Proposiciones abiertas

Definicin.

Una frase declarativa es una proposicin abierta si a) contiene una o ms variables, b) no es unaproposicin, pero c) se convierte en una proposicin cuando las variables que aparecen en ella sereemplazan por ciertas opciones permisibles (el universo de discurso).

Las proposiciones abiertas se denotan como letras minsculas seguidas de sus variables entre parntesis,por ejemplo p(x, y), que contiene dos variables.

Clase 9 Lgica: cuantificadores 1 / 6

Cuantificadores

Definiciones.

Cuantificador existencial. Se encuentra en las frases como para algn x. Simblicamente serepresenta como x.

Cuantificador universal. Se encuentra en las frases como para todo x. Simblicamente se representacomo x.

Debemos notar que si tenemos una proposicin p(x), con un universo no vaco, entoncesx p(x) x p(x).

Clase 9 Lgica: cuantificadores 2 / 6

Valor de verdad de proposiciones cuantificadas

x p(x)

Es verdadera cuando para al menos un a del universo, p(a) es verdadera. Es falsa cuando para cada a del universo, p(a) es falsa.

x p(x)

Es verdadera cuando para cada a del universo, p(a) es verdadera. Es falsa cuando existe al menos un a del universo para el cual p(a) es falsa.

x p(x)

Es verdadera cuando para al menos un a del universo, p(a) es falsa. Es falsa cuando para cada a del universo, p(a) es verdadera.

x p(x)

Es verdadera cuando para cada a del universo, p(a) es falsa. Es falsa cuando existe al menos un a del universo para el cual p(a) es verdadera.

Clase 9 Lgica: cuantificadores 3 / 6

1

Equivalencia e implicacin lgica con cuantificadores

Definicin.

Sean p(x), q(x) proposiciones abiertas definidas para un universo dado.

Las proposiciones p(x) y q(x) son equivalentes, y escribimos x [p(x) q(x)], cuando la bicondicionalp(a) q(a) es verdadera para cada reemplazo a del universo dado.

Si la implicacin p(a) q(a) es verdadera para cada a del universo, entonces escribimosx [p(x) q(x)] y decimos que p(x) implica lgicamente a q(x).

Clase 9 Lgica: cuantificadores 4 / 6

Algunas equivalencias para proposiciones abiertas

Teoremas.

Para un universo dado y cualesquiera proposiciones abiertas p(x), q(x) en la variable x,

x [p(x) q(x)] [x p(x) x q(x)]x [p(x) q(x)] [x p(x) x q(x)]x [p(x) q(x)] [x p(x) x q(x)][x p(x) x q(x)] x [p(x) q(x)]

Reglas de negacin de proposiciones cuantificadas.

[x p(x)] x p(x)[x p(x)] x p(x)[x p(x)] x p(x)[x p(x)] x p(x)

Clase 9 Lgica: cuantificadores 5 / 6

Definiciones y teoremas

En las definiciones matemticas es frecuente encontrar implicaciones que en realidad deben interpretarsecomo bicondicionales. Es importante tener sumo cuidado de dejar siempre claro el uso de bicondicionalesen textos cientficos, salvo este notable caso.

Llamamos teoremas a proposiciones de inters matemtico, que se sabe son verdaderas (puedendemostrarse). Regularmente, se usa el trmino teorema para resultados importantes, que pueden tenermltiples consecuencias. A tales consecuencias se les llama corolarios.

Clase 9 Lgica: cuantificadores 6 / 6

2

Proposiciones abiertasCuantificadoresValor de verdad de proposiciones cuantificadasEquivalencia e implicacin lgica con cuantificadoresAlgunas equivalencias para proposiciones abiertasDefiniciones y teoremas