FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

ESCULA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

PROGRAMACION LINEAL

CURSO:ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS I

DOCENTE:ING.GUSTAVO BOJORQUEZ HUERTA

ASOCIADO D.E

Huaraz _ 2009

OBJETIVO: PRESENTAR LAS ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN, PARA MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL, POR EL MÉTODO GRÁFICO

j

n

jj XCZOptimizar

1

)(

ij

n

jij bXa

1

0jX

XCZOptimizar t )(

ibXA

0X

C. FUNDAMENTACION TEORICA

3.1 NOTACION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL: Existen tres formas de denotar simbólicamente los modelos de programación lineal

que a continuación se definen: 3.1.1 Notación estadística: La expresión matemática para el formato estadístico es como

sigue:

S.a:

3.1.2 Notación matricial: La expresión matemática para el formato matricial en forma compacta es como sigue:

S.a:

n

n

X

X

X

CCCZOptimizar

.

.

.,...,,)(

2

1

21

nnmnmm

n

n

b

b

b

X

X

X

aaa

aaa

aaa

.

.

.,,

.

.

.

,...,

.

.

.

,...,

,...,

2

1

2

1

21

22221

11211

0

.

.

.

0

0

.

.

.2

1

nX

X

X

3.1.3 Notación desarrollada: es como sigue:

S.a:

3.2 ELEMENTOS DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL:

Según Jorge Álvarez A. un modelo de programación lineal consta de tres elementos:

“Función objetivo Restricciones estructurales Restricciones de no negatividad”.

3.2.1 Función objetivo: Llamado también función económica o función criterio, es la función que debe maximizarse o minimizarse y se denota simbólicamente por Z. Los coeficientes C1, C2,…, Cn son los coeficientes de beneficios o costos según sea el caso.

Estos coeficientes son constantes, conocidos que vienen en la literatura del problema. Las variables X1, X2,…, Xn reciben el nombre de variables de decisión o niveles de

actividad que deben calcularse o determinarse.

3.2.2 Restricciones estructurales: Son las condiciones o limitaciones que se imponen en el sistema motivo de estudio. Los coeficientes en general.

Aij, i = 1, 2,…, n, j = 1, 2,…, m reciben el nombre de coeficientes tecnológicos y representan cada uno de ellos a la cantidad de recurso j que requiere la cantidad i.

3.2.3. Restricciones de no negatividad: Están referidos a que las variables matemáticamente, siempre tienen que tener valores positivos o valores iguales a cero, pero nunca negativo o menores que cero, ya que técnicamente hablando no tienen ningún significado físico.El conjunto de variables que satisfacen tanto a la función objetivo como a las restricciones estructurales reciben el nombre de punto o vector factible y el conjunto de puntos o vectores factibles reciben el nombre de espacio o región factible o viable.

3.3.FORMAS DE PRESENTACION DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL:Existen diferentes formas de expresar modelos de PL, sin embargo algunas formas surgen de una manera espontánea e intuitiva debido a las características particulares que presenta el sistema en estudio. Luís Chivilches A. ([1]). Menciona cuatro formas de presentación de los modelos de PL, tales como forma canónica, estandarizada, mixta y genérico.Forma canónica de un PL: Se dice que un modelo de PL esta en su formato canónico cuando el objetivo es maximizar una función

([1]) CHIVILCHES AYALA, L. (2003). Investigación de Operaciones Toma de Decisiones para el Cambio. Lima. Ed. Fondo Editorial UIGV. Cap. II, Pp. 55, 56.

XCZMax t )(

ibXA

0X

XCZMax t )(

ibXA

0X

lineal, sujeto a restricciones exclusivamente de las formas “menor o igual que” y las variables de decisión no admiten valores negativos.La forma canónica de un PL expresada en su notación matricial es:

S. a:

3.3.2. Forma estandarizada de un PL: Se dice que un modelo de PL esta en su formato estandarizado cuando el objetivo es maximizar una función lineal, sujeta a restricciones de la forma “igual que” exclusivamente y las variables de decisión no admiten valores negativos.La forma estandarizada de un PL expresada en su notación matricial es:

