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PROGRAMACIÓN LINEAL

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Ejercicio 159 Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 1,50€ y 1€ el metro, respectivamente, se emplean 16Kg de plástico y 4Kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y 6Kg de plástico y 12Kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252Kg de plástico ni más de 168Kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.

SOLUCIÓN:

• Sean

==

B cable de hm

A cable de hm

y

x

• FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio (en euros) obtenido por la venta de los dos tipos de cable):

yxyxf 100150),( +=

El cable A se venderá a 1,50 € el metro, es decir, a 150 € el hectómetro. El cable B se venderá a 1 € el metro, es decir, a 100 € el hectómetro. Queremos maximizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.

• Determinamos las RESTRICCIONES del problema:

� La cantidad vendida de cada tipo de cable no puede ser un nº negativo

≥≥

⇒0

0

y

x

� Para la fabricación del cable A se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre por cada hectómetro y para la fabricación del cable B 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre por cada hectómetro. Además, no

pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre

≤+≤+

⇒168124

252616

yx

yx

� La longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A xy 2≤⇒

Por tanto, las posibles formas de fabricar los dos tipos de cable son las soluciones del sistema de inecuaciones:

NESRESTRICCIO

2

168124

252616

0

0

≤≤+≤+

≥≥

xy

yx

yx

y

x


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• Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE

� 0=x (recta vertical) � 0=y (recta horizontal)

� 12638252616 )2(: =+→=+ yxyx

2520)0(6)0(16 que ya Sí, ?252616)0,0¿( <=⋅+⋅≤+∈ yx

� 423168124 )4(: =+→=+ yxyx

1680)0(12)0(4 que ya Sí, ?168124)0,0¿( <=⋅+⋅≤+∈ yx

� xy 2=

200 que ya Sí, ?2)0,10¿( <≤∈ xy

x 0 75,15463 = 12

y 42 0 10

x 0 42 y 14 0

x 0 10 y 0 20


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Por tanto, }D C, B, A, vérticesde recinto al ),{( factibleRegión ∈= yx

• Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE:

� )0,0(0

0 A

y

xA ⇒

==

� )12,6(168124

2 B

yx

xyB ⇒

=+=

� )10,12(252616

168124 C

yx

yxC ⇒

=+=+

�

⇒

=+=

0,463

252616

0 D

yx

yD

• Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de

sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado.

yxyxf 100150),( +=

� 0)0(100)0(150),()0,0( =⋅+⋅=⇒ yxfA

� 2100)12(100)6(150),()12,6( =⋅+⋅=⇒ yxfB

� MÁXIMO2800)10(100)12(150),()10,12( →=⋅+⋅=⇒ yxfC

� 50,2362)0(100463

150),(0,463 =⋅+

⋅=⇒

yxfD

Por tanto, Se deben fabricar 12 hectómetros de cable A y 10 hectómetros de cable B, para qué verificándose las restricciones, el beneficio obtenido por su venta sea el mayor posible. En tal caso, el beneficio máximo sería de 2800 €.


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Ejercicio 164 La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1€ y de 2€ por cada una de exterior. A día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes que son de 0,60€ por cada planta de interior y de 0,80€ por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen las 48€ por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 0,60€ por cada planta de interior que venda y de 0,50€ por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30€. a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores?

Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, ¿cuántas

unidades de cada tipo ha de adquirir? ¿Cuánto deberá pagar al proveedor? ¿Cuáles serán los costes de transporte?

SOLUCIÓN: a) ¿Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores?

Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

• Sean

==

exterior de plantas de unidades de nº

interior de plantas de unidades de nº

y

x


� El nº de plantas de cada tipo tiene que ser un nº natural. Además, por lo menos, se ha de poder atender la

demanda que ha realizado un cliente de 20 unidades de interior y 30 de exterior.

