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En este documento se puede encontrar:

ÍNDICE

TEMA TEORÍA

(página)

EJERCICIOS

(página)

PROPORCIONALIDAD /

MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 -

REGLA DE TRES SIMPLE 2 6

REGLA DE TRES COMPUESTA 3 10

REPARTOS PROPORCIONALES 5 19

PORCENTAJES 5

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PROPORCIONALIDAD

RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de

los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b

a.

PROPORCIÓN: es la igualdad de dos razones. Así, por ejemplo: b

a= d

c. Ejemplo:

10

6

5

3 .

La proporción se compone de 4 términos, a, b, c y d, de los cuales a y d se llaman

extremos, mientras que b y c se llaman medios.

En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:

cbda . En el ejemplo anterior: 310 = 56

Como puedes comprobar, esta propiedad nos permitiría escribir la proporción de

diferentes modos, permutando los medios o los extremos entre sí:

10

6

5

3

10

5

6

3

3

6

5

10

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de

la segunda.

b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida

por el mismo número.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de

la segunda.

b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada

por el mismo número.

Son magnitudes directamente proporcionales, por ejemplo, el espacio recorrido por un

coche y el tiempo empleado (justo en el doble de tiempo habré recorrido el doble de

espacio); el dinero que tengo y la cantidad de un producto que puedo comprar

(exactamente con el triple de euros puedo comprar el triple de bombones); etc.

Mientras que como ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales, podríamos

encontrar el número de obreros y el tiempo necesario para realizar un trabajo (el doble

de obreros tardarán justo la mitad de tiempo); la velocidad de una coche y el tiempo que

tarda en hacer un trayecto (si reduce su velocidad a la mitad, tardará el doble de

tiempo); etc.

REGLA DE TRES: DIRECTA E INVERSA

Consiste en aplicar de un modo práctico la proporcionalidad, de forma que podamos

hallar cualquiera de los términos de una proporción, conociendo los otros tres. Vamos a

verlo con ejemplos:

1. Problema. Sabiendo que 5Kg de naranjas cuesta 3.50€, calcular el precio de 12kg.

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Primero de todo: ¿Es una proporción directa o inversa? Es directa, ya que 2Kg costarán

exactamente el doble que 1kg; más kilos, más dinero cuesta. Entonces:

5kg 3.50€

12kg x € multiplicamos en cruz1: 5 x = 12 3.5 5 x = 42

Sabemos cuánto vale 5 · x, que es 42; pero queremos saber cuánto vale x, es decir, los

euros que me cuestan 12kg de naranjas. 5 · x = 42 es una igualdad, o lo que es lo

mismo, tenemos un signo igual ( = ) entre dos términos, uno a la izquierda (5 · x ), y

otro a la derecha, que es 42. Queremos que la x quede sola a un lado del igual, en otras

palabras, pasar el 5 al otro lado del igual. Dado que 5 está multiplicando (a la x), el 5

que nos queremos quitar pasa al otro lado del igual dividiendo, y lo expresamos como

una fracción. Tendremos:

5 · x = 42 x = 5

42 = 8.4

Significa que 12kg de naranjas cuestan 8.4€, 8 euros y 40 céntimos.

Cuidado con algo muy MUY importante: las magnitudes han de ser siempre

homogéneas. Si en vez de preguntarnos cuánto costaban 12kg hubiese sido el coste de

800 gramos, no podríamos poner 800 debajo de los 5 en la proporción, ya que los 5 son

kilos y los 800, gramos. Habría que poner todo en lo uno o lo otro, es decir, o arriba

ponemos 5000 gramos, o abajo 0.8kg. Quedaría así:

5kg 3.50€ o bien 5000 gramos 3.50€

0.8kg x € 800 gramos x €

El resultado de hacerlo de una u otra manera es indiferente, es decir, el resultado

final es el mismo (puedes comprobarlo como ejercicio). Este cuidado con las

magnitudes es fundamental, por eso estate siempre atento a no mezclar litros con

metros cúbicos, euros con céntimos, Km. con metros, días con horas o con minutos…

2. Otro problema: si un coche circula a una velocidad de 90Km/hora y tarda 8 horas

en ir de Madrid a Cádiz, cuánto tardará si aumenta su velocidad a 120 km/h.

