Hugo Luque NeiraHugo Luque NeiraIngeniero GeomensorIngeniero Geomensor

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Propagación de Errores

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA

Errores producidos en la aplicación de Poligonales.

Conceptos Básicos

Propagación de Errores

Errores: son inexactitudes en las observaciones, que no son evitables, se traspasan por el uso de instrumentos, por las variaciones de condiciones físicas o de los sentidos del operador. Corresponde a la diferencia entre el “Valor Medido” y el “Valor Verdadero”.

Algunos tipos de errores: Errores Sistemáticos Errores groseros (personales) Errores accidentales Errores instrumentales

Errores que se producen en una “Poligonal”

Propagación de Errores

El error que se produce dentro de una poligonal se arrastra a través de las estaciones que la componen. Los errores que se encuentran involucrados son:

Error Angular Error Altimétrico Error Lineal

Poligonal: es un método utilizado en los levantamientos, del cual se obtiene la ubicación de una serie de puntos, que dependen de la medición de ángulos y distancias.

Propagación de Errores

2

Propagación de Error : es el efecto que provocan los errores de las variables en una función matemática, que depende de dichas variables.

De otra forma, el error , esta dado por la desviación estándar , que corresponde a la “raíz cuadrada” de la varianza . De forma general, el valor medido y su error se expresan como:

xx

El valor de nos permite conocer el intervalo de confianza de una observación, es decir, cuál es la probabilidad de que ese intervalo se repita para las demás observaciones.

Propagación de Errores

Si existe un error desde el lugar donde se obtienen las observaciones, se debe sumar ese error al punto donde se esta observando.

),(** 222

2 AzDfZAz

Z

D

ZAB NAzDN

),,(** 3212

2

2

2

2

1

2

21 xxxfZ

X

Z

X

ZXz X

METODO 1 : “Ley de Propagación de Errores”

Se explicará la utilización de 2 métodos para calcular la propagación de error, mediante un ejemplo.

Propagación de Errores

La propagación de los Errores (o varianzas) se realiza en forma matricial, según la Ley de propagación de co-varianzas:

TNEEENENN JJ

En que: e son Matrices de Co-varianza

es Matriz Jacobiana

EE NN

NEJ

METODO 2: “Método polar”

Propagación de Errores

2

2

B

B

NNE

NEENN

2

2

2

2

000

000

000

000

AB

AB

A

A

AZ

d

N

E

EE

De forma matricial, corresponde:

METODO 2: “Método polar”

Az

N

D

N

N

N

E

NAz

E

D

E

N

E

E

E

J

AA

AANE

Propagación de Errores

Recordemos que es un cambio que se produce dentro de la matriz, cambio de filas por columnas.

TNEJ

Matriz Jacobiana es aquella que se compone de las derivadas parciales de las variables de la función estudiada. En este caso se trata de 4 variables sobre las coordenadas N y E

METODO 2: “Método polar”

Propagación de Errores

Las observaciones que se obtienen son:

Con sus respectivos errores:

Se desea conocer la desviación que afecta a B en su posición E e N:

Se desprende que:

ABABAA AzDNE ,,,

ABABAA AzDNE ,,,

BB NE ,

ABABAABB AzDNEfNE ,,,,

METODO 2: “Método polar”

ABAB AzsenDEE

ABAB AzDNN cos

Propagación de Errores

)(*cos10

)cos(*)(01

AzsenD(Az)

AzDAzsenYXJ

Recordando cuáles son las funciones estudiadas, se obtiene la siguiente Matriz Jacobiana:

Funciones estudiadas:

METODO 2: “Método polar”

Propagación de ErroresEjemplo: si consideramos los siguientes datos para un calculo de coordenadas, podemos obtener el error de las coordenadas N y E del punto B.

m

m

Az

mmD

A

A

N

E

Az

D

005,0

005,0

5,030

003,040'º

Una vez aplicada la ley de propagación de co-variancia obtenemos una igualdad de matrices, la cual debe ser comparada término a término.

55

55

2

2

1000404,410055048,1

10055048,11020532256,5

xx

xx

B

B

NNE

NEE

Propagación de ErroresAl comparar los términos se obtiene que:

52 1020532256,5 xBE

52 1000404,4 xBN

Aplicando “Raíz Cuadrada”:

3102147,7 xBE

32 103277,6 xBN

mBE

0072,0 mBN

0063,0

Propagación de ErroresDe forma análoga, para la “Ley de Propagación de Errores, obtenemos lo siguiente para E:

mx

x

xxx

xsen

E

E

E

E

0072,010235,7

10235,5

105,21051,21025,2

005,010448,1*)º30cos(*40003,0*)º30(

3

52

5562

22422

radxmAzDAz

EAzsen

D

EAzD

410448,1;003,0;)cos(*;)(

Propagación de Errores“Ley de Propagación de Errores”, para N:

mx

x

xxx

xsen

N

N

N

N

0063,010335,6

100136816,4

105,210386816,81075,6

005,010448,1*)º30(*40003,0*)º30cos(

3

52

5662

22422

radxmAzsenDAz

NAz

D

NAzD

410448,1;003,0;)(*;)cos(

Propagación de ErroresConcusión

La propagación de error nos permite verificar los intervalos de confianza que se deben utilizar para una serie de trabajos, lo cual cumple el objetivo de mantener los resultados dentro de los rangos de tolerancia, a base de las observaciones y sus respectivos errores.

•Comparación de los métodos vistos.•Resultado final.