PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)

PRESENTA:

MEDINA PALACIOS VICTOR HUGOURIAS MORALES ALEJANDRA

CRUZ REYES EVA MARIA

INSTITUTO TECNOLOGICO de Orizaba

PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)

El objetivo de la Programación Lineal es OPTIMIZAR, una función objetivo, lo cual implica maximizar o minimizar una función lineal de varias variables sujeta a una serie de restricciones ó limitaciones, expresadas por inecuaciones ó ecuaciones lineales.

Se aplica a problemas de economía, administración, militares, agrícolas, alimenticios, de transporte, de salud, etc., que están relacionados con la optimización, maximización ó minimización de una función objetivo sujeta a un sistema de igualdades o desigualdades.

Las funciones de ganancia y de costo son ejemplos de funciones objetivos.

PROGRAMACIÓN LINEAL (LP)

La función objetivo se encuentra sujeta a un conjunto de restricciones ó limitaciones al uso de un recurso; como ejemplo podemos citar limitaciones a materia prima ó materiales, horas de trabajo, mano de obra, dinero disponible, etc.

Este tipo de problemas se les conoce como problemas de decisión que a la vez se pueden expresar en forma matemática.

Aquellos problemas donde la función objetivo y las restricciones se expresan como ecuaciones o desigualdades lineales se llaman problemas de programación lineal.

Ejemplo. Una refinería recibe diario dos tipos de crudo, los cuales se procesan para dar tres tipos de productos: gasolina, keroseno y aceite combustible. Todos los factores que intervienen en el procesamiento se enlistan abajo:

Maximice los beneficios de esta operación empleando programación lineal.

Producción % Vol. Producción máxima permisible bb/díaCrudo 1 Crudo 2

Gasolina 80 44 24 000

Keroseno 5 10 2 000

Aceite combustible 10 36 6 000

Residuos 5 10

Costos de producción 0.5 1

FUNCIÓN OBJETIVO:Maximizar f(x) = Beneficio = Utilidad – Costo de M. P. – Costo de

proceso … (1)

RELACIONES:Utilidad = 36 x3 + 24 x4 +21x5 + 10x6CMP = 24x1 + 15x2CP = 0.5x1 + x2

REFINERIA

CRUDO 1 $24/bb (x1)

CRUDO 2 $15/bb (x2)

Gasolina $36/bb (x3)

Keroseno $24/bb (x4)

Aceite combustible$24/bb (x5)

Residuos $10/bb (x6)

RESTRICCIONES en función de la producción en % volumen

x3 = 0.8x1 + 0.44x2x4 = 0.05x1 + 0.1x2x5 = 0.1x1 + 0.36x2x6 = 0.05x1 + 0.1x2

Sustituyendo en (1) las relaciones:f(x) = 36x3 + 24x4 + 21x5 + 10x6 - 24x1 – 15x2 – 0.5x1 – x2 …(2)

Sustituyendo las restricciones en (2)f(x) = 36(0.8x1 + 0.44x2) + 24(0.05x1 + 0.1x2) + 21(0.1x1 +

0.36x2) + 10(0.05x1 + 0.1x2) – 24.5x1 – 16x2

f(x) = 28.8x1 +15.84x2 + 1.2x1 + 2.4x2 + 2.1x1 + 7.56x2 + 0.5x1 + x2 – 24.5x1 -16x2

f(x) = 8.1 x1 + 10.8x2

Algunas otras restricciones formuladas como restricciones de desigualdad (Producción máxima permisible) son:

y obviamente x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Realizamos la siguiente tabla, otorgándole el valor de 0 a x1 y x2 respectivamente:

A x3 ≤ 24 000

0.8x1 + 0.44x2 ≤ 24 000 0.8x1 + 0.44x2 = 24 000

B x4 ≤ 2 000

0.05x1 + 0.1x2 ≤ 2 000 0.05x1 + 0.1x2 = 2 000

C x5 ≤ 6 000

0.1x1 + 0.36x2 ≤ 6 000 0.1x1 + 0.36x2 = 6 000

x1 x2 x2 x1

A 0 54 (54 545)

0 30 (30 000)

B 0 20 (20 000)

0 40 (40 000)

C 0 16 (16 667)

0 60 (60 000)

REGION FACTIBLE

A

B

C

Una vez establecida la región factible en base a las intersecciones, se evalúan los valores de cada una de ellas considerando la función objetivo, y se obtienen los valores óptimos en cada intersección, de tal forma que:

Punto Valores óptimos (x1*,x2*)

Valor función f(x)

Intersección

1 26 200, 6 900 $286 700 A y B

2 0, 16 667 $180 000 C y x1=0

3 15 000, 12 500

$256 500 B y C

4 30 000, 0 $243 000 A y x2=0

METODO MATRICIAL

RESTRICCIONES FORMULADAS

FUNCIÓN OBJETIVO

ETAPA 1.

1 2

1 2

1 2

0.8 0.44 24000

0.05 0.1 2000

0.1 0.36 6000

X X

X X

X X

1 2( ) 8.1 10.8 0f x X X

ETAPA 2. Selección de Pivote

3

3

5,334/ 642.65

8.312,000

/ 1,7916.7

b X

b X

2

2

2

24,000/ 54,545

0.442,000

/ 20,0000.16,000

/ 16,6670.36

b X

b X

b X

ETAPA 3. 0.1 0.36 0 0 1 0 6,000

, , , , , ,0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36

[0.277 1 0 0 2.77 0 16,667]

0.8 (0.277*0.44) 0.68

0.44 (1*0.44) 0

1 (0*0.44) 1

0 (0*0.44) 0

0 (2.77*0.44) 1.22

0 (0*0.44) 0

24,000 (16,667*0.44) 16,667

8.1 (0.277*10.8) 5.11

10.8 (1*10.8) 0

0 (0*10.8) 0

0 (0*10.8) 0

0 (2.77*10.8) 30

1 (0*10.8) 1

0 (16,667*10.8) 180,000

FILA 1 FILA 2

FILA 48.1 (0.277*10.8) 5.11

10.8 (1*10.8) 0

0 (0*10.8) 0

0 (0*10.8) 0

0 (2.77*10.8) 30

1 (0*10.8) 1

0 (16,667*10.8) 180,000

Selección Pivote

1

1

1

16,667/ 24,510.29

0.68333.3

/ 16,6650.0216,667

/ 59,5250.28

b X

b X

b X

Selección Pivote

3

3

5,334/ 642.65

8.312,000

/ 1,7916.7

b X

b X

X1

X2

OPTIMO

METODO POR SOLVER DE EXCEL