aplicaciones.
Encuestas y entrevistas a alumnos, profesores para obtener información del
estado actual del problema con un amplio número de participantes en el proceso.
La revisión de documentos normativos, metodológicos, así como, exámenes y
comprobaciones aplicadas a los estudiantes en las carreras de ingenierías, para
valorar la incidencia de la resolución de ejercicios con textos y problemas de
aplicación del Álgebra Lineal, y realizar comparaciones que permitieron
perfeccionar los aspectos o fases con la que constará la propuesta didáctica
elaborada.
La aplicación del Método Delphi, lo que permitió valorar la factibilidad de la
propuesta elaborada.
Los métodos estadísticos se utilizaron para procesar la información obtenida en la
aplicación de los métodos y técnicas de nivel empírico. Entre los cuales se
emplearon, la confección de tablas para el cálculo de la frecuencia absoluta y
relativa, el cálculo del coeficiente (k) de competencia de expertos y el método de
Green que permitió determinar los puntos de cortes en el procesamiento Delphi.
El aporte teórico-práctico consiste en la concepción de la propuesta didáctica
sustentada en la resolución problemas con enfoque interdisciplinario, como
favorecedora del proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal, la cual
incide en un todo y de forma interrelacionada con la motivación, la
interdisciplinaridad y la profesionalización. La estrategia permite favorecer la
enseñanza cooperada y con esto sentar las bases para la interpretación y análisis
de modelos que se explican y/o expresan a partir de conceptos y procedimientos
del Álgebra Lineal.
La propuesta consta con indicaciones, observaciones y sugerencias didácticas
para los docentes, las cuales se brindan a partir del análisis y resolución de
problemas, que contribuyen a mostrar con enfoque interdisciplinario las
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aplicaciones del Álgebra Lineal al perfil del ingeniero civil de la Universidad Laica
Eloy Alfaro de Manabí.
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CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA
PARA FAVORECER EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL
ÁLGEBRA LINEAL
La asignatura Álgebra Lineal, tiene gran incidencia en la formación profesional de
los estudiantes de los primeros años en las carreras de ingeniería, la cual
contribuye a la formación conceptual, al desarrollo del pensamiento lógico y
algorítmico, favoreciendo la comprensión de procedimientos y técnicas de otras
asignaturas, con el fin de lograr egresados capaces de enfrentarse y resolver
problemas que la práctica de su perfil le impondrán.
En el presente capítulo se establecen los principales postulados que dan sustento
a la presente investigación, partiendo del análisis del proceso de enseñanza
aprendizaje en la Educación Superior, abordando la asignatura Álgebra Lineal.
Seguidamente, se realiza el análisis de la interdisciplinaridad enfocada desde la
asignatura Álgebra Lineal, y finalmente se establecen los principales presupuestos
que sustentan la resolución de problemas.
1.1. Proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en las carreras
universitarias
El Álgebra Lineal es una asignatura que por sus propias temáticas objeto de
estudio, tiene naturaleza abstracta (conjuntos, vectores, espacios vectoriales,
etc.), por lo cual se ha centrado su enseñanza a la búsqueda de alternativas que
propicien un aprendizaje que conlleve a la interrelación entre lo que se enseña y lo
que se desea que se aprenda. Sin embargo, aún persisten métodos y forma de
estructurar el contenido que están lejos de alcanzar estadios superiores en la
formación del profesional.
Muchas investigaciones al respecto, se han realizado y otras se han proyectado a
plazos mayores para el cambio necesario. En el análisis que se realiza, se
exponen los resultados investigativos que se han realizado de manera general,
tomando aquellos que reflejan la realidad ecuatoriana, obtenida, por una parte, de
forma empírica, por la experiencia del investigador en esta disciplina y otras a
partir de los resultados de evaluaciones aplicadas a los estudiantes.
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En el I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe
(CEMACYC, 2013)), se abordaron temas como:
La exclusión de la Matemática Moderna en la educación media, lo cual ha
hecho que la mayoría de los estudiantes lleguen a la universidad sin un
manejo adecuado de la teoría de conjuntos, lógica y geometría, lo que se
refleja en la falta de abstracción y manejo de estructuras por parte de estos.
La legislación reformada recientemente, ha permitido que lleguen a las
universidades estudiantes sin condiciones académicas aceptables debido al
proceso de promoción automática.
El autor de esta investigación, considera que se hace necesario el cumplimiento
de los objetivos de los programas de currículos precedentes, pues diferentes
temáticas forman parte de complejos temáticos superiores, lo cual incide de
manera determinante en la formación conceptual, procedimental y operatoria.
Importancia de la creación del grupo EMEMATIC de la UTP-Colombia, el cual
realizó una propuesta de enseñanza para el curso Álgebra Lineal. La
propuesta se fundamentó pedagógicamente en el Aprendizaje Desarrollador, y
se enfatizó en las categorías de la didáctica: objetivo, contenido, medios y
evaluación. Además, se hizo una caracterización de los estudiantes, el
compromiso adoptado por ellos en su proceso de aprendizaje, la motivación
por la Matemática y las bases para cursar la asignatura.
El autor de esta investigación considera que tales grupos son necesario en el
Ecuador, pues contribuye al proceso motivacional de los estudiantes por el
aprendizaje de las matemáticas, contribuyendo a la preparación para la
comprensión de conceptos abstractos del Álgebra Lineal.
Diseño, construcción e implementación del curso “Matemáticas
Fundamentales” basado en el Aprendizaje Desarrollador, se propuso
desarrollar estrategias de aprendizaje que permitieran a los alumnos afrontar
con éxito otras asignaturas universitarias. Complementar y nivelar la formación
con la que el estudiante llega de la educación básica y media. Algunos de los
logros más significativos al terminar el curso fue: aumento de la retención de
los alumnos.
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La conexión entre el conocimiento nuevo y el aprendido. Es decir, la
información que tiene almacenada un alumno en su memoria sobre una
realidad, o un concepto. No se puede pensar que los alumnos son “tablas
rasas”, que tienen la mente “vacía”, sino que, son personas con experiencias
acumuladas, que son valiosas en el momento de desarrollar el nuevo
conocimiento. Como lo afirma Ausubel (1968) “el aprendizaje tiene lugar
cuando el aprendiente liga la información nueva con la que ya posee,
reajustando y reconstruyendo en este proceso ambas”.(citado por Uzuriaga,
V.L.,2013)
Referido a los dos aspectos anteriores, se señala por parte del autor, que concebir
el proceso de enseñanza que propicie un aprendizaje desarrollador, significativo, y
que los estudiantes dominen estrategias de resolución de problemas es un trabajo
que implica la preparación de los docentes para este fin, cuestión que en las
universidades ecuatorianas es aún insuficiente, a pesar de que se hayan dado
pasos con este propósito.
Se hace referencia a la importancia de la matemática, su relación con otras
ciencias y el entorno. No es deber del alumno estar motivado por el estudio de
la Matemática, ni conocer su importancia y presencia en otras ciencias, en la
vida cotidiana, o saber cómo esta influye en el desarrollo del pensamiento;
pero si es tarea del docente presentar situaciones que motiven su estudio,
permita entenderla como una ciencia horizontal en la formación de los futuros
profesionales, que la interioricen en sus vidas, decisiones y realmente
aprendan a reconocerla en cada actividad y situación.
Se analiza la importancia de la Matemática como soporte teórico en el
desarrollo científico y tecnológico. No se puede desconocer el papel
fundamental que juegan las matemáticas en la modelación, planteamiento y
solución de problemas que surgen en varias áreas y disciplinas del saber,
aspecto importante en el aprendizaje del estudiante, porque aprenden a
reconocer en ellas un fundamento teórico en los adelantos científicos y el
avance de éstos implican abstracción, imaginación y el desarrollo de la
creatividad y del pensamiento.
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Se realiza un análisis del desarrollo histórico. Se resalta la importancia de
conocer problemas abiertos, conjeturas y posibles soluciones, que han
permitido el desarrollo de diferentes áreas de las matemáticas y otras
disciplinas.
Los tres últimos planteamientos realizados en el I Congreso de Educación
Matemática de América Central y el Caribe, hace valoraciones de gran importancia
para la presente investigación, al destacarse la interdisciplinariedad como una
necesidad para la comprensión de las ciencias y el entorno, lo cual incide
directamente en la formación del profesional; el papel fundamental que juegan las
matemáticas en la modelación, planteamiento y solución de problemas que surgen
en varias áreas y disciplinas del saber y finalmente se valora que a partir de
problemas abiertos se incide en la construcción o verificación de teorías
matemáticas.
Audy (2008), al referirse a la didáctica del Álgebra Lineal plantea que es una de
las ramas más jóvenes de la didáctica de las matemáticas. Aunque aisladamente
se habían publicado trabajos de investigación sobre temas de enseñanza
aprendizaje del Álgebra Lineal, no es hasta la década del 90 que comienza a
estudiarse esta última de manera sistemática.
Al referirse este autor a las corrientes de la didáctica del Álgebra Lineal, así como,
a las diferentes investigaciones que en esta área se han realizado, hace referencia
a:
Corrientes
El movimiento de reforma curricular que se inició en los Estados Unidos
motorizado por el Linear Algebra Curriculum Group (Grupo del Currículo en
Álgebra Lineal);
Las investigaciones iniciadas por J. Dorier en Francia dentro del campo de
la didáctica de las matemáticas francesas.
Línea de investigación abierta “Pensamiento matemático avanzado”.
Investigaciones
- La enseñanza del Álgebra Lineal en la escuela secundaria (High-school en
Israel, Harel, 1985).
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- La enseñanza de esta rama de las matemáticas a nivel universitario (Harel,
1989, 1997, 1999)
Se basa en el principio de las “incorporaciones” múltiples. Este principio había
sido utilizado exclusivamente en el caso de representaciones concretas de
conceptos de las matemáticas elementales, hasta que Harel (1989), lo usó en
temas del Álgebra Lineal a nivel universitario. En este último caso, se plantea
como problema que las incorporaciones usadas frecuentemente en ese nivel
no son concretas sino abstractas. Por ejemplo, la mayoría de los libros de
texto de Álgebra Lineal revisados por Harel (1989), usan incorporaciones
algebraicas en lugar de incorporaciones geométricas y prestan poca atención
a la familiarización de los estudiantes con las incorporaciones usadas. Harel
(1989), se planteó la pregunta siguiente: “¿Un énfasis en la incorporación en
un sistema geométrico familiar lleva a los estudiantes a una mejor
comprensión del concepto de espacio vectorial, que un énfasis en una
incorporación en una variedad de sistemas algebraicos no familiares?” (p. 49).
Para que ese proceso de incorporación funcione se requiere que la situación
usada sea familiar y comprendida completamente por los estudiantes (Harel,
1989).
Los resultados obtenidos soportan la hipótesis acerca del efecto superior de
las incorporaciones geométricas familiares comparado con las incorporaciones
algebraicas no familiares. Por otro lado, el bajo número de respuestas
correctas de los estudiantes en uno de los problemas con sistemas
algebraicos cuyos elementos son colecciones de números o funciones es una
muestra de lo difícil que resulta para los estudiantes trabajar con este tipo de
incorporaciones.
La enseñanza de los primeros conceptos del álgebra lineal a nivel universitario fue
tratada por Dorier (1991), el cual plantea que, en esta investigación está hecha
desde el enfoque predominante en la didáctica francesa de las matemáticas, la
cual ha sido liderada por Brousseau y Chevallard.
Estos autores, formulan lo que se podría llamar un programa de investigación
y desarrollo, en el marco de la didáctica francesa, cuyos objetivos son
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desarrollar ingenierías didácticas locales cuyo agrupamiento lleve a un
enfoque general de la enseñanza del Álgebra Lineal. Su punto de partida,
siguiendo la tradición de la didáctica francesa, es un análisis histórico-
epistemológico de la génesis de los conceptos elementales del Álgebra Lineal
que se enseñan a nivel universitario en Francia y se propone desarrollar una
ingeniería didáctica para su enseñanza. La consideración de estos dos
asuntos hace que su propuesta incorpore la investigación y el desarrollo
curricular.
