Propuesta didáctica para el aprendizaje de conceptos de geometría.

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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS REQUERIDASEN EDUCACIÓN SECUNDARIA IMPLÍCITAS EN LA GEOMETRÍA

Maestría en Didáctica de las Matemáticas

Ing. Dulce Gabriela Rivera Sánchez

Historia y epistemología de las matemáticas.M. En C. Martín Larios García.

Querétaro, Querétaro, Diciembre 2014.

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Contenido

Introducción 3Problemática 4Hipótesis 6Objetivos 7Marco Teórico 8Antecedentes 31Metodología 34Resultados esperados 73Conclusiones 74Referencias 75

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Introducción

Este trabajo presenta una metodología didáctica para conseguir la adquisición de los conceptos de: punto, recta, plano, vértice, arista, polígonos, poliedro, simetría y su clasificación, patrones y teselaciones; a través del aprendizaje lúdico y discursivo profesor-alumno.

El objetivo es devolver a las matemáticas el enfoque de actividad humana tal como sugiere Freudenthal, mostrando al estudiante la existencia de la geometría en la naturaleza y su aplicación artística.

La metodología se divide en dos sesiones de 45 minutos y se describen detalladamente las actividades que se realizaran, con la finalidad de que cualquier profesor interesado pueda reproducirla.Algunas diapositivas incluyen imágenes que se recomienda mostrar al alumno y otras en las que el profesor deberá decidir si es conveniente o no mostrarlas.

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Problemática

“Al crecer no adquirimos creatividad, sino que crecemos

perdiéndola”

Ken Robinson (1950- ). Educador, escritor y conferencista británico, experto en asuntos relacionados con la

creatividad, la calidad de la enseñanza, la innovación y los recursos humanos.

Con la sofisticación de la ciencia matemática hemos olvidado el arte y la creatividad que se encuentra inmersa en su descubrimiento y desarrollo y la hemos aprendido como una secuencia sistematizada de procedimientos para resolver problemas. Enseñamos matemáticas que para los estudiantes son robotizadas, aburridas y sin sentido.

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ProblemáticaNo basta solamente con mostrar las aplicaciones en la vida cotidiana del conocimiento visto en clase a los estudiantes. Para traer su atención debemos estimular su curiosidad y creatividad para que ellos generen su propio aprendizaje y su propia necesidad por aprender.¿Cómo atraer la atención de los estudiantes para conseguir un aprendizaje significativo?

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Hipótesis

Si se diseña un proyecto integrador de construcción física incentivando la curiosidad y creatividad del estudiante, que involucre las cuatro competencias matemáticas de educación secundaria, entonces, se guiará a los alumnos hacia la adquisición de un aprendizaje significativo.

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Objetivo

Desarrollar una metodología de didáctica de las matemáticas que abarque las cuatro competencias matemáticas de educación secundaria establecidas por la SEP, a través de la construcción física de figuras basadas en la simetría, y que pueda ser reproducida por cualquier profesor.

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Marco teóricoBreve historia de las matemáticas

Se piensa que las matemáticas iniciaron con la necesidad de contar.La evidencia directa más antigua de conteo es de dos huesos de animales que muestran signos claros de agrupación de cantidades hace alrededor de 34000 años. En uno de ellos se estaban anotadas cincuenta y cinco marcas, agrupados en once conjunto s de cinco marcas en cada uno.(Parama Dutta,2011)

Las primeras referencias de matemáticas avanzadas datan del año 3000 a.C. en las civilizaciones de Babilonia y Egipto.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.

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Marco teóricoBreve historia de las matemáticas

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras".

Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

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Marco teórico¿Por qué es necesario aprender matemáticas?