S. a:

XCZOptimizar t )(

ij

n

jij bXA

1

0jX

XCZOptimizar t )(

ibXA

LibreXXX :,0,0

1.Forma mixta de un PL: Donde la función objetivo es la maximización o la minimización de las formas “menor o igual que” o “mayor o igual que” y admiten solo variables no negativas.La forma mixta de un PL expresada en su notación estadística es:

S.a:

1.Forma genérica de un PL: Se dice que un modelo de PL esta en su formato genérico cuando el objetivo es maximizar o minimizar una función lineal, sujeto a restricciones de las formas “menor o igual que”, “igual que” y “mayor o igual que” y las variables de decisión pueden ser no restringidas, es decir pueden tomar valores positivos, ceros y negativos.La forma genérica de un PL expresada en su notación matricial es:

S.a:

XCZMax t )(

ibXA

0X

XCZMin t )(XCZMax t )(

tt DC

)()()()( ttt CMaxDMaxDMinZMin )()()()( ttt CMinDMinDMaxZMax

3.4. TRANSFORMACIONES DE UN PROGRAMA LINEAL DE UNA FORMA A OTRASegún Jorge Álvarez). Algunas formas de presentación de un modelo de PL son más convenientes que

otras para ciertos propósitos. Por ejemplo frecuentemente se usa la forma canónica para realizar estudios conceptuales de programación lineal. Sin embargo la forma estandarizada de un PL tiene particular importancia para hallar la solución de un problema de PL mediante métodos analíticos.

3.4.1. Transformación a la forma canónica.Por comodidad empleamos aquí la notación matricial para representar al formato canónico de. un PL

S. a:

a.Transformación de la función objetivoSupongamos las siguientes funciones objetivas:

Sea:

Entonces se tiene:

11212111 ... bXaXaXa nn

11212111 ... bXaXaXa nn

11212111 ... bXaXaXa nn

11212111 ... bXaXaXa nn

11212111 ... bXaXaXa nn

11212111 ... bXaXaXa nn

11212111 ... bXaXaXa nn

b. Transformaciones de las restricciones estructurales Consideramos una restricción mayor o igual que estricta:

Multiplicando ambos miembros por (-1), se obtiene la siguiente expresión:

Consideramos una restricción de igualdad estricta:

Esta ecuación implica las siguientes relaciones:

Por lo tanto una restricción de igualdad equivale a:

0jX01 jj XX 0, 1 jj XX

oirrestrictLibreX j ,:

21 jjj XXX0,, 21 jjj XXX

11212111 ... bXaXaXa nn

111212111 )(... bXiXaXaXa nnn

01 nX

c. Transformación de las restricciones de no negatividadJ. Álvarez . Comenta que las variables de decisión siempre son positivas, sin embargo algunas

variables o todas no están restringidas a ser no negativas.Para:

No cumple:

Para:

Entonces se tiene:

3.4.2. Transformación de la forma canónica a la forma estandarizada Jorge Álvarez ([2]). Indica que una restricción de tipo “menor o igual que”, puede ser

transformada en una restricción de tipo “igual que” agregando una variable de holgura al primer miembro de la siguiente ecuación:

Entonces, se tiene la siguiente ecuación:

Para , i: vector unitario.

Entonces se tiene:

11212111 ... bXaXaXa nn

111212111 )(... bXiXaXaXa nnn

01 nX

3.4.3.Transformaciones de un PL con restricciones de mayor o igual que a la forma estandarizadaUna restricción estructural de la forma “mayor o igual que” puede ser transformada a una restricción de igualdad utilizando variables de exceso.

Se transforma en igualdad restando una variable de holgura al primer miembro en la ecuación anterior.

Para:

Sin embargo en la solución de PL por el método simplex, es necesario añadir una variable artificial a la última ecuación para que esta tenga un sentido práctico.

3.5.METODOS DE SOLUCION DE PROGRAMAS LINEALESUn programa lineal puede se resolver por el método geométrico o grafico y por el método analítico.En el presente trabajo vamos a tratar sobre e el método geométrico debido a su eficiencia computacional, para usar este método el modelo matemático debe tener variables mayor o igual que tres.

,i: vector unitario.

EL MÉTODO GRÁFICO

La solución de un modelo de Programación

Lineal por medio del método gráfico, consiste

en la búsqueda de la combinación de valores

para las variables de decisión que optimicen

el valor de la función objetivo, si es que dicha

combinación existe.

