Programacion Lineal Multicriterio

8/20/2019 Programacion Lineal Multicriterio

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LA PROGRAMACIONLINEAL MULTICRITERIO

PANORAMICA GENERALFRENTE A LAS DECISIONES EMPRESARIALES)

Por Francisco José VA LE R0 LOPEZ

Profesor de Economía de la Empresade la Universidad utónoma de Madrid

SUMARIO:1. Introducción. 2. La program ación Lineal rnulticriterio: concep toy elementos.3. Procedim ientos de solución de la program ación lineal rnulticriterio. 4. Un ejernplo de aplicación.

REVISTA ESPANOLA DE FINANCIACIÓN Y CONTABILIDADVol. VI, n. 22octubre-diciembre 1977pp. 61-76


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F. J. Valero López: La programación lineal multicriterio 729

INT RO DU CC ION cuyo caso, el poder conseguir todosellos, no necesitam os plantearnos

N ue stro trabajo par te de la hipótesis de ninguna elección entr e los mismos.qu e, en general, todo sujeto decisor, ya b) L a existencia de una escala dese a una person a, ya sea una organización, prioridades claramente establecidatien e frente a sí un «conjunto variado» de para el conjun to de dichos objetivos,objetivos, con un mayor o menor grado de ya que entonc es, aunqu e éstos nocompatibilidad o de contradicción entre sean compatibles bastará con la apli-ellos, y d e los que, en cada caso, no desea cación sucesiva de dicha escala,ignorar un subconjun to relevante de los has ta llegar al objetivo menos desea-mism os. E s decir, an te cada situación con- do que sea factible conseguir.creta en la que haya que emitir una deci- Ambas situaciones son, sin embargo,sión, el sujeto a organ ización- con- frecuentes en la vida real. Por untemplará ciertas consecuencias de la mis- lado, existe generalmente u n conjunto dema, las cuales quedarán recogidas, alme-

restricciones de diveisa n aturaleza que im-nos desde un Punto de vista operativo, en piden la consecución shxd thea de todosuna serie de funciones objetivo cuya opti- los objetivos considerados y, por consi-mización o satisfacción de modo conjunto guiente, éstos deben competir de cara a lano será, en general, posible de alcanzar. asignación de los recursos limitados que

La de este esquema en dichas restricciones representan. Por otro,campo de la optimización matemática ha se ignora en muchos casos cuál es ladado lugar a una rama de la misma que se importancia relativa de cada un o d e los ob-denomina programación multicriterio o jetivos, información que a veces constitu-también programación multiobjetivo de ye parte de la solución a nuestro problema

desarrollo reciente, si bien, su concepto y ,por lo tanto, inexistente, o mejor dicho,m ás funda m enta l, es decir, el de la solu- inutilizable, mientras éste no haya sido re-ció n eficiente o no dominada, ya existía en suelto.la ob ra de Pareto 1896) aplicado a la eco- Otra de las características generales denomía del bienestar. La de su to da situación m ulticriterio es el abandonodesarrollo, junto con la fecundidad de los de la idea de optimalidad y, en consedistintos enfoques que han presidido el cuencia, de la ordenación total que la

-sin que hasta la fecha se haya misma induce para las.distintas solucionescon segu ido una solución definitiva integra- sa lvo en el caso trivial de quedora de todo s ellos-, han limitado sus todos los objetivos tengan un óptimo coalcances a la programación lineal, donde mún, es decir, que nos encontremos antesin e m barg o, son variados 10s algoritmosY una situación como la descrita en el apar-las metodologías existentes. tado a) anterior, dicha idea carece total-

Así pu es, el objetivo, de nuestro estudio mente de sentido, a menos que hayamoscomprenderá la programación lineal multi- sido capaces de definir sin ambigüedadescriterio (en adelante PLMC), si bien algu- una relación entre los distintos objetivosnas de n uestras consideraciones conserva- capaz de transformar a éstos en unorán su validez ante formulaciones de ma- solo i ) .yor generalidad. La primera de ellas es laexclusión de dos clíl.,?s de situaciones,ante las la solu:"';n problema 1) A su vez, 1 existencia de una escala de prio-que nos planteamos resulta trivial: ridades claramente establecida puede considerarse

como un caso particular de relaciónentre los distintosa) La perfecta compatibilidad entre los objetivos, relación que tiene ahora una naturaleza

distintos objetivos analizados, e n iexicográfica.


