Propuesta Didáctica Para Abordar La Función Cuadrática y Su Relación Con La Física

8/16/2019 Propuesta Didáctica Para Abordar La Función Cuadrática y Su Relación Con La Física

1/16

ISFD N°17

FISICA - TRABAJO GRUPAL

Profesorado de matemática

Profesor José Urretabizkaya

Alumnos

Franco Curone

Emiliano Elías

Mauricio Déramo

Matias Aranda

Año 4to

Consigna del trabajo

● A partir de un objeto matemático a enseñar en el ciclo superior de la educación

secundaria generar una propuesta en base a una actividad o problema que

responda a dicho objeto y vincularlo con un problema de la Física.

● Se deberán atender a los factores: epistemológicos. del objeto a enseñar

psicológicos respecto del grupo de estudiantes y didácticos atendiendo a la

metodología empleada.

● Se deberán establecer propósitos y objetivos de dicha actividad.


2/16

Curone F. - Elías E. - Déramo M. - Aranda M.

Presentación

Con el objetivo de empezar a construir el concepto de función cuadrática, su

gráfica y sus distintas expresiones nos disponemos a generar un problema

intramatemático que pueda favorecer a la exploración del objeto elegido.

Luego pretendemos vincular el proceso con un problema de cinemática basado

en el movimiento ascendente y descendente en caída libre.

El contenido matemático citado corresponde al 4°año de la escuela secundaria, y

pertenece al eje de “Algebra y estudio de funciones” de nuestro Diseño

curricular. El movimiento ascendente y descendente en caída libre es un

contenido de Física de 6° año de la escuela secundaria.

Fundamentación

Las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la ciencia, la economía,

la ingeniería, entre otras. Sus gráficas, las parábolas, pueden describir

trayectorias de chorros de agua en una fuente, de una pelota, pueden ser

incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de

los platos satelitales, en faros de los automóviles, etc. También ayudan a

predecir ganancias y pérdidas en la economía de las empresas y asistir en la

determinación de valores máximos y mínimos. Muchos de los objetos que

usamos hoy en día, desde los automóviles hasta los relojes, no existirían si

alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su

diseño.En el movimiento ascendente y descendente en caída, la posición respecto al

tiempo de una partícula que es lanzada, verticalmente, hacia arriba y luego cae

libremente, puede describirse por una función cuadrática, y es por ello que

elegimos un problema de la física como aplicación del objeto matemático que se

desea construir.

Vamos a imaginar un curso de estudiantes, haciendo las siguientes suposiciones

sobre el grupo:

● Han trabajado en el ciclo básico con el concepto de función y con

funciones lineales.● Han visto, durante el ciclo actual: Polinomios. Operaciones. Factorización.

en el eje temático de Algebra y funciones.

● Conocen el programa Geogebra y lo trabajan con asiduidad.

Respecto a lo metodológico, se pretende un trabajo de exploración y resolución

grupal con dos problemas o instancias de base, donde el profesor realice

intervenciones tanto en el interior de cada grupo como con la clase en general.

Objetivos

● Explorar el objeto función cuadrática y su gráfica.

1


3/16


● Construir la relación entre los parámetros de la función y la abscisa del

vértice.

● Vincular dicha construcción con el movimiento ascendente y descendente

en caída libre.

¿Qué es necesario conocer sobre la función cuadrática?

❖ Su definición

❖ Sus distintas expresiones y gráficas según el valor de los parámetros.

❖ La concavidad de su gráfica.

❖ Su vértice y eje de simetría.

❖ El punto de intersección de su gráfica con el eje de las ordenadas.

Obtención analítica del mismo.

❖ Las posibles intersecciones de su gráfica con el eje de las abscisas.

Obtención analítica de los mismos. Fórmula de Bhaskara.

❖ Su forma polinómica, factorizada y canónica.

Teoría aportada

Llamamos función cuadrática a aquella que verifica:

( x) ax x f = 2 + b + c

donde a, b y c son números reales, llamados parámetros de la función, con la

condición de que =a / 0

El dominio de la función cuadrática son los números reales.

Si , Dom f( x) x x f = a 2 + b + c ∈ ℜ

Según sus parámetros la función cuadrática será:

Para b y c f ( x) x = 0 = 0 = a 2

Para b y c = f ( x) x = 0 / 0 = a 2 + c

Para = y c f ( x) x x b / 0 = 0 = a 2 + b

Importante!! No confundir los parámetros a, b, c con las variables. Cuando se

dice que el dominio de la función cuadrática son los números reales tiene que

ver con los valores que puede tomar la variable x. Los parámetros son valores

2


4/16


fijos para cada función y pueden ser cualquier número real. Luego, en cada una

de esas funciones, x podrá variar admitiendo todo número real.