Como bien es cierto, la matemática, conocida como la Reina de las Ciencias, es una ciencia pura que busca estudiar patrones en las estructuras de entes abstractos y las relaciones que entres ellas puedan existir, aporta métodos de orden y lógica que aparte de desarrollar y potenciar el pensamiento científico, incentiva y capacita un pensamiento abstracto que permite plantear y resolver problemas cotidianos y llegar a conclusiones y convicciones apropiadas.La matemática enseña a resolver problemas de manera ingeniosa y entrena en la búsqueda de soluciones no triviales de los mismos. (Palacios,2007)

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Marco teóricoLas matemáticas como actividad humana. FreudenthalDesde que la aplicabilidad de la matemática es frecuentemente problemática, Freudenthal (1905-1990) concluye que las matemáticas deben ser pensadas para ser útiles.

Observa que esto no puede ser alcanzado simplemente por la enseñanza de “herramientas matemáticas”, “Si esto significa enseñar matemática pura y después mostrar cómo aplicarla, me temo que no estemos en mejores condiciones. Creo que es justamente emplear el orden equivocado” (Freudenthal 1968).

En cambio, las matemáticas deben ser enseñadas como matematización. Esta visión de la tarea matemática escolar no está motivada solamente por importancia de su utilidad; para Freudenthal las matemáticas son en primer lugar y principalmente una actividad, una actividad humana, como él suele enfatizar.

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Marco teórico¿Qué es “matematizar”?Freudenthal usa la palabra “matematizar” en un sentido amplio: es una forma de organización de la realidad que también incorpora la disciplina matemática.

Literalmente, matematizar está vigente en “hacer más matemáticamente”., lo que significa pensar en ciertas características de las matemáticas como su generalidad, certeza, exactitud y brevedad. Para clarificar qué se debe entender por matematizar podemos considerar las siguientes estrategias específicas con estas características (Gravemeijer 1994; ver también Treffers 1987):

• Generalidad: generalización (observar analogías, clasificar, estructurar).• Certeza: reflexionar, justificar, probar (usando un abordaje sistemático, elaborando y testeando conjeturas, etc.)• Exactitud: modelizar, simbolizar, definir (limitando interpretaciones y validez)• Brevedad: simbolizar y esquematizar (desarrollando procedimientos estándar y notaciones).

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Marco teórico¿Qué es “matematizar”?

Visto desde este ángulo, matematizar objetos matemáticos y matematizar temas de la realidad comparten las mismas características. Y esto es fundamental para Freudenthal, ya que en esta perspectiva, la educación matemática de los niños debe apuntar a matematizar la realidad de todos los días.

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Marco teóricoLa epistemología genética de Jean Piaget

Jean William Fritz Piaget (1896-1980) indica que el aprendizaje es una reorganización de estructuras cognitivas consecuencia de procesos adaptativos al medio, asimilación de la experiencia y acomodación de las mismas.

Piaget sugiere que nuestro desarrollo genético nos permite a partir de los 12 años, comprobar hipótesis mentalmente, y que adquirimos destrezas que se relacionan con procesos de pensamiento frecuentes en la ciencia.

- Características funcionales: son los enfoques y estrategias para abordar los problemas y tareas.- Características estructurales: son estructuras lógicas, sirven para formalizar el pensamiento de los sujetos.

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Marco teórico¿Qué es la educación por competencias?

Fue creada originalmente como una solución a la crisis económica, donde se requería que los estudiantes estuvieran capacitados para el trabajo, sin embargo el concepto fue evolucionando hasta llegar a la conclusión de que en toda las ciencias se tenía que capacitar al estudiante en tres tipos de aprendizaje:• Aprender a conocer.• Aprender a hacer.• Aprender a ser.En matemáticas de educación secundaria, son requeridas además, cuatro competencias específicas:• Resolver problemas de manera autónoma.• Comunicar información matemática.• Validar procedimientos y resultados.• Manejar técnicas eficientemente.

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Marco teórico¿Qué es creatividad?

Por creatividad se entiende a la facultad que alguien tiene para crear. Es la generación de nuevas ideas o conceptos, o de nuevas asociaciones entre ideas y conceptos conocidos, que habitualmente producen soluciones originales.