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El concepto que sustituye, entonces, alde optimalidad en un contexto multicrite-rio es el de eficiencia o no dominaciónHablaremos de solución eficiente o nodominada) cuando no exista ninguna otra

solución posible que la mejore en, almenos, uno de los objetivos, igualando losniveles de los demás. Bajo esta nuevaperspectiva sólo se consigue una ordena-ción parcial del conjunto de solucionesfactibles, puesto que mientras que todasolución eficiente será preferible a cual-quiera que no lo sea, razón por la cualpodremos centrar nuestra atención a sólolas primeras, las soluciones no dominadasson incomparables entre sí dentro del con-texto del problema, debiendo recurrir en-tonces a nuevos criterios de elección, deri-vados la mayor parte de las veces de laspreferencias del sujeto decisor, así comode cierta información que pueda extraersedel propio problema.

Una ordenación parcial es, por defini-ción, incompleta, lo cual puede ser unafuente de complejidad para la toma dedecisiones. Ahora bien, esta complejidadno puede en sí misma ser consideradacomo un resultado indeseable, ya que vie-ne derivada de la esencia multiforme delproblema, siendo consustancial a ella, demodo que no podemos suprimir la primerasin ahogar la segunda, con todas las conse-cuencias que puedan derivarse de tal he-cho. Más aún, y dado que se hace necesa-rio dotar al sujeto decisor de ciertos ins-trumentos o criterios que le ayuden en laelección entre las alternativas disponiblesdicha complejidad es fuente de nuevos mé-todos, nuevos algoritmos, con los cualeshacer frente a las situaciones multicriterio,típicas de la realidad económico-empresa-rial.

Siguiendo a B. Roy podemos clasificarlas principales metodologías propuestasdentro del tema que comentamos comosigue 2):

2) Vid. ROY, B.: «Problems and Methods WithMultiple Objetive Functions)). Mathernatical Progra-rnming, 1, 1971, págs. 239-266.

1) Agregación de las distintas funcio-nes objetivo en una sola que permitadefinir un orden total, con lo cualse destruye en cierta forma la esen-cia multicriterio del problema.

2 Exploración del conjunto de solucio-nes eficientes, extrayendo del mis-mo toda la información que puedaservirnos para poder discriminaraquella aquellas soluciones másaconsejables, o que constituyan, encierto sentido, el mejor compromisoentre los distintos objetivos implica-dos.

3 Definición de un orden parcial más

fuerte que el derivado de las funcio-nes objetivo primitivas, de modoque se reduzca en lo posible el nú-mero de soluciones finales a consi-derar.

4) Reducción de la incomparabilidadmediante técnicas tales como el es-tudio de signos, el rango de losparámetros, etc., las cuales requie-ren una menor información acerca

de las funciones globales subyacen-tes en cada problema. Por funcionesglobales entendemos las representa-tivas de la «utilidad» que para el su-jeto decisor tiene cada una de lasposibles soluciones multicriterio.

De esta relación las metodologías másutilizadas, con sus diversas variantes, sonlas dos primeras, mientras que las dosúltimas representan unas vías de investi-gación insuficientemente exploradas por elmomento. Además de los citados, tambiénpueden emplearse métodos de prueba yerror orientados a la comprobación de siun conjunto concreto de valores para lasdistintas funciones objetivo, propuesto porel sujeto decisor, es factible o no, con locual, sin ninguna estructura teorica subya-cente, se logra tanto una total flexibilidad,como una mayor facilidad de manejo porparte de usuarios poco expertos en lamateria, factores ambos que van perdiendoventaja, tan pronto como el problema sehace lo suficientemente complejo y mayor


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es la dificultad de comprobar tal factibili- Para cada solución eficient.e existirá undad 3). conjunto de valores A,, 1 = 1, que

verifican:

2. LA PRBGRAMACION LINEAL nMULTICRITRIO: CONCEPTOY C. h i = 1 y h i Z O V i (2)ELEMENTOS. i i

Un programa lineal multiciiterio con n y tales que dicha solución eficiente se ob-funciones objetivo adopta la siguiente for- tiene resolviendo el siguiente programama general: lineal:

Máx f1 c x

Máx f 2 c 2x

sujeto a

donde hemos adoptado la notación másusual en a representación matricial de unprograma lineal.

Bajo las hipótesis enunciadas al comien-zo, no existe ningún óptimo común a todaslas n funciones objetivo consideradas, porlo que nuestro interés reside en caracteri-zar una solución eficiente, x*, dentro delconjunto de soluciones factibles. Para di-cha solución, se cumplirá que no existiráninguna otra posible x, tal que:

sujeto a las mismas restricciones originales.

