Programación en Java

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Programando con Java.

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  • Editorial Contexto 2009

    Apuntes de Matemtica 5 ao

    Ncleo Comn Reformulacin 2006

    Unidad 7 Introduccin a la combinatoria y a la probabilidad Captulo 7.2 Permutaciones simples, arreglos simples y con repeticin

    Introduccin

    Factorial de un nmero

    Permutaciones simples

    Clculo del nmero de permutaciones simples

    Arreglos simples

    Clculo del nmero de arreglos simples

    Arreglos con repeticin

    Clculo del nmero de arreglos con repeticin

    Autores: Laura Szwarcfiter Svarcas Natalia Curbelo Carlos Buela Sergio Olivera Abad

    Los autores agradecen a los lectores, todas las opiniones, sugerencias y aportes que puedan hacerle llegar para mejorar el trabajo ([email protected])

    www.editorialcontexto.com.uy

  • Captulo 7.2 Permutaciones simples, arreglos simples y con repeticin Introduccin Aplicaremos la conclusin obtenida en el captulo anterior para seguir avanzando en el tema, trabajaremos con situaciones ms complejas en las que sern otras las condiciones a tener en cuenta. Intentaremos responder a preguntas como: Cuntos autos se pueden matricular con chapas distintas en el Uruguay? y en Montevideo? Cuntas contraseas distintas se pueden hacer usando siete dgitos o letras? y si los dgitos o letras tienen que ser distintos? En cada uno de estos casos tenemos que contar, pero no podemos enumerar estos objetos. Es el momento de generalizar otros resultados Factorial de un nmero Antes de comenzar a resolver problemas, definiremos una herramienta que facilitar el clculo en muchas ocasiones, esta se llama factorial de un nmero natural. Factorial de un nmero natural 0! = 1 1! = 1 n! =n (n 1) (n 2) ... 3 2 1 para todo n natural mayor que 1 El smbolo ! luego de un nmero natural refiere al factorial del nmero, por ejemplo, 5! se lee cinco factorial. Para cualquier natural n mayor que 1, el calculo de n! consiste en multiplicar n por todos los nmeros consecutivos anteriores hasta 1, en el caso de 5!, por ejemplo 5! = 5 4 3 2 1 = 120.

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  • Observemos la siguiente propiedad: 5! = 5 4 3 2 1 y 4! = 4 3 2 1

    !

    !4

    5 = 5 4 3 2 1 5! = 5 4!. De igual forma podemos observar que: 5! = 5 4 3! o 5! = 5 4 3 2! Usando la calculadora La mayora de las calculadoras modernas poseen una tecla para realizar el clculo del factorial de un nmero. Ejemplo

    Si queremos calcular 5! en una calculadora, debemos presionar el nmero 5, luego la tecla SHIFT y la tecla . . Finalmente al presionar la tecla de igual, obtenemos el resultado como muestra la pantalla de la figura 5! = 120

    Ejemplo

    Queremos calcular !!8078

    Si intentamos realizar esta operacin en una calculadora, aparece en la pantalla Math ERROR (fig. 2), esto sucede por que la calculadora no tiene capacidad suficiente de realizar este clculo. En este caso lo intentamos hacer desarrollando 80!

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  • Segn hemos visto podemos escribir 80! = 80 79 78!, que es lo que necesitamos para poder simplificar con el 78! que aparece en el denominador de la fraccin.

    80! 80 79 78! 80 79 6.32078! 78! = = =

    Situacin resuelta

    Calcular a) !!100101 b)

    n!(n )! 1 c)

    (h )!(h )!

    1 3

    a) Al igual que en el ejemplo no podemos obtener el resultado de esta operacin en la calculadora. Realicemos el clculo desarrollando el factorial de 101 por ser el mayor nmero de la operacin para luego simplificar

    100! 100! 100! 1101! 101 100! 101! 101= = b) En este caso sabemos que n es un nmero natural pues sino no tiene sentido la operacin planteada. El mayor de los nmeros del cociente es n y el factorial de ste es el que tenemos que desarrollar para poder simplificar

    n (n )!n! n! n(n )! (n )! (n )! 1= = 1 1 1

    c) Anlogamente a la parte b, desarrollemos el factorial de (h 1) por ser el mayor de los dos nmeros del cociente