También se conoce como capacidad de inventiva, pensamiento original, pensamiento divergente o imaginación constructiva.

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Marco teórico

“No tenía imaginación suficiente para ser matemático”

David Hilbert (1862-1943) Después de que un estudiante suyo abandonara la carrera de matemáticas para convertirse en poeta.

La imaginación en clase de matemáticas necesita ser cultivada. El sentido común también. Imaginación y sentido común no son facultades innatas y además interesa su estimulación, en nuestro caso, en la dirección adecuada: la de la creatividad matemática. (Claudi Alsina)

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Marco teórico¿Cómo influye la imaginación en el aprendizaje de las matemáticas?

Gran parte de la intuición matemática reposa sobre visualizaciones mentales de objetos matemáticos (figuras, movimientos, gráficos,…). La imaginación puede estimularse dando importancia a las visualizaciones en clase (Alsina y Nelsen, 2006).

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Marco teórico¿Cuál es la diferencia entre ver y visualizar en matemáticas?Lo propio de la visión es permitir una aprehensión simultánea, inmediata y directa de todo lo que es accesible en el campo de la percepción. La aprehensión visual es simultánea: eso da la posibilidad de entender juntos y en un único acto los múltiples elementos del campo perceptivo así como sus relaciones.Sin embargo, la visión es sometida a una doble limitación. En primer lugar, una limitación de perspectiva: la visión es siempre relativa a un punto de vista, determinado por la posición del que observa, de suerte que los objetos vistos no estén bajo un solo aspecto.(Duval)

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Marco teórico¿Cuál es la diferencia entre ver y visualizar en matemáticas?

En primer lugar, la visualización es una representación que, a diferencia de la percepción, no se desarrolla en el espacio real en 3D sino que se proyecta sobre una superficie en 2D (roca, papel, pantalla electrónica...). Ciertamente, se pueden visualizar los sólidos, o visualizar la profundidad propia a la percepción visual. Pero esta representación es una visualización 3D/2D, y no una maqueta 3D/3D como un poliedro construido a partir de un patrón de papel o en cualquier otro material.(Duval)

La visualización matemática por excelencia corresponde a la geometría.Lo propio de la visualización es producir una representación que da lugar a una aprehensión simultánea y casi inmediata, pero sin que esta representación constituya una aprehensión de los objetos representados.

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Marco teórico¿Qué es el aprendizaje significativo?

Ausubel (1918-2008) plantea que el aprendizaje significativo del alumno depende de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del conocimiento, así como su organización.

El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información "se conecta" con un concepto relevante ("subsunsor") pre existente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras.

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Marco teórico¿Por qué la geometría es útil para desarrollar el aprendizaje significativo y las competencias matemáticas?

El estudio de la geometría ha sido tradicionalmente incluido en los currículos escolares no solo por su utilidad práctica, sino además por ser un eficaz medio para que los estudiantes aprendan a razonar, a deducir, a la vez que entiendan el método axiomático con que la matemática opera. “La geometría ofrece una oportunidad para que los estudiantes experimenten en cuanto a las interrelaciones creativas entre las matemáticas y el arte” (Fundación polar, Matemática para todos)

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Marco teórico¿Qué estudia la geometría?

En la vida cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones físicas de esos objetos ideales de los que se ocupa la Geometría, siendo muchas y variadas las aplicaciones de esta parte de las matemáticas. Una de las principales fuentes de estos objetos físicos que evocan figuras y cuerpos geométricos está en la propia Naturaleza. Multitud de elementos naturales de distinta especie comparten la misma forma, como ocurre con las formas en espiral (conchas marina, caracoles, galaxias, hojas de los helechos, disposición de las semillas del girasol, etc.).

La Geometría estudia las formas y propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos planos y en el espacio.

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Marco teórico¿Qué estudia la geometría?

La Naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un número reducido de formas parecidas, y parece que tuviese predilección por las formas serpenteantes, las espirales y las uniones de 120º. Pensemos en la disposición hexagonal perfecta de las celdillas de los panales de las abejas, siendo su interior poliedros que recubren el espacio, como el rombododecaedro.

