MVZ Laura Sánchez

Método algebraico capaz de arrojar soluciones

matemáticas óptimas en función de un objetivo

de maximización o de minimización.

Ideado por Dantzig durante la segunda guerra mundial para

resolver problemas de transporte.

Es una técnica de planeación.

Se utiliza frecuentemente en empresas agropecuarias, para

formular raciones alimenticias a mínimo costo, seleccionar

actividades, diseño de rutas de transporte y calendarización de

actividades.

La programación lineal (PL) se usa para representar mediante ecuaciones matemáticas las relaciones que existen entre los componentes de problemas de planeación.

Se basa en los procesos de álgebra para dar soluciones óptimas a modelos matemáticos de problemas de planeación

Ventajas.

• Evita experimentar con la empresa.

• Evaluar los efectos de la toma de decisiones.

• Encuentra la mejor alternativa.

1. Objetivos

2. Actividades

3. Restricciones

Incrementar utilidades

Elevando ingresos

Reducción de costos

Son los diferentes procesos productivos que se

pueden realizar en una empresa.

Diferentes productos finales.

Diferentes formas de llegar al producto final.

La PL trata de encontrar la mejor combinación, sólo se podrá usar cuando existan dos o más actividades alternativas.

Cantidades limitadas de recursos.

Controles a la producción impuestos por el

gobierno, el mercado o el productor.

Representa los tres elementos de los problemas de planeación mediante ecuaciones algebraicas.

Consta de tres partes: Función Objetivo

Restricciones

Condición de no negatividad.

Representa el objetivo del problema que es obtener el máximo de utilidad.

Z = X1(C1)+ X2(C2)+… +Xn(Cn)

Z = utilidad total a maximizar.

X = actividades

C = utilidades por actividad.

Representan las limitantes.

b1 ≥ X1(A1)+X2(A2)+...+Xn(An)

b = restricción. Ej. Total de capital con que se cuenta.

X = actividad. Ej. Ha a sembrar de maíz. A = cantidad de recurso que necesita la

actividad. Ej. Costo para sembrar una Ha.

Representa un supuesto básico, que indica que

los valores que adopten X1 y X2 deben de ser

iguales o mayores que cero.

X1 + X2 ≥0

Métodos manuales:

Gráfico (Máx. dos actividades)

Simplex

Métodos por computadora:

Excel (Solver)

Un agricultor dispone de 50 ha de tierra

cultivable, en las que puede sembrar

alfalfa o maíz, y $26,000.

El maíz genera $900 de utilidad/ha

La alfalfa genera $1,040 de utilidad/ha

El agricultor quiere saber cuántas ha de

maíz y de alfalfa debe sembrar para

obtener el máximo de utilidad

A

X1 (maíz)

B

X2 (Alfalfa)

Disponibilidad

Producción/

ha

$900 $1040 Máximo Ingreso

Agua m3/ha 40 50 2400m3

Capital /ha 500 600 $26 000

Tierra 1 1 50

Función objetivo:

Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)

Z = Utilidad de la empresa

X1 = Maíz

X2 = Alfalfa

Agua 40 X1 + 50 X2 ≤ 2400

Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000

Tierra X1 + X2 ≤ 50

Condición de no negatividad

• Donde X1 , X2 ≥ 0

Método gráfico

El primer paso en este método es graficar

las ecuaciones de restricción en un plano

cartesiano

Las ecuaciones son de primer grado, ésta

es una de las condiciones para resolver un

problema de planeación por medio de la

PL

Produciendo sólo maíz:

40X1 + 50X2 = 2400

40X1 + 50(0) = 2400

X1= 2400/ 40 = 60

A ( 60, 0 )

Obtención de coordenadas

AGUA

• Produciendo sólo alfalfa:

40X1 + 50X2 = 2400

40(0) + 50X2 = 2400

X2= 2400/ 50 = 48

B (0 , 48 )

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80

B (0,48)

A (60,0)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80

B (0,48)

A (60,0)

Área de

solución

Produciendo sólo maíz:

500X1 +600 X2 = 26000

500X1 +600(0) = 26000

500X1 + 0 = 26000

X1 = 26000/ 500 = 52

C ( 52 , 0 )

Produciendo sólo alfalfa:

500X1 + 600 X2 = 26000

500(0) + 600 X2 = 26000

0 + 600 X2 = 26000

X2 = 26000/ 600 = 43.33

D (0 , 43.33)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80

D

(0,43.33)