Ν∈

≥≥

⇒ yxy

x,con

30

20

� El transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y supone unos costes de 60 céntimos por cada planta de interior y de 80 céntimos por cada planta de exterior. La floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen los 48 € por pedido semanal 48008060 ≤+⇒ yx

� La encargada obtiene una prima de 60 céntimos por cada planta de interior que venda y de 50 céntimos por cada una de exterior y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30 € 30005060 ≥+⇒ yx

Por tanto, las posibles formas de elaborar el pedido son las soluciones del sistema de inecuaciones:


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NESRESTRICCIO

,

30005060

48008060

30

20

Ν∈≥+≤+

≥≥

yx

yx

yx

y

x

• Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE � 20=x (recta vertical)

� 30=y (recta horizontal)

� 2404348008060 )20(: =+ →=+ yxyx

48000)0(80)0(60 que ya Sí, ?48008060)0,0¿( <=⋅+⋅≤+∈ yx

� 3005630005060 )10(: =+ →=+ yxyx

30000)0(50)0(60 que ya No, ?30005060)0,0¿( <=⋅+⋅≥+∈ yx

x 0 80 y 60 0

x 0 50 y 60 0


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Por tanto, },con D C, B, A, vérticesde recinto al ),{( soluciones posibles de Conjunto Ν∈∈= yxyx

b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, ¿cuántas

unidades de cada tipo ha de adquirir? ¿Cuánto deberá pagar al proveedor? ¿Cuáles serán los costes de transporte?

• FUNCIÓN OBJETIVO (Coste, en euros, de las plantas adquiridas):

Sabemos que, el precio que se ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1€ y de 2€ por cada una de exterior, por tanto,

yxyxfyxyxf 2),(21),( +=⇒⋅+⋅=

Queremos minimizar la función objetivo sujeta al conjunto de restricciones anteriores.

• La función que proporciona el coste (en euros) del transporte en función de las unidades adquiridas es:

yxyxg 80,060,0),( +=


� )45,20(48008060

20 A

yx

xA ⇒

=+=

� )30,40(48008060

30 B

yx

yB ⇒

=+=

� )30,25(30005060

30 C

yx

yC ⇒

=+=

� )36,20(30005060

20 D

yx

xD ⇒

=+=

• Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo, yxyxf 2),( += , alcanza el

mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el mínimo buscado.

yxyxf 2),( +=

� 110)45(220),()45,20( =⋅+=⇒ yxfA

� 100)30(240),()30,40( =⋅+=⇒ yxfB

� MÍNIMO85)30(225),()30,25( →=⋅+=⇒ yxfC

� 92)36(220),()36,20( =⋅+=⇒ yxfD


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En el vértice 25,30)(C la función yxyxg 80,060,0),( += toma el valor:

39)30(80,0)25(60,0),()30,25( =⋅+⋅=⇒ yxgC

Por tanto, Se deben adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior para qué, verificándose las restricciones, los costes del proveedor sean mínimos. En tal caso, la cantidad que habrá que pagar al proveedor serán 85 € y los costes del transporte serán de 39 €. (OPCIONAL) TAMBIÉN PODEMOS RESOLVER EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo yxyxf 2),( += sean:

� kyxrk =+≡ 2 las rectas de nivel k (= coste, en euros, de las plantas adquiridas) asociadas a ella.

� )10 , 20()1 , 2( )10( −= →−= ⋅rr vvrr

el vector director de kr (indica la dirección de las rectas de nivel;

todas ellas son paralelas a este vector)

� )20 ,10()2 ,1( )10( = →= ⋅rr nnrr

el vector normal a kr (indica el sentido en que aumenta el nivel a

medida que nos desplazamos en el plano paralelamente a rvr

)

Representamos gráficamente 0r (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel

que pasan por los vértices de la región factible Ar , Br , Cr y Dr .


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Como el nivel aumenta en la dirección del vector rnr

se observa que la recta de nivel mínimo es la que

corresponde al vértice C. Es decir, la función objetivo yxyxf 2),( += (coste, en euros, de las plantas

adquiridas) alcanza el mínimo en el punto )30,25(C .