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Marco teórico¿Qué estudia la geometría?El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes ideales que obtiene de la observación de la Naturaleza: realiza objetos de cerámica, dibujos, edificios y los más diversos utensilios proyectando en ellos las figuras geométricas que ha perfeccionado en la mente.El entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo de la Geometría. Así desde la construcción de viviendas o monumentos funerarios hasta templos de los más diversos estilos han impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geométricas.

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Marco teórico¿Qué estudia la geometría?Muchas profesiones, además de los matemáticos, arquitectos e ingenieros necesitan y usan la Geometría: albañiles, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados de latón, tejedores de alfombras, bordadoras, encajes de bolillos, etc.), decoradores, coreógrafos, diseñadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma más o menos consciente, utilizan el espacio y las formas geométricas.

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Marco teórico¿Qué es la etnomatemática?El termino hace referencia a las diferentes formas de matemática que son propias de grupos culturales.La etnomatemática crea un puente entre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras culturas.

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Marco teórico¿Qué es y por qué es importante la simetría?

Dentro de la geometría, un concepto relevante es la simetría, que en su sentido más general podría definirse como la armonía resultante de ciertas posiciones de los elementos que constituyen un conjunto.

Si bien ésta define o genera armonía y belleza estética, “el arte, en sus variadas manifestaciones, hace uso de la simetría con el fin de lograr belleza, equilibrio y la armonía de los elementos que utiliza” (MJOCH, 2000)

Los patrones del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser bellos; las ideas como los colores o las palabras, deben encajar juntos de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas. (Godfrey H. Hardy, 1940).

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La simetría en su concepción geométrica se estudia por medio de la teoría de grupos, específicamente con el denominado grupo de los movimientos rígidos del plano cuyo objeto es el de determinar estos movimientos rígidos que dejan invariante a una figura del plano. (MJOCH, 2000).

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La simetría se puede clasificar, por ejemplo, como simetría bilateral, cíclica, diedral y de recubrimiento del plano.

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AntecedentesModelo de Van Hiele para Didáctica de la Geometría

El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde se desarrolla la teoría se titula “Structure and Insight”.

La idea básica de partida, dicho de forma sencilla y rápida, es que “el aprendizaje de la Geometría se hace pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento”, “que no van asociados a la edad” y “que sólo alcanzado un nivel se puede pasar al siguiente”.

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AntecedentesModelo de Van Hiele para Didáctica de la GeometríaEs más, se señala que cualquier persona, y ante un nuevo contenido geométrico a aprender, “pasa por todos esos niveles y, su mayor o menor dominio de la Geometría, influirá en que lo haga más o menos rápidamente”.

En el libro, señalado anteriormente, Van Hiele concreta que “alcanzar un nivel superior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos objetos”

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Antecedentes¿Cuáles son los niveles del modelo Van Hiele?

Los Van Hiele de acuerdo a su experiencia, señalaron que en la base del aprendizaje de la Geometría, hay dos elementos importantes “el lenguaje utilizado” y “la significatividad de los contenidos”.Lo primero implica que los niveles, y su adquisición, van muy unidos al dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo, que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a nivel de su razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles un contenido matemático nuevo.

Los niveles son cinco y se suelen nombrar con los números del 1 al 5, sin embargo, es más utilizada la notación del 0 al 4. Estos niveles se denominan de la siguiente manera:

NIVEL 0: Visualización o reconocimientoNIVEL 1: AnálisisNIVEL 2: Ordenación o clasificaciónNIVEL 3: Deducción formalNIVEL 4: Rigor

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Metodología¿Qué es enseñar y qué es educar?

Enseñar es una palabra proveniente del latín insignare, compuesta de “in: en” y “signare: señal”, lo que implica brindar una orientación sobre qué camino seguir. La RAE también lo define como instruir, doctrinar, amaestrar con reglas o preceptos.