En base a esta propiedad es obvia lamanera de obtener una solución eficiente.El problema reside, entonces, en determi-nar el conjunto de pesos Xi mediante loscuales pueda obtenerse una solución satis-factoria para el suieto decisor.

entro del conjunto de soluciones efi-cientes habrá algunas que se deriven de unconjunto de pesos A tales que habrá algúnA j nulo, es decir, donde se ignora algunade las funciones objetivo consideradas, locual puede estar en contradicción con losdeseos del sujeto decisor, que, por hipó-tesis, quiere tener en cuenta todos losobjetivos implicados en el problema. Poreste motivo, las condiciones (2) anterioressuelen sustituirse por:

f i Y ) f i x*) para al inenos u n icon lo cual se obliga a ponderar de unamanera efectiva todas y cada una de lasfunciones objetivo implicadas, tal vez conpesos muy peqeiíos algunas de ellas, pero

(3) Una com paración, desde el punto de vista ex- nunca nulos. Las soluciones así obtenidasperimental, de uno de tales métodos junto con otros

e denominan propiamente sub-co n m ayor fundamentac ión teórica puede varse en: conjunto, por tanto, del compuesto porWALLE N I N S , J.: «Comparative Evaluation of las soluciones eficientes.Some Interactive Approachs to Multicriteriun Opti-

miza tionn. M anagemen t Science, Vol. 21, n.O 12, De est manera, se impide que se On-ag os to 1975, pág s. 1.387-1.398. sigan ganancias en un cierto objetivo que


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sean arbitrariamente grandes en relacióncon las pérdidas que pueda sufrir algúnotro, lo cual podría suceder si este últimocareciera de ponderación alguna.

Una información de primera mano pue-

de obtenerse del problema 1) sin másque resolverlo n veces, considerando encada una de ellas una de las funcionesobjetivo como prioritaria, es decir, optimi-zando el problema con respecto a dichafunción en exclusiva, a la vez que evalua-mos todas las restantes. Con ello se consi-gue la siguiente matriz, que podemos de-nominar matriz de óptimos individualizados :

donde el significado de cada elemento ij es

el del valor que toma la función objetivo icuando el conjunto del problema se estáoptimizando con respecto a la función j.En defínitiva,dicha matriz nos proporcio-iia, de foina sintética y operativa, infor-mación acerca de las consecuencias quepara los demás objetivos tiene el hecho deque consideremos prioritario cada uno deellos.

La diagonal principal de la matriz ante-

rior constituye lo que se ha denominado«solución ideal» por cuanto representa lacombinación de los mejores valores quepueden conseguirse de cada una de lasfunciones objetivo, consideradas estas porseparado, de acuerdo con el conjunto derestricciones conocido. Dada la hipótesisrealizada acerca de la carencia de un óp-timo común, dicha «solución ideal» corres-ponde a un punto infactible, siendo, por lotanto inalcanzable.

Desde el punto de vista de la teoría de laprogramación lineal pueden plantearse trestipos de situaciones durante el proceso de

solución de un programa lineal multicrite-rio:

a) que el problema sea infactible, situa-ción en L. cual el problema carece

de solución para todas y cada una delas funciones objetivo dadas. Enefecto, la factibilidad o la ausenciade la misma sólo depende de que elconjunto formado por la inter-sección de todas las restriccionessea vacío o no, por lo que este casose ha ignorado por todos los trata-distas del tema, realizando previa-mente el supuesto de que existe

una solución factible.b) que existan óptimos alternativos en

alguna etapa del proceso de solu-ción. Por ejemplo, en el caso de lamatriz de óptimos individualizadospueden obtenerse varios puntos óp-timos para alguna o algunas de lasfunciones objetivo individuales, óp-timos que pueden diferenciarse res-pecto a los valores que adopten lasrestantes. En este caso, podemosdecir que, más que una sola matriz,habrá un conjunto de ellas, todascon la misma diagonal principal, di-ferenciándose en algunos de los res-tantes elementos. Métodos, como elde Belenson y Kapur, basados en lainformación contenida en dicha ma-triz, parecen ignorar esta posibili-dad 4).

c) que se obtenga para alguna de lasfunciones objetivo una solución ili-mitada,en cuyo caso el valor de lamisma podrá hacerse tan grandecomo se quiera. Ante esta situación

4) Pue sto q ue el criter io final de adopción de unadeterm inada solución depende de las preferencias del

sujeto decisor, la existencia de óptimos alternativose n alguna etap a del proceso proporciona un conjuntode caminos a seguir en búsqueda de una soluciónsatisfactoria, de modo que si uno de ellos no resultasiempre podrá acudirse a los restantes.