Producto del análisis histórico, Dorier (1991) identifica cuatro etapas generales
en el desarrollo de los conceptos elementales del Álgebra Lineal, las cuales
son: (1) los nexos entre el estudio de los sistemas lineales y la emergencia de
los primeros conceptos (combinación lineal, dependencia e independencia
lineal, generadores, rango, dimensión, etc.); (2) la génesis de los conceptos de
rango y dimensión que son en efecto aspectos de un mismo concepto que nos
parece ser fundamental en el campo del Álgebra Lineal elemental; (3) la
evolución gradual desde unos resultados dispersos hasta una teoría unificada
y (4) la aparición de los primeros enfoques axiomáticos y de su predominio
tardío.
Desde el punto de vista histórico, la resolución y el estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales jugó un papel particularmente importante en la génesis de
los conceptos elementales del Álgebra Lineal. Además, el análisis didáctico y
epistemológico conduce a pensar en que un buen conocimiento de los
sistemas lineales es una adquisición importante para el aprendizaje de dicha
asignatura.
En la última década del siglo pasado, en los Estados Unidos un movimiento de
reforma de la enseñanza del Álgebra Lineal a nivel universitario siguiendo en
cierta forma esfuerzos previos por reformar la enseñanza, condujo al surgimiento
del grupo Linear Algebra Currículo Study Group (LACSG), en 1990.
El grupo publicó un libro (Carlson y otros (a), 1997) donde recopilan una serie de
trabajos sobre la enseñanza y aprendizaje del Álgebra Lineal agrupados en cinco
categorías: (1) el papel del Álgebra Lineal, (2) el Álgebra Lineal vista por las
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disciplinas cliente, (3) la enseñanza del Álgebra Lineal, (4) exposición del Álgebra
Lineal y (5) aplicaciones del Álgebra Lineal.
Dentro de los artículos incluidos en la tercera categoría se tienen:
Carlson (1997), donde valora las dificultades que encuentran los estudiantes para
apropiarse de conceptos del Álgebra Lineal como los subespacios vectoriales,
conjunto generador e independencia lineal. Cuando los estudiantes tienen que
aprender estos conceptos se confunden y desorientan. “Como si una densa niebla
los cubriera y no pueden ver donde están o hacia donde van”. (Carlson,1997)
En esta investigación se identifica entre otras razones la siguiente: estos
conceptos son introducidos sin conexión substancial con experiencias previas de
los estudiantes y sin ejemplos y aplicaciones significativas.
Se realiza una propuesta de un primer curso de Álgebra Lineal a nivel
universitario. Este curso está centrado en la matrices o matriz orientada, el cual
trata con ℝ𝑛 en lugar de espacios vectoriales abstractos. El plan de este curso
sugiere enfatizar una interpretación geométrica de ℝ𝑛, autovalores, autovectores y
ortogonalidad.
El autor establece cinco recomendaciones para los profesores de álgebra lineal
entre otras señala: la práctica enfocada es importante para el aprendizaje; la
práctica requiere de motivación, y el éxito y el estímulo parcial son buenos
motivadores.
Otra investigación relacionada con la enseñanza aprendizaje de esta asignatura,
es la realizada por Cabri Uicab y Oktaç (2006), cuyo tema es “Los vínculos que
los estudiantes establecen entre conceptos del Álgebra Lineal, con énfasis en las
transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica”.
El principal resultado que reportan estos investigadores en que los estudiantes no
establecen una conexión entre los conceptos de base y transformación lineal. Se
manifestó en ellos la presencia del obstáculo del formalismo. Estos resultados
llevan a Uicab y Oktaç (2007) a plantearse la pregunta siguiente: ¿Cómo ayudar a
los estudiantes a pensar teóricamente y a hacer conexiones entre conceptos?
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Otros investigadores como Soylu (2007) y Vinner (1997), se apoya en la idea de
que existen dos tipos diferentes de comprensión, instrumental y relacional que,
aunque diferentes son consideradas por el primero como complementarias.
Desde esta perspectiva la finalidad de la educación en matemáticas sería
desarrollar en el estudiante conocimiento conceptual de las matemáticas,
conocimiento procedimental de las matemáticas y la elaboración de conexiones
entre los conocimientos procedimental y conceptual respectivamente.
Otros investigadores en el área de la Didáctica del Álgebra Lineal señalan las
principales dificultades que se presentan en los cursos de Álgebra Lineal
señaladas por Rodríguez (2011), son:
El uso del formalismo, el agobio ante las nuevas definiciones y la pérdida
de conexión con lo que los alumnos ya saben de matemáticas (Dorier,
Robert, Robinet y Rogalski, 2000).
El Álgebra Lineal, además, es una rama de las Matemáticas con un elevado
grado de abstracción ya que es uno de los pilares del lenguaje algebraico,
provoca un elemento de especial dificultad para el estudiante: obstáculo del
formalismo (Sierspinska et al., 1999).
Deficiencia de conocimientos matemáticos básicos y específicos que han
debido adquirir previamente los estudiantes; por ejemplo, ciertas nociones
de lógica elemental, ya que se asume que las mismas permiten al
estudiante entender la formalidad de la teoría de espacio vectorial (Labraña,
Plata, Peña, Crespo y Segura, 1995).
Poca utilización de problemas como base para la introducción de conceptos
y de propiedades. Tal introducción de conceptos, con ayuda de las
indicaciones e instrucciones pertinentes, permitiría su descubrimiento.
(Berenguer (2003); Ortiz, Rico y Castro (2008)).
La utilización de problemas puede sustentarse en el manejo de mucha
teoría y poca práctica, debido a la naturaleza del Álgebra Lineal. Se puede
decir de esta teoría que es unificada y generalizada.
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Los conceptos del Álgebra Lineal se adquieran como formas sin contenido.
Es decir, que se adquieran como un conjunto de relaciones simbólicas
vacías de significado (Ortega, 2002).
Algunas variantes didácticas que se proponen en un curso de Álgebra Lineal están
enmarcadas en:
La variedad de lenguajes y representaciones semióticas dentro de los
contenidos que se estudian: el lenguaje abstracto, el lenguaje geométrico y
el lenguaje algebraico. Por ejemplo, Sierpinska (1996), menciona la
coexistencia de tres tipos de lenguaje: el lenguaje geométrico, el aritmético
y el algebraico.
El tratamiento y determinación del sistema de habilidades matemáticas
mediante acciones como: identificar, recodificar, calcular, graficar,
interpretar, algoritmizar en el caso de estudiantes que indagan sobre las
matemáticas, pero no se forman como especialistas de esa rama. También,
proponen incluir acciones como la de definir, demostrar y modelar en el
caso de los que se forman como matemáticos. (Hernández (1989), Delgado
(1999), Núñez (1999) y Jiménez (2000))
La implementación de prácticas pedagógicas en las que el aprendizaje se
da en forma de un ciclo que articule los lenguajes, como modos de
pensamiento necesarios para que un estudiante entienda los conceptos.
(Rodríguez, 2011)
Por otra parte, en la resolución de problemas altimétricos de topografía, con
basamento en el Álgebra Lineal, son tratados por Costa y Justo (2015), que al
presentar a los estudiantes problemas de esta naturaleza puede favorecer su
solución si:
- Se presenta una tarea profesional real, donde los datos son generados por
el alumno, como así también su resolución.
- Se debe estimular el modelado observacional por medio del Álgebra Lineal.
- Debe mostrar distintas situaciones típicas de las situaciones áulicas que por
lo general carecen de significado más allá de lo puramente matemático. Por
ejemplo: inconsistencia, déficit de rango, singularidad de una matriz.
19
- Presentar mediante la situación planteada la conveniencia del manejo del
Álgebra Lineal para la resolución de problemas de ingeniería.
Los investigadores Vergara y Romero (2015), hacen referencia a los tres tipos de
aprendizajes significativos dados por Ausubel (1973): aprendizaje
representacional, aprendizaje de conceptos y aprendizaje de proposiciones, como
estrategias que pueden contribuir para que, desde la praxis docente, se logre que
los estudiantes adquieran un aprendizaje significativo del Álgebra Lineal.
Por otra parte, el uso de las tecnologías en esta asignatura tiene una incidencia
directa en el tratamiento de los contenidos específicos porque permite abordar
ejercicios de mayor complejidad, produciendo un mayor acercamiento a los
problemas reales de la ciencia y la técnica y así desplazar el centro del proceso de
enseñanza aprendizaje hacia la modelación y el discernimiento, en resumen, hacia
el desarrollo de las habilidades generales matemáticas, dejando los cálculos
laboriosos desde el punto de vista didáctico a la computadora.
El aprendizaje presupone un determinado nivel de comunicación para que sea
efectivo, y a su vez, la comunicación facilita el aprendizaje. Las plataformas
interactivas, a través de los grupos de discusión, los foros y otros mecanismos que
cree el profesor facilitarán la comunicación profesor-estudiante, estudiante-
estudiante. La deficiencia o la ausencia de los diferentes canales de
comunicación, impide directamente el desarrollo del proceso de enseñanza
aprendizaje, pues este es comunicacional por excelencia y la comunicación
educativa tiene que ser instructiva y educativa por su propia esencia.
“Muchas investigaciones apuntan al uso de las tecnologías como facilitador y
enriquecedor del enseñar y el aprender, por ejemplo, para elevar la
autopreparación de los estudiantes (Torres y Sánchez, 2004); las plataformas
interactivas surten gran efecto en el proceso de evaluación del aprendizaje, como
un proceso flexible, dinámico, integrador, lo cual representa un paso importante en
el proceso permanente de perfeccionamiento” (González, 2000).
Conclusión: En el análisis realizado, a partir de la revisión de diferentes trabajos
investigativos, se puede apreciar que la problemática abordada en la introducción
de esta investigación está aún latente, y que las investigaciones realizadas, dan
20
contraste con las necesidades del perfil del egresado de este campo investigativo,
pero dejan caminos abiertos a esta investigación, que se acoplan de forma natural
al objetivo propuesto.
1.1.1 Diagnóstico del proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal
en la carrera de Ingeniería Civil de la Uleam
Para caracterizar el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal en la
carrera de Ingeniería Civil de la Uleam, se aplicó una encuesta a 12 docentes que
han impartido esta asignatura y un examen de diagnóstico a 22 estudiantes del II
semestre de la carrera de Ingeniería Civil, que había recibido la materia
correspondiente, se obtuvieron los siguientes resultados (ver anexo 2):
Resultados en los docentes
a) EL 66,67 % de los docentes consideran que es insuficiente los ejercicios de
aplicación de Álgebra Lineal discutidos y analizados en clase.
b) El 75,00 % no realizan análisis interdisciplinario, con profesores de otras
disciplinas para la elaboración de ejercicios y problemas de aplicación.
c) El 83,33 % valoran de gran importancia para la formación conceptual y
operatoria de los estudiantes en esta asignatura, a partir de la incorporación
de problemas con enfoque de otras disciplinas.
Resultados en los estudiantes
a) El 54,54 % poseen dificultades operatorias con la resolución de ejercicios
de matrices y sistemas de ecuaciones.
b) El 40,91 % revelan bajo nivel de compresión de problemas con enfoque en
otras disciplinas.
c) El 45,45 % manifiestan poseer poca motivación por aprender los contenidos
del Álgebra Lineal, argumentando que no ven su utilización en su carrera.
d) El 45,45 % argumentan que es muy bajo el vínculo de la asignatura con
otras disciplinas.
1.2. La interdisciplinaridad como presupuesto teórico
En el epígrafe anterior se realizó una valoración del proceso enseñanza
aprendizaje, donde se abordó la necesidad de enfocar el mismo, desde una
21
perspectiva que implique al estudiante la necesidad de aprender, a partir de la
concepción de las temáticas contextualizadas en la profesión.