A (60,0)

C (52,0)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80

D

(0,43.33)

A (60,0)

C (52,0)

Produciendo sólo maíz:

X1 + X2 = 50

X1 + 0 = 50

X1 = 50

E (50 , 0)

Produciendo sólo alfalfa:

• X1 + X2 = 50

• 0 + X2 = 50

• X2 = 50

• F (0 , 50)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80

E (50, 0)

F (O,50)

Queda delimitada por los puntos E,D y el

vértice de las líneas EF y CD

“La solución gráfica de un problema de

programación lineal se encuentra en un

vértice”

Ya se tiene el área factible de solución,

ahora es necesario encontrar cual de los

vértices proporciona mayor utilidad, para

ello, se sustituye el valor de E y D en la

función objetivo

Sustituir el punto

E (50,0)

Z=50 (900) + 0 (1,040)

Z=45,000 + 0

Z = 45,000

La utilidad del punto E es $45,000

Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)

Sustituir el punto

D (0,43.3)

Z = 0 (900) + 43.3 (1,040)

Z = 0 + 45,032

Z = 45,032

La utilidad del punto D es

$45,032

Para encontrar las coordenadas del vértice

de las líneas EF y CD (punto G) es preciso

solucionar el sistema de ecuaciones formado

por:

Tierra X1 + X2 ≤ 50

Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000

La solución de un sistema de ecuaciones se localiza en el vértice, en donde las líneas que representan a las ecuaciones se cruzan.

Métodos: Suma y resta

Igualación

Sustitución

Método de suma y resta PRIMER PASO:

Consiste en multiplicar una de las ecuaciones por un

número negativo tal que permita igualar a uno de los

elementos en ambas ecuaciones, pero con signo

contrario.

Esto se logra en este sistema multiplicando la primera

ecuación por -500

X1 + X2 = 50

500X1 +600 X2 = 26,000

• Se multiplica tierra por –500:

-500(X1 + X2= 50)

-500X1 - 500X2 = -25,000

Método de suma y resta

El nuevo sistema queda:

-500X1 - 500X2 = -25,000

500X1 +600 X2 = 26,000

Se suman ambas ecuaciones para

obtener una sola incógnita

-500X1 - 500X2 = -25,000

+

500X1 +600 X2 = 26,000

0 + 100 X2 = 1,000

X2 =1,000/100 = 10

X2 = 10

Método de suma y resta

Se despeja X2

X1 + X2 = 50

X1 + 10 = 50

X1 = 50 – 10 = 40

X1 = 40

Coordenada del Vértice

Punto G (40, 10)

Para saber la utilidad de esta combinación de

sustituyen los valores del PUNTO G en la

función objetivo.

Z= 40 (900) + 10 (1,040)

Z= 36,000 + 10,400

Z= 46,400

Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)

Se puede comprobar que ésta solución cumple

con las restricciones establecidas si se sustituyen

los valores obtenidos, en las ecuaciones del

problema: X1= 40 X2 =10

Agua 40 X1 + 50 X2 ≤ 2400

40(40) + 50 (10) = 2,100

Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000

500 (40) + 600 (10) = 26,000

Tierra X1 + X2 ≤ 50

(40) + (10) = 50

Un Médico Veterinario atiende un a un paciente el cual sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2,400 mg hierro, 2,100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1,500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto tiempo.

Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B.

Cada píldora de la marca A contiene 40mg de hierro, 10mg de vitamina B-1, 5mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos.

Cada píldora de la marca B contiene 10mg de hierro, 15mg de vitamina B-1 y 15mg de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos.

¿Cuáles combinaciones de píldoras debe

comprar el dueño del paciente para cubrir sus

requerimientos de hierro y vitamina al menor

costo?

