Programacion Lineal Entera

Programación lineal

Conceptos básicos y formulación

La programación lineal

Antecedentes históricos


La programación lineal es una técnica matemática utilizada en la investigación de operaciones, que permite la optimización de una función objetivo a través de la aplicación de diversas restricciones a sus variables.


Programación lineal enteraSon aquellos en que todas las variables únicamente pueden tomar valores enteros. También se distinguen dentro de estos los problemas totalmente enteros como aquellos en que tanto las variables como todos los coeficientes que intervienen en el problema han de ser enteros.


Programación lineal mixtaSon aquellos en los que hay al mismo tiempo variables continuas y variables que sólo pueden tomar valores enteros.


Programación lineal binariaUna variable entera binaria es aquella que solamente puede adoptar los valores 0 ó 1. Este tipo de variable se emplea para resolver situaciones del tipo inclusión o exclusión.


¿Cómo resolver un problema mediante la programación lineal?

El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático.


Pasos para la resolución de un problema utilizando programación lineal1. Definir el objetivo2. Identificar las variables de decisión3. Identificar los datos del problema4. Identificar la función objetivo5. Identificar las restricciones


Tipos de restricciones1. Restricción de capacidad2. Restricción de mercado3. Restricción de entradas4. Restricción de calidad5. Restricciones de balance de material6. Restricciones Internas7. Condición de no – negatividad


Métodos para la solución de un problema de programación lineal


Método gráfico


Método SIMPLEX


Manejo de software: WINQSB®


Manejo de software: WINQSBSe realiza con base en el modelado matemático ya planteado


Manejo de software: WINQSB

Ejercicio Programación Lineal Entera (transporte)

La empresa Embutidos Mérida es una empresa dedicada a la producción, venta y distribución de embutidos, cuyo principal producto de distribución es el jamón, la empresa dispone actualmente de dos plantas, que se encuentran en el Estado Mérida y tres clientes (Charcuterías), las plantas son Tabay Edo Mérida y el Vigía Edo Mérida, Las plantas 1 y 2 pueden producir, 50 y 80 mil toneladas de Jamón al año respectivamente, la empresa distribuye su mercancía a tres charcuterías las cuales demandan 35, 50, 45 mil toneladas al año respectivamente.

Ejercicio Programación Lineal Entera (transporte)

Los costos asociados a la distribución de Jamón expresados en miles de Bolívares, son los registrados en la siguiente tabla.

Ejercicio Programación Lineal Entera Transporte

Planta/ Cliente

Charcutería Milla

Charcutería Ejido

Charcutería el Socorro

Planta Tabay

3 8 12

Planta El Vigía

20 10 5

Total Formule un modelo de programación lineal que

permita satisfacer las necesidades de todas las charcuterías, al tiempo que minimice los costos asociados al transporte

Problema de Transporte(Programación Lineal

Entera)

Materiales los Andes es una de las empresas más grandes en comercialización y distribución de productos para el sector de la construcción y ferretería en el occidente del país. La empresa cuenta con 3 establecimientos, Mérida, Barinas y El Vigía, cubriendo de esta manera gran parte de la región andina y los llanos venezolanos.

Materiales los Andes tiene dos clientes principales ubicados en la ciudad de Cabimas y Valera. Los establecimientos de Mérida, Barinas y El Vigía pueden satisfacer con 25000, 20000 y 10000 piezas de construcción y ferretería mensuales respectivamente para los clientes de Cabimas y Valera. Las necesidades de los clientes de las ciudades de Cabimas y Valera son de 35000 y 20000 piezas de construcción y ferretería mensuales respectivamente.

Problema de Transporte(Programación Lineal Entera)

La gerencia quiere determinar la programación de envío de costo mínimo para sus operaciones mensuales respecto a piezas de construcción y ferretería. Los costos asociados al envió de cada pieza entre los establecimientos de Materiales los Andes y sus clientes principales se muestran en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.


DestinoFuente Cabimas ValeraMérida 1500 2000Barinas 3500 1500El Vigía 1000 2500

Paso 1

Definir las variables. De forma Xi,j donde i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este caso i define el conjunto (Mérida, Barinas y El Vigía) y j define el conjunto (Cabimas y Valera). Sin embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un número respectivo y mostrarlo mediante una red.


De esta manera se identifican las siguientes variables o rutas a evaluar

X1,1 = Mérida a Cabimas

X1,2 = Mérida a Valera

X2,1 = Barinas a Cabimas

X2,2 = Barinas a Valera

X3,1 = El Vigía a Cabimas

X3,2 = El Vigía a Valera


Paso 2Formulación de la función objetivo, en la cual se relaciona el costo correspondiente a cada ruta.

Min Z= 1500X1,1 + 2000X1,2 + 3500X2,1 + 1500X2,2 + 1000X3,1 + 2500X3,2

Paso 3Formulación de las restricciones de oferta y demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y destinos.