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pued e sugerirse la eliminación de unobjetivo tan poco operativo; sin em-bargo esta sugerencia olvida quepuede interesarnos de todas formasobservar el comportamiento de di-cho objetivo frente a la considera-ción prioritaria de los restantes.E n todo caso tampoco es esta unasituación que haya sido contempladapor los tratadistas de la PLMC

El procedimiento que a nuestro juicioparece ser el más recomendable es el deignorar dicho objetivo en el contexto delproblema siempre que no se desee alcan-zar un nivel mínimo del mismo cuya con-secución no queda asegurada de modogeneral a la vista de la información que sedispone de l problema. Si esto último suce-de debe modificarse su planteamiento in-troduciendo dicho nivel mínimo en el con-jun to de restricciones a la vez que se s-prim e la función objetivo causante de la si-tuación que contemplamos.

No son estos los únicos problemas quepueden presentarse al resolver un progra-ma lineal multicriterio. En efecto general-mente los distintos objetivos consideradosso n de muy variada naturaleza diversidadque se traduce muchas veces en que di-ch os objetivos s e expresan en unidades desuyo incomparables. Además la direcciónreal de algún objetivo puede ir hacia unaminimización en lugar de la maximizacióncon que hemos formulado nuestro proble-ma. lo cual puede provocar una disparidade n el signo de los valores que adopta dichafunción objetivo en relación con aquellasque corresp ondan realmente a unamaximi-zación. En ambos casos parece necesarioproceder a una normalización de los dis-tintos objetivos.

En el caso de la matriz de óptimos indi-vidualizados ésta puede someterse a undesplazamiento uniforme del valor de to-

do s su s elemen tos si procede corregir lasegunda de las situaciones que acabamosde apuntar y seguidamente a una homo-geneización de los valores correspondien-tes a cada uno de los objetivos.

Am bas transformaciones pueden reali-zarse con referencia a la propia matrizoriginal. E n efecto sum ando a cada unode los elementos d e la matriz un númeroktal que:

k = mín fijij

si existe algún elemento negativo puedenconvertirse todos ellos e n positivoso nuloscaso de que sea conveniente hacerlo. Ensegu ndo lugar una homogeneización deunidades de medida pue de conseguirse conreferencia a los valores máximos que pue-de adoptar cada una de las funciones ob-jetivo. E s decir si

fij fij k, Vi,

donde k valdrá cero si no se ha efectuadola transformación anterior entonces paraca da objetivo i se tiene

con lo cual se obtiene una matriz normali-za da de la forma que sigue:

donde todos los elementos de la diagonalprincipal son unos debido a que por cons-trucción pa ra cada objetivo i se tiene:

máx f.'. f.J

j


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Por último, diremos que todo procedi-miento de resolución de un programa mul-ticriterio que no se limite a proporcionarun conjunto más o menos amplio de solu-cienes eficientes, debe de ir dirigido en

último término a la obtención de una solu-ción que satisfaga a los deseos del sujetodecisor, si es que existe alguna. Por ello,junto a una primera etapa en tales proce-dimientos, cuya finalidad consiste en con-seguir una solción que, respecto a algúncriterio teórico constituya un buen com-promiso entre los distintos objetivos, apa-recerá normalmente otra etapa orientada aprovocar una búsqueda, a partir de la so-

lución precedente, de alguna otra másacorde con los deseos del sujeto decisor,

3 . PROCEDIMIENTOS DESOLUCION DE LAPROGRAMACION LINEALMULTICRITERIO

Dentro del conjunto de métodos pro-puestos por B. Roy para atacar las situa-ciones multicriterio, y solamente para lasdos primeros, hemos intentado obtener unaclasificación lo suficientemente amplia eilustrativa de los procedimientos existentespara la PLMC.

Dica clasificación podría quedar comosigue:

Veamos seguidamente una breve expli-cación de cada uno de los procedimientosasí ordenados:

1 Generación total o de puntos extremosno dominados

2 Generación de un conjunto restringido.

b.- Exploración del conjunto de 3 Exploración inteligente

soluciones eficientes. a Relaciones marginales de sustituciónb Distancia a la «solución ideal»

1 Asignación directa de ponderaciones2 Definición de niveles de referencia

c Juego de suma nula.