Marca A Marca B Requerimientos

mínimos

Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg

Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg

Vitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mg

Costo por

píldora 6 centavos 8 centavos

Función objetivo:

Minimizar Z = X1 (6) + X2 (8)

Z = Costo de las píldoras

X1 = píldora A

X2 = píldora B

Fe 40 X1 + 10X2 ≥ 2400

Vitamina B1 10X1 + 15 X2 ≥ 2100

Vitamina B2 5X1 + 15 X2 ≥ 1500

Condición de no negatividad

• Donde X1 , X2 ≥ 0

Comprando sólo Píldora A:

40X1 + 10X2 = 2400

40X1 + 10(0) = 2400

X1= 2400/ 40 = 60

A ( 60, 0 )

Obtención de coordenadas

Fe

• Comprando sólo Píldora B:

40X1 + 10X2 = 2400

40(0) + 10X2 = 2400

X2= 2400/ 10 = 240

B (0 , 240 )

Comprando sólo Píldora A:

10X1 +15 X2 = 2100

10X1 +15(0) = 2100

10X1 + 0 = 2100

X1 = 2100/ 10 = 210

C ( 210 , 0 )

Comprando sólo Píldora B:

10X1 + 15 X2 = 2100

10(0) + 15 X2 = 2100

0 + 15 X2 = 2100

X2 = 2100/ 15 = 140

D (0 , 140)

Comprando sólo Píldora A :

5 X1 + 15 X2 = 1500

5 X1 + 0 = 1500

X1 = 300

E (300 , 0)

Comprando sólo Píldora B :

• 5X1 + 15 X2 = 1500

• 0 + 15 X2 = 1500

• X2 = 100

• F (0 , 100)

230

300

250

200

150

100

50

50

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

Queda delimitada por los vértices de las líneas AB y CD; y el

vértice de las líneas CD y EF.

230

300

250

200

150

100

50

50

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0 A (60,0)

B (0,240)

C (210,0)

D (0,40)

E (300,)0

F (0,100)

“La solución gráfica de un problema de

programación lineal se encuentra en un

vértice”

Ya se tiene el área factible de solución,

ahora es necesario encontrar cual de los

vértices proporciona mayor utilidad, para

ello, se sustituye el valor de E y B en la

función objetivo

Para encontrar las coordenadas del vértice

de las líneas AB y CD (punto G) es preciso

solucionar el sistema de ecuaciones formado

por:

Fe 40X1 + 10X2 = 2400

Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100

La solución de un sistema de ecuaciones se localiza en el vértice, en donde las líneas que representan a las ecuaciones se cruzan.

Métodos: Suma y resta

Igualación

Sustitución

Método de suma y resta

Fe 40X1 + 10X2 = 2400

Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100

• Se multiplica Vitamina B1 por –4:

Se realiza la suma

40X1 + 10X2 = 2400

+

-40X1 - 60 X2 = -8400

0 - 50X2 = -6000

X2 =-6000/-50 = 120

X2 = 120

Se sustituye

10X1 + 15 X2 = 2100

10X1 + 15(120) = 2100

10X1 = 2100-1800

X1 = 300/10

X1 = 30

Coordenada del Vértice

Punto G (30, 120)

Para encontrar las coordenadas del vértice de las líneas CD y EF (punto H) es preciso solucionar el sistema de ecuaciones formado por:

Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100 Vitamina B2 5X1 + 15X2 = 1500

Método de suma y resta

Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100

Vitamina B2 5X1 + 15X2 = 1500

• Se multiplica Vitamina B1 por (–):

Se realiza la suma

10X1 + 15X2 = 2100

+

-5X1 - 15 X2 = -1500

5 X1 = 600

X1 =600/5= 120

X1= 120

Se sustituye

5X1 + 15 X2 = 1500

5( 120) + 15X2 = 1500

15 X2= 1500-600

X2 = 900/15

X2 = 60

Coordenada del Vértice

Punto H (120, 60)

Sustituir el punto

E (300,0)

Z=300 (6) + 0 (8)

Z=1800 + 0

Z = 1800

El costo en el punto E es $18.00

MINIMIZAR Z = X1 (6) + X2 (8)

Sustituir el punto

B (0, 240)

Z = 0 (6) + 240 (8)

Z = 0 + 1920

Z = 1920

El costo en el punto B es

$19.20

Sustituir el punto

G (30,120)

Z=30 (6) + 120 (8)

Z=180 + 960

Z = 1140

El costo en el punto G es $11.40

MINIMIZAR Z = X1 (6) + X2 (8)

Sustituir el punto

H (120,60)

Z = 120 (6) + 60 (8)

Z = 720 + 480

Z = 1200

El costo en el punto H es

$12.00

¿Cuáles combinaciones de píldoras debe

comprar el dueño del paciente para cubrir

sus requerimientos de hierro y vitamina al

menor costo?

30 PÍLDORAS A Y 120 PÍLDORAS B, A UN

COSTO DE $ 11.40