En el presente epígrafe se realiza una valoración sobre el término
interdisciplinaridad, así como otros asociados a este vocablo, lo cual servirá para
dar sustento a la problemática objeto de investigación.
En el ámbito educacional se tiene que “(...) disciplina es una categoría
organizacional en el seno del conocimiento científico; ella instituye allí la división y
la especialización del trabajo y ella responde a la diversidad de los dominios que
recubren las ciencias, (…) una disciplina tiende naturalmente a la autonomía, por
la delimitación de sus fronteras, la lengua que ella se constituye, las técnicas que
ella está conducida a elaborar o a utilizar, y eventualmente por las teorías que le
son propias” (Morín, Edgar, 1996a, pág. 17) (citado por Martínez (2011))
En esta investigación, la disciplina Álgebra Lineal, incluye temática delimitadas por
el propio desarrollo de su existencia, con teorías propias: conjuntos, matrices y
determinantes, ecuaciones y sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales y
subespacios, etc.; con un vocabulario técnico que marcan la frontera con otras
disciplinas. Esta frontera, ha ido evolucionado históricamente desde las
nomenclaturas de diferentes saberes instaurados en la antigüedad: geometría,
aritmética, etc.
Salazar (1997), al abordar el tema de la especialización plantea, “A medida que se
desarrolla la especialización como un proceso histórico del desarrollo científico los
conocimientos se dividen y subdividen, aumentando el número de disciplinas y
apareciendo nuevos ordenamientos de los conocimientos científicos”.
Esto deja claro que el componente “especialización”, se adhiere como potencia en
el surgimiento y cambios conceptuales y de teorías pertenecientes a una
determinada disciplina. En el caso del Álgebra Lineal la búsqueda de la
especialización es un aspecto que, en las condiciones actuales de la educación
superior de Ecuador, y en específico de la Uleam está lejos de lograrse,
independientemente de los avances y esfuerzos realizados en la última década en
la formación de profesionales, la especialización, maestrías y doctorados.
Martínez (2011) al realizar una valoración crítica del enfoque hace mención a dos
22
tendencias o direcciones: profundizar dentro de la propia y la integración del
conocimiento.
Estas dos direcciones han estado presentes a partir de la realización estudios que
propicien, la integración del conocimiento tomando como elemento mediador
inherente la especialización y la profundización en la propia teoría de la disciplina.
La interdisciplinariedad ha sido el resultado del creciente desarrollo científico y la
diferenciación del conocimiento como multiplicación de saberes. Muchos son los
intentos por penetrar en este complejo sistema de relaciones. De ahí que exista
diversidad de concepciones en torno a su materialización y tantos sistemas de
clasificación como estudiosos del tema.
Muchos trabajos científicos establecen el término interdisciplinaridad, los cuales
han estado subordinados a conceptos como: integración horizontal e integración
vertical de las ciencias. Según Núñez(1994), la primera presupone el
entrecruzamiento entre las disciplinas tradicionales, cuyas barreras tienden a
disolverse ante la necesidad de solucionar problemas complejos y la segunda se
relaciona con la tendencia de la actividad científica a involucrarse en los más
diversos ámbitos de la práctica socioeconómica y el acercamiento que se produce
dentro de la ciencia, entre la investigación básica, la aplicada y la orientada al
desarrollo; estos conceptos, han sido considerados como tendencias actuales del
desarrollo científico y como característica de la actividad científica contemporánea.
Estas tendencias tienen gran valía para esta investigación, al permitir lograr
incorporar situaciones problémicas que favorezcan el aprendizaje del Álgebra
Lineal, desde la concepción interdisciplinaria bajo estos presupuestos.
La integración horizontal está dada a partir de los problemas que ha estado
llamada a solucionar, dado el creciente desarrollo de la sociedad. La integración
vertical de la ciencia, está en que los avances de la ciencia y de la tecnología no
sólo repercuten y afectan la vida económica, sino toda la cultura que sirve de base
a la cohesión social.
Como bien plantea Guzmán (2008), la interdisciplinariedad surge de propio
desarrollo histórico de la ciencia y la creciente necesidad de que esta contribuya a
la solución de los problemas de la sociedad que no pueden ser resueltos desde la
23
perspectiva de una sola ciencia en particular. El análisis de estos términos y
específicamente el de integración horizontal permite comprender la
interdisciplinariedad del modo que la define Núñez (1994), “(…) como el encuentro
y cooperación entre dos o más disciplinas donde cada una de ellas aporta
esquemas conceptuales, formas de definir problemas y métodos de integración”
(citado por Guzmán, 2008).
Del análisis bibliográfico y las consultas realizadas, se puede afirmar que a esta
definición se suman muchas otras, otros autores al referirse a la
interdisciplinariedad la conciben en el plano teórico-conceptual, en el que se
incluyen las interacciones entre los elementos teóricos que conforman las
ciencias, que sirven de base a las disciplinas del currículo.
Entre estos tenemos a Salazar (2001), considerándola como un proceso que
permite establecer los nexos o vínculos de interrelación y de cooperación entre
disciplinas debido a objetivos comunes, dicha interacción hace aparecer nuevas
cualidades integradoras, no inherente a cada disciplina aislada, sino a todo el
sistema que conforman y que conduce a una organización teórica más integrada
de la realidad y una formación más integral del sujeto del conocimiento.
Álvarez (2001), hace alusión a la concepción práctico-profesional, planteando que
la interdisciplinariedad en la enseñanza aprendizaje de las Ciencias, debe
apreciarse como un atributo del método que permite dirigir el proceso de
resolución de problemas complejos de la realidad a partir de formas de pensar y
actitudes sui géneris asociadas a la necesidad de comunicarse, cotejar y evaluar
aportaciones, integrar datos, plantear interrogantes, determinar lo necesario de lo
superfluo, buscar marcos integradores, interactuar con hechos, validar supuestos
y extraer conclusiones.
Otro investigador afirma: “(…) son una condición didáctica que permite cumplir el
principio de la sistematicidad de la enseñanza y asegurar el reflejo consecuente de
las relaciones objetivas vigentes en la naturaleza y la sociedad, mediante el
contenido de las diferentes disciplinas que integran el plan de estudio de la
escuela actual" (Fiallo, 2001).
Dentro del enfoque pedagógico, lo que se pretende con la interdisciplinariedad, es
24
proponer una actitud que promueva una revolución en los hábitos ya establecidos,
pasando de un saber compartimentado a un conocimiento integrado e
intersubjetivo.
Los especialistas buscan esclarecimiento para los problemas de terminología y
crean caminos para reflexiones de carácter epistemológico, proponen formas de
relaciones que puedan ser establecidas entre las disciplinas. (citado por Lima,
2000)
1. El préstamo, normalmente de instrumentos analíticos y de metodologías,
y también de algún concepto o inclusive de un método teórico.
2. La solución de problemas que van más allá de los límites de una
especialidad determinada.
3. Un aumento coherente de temáticas o métodos, que es posible que
ocurra cuando diferentes disciplinas presentan una superposición de
temáticas de estudio y pesquisa. Esto ocurre muy frecuentemente en los
bordes de las disciplinas.
4. La aparición de una interdisciplinar. Como resultado de una mayor
aproximación e integración, tanto a nivel de sus marcos teóricos como
metodológicos entre disciplinas que comparten un mismo objeto de
estudio.
Este autor al referirse a tipos de interdisciplinaridad plantea que Jean Piaget
sugiere esta jerarquía de niveles de colaboración e integración de la siguiente
forma:
Multidisciplinariedad. El nivel inferior de la integración. Ocurre cuando, para la
solución de un problema, se busca formación y ayuda en varias disciplinas, sin
que tal interacción contribuya para sus modificaciones o enriquecimientos. Esta
normalmente es la primera fase de la constitución de equipos de trabajo
interdisciplinar, pero no implica en que necesariamente sea preciso pasar a
niveles de mayor cooperación.
Interdisciplinariedad. Según nivel de la asociación entre disciplinas, en que la
cooperación entre varias disciplinas provoca intercambios reales, esto es, existe
verdadera reciprocidad en los intercambios y consecuentemente
25
enriquecimientos mutuos.
Transdisciplinariedad. Es la etapa superior de la integración, trata de la
construcción de un sistema total, sin fronteras sólidas entre las disciplinas, o
sea, de “(…) una teoría general de sistemas o de estructuras, que incluya
estructuras operacionales, estructuras de reglamentación y sistemas
probabilísticos, y que una estas diversas posibilidades, por medio de
transformaciones reguladas y definidas” (Santomé, 1998, p.70).
Al procurar unir el universo epistemológico con el pedagógico, Fazenda (1993)
verifica la aplicabilidad y utilidad de la interdisciplinariedad en la enseñanza,
considerándola no como una panacea que garantizará una enseñanza
adecuada o un saber unificado, sino, un punto de vista que permitirá una
reflexión profunda, crítica y saludable, sobre el funcionamiento de la enseñanza.
En esta investigación se asume lo planteado por esta autora, la cual considera
que la interdisciplinaridad tiene potencialidades en la enseñanza, entre las
cuales plantea:
1. Como medio de conseguir una mejor formación general, pues solamente
un enfoque interdisciplinar puede posibilitar cierta identificación entre lo
vivido y lo estudiado, puesto que lo vivido es el resultado de la
interrelación de múltiples y variadas experiencias.
2. Como medio de lograr una buena formación profesional, ya que permite
el acceso a nuevos conocimientos y a nuevos descubrimientos.
3. Como incentivo en la formación de pesquisadores y de pesquisas, pues
el sentido de las investigaciones interdisciplinares es reconstituir la
unidad de los objetos que la fragmentación de los métodos separó y, con
esto, permitir el análisis de las situaciones globales dentro de los límites
de su propio sistema conceptual y el diálogo entre las disciplinas.
4. Como condición para una educación permanente, puesto que, a través
de la subjetividad, característica esencial de la interdisciplinariedad, será
posible el intercambio continuo de experiencias.
5. Como forma de comprender y modificar el mundo, pues siendo el
hombre agente y paciente de la realidad del mundo tórnese necesario un
26
conocimiento efectivo de esta realidad en sus múltiples aspectos.
6. Como superación de la dicotomía enseñanza pesquisa, pues, en este
nuevo enfoque pedagógico, la pesquisa se constituye en la única forma
posible de aprendizaje.
1.2.1 Los riesgos de la interdisciplinariedad
A pesar de su gran poder estructurador y motivador para el proceso de
enseñanza aprendizaje, hay algunos puntos que deben ser analizados como
posibles peligros para el éxito de una propuesta que tenga como basamento el
carácter interdisciplinar de la materia, cuestión está de gran importancia a
considerar en la presente investigación.
Según Santomé (1998), puede acontecer el riesgo de que los alumnos entren
en contacto con conocimientos de síntesis, pero presentados y exigidos de
forma mecánica y rutinaria, llegando a un verbalismo que sirve apenas para
ocultar conocimientos insuficientes de las razones de tal síntesis. Además, es
posible que haya dificultad de respeto con ciertas jerarquías conceptuales y de
procedimientos que posibilitaran una mejor progresión del conocimiento de
síntesis, también el exceso de optimismo, el convencimiento de que apenas el
rótulo del trabajo interdisciplinar lleve a los pesquisados a laborar en equipo y
dividir perspectivas, marcos teóricos, conceptos, metodología, etc., que
tradicionalmente son típicas de una de esas disciplinas ahora reagrupadas.
En este caso, existen situación de búsqueda y solución de problemas del
Álgebra Lineal, que es imprescindible conservar la base conceptual jerárquica o
procedimentales que, en la interpretación de términos y conceptos de otras
disciplinas, pueden se aislados u omitidos en el proceso de comprensión de la
situación planteada.