4 Medición del contraste.

A.-Agregación de las distintas funcionesobjetivo.

caso de que este no acepte la primera, en A.l La asignación directa de pondera-base a determinada información que dicho ciones nos permite obtener sin más una s ~ -sujeto debe suministrar. lución eficiente y, en su caso, propiamente

eficiente, siempre que los pesos utilizadoscumplan las propiedades comentadas, lo

a Programación porb Desviación mínima.

3 Ordenación lexicográfica.


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cual puede conseguirse a través de unasimple normalización de los mismos. Zele-ny nos previene contra dicha asignacióndirecta, por cuanto 5):

a) la habilidad humana para realizar unaevaluación global del problema que permi-ta proporcionar unos pesos fiables no esmuy grande, a la vez que se encuentrasometida a unos claros riesgos de arbi-trariedad e inestabilidad.

b) la atribución de los citados pesospuede verse dificultada por la falta decomprensión total del problema por partedel sujeto decisor, que a menudo no tienedel todo claras sus ideas sobre el mismo.

c) el número total de objetivos a consi-derar puede ser muy grande, limitando aúnmás la habilidad humana de ponderar to-dos ellos.

d) aunque se haya estimado correcta-mente el conjunto de pesos a aplicar, elproblema puede tener varias solucionesalternativas, sobre las cuales puede sernecesario realizar alguna discriminaciónque dichos pesos son incapaces de reflejar.

a) el conjunto de pesos puede alterarsetan pronto como varía el conjunto de posi-bles soluciones de que se dispone, dadoque dichos pesos suelen obtenerse en basea un análisis del problema más que comounos meros datos de entrada al mismo.

A . 2 ) Si definimos unos niveles de satis-facción o de aceptabilidad, mi, i 1, -. n,para cada uno de los objetivos que consi-deramos, podemos, entonces, seguir doscaminos:

de satisfacción o de aceptación para cadauno de los objetivos, podemos sustituirlospor unos cienos intervalos, a los cualesintentamos acercarnos lo más posible, tan-to por un extremo como por el otro. Esteúltimo d2 lugar a la denominada «progra-mac ión por objetivos intervalos» objeti-vo de una reciente publicación de Charnesy Cooper 6).

2) minimizar la desviación que puedaproducirse a cualquiera de los objetivosconsiderados, es decir, se intentará hacer:

lo cual sólo tendrá sentido si -utilizandopara ello los apropiados cambios de escala,en caso necesario- todas las citadas des-viaciones tienen idéntica importancia 7).

A.3 La ordenación lexicográfica de lasfunciones objetivo consiste en aplicar unaescala ordinal de prioridades a las mismasde modo que siempre se optimice conrespecto a aquella función que presidadicha escala, utilizando sólo las de ordeninferior para resolver los empates, es de-cir, los óptimos alternativos, que procedende las funciones antecedentes.

B.1 La generación de todo el conjuntode soluciones eficientes tiene dos fases:

a) determinar los puntos extremos nodominados y,

b) a partir de dichos puntos, generar elresto de los elerrientos del conjunto. I

Para un conocimiento profundo de am-bas fases remitimos al lector a la obra deM . Zeleny y de P.L. Yu 8), dado que no

1 aplicar la programación por objetivos,minimizando la suma ponderada de lasdesviaciones, tanto positivas como negati-vas, que se produzcan con respecto a cadauno de los niveles fijados. Más todavía, envez de definir unos determinados niveles

5) ZE LE N Y , M.: .Linear Multiobjetive Progra-mminge. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, n.O 95, Springer-Verlang, 1974, páginas169-171.

6 ) CHA RNES, A. ; COOPER,W . W.: Goal Pro-gramming and Multiple Objetive Optimizations. PartI». European Jornal of Operational Reseach,1 enero1977, págs. 39-54.

7) La función objetivo anterior es fácilmenteconvertible a la forma standard de la programaciónlineal. Vid. B. ROY. Op. cit., pág. 242.

8) Junto a la obra ya citada de M. ZELEN Y, y,como ampliación de la misma, puede verse:

YU , P. L., ZEL EN Y, M .: «The Techniques ofLin ear Multiobjetive Programming)). R.A .I.R.O ., V-3,novie mbr e 1974, págs. 5 1-71.


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Revista

es nuestra intención entrar de lleno en lasinterioridades de las mismas.

Desde el punto de vista práctico, dada lacomplejidad de los métodos empleados, asícomo la enorme cantidad de información

que generan, gran parte de ella innece-saria, ya que, en definitiva, sólo se va aescoger una de todas las posibles solucio-nes eficientes, creemos que los procedi-mientos que entran en este apartado tienenun mero interés teórico, siendo preferibleacudir a alguno de los métodos de explo-ración inteligente que seguidamente co-mentaremos.