Para empezar, es inversa, porque a más velocidad, tardará menos horas. Lo

planteamos:

90 km/h 8 horas

120 km/h x horas multiplicamos en paralelo2: 90 8 = 120 x; 720 = 120

x

Igual que antes, queremos tener sola a la x, y no multiplicando por 110; entonces

pasamos el 100 al otro lado del igual, dividiendo, en forma de fracción:

X = 120

720 =

12

72 = 6 horas.

PROBLEMAS PROPUESTOS, CON LOS RESULTADOS 3:

a) Por un grifo salen 6m3 cada 10 horas. ¿Qué cantidad de agua saldrá en una

semana? (Resultado: 100.8 m3). (Atención horas <–> semana).

1 Porque es una regla de tres directa. Como veremos en el siguiente ejercicio, se multiplica en

paralelo en la regla de tres inversa. 2 Porque es una regla de tres inversa. 3 Lo primero de todo, comprueba si son directas (a más, mas; a menos, menos) o inversas (a

más, menos; a menos, más).

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b) Si por 19kg de azúcar nos dan 2kg de café, ¿cuánto nos dan por 1 tonelada de

azúcar? (Resultado: 105.26kg). (1Tm = 1000kg).

c) Tres obreros han realizado una obra en 4 horas y 40 minutos. ¿Cuánto habrían

tardado 8 obreros? (Resultado: 1hora y 45 minutos) (Cuidado con los tiempos: 1h 100

minutos)

d) Una motocicleta a 36km/h tarda 7horas y 30 minutos en hacer un recorrido. A qué

velocidad debería ir para hacerlo en 1 hora y 30 minutos. (Resultado: 180km/h). (De

nuevo, cuidado al pasar las horas a minutos, o los minutos a horas).

e) Un coche recorre 315km en 5 horas y 15 minutos. Cuánto recorre en 17 horas.

(Resultado: 1020km). (¡Cuidado, una vez más, con los minutos!).

f) Cuánto cuesta imprimir un texto de 196 páginas, si imprimir 16 páginas cuesta

12€. (Resultado: 147€)

REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de 3 compuesta permite resolver cualquier tipo de problema de

proporcionalidad compuesta. Seguimos para ello estos pasos:

1. Se ponen los datos en bloques, igual que con la Regla de 3 simple, colocando

siempre la incógnita en el último bloque.

2. Se estudia la relación de todos y cada uno de los bloques con el último, el de la

incógnita.

3. Se transforman los bloques en producto de fracciones, y se iguala a la fracción

resultante del último bloque, siempre en éste con la incógnita en el denominador.

4. En cada bloque del primer término, si la relación es directa numerador y

denominador se quedan deja como están; si es inversa, el numerador pasa a

denominador, y viceversa.

5. Se calcula la proporción: producto de medios es igual a producto de extremos.

Veamos un ejemplo:

Si 18 máquinas mueven 1200 m3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24

máquinas para mover 1600 m3 de tierra?

18 máquinas 1200 m3 12 días

24 máquinas 1600 m3 x

I

D

Si 18 máquinas tardan 12 días, 24 máquinas (más máquinas) tardarán menos días →

inversa

Si para 1200 m3 se necesitan 12 días, para más m3 (1600), se necesitarán más días →

directa

Entonces:

simplificamos →

días

también

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REPARTOS PROPORCIONALES

Los problemas de repartos proporcionales son aquéllos en que de una determinada

cantidad debe repartirse de forma proporcional a otras cantidades; este reparto puede

ser directo o inverso.

Si, por ejemplo, queremos repartir una determinada cantidad x entre 3

personas, en función directa de A, B y C, las cantidades que le corresponde a cada uno

serían a, b y c, respectivamente, calculadas como sigue:

Y se calculan separadamente las 3 cantidades.

Con el ejemplo anterior, si se quisiera repartir la cantidad x inversamente

proporcional a A, B y C, sería:

Y se vuelve a calcular separadamente cada cantidad.

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES ENCADENADAS

El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad

final se llama índice de variación.

a. En aumentos porcentuales, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual

expresado en forma decimal.

b. En una disminución porcentual, el índice de variación es 1 menos la disminución

porcentual puesta en forma decimal.

c. Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplica la cantidad

inicial por los índices de variación de los sucesivos pasos; el orden NO influye en el

resultado final (el orden de los factores no afecta al producto).