El origen etimológico de la palabra “educar” proviene de los vocablos en latín “ex: sacar” y “ducere: encaminar o guiar”. La palabra hace referencia a desarrollar o perfeccionar las facultades intelectuales y morales de una persona, o bien, de “sacar el potencial”.

Esta metodología pretende “enseñar” al estudiante algunos conceptos, pero sobre todo, “educarlo” para que aproveche su imaginación y creatividad para matematizar su entorno.

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MetodologíaDatos generales

Grado: SecundariaNúmero de sesiones: 2Duración de cada sesión: 45 minutosDescripción breve: Los alumnos realizarán actividades lúdicas para aprender significativamente el concepto de punto, recta, plano, polígono, simetría, poliedro, patrón y teselaciones, reforzando además las competencias matemáticas necesarias en su nivel de estudios.Variables: Participación, orden y responsabilidad del grupo.

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MetodologíaDiagrama de trabajo de la metodología

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MetodologíaSesión 1:a) Indagación de conocimientos previos.

Objetivos de la actividad:Se busca que el estudiante esté consciente de su estructura cognitiva previa, para que pueda “conectar” los nuevos conceptos generando el aprendizaje significativo que sugiere Ausubel.Los alumnos empezarán a trabajar la competencia 3 “Comunicar información matemática”.Recordaran y concretaran la definición de punto, recta y plano.

Materiales necesarios:Computadora con Geogebra instalado y proyector.

Descripción de la actividad:Se maneja el nivel 0 del modelo Van Hiele, a través de una interacción discursiva profesor-alumno.

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:1.Profesor: ¿Cómo se llama lo que aparece en la pantalla?

1.Alumnos:-Es un punto.-Es una bolita.

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:2.Profesor: Es un punto, correcto. Y si agrego otros más, ¿Cómo diferencio uno de otro sin cambiar su tamaño o su color?

2.Alumnos:(Posiblemente tarden en responder o no lo hagan)-Por su posición

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:3.Profesor: Pero si agrego más puntos, entonces los que estaban hasta arriba podrían ya no estarlo, ni tampoco los que estaban más a la derecha. La forma más fácil para diferenciarlos es poniéndoles nombre. Hace aproximadamente 100 años antes de Cristo un hombre llamado Euclides ya nombraba a los puntos, y utilizaba letras para hacerlo, así como lo haremos ahora.

3.Alumnos:(Posiblemente tarden en responder o no lo hagan)-Por su posición

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:4.Profesor: ¿Qué figura empezaríamos a formar si juntamos todos estos pequeños puntos?

4.Alumnos:-Una línea de puntos-Una línea-Una recta

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:5.Profesor: Así es, es una línea, puede ser rectilínea o curvilínea, lo interesante es que justamente la definimos como una serie continua de puntos. Sin embargo, para tener una línea recta, o simplemente recta, basta con unir dos puntos… y observen que sucede si trato de disminuir el zoom en la pantalla…

5.Alumnos:-Los puntos se acercan-La recta se mueve (algún perdido)

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:Profesor: Bueno, parece que los puntos se acercan porque al disminuir el zoom, estoy disminuyendo el espacio entre ellos. Lo que es interesante es que aún cuando los puntos parezcan tan cercanos como ser uno solo, la línea recta permanece, y es porque se considera que una recta es infinita, es decir no tiene fin.

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:6. Profesor: Bien, las rectas también se nombran con letras, si una recta se intersecta con otra recta, ¿cuántos puntos en común tendrán?

6. Alumnos: ¡Uno!

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:7. Profesor: ¿Qué cambia cuando muevo esta recta L2?

7. Alumnos: -El tamaño-Están más juntas o más separadas-El ángulo

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:8. Profesor: No cambia el tamaño de las rectas porque no puedo medir las rectas, recuerden que son infinitas. Pero puedo medir la separación entre dos rectas, a esa separación le llamamos ángulo y al punto de intersección de las rectas que estoy midiendo le llamamos vértice. ¿Con qué instrumento medimos los ángulos actualmente?