Conclusión: Se ha abordado el tema de la interdisciplinaridad en su concepción
conceptual, de la cual se tendrá en cuenta en primer lugar la integración horizontal
e integración vertical de las ciencias planteada por Núñez (1994), por otra parte
se comparte la definición dada por Salazar (2001), considerándola como un
proceso que permite establecer los nexos o vínculos de interrelación y de
cooperación entre disciplinas debido a objetivos comunes, dándole relevancia al
27
principio de sistematicidad dado por Fiallo (2001), como elemento esencial para
elevar por una parte la competitividad de los estudiantes de Ingeniería Civil, que
han matriculado la asignatura Álgebra Lineal y por otra, para lograr un mayor
domino de los contenidos al concluir el semestre.
1.3. Resolución de problemas en el contexto educativo
En este epígrafe, se abordará el término resolución de problemas, donde se ha
explicita en primer lugar como una habilidad necesaria en la formación de los
estudiantes, considerándose esta como una problemática aún por resolver; en
segundo lugar, se señala como punto de partida para lograr un aprendizaje que
permita relacionar las materias objeto de estudio, no solo desde el punto de vista
horizontal, sino también vertical, potenciado la necesaria interdisciplinaridad.
En los estándares curriculares NCTM (2014), al referirse a la enseñanza de la
matemática se afirma que “Un programa de matemáticas de excelencia requiere
de una enseñanza efectiva que involucre al estudiante en un aprendizaje
significativo, a través de experiencias individuales y colectivas, que promuevan
sus habilidades para dar sentido a las ideas matemáticas y razonar
matemáticamente”
Este principio apunta como bien se esclarece en NCTM (2014), a que el
aprendizaje de la Matemática debe desarrollar:
- Comprensión y conexiones de los conceptos, así como las operaciones y
relaciones;
- Uso significativo y flexible de los procedimientos matemáticos para la
resolución de problemas;
- La habilidad de formular, representar y resolver problemas;
- La capacidad de pensar lógicamente y justificar sus pensamientos.
Algunos obstáculos que se pueden presentar en las aulas es la creencia de que se
deben enseñar a memorizar hechos, fórmulas, reglas, teoremas y procedimientos
a partir de la repetición. La clase debe estar centrada en los estudiantes en su
forma de razonar y potenciar la discusión, para facilitar la resolución de problemas.
Se asume como premisa en esta investigación la idea por Pollio (2015), al referirse
al modo de actuación del docente universitario, planteado que: “Enseñar
28
Matemática requiere una experiencia especializada y un conocimiento profesional
que incluye el conocimiento matemático, pero además conocer el modo de cómo
aplicarlos”.
Esta máxima implica que para poder lograr estadios superiores en la resolución de
problemas dentro de salón de clases, se hace imprescindible, el conocimiento de
la(s) materia(s) que modelan la situación nueva planteada al estudiante, saber con
certeza que dicha situación compromete al estudiante para su solución, pasando
por distinguir que el estudiante se ha enfrentado verdaderamente a un problema o
simplemente es una situación problémica que incide de forma directa en un
concepto, reactivar un procedimiento, mostrar una estrategia, etc.
Evidentemente la resolución de problemas está estrechamente relacionada con
las formas de pensar, de interpretar un pensamiento que en principio es no
algorítmico (pero que muchas veces recurre a procedimientos algorítmicos para
obtener la solución) incidiendo la habilidad para generar nuevas ideas, para
enfocar nuevo punto de vista y solucionar otros tipos de problemas y desafíos.
Muchas literaturas ofrecen disímiles conceptos y caracterizaciones sobre
problema.
Se toma en esta investigación como basamento lo planteado por Cruz (2006), al
caracterizarlo de la siguiente forma:
1°, en todo problema debe haber algo desconocido, pues de lo contrario no
habría problema;
2°, ese algo debe estar designado de alguna manera, pues de otro modo no
habría razón para investigar ese algo y no otra cosa;
3°, ese algo no puede estar designado sino por algo conocido.
Por otro lado Borba plantea “Un problema puede considerarse como una situación
que requiere una parada en el curso de la vida de una persona y que es
importante para la existencia de esa persona” (citado por. Cruz, 2006).
Se asume en esta investigación la concepción de problema dada por Cruz (2006):
“Un problema es aquella situación que se caracteriza por la existencia de una
persona (o grupo) que desea resolverla, de un estado inicial y otro final, y de
algún tipo de impedimento para el paso de un estado a otro. Esto permite
29
comprender que en el ámbito escolar un ejercicio (o en general cualquier
tarea docente) será problema si el paso del estado inicial al estado final
implica que el estudiante experimente un desarrollo cognitivo, al trabajar
sobre su zona de desarrollo próximo”
1.3.1 Metodologías para resolver problemas
El insigne matemático y profesor George Pólya (1887–1985) en 1945 publicó el
libro actualmente considerado como un clásico: How to solve it (Cómo resolverlo).
Donde propone una metodología en cuatro etapas para resolver problemas. A
cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que, aplicadas
adecuadamente, ayudarán a resolver el problema. Las cuatro etapas y las
preguntas a ellas asociadas son:
Etapa I: Comprensión del problema.
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?
¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente?
¿Redundante? ¿Contradictoria?
Etapa II: Concepción de un plan.
¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo
problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema que
le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un
problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita
similar.
He aquí un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya.
¿Podría utilizarlo? ¿Podría emplear su resultado? ¿Podría utilizar su
método? ¿Podría utilizarlo introduciendo algún elemento auxiliar?
¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma
diferente nuevamente?
Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún
problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más
accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un
problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere
30
sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida la
incógnita queda ahora determinada?, ¿en qué forma puede variar? ¿Puede
usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos
otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la
incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es
necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén
más cercanos entre sí?
¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha
considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al
problema?
Etapa III: Ejecución del plan.
Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos.
¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?
Etapa IV. Visión retrospectiva.
¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe?
¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?
Por otra parte, el matemático Alan Schoenfeld en 1985, en su tratado de
Mathematical Problem Solving, hace un estudio de estas etapas y propone cuatro
factores que inciden en la solución de un problema, realizando un análisis más
detallado en el componente heurístico.
Recursos cognitivos: Son los conocimientos matemáticos generales, tanto de
conceptos y resultados como de procedimientos (algoritmos).
Heurística: Es el conjunto de estrategias y técnicas para resolver problemas que
conocemos y estamos en capacidad de aplicar.
Control o metacognición: Es la capacidad de utilizar lo que sabemos para lograr
un objetivo.
Creencias: Aquellas creencias y opiniones relacionadas con la resolución de
problemas y que pueden afectarla favorable o desfavorablemente.
Las estrategias heurísticas propuestas por este autor, son:
1. Análisis.
31
a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible.
b) Examine casos especiales.
1) Seleccione algunos valores especiales para ejemplificar el problema
e irse familiarizando con él.
2) Examine casos límite para explorar el rango de posibilidades.
3) Si hay un parámetro entero positivo, dele sucesivamente los valores
1, 2, ..., m y vea si emerge algún patrón inductivo.
c) Trate de simplificar el problema.
1) Explotando la existencia de simetría.
2) Usando argumentos del tipo “sin pérdida de generalidad”.
2. Exploración.
a) Considere problemas esencialmente equivalentes.
1) Reemplazando condiciones por otras equivalentes.
2) Recombinando los elementos del problema de maneras diferentes.
3) Introduciendo elementos auxiliares.
4) Reformulando el problema:
Mediante un cambio de perspectiva o notación.
Mediante argumentos por contradicción o contraposición.
Asumiendo que tenemos una solución y determinando sus
propiedades.
b) Considere un problema ligeramente modificado.
1) Escoja submetas (tratando de satisfacer parcialmente las
condiciones).
2) Relaje una condición y luego trate de reimponerla.
3) Descomponga el dominio del problema y trabaje caso por caso.
c) Considere problemas sustancialmente modificados.
1) Construya un problema análogo con menos variables.
2) Deje todas las variables fijas excepto una, para determinar su
impacto.
3) Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que tenga
forma, datos o conclusiones similares.
32
3.Verificación de la solución.
a) ¿Pasa su solución estas pruebas específicas?
1) ¿Usa todos los datos pertinentes?
2) ¿Está de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables?
3) ¿Soporta pruebas de simetría, análisis dimensional y escala?
b) ¿Pasa estas pruebas generales?
1) ¿Puede ser obtenida de manera diferente?
2) ¿Puede ser sustanciada por casos especiales?
3) ¿Puede ser reducida a resultados conocidos?
4) ¿Puede utilizarse para generar algún resultado conocido?
Conclusión: Se ha abordado el tema de la resolución de problemas como aspecto
a tener en cuenta en la propuesta didáctica a partir de las concepciones teóricas
dadas por Polya y Schoenfeld, en el trabajo con los problemas en la sala de
clases.
Sobre esta temática se llama la atención que existen muchas investigaciones al
respecto relacionadas con las estrategias para resolver problemas o metodología
como también es conocida, pero todas siguen la línea de estos autores.
33
CAPÍTULO 2. PROPUESTA DIDÁCTICA PARA FAVORECER EL PROCESO DE
ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL A PARTIR DE LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ENFOQUE INTERDISCIPLINARIO
El presente capítulo está estructurado en dos epígrafes y conclusiones. En el
primer epígrafe se muestra la propuesta elaborada, en el segundo la factibilidad de
la propuesta, a partir de la aplicación del criterio de expertos con la técnica Delphi
y finalmente las conclusiones.
2.1. Propuesta didáctica
La siguiente propuesta didáctica tiene como objetivo favorecer el proceso de
enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal, a partir de la resolución de problemas
con enfoque interdisciplinario, en el primer semestre de la carrera de Ingeniería
Civil de la Uleam de Ecuador. Para lograr dicho objetivo, es necesario definir
modos generales y esenciales de actuación para el diseño de los componentes
metodológicos del proceso de enseñanza aprendizaje de la asignatura Álgebra
Lineal, tomando como punto de partida el nivel de desarrollo motivacional-afectivo
y cognitivo alcanzado por los estudiantes.
A estos modos de actuación se les ha llamado Requerimientos Didácticos de las
Etapas de la propuesta elaborada, que se desarrollan de forma explícita con
carácter general de la asignatura Álgebra Lineal, donde algunos temas se
explicitan a partir de la presentación de problemas que en su solución intervengan
otras disciplinas en su integración horizontal y vertical.
La palabra propuesta es entendida en el mismo significado semántico que esta
palabra tiene como de una proposición, una oferta o una invitación, y de esta
forma es comprendida como Solis (2004) y Casar (2001) en sus tesis doctorales.
Para estructurar el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos objeto de
investigación a partir de esta propuesta, los profesores deben tener en cuenta
diferentes exigencias didácticas establecidas por etapas. A continuación, se
muestra un boceto de la propuesta didáctica elaborada.
34
Etapa 1: caracterización del grupo y de los estudiantes
Conocer cómo piensan los estudiantes, considerar los niveles de desarrollo real
y potencial, cuál es la lógica que los guía durante el proceso de solución, forman
parte del diagnóstico integral a realizarse si se desea elaborar alternativas de
solución a las problemáticas que en este sentido se pueden presentar en el
proceso de enseñanza aprendizaje, de manera que permita atender las diferencias
individuales y elaborar los posibles niveles de ayuda en relación con el nuevo
contenido, y así poder estructurar con calidad el proceso de enseñanza
aprendizaje a partir de los conocimientos ya adquiridos.
En este aspecto se valoran los aspectos emocionales, motivacionales (intereses,
necesidades y motivos) y las potencialidades del estudiante para trabajar con la
ayuda del profesor o de otros compañeros, por esta razón se aplica un
instrumento de diagnóstico referido al tema objeto de estudio, en cuya esencia se
encuentra habilidades generales y específicas, en la integración horizontal, el cual
Pro
pu
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Etapa I: caracterización del grupo y de los estudiantes
Guía de observación a clase en el proceso de resolución de problemas
Etapa II: dosificación en el Sílabo de Álgebra Lineal de la Carrerade Ingeniería Civil, la propuesta de trabajo con problemas
Tres momentos considerados en el sílabo para la resolución de problemas (ejemplificación)
Etapa III: consolidación de la materia y relacionesinterdisciplinarias
Dos aspectos: la relación conceptual y operatoria de las materias del álgebra lineal y la relación
interdisciplinaria (transito horizontal y vertical)
35
puede ser desde la propia asignatura (relaciones temáticas) o desde diferentes
asignaturas del currículo del profesional en formación.