Ejemplo: Un ordenador costaba, antes de impuestos, 450€; primero le rebajaron un

5%, y después, un 7,5% adicional; si el IVA es del 21%, ¿cuál es el precio final?

Solución → las rebajas del 5% y del 7,5% significan que pagamos el 95% y 92,5% del

precio:

euros de precio final

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PROBLEMAS RESUELTOS – Regla de 3 SIMPLE

1. Dos Kg y medio de patatas cuestan 1.75€. ¿Cuánto cuestan tres Kg y medio?

2.5 Kg 1.75 € DIRECTA

3.5 Kg x

;75.15.35.2 x ;5.2

75.15.3 x ;

2500

17535 x ;

1005

752

23

x ;

100

75 2x ;

100

245x x = 2.45€

2. Un coche ha recorrido 30Km en 18 minutos. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué

distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?

30Km 18 minutos DIRECTA

X 15 minutos

;153018 x ;18

1530 x ;

32

5322

22

x x = 25Km

3. Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5 operarios?

4 hombres 10 horas INVERSA

5 hombres x

;5104 x ;5

40x x = 8 horas

4. Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acera de una calle en

15 días; ¿cuánto tardarían trabajando 10 horas al día?

8 horas 15 días INVERSA

10 horas x

;10158 x ;10

158 x ;

52

5323

x x = 12 días

5. Un paquete de 500 folios pesa 1.8Kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios?

500

folios 1.8Kg

DIRECTA 850

folios x

;8.1850500 x ;500

1885 x ;

52

1753232

2

x ;

52

1732

2

x x = 3.06Kg

6. En una fuente se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 litros. ¿Cuánto se

tardará en llenar un bidón de 50 litros?

24 segundos 30 litros DIRECTA

X 50 litros

;245030 x ;30

2450 x ;

532

532 24

x ;523 x x = 40 segundos

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7. Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días. ¿Cuántas horas

deberá trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12 días?

8 horas 15 días INVERSA

X 12 días

;12158 x ;12

158 x ;

32

5322

3

x ;52 x x = 10 horas

8. Con una motobomba que extrae agua de un pozo, se ha tardado 18 minutos en llenar

una cisterna de 15000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otra cisterna de 25000 litros?

18 minutos 15000 litros DIRECTA

X 25000 litros

;150002500018 x ;15000

2500018 x ;

15

2518 x ;

53

532 22

x ;532 x x = 30

minutos

9. El dueño de un supermercado abona una factura de 720€ por un pedido de 15 cajas de

aceite; ¿cuánto le costarían 12 cajas?

720€ 15 cajas DIRECTA

X 12 cajas

;1512720 x ;15

12720 x ;

53

532 36

x ;32 26 x ; ;964 x x = 576€

10. Una piscina tiene 3 desagües; si se abren 2, la piscina se vacía en ¾ de hora. ¿Cuánto

tardará en vaciarse si se abren los tres?

2 desagües 45 minutos INVERSA

3 desagües x

;3452 x ;3

452 x ;

3

532 2 x ;532 x x = 30 minutos = ½ hora

11. Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora; ¿cuántas botellas

llena en hora y media?

750 botellas 15 minutos DIRECTA

x 90 minutos

;1590750 x ;15

90750 x ;

53

532 432

x ;532 322 x x = 4500 botellas

En fracciones:

750 botellas ¼ hora DIRECTA

x 3/2 horas

;4

1

2

3750 x ;

4

12

3750

x ;2

43750 x ;23750 x x = 4500 botellas.

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12. Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuánto tardaría en

hacer el mismo trabajo si las jornadas fuesen de 12 horas al día?

8 horas / día 9 días INVERSA

12 horas / día x

;1289 x ;12

89 x ;

32

322

23

x x = 6 días

13. Juan ha recibido 20€ por un trabajo de 5 horas. ¿Cuánto cobrará si trabaja 8 horas?

20€ 5 horas DIRECTA

x 8 horas

;5820 x ;5

820 x ;84 x x = 32€

14. Dos socios han invertido 18000 y 24000€, respectivamente, para formar un negocio. Si

el primero, a la hora de repartir beneficios, ha percibido 1446€, ¿cuánto recibirá el

segundo?