8. Alumnos: -Transportador-Regla

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:9. Profesor: Los medimos con transportador. Las cosas que solemos ver y tocar son finitas, estas se forman con segmentos de rectas, y estos segmentos también debemos nombrarlos, por ejemplo, éste que tenemos aquí lo llamaríamos porque se forma con los puntos A y B. Ahora, dibujen esta recta en su cuaderno y escriban con la notación matemática los diferentes segmentos que ustedes puedan observar:

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:9. Profesor: Ahora observen el pizarrón y la pantalla que se proyecta sobre él, ¿Qué tipo de figura geométrica forma la pantalla?

9. Alumnos: Un rectángulo.

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:10. Profesor: Si dibujo las rectas que forman este rectángulo, ¿Cuántos segmentos, cuántos vértices y cuántos ángulos tendré?

10. Alumnos: cuatro segmentos, cuatro vértices y cuatro ángulos.

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MetodologíaSesión 1:b) Aplicación de conceptos previos para generar nuevos.

Objetivos de la actividad:Los alumnos aprenden el concepto de polígono y su clasificación.Trabajarán la competencia “Resolver problemas de manera autónoma”.

Materiales necesarios:Foami de colores.Tijeras.Pompones pequeños.Limpiapipas.Regla.Lápiz o marcadores.Silicón frío.

Descripción de la actividad:Se maneja el nivel 1 del modelo Van Hiele: experimentan con figuras para obtener nuevas propiedades.

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Desarrollo y resultados esperados de la actividad:

11. Profesor: Utilicen sus pompones como vértices y sus limpiapipas como segmentos, pueden recortarlos del tamaño que mejor les parezca, y únanlos, de a 2,3,4,5,6,7,8,9 y 10, hagan un dibujo en su cuaderno de cada una de las figuras que construyeron, anoten las medidas de sus lados, el número de vértices, el número de ángulos y el número de lados, dejen espacio para escribir el nombre de la figura, el cuál investigarán en casa y lo traerán mañana. La única regla es: No puedes pegar más de dos extremos de limpiapipas en cada pompón.

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12. Profesor: Lo que hemos hecho, es intersectar varias rectas, pero las hemos recortado en segmentos, observen que si yo intersecto tres o más rectas, quedan pequeñas áreas encerradas entre ellas, a éste espacio le llamamos “polígono”, ustedes han hecho varios polígonos, de los cuáles deberán investigar sus nombres.

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12. Profesor: ¿Alguno de ustedes formó polígonos con lados de la misma medida? A estos polígonos con lados congruentes, les llamamos polígonos regulares. Dibujaré aquí unos polígonos regulares. Díganme, ¿Cómo son los ángulos internos de los polígonos regulares?

12. Alumnos: Iguales.

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13. Profesor: ¿Recuerdan el concepto de simetría?13. Alumnos:-La posibilidad de dividir una figura en dos o más partes y que estas divisiones embonen unas con otras sin que existan diferencias entre ellas.-Es cuando tomas el eje medio de la figura y al partirla por ese eje los lados son idénticos cuando los pliegas.-Es algo que cuando doblas es igual.14. Profesor: Bien, ustedes recuerdan la simetría axial o bilateral, en la que comparamos dos figuras respecto a un línea, obtengan el eje de simetría de sus polígonos y dóblenlos de manera que tengan lados iguales, ¿Todos los polígonos tienen eje de simetría?14. Alumnos: ¡No!15. Profesor: ¿A qué podría deberse?15. Alumnos: Respuesta libre.

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Profesor: La simetría es una correspondencia de posición, forma y tamaño, pero no solamente respecto a una línea, puede ser respecto a un punto, y le llamamos simetría cíclica.