B.2 Debido a la magnitud del conjunto

de soluciones eficientes, en buena parte delos casos parece conveniente limitarnos auna porción restringida del mismo. Paraello, pueden pc ha za rse de entrada aque-llas soluciones que no satisfagan ciertos ni-veles mínimos en todos o en algunos de losobjetivos, o bien pueden considerarse sola-mente aquellas soluciones con un determi-nado grado de acercamiento, medido conalgún criterio, a un marco de referencia

fijado, como puede ser la propia «soluciónideal» del problema.

Otro procedimiento a seguir puede ser laimposición de restricciones sobre los pe-sos, Ai a aplicar a cada uno de los obje-tivos (9). Con ello pueden introducirse lasestimaciones que haya podido realizar elsujeto decisor acerca de la importanciarelativa a cada uno de los objetivos parasus deseos.

8.3) Por exploración inteligente entende-mos aquí una búsqueda dentro del conjun-to de soluciones eficientes, sin necesidadde una previa determinación del mismo,utilizando dos fuentes de información:

A una intrínseca al propio problema,como por ejemplo, la «solución ideal», lamatriz de óptimos individualizados, etc.

(9) Este es el camino seguido en: STE VE REE.:~ M u lt ip le bjetive Linear Programming With IntervalCrite rion Weightsn. Manegemen t Science Vol. 23n.O 3 noviembre 1976 págs. 305-316.

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b la proporcionada por el sujeto decisorcon la finalidad de hacer valer sus pre-ferencias en la exploración.

Una de las propuestas con mayor interésteórico es la debida a Geoffrion (10). Su

funcionamiento, que es también su debili-dad, reside en el supuesto de que paracualquier punto factible, el sujeto decisorpuede proporcionar una estimación de lasn-1 relaciones marginales de sustituciónentre los n objetivos. A partir de estasrelaciones puede construirse una direcciónde movimiento en búsqueda de una mayorutilidad para el sujeto decisor, Una segun-da información que debe proporcionarse es

la longitud de dicho movimiento (es decir,el tamaño de c ~ d a aso). L z dil,cu tadradica, entonces, en que el sujeto decisorno suele estar en condiciones de propor-cionar la información que se requiere, ade-más de que la lógica y los conceptosempleados no son los más apropiados parapersonas que no suelen tener en mente lasideas básicas de la optimización matemáti-ca en general.

En segundo lugar, se encuentran todosaquellos métodos basados en el máximoacercamiento a la «solución ideal», segúnuno u otro criterio de distancia. Más aún,al imponer como restricción un determina-do grado de acercamiento a dicha solu-ción, puede muy bien modificarse la regiónfactible, y, a consecuencia de ello, tambiénla «solución ideal», desplazándola, enton-ces, hacia el nuevo conjunto de soluciones

posibles. En todos estos métodos, las dis-tancias correspondientes a cada objetivopueden estar ponderadas, reflejando así ladistinta importancia de cada uno de ellos.

Uno de los algorítmos más conocidos enesta dirección es el método STEM, basadoen una concepción mínima de la distancia

(10) GEOFFRION A. M.: «Vector Maximal De-composition Program ming Working Paper Univer-sidad de California Los Angeles septiembre 1970.

Sobre las dificultades que presenta la aplicaciónpráctica d e este método puede verse la obracitada enla nota 3


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a la «solución ideal». Es decir, si para cadasolución eficiente,xj se tiene una medidade distancia respecto a cada uno de losobjetivos,di w),i 1, ..-n l l ) , se inten-tará descubrir aquella que verifique:

mín máxdi xJ)j i

si esta solución no es satisfactoria para elsujeto decisor, este debe indicar cual delos objetivos considerados puede empeo-rarse,y hasta qué medida considera acep-tabie hacerlo, repitiéndose de nuevo elproceso previa modificación de las ponde-raciones utilizadas en el cálculo de las dis-tancias.

