PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)

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    26-Jun-2015
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INSTITUTO TECNOLOGICO de Orizaba

El objetivo de la Programacin Lineal es OPTIMIZAR, una funcin objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar una funcin lineal de varias variables sujeta a una serie de restricciones limitaciones, expresadas por inecuaciones ecuaciones lineales. Se aplica a problemas de economa, administracin, militares, agrcolas, alimenticios, de transporte, de salud, etc., que estn relacionados con la optimizacin, maximizacin minimizacin de una funcin objetivo sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades. Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivos.

La funcin objetivo se encuentra sujeta a un conjunto de restricciones limitaciones al uso de un recurso; como ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima materiales, horas de trabajo, mano de obra, dinero disponible, etc. Este tipo de problemas se les conoce como problemas de decisin que a la vez se pueden expresar en forma matemtica. Aquellos problemas donde la funcin objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programacin lineal.

Ejemplo. Una refinera recibe diario dos tipos de crudo, los cuales se procesan para dar tres tipos de productos: gasolina, keroseno y aceite combustible. Todos los factores que intervienen en el procesamiento se enlistan abajo:Produccin % Vol.

Crudo 1 Gasolina Keroseno Aceite combustible Residuos Costos de produccin

Crudo 2 44 10 36 10 1

Produccin mxima permisible bb/da 24 000 2 000 6 000

80 5 10 5

0.5

Maximice los beneficios programacin lineal.

de

esta

operacin

empleando

Gasolina $36/bb (x3) CRUDO 1 $24/bb (x1) Keroseno $24/bb (x4) REFINERIA CRUDO 2 $15/bb (x2) Aceite combustible $24/bb (x5) Residuos $10/bb (x6) FUNCIN OBJETIVO: Maximizar f(x) = Beneficio = Utilidad Costo de M. P. Costo de proceso (1) RELACIONES: Utilidad = 36 x3 + 24 x4 +21x5 + 10x6 CMP = 24x1 + 15x2 CP = 0.5x1 + x2

RESTRICCIONES en funcin de la produccin en % volumen x3 = 0.8x1 + 0.44x2 x4 = 0.05x1 + 0.1x2 x5 = 0.1x1 + 0.36x2 x6 = 0.05x1 + 0.1x2 Sustituyendo en (1) las relaciones: f(x) = 36x3 + 24x4 + 21x5 + 10x6 - 24x1 15x2 0.5x1 x2 (2) Sustituyendo las restricciones en (2) f(x) = 36(0.8x1 + 0.44x2) + 24(0.05x1 + 0.1x2) + 21(0.1x1 + 0.36x2) + 10(0.05x1 + 0.1x2) 24.5x1 16x2 f(x) = 28.8x1 +15.84x2 + 1.2x1 + 2.4x2 + 2.1x1 + 7.56x2 + 0.5x1 + x2 24.5x1 -16x2 f(x) = 8.1 x1 + 10.8x2

Algunas otras restricciones formuladas como restricciones desigualdad (Produccin mxima permisible) son: A B C x3 24 000 x4 2 000 x5 6 000 0.8x1 + 0.44x2 24 000 0.05x1 + 0.1x2 2 000 0.1x1 + 0.36x2 6 000

de

0.8x1 + 0.44x2 = 24 000 0.05x1 + 0.1x2 = 2 000 0.1x1 + 0.36x2 = 6 000

y obviamente x1 0; x2 0 Realizamos la siguiente tabla, respectivamente: x1 A B C 0 0 0 otorgndole el valor de 0 a x1 y x2

x2 54 (54 545) 20 (20 000) 16 (16 667)

x2 0 0 0

x1 30 (30 000) 40 (40 000) 60 (60 000)

A B

C REGION FACTIBLE

Una vez establecida la regin factible en base a las intersecciones, se evalan los valores de cada una de ellas considerando la funcin objetivo, y se obtienen los valores ptimos en cada interseccin, de tal forma que:

Punto

Valores ptimos (x1*,x2*) 26 200, 6 900 0, 16 667 15 000, 12 500 30 000, 0

Valor funcin f(x) $286 700 $180 000 $256 500 $243 000

Interseccin

1 2 3 4

AyB C y x1=0 ByC A y x2=0

RESTRICCIONES FORMULADAS

0.8 X 1 0.44 X 2 e 24000 0.05 X 1 0.1X 2 e 2000 0.1X 1 0.36 X 2 e 6000FUNCIN OBJETIVO

f ( x) ! 8.1

1

10.8

2

!0

5,334 b / X3 ! ! 642.65 8.3 12,000 b / X3 ! !1,791 6.7

24, 000 ! 54,545 b / X2 ! 0.44 2, 000 ! 20, 000 b / X2 ! 0.1 6, 000 ! 16, 667 b / X2 ! 0.36

0.1 0.36 0 0 1 0 6, 000 , , , , , , 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36

[0.277 1 0 0 2.77 0 16,667]FILA 10.8 (0.277*0.44) ! 0.68 0.44 (1*0.44) ! 0 1 (0*0.44) ! 1 0 (0*0.44) ! 0 0 (2.77*0.44) ! 1.22 0 (0*0.44) ! 0 24,000 (16,667*0.44) ! 16,667

FILA 28.1 (0.277*10.8) ! 5.11 10.8 (1*10.8) ! 0 0 (0*10.8) ! 0 0 (0*10.8) ! 0 0 (2.77*10.8) ! 30 1 (0*10.8) ! 1 0 (16, 667*10.8) ! 180, 000

FILA 48.1 (0.277 *10.8) ! 5.11 10.8 (1*10.8) ! 0 0 (0 *10.8) ! 0 0 (0 *10.8) ! 0 0 (2.77 *10.8) ! 30 1 (0*10.8) ! 1 0 (16, 667 *10.8) ! 180, 000

16, 667 b / X1 ! ! 24,510.29 0.68 333.3 b / X1 ! ! 16, 665 0.02 16, 667 b / X1 ! ! 59,525 0.28

5,334 b / X3 ! ! 642.65 8.3 12, 000 b / X3 ! ! 1, 791 6.7

X1 X2 OPTIMO

METODO

POR SOLVER DE EXCEL