18000€ 1446€ DIRECTA

24000€ x

;18000144624000 x ;18000

144624000 x ;

18

144624 x ;

36

482346

x ;4824 x x =

1928€

15. En un reconocimiento médico de 120 niños, el 15% presenta problemas de caries.

¿Cuántos niños son?

100 niños 15 caries DIRECTA

120 niños x

;15120100 x ;100

15120 x ;

10

1512 x ;

52

532 22

x ;32 2x x = 18 niños

16. Una tienda hace unos descuentos del 10%. ¿Cuánto pagaremos por un balón que

marca 18.35€?

18.35€ 100 DIRECTA

x 90

;1009035.18 x ;100

9035.18 x x = 16.52€

17. Por 5€ nos dieron 5.6$. ¿Cuántos dólares nos darán por 18€?

5€ 5.6$ DIRECTA

18€ x

;6.5185 x ;5

6.518 x x = 16.07$

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18. Si un coche que circula a 60Km/hora tarda 8 horas en recorrer un trayecto, ¿cuánto

tardará otro a 80Km/hora?

60Km / hora 8 horas INVERSA

80Km / hora x

;80860 x ;80

860 x ;

8

86 x x = 6 horas

19. Un satélite da 8 vueltas a la Tierra en 40 minutos. ¿Cuántas dará en 10 horas?

8 vueltas 40 minutos DIRECTA

x 600 minutos

;406008 x ;40

6008 x ;

4

608 x ;602 x x = 120 vueltas

20. Vemos un relámpago y 5 segundos más tarde oímos el trueno; y sabemos que la

velocidad del sonido es de 340metros/segundo. ¿A qué distancia se encuentra la

tormenta, sabiendo que el relámpago y el trueno se producen en el mismo instante?

1 segundo 340 metros DIRECTA

5 segundos x

;3405 x x = 1700 metros = 1.7Km

21. Un ordenador equipado con un procesador de 400Mhz descifró una clave secreta en 40

minutos. ¿Qué potencia debería tener para haberlo conseguido en 10 minutos?

400 Mhz 40 min INVERSA

X 10 min

;1040400 x ;10

40400 x ;4400 x x = 1600Mhz

22. Un liquen rojo de montaña ha crecido 6mm en 3 años. ¿Cuántos cm crece cada siglo?

0.6 3 años DIRECTA

x 100 años

;31006.0 x ;3

1006.0 x ;

3

106 x ;

3

1023 x x = 20 centímetros

23. Un deportista ha necesitado 10 segundos para recorrer una distancia a 36Km/hora.

¿Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia un leopardo que se mueve a 110Km/

hora?

36Km / hora 10 segundos INVERSA

110Km / hora x

;1101036 x ;110

1036 x ;

11

36x x = 3.27 segundos

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PROBLEMAS DE REGLA DE 3 COMPUESTA

24. Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4Km de carretera, ¿cuántos obreros,

trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15Km?

8 horas 4 Km 25 obreros

10 horas 15 Km x

Directa

Inversa

;25

15

4

8

10

x ;

410

25158

x

3

33

25

532

x ; x = 75 obreros

25. Un peregrino ha recorrido 600 Km del camino de Santiago en 20 días a razón de 6

horas diarias. ¿Cuántos Km podría recorrer a la misma velocidad en 30 días, a 5 horas al

día?

20 días 6 horas / día 600Km

30 días 5 horas / día x

Directa

Directa

;600

5

6

30

20

x ;

62

53600

x x = 750 Km

26. Obélix empleó 5 horas para comerse 10 jabalíes de 600 Kg cada uno; ¿cuántas horas

precisará para dar cuenta de 12 jabalíes de 400 Kg cada uno?

10 jabalíes 600 Kg 5 horas

12 jabalíes 400 Kg x

Directa

Directa

;5

400

600

12

10

x ;

610

5412

x

325

5232

4

x ; x = 4 horas

27. Sabiendo que 3 trenes de 12 vagones cada uno pueden transportar 1800 pasajeros,

¿cuántos pasajeros pueden transportar 4 trenes de 10 vagones cada uno?