Restricciones de oferta o disponibilidadX1,1 + X1,2 ≤ 25000X2,1 + X2,2 ≤ 20000X3,1 + X3,2 ≤ 10000Restricciones de demanda X1,1 + X2,1 + X3,1 ≥ 35000X1,2 + X2,2 + X3,2 ≥ 20000

Restricción No negatividad X1,1 ; X1,2 ; X2,1 ; X2,2 ; X3,1 ; X3,2 ≥ 0 y Enteros



Rutas a escoger que minimizan los costos de transporte

X1,1 = Mérida a Cabimas

X2,2 = Barinas a Valera

X3,1 = El Vigía a Cabimas

Para obtener un costo mínimo en el transporte de las piezas de construcción y ferretería de 77.500.000

Modelo de Asignación(Binaria)

Ejercicio Modelo de Asignación (Binaria)

El departamento de ventas de Los Parques Temáticos(Venezuela de Antier, Montaña de los Sueños y los Aleros), ubicados en la ciudad de Mérida-Venezuela, necesitan asignar nuevos vendedores a nivel nacional, específicamente en los estados Valencia, Barquisimeto y Trujillo. Cuatro personas bien capacitadas están listas para ser asignadas, pero solo se contempla la idea de asignar un solo vendedor por estado, por lo tanto uno de esos nuevos vendedores tendrá que esperar hasta que otro estado quede disponible para que le pueda ser asignado.El efecto de asignación de un vendedor cualquiera, a un estado, se mide por el incremento marginal esperado en la contribución de dicha asignación a las ganancias.

Ejercicio Modelo de Asignación (Binaria)

A continuación se presenta la matriz de ganancias, especificando los vendedores, los estados que requieren vendedores y la contribución que cada uno dará a la empresa al ser asignados

VendedorESTADOS

Nº VendedoresDisponibles

Valencia Barquisimeto Trujillo

Juan 40000 30000 20000 1

Ernesto 18000 28000 22000 1

Pablo 12000 16000 20000 1

Antonio 25000 24000 27000 1Nº Vendedores

Requeridos 1 1 13

4

Ejercicio Programación binaria

toma de decisiones

Ejercicio Programación binaria toma de decisiones

La Empresa fabricadora de fármacos Valmor C.A., ubicada en av. Bolívar de la ciudad Ejido, Edo. Mérida, está considerando la realización de tres posibles proyectos. El primer proyecto hace referencia a la incorporación de un nuevo Software de mantenimiento para llevar de cerca las labores del cuidado de las máquinas y maquinarias, capacitar al personal para el conocimiento del programa y establecer nuevas políticas de ingeniería de mantenimiento. El segundo proyecto, se plantea en la necesidad de proponer un nuevo fármaco para competir en un nuevo mercado, Duroval de 25 mg (Sildenafil 25 mg), la empresa comercializa actualmente la presentaciones de 50 y 100 mg. Por tanto, este proyecto incluye la adquisición de maquinaria para procesos automatizados, generando tres nuevos puestos de trabajo, que deben ser capacitados. Este proyecto también incluye una ampliación de un centro de distribución.

El último proyecto nace en la necesidad de ampliar y reacondicionar el almacén de la Gerencia de Control de Calidad, lo que traería una mejora importante en la gestión de la Calidad, mejorando la producción, un mejor aprovechamiento de la materia prima; para finalmente, atraer clientes más exigentes. Elaboración de planos de arquitectura y de ingeniería de proyectos. La adecuación para ofrecer las normas y condiciones necesarias. El proyecto abarca la Instalación de nueva estantería y la asignación de un puesto laboral como Analista de Inventario, suscrito a la Gerencia de Control de Calidad.


Existen limitaciones presupuestarias para el año 2016 y 2017. Por tanto se desea determinar qué proyecto o cuáles proyectos representan mayores ganancias a la empresa. De los estudios de los requerimientos de capital resulta la siguiente tabla:

Proyecto Valor Actual Neto (VAN)

Año 2016 Año 2017

1. Nuevo Software

36 12 8

2. Nuevo fármaco

50 16 14

3. Ampliación

62 24 16

Fondos Disponibles

- 30 26

*Todos los montos están en Millones de Bolívares Fuertes.


variables de Decisión. Xi, Siendo X = 0,1 Valor cero, proyecto rechazado

Valor unidad, proyecto aceptado


para i X1 = Primer proyecto, nuevo Software X2= Segundo proyecto, nuevo fármaco X3= Tercer proyecto, la ampliación


Función Objetivo: Max Z (x)= 36X1+50X2+62X3 Restricciones:

12X1+16X2+24X3< o igual 30 8X1+14X2+16X3< o igual 26

Ejercicio Programación Entera Mixta

(2 variables)

Ejercicio Programación Entera Mixta (2 variables)

La empresa Lácteos Los Andes, se dedica a la elaboración y venta de queso blanco y leche pasteurizada (la cual vende en presentación de un litro). Para la elaboración del queso se ha determinado que por cada kilo se requieren 5 minutos y 30 segundos de mano de obra y 9,5 litros de leche, el kilo de queso se vende en 1400Bs. Para la pasteurización se ha determinado que por cada litro se requieren de 45 segundos de mano de obra, el envase de un litro de leche se vende en 150 Bs. La empresa cuenta con 3 trabajadores que laboran 8 horas diarias, 5 días a la semana y con 12 mil litros de leche semanalmente. Determine en que cantidades producir queso y leche pasteurizada para obtener los mayores ingresos.