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Profesor: Y también puede ser respecto a un plano, tal como lo que haremos a continuación. Un plano, es un espacio únicamente de dos dimensiones, largo por ancho o base por altura, en los cuales puedes representar figuras de dos dimensiones, por ejemplo, el pizarrón representa un plano, en el cual se proyecta la imagen cuadrada y plana del proyector. Los polígonos que hemos creado también son planos. Pero podemos construir con ellos figuras en tres dimensiones. Las cuáles tendrán, longitud, espesor y altura.

Ahora vamos a crear una figura en tres dimensiones con triángulos regulares, utilicen 4 pompones y 6 pedazos iguales de limpiapipas, acomódenlos de tal manera que en cada pompón queden pegados 3 extremos de limpiapipas. Dibújenlo y anoten las medidas de sus lados, los cuales en estas figuras se llaman aristas, el número de vértices y el número de caras. Investiguen en casa el nombre de la figura.

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16. Profesor: Ahora utilicen 6 pompones y 12 limpiapipas del mismo tamaño pegando 4 extremos de limpiapipas en cada pompón. ¿Esta figura es simétrica?¿A partir de donde podríamos determinar su simetría?

16. Alumnos: Si es simétrica, si la partimos por el cuadrado tenemos dos figuras iguales.

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Profesor: En casa, realizarán una figura que tenga 12 vértices y 30 aristas, utilicen los materiales que se les haga más conveniente, mañana platicaremos sobre como lo construyeron, deben investigar el nombre de la figura y la información que les parezca interesante comentar.

FIN DE LA SESIÓN 1

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MetodologíaSesión 2:a) Exposición de icosaedros.

Objetivos de la actividad:Los estudiantes ponen a prueba el nivel 1 del modelo Van Hiele.Pondrán en práctica la “Comunicar información matemática” y “validar procedimientos y resultados”.Harán uso de la definición de recta, arista, punto, vértice, plano y simetría.

Materiales necesarios:Icosaedro de los alumnos.

Descripción de la actividad:El profesor seleccionará a algunos de sus estudiantes para explicar su trabajo, orientándolo a utilizar los conceptos vistos en la sesión anterior.

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MetodologíaSesión 2:b) Indagación de conceptos previos.

Objetivos de la actividad:Se busca que el estudiante esté consciente de su estructura cognitiva previa, para que pueda “conectar” los nuevos conceptos generando el aprendizaje significativo que sugiere Ausubel.Recordaran y concretaran la definición de ángulos internos y ángulos externos.

Materiales necesarios:Computadora con geogebra instalado y proyector.

Descripción de la actividad:El profesor ayudará a concretar las definiciones de ángulos internos y ángulos externos a través de una interacción discursiva profesor-alumno.

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1. Profesor: ¿Recuerdan el concepto de ángulo?1.Alumnos:-Es la separación entre dos rectas-Es la separación de dos líneas que se cruzan.-Es la medida de la apertura de dos líneas que se cruzan.

2. Profesor: Correcto, un ángulo es la porción que se encuentra limitada por dos rectas que tienen un punto en común, pero también puede estar limitada por dos planos, como el piso y la pared, que forman un ángulo recto. ¿Recuerdan cuánto mide un ángulo recto?2.Alumnos:-No-90°

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3. Profesor: Pero imaginemos que tenemos estas dos semi-rectas, (se llaman semirectas porque tienen un punto de inicio y no un punto final). Ambas comparten el punto de intersección o vértice el cuál es su punto inicial. ¿Cuáles son los ángulos diferentes que puedo medir?

3. Alumnos: Respuesta libre.

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4. Profesor: Tengo dos ángulos diferentes, uno que puedo medir desde L1 a L2 y otro que puedo medir de L2 a L1. ¿Esto para qué me sirve?

4. Alumnos: Respuesta libre.

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Profesor: Los ángulos internos y externos también se encuentran en los polígonos, y hace más de 2000 años que se utiliza con finalidades ornamentales. Un gran ejemplo es la ciudad Alhambra situada en Granada, España.