3 trenes 12 vagones 1800 viajeros

4 trenes 10 vagones x

Directa

Directa

;1800

10

12

4

3

x ;

123

1800104

x

22

23

23

100032

x ; x = 2000 viajeros

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28. Una taladradora perfora 15 metros cada día trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto

perforarán 2 taladradoras trabajando 6 horas diarias?

1 taladradora 8 horas / día 15 metros

2 taladradoras 6 horas / día x

Directa

Directa

;15

6

8

2

1

x ;

8

1562 x

3

22

2

532 x ; x = 22.5 metros

29. A causa de los 90 pozos que extraían 40 Hm3 anuales de agua se han agotado en 100

años los recursos hídricos de una zona. ¿Cuánto habrían tardado en agotarse con 20

pozos extrayendo 5 Hm3?

90 pozos 40 Hm3 100 años

20 pozos 5 Hm3 x

Inversa

Inversa

;100

40

5

90

20

x ;

10

100409 x 10049 x ; x = 3600 años

30. Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 piezas.

¿Cuántos días necesitará para fabricar 3000 piezas en turnos de 10 horas diarias?

8horas / día 1000 piezas 5 días

10 horas / día 3000 piezas x

Directa

Inversa

;5

3000

1000

8

10

x ;

10000

530008 x

10

538 x ;

52

5323

x ; x = 12 días

31. Si 3 grifos iguales tardan 5 horas en llenar un depósito de 10 m3, ¿en cuánto tiempo

llenarían un depósito de 8 m3 2 grifos como los anteriores?

3 grifos 10 m3 5 horas

2 grifos 8 m3 x

Directa

Inversa

;5

8

10

3

2

x ;

20

815 x

52

2532

3

x ; x = 6 horas

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PROPORCIONALIDAD MAT2

Página 12

de 19 Dpto de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

32. Hemos pagado 1800€ a un grupo musical por actuar 3 días en las fiestas del barrio

durante 2 horas diarias. ¿Cuántos días podremos pagar con 3600€ si actúan durante 3

horas diarias?

1800€ 2 horas / día 3 días

3600€ 3 horas / día x

Inversa

Directa

;3

2

3

3600

1800

x ;

31800

323600

x

23

323

33

x ; x = 4 días

33. Un ciclista consumió 4800Kcal para completar 8 etapas de 30 Km cada una. ¿Cuántas

Kcal necesitará para completar 5 etapas de 40 Km cada una?

8 etapas 30 Km / etapa 4800 Kcal

5 etapas 40 Km / etapa x

Directa

Directa

;4800

40

30

5

8

x ;

308

4800405

x

32

1005323

6

x ; x = 4000 Kcal

34. Por 5 días de trabajo con una jornada de 8 horas diarias me han pagado 480€. ¿Cuánto

ganaré por 10 días si la jornada se reduce a 5 horas diarias?

5 días 8 horas / día 480€

10 días 5 horas / día x

Directa

Directa

;480

5

8

10

5

x ;

58

480105

x

52

3253

63

x ; x = 600€

Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000

Kg de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas al día?

5 días 8 horas / día 1000Kg

12 días 10 horas / día x

Directa

Directa

;1000

10

8

12

5

x ;

58

10001012

x

52

10005323

3

x ; x = 3000 Kg

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PROPORCIONALIDAD MAT2

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de 19 Dpto de Matemáticas – colegio NUESTRA SEÑORA DEL PILAR - Madrid

35. Un ganadero necesita 750Kg de pienso para alimentar 50 vacas durante 10 días;

¿durante cuántos días podrá alimentar 40 vacas con 1800Kg de pienso?

750 Kg 50 vacas 10 días

1800 Kg 40 vacas x

Inversa

Directa

;10

50

40

1800

750

x ;

40750

10180050

x

475

18005

x ;

22

233

235

325

x ; x = 30 días

36. Para llenar un depósito hasta una altura de 0.80m se ha necesitado un caudal de 20

litros por minuto durante una hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el

mismo depósito con un caudal de 15 litros/minuto hasta una altura de 90cm?