También en el orden del diagnóstico debe valorarse en su aspecto cognoscitivo
para determinar los conocimientos previos que tiene el estudiante en el tema y las
caracterizaciones de las estrategias que utilizan los estudiantes durante la
solución de problemas.
Esta característica también presupone que el estudiante sea capaz de auto
evaluarse, acerca de la situación en que él se aprecia en el momento de comenzar
con el tema. Si el tema ha sido evaluado anteriormente, los resultados obtenidos
pueden ser considerados por los docentes como un diagnóstico preliminar, que se
puede confirmar a partir de las autovaloraciones de los estudiantes.
El diagnóstico debe de ser además sistémico, que permita una retroalimentación
del proceso. De esta manera el profesor puede reestructurar el proceso, donde el
grupo y el estudiante en particular, los cuales interiorizan cuáles son sus
dificultades y analizan qué han hecho, qué les falta y hasta donde pueden llegar
solos o con ayuda del grupo y del profesor.
Para la organización y planificación del proceso pedagógico es necesario tener
una caracterización individual y el nivel de comunicación y vinculación con el
grupo, en lo cognitivo como en lo motivacional-afectivo, a partir de un diagnóstico
continuo de sus modos de actuación. Para esto se propone realizar
periódicamente la guía de observación la cual puede ser realizada con la ayuda de
otro docente, en el proceso de resolución de problemas (ver anexo 3).
Para el logro de una caracterización motivacional-afectivo, es importante que el
docente mantenga una comunicación constante con todos los estudiantes del
grupo, de modo que, en este tipo de entrevista perspicaz, obtenga información
sobre: relaciones interpersonales, desenvolvimiento económico, sus motivaciones
personales y profesionales intereses, convivencia, aspiraciones, etc.
Etapa 2: dosificación en el Sílabo de Álgebra Lineal de la Carrera de
Ingeniería Civil, para la propuesta de trabajo con problemas.
La asignatura Álgebra Lineal tiene asignada en la malla curricular un total de 48
horas clases. A continuación, se realiza una propuesta de estructura que involucra
36
cuatro momentos para la resolución de problemas, donde se explican a
continuación los objetivos de los mismos.
Tema C/T C/P
Momento 1. Introducción a la resolución de problemas.
Valoración de la Estrategia Heurística dada por Schoenfeld.
Objetivo: explicar a partir de un problema propuesto la
estrategia heurística dada por este autor, donde se manifieste
en la estructura la necesidad del conocimiento en las
diferentes áreas disciplinarias (física, química, matemática,
economía, misceláneos, etc.), para su solución.
1 1
Introducción a los sistemas lineales y matrices. 1 2
Operaciones elementales de un sistema lineal. 1 2
Tipos de matrices: triangular, identidad, diagonal, nula,
cuadrada, transpuesta, inversa 1 2
Operaciones con matrices: suma, diferencia, producto,
determinante: procedimientos de cálculo. Teoremas y
definiciones.
2 2
Procedimientos para la obtención de la matriz inversa:
adjunta, transformaciones elementales.
Métodos matriciales de resolución de sistemas de ecuaciones
lineales: método de Gauss, Gauss-Jordán, Cramer
3 4
Momento 2. Resolución de problemas.
Objetivo: resolver problemas que conducen a sistemas de
ecuaciones lineales y que muestren la relación
interdisciplinaria del Álgebra Lineal con otras disciplinas del
currículo de estudio.
1 4
Vectores de dos (2) y tres (3 ) dimensiones: distancia (norma
de un vector). Definición de Módulo. Cosenos directores.
Magnitudes vectoriales y escalares.
4 4
Valores y vectores propios. Multiplicidad algebraica de un valor propio. Multiplicidad geométrica de valor propio.
4 4
37
Momento 3. Resolución de problemas
Objetivo: resolver problemas que conducen a trabajo con
vectores y que muestren la relación interdisciplinaria del
Álgebra Lineal con otras disciplinas del currículo de estudio.
1 4
Total 19 29
Momento 1
Este momento tiene como finalidad la introducción de la estrategia heurística dada
por Schoenfeld (1985), para la preparación de los estudiantes para resolver
problemas, haciendo énfasis en los factores que intervienen en la realización
exitosa de esta actividad: los recursos (cuerpo de conocimientos que un individuo
es capaz de aplicar en una situación matemática en particular), la heurística
(reglas de razonamientos para la resolución efectiva de problemas), el control (es
la revisión y reestructuración de los intentos que se realizan en la resolución de
problemas) y el sistema de creencias (las ideas que se tienen acerca de la
Matemática y cómo resolver problemas).
Esta introducción se sugiere realizarla a partir de un problema, con el objetivo de:
Motivación por el estudio de la asignatura, que le brindará recursos para
obtener la solución de variadas situaciones, que con el conocimiento que
posee son insuficientes.
Los recursos que la asignatura brindará son
insuficientes, y por tanto, se recurre al tránsito
horizontal de la interdisciplinaridad.
Se debe explicitar las fases de la estrategia
heurística (análisis, exploración y verificación de la
solución), partiendo de la fase de lectura del
problema propuesta en el anexo A
Propuesta de problema
En la construcción de una lavandería de una empresa
hotelera, para la protección de la red eléctrica, se diseña un
circuito eléctrico de encendido automático como se
I1
I2
I3
30 volts
5 volts
20 volts
4 Ω 4 Ω
3 Ω
1 Ω 1 Ω
1 Ω 1 Ω
38
muestra en la siguiente figura (problema modificado, de Lay (1999)). Determinar la
corriente en cada uno de los circuitos.
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
I. Fase de lectura del problema: en el análisis con los estudiantes, se debe
hacer énfasis en las condiciones del problema, preguntar si han trabajado
en problemas parecidos, si comprenden el gráfico del problema, y si son
capaces de identificar la esencia del mismo y si posee alguna información
superflua.
II. Fase análisis del problema: la existencia en el texto del problema, de
información esencial perteneciente a la disciplina de Física, es elemento
vital de esta fase. El docente debe valorar con sus estudiante que cuando la
corriente pasa a través de una resistencia una parte del voltaje “se gasta”;
por la Ley de Ohm, esta “caída del voltaje” a través de esta resistencia está
dada por 𝑉 = 𝐼𝑅, donde 𝑉 es el voltaje el cual está dado en volts, 𝐼 es el
flujo de la corriente que está dado por en amperes, y la resistencia 𝑅 está
dada en ohm, y se denota por el símbolo Ω.
Es importante que al estudiante reconozca la interpretación del esquema el
circuito presentado: la corriente que fluye por cada uno de los circuitos está
dada por 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 . Las direcciones asignadas a la corriente a los circuitos
son arbitrarias, si una corriente resulta negativa, entonces la dirección real
de la corriente es opuesta a la escogida. Si la dirección de la corriente
mostrada es desde el lado positivo (el más largo) al lado negativo (el más
corto), entonces la corriente es positiva.
En el debate con los estudiantes, quedará la necesidad de relacionar los
datos dados en el esquema, a partir del recurso necesario para su solución
(el tránsito trasversal y vertical de la interdisciplinaridad), a partir de la Ley
de Kirchhoff del voltaje (Lay (1999)): la suma algebraica de las caídas de
voltaje en una dirección a lo largo de un circuito es igual a la suma
algebraica de las fuentes de voltajes en la misma dirección alrededor del
circuito.
39
III. Fase exploratoria del problema: a partir de la fase anterior, en necesario
la aplicación del tránsito a la interdisciplinaridad horizontal teniendo como
basamento la ley antes mencionada, en función de las condiciones
esquematizadas. La exploración en la solución se ha de obtenerse el
siguiente modelo:
{
11𝐼1 − 3𝐼2 = 30 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 1)−3𝐼1 + 6𝐼2 − 𝐼3 = 5 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 2)−𝐼2 + 3𝐼3 = −25 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 3)
En este modelo, aún los estudiantes no poseen las herramientas para su
solución, el tránsito horizontal es desde la propia asignatura del Álgebra
Lineal, induciendo el análisis al estudio de la o las herramientas necesarias
para la solución del nuevo ente matemático que se presenta. Un análisis
detallado del docente sobre esta nueva estructura matemática, puede
favorecer a partir de la reflexión lógica y la analogía la respuesta a la
situación planteada la obtención de la respuesta, en dicho caso puede
proponerse un esquema de cuatros circuitos eléctrico interrelacionados
como del esquema anterior, en cuya solución predomina el mismos análisis
de tránsito horizontal de la interdisciplinaridad, pero que su solución por el
último análisis realizado no es racional, de donde se desprende el estudio
del nuevo ente matemático asociado a la situación planteada.
En énfasis debe recaer en la situación presentada en el problema, y la
necesidad del tránsito horizontal interdisciplinario. Es conveniente que el
docente observe el tipo de estrategia aplicada: la analogía, y la reducción
del problema a un problema conocido, estudiado en niveles precedentes.
IV. Fase de verificación del problema: para la verificación de la solución
obtenida es necesario que el docente además de intercambiar con los
estudiantes sobre el cumplimiento de esta solución a partir de las
condiciones y las exigencias del problema. Es importante que el docente
pueda instar a los estudiantes a un análisis retrospectivo de las
herramientas utilizadas para la solución del problema (herramientas del
Álgebra Lineal, y de la Física)
En esta fase el profesor debe lograr que los estudiantes valoren el trabajo
40
de sus compañeros, así como, su auto valoración de su desempeño, (auto
regulación de su proceso cognitivo “metacognición”).
Momento 2
La clase teórica tendrá como finalidad la sistematización conceptual y
procedimental de los contenidos referidos a sistemas de ecuaciones lineales, y
trabajo con matrices, esto se realizará a partir de la propuesta de un problema,
donde los estudiantes valorarán las etapas de la estrategia heurística. Se debe
hacer énfasis al tránsito de la horizontalidad y verticalidad de las condiciones y
exigencias de los problemas propuestos.
Propuesta de Problema
La siguiente tabla, muestra la cantidad de gramos para una dieta para adelgazar:
Cantidades (en gramos) proporcionadas por 100 gramos de ingrediente
Nutrimentos (en gramos)
Leche desgrasada
Harina de Soya
Suero
Cantidad proporcionadas de la dieta de Cambridge en
un día
Proteínas 36 51 13 33
Carbohidratos 52 34 74 45
Grasas 0 7 1.1 3
Tabla: tabla de doble entrada que relaciona la proporción de ingredientes por tipos
de alimentos.
Determinar la cantidad de gramos de 100 que debe tener la dieta de leche, harina
y suero.
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
En este caso en el tránsito a la verticalidad de la interdisciplinariedad, posee fines
de formación integral de los estudiantes, pues las condiciones y exigencias del
problema, van más allá de la formación profesional. Es importante que el docente
esclarezca que la dieta, consiste en un polvo reconstituible con muy pocas
calorías, la que combina en un equilibrio muy preciso carbohidratos, proteínas,
vitaminas, minerales y grasas.
La aplicación de las fases I y II, permite a partir del intercambio con los estudiantes
obtener los modelos, considerando inicialmente la siguiente declaración de las
41
incógnitas:
𝑥: cantidad de gramos de leche desgrasada
𝑦: cantidad de gramos de harina de soya
𝑧: cantidad de gramos de suero
{
36𝑥 + 51𝑦 + 13𝑧 = 33 (cantidad de proteínas de la dieta) 52𝑥 + 34𝑦 + 74𝑧 = 45 (cantidad de carbohidratos de la dieta)
7𝑦 + 1.1𝑧 = 3 (cantidad de grasa de la dieta)
Es importante que el docente valore cada una de las etapas de la estrategia
heurística vista en el momento 1 y analizada con los estudiantes de modo que se
sistematicen y se logren modos de actuación de estos ante la actividad de
resolución de problemas.
