Introducción a la programación lineal

La programación lineal facilita la resolución de problemas de producción, economía,

rendimiento, etc. Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar

(maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, estando las variables

sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de

todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. Para resolver problemas

de programación lineal se siguen tres pasos: planteamiento, determinación de la región factible

y determinación de la solución óptima.

Planteamiento

Para plantear la solución de un problema de programación lineal, debemos realizar lo siguiente:

Organizar la información mediante una tabla.

Identificar y representar las incógnitas.

Determinar las restricciones que se crean convenientes.

Plantear la función objetivo.

Ejemplo 1

En una panadería se dispone diariamente de 80 kg de masa y de 24 kg de frutas (secas y

confitadas) para preparar dos tipos de panetones: panetón especial, con 200 g de frutas y 1 kg de

masa, y panetón premium, con 400 g de frutas y 1 kg de masa. Si el panetón especial se vende a

S/. 18 Y el panetón premium a S/. 24, determina las restricciones y plantea la función objetivo

que determina el máximo ingreso.

Del análisis de la información del problema, tenemos:

Dos cantidades de insumos: masa y frutas (secas y confitadas).

Dos tipos de panetón: especial y premium, cada uno con un precio.

Se desea obtener el máximo ingreso por la venta de los panetones.

Organizamos la información en una tabla:

Insumos por panetón Disponibilidad

Especial Premium por día (kg)

Masa (kg) 1 1 80

Frutas (kg) 200 g = 0,2 kg 400 g = 0,4 kg 24

Precio (S/.) 18 24

Identificamos y representamos las incógnitas:

x: número de panetones especiales y: número de panetones premium

Determinamos las restricciones:

De insumos: masa x + y ≤ 80 frutas 0,2x + 0,4y ≤ 24

De no negatividad, x e y son valores enteros no negativos: x ≥0; y ≥0

Como 18x es el ingreso total por la venta de los panetones especiales y 24y por la de los

panetones premium, entonces la función objetivo que determina el máximo ingreso es:

F(x; y) = 18x + 24y.

Determinación de la región factible

La solución de un problema de programación lineal debe estar en la región determinada por las

distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no estar

acotada. Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono con un

número de lados menor o igual que el número de restricciones.

Ejemplo 2

Determina la región factible del problema anterior (ejemplo 1)

El sistema que se va a graficar es:

x ≥0; y ≥0

x + y≤ 80

0,2x + 0,4y≤ 24

x ≥0; y ≥0

x + y≤ 80

x + 2y ≤ 120

Determinamos las soluciones de los seis

sistemas que se forman:

A

A

x =0

y =0

(0; 0)

B

B

x =0

x + y= 80

(0; 80)

E

E

y =0

x + 2y= 120

(120; 0)

C

C

y =0

x + y = 80

(80; 0)

D

D

X =0

x + 2y = 120

(0; 60)

F

F

x + y =80

x + 2y= 120

(40; 40)

La solución es una región factible acotada. Su representación gráfica es el polígono ACFD.

Determinación de la solución óptima

La solución óptima es aquella que maximiza o minimiza la función objetivo F(x, y). Se

encuentra en la frontera de la región factible.

Ejemplo 3

Si la función objetivo es F(x; y) = 18x + 24y (problema del ejemplo 1), determina la

solución óptima.

Identificamos los vértices: A(0; 0), C(80; 0), F(40; 40) y D(0; 60)

Evaluamos la función objetivo en cada punto:

Punto A: F(0; 0) = 18(0) + 24(0) = 0

Punto C: F(80; 0) = 18(80) + 24(0) = 1440

Punto F: F(40; 40) = 18(40) + 24(40) = 1680

Punto D: F(0; 60) = 18(0) + 24(60) = 1440

La solución óptima se obtiene en el punto F, donde la función objetivo F(x; y) = 18x + 24y

obtiene su máximo valor cuando x = 40 e y = 40. Esto quiere decir que para obtener el máximo

ingreso (S/. 1 680 diarios), se necesitan vender 40 panetones especiales y 40 panetones premium

por día.

Tipos de soluciones

Los problemas de programación lineal con dos variables pueden presentar distintos tipos de

soluciones.

Solución única

La solución es única cuando la solución óptima se encuentra solo en uno de los vértices.

Ejemplo 4

En un taller se fabrican estantes y escritorios. En la fabricación de cada estante se requieren 5

pies de madera y 8 horas de trabajo, y en la de un escritorio, 15 pies de madera y 12 horas de

trabajo. En el almacén del taller hay 420 pies de madera y las horas de trabajo disponibles son

480. Si se quiere obtener la máxima utilidad ganando en la venta de cada estante SI. 60 Y de

cada escritorio SI. 110, ¿cuántos muebles de cada tipo deben fabricarse?

