MatemáticasProporciones y números

Mg. Roger Mestas Chávez

Arquitectura

Marzo, 2015

Las proporciones en la arquitectura

Recordemos que, la razón es la estructura de la forma: ab , donde a

se llamará antecedente de la razón y b consecuente.

Continuación . . .

En seguida, es necesario precisar que entendemos en Matemáticaspor proporción.

DefiniciónLlamaremos proporción a la igualdad de dos razones: a

b = cd ,

donde a, b, c, d son números reales positivos no nulos.

Continuación . . .

A continuación, citamos tres ejemplos dados por Vitruvio (citadopor Balmiki): La proporción de los Templos, era de modo que,tenían que tener de largo el doble de ancho . . ., la proporción quedeben tener la arena con la cal para que la mezcla sea buena estres partes de arena cava, o dos de rió o de mar por una de cal . . ..Refiriéndose al ancho de las gradas, nos dice: ha de ser proporcionala su altura y esta proporción debe ser de tres a cuatro; de modoque si las gradas tienen seis pulgadas de altura, que es tres vecesdos, tengan ocho de ancho, que es cuatro veces dos, según laproporción del triángulo rectángulo inventado por Pitágoras.

Continuación . . .

Por ejemplo, si consideramos cuatro segmentos y asociamos a cadauno de ellos su longitud, diremos que los cuatro segmentos sonproporcionales si y sólo si al tomar sus longitudes de dos en dos seobtiene, en algún caso, una proporción.

EjemploLos lados de un cuadrado son proporcionales, pues el cociente delas longitudes de dos lados cualesquiera es siempre 1.

Continuación . . .

EjemploLos lados de un rectángulo son proporcionales, pues al considerarla razón entre las longitudes de los lados que se miden igual seobtiene 1.

Continuación . . .

DefiniciónDiremos que dos rectángulos son semejantes o tienen la mismaforma si sus lados correspondientes (lado de R1 con lado de R2 yancho de R1 con ancho de R2) son proporcionales.

Continuación . . .

EjemploConsideremos los rectángulos R1 y R2:

tales que:

largo R2largo R1

=ancho R2ancho R1

= 2.

En este caso, los rectángulos R1 y R2 tienen lados proporcionales,de donde los rectángulos tienen la misma forma.

Continuación . . .

EjemploLos rectángulos que se muestran a continuación no tienen lamisma forma:

Una vez que,

largo S2largo S1

6= ancho S2ancho S1

.

Clasificar figuras

A continuación, veamos cómo la proporción (igualdad decocientes) permite reconocer o clasificar figuras:

DefiniciónLlamaremos figura al dibujo formado por un conjunto desegmentos colocados uno a continuación de otro, de manera talque el extremo inicial del primer segmento coincida con el extremofinal del último. Cada segmento se llama lado.

Igualdad de formas para figuras

Inmediatamente, se plantea una definición de igualdad de formaspara figuras planas que extiende la definición vista para rectángulos

DefiniciónDiremos que dos figuras tienen la misma forma si y sólo si:

Ambas figuras tienen el mismo número de lados.Es posible definir una correspondencia entre los lados de lasdos figuras de modo que:

El ángulo definido por cada par de lados consecutivos escongruente al ángulo definido por los lados correspondientes.Los cocientes de los lados correspondientes son iguales.

Continuación . . .

EjemploEl siguiente ejemplo muestra que no es suficiente que los ladoscorrespondientes de dos figuras sean proporcionales para decir quetienen la misma forma.

Continuación . . .

En Matemáticas, el estudio de la igualdad de formas de figurascorresponde a la definición de homotecia: una homotecia es unatransformación geométrica que, a partir de un punto fijo,multiplica todas las distancias (del punto a los extremos de lafigura) por un mismo factor.Se prueba que la definición de homotecia y la definición deigualdad de formas son equivalentes.

Continuación . . .

EjemploLas figuras F y F ′ tienen la misma forma.

Continuación . . .

EjemploLas siguientes figuras no tienen la misma forma, pues no tienen elmismo número de lados.

Triángulos

DefiniciónSe llama triángulo a aquella figura geométrica que resulta de lareunión de tres segmentos de recta unidos por sus extremos aquienes se les denomina vértices y a los segmentos se le denominalados del triángulo.

Semejanza de triángulos. . .

DefiniciónDos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulosrespectivamente congruentes y los lados correspondientes uhomólogos proporcionales.

4ABC ∼ 4A′B ′C ′ ⇐⇒

∠A ∼= ∠A′

∠B ∼= ∠B ′ y∠C ∼= ∠C ′

aa′ =

bb′ =

cc ′=r

Casos o criterios de semejanza

Dos triángulos son semejantes si cumple uno de los siguientescasos:Caso AA (Ángulo-Ángulo). Dos triángulos son semejantes sitienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes.Caso LAL (Lado-Ángulo-Lado). Dos triángulos son semejantessi tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulocomprendido entre ellos congruente.Caso LLL (Lado-Lado-Lado). Dos triángulos son semejantes sitienen sus tres lados respectivamente proporcionales.