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Profesor: Si observan bien, en la imagen tenemos figuras que se repiten y que además son simétricas, generando simetría también al repetirse, a esto le llamamos patrones, y los patrones están presentes en la naturaleza.

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Profesor: Si observan bien, en la imagen tenemos figuras que se repiten y que además son simétricas, generando simetría también al repetirse, a esto le llamamos patrones, y los patrones están presentes en la naturaleza.

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MetodologíaSesión 2:c) Aplicación de patrones en el plano.

Objetivos de la actividad:Los estudiantes aplican el concepto de recubrimiento del plano.Desarrollan la competencia matemática “Manejar técnicas eficientemente”.Ponen en práctica el nivel 1 del modelo de Van Hiele.

Materiales necesarios:Foami de colores.Cartulina de 20cmx20cm.Pegamento.Tijeras y regla.

Descripción de la actividad:El profesor divide al grupo en parejas y otorga a cada una un triángulo y un cuadrado con lados de la misma medida, indicando que deben reproducir las figuaras el número de veces que deseen para cubrir un plano de entre 15cmx15cm y 20cmx20cm.

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5. Profesor: ¿Cómo podría saber qué figuras combinar para cubrir el plano?5. Alumnos: Respuesta libre.Profesor: Podemos partir del hecho de que un punto está rodeado de 360°, y hay que agregar polígonos cuyos ángulos internos sumen 360°. Aquí algunos ejemplos.

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Profesor: Cundo un polígono no cubre el plano, suele combinarse con otros polígonos para conseguirlo.

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Profesor: A continuación les entregaré una muestra de un triángulo y un cuadrado con las mismas dimensiones de sus lados, ustedes deberán reproducir tantos como deseen para cubrir su cartulina, pueden hacerlo de 15cmx15cm o de 20cmx20cm.

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MetodologíaSesión 2:d) Aplicación de patrones en tres dimensiones.

Objetivos de la actividad:Los estudiantes desarrollan la competencia matemática “Manejar técnicas eficientemente”.Ponen en práctica el nivel 1 del modelo de Van Hiele.

Materiales necesarios:Foami de colores..Tijeras y regla.

Descripción de la actividad:El profesor divide al grupo en parejas y otorga a cada uno un patrón para que ellos lo reproduzcan en foami y utilicen su imaginación para crear una figura geométrica.

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MetodologíaSesión 2:d) Aplicación de patrones en tres dimensiones.


Profesor: A continuación les entregaré una pieza que ustedes deberán reproducir y pensar en qué pueden formar con ellas.

FIN DE LA SESIÓN 2

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Resultados esperadosLos alumnos desarrollarán un aprendizaje significativo ya que durante la metodología se ha buscado concretar los conocimientos previos para posteriormente enlazarlos con nuevos conocimientos.

Se consigue abarcar las cuatro competencias de nivel secundaria sugeridas por la SEP, a través de las construcciones geométricas.

Los estudiantes se divierten y expresan su creatividad e imaginación.

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Conclusiones

La metodología sugerida está fuertemente basada en el aprendizaje significativo sugerido por Ausubel, y se ha buscado ubicar las actividades en los niveles del modelo Van Hiele, sin embargo, no hemos pasado del nivel 2, debido a que en esta actividad no se le solicita a los estudiantes generar demostraciones geométricas formales.

También se ha incluido un apartado en el que lo estudiantes pueden observar la aplicación de los patrones en la vida real, mostrando como las matemáticas forman parte de una actividad humana, tal como lo sugiere Freudenthal.

Se han reconocido las cuatro competencias sugeridas por la SEP para educación secundaria, y forman parte de los objetivos de cada actividad para que el profesor esté consceinte de cuál es el resultado esperado en cada actividad.

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Fuentes de información• Alsina, C. (2007). Educación matemática e imaginación. Unión, 9-17.• Ana María Bressan, M. F. (2011). La educación matemática realista, bases teóricas. Congreso Nacional de

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Propuesta didáctica para el aprendizaje de conceptos de geometría.

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