Propiedades conmutativas de la adición (5+6) + 8 = (6+5) + 8

Propiedad asociativa de la multiplicación (4 * 2) * 7 = 4*(2*7)

Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición 6(2+3) = 6 * 2 + 6 * 3

Propiedad del uno para la multiplicación 4 * 1 = 4

Fíjate que en la suma, sin importar qué sumandos agrupes para sumarlos primero, siempre tendrás el mismo resultado.A esta propiedad se le llama asociativa de la adición, porque indica cómo asociar los números para poderlos sumar correctamente y que el resultado no se altere.

Entonces que es dividir??

Dividir significa encontrar un número, de tal forma que al multiplicarlo por el divisor, nos dé como resultado el dividendo. Ese número encontrado se llama cociente

O encontrar un número que al multiplicarlo por el denominador dé el numerador.

Entonces ¿qué es un factor?Un número es un factor de otro cuando al dividirlo, la división es exacta, o sea, cuando el residuo es cero. En los casos anteriores, 3 es factor de 12 porque el 3, al dividir al 12, da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.

De acuerdo a lo señalado, podemos afirmar que si un número natural es factor de otro, también es su divisor. Así vemos que la división está ligada con la multiplicación. Analiza el ejemplo: 3 • 4 = 12; 3 y 4 son factores de 12 y también son sus divisores.

la divisibilidad es una parte de la aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir dos números naturales para que uno de ellos divida al otro de forma exacta. Esas condiciones se llaman criterios de divisibilidad y aquí abordaremos algunos que te permitirán obtener divisores de una manera más fácil, rápida, y eficiente. Los criterios de divisibilidad te indicarán si un número natural se puede dividir entre 2, o entre 3, o entre 5, de manera exacta.

Divisibilidad entre 2Un número natural es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par. (Te acuerdas que los números naturales terminados en 2, 4, 6 y 8 son pares, ¿verdad? Los terminados en 1, 3, 5 y 7 son impares).

Ejemplos: 620 y 432. Al dividir 620 entre 2 da como resultado 310 y el residuo es cero. Al dividir 432 entre 2 da 216 y el residuo es cero. Vemos que el 620 y el 432 son divisibles entre 2 (es decir, se divide entre 2 y el residuo es 0).

Divisibilidad entre 3Un número natural es divisible entre 3 si al sumar sus cifras se obtiene un número divisible entre 3.

Ejemplos:

1) 111

Al sumar sus cifras (1+1+1) se obtiene 3. Entonces seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 37 y el residuo es cero.

2) 54 132

Al sumar sus cifras se obtiene 15, 15 entre 3 es 5 y el residuo es cero. Entonces el 54 132 seguro se puede dividir exactamente entre 3, ¿lo hacemos? En este caso el cociente resultante es 18 044 y el residuo es cero.

3) 321 000

Al sumar sus cifras se obtiene 6, que sí es divisible entre 3, ya que da 2 y el residuo es cero. Entonces el 321 000 seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 107 000 y el residuo es cero.

Muy importante¿Qué pasaría si el número fuera 321 001? Al sumar sus cifras se obtiene 7. Siete no es divisible entre 3, porque la división no es exacta, ya que el residuo no es cero, por lo tanto, 321 001 no se puede dividir exactamente entre 3. Es importante que entiendas que al hablar de divisor o divisible se está dando a entender que la división debe ser exacta, o sea que el residuo debe ser cero. Esto no significa que existen divisiones que no se pueden hacer, podemos afirmar que las divisiones siempre se pueden hacer, aunque no siempre son exactas. Los casos de las no exactas se estudiarán en el tema de números racionales. Te recordamos que estamos en la unidad relativa a números naturales, o sea, números enteros y positivos.

Divisibilidad entre 5Si la última cifra del número es 0 ó 5, entonces el número es divisible entre 5.

Ejemplos:

1) 655 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 131 y el residuo es cero.

2) 2 345 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 469 y el residuo es cero.

3) 311 210 es divisible entre 5, ya que termina en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es cero.

Pero 311 214 no es divisible entre 5, porque este número no termina en 5 ni en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es 4.