Para “reforzar” el tránsito de la interdisciplinaridad vertical, pueden orientarse a los
estudiantes un trabajo investigativo, sobre otros tipos de dietas, por ejemplo, para
personas que padecen de enfermedades (diabetes, hepatitis, etc.). El modelo
resultante, también se presenta en problemas de soluciones químicas, fabricación
de inmuebles, elaboración de piensos. Una actividad de importancia para la
formación de profesional del ingeniero civil, está relacionada con la búsqueda de
información relacionada con la composición de materiales para la construcción de
pedestales de puentes, o cimientos de edificaciones, y que dicha información sea
plasmada en tablas que muestren la relaciones entre los componentes, a partir de
normas internacionales para este fin.
En las cuatro horas previstas en el sílabo para actividades prácticas, además de
situaciones problemáticas similares a las anteriores, deben proponerse problemas
como el siguiente:
Problema 1: determine cuáles han de ser las condiciones que deben cumplir los
parámetros 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 de modo que la solución del siguiente sistema pertenezca a:
a. Al conjunto de los números racionales.
b. Al conjunto de los números enteros.
{
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = 𝑎2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 + 𝑡 = 𝑏3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 + 2𝑡 = 𝑐4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 𝑑
En este problema, el énfasis está relacionado con el tránsito horizontal desde la
42
propia asignatura, mediando el procedimiento estudiando de solución. Se
sistematizan el trabajo con los dominios numéricos, vistos en el tránsito horizontal
del cálculo en el trabajo con los conjuntos numéricos, elemento esencial para el
concepto de límite de una función en un punto.
Problema 2: sea
𝐷 = (
0,0040 0,0030 0,0010 0,00050,0030 0,0050 0,0030 0,00100,0010 0,0030 0,0050 0,00300,0005 0,0010 0,0030 0,0040
)
la matriz de flexibilidad para una viga elástica con cuatro puntos en los cuales se
aplican fuerzas (cm/newton). Las mediciones en los cuatros puntos muestran
flexiones de 0,25; 0,30; 0,35; 0,30 cm. Determine la fuerza en los cuatro puntos.
(tomado de David (1999))
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
En la etapa de análisis del problema el docente debe esclarecer el tránsito de la
interdisciplinariedad vertical, el problema planteado está enfocado desde el perfil
del profesional y responde a contenidos de la especialidad. En la aclaración de las
condiciones y las exigencias del problema el docente puede apoyarse para la
explicación en el siguiente esquema:
La línea discontinua representa la viga no flexionada. Los puntos 1, 2 y 3 son los
puntos donde se aplican las fuerzas f1, f2 y f3 provocando las flexiones y1, y2 y y3
respectivamente. El uso de la ley de Hooke de Física, demuestra que 𝑦 = 𝐷 ∙ 𝑓,
donde 𝐷 es la matriz de flexibilidad y su inversa 𝐷−1 es la matriz de rigidez.
La matriz de flexión al igual que la matriz fuerza son matrices columnas,
denotadas como: 𝑦 = (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) y 𝑓 = (
𝑓1𝑓2𝑓3
).
f1 f2 f3
y1 y2 y3
Esquema: viga elástica flexionada
1 •
2 •
3 •
43
El trabajo con la etapa exploratoria del problema a partir de la explicación anterior,
debe concluirse que la viga presentada en el problema se le ha aplicado fuerza en
cuatro puntos (matriz de flexibilidad 4X4), y dicho problema se modela como:
(
0,250,300,350,30
) = (
0,0040 0,0030 0,0010 0,00050,0030 0,0050 0,0030 0,00100,0010 0,0030 0,0050 0,00300,0005 0,0010 0,0030 0,0040
) ∙ (
𝑓1𝑓2𝑓3𝑓4
)
Obtener la fuerza aplicada en ambos puntos, implica resolver la ecuación matricial
presente en dicho modelo. En el intercambio con los estudiantes ha de obtenerse
que:
𝑦 = 𝐷 ∙ 𝑓
𝐷−1 ∙ 𝑦 = 𝐷−1 ∙ 𝐷 ∙ 𝑓
𝐷−1 ∙ 𝑦 = 𝐼 ∙ 𝑓
𝑓 = 𝐷−1 ∙ 𝑦
Por tanto, el problema se reduce a encontrar la matriz de rigidez, es decir,
encontrar antes de aplicar la fuerza, para obtener la fuerza pedida.
Momento 3
La clase teórica tendrá como finalidad la sistematización conceptual y
procedimental de los contenidos referidos a vectores y sus propiedades, esto se
realizará a partir de la propuesta de un problema, donde los estudiantes valorarán
las etapas de la estrategia heurística. Se debe hacer énfasis al tránsito de la
horizontalidad y verticalidad de las condiciones y exigencias de los problemas
propuestos.
Propuesta de problema
Calcular el área de un triángulo determinado por los puntos: P(2,2,0), Q(0,4,3) y
R(-1,0,2).
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
44
En el análisis de problema,
debe hacerse énfasis en la
realización de una figura de
análisis:
Una solución del problema puede realizarse aplicando fórmulas de la geometría
plan que vincula las longitudes de los lados (a partir de la fórmula de distancia
entre dos puntos) con él área: 𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) donde 𝑝 es el
semiperímetro del triángulo. Estas valoraciones deben dejar claro que el trabajo
puede hacerse más racional aplicando el trabajo con vectores (producto vectorial),
vistos en las clase teóricas: 𝐴 =1
2‖𝑣X𝑤‖, donde 𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑤 = 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗.
𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2,3),𝑤 = 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−3,−2,2)
𝑣X𝑤 = |𝑖 𝑗 𝑘
−2 2 3−3 −2 2
| = |2 3
−2 2| 𝑖 − |
−2 3−3 2
| 𝑗 + |−2 2−3 −2
| 𝑘
𝑣X𝑤 = |𝑖 𝑗 𝑘
−2 2 3−3 −2 2
| = 10𝑖 − 5𝑗 + 10𝑘
𝐴 =1
2‖𝑣X𝑤‖ =
1
2√100 + 25 + 100 =
1
2√225 =
15
2 𝑢2
En este problema el tránsito de la interdisciplinaridad, transcurre de forma vertical,
sobre la base retrospectiva de la materia, contribuyendo a la sistematización y al
desarrollo de la formación profesional.
Etapa 3: consolidación de la materia y relaciones interdisciplinarias
Para la consolidación de la materia y las relaciones interdisciplinarias, se plantea
la realización de dos aspectos: la relación conceptual y operatoria de las materias
del Álgebra Lineal y la relación interdisciplinaria (tránsito horizontal y vertical);
R
x
y
z
P
Q
45
orientaciones generales para la selección y/o elaboración de problemas con
enfoque interdisciplinario.
Aspecto 1
En el sílabo de la asignatura se muestra las temáticas que se tratan en el curso
declaradas en la malla curricular, un total de 48 horas clases. Para comprensión
de la materia en el trabajo con el estudiante es imprescindible la relación
conceptual y operatoria de contenidos precedentes, en su visión perspectiva y
retrospectiva. A continuación, se esquematiza esta visión, elemento básico para el
trabajo propedéutico y perspectivo con los estudiantes con el fin de la compresión
de la materia y su aplicación posterior, tomando como ejemplo la temática relativa
a “sistemas de ecuaciones lineales y matrices”, la cual se realizará por conceptos
matemáticos superiores y subordinados, y luego las operatorias, todos enfocados
desde las nuevas temáticas objeto de estudio.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Conceptual retrospectiva Conceptual perspectiva
Ecuación Forma matricial
Solución y conjunto solución
Sistemas de ecuaciones
lineales de n-ecuaciones y m-
variables
Sistemas de ecuaciones lineales
de dos con dos
Sistemas compatibles e
incompatibles
Sistemas de ecuaciones lineales
de tres con tres
Sistemas determinados e
indeterminados
Solución básica y no básica
Linealidad e independencia de
vectores
Tabla: relación conceptual retrospectiva y perspectiva
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Operatoria retrospectiva Operatoria perspectiva
Resolución de ecuaciones lineales Forma matricial
Comprobación de soluciones Rango de una matriz
46
Procedimiento de resolución de
dos ecuaciones y dos variables
Teorema de la compatibilidad y
sistemas determinados
Procedimiento de resolución de
tres ecuaciones y tres variables
Procedimiento de Gauss
Jordán
Procedimiento de Cramer Procedimiento de combinación
lineal
Tabla: relación operatoria retrospectiva y perspectiva
Para la relación interdisciplinaria en su tránsito horizontal y vertical es
imprescindible el estudio por el docente de la malla curricular por semestres y
años, teniendo como sustento que las temáticas impartidas en niveles
precedentes, constituyen condiciones previas en el tránsito horizontal y su
reactivación puede constituir elementos previos de otras disciplinas con relación
específica de la materia objeto de estudio.
Por otra parte, en el tránsito vertical, la formación cultural del docente influye de
manera positiva en la búsqueda de estas relaciones, cuya formación previa pudo
constituir elemento motivacional y formativo para la vocación de la carrera
universitaria que el estudiante actualmente cursa.
A continuación, se muestra un esquema de la relación interdisciplinaria del tránsito
horizontal y vertical de la temática de “sistema de ecuaciones lineales y matrices”.
Esquema: relación retrospectiva conceptual
Co
nce
ptu
al r
etro
spec
tiva
d
e si
stem
a d
e ec
uac
ion
es
linea
les
concepto de ecuación
solución y conjunto solución de una ecuación o sistema de ecuanciones
concepto de ecuación lineal
concepto de sistema de ecuación lineal
47
Esquema: relación retrospectiva operatoria
Esquema: relación interdisciplinaria del tránsito horizontal
Op
erat
iva
ret
rosp
ecti
va
de
sist
ema
de
ecu
acio
nes
lin
eale
s
compatibilidad e incompatibilidad de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
procedimiento de resolución de ecuaciones lineales
método de reducción para sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos variables
método de reducción para sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones y tres variables
RELACIÓN INTERDISCIPLINARIA
tránsito horizontal
FÍSICAproblemas de velocidades para tiempos constantes
problemas de circuitos
QUÍMICA
problemas de mezclas
PERFIL DEL PROFESIONAL
problemas de vigas, de cargas, tensores, etc.
ÁLGEBRA LINEALsistemas de ecuaciones
lineales y matrices
48
Esquema: relación interdisciplinaria del tránsito vertical
Aspecto 2
Este aspecto tiene como objetivo brindar a los docentes algunas orientaciones
generales para la selección y/o elaboración de problemas con enfoque
interdisciplinario, que permita favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal.
Orientaciones
- Análisis conceptual y operario en la teoría temática objeto de estudio,
precisando los conocimientos previos que se necesitan para la compresión
de la materia.
- Estudio de la malla curricular, realizando análisis retrospectivo y perspectivo
de la presencia, conceptual y operatoria de la temática en otras disciplinas
del currículo. Hacer un esquema, ayuda a la interpretación del tránsito
interdisciplinario, tanto vertical como transversal.
- Valorar con especialistas de asignaturas de formación básica y de la
especialidad los siguientes aspectos:
Presencia del contenido objeto de estudio en dicha disciplina,
valorando nivel de profundidad y sistematicidad en que se
RELACIÓN INTERDISCIPLINARIA
tránsito vertical
Estructuras
cargas estructurales
Optimización de procesos
lineal y multilineal
Misceláneosrelaciones sociales, estudio de mercado, agronomía
ÁLGEBRA LINEAL
sistema de ecuaciones lineales y matrices
49
presentan.
