Maestría Operaciones y Logística

Curso : Modelación y Simulación

Profesor : Ingº Carlos Culquichicón, MBA

Junio 2015

SESIONES 4

El Método GráficoEl método grafico es relativamente sencillo y se aplica cuando los problemas de programación lineal tienen solamente dos variables pero sin importar la cantidad de restricciones.

ZMax : 3X1 + 2X2

El Método Gráfico

Las restricciones,

Delimitar el área factible

Encontrar los puntos de intersección alrededor del área factible

Evaluar la función objetivo en los puntos alrededor del área factible

Escoger la función de valor objetivo mas grande si el problema es de maximizar o

La función objetivo de menor valor si la función es de minimizar

El método consiste graficar:

El Método Gráfico

Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

Los pasos necesarios para realizar el método son

El Método GráficoTrazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo

Caso Práctico

• Un fabricante de muebles produce mesas y sillas, obteniendo una utilidad marginal de 5 dólares por cada una de ellas. Si el fabricante dispone diariamente de 960 unidades de material, 720 horas de mano de obra y ya esta comprometido a entregar por lo menos 20 mesas todos los días formule el problema de programación lineal sabiendo que para producir una mesa se requieren 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra mientras que para una silla se requieren 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. Resolver el problema por el método grafico.

Modelo de PL

• Variables de decisiónX1 : MesasX2 : Sillas

• Función objetivoZMax : 5x1 +5x2

• Restricciones12x1 + 8x2 <= 9606x1 + 12 x2 <= 720x1 >= 20x1, x2 >= 0

Método Gráfico

X1

X2

12x1 + 8x2 <= 960

6x1 + 12 x2 <= 720

x1 >= 20

(20,0)

(80,0)

(60,30)

(20,50)

Z=450

Analisis de Sensibilidad• Una Cia. manufacturera elabora 2 tipos de bates para baseball:

uno de peso ligero usado en las ligas menores y otro de peso mediano que se vende a los equipos de las ligas mayores. La producción de un bate requiere una operación de torno para darle forma, un proceso de lija para suavizar la madera, y para los medianos, solamente, una mano de laqueado como tratamiento final.Un bate para liga menor requiere 1 minuto en un torno de alta velocidad en tanto que el bate para la liga mayor toma 2 minutos de tiempo torneado, puesto que se le debe dar forma con tolerancias muy estrechas. El bate de peso ligero requiere 3 minutos en la máquina lijadora, en tanto que el mediano necesita solo 2 minutos para ser lijado.El laqueado es hecho a mano y como resultado de esto solo pueden producirse 400 medianos durante una semana.Para una semana promedio de trabajo debe utilizarse 1,000 minutos de tiempo de torno y 1,800 de tiempo de lijado.Asuma que la compañía puede vender tantos bates de cada tipo como los que pueden producir, además se conoce que la utilidad es de S/. 3 por cada peso ligero y S/. 4 por cada mediano producido.

Modelo de PL

• Variables de decisiónX : Unidades bates peso ligeroy : Unidades bates peso mediano

• Función objetivoZMax : 3x +4y

• Restricciones3x + 2y <= 1800X + 2y <= 1000Y <= 400x, y >= 0

Método Gráfico

600 1000

400

500

900

y

x

Y <= 400

X + 2y <= 1000

3x + 2y <= 1800

Max = 3x + 4y

Z3 = (400,300)

Z2 = (200,400)Z1 = (0,400)

Z4 = (600,0)

Z3 = 3(400) + 4(300) = 2400

Rectas que

contienen el

punto objetivo

Dato Clave: Los límites se determinan entre las rectas que contienen elpunto objetivo

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

• Determino los coeficientes máximos de mi función objetivo. Reemplazándo por otras variables e igualo a 0

• Max Z = 3x + 4y • Ax + 4y = 0 A = -4y / x a / 4 = y

/ x• 3x + By = 0 B = -3x/y y / x = -

3/B

A y--- = ----4 x

3 y--- = ----B x

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

• Determino la pendiente de la restriccion 1:

• X + 2y <= 1000, Igualo a cero• X + 2y = 0, x = -2y, y/x = - ½• Determino la pendiente de la

restriccion 2:• 3x + 2y <= 1800, Igualo a cero• 3x + 2y = 0 3x = - 2y y/x = - 3/2

• Resuelvo las ecuaciones para A: y 1 , A 1 A = 2 x 2 4 2 y 3 , A 3 A = 6 x 2 4 2

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Entonces si A tiene un valor de 3 en la función objetivo, los rangos de analisisDe sensibilidad serán:

Incremento = 3Decremento = 1

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

• Resuelvo las ecuaciones para B y 1 , 3 1 B = 6 x 2 B 2 y 3 , 3 3 B = 2 x 2 B 2Entonces si B tiene un valor de 4 en la función objetivo, los rangos de análisisde sensibilidad serán:

Incremento = 2Decremento = 2

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

600 1000

400

500

900

y

x

Y <= 400

X + 2y <= 1000

3x + 2y <= 1800

Max = 3x + 4y

Z3 = (400,300)

Z2 = (200,400)Z1 = (0,400)

Z4 = (600,0)

Z3 = 3(400) + 4(300) = 2400

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

• Para las restricciones es la siguiente:

• 3x + 2y = 1800• 3x + 2y = r1• 3(200) + 2(400)

= r1• r1 = 1400

• r1 = 3x + 2y• r1 = 3(1000) +

2(0)• r1 = 3000

Es decir que esta restriccion esta en el rango:Incremento = 1200Decremento = 400

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

600 1000

400

500

900

y

x

Y <= 400

X + 2y <= 1000

3x + 2y <= 1800

Max = 3x + 4y

Z3 = (400,300)

Z2 = (200,400)Z1 = (0,400)

Z4 = (600,0)

Z3 = 3(400) + 4(300) = 2400

3x + 2 (400) = 18003x = 1000X = 333.333

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

• Para la 2da restriccion es la siguiente:

• x + 2y <= 1000• x + 2y = r2• 333.33 + 2(400)

= r1• r1 = 1133.33

• r1 = x + 2y• r1 = 600 + 2(0)• r1 = 600

Es decir que esta restriccion esta en el rango:Incremento = 133.33Decremento = 400