80cm 20 l / m 4/3 horas

90cm 15 l / m x

Inversa

Directa

;3/4

20

15

90

80

x ;

31580

42090

x

532

52323

42

x ; x = 2 horas

37. Trabajando 8 horas diarias, 12 obreros terminan un trabajo en 25 días. ¿En cuánto

tiempo lo terminarían 5 obreros trabajando 10 horas al día?

12 obreros 8 h / día 25 días

5 obreros 10 h / día x

Inversa

Inversa

;25

8

10

12

5

x ;

105

12258

x

25

3252

52

x ; x = 48 días

38. En 12 días, 30 electricistas, trabajando 10 horas diarias, colocan 6Km de tendido

eléctrico. ¿Cuántos días necesitarían 25 electricistas para colocar 15Km de tendido

trabajando 8 horas al día?

30 hombres 10 horas / día 6 Km 12 días

25 hombres 8 horas / día 15 Km x

Directa

Inversa

Inversa

;12

15

6

10

8

30

25

x ;

6825

12151030

x

24

334

532

532

x ; x = 45 días

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PROPORCIONALIDAD MAT2

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39. Para calentar 2 litros de agua desde 0º Centígrados a 20ºC se ha necesitado 1Kcal. Si

queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC, ¿cuántas Kilocalorías son necesarias?

2 litros (+) 20º C 1Kcal

3 litros (+) 50º C x

Directa

Directa

;1

50

20

3

2

x ;

22

53

x X = 3.75 Kilocalorías

40. En una mina, una cuadrilla de 6 mineros abren una galería de 30 metros de longitud en

17 días. Si otra cuadrilla tiene 17 mineros, ¿cuántos metros de galerías abrirán en 30

días?

6 mineros 17 días 30 metros

17 mineros 30 días x

Directa

Directa

;30

30

17

17

6

x ;

176

303017

x

6

3030 x ; 305 x ; x = 150 metros

41. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, han construido 600m2 de pared

en 18 días. ¿Cuántos m2 construirán en 15 días, trabajando 8 horas diarias?

10 horas 18 días 600m2

8 horas 15 días x

Directa

Directa

;600

15

18

8

10

x ;

1810

600158

x ;

18

60158 x

2

225

32

532

x ; x = 400m2

42. Un granjero ha necesitado 294 Kg de pienso para alimentar a 15 vacas durante 7 días.

¿Durante cuántos días podría alimentar a 10 vacas si dispusiese de 840 Kg de pienso?

294Kg 15 vacas 7 días

840Kg 10 vacas x

Inversa

Directa

;7

15

10

840

294

x ;

29410

715840

x ;

294

71584 x

2

222

732

7532

x ; x=30 días

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PROPORCIONALIDAD MAT2

Página 15

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43. Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de 1000 metros en 8 días.

¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12 horas diarias?

10 horas 1000 m 8 días

12 horas 600 m x

Directa

Inversa

;8

600

1000

10

12

x ;

1210

8610

x ;

12

86 x ;

32

322

4

x x= 4 días

44. Si se abren 3 bocas de riego con un caudal de 1.5 litros por segundo cada una, un

aljibe se vacía en 8 horas. ¿Durante cuánto tiempo daría servicio el aljibe si se abrieran 4

bocas de riego con un caudal de 0.9 litros por segundo cada una?

3 bocas 1.5 litros / sg 8 horas

4 bocas 0.9 litros / sg x

Inversa

Inversa

;8

5.1

9.0

3

4

x ;

9.04

85.13

x ;

94

8153

x ;

32

53222

23

x x = 10 horas

45. Cincuenta terneros consumen 4200 Kg de alfalfa a la semana. Calcular:

a. El consumo de alfalfa por ternero y día.

b. Los Kg de alfalfa necesarios para alimentar a 20 terneros durante 15 días

c. Los días que se podría alimentar a 10 terneros si se dispone de 600Kg de alfalfa

Apartado a/

50 terneros 7 días 4200Kg

1 ternero 1 día x

Directa

Directa

;4200

1

7

1

50

x ;

750

4200

x ;

75

420

x ;

5

60x x= 12 días

Apartado b/

50 terneros 7 días 4200Kg

20 terneros 15 días y

Directa

Directa

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PROPORCIONALIDAD MAT2

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;4200

15

7

20

50

y ;

750

15204200

y ;

75

1524200

y ;

75

7532100 22

y y = 3600 Kg

Apartado c/

50 terneros 4200Kg 7 días

10 terneros 600Kg z

Directa

Inversa

;7

600

4200

50

10

z ;

420010

760050

z ;

42

765 z z = 5 días

46. En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas

en diez días. Calcular:

a. La cantidad de prendas que se fabricarían con 5 máquinas en 15 días.

b. El número de máquinas necesarias para fabricar 750 prendas en 15 días.

c. Los días que se tardarían en fabricar 750 prendas trabajando sólo con 5 máquinas.