Análisis explicativo con los especialistas a partir de ejemplos
concretos de la terminología simbólica y semántica de dichos
contenidos, así como sus formas explicativas.
Bibliografía recomendada por el especialista de ayuda al docente
sobre el tema que se analiza.
- Selección o elaboración de la situación problémica y su solución anticipada
a partir de los procedimientos y conceptos que se estudiarán en la temática.
- Valoración con los especialistas de la situación elaborada o seleccionada,
su solución y las formas terminológicas y explicativas necesarias para la
comprensión del problema y la búsqueda de su solución.
En este aspecto se debe valorar las condiciones objetivas para su puesta
en práctica con los estudiantes: si se necesita algún medio de enseñanza;
si es necesario realizarse en un laboratorio o taller; si es conveniente
explicar en un escenario real; si necesita de la ayuda del especialista en el
momento de su resolución con los estudiantes.
- Elaborar o seleccionar otros problemas para el trabajo independiente de los
estudiantes. En este aspecto debe orientarse la bibliografía pertinente para
consulta y profundización de la materia.
2.2. Factibilidad de la propuesta por los expertos analizados a partir de la
técnica Delphi
Para determinar si la propuesta didáctica elaborada es factible de ser aplicada
pues la misma contribuye a favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal en la carrera de Ingeniería Civil de la Uleam a partir de la
resolución de problemas con enfoque interdisciplinario, se consideró la consulta
con expertos y su procesamiento Delphi. El procedimiento fue contemplado en
varias fases.
Fase I. Elaboración del objetivo, contemplado para valorar la factibilidad de la
propuesta didáctica sustentada en la resolución de problemas de aplicación con
enfoque interdisciplinario.
50
Fase II. Determinación de los posibles expertos. La selección de los expertos se
realizó de acuerdo con los criterios siguientes: 1) Experiencia profesional en las
carreras de ingeniería. 2) Dominio técnico y didáctico del Álgebra Lineal. 3)
Preparación académica y científica tanto en aspectos técnicos de la asignatura
como en los basamentos didácticos de la resolución de problemas. 4) Formación
integral de los expertos en cuantos a domino técnico y didáctico de áreas de otras
disciplinas que permitan dar valoraciones certeras sobre el tránsito horizontal y
vertical de temáticas del Álgebra en el perfil del profesional.
Fase III. Ejecución del procedimiento para valorar la propuesta didáctica. Se les
entregaron a los expertos las tres etapas concebidas en la propuesta que se
valoraron de formas independientes e integradas por valoraciones intermedias de
estas. La escala cualitativa se realizó entre muy adecuado (MA) y no adecuado
(NA).
Fase IV. Procesamiento de la información. Se procedió a obtener los resultados
en la tabulación, así coma las sugerencias realizadas por los expertos.
Para todo el proceso de valoración del criterio de expertos se preseleccionaron 22
especialistas. Se encuestaron 15 expertos: de la Universidad Laica Eloy Alfaro de
Manabí: docente que imparten matemáticas 9, docentes de Física y Química (6).
Siete (7) expertos de la Universidad de Holguín que han impartido Álgebra Lineal,
y dentro de ellos 2 jubilados que poseen gran experiencia en esta asignatura.
En el documento enviado a los expertos se les presentó un cuestionario que
permitió reunir los datos necesarios para calcular el coeficiente de competencia de
los mismos (ver anexo 4). De los expertos encuestados (22), respondieron todos.
Todos fueron escogidos, la tabla siguiente muestra los resultados obtenidos.
Coeficiente de competencia
No. Coeficiente 0,80 0,85 0,90 0,95
Expertos 6 10 4 2
Por ciento 27,27 45,45 18,18 9,09
Tabla: cálculo de coeficiente de competencia de los expertos.
Las características más significativas del grupo de expertos, se resumen en: el
promedio de años trabajando en la educación superior es de 14,2 años,
51
impartiendo matemáticas u otra asignatura de ciencia con un promedio de 10,4
años; 16 han impartido en más de 8 ocasiones las temáticas de Álgebra Lineal. En
cuanto a la titulación académica o grado científico: 8 son PhD y 14 son Máster en
Ciencias.
Para la valoración de estos aspectos, se ofreció a los expertos una síntesis de la
metodología y un cuestionario para su valoración, donde se muestran las ideas a
valorar (ver anexo 5).
En el anexo 6 se muestra las tablas de:
- Frecuencia absoluta (Tabla I)
- Frecuencia absoluta acumulativa (Tabla II)
- Frecuencia relativa acumulativa (Tabla III)
- Cálculo aplicando técnica Delphi (tabla IV)
La última tabla (IV) muestra los puntos de cortes. A continuación, se representa un
esquema que muestra la ubicación de cada uno de los aspectos de la propuesta
en correspondencia con los puntos de cortes representados en la recta, obtenidos
en la última columna del cálculo.
Aspectos N-P Categorías
Etapa 1 -0,5639 MA
Etapa 2 -0,3282 MA
M1 0,1925 BA
M2 -0,0842 MA
M3 -0,5068 BA
Etapa 3 -0,1767 BA
A1 -0,3600 BA
A2 -0,3600 BA
De esta forma, se expresa su alto grado de concordancia, al ubicarse la totalidad
de los criterios de los expertos en los puntos de cortes que delimitan las
categorías de bastante adecuado y muy adecuado. Teniendo en cuenta estos
• • • • -0,0579
MA BA A PA NA
1,2930 1,6153 2,6175
52
resultados, se puede afirmar que los especialistas encuestados (expertos)
concuerdan que la propuesta elaborada es factible de ser aplicada, para favorecer
el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal.
Dado el resultado obtenido en la aplicación de la técnica Delphi, no fue necesaria
la aplicación de otras rondas para obtener la excelencia de la propuesta didáctica
elaborada.
53
CONCLUSIONES
La investigación se enmarca en el proceso de resolución de problemas con
enfoque interdisciplinario para favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal en la carrera de Ingeniería Civil, contribuyendo a la motivación de
los estudiantes por el estudio de las temáticas relativas a esta asignatura,
potenciado la relación interdisciplinaria desde el tránsito horizontal y vertical en
correspondencia con la malla curricular.
El aprendizaje de los contenidos de Álgebra Lineal y la resolución de problemas
con enfoque interdisciplinario es esencial para el cumplimiento de los objetivos
concebidos en la carrera de Ingeniería Civil. En el desarrollo de esta investigación
se elaboró una propuesta didáctica diseñada en tres etapas que brindan
orientaciones a los docentes, las cuales permiten destacar los siguientes aspectos
en el logro del objetivo previsto en la presente tesis:
1. Cada una de las etapas aporta a los docentes basamentos teóricos y
didácticos que permiten incidir en la enseñanza aprendizaje de los contenidos
del Álgebra Lineal en su relación interdisciplinaria, los cuales contribuyen a la
búsqueda de la solución del problema.
2. Permite reactivar de forma teórica y práctica los contenidos previos, desde la
actividad de resolución de problema con enfoque interdisciplinario, facilitando
la reactivación conceptual y operatoria, no solo de las temáticas de la
asignatura sino también referidas a otras disciplinas que forman parte del
currículo de estudio de esta carrera, incidiendo en la formación profesional del
ingeniero civil.
3. Dirige el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal a un enfoque
problémico, mostrando relaciones interdisciplinarias no solo del perfil del
profesional de esta carrera, sino también de otras disciplinas, lo que inciden en
la formación integral del estudiante, mostrando una enseñanza activa y
desarrolladora.
54
RECOMENDACIONES
Para la comprensión, análisis y la posible puesta en práctica en el proceso de
enseñanza aprendizaje de la propuesta didáctica para favorecer la enseñanza
aprendizaje del Algebra Lineal a partir de la resolución de problemas con enfoque
interdisciplinario en el perfil del ingeniero civil, exige tener en cuenta las siguientes
recomendaciones:
1. Se hace necesario la preparación teórica didáctica del docente, en las
temáticas de esta asignatura, así como de otras disciplinas que tiene en sus
basamentos elementos conceptuales y operatorios para la compresión de
cada una de las etapas concebidas en la propuesta.
2. Incrementar las ejemplificaciones de las relaciones interdisciplinarias desde el
tránsito horizontal y vertical a partir de la elaboración y/o selección de
problemas del Álgebra Lineal, que favorezcan las relaciones conceptuales y
operatorias de esta asignatura con las diferentes disciplinas de la malla
curricular.
3. Incluir actividades de trabajo independiente, a partir de la propuesta de
situaciones problémicas a los estudiantes, que impliquen a docentes de otras
disciplinas del currículo de estudio en esta ingeniería.
4. Extender la propuesta didáctica a otras asignaturas del currículo de estudio,
tales como Matemática I y II, Ecuaciones Diferenciales, etc., con el objetivo de
favorecer la formación profesional del ingeniero civil.
55
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58
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ANEXOS
Anexo 1. Entrevista a los docentes de la Uleam
Objetivo: Obtener Información de los docentes sobre las principales insuficiencias del
proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal.
Cuestionario
1. ¿Cuáles son las principales insuficiencias que poseen los estudiantes para la
compresión de los contenidos del Álgebra Lineal?
2. ¿Qué insuficiencias usted ha detectado en el proceso de resolución de problemas,
que incide de forma negativa ante esta actividad?
3. ¿Qué impulsos o estrategias usted utiliza como docente cuando le plantea a sus
estudiante la resolución de situaciones problémicas? Argumente.
4. Cuando le propone un problema al estudiante, ¿cuáles considera usted las
características que debe poseer la situación planteada, para que logre motivación
por obtener la solución? Argumente.
5. ¿Qué aspectos usted tiene en cuenta para elaborar o seleccionar un problema que
su contexto responda al perfil del profesional?
Anexo 2. Entrevista y examen a los estudiantes y los docentes de la Uleam
Entrevista a los docentes
a) Es suficiente el trabajo que usted realizó en el aula con los ejercicios de
aplicación del Álgebra Lineal.
b) Cómo valora el trabajo que usted ha realizado con docentes de otras
disciplinas, con el objetivo de elaborar situaciones interdisciplinarias para
analizar y discutir con sus estudiantes en la clase.
c) ¿Considera usted importante para la formación conceptual y operatoria de
los estudiantes, el trabajo con problemas con carácter interdisciplinario en
la clase de esta asignatura?
Cuestionario a los estudiantes
1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones
a) Escríbalo en notación matricial.
b) Aplique Gauss para su solución.
c) Clasifique dicho sistema según su solución
{
𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 8𝑧 − 𝑡 = −2
2) En la construcción de una lavandería de una
empresa hotelera, para la protección de la red
eléctrica, se diseña un circuito eléctrico de
encendidos automáticos como se muestra en la
siguiente figura (problema modificado, de Lay,
(1999)). Determinar la corriente en cada uno de
los circuitos.
I1
I2
I3
30 volts
5 volts
20 volts
4 Ω 4 Ω
3 Ω
1 Ω 1 Ω
1 Ω 1 Ω
3) Escriba tres razones que usted conozca, dónde se aplica el Álgebra en las
asignaturas de su carrera. Argumente.
Anexo 3. Guía de observación del trabajo que realizan los estudiantes en la
resolución de problemas
1. Fase lectura del problema
1.1. ¿Los estudiantes notaron todas las condiciones del problema?
( ) Si
( ) Alguna(s) condición(es)
( ) Ninguna condición
1.2. ¿Los estudiantes relacionaron el del problema con algún problema
estudiado anteriormente, o con alguna situación que le ese familiar?
1.3. ¿Los estudiantes mostraron la interpretación del problema a partir de un
esquema o gráfico?
( ) Si
( ) No
1.4. ¿Los estudiantes identificaron en el problema, información esencial y
superflua?
2. Fase del análisis del problema
2.1. ¿Los estudiantes enfocaron el análisis sobre la información esencial del
problema?
( ) Toda la información esencial
( ) Alguna(s) de la(s) información(es) esencial(es)
( ) Ninguna información esencial
2.2. ¿Los estudiantes identificaron conceptos, reglas y procedimientos
pertenecientes a otras disciplinas?