MÍNIMO85)30(225),()30,25( →=⋅+=⇒ yxfC

La función que proporciona el coste (en euros) del transporte en función de las unidades adquiridas es

yxyxg 80,060,0),( +=

39)30(80,0)25(60,0),()30,25( =⋅+⋅=⇒ yxgC

Por tanto, Se deben adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior para qué, verificándose las restricciones, los costes del proveedor sean mínimos. En tal caso, la cantidad que habrá que pagar al proveedor serán 85 € y los costes del transporte serán de 39 €.


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Ejercicio 165 En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 60 céntimos y el de uno de gasolina es de 90 céntimos. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenamiento sea mínimo.

• Sean

==

gasolina de bidones de nº

petróleo de bidones de nº

y

x

• FUNCIÓN OBJETIVO (coste (en euros) del almacenamiento de los bidones): yxyxf 90,060,0),( +=

Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.


� El nº de bidones de cada tipo tiene que ser un nº natural. Además, para poder atender la demanda se han

de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina Ν∈

≥≥

⇒ yxy

x,con

20

10

� Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo xy >⇒

� La capacidad del depósito es de 200 bidones, es decir, el total de bidones almacenados debe ser menor o

igual que 200 200≤+⇒ yx

� Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones, es decir, el total de bidones debe ser mayor o igual que 50 50≥+⇒ yx

Por tanto, las posibles formas de almacenamiento son las soluciones del sistema de inecuaciones:

NESRESTRICCIO

,

50

200

20

10

Ν∈≥+≤+

>≥≥

yx

yx

yx

xy

y

x

� 10=x (recta vertical)



Página 10

� xy =

010 que ya Sí, ?)10,0¿( >>∈ xy

� 200=+ yx

200000 que ya Sí, ?200)0,0¿( <=+≤+∈ yx

� 50=+ yx

50000 que ya NO, ?50)0,0¿( <=+≥+∈ yx

Por tanto, },con D C, B, A, vérticesde recinto al ),{( soluciones posibles de Conjunto Ν∈∈= yxyx

x 0 10 y 0 10

x 0 200 y 200 0

x 0 50 y 50 0


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� )190,10(200

0 B

yx

xA ⇒

=+=

� )100,100(200

Byx

xyB ⇒

=+=

� )25,25(50

Cyx

yxC ⇒

=+=

� )40,10(50

10 C

yx

xD ⇒

=+=

• Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el mínimo buscado.

yxyxf 90,060,0),( +=

� 177)190(90,0)10(60,0),()190,10( =⋅+⋅=⇒ yxfA

� 150)100(90,0)100(60,0),()100,100( =⋅+⋅=⇒ yxfB

� MÍNIMO50,37)25(90,0)25(60,0),()25,25( →=⋅+⋅=⇒ yxfC

� 42)40(90,0)10(60,0),()40,10( =⋅+⋅=⇒ yxfC

Aunque en el punto )25,25(C la función objetivo alcanza un mínimo tenemos que rechazar esta solución ya

que hay una condición del problema que nos dice que siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo. Tomamos como solución un punto de la región factible próximo a C:

40,38)26(90,0)25(60,0),()26,25( =⋅+⋅=⇒ yxfE

Por tanto, Se deben almacenar 25 bidones de petróleo y 26 bidones de gasolina para qué, verificándose todas las restricciones, el coste de almacenaje sea el menor posible. En tal caso, el coste mínimo sería de 38,40 €.


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EJERCICIO 162 Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaños con el siguiente contenido: TIPO I : 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas.

TIPO II : 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas. En un determinado día, el número de chicles de que dispone la tienda para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envases, el número de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40. El beneficio por la venta es: 1,50 € por cada bolsa del Tipo I y 2,25 € por cada bolsa del Tipo II. Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían vender ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible. SOLUCIÓN:

• Sean

=

=

II Tipo de Bolsas

I Tipo de Bolsas

y

x

• FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio obtenido por la venta de las bolsas de golosinas):

yxyxf 25,250,1),( +=

Queremos maximizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.