Por último, el método propuesto porBelenson y Kapur12)considera la matrizde óptimos individualizados como la co-rrespondiente a un juego bipersonal desuma nula, siendo los «jugadores» las dis-tintas funciones objetivo, por un lado,ylos puntos óptimos que corresponden acada una de ellas, por otro. La resoluciónde dicho juego nos permite obtener unospesos qu e, debidamente normalizados paratener en cuenta la heterogeneidad de losdistintos objetivos, nos sirven para deter-minar una solución de compromiso. Aligual que antes, e sta solución puede no serdel agrado del sujeto decisor, en cuyo casose sustituye el punto Óptimo correspon-diente al objetivo menos deseado por dicha

11) Vid. ZELENY, M.: Op. cit., págs. 171-176,donde pueden verse varios conceptos de distancia ala «solución ideal».

El método STEM se encuentra descrito con mayordetalle en:

BENAYOUN, R.: et al: «Linear ProgrammingWith Mui ti ~ie Obietive Functions: STEP-MethodSTEM))). Mathematical Programming, vol. 1, n.O 3,

diciembre 197 1,págs. 366-375.

12) BELENSON, S. M.; KAPUR,K. C.: «AnAlgorithm for Solving Multicriterion Linear Progra-mming Problems With Examples)). Operational Re-search Quaryerly, vol. 24 n.O 1,págs. 65-77.

Para una aplicación práctica de este algoritmopuede verse el ejemplo que acompaña a este trabajo.

solución de compromiso, repitiéndose eproceso a partir de la nueva matriz dpagos.

B . 4 Es evidente que , junto a la ponde-ración «a priori» de un determinado crterio u objetivo, también puede hablarsde una importancia «a posteriori» del mimo, basada e n el poder discriminatorio quposea. En efecto, un objetivo consideradinicialmente como fundamental puede tner poca variación en sus valores, dentrdel contexto del problema, mientras quun objetivo conceptuado com o secundarpuede presentar un amplio campo de varición, llegando incluso a situaciones pocdeseables para el sujeto decisor.Para tener en cuenta esto último puedacudirse al concepto de entropía, que, dalguna manera, mide el poderdiscrimina-do r de un conjunto d e señales informativen este caso, referidas, por ejemplo, a lovalores que toman las distintas funcionobjetivo a través de un recorrido por algúconjunto de solciones -eficientes o no-.E s decir, podemos construir una tablcom o la que sigue13).

13) Vid. ZELENY, M.: Op. cit., págs. 176-180,para una aplicación de esta metodología, aunquereferida a las distnacias a la solución ideal más que alos valores que toman los distintos objetivos, comonosotros proponemos.

La dificultad de este método reside en la necesidadde determinar previamente las soluciones -ef icienteso no- que se,van a utilizar para medir el contraste delos objetivos, cuyo resultado puede depender engrado sumo del conjunto particular que se considere.


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s iendo v i j , i = 1, , j - m, el valorque adopta la función objetivo i en la so-lución j

Para cada uno de los objetivos i pode-m os definir una s «probabilidades» Pij, j== 1, m , com o sigue:

Vi jpij = m i = 1, ... 11

a las cuales se les puede aplicar el concep-to de antropía como medida del contrasteque representan dichas «probabilidades».Po r lo tanto ,

H . = PijLn PijJ =

4. UN EJEMPLO D E APLICACION (14)

A) Enunciado

Una empresa fabricante y comercializa-dora de dos productos desea obtener elmejor beneficio de los mismos, a la vezque conseguir la mayor penetración co-mercial en el mercado.

E l beneficio neto qu e puede conseguirsede la venta de cada uno de los productoses de 10 para el primero y de 5 para elsegundo . L a eficacia comercial -en lo querespec ta a la penetración d e la empresa enel mercado- es el dob le para el segundoproducto en comparación con el primero.

L a dirección de la eínpieca no ha hechoexplícitas sus preferencias en cuanto a loqu e co nsidera una combinación satisfacto-ria de ambos objetivos, y sólo desea al-gun a información acerca d e cuál puede serel mejor comp romiso entre ellos.

Po r otro lado, se sab e que:

a) La capacidad de producción nos im-dicha entropía es máxima cuando el con- pide obtener más de 6.000 unidadestras te e s nulo, es decir, cuando totales, contando ambos productos.

b) La situación actual del mercado nopermite vender más de 4.000 unida-

1p . . - - V j des del segundo producto.1.1 c) L as horas de trabajo disponibles para

la fabricación de ambos productosHi = L n m asciend en a 10.000, requiriéndose dos

horas para el segundo y hora ycu arto para el primero.

En base a esto, podemos asignar a cadauno de los objetivos pesos que sean inver-samente proporcionales a la entropía quehemos calculado para cada uno de ellos,teniendo en cuenta, si procede, pondera-ciones que recojan la distinta importanciade los objetivos para el sujeto decisor.