( ) Si
( ) No
Escriba un resumen de la situación general del grupo de la fase del problema
en cada uno de los ítems. Esclarezca las regularidades y particularidades.
2.3. ¿Los estudiantes fueron capaces de integral la información esencial con la
información básica del Álgebra Lineal en el área de la otra disciplina?
( ) Integración total
( ) Integración parcial
( ) No integración
2.4. ¿Los estudiantes decidieron, que vías o posibles caminos podrían llevar a la
solución del problema?
( ) Si
( ) No
( ) Indecisión
3. Fase de exploración
3.1. ¿El estudiante muestra en la exploración de la solución del problema?
( ) Uso total de datos del problema
( ) Uso parcial de los datos del problema
3.2. ¿El estudiante muestra en la exploración de la solución del problema?
( ) Sobre la base de una posible solución
( ) Sobre la base de la experimentación de más de una solución
3.3. ¿En la exploración es estudiante recurre a otro problema que le es familiar?
( ) De forma total
( ) De forma parcial
( ) No recurre
3.4. ¿El estudiante muestra en la solución del problema integración horizontal
con otras materias del Álgebra Lineal del currículo?
( ) Integración total
( ) Integración parcial
( ) No integración
3.5. ¿El estudiante muestra integración horizontal con otras materias de otras
asignaturas del currículo?
( ) Integración total
Escriba un resumen de la situación general del grupo de la fase del problema
en cada uno de los ítems. Esclarezca las regularidades y particularidades.
( ) Integración parcial
( ) No integración
3.6. ¿Qué tipo de estrategias aplicaron durante el proceso de solución?
( ) Ensayo y error
( ) Uso de herramientas del Álgebra Lineal
( ) Uso de herramientas de otras disciplinas
( ) Uso de esquemas o gráficos
( ) Otra
Fase de verificación de la solución
4.1. ¿El estudiante verifica si la solución obtenida cumple con las condiciones
del problema?
( ) Verificación exhaustiva
( ) Verificación parcial
( ) No verificación
4.2. ¿El estudiante hace un análisis retrospectivo de las herramientas utilizadas
en la solución del problema?
( ) Siempre
( ) Casi siempre
( ) Nunca
4.3. ¿Cómo considera el estudiante su desempeño en el trabajo con el
problema?
( ) Se auto-valora
( ) Se sobre-valora
( ) Se sub-valora
( ) No se valora
4.4. Evaluación del docente del desempeño del estudiante ante la actividad de
resolución del problema
( ) Bien
( ) Regular
Escriba un resumen de la situación general del grupo de la fase del problema
en cada uno de los ítems. Esclarezca las regularidades y particularidades.
( ) Mal
Escriba un resumen de la situación general del grupo de la fase del problema
en cada uno de los ítems. Esclarezca las regularidades y particularidades.
Anexo 4. Encuesta para determinar el coeficiente de competencia del experto
Usted ha sido seleccionado como posible experto para ser consultado respecto al
grado de factibilidad de la propuesta didáctica para favorecer el proceso de
enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal a partir de la resolución de problemas
con enfoque interdisciplinario.
Necesitamos, antes de realizarle la consulta correspondiente como parte del
método empírico de investigación “consulta a expertos”, determinar su coeficiente
de competencia en este tema, a los efectos de reforzar la validez del resultado de
la consulta que realizaremos. Por esta razón le rogamos que responda de la forma
más objetiva posible las preguntas siguientes:
Datos generales
Nombre y apellidos: _____________________________________________
Institución a la que pertenece: _____________________________________
Cargo u ocupación actual: _________________________________________
Asignatura que ha impartido: _____________________________________
Años de experiencia en dicha asignatura: ________________
Calificación profesional, grado científico o académico:
Profesor: ___ Licenciado: ___ Especialista: ____ Máster: ____ Doctor: ____
Años de experiencia docente y/o en la investigación: ________________
Explicación de la encuesta
1.- Marque con una cruz (X) en la tabla que se le ofrece, el valor que se
corresponde con el grado de conocimientos que usted posee sobre el tema de la
resolución de problemas con enfoque interdisciplinario. Considere que la escala
que le presentamos es ascendente, es decir, el conocimiento sobre el tema
referido va creciendo desde 1 hasta 10.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.- Valore el grado de influencia que cada una de las fuentes que le presentamos
a continuación, ha tenido en su conocimiento y criterio sobre la propuesta
didáctica elaborada para favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal para la carrera de Ingeniería Civil .
Para ello marque con una cruz (X), según corresponda, en A (alto), M (medio) o B
(bajo).
Fuentes de argumentación
Grado de influencia de cada una de
las fuentes
A (alto) M (medio) B (bajo)
Análisis teóricos realizados por usted
Su experiencia obtenida
Trabajo de autores nacionales
Trabajo de autores extranjeros
Su propio conocimiento del estado
del problema en el extranjero
Su intuición
Anexo 5. Encuesta aplicada a los expertos para valorar la factibilidad de la
propuesta didáctica
Estimado experto, a continuación, le presentamos un resumen de la propuesta
didáctica elaborada para favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje del
Álgebra Lineal a partir de la resolución de problemas con enfoque interdisciplinario
en la carrera de Ingeniería Civil.
Al final se presenta una tabla para que usted califique cada aspecto de la
propuesta en Muy Adecuado (MA), Bastante Adecuado (BA), Adecuado (A), Poco
Adecuado (PA) y No Adecuado (NA).
PROPUESTA DIDÁCTICA
Etapa 1: caracterización del grupo y de los estudiantes
Objetivo: realizar una caracterización de cada estudiante, tanto a nivel
cognoscitivo, referido a la resolución de problemas, así como a nivel afectivo, de
modo que permita traza pautas para incidir de forma favorable en el proceso de
resolución de problemas de aplicación de esta asignatura con enfoque
interdisciplinario.
La guía elaborada se aplicará de forma sistemática en cada momento incorporado
en el sílabo, la cual se encuentra en el anexo 1
Etapa 2: dosificación en el Sílabo de Álgebra Lineal de la Carrera de
Ingeniería Civil, la propuesta de trabajo con problemas
Momento 1. Introducción a la resolución de problemas. Valoración de la
Estrategia Heurística dada por Schoenfeld.
Objetivo: explicar a partir de un problema propuesto la estrategia heurística dada
por este autor, donde se manifieste en la estructura la
necesidad del conocimiento en las diferentes áreas
disciplinarias (Física, Química, Matemática, Economía,
misceláneos, etc.), para su solución.
Propuesta de Problema
En la construcción de una lavandería de una empresa
hotelera, para la protección de la red eléctrica, se diseña
I1
I2
I3
30 volts
5 volts
20 volts
4 Ω 4 Ω
3 Ω
1 Ω 1 Ω
1 Ω 1 Ω
un circuito eléctrico de encendidos automáticos como se muestra en la siguiente
figura (problema modificado, de Lay (1999)). Determinar la corriente en cada uno
de los circuitos.
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
Análisis de las fases dadas por Schoenfeld como estrategia para resolver
problemas, se le agrega una fase inicial.
Fases: lectura del problema, análisis del problema, exploración del problema y
verificación del problema.
Momento 2. Resolución de problemas
Objetivo: resolver problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y
que muestren la relación interdisciplinaria del Álgebra Lineal con otras disciplinas
del currículo de estudio.
Problema 1
La siguiente tabla, muestra la cantidad de gramos para una dieta para adelgazar:
Cantidades (en gramos) proporcionadas por 100 gramos de ingrediente
Nutrimentos (en gramos)
Leche desgrasada
Harina de Soya
Suero
Cantidad proporcionadas de la dieta de Cambridge en
un día
Proteínas 36 51 13 33
Carbohidratos 52 34 74 45
Grasas 0 7 1.1 3
Tabla: tabla de doble entrada que relaciona la proporción de ingredientes por tipos
de nutrimentos.
Determinar la cantidad de gramos de 100 que debe tener la dieta de leche harina y
suero.
Problema 2
Sea
𝐷 = (
0,0040 0,0030 0,0010 0,00050,0030 0,0050 0,0030 0,00100,0010 0,0030 0,0050 0,00300,0005 0,0010 0,0030 0,0040
)
la matriz de flexibilidad para una viga elástica con cuatro puntos en los cuales se
aplican fuerzas (cm/newton). Las mediciones en los cuatros puntos muestran
flexiones de 0,25; 0,30; 0,35; 0,30 cm. Determine la fuerza en los cuatro puntos.
(tomado de David C. Lay (1999))
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
Momento 3. Resolución de problemas
Objetivo: resolver problemas que conducen a trabajo con vectores y que muestren
la relación interdisciplinaria del Álgebra Lineal con otras disciplinas del currículo de
estudio.
Propuesta de Problema
Contextualización didáctica para el trabajo con el problema
Etapa 3: consolidación de la materia y relaciones interdisciplinarias.
Esquema conceptual de las materias del álgebra lineal y la relación
interdisciplinaria (transito horizontal y vertical); orientaciones generales para la
selección y/o elaboración de problemas con enfoque interdisciplinario.
Señale con una X en cada celda de la siguiente tabla su calificación en
correspondencia con categorías dadas
Calificación del Experto
Categorías Etapa
1 Etapa
2 Momento
1 Momento
2 Momento
3 Etapa
3 Aspecto
1 Aspecto
2
Muy Adecuado
Bastante Adecuado
Adecuado
Poco Adecuado
No adecuado
Anexo 6. Tablas de aplicación de la técnica Delphi.
Tabla I: frecuencia absoluta
Cantidad de expertos: 22
Cantidad de aspectos: 8
Número de categorías 5
Aspectos MA BA A PA NA Total
Etapa 1 12 8 1 1
22
Etapa 2 12 5 3 2
22
M1 12 10
22
M2 10 10 2
22
M3 10 10 1 1
22
Etapa 3 8 8 4 2
22
A1 10 7 4 1
22
A2 10 7 4 1
22
Tabla II: frecuencia absoluta acumulativa
Aspectos MA BA A PA Etapa 1 12 20 21 22
Etapa 2 12 17 20 22
M1 12 22
M2 10 20 22
M3 10 20 21 22
Etapa 3 8 16 20 22
A1 10 17 21 22
A2 10 17 21 22
Tabla III: frecuencia relativa acumulativa
Aspectos MA BA A PA Etapa 1 0,545454545 0,909090909 0,95454545 0,999758445
Etapa 2 0,545454545 0,772727273 0,90909091 0,999758445
M1 0,545454545 0,999758445 0 0
M2 0,454545455 0,909090909 0,99975844 0
M3 0,454545455 0,909090909 0,95454545 0,999758445
Etapa 3 0,363636364 0,727272727 0,90909091 0,999758445
A1 0,454545455 0,772727273 0,95454545 0,999758445
A2 0,454545455 0,772727273 0,95454545 0,999758445
Tabla IV: cálculo aplicando técnica Delphi
Aspectos MA BA A PA SUMA PROMEDIOS N-P
Etapa 1 0,1142 1,3352 1,6906 3,4900 6,6299 1,6575 -0,5639
Etapa 2 0,1142 0,7479 1,3352 3,4900 5,6872 1,4218 -0,3282
M1 0,1142 3,4900 3,6041 0,9010 0,1925
M2 -0,1142 1,3352 3,4900 4,7109 1,1777 -0,0842
M3 -0,1142 1,3352 1,6906 3,4900 6,4016 1,6004 -0,5068
Etapa 3 -0,3488 0,6046 1,3352 3,4900 5,0810 1,2702 -0,1767
A1 -0,1142 0,7479 1,6906 3,4900 5,8142 1,4536 -0,3600
A2 -0,1142 0,7479 1,6906 3,4900 5,8142 1,4536 -0,3600
Puntos de corte -0,0579 1,2930 1,6153 2,6175 43,7432
N= 1,0936