    (h )! (h )(h )(h )! (h )! (h )(h )(h )! (h )! (h )! 1 1 2 3 1= = 1 2 3 3 3

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  • Permutaciones simples En lo que resta del captulo introduciremos conceptos nuevos que nos ayudarn a contar en muchas ocasiones; lo haremos mediante una serie de ejemplos. Ejemplo Nicols ha decidido ver seis pelculas en sus vacaciones, una sola vez cada una. Quiere establecer un orden para ello. De cuntas formas distintas puede hacerlo? Para la eleccin de la primera pelcula que mirar tiene seis opciones, cualquiera que sea sta, tiene cinco para la segunda, luego cuatro para la tercera y as sucesivamente. Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin tendr 6 5 4 3 2 1 o sea 6! = 720 formas distintas de organizarse para ver las seis pelculas. Observemos que en cualquiera de estas 720 posibilidades, Nicols va a ver todas las pelculas, lo nico que vara es el orden de cmo lo har. A estas 720 posibilidades las llamaremos permutaciones simples de seis elementos; para indicar el nmero de ellas usaremos el smbolo P6 = 6! Ejemplo En una competencia olmpica son tres los atletas favoritos para ganar una prueba un austriaco, un brasilero y un cubano. A priori De cuntas maneras pueden asignarse las medallas de oro, plata y bronce entre estos tres atletas? Cules son estas formas? Respondamos la primera pregunta, para la medalla de oro hay tres candidatos, luego que se sabe cul es el ganador, quedan dos para la de plata y el atleta restante ganar la de bronce. Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin hay 3 2 1 o sea 3! = 6 formas distintas de distribuir las medallas.

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  • Para responder la segunda, tomemos los siguientes criterios: usemos la letra A para nombrar al atleta austriaco, B para el

    brasilero y C para el cubano el primer atleta nombrado es el ganador de la medalla de oro, el

    segundo el ganador de la medalla de plata y el restante del bronce. Por ejemplo, ABC representa la situacin en que el atleta austriaco gan el oro, el brasilero la plata y el cubano el bronce. Las seis posibilidades para distribuir las medallas son: ABC ACB BAC BCA CAB CBA Estas seis posibilidades las llamamos permutaciones simples de tres elementos. Para anotar el nmero de ellas utilizamos el smbolo P3 = 3! En general

    Dado un conjunto E de m elementos distintos, podemos formar grupos con todos los elementos de E con la siguiente caracterstica; dos grupos cualesquiera son distintos si difieren en el orden de sus elementos. A estos grupos los llamaremos permutaciones simples de los elementos de E. Definicin de permutaciones simples Sea un conjunto E de m elementos distintos. Se llama permutaciones simples de m elementos, a los grupos que se pueden formar con los m elementos distintos del conjunto E tales que dos grupos cualesquiera son distintos si difieren en el orden que estn dispuestos sus elementos.

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  • Clculo del nmero de permutaciones simples Dado un conjunto E con m elementos queremos saber cuntas son las permutaciones simples de esos m elementos. Por ejemplo, si m = 5 veamos cmo se calculan las permutaciones de estos; razonando igual que en los problemas previos, hay 5 opciones para elegir el primer elemento, 4 para el segundo y as sucesivamente. Por el principio fundamental de la multiplicacin son 5 4 3 2 1, o sea 5! son las permutaciones de esos 5 elementos. En general Si un conjunto E tiene m elementos distintos, para saber cul es el nmero de permutaciones de estos m elementos, por el principio fundamental de la multiplicacin, multiplicamos todos los nmeros naturales consecutivos previos a m o sea calculamos m!. Para expresar este nmero utilizaremos el smbolo Pm, esto es Pm = m (m 1) (m 2) . 3 2 1 = m! con m ` Nmero de permutaciones simples Dado un conjunto E con m elementos distintos, el nmero de permutaciones de los m elementos de E esta dado por la frmula: Pm = m!

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  • Situacin resuelta Cinco chicas y tres chicos van al cine. Si se sientan en ocho asientos consecutivos De cuntas formas pueden sentarse si a) No hay restricciones. b) Las chicas desean sentarse juntas y los chicos tambin. c) Las chicas desean sentarse juntas y a los chicos les da igual. d) Juana y Jos no quieren sentarse juntos. a) Si no hay restricciones tenemos que hallar cul es el nmero de formas en que se pueden ordenar las ocho personas, es decir tenemos que contar cuntas son las permutaciones de esos 8 elementos. Por lo tanto son P8 = 8! = 40.320 las formas distintas que pueden sentarse. b) Debemos pensar que queremos ubicar dos bloques de personas uno de chicos y otro de chicas siendo dos las posibilidades para esto (figura 3). Analizando el bloque de chicos, debemos contar todas las formas de ordenarlos, por lo tanto son P3 las formas distintas que se pueden sentar juntos. Anlogamente con el bloque de las chicas, son P5 las formas distintas en las que se pueden ubicar. Por el principio fundamental de la multiplicacin son P5.P3 las forma distintas en las que se pueden ubicar el primer caso (figura 3) y P3.P5 para el segundo. En definitiva son 2.P3.P5 = 1.440 las formas de sentarse en estas condiciones. c) Dado que las chicas van a sentarse juntas, podemos pensar que son cuatro los bloques para ubicar: tres formados por cada uno de los chicos y el cuarto bloque formado por las cinco chicas. En la figura 4 hemos representado los 4 casos posib