5 minutos y 30 segundos = 5.5 minutos

Si 60 segundos = 1 minuto 45 segundos = 0.75 minutos

8 horas diarias x 5 días x 3 trabajadores = 120 horas.

120 horas = 7200 minutos.


X1: Kilos de queso

X2: Envases de un litro de leche


F.O. Max = 1400X1 + 150X2Sujeto a: 5,5X1 + 0,75X2 ≤ 7200 9,5X1 + 1X2 ≤ 12000 X1 + X2 ≥ 0 X2, entero.


Se deben producir: 1107,78 kilos de queso. y envasar 1476 litros de leche.

Para obtener los ingresos máximos de 1.772.305,26 Bs.

Ejercicio Programación Entera Mixta (2 Mixtas 1 Entera)

Ejercicio Programación Entera Mixta (varias variables)

Mito BrewHouse C.A. es una fabrica especialista en la elaboración de diferentes tipos de cervezas artesanales del estado Mérida Venezuela. Actualmente produce tres tipos de cervezas, La Sayona, la Llorona, y La Candileja y además comercializa vasos térmicos identificados con la marca. Los costos asociados a la materia prima y producción para un litro de cerveza son 380 bs La Sayona, 410 Bs La Llorona, y 445 Bs La Candileja, y el costo unitario por vaso es de 400 bs. La empresa cuenta con una disponibilidad presupuestaria de 2.000.000 bs anuales. Además, la empresa tiene gastos de publicidad por producto de 51; 49,5 y 50 bs para las cervezas, Sayona , Llorona y Candileja respectivamente, y para los vasos 49 bs por publicidad, tiene dispuestos para gastos de publicidad 1.000.000 bs. Para el almacenamiento de la materia prima se cuenta con una capacidad de almacenamiento de 1800 kg. Para producir 1 litro de La Sayona La Llorona y La Candileja se necesitan 50,5 , 51 y 50 gamos de levadura respectivamente. Por cada vaso adquirido se necesita un espacio para su almacenamiento de 10cm y la disponibilidad de espacio es de 5 Mt. Según estudios realizados la empresa venderá La Sayona, La Llorona y La Candileja en 700, 730, y 750 Bs respectivamente, y los vasos en 790 bs por unidad. Se pide determinar la cantidad de litros de cerveza La Sayona, La Llorona y La Candileja a producir y la cantidad de vasos Térmicos a adquirir para Maximizar el ingreso.


Si 1 kilo = 1000 gr 1800 kg= 1800000 gr

SI 1m = 100cm 5m = 500cm


X1:Litros de cerveza La Sayona a producir

X2: Litros de cerveza La Llorona a producir

X3: Litros de cerveza La Candileja a producir

X4: Unidades de vasos Térmicos a adquirir


F.O. Max = 700X1 + 730X2 + 750X3 + 790X4 Sujeto a: 380X1+410X2+445X3+400X4 ≤ 2.000.000 50,5X1 + 51X2 + 50X3 ≤ 1.800.000 51X1 + 49,5X2+50X3+49X4 ≤

1.000.000 10X4 ≤ 500 X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 0 X4 ≥ 0 entero.

Ejercicio Programación Lineal Entera (Mixta)

La compañía Telandes está considerando la fabricación de camisas y pantalones con tela de jean, percibiendo una utilidad de Bs1.000 y Bs2.000, respectivamente. Así mismo, puede comercializar la tela por metros con una utilidad de Bs300 por metro de tela. Para realizar estas operaciones se cuenta con 200 metros de tela.

Ejercicio Programación Lineal Entera (Mixta )

Ejercicio Programación Entera (Mixta)

Para la elaboración de las prendas de vestir, se ha determinado que se requieren los siguientes tiempos de mano de obra:

1 hora para fabricar una camisa 3 horas para fabricar un pantalón


Se sabe también que para producir una camisa se requiere 1,5m de tela y para producir un pantalón se requieren 2m. Como consecuencia de las nuevas mejoras salariales impuestas por el Ejecutivo Nacional, la empresa no desea que su personal dispuesto para la elaboración de las prendas de vestir, pase más de 100 horas elaborando las mismas puesto que los necesita para la confección de cortinas, actividad que resulta más rentable.


De igual modo, se ha determinado que la demanda máxima de camisas de jean en el establecimiento es de 20 unidades mensuales, y de pantalones 35 unidades mensuales. Producir más de esta cantidad genera costos de almacenamiento en los que Telandes no desea incurrir.

Se debe determinar qué cantidad de camisas, pantalones y tela necesita vender la compañía diariamente para maximizar los beneficios.

Maximizar Z= 7000C+10000P+2000TDonde:

C: Cantidad de camisasP: Cantidad de pantalones

T: Metros de tela


Restricciones:Tela disponible: 1,5C + 2P + 1T <= 200Horas mano de obra: 1C + 3P <= 100Demanda camisas: C <= 20Demanda pantalones: P <= 35Integridad de las variables: C y P deben ser enterosNo negatividad: C, P y T >=0


Gracias!

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