Con el fin de entender mejor todo loexpuesto hasta ahora que dedicaremos elepígrafe siguiente a exponer un supuestoque sirva como fuente aclaratoria de lopretendido en el trabajo.

14) Un a aplicación al análisis de inversiones pue-de verse en:

CAPLIN, D.; KORNBLUTH,J S. H.: ((Multiob-jective Investment Planning Under Uncertaintyn.Omega, vol. 3, n.O 4, 1975, págs. 423-441.

El ejemplo que ahora proponemos ha sido emplea-do como material de trabajo para la asignatura


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B Solución

la vista del enunciado, el planteamien-to del programa multicriterio implicadoquedaría como sigue:

sujeto a:

x x 2 6 . 0 0 0

x 2 4.000

1,25 x 2x2 10.000

X l x2

Entonces, siguiendo el algoritmo pro-puesto por Belenson y Kapur, procedemos

Cde la siguiente manera:

a Resolveremos un programa lineal pa-

ra cada una de las funciones objetivo con-sideradas, a la vez que evaluamos lasrestantes.

Debido a la dimensión de nuestro pro-blema, acudimos al procedimiento gráfico,obteniendo estos resultados:


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Es decir, además del origen, tenemos lossiguientes vértices en la región factible:

El óptimo del primer objetivo se eacuen-tra en el punto D, donde:

máx. fila

36.0006.000 9.600 9.600

c) Cada una de las filas tiene, al menos,un valor estrictamente positivo, por lo quela única normalización que procede es lade homogeneizar las distintas unidades demedida de cada uno de los objetivos, parala ciia dividimos cada elemento de una filapor el va;or máximo de la misma.

Efectuando esto nos queda:

En cuanto al segndo objetivo, su óptimo 0 6se alcanza en el vértice B siendo f i 8 1

d) El juego anterior se resuelve median-f; = 9.600 te el siguiente programa lineal:

f l = 36.000 máx v

b) Con los resultados anteriores forma-

mos una matriz de pagos de un iuego desuma nula, siendo los «jugadores» as dis- PI p2 1tintas funciones objetivo, por un lado, ylos puntos Óptimos que corresponden a P1 PZ o

cada una de ellas, por otro. Es decir: La solución gráfica del mismo es:


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e) Las anteriores probabilidades podríanmando como punto de referencia la soser los pesos atribuibles a cada funciónción ideal» recogida en la matriz de óobjetivo si no hubiéramos normalizado lasmos individualizados de nuestro probleentradas de la matriz de pagos. Con objetoE s decir, trataremos de hacerde hacer referir dichos pesos a las funcio-nes objetivo originales, de k m o s dividir mínW; Y; W; Ydichas probabilidades por los máximos co-rrespondientes. E s decir, sujeto a:

además d e las restricciones originales y condiciones de no negativiaad de

f Esto., últimos pesos, para ser defini- Y e Y S (15).tivós deben sum ar 'l, por- ello hacemos:W iy W deberían escogerse de acuerd

1513 1 co n la importancia y magnitud de cada ude los objetivos. Puesto que de la primh =

60.000 0,13 no disponemos de información alguna, 15/31 16/314 demos hacer

g) Con estos pesos formamos la funciónobjetivo compuesta:

cuyo Óptimo se encuentra en el punto C,siendo:

con objeto de tener e n cuenta la diferendimensionalidad de cada objetivo. Si muplicamos am bos pesos por cualquier númro positivo, la solución del problema seg

15) Obsérvese que éste podría ser un método,simple y sencillo por lo demás, de exploración inte-ligente del conjunto desoluciones eficientes, buscan-do aquella que sea más cercana a la «solución ideal ,siendo la distancia una suma ponderada de s desvia-ciones a la misma.

f 13.753.3 Por definición de la «solución ideal», tales desvia-ciones lo serán siempre por debajo, de ahí que no

f , =43.333,3

aparezcan en nuestra formulación las variables supe-rávit típicas de la programación por objetivos. Debidof, = 9.333,3 a este hecho, siempre podremos despejar las varia-bles déficit de sus igualdades respectivas y sustiruir-las en la función objetivo, desapareciendo, entonces,

Otra vía de solución podría seguirse me-toda notación específica de la programación por ob-diante la programación por objetivos, to-jetivos.


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rá siendo la misma por 1 que para mayor Utilizando estos pesos la solución que secomodidad hacemos obtiene se encuentra también en el punto

60.000C donde:

y60.000 Y 16.666 6

Programacion Lineal Multicriterio

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