Apartado a/

6 máquinas 10 días 600 chaquetas

5 máquinas 15 días x

Directa

Directa

;600

15

10

5

6

z ;

60

600155 z ;10155 z z = 750 chaquetas

Apartado b/

10 días 600 chaquetas 6 máquinas

15 días 750 chaquetas y

Directa

Inversa

;6

750

600

10

15

y ;

60015

675010

y ;

15

75y y = 5 máquinas

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PROPORCIONALIDAD MAT2

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Apartado c/

6 máquinas 600 chaquetas 10 días

5 máquinas 750 chaquetas z

Directa

Inversa

;10

750

600

6

5

x ;

6005

107506

z ;

5

75z z = 15 días

47. Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 1000Kg

de ropa. ¿Cuántos Kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias?

8 horas 5 días 1000Kg

10 horas 12 días x

Directa

Directa

;1000

12

5

10

8

x ;

58

10001210

x ;

104

1000034

x x = 3000Kg de ropa

48. Una alfombra sintética, de 1.80m de larga por 90cm de ancha, ha costado 72€.

¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3m de larga y 1.20m de

ancha?

1.8 m 0.9m 72€

3 metros 1.2m x

Directa

Directa

;72

2.1

9.0

3

8.1

x ;

9.08.1

722.13

x ;

918

1072123

x ;

32

5324

46

x ;525 x x = 160€

49. Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio

de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores

trabajando 10 horas al día?

5 encuestadores 8 horas 27 días

9 encuestadores 10 horas x

Inversa

Inversa

;27

8

10

5

9

x ;

109

2785

x ;

325

3252

33

x ;322 x x = 12 días

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PROPORCIONALIDAD MAT2

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REPARTOS PROPORCIONALES

50. Repartir 1000 euros en partes directamente proporcionales a las edades de 3, 5 12.

Sean x, y z las partes que le corresponderán a 3, 5 y 12 años, respectivamente.

Calculando cada parte, una a una:

50 → x=3·50=150

51. Repartir 320 euros a 3 personas de edades 2, 5 y 10, de forma inversamente

proporcional.

Sean a,b,c las cantidades correspondientes a 2, 5 y 10 años, respectivamente.

52. Se va a repartir una herencia de 5 780 000 euros que deja un adinerado abuelo a sus

tres nietos de 4, 6 y 18 años, en función de sus edades. Calcular cuánto le toca a cada

uno, tanto si el reparto es directamente proporcional a las edades, como si lo es

inversamente. (Sólo lo hacemos de la primera forma, pero se puede resolver de las 2)

REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

4 años → a

6 años → b

18 años → c

le corresponde al nieto de

4 años

le corresponde al nieto de 6 años

le corresponde al nieto de 18 años

Si sumamos las tres cantidades: =5780000 €, que es la cantidad que queríamos repartir.

Observemos que el nieto mayor tiene el triple de edad que el pequeño, y le

corresponde exactamente el triple de dinero.

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PROPORCIONALIDAD MAT2

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REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL

4 años → x

6 años → y

18 años → z

euros le corresponden al

nieto de 4 años

euros le corresponden al nieto de 6 años

euros le corresponden al nieto de 18 años

Si sumamos las tres cantidades: = 5780000 €, que es la cantidad que queríamos repartir.

Vemos que al pequeño, que tiene un tercio de la edad del mediano, le corresponde el

triple exacto que a éste.

¡ATENCIÓN!

La cantidad que le corresponde al mayor cuando se reparte de forma

directamente proporcional NO es la misma que le corresponde al pequeño

cuando se reparte de forma inversamente proporcional; etc.