� El nº de bolsas de cada tipo que se pueden elaborar tiene que ser un nº natural. Además, el nº de bolsas

de Tipo II no puede ser superior a 40 Ν∈

≤≤≥

⇒ yxy

x,con

400

0

� El número de chicles para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades 120224042 ≤+⇒≤+⇒ yxyx

� El número de piruletas no puede superar las 300 unidades 30043 ≤+⇒ yx

Por tanto, las posibles formas de elaborar las bolsas de golosinas son las soluciones del sistema:

NESRESTRICCIO

,

30043

1202

400

0

Ν∈

≤+

≤+

≤≤

≥

yx

yx

yx

y

x


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� 0=x (recta vertical) � 0=y (recta horizontal)


� 1202 =+ yx

1200)0(20 que ya Sí, ?1202)0,0¿( <=⋅+≤+∈ yx

� 30043 =+ yx

3000)0(4)0(3 que ya Sí, ?30043)0,0¿( <=⋅+⋅≤+∈ yx

Por tanto, },con E, D, C, B, A, vérticesde recinto al ),{( factibleRegión Ν∈∈= yxyx

x 0 120 y 60 0

x 100 0 20

y 0 4

300 60


Página 14


� )0,0(0

0 A

y

xA ⇒

==

� )40,0(40

0 B

y

xB ⇒

=

=

� )40,40(40

1202 C

y

yxC ⇒

=

=+

� )30,60(30043

1202 D

yx

yxD ⇒

=+

=+

� )0,100(30043

0 E

yx

yE ⇒

=+

=

• Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de

sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado.

yxyxf 25,250,1),( +=

� 0)0(50,2)0(50,1),()0,0( =⋅+⋅=⇒ yxfA

� 100)40(50,2)0(50,1),()40,0( =⋅+⋅=⇒ yxfB

� 16010060)40(50,2)40(50,1),()40,0( =+=⋅+⋅=⇒ yxfC

� MÁXIMO1657590)30(50,2)60(50,1),()30,60( →=+=⋅+⋅=⇒ yxfD

� 150)0(50,2)100(50,1),()0,100( =⋅+⋅=⇒ yxfE

Por tanto, Se deben vender 60 bolsas de Tipo I y 30 bolsas de Tipo II para que verificándose las restricciones el beneficio obtenido sea el mayor posible. En tal caso, el beneficio máximo sería de 165 €.


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EJERCICIO 166 Un colegio prepara una excursión a la montaña para 114 alumnos. Para ello, dispone de 8 vehículos de 6 plazas cada uno y otros 8 de 15 plazas, pero para el día de la excursión sólo dispone de 10 conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de 6 plazas cuesta 160€ y con uno de 15 plazas 420€. Calcula cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar el colegio para que el coste del transporte sea mínimo. Explica los pasos seguidos para obtener la solución. Solución:

• Sean

=

=

plazas 15 de vehículos

plazas 6 de vehículos

y

x

• FUNCIÓN OBJETIVO (Coste del transporte):

yxyxf 420160),( +=



� Los vehículos disponibles de cada tipo son 8 ⇒el número de vehículos de cada tipo que se utilizan para

realizar la excursión tiene que ser un nº natural comprendido entre 0 y 8 Ν∈

≤≤≤≤

⇒ yxy

x,con

80

80

� Hay 10 conductores disponibles, por tanto, el número total de vehículos utilizados para realizar la

excursión tiene que ser como máximo de 10 10≤+⇒ yx

� La excursión es para 114 alumnos, por tanto, el total de plazas (entre todos los vehículos utilizados)

debe ser al menos de 114 114156 ≥+⇒ yx

Por tanto, las posibles formas de realizar la excursión son las soluciones del sistema:

NESRESTRICCIO

,

10

114156