Gráficamente se define una región que deje satisfechas a todas y cada una de las restricciones y se sigue un criterio de decisión.

De forma práctica sólo problemas de tres variables de decisión o menos serán representables y solucionables siguiendo este método.

A la región que satisface a todas y cada una de las restricciones de un modelo de programación Lineal se le llama REGIÓN DE FACTIBILIDAD, y consiste de todas las combinaciones, de los valores para las variables de decisión, que son válidas como una solución del modelo.

Restricciones con la forma de IGUALDAD,

siguen descripciones como: se debe …,exactamente …, sólo en el nivel …

La representación gráfica de las estricciones

de igualdad es por: Un punto, en una dimensión. Líneas rectas, para dos dimensiones Planos, para tres dimensiones

IGUALDADES

IGUALDADES

IGUALDADES

Restricciones con la forma de

DESIGUALDAD, siguen descripciones como:

se puede …, a lo mas …, por lo menos …, como mínimo …, como máximo …

La representación gráfica de las estricciones

de desigualdad es por: Una línea recta acotada, en una dimensión. Un medio plano, para dos dimensiones Un medio espacio (3D), para tres dimensiones

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

La región que satisface las condiciones

Una vez definida la región de factibilidad, se procede a determinar la combinación de valores de las variables de decisión que optimizan el valor de la función objetivo siguiendo una de las estrategias:

Búsqueda exhaustiva Búsqueda siguiendo el vector de coeficientes de

la función objetivo

BÚSQUEDA EXHAUSTIVA

Se determinan todos los vértices, puntos esquina, de la región de factibilidad.

Se evalúa la función objetivo para cada uno de los puntos esquina.

Se define como punto óptimo (*) a aquel que alcance el mejor valor en la función objetivo

En maximización, el mayor valor En minimización, el menor valor

EJEMPLO

Sea:

sujeta a

La región de factibilidad es:

Solución:

Los valores óptimos son:

BÚSQUEDA EN LA DIRECCIÓNDEL VECTOR DE COEFICIENTESDE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Una vez definida la región factible,

Se define el vector de coeficientes de la función objetivo de la siguiente forma:

Se traza una línea de base, esto es, una

línea recta para un valor de la función objetivo. Generalmente será un valor en relación a la

escala del problema El valor óptimo se establece siguiendo uno de los

criterios: MAXIMIZACIÓN MINIMIZACIÓN

Criterio de MAXIMIZACIÓN

Se define la línea recta paralela a la línea de

base que siguiendo la dirección positiva del

vector de coeficientes de la función objetivo,

esto es, la dirección c = (c1, c2), sea la última

en tocar la región de factibilidad.

Criterio de MINIMIZACIÓN

Se define la línea recta paralela a la línea de

base que siguiendo la dirección negativa

del vector de coeficientes de la función

objetivo, esto es, la dirección - c = (-c1, -c2),

sea la última en tocar la región de

factibilidad.

Finalmente, el valor óptimo para las variables de decisión se encuentra en ese último punto que toca la recta definida. (o bien en todo el conjunto último de puntos que toque la recta definida.)

También se define el valor óptimo de z en función al valor de las variables de decisión.

EJEMPLO: MAXIMIZACIÓN

Sea:

La región de factibilidad es:

La última recta en tocar la región de factibilidad

en la dirección c = (3, 1) será:

Siendo el valor óptimo el encontrado en:

EJEMPLO: MINIMIZACIÓN

Sea:

La región de factibilidad es:

La última recta en tocar la región de factibilidad en la dirección - c = (-3, -1) será:

Siendo el valor óptimo el encontrado en:

CASOS ESPECIALES(MAXIMIZACIÓN)

Solución óptima única

Solución inexistente (si las rectas son paralelas)

Soluciones múltiples,

Solución no acotada

Solución óptima degenerada

CONCLUSIONES

Gráficamente la asignación óptima de variables, se localiza el punto dónde la función objetivo adquiere su mejor valor, si es que dicho punto existe.

El mejor valor se determina ya sea explorando todos los puntos esquina, o bien siguiendo al vector de coeficientes de la función objetivo.

La solución puede clasificarse como: única, no existente, múltiple, no acotada o degenerada.

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