SUMA DE ENTEROS

Caso 1. Para sumar enteros a y b con signos iguales:

•  Sumamos sus valores absolutos |a| + |b|

•  El signo de la suma es el signo común

Caso 2. Para sumar enteros a y b con signos distintos:

•  Vemos cuál de ellos tiene mayor valor absoluto (está más alejado del 0). Supongamos que sea a

•  Restamos sus valores absolutos en este orden |a| - |b|

•  Al resultado le asignamos el signo de a

Cuando te encuentres en una situación nueva o más difícil, busca la manera de convertirla a otra que ya conoces o que es más sencilla"

Si tengo que sumar varios enteros , y hay positivos y negaticos:

Hago suma parciales es decir:

Sumo todos los que sean positivos

Sumo todos los que sean negativos (recuerda poner el signo menos al resultado)

Ya tienes solo DOS enteros y esos ya los sabes sumar

Ecuaciones

Recapitulando lo que hemos hecho hasta este punto debes tener en cuenta que:

•  Cuando el resultado sea un polinomio, siempre hay que simplificar. La única forma de simplificar es haciendo operaciones con los coeficientes de los términos que tengan la misma variable y el mismo exponente.

•  Al realizar la suma de términos semejantes, las variables no se modifican. Se escriben igual. Ten cuidado con los signos de los coeficientes.

•  No te olvides que al multiplicar dos variables IGUALES, el resultado será la misma variable y su exponente es la suma de los exponentes de las variables que estamos multiplicando. Por ejemplo: (a)(a5)=a6. Pero no podemos hacerlo con (a5) (b). El resultado es a5b.

•  Cuando aplicamos la propiedad distributiva en dos paréntesis de más de un término, debemos multiplicar el primer término del primer paréntesis por cada uno de los términos del segundo paréntesis, y así sucesivamente hasta que terminemos todos los elementos del primer paréntesis.

Sabemos que una parábola se representa con una ecuación cuadrática . Si y = a x2+ bx + c representa una ecuación cuadrática y además y = 0, entonces:x2 + bx + c = 0.

Por otro lado, cuando estudiamos la multiplicación de polinomios encontramos un resultado como el siguiente:

(x + α )(x + β )= ax²+ bx + c, en donde a = 1, b era igual a la suma de α + β, y finalmente c era el resultado de multiplicar ab, ¿te acuerdas?

Ahora si ax² + bx + c = 0, entonces puedo decir que (x+ α )(x+ β ) = 0. Para que este resultado sea 0, entonces al menos uno de los paréntesis debe ser 0.

(x + α )(x + β ) = 0(x + α ) = 0 ó (x + β ) = 0x = -α ó x = -β

Si α = 4; β = -5 sustituyendo los valores tenemos que:

x = -4   ó   x = 5

Ahora si a=1, b= α+β y c= αβ como

a=4

β=-5 entonces:

b= 4+(-5) = -1

c = (4)(-5) = -20

Utilizando estos valores los sustituimos en la ecuación cuadrática y hemos terminado.

y = x2+x-20

Como te podrás dar cuenta no es tan difícil, aunque sí es necesario tener en cuenta las características que deben cumplir las expresiones.

angulos

Agudo: mayor de 0° y menor de 90°

Recto= igual a 90°

Obtuso mayor de 90° y menor de 180°

Colineal igual a 180°

Perigono igual a 360°

Angulos complementarios suman 90°

Angulos suplementarios suman 180°

Triangulos

Clasicicacion por longitud de sus lados

Triangulo escaleno: este triangulo tiene sus lados diferentes

Triangulo equilátero: es un triangulo particular ya que sus angulos siempre miden 60° y sus tres lados miden lo mismo

Triangulo isósceles: este triangulo tiene dos lados iguales y dos angulos iguales.

Triangulo rectángulo: este triangulo tiene un angulo recto o sea un angulo de 90° los lados que forman el angulo recto se llaman catetos el lado opuesto al angulo recto es conocido como hipotenusa generalmente el angulo de 90° se señala con una marca en escuadra como se observa en la figura

Triangulo acutángulos: sus tres angulos miden menos de 90°

Triangulo obtusángulo: este triangulo tiene un angulo obtuso un angulo obtuso es mayor de 90°

Rectas del triangulo

Mediana el baricentro esta en medio

Altura el ortocentro es el punto donde se interceptan las 3 alturas

Bisectriz: es la recta que divide a un angulo en 2 iguales y su punto de intersepcion se llama intercentro

Mediatriz es el punto medio d cada lado del triangulo y su punto d intersección se llama circuncentro