Identificamos y representamos las incógnitas:

X: número de estantes y: número de escritorios

Organizamos la información en una tabla:

Estantes Escritorios Disponibilidad

Pies de madera 5 15 420

Horas de trabajo 8 12 480

Precio (S/.) 60 110

Determinamos las restricciones:

Planteamos la función objetivo que permita obtener la máxima utilidad F(x; y) = 60x + 110y

Determinamos los vértices A(O; O), B(O; 28), C(36; 16), D(60; O) y graficamos la región

factible:

x ≥0; y ≥0

5x + 15y ≤420 => x + 3y ≤ 84

8x + 12y ≤ 480 => 2x + 3y ≤ 120

Determinamos la solución óptima:

En A: F(0; 0) = 60(0) + 110(0) = 0

En B: F(0; 28) = 60(0) + 110(28) = 3080

En C: F(36; 16) = 60(36) + 110(16) = 3920 Solución óptima

En D: F(60; 0) = 60(60) + 110(0) = 3600

La máxima utilidad se obtiene en el vértice C (36; 16). Esta solución única indica que deben

fabricarse 36 estantes y 16 escritorios. En tal caso, dicha utilidad es de S/. 3 920.

Una panadería vende tortas chicas a S/. 19 cada una, y tortas grandes a S/. 30 cada una.

La capacidad máxima de elaboración de tortas es de 100 al día, entre grandes y chicas.

Pero por falta de moldes, no se pueden elaborar más de 80 tortas chicas ni más de 60

grandes. Como la panadería vende todo lo que produce, el administrador desea averiguar

cuántas tortas grandes y cuántas chicas deben elaborar para la venta y así obtener el

máximo ingreso posible. Además, quiere saber a cuánto ascendería este ingreso máximo,

Solución Múltiple

La solución es múltiple cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del

segmento que tiene por extremos a dos vértices de la región factible.

Ejemplo 5

Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar maíz o trigo y dispone de 800 h

de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad para cada uno de los productos son

S/. 40 por hectárea y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz son 2 h

por hectárea y en la del trigo, 1 h por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe plantar

para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Incógnitas

Organizamos la información en una tabla:

Maíz Trigo Disponibilidad

Superficie 1 hectárea 1 hectárea 480 hectáreas

Requerimiento laboral 2 horas 1 hora 800 horas

Utilidad S/. 40 S/. 40

x: número de hectáreas sembradas de maíz

y: número de hectáreas sembradas de trigo

Determinamos las restricciones: x ≥0; y ≥0; x + y ≤ 480; 2x + y ≤ 800

La función objetivo que maximiza la utilidad es: F(x; y) = 40x + 40y Sus vértices son: A(0; 0), B(0; 480), C(320; 160) y D(400; 0).

Graficamos en el margen la región factible.

Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices:

En A: F(0; 0) = 40(0) + 40(0) = 0

En B: F(O; 480) = 40(0) + 40(480) = 19200

En C: F(320; 160) = 40(320) + 40(160) = 19 200

En D: F(400; O) = 40(400) + 40(0) = 16000

La máxima utilidad se obtiene en los vértices B y C, y también en cualquiera de los puntos de

BC. En todos estos casos, su máxima utilidad es S/. 19200.

Solución no acotada

Cuando la función objetivo no tiene valores extremos, la región factible es no acotada.

Ejemplo 6

Maximiza la función objetivo F(x; y) = x + 2y para un problema cuyas restricciones son: x ≥0; y ≥0;

x - 2y :≤ 2; x - y ≥ 4

Resolvemos los sistemas qué se forman y obtenemos: (0;0), (0; -1), (0; -4), (2; 0), (4; 0) y (6; 2)

Graficamos en el margen; la región factible se extiende infinitamente y su único

vértice está en A (6; 2).

En este caso no existe un valor máximo para la función objetivo, por lo que puede decirse

que el problema carece de solución.

Solución no factible Cuando no existe la región por falta de zona común en el sistema de inecuaciones, la solución es no

factible.

Ejemplo 7

Sea un problema en que las restricciones son: x ≥0; y ≥0; x + y ≥ 6; 2x + y ≤ 4. Maximiza la

función objetivo F(x, y) = 4x + 3y

Resolvemos el sistema y obtenemos: (6; 0), (0; 0), (0; 6), (0; 4), (2; 0) y (-2; 8)

Representamos gráficamente el sistema:

Observamos que no existe región factible, ya que no hay zona común en el sistema de

inecuaciones.

Por lo tanto, este problema carece de solución.