Dada la función cuadrática con parámetros . La función será , b , y c a = 1 = 0 = 0

.( x) f = x2

Realizamos primero una tabla de valores para ésta función cuadrática y

marcamos los pares ordenados obtenidos en un sistema de coordenadas

cartesianas.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

= y x2 9 4 1 0 1 4 9

❖ La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

❖ El punto donde la parábola, que representa a la función, alcanza un valor

mínimo o máximo se denomina vértice de la parábola.

❖ En general, se llama eje de simetría a una recta de referencia imaginaria

que al dividir una forma cualquiera en dos partes, sus puntos opuestos

son equidistantes a dicha recta, es decir, son simétricos.

❖La recta perpendicular al eje de las abscisas que pasa por el vértice de la parábola es el eje de simetría de la parábola.

3


5/16


PROBLEMA 1

Parte a

Encontrar cuatro funciones cuadráticas cuyas gráficas reúnan las

siguientes condiciones:

a. Sus vértices deben ser distintos y pertenecer al primer cuadrante.

b. Todas deben tener el mismo eje de simetría.

c. Todas deben intersectar el eje x en los mismos dos puntos.

d. Todas deben pasar por el origen de coordenadas.

Describir los caminos de resolución estableciendo posibles conclusiones.

El principal objetivo del problema no está en su solución, sino en la exploración

por tanteo del comportamiento de la gráfica, atendiendo al valor de sus

parámetros. Luego se guiará a los estudiantes para construir la relación de la

abscisa del vértice .− b2a

Se puede sugerir, en el caso de la prueba gráfica de funciones, la utilización de una

tabla como la siguiente.

( x) x f = 2 1 0 0 (0,0) (0,0) x = 0 (0,0)

( x) x g = 2 2 2 0 0 (0,0) (0,0) x = 0 (0,0)

( x) /2 x h = 1 2 2

1 0 0 (0,0) (0,0) x = 0 (0,0)

( x) −l = x2 -1 0 0 (0,0) (0,0) x = 0 (0,0)

( x) − f = x2 + 1 -1 0 1 (-1,0);(1,0) (0, 1) x = 0 (0,1)

( x) − g = x2 − 1 -1 0 -1 …………..

.

(0,-1) x = 0 (0,-1)

( x) − f = x2 + x -1 1 0 (0,0); (1,0) (0,0) x =2

1 ( , )2

1

4

1

( x) − g = x2 − x -1 -1 0 (0,0);(-1,0) (0,0) x = -2

1 (- ,-2

1

4

1

4


6/16


( x) − x f = x2 + 2 -1 2 0 (0,0); (2,0) (0,0) x = 1 (1,1)

Un posible camino de resolución sería graficar funciones en Geogebra e ir

observando qué sucede con las gráficas al modificar los parámetros.

Es importante hacer hincapié en que los valores de los parámetros son números

reales.

Al graficar la primera función ( en nuestro caso ) podría costar identificar ( x) f = x2

el eje de simetría y el vértice.

En este caso, sería oportuno realizar una construcción como la siguiente:

Marcamos un punto P por el cual podamos trazar la recta r // al eje x que corte

a la gráfica en los puntos A y B. Estos puntos son opuestos, de manera que

equidistan del eje de simetría. Entonces con la opción punto medio entre A y B

obtenemos C. La recta // al eje y que pasa por C es el eje de simetría buscado

(en nuestro caso es el eje y). Luego la intersección de este eje con la gráfica de

la función es el vértice buscado ( sus coordenadas se observarán en la vista

algebraica)

Esto podrá ser utilizado en las siguientes funciones graficadas.

Los siguientes gráficos muestran a las funciones f(x), g(x) y h(x) juntas, de

manera que se pueden sacar algunas conclusiones gráficas sobre funciones del

tipo respecto al parámetro .( x) x f = a 2

a

Cuanto más se acerque a cero el parámetro , las ramas de la parábola se a

abren respecto al eje de simetría. Por el contrario, cuanto más se aleje del a

valor cero, las ramas de la parábola se cierran respecto del eje de simetría.

Sin embargo ninguna de estas funciones satisfacen las consignas establecidas en

el problema.

5


7/16


La función

muestra que para

,la gráfica es una curva que tiene ( x) −l = x2

a < 0 concavidad hacia abajo.

Se puede seguir graficando funciones cuadráticas de la forma .( x) x f = a 2 + c

Sin embargo las dos funciones anteriores siguen sin cumplir con las consignas

pedidas.

Al graficar funciones de la forma obtenemos:( x) x x f = a 2 + b

6


8/16


Aquí sí, vemos que la función reúne las consignas pedidas, es decir, ( x) − f = x2 + x

pasa por el origen y su vértice pertenece al primer cuadrante. Solo quedaría

encontrar otras tres funciones cumplan estas condiciones pero además tengan el

mismo eje de simetría y distinto vértice.

Notamos que a pesar de graficar funciones usando Geogebra, la resolución

resulta engorrosa. Es por ello que otro posible camino es el uso de deslizadores.

Para ello empezamos graficando una función cuadrática de la forma

y aplicamos un deslizador para cada uno de sus parámetros:( x) x x f = a 2 + b + c

A partir del movimiento de los parámetros y con la ayuda de la vista algebraica

podemos ir observando el comportamiento de la función y su gráfica hasta

encontrar el tipo de función pedida.

7


9/16


Figura 1

Figura 2

En la figura 1 podemos observar como moviendo el parámetro a hasta un valor

negativo, la gráfica de la función se hace cóncava hacia abajo.

En la figura 2 establecemos una función que cumple con las condiciones pedidas.

En esta ., b y c a < 0 > 0 = 0

Ahora procederemos a encontrar otras tres funciones que reúnan las condiciones

pedidas, usando deslizadores.

8


10/16


Halladas las funciones pedidas podemos hacer un intento de establecer la

abscisa del vértice en la relación entre el parámetro a y b.

Describimos las funciones halladas de la siguiente manera:

( x) x f = − x2 + 2 ( x) x x f = −2

3 2 + 3 ( x) x x f = − 2 2 + 4 ( x) x x f = − 3 2 + 6

9


11/16


Como cada una de estas intersectan al eje x en los mismos puntos (0,0) y (2,0),

haciendo y=0 y resolviendo la ecuación tenemos que obtener dichos puntos.

x x − 2 2 + 4 = 0

………………………………… aplicando factor común(− x ) x 2 + 4 = 0 x

De aquí, para que esta igualdad se cumpla, x será 0 o 2. Obtenemos entonces

de manera analítica los puntos de intersección (0,0) y (2,0).

Aclaramos que todavía no se ha trabajado con la fórmula de Bhaskara. Con la

intención de favorecer a que los estudiantes entiendan la aplicación de dicha

fórmula en el caso de trabajar con funciones donde sus tres parámetros son

distintos de cero.

Ahora dijimos que la abscisa del vértice es el punto medio entre 0 y 2, entonces

dividimos 2 entre 2 y obtenemos 1.

Esto podemos hacerlo con las demás funciones, hecho que servirá para corroborar analíticamente lo obtenido en forma gráfica.

Intentando una generalización para funciones del tipo , podemos f ( x) x x = a 2 + b

plantear lo siguiente:

En una función de la forma con a < 0, obtenemos los puntos de f ( x) x x = a 2 + b

intersección con el eje x haciendo . Entonces:( x) f = y = 0

x x a 2 + b = 0

) = 0 …………………. Factor común(ax x + b x

Entonces, dicha ecuación será igual a cero si: ó a x x = 0 + b = 0

x a + b = 0

x −=ab

Los puntos de intersección con el eje x serán , 0)0, ) y (−( 0 ab

Sabemos que la abscisa del vértice es el punto medio entre , es y 0 − b a

decir -

y como en nuestro caso será -b2a a < 0

b2a

Como vemos esto es una generalización válida para este tipo de funciones

cuadráticas donde c=0. El hecho de que c sea cero nos permite abordar la

relación entre los parámetros a y b de la abscisa del vértice sin recurrir, en un

principio, a la forma canónica ni a la Fórmula de Bhaskara.

Entonces cuando trabajemos con la forma canónica y los tres parámetros a, b y

c, creemos, podrá ser más significativo después de la propuesta antes descrita.

Luego podemos proponer qué sucede con la relación encontrada según los

signos de los parámetros y corroborar los resultados gráficamente, como lo se

muestra en la siguiente tabla y gráfico.

10


12/16


a b abscisa del vértice

+ + -b/2a

+ - b/2a

- + -b/2a

- - b/2a

Movimiento ascendente y descendente en caída libre

El ejemplo más conocido de movimiento con aceleración (casi) constante es

la caída de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra.

Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o

menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, analizando lo que pasaría

en el vacío.

El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad.

En esas condiciones, la aceleración que adquiere el cuerpo sería debida

exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si

dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquieren la

misma aceleración g que es la aceleración de la gravedad.

Cuando un cuerpo cae en caída libre pero no parte del reposo porque tiene una

velocidad no nula, la trayectoria de caída no es una recta sino una curva

aproximadamente parabólica.

PARTE b

11

https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_la_gravedadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Airehttps://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_aerodin%C3%A1mica


13/16


La función representa la altura de un cuerpo en caída(t )h = h t gt 0

+ v0h − 2

1 2

libre respecto al tiempo donde:

es la altura inicial de referencia antes de dejarse caer o lanzarlo haciah0 :

arriba verticalmente.

: es la velocidad inicial .voh

es la aceleración debida a la gravedad. La misma es constante. g :

Con el item a. se busca que los estudiantes puedan establecer qué gráfica tieneel modelo cuadrático planteado y cómo establecer referencialmente la misma,pretendiendo que pueda vislumbrarse la noción de arbitrariedad respecto a laaplicación matemática en los fenómenos físicos.Para el item b, nos proponemos que para su resolución puedan establecer los

parámetros del modelo cuadrático dado y utilicen la relación de la abscisa− b2a

del vértice de la parábola que representa la función que será el tiempo en(t )h que la pelota alcanza la altura máxima.

12


14/16


Tenemos:

(t )h = h t gt 0 + v0h − 21 2

Siendo ; b − g a = v0h = 2

1

- : 2 ( )t m = v0h g − 21

t m = g v0h

Entonces, si la rapidez inicial es el doble tenemos

, entonces el tiempo en v2 0h

alcanzar la altura máxima será . Es decir que será igual a( )t m = 2 g v0h t .2

c. “Si la pelota es lanzada cuatro veces, bajo las mismas condiciones

anteriores, incrementando cada vez la rapidez inicial, las siguientes

gráficas describen la altura alcanzada respecto al tiempo”.

¿Es cierta la anterior afirmación?. Explicar ¿Por qué si? o ¿Por qué no?

13


15/16


Respuesta: La afirmación no es cierta porque al incrementar la rapidez inicial,

la pelota irá alcanzando mayores alturas máximas, pero el tiempo también se

incrementará de un lanzamiento al otro. Por ende, la familia de parábolas que

describen la altura respecto al tiempo no tendrán el mismo eje de simetría.

Las siguientes parábolas si describirían los sucesivos lanzamientos de la pelota.

Bibliografía

● Actividades clave matemática III - Marina E. Andrés; Pablo J. Kaczor; Marina

Celina Latorre; Gustavo E. Piñeiro; Gisela B. Serrano - (2012) - Ed. Estrada - Bs.

As. Argentina.

● Diseño curricular para la educación secundaria 3°año Matemática - Coord.

Claudia Bracchi; Marina Paulozzo; Matemática: Prof. Dora Guil; Prof. Ernesto

Maqueda; Prof. Julio Brisuela; Prof. Silvia Rodríguez - (2009) - Dirección General

de Cultura y Educación de la Provincia de Bs. As. - La Plata, Bs. As., Argentina.

● Diseño curricular para la educación secundaria Matemática Ciclo Superior

4°año -

Coord. Claudia Bracchi; Marina Paulozzo; Matemática: Prof. Silvia

Rodríguez; Prof. Rosario Alonso - (2010) - Dirección General de Cultura y

Educación de la Provincia de Bs. As. - La Plata, Bs. As., Argentina.● Diseño curricular para la educación secundaria Física clásica y moderna

6°año. Orientación Ciencias Naturales - Dirección General de Cultura y

Educación de la Provincia de Bs. As. - La Plata, Bs. As., Argentina.

● Educar

http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=14923&referente=docentes

● Funciones elementales para construir modelos matemáticos - Mónica

Bocco - (2010) - Colección de las ciencias naturales y la matemática - Bs. As.,

Argentina.

● Huellas Matemática 4° E.S. - Fernando Chorny; Pablo Casares; Claudio

Salpetor; Coord. Nora Legoburu; Ruth Schaposchnik - (2014) Ed. Estrada. - Bs.

As., Argentina.

14

http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=14923&referente=docentes


16/16


15

Propuesta Didáctica Para Abordar La Función Cuadrática y Su Relación Con La Física

Documents

Transcript of Propuesta Didáctica Para Abordar La Función Cuadrática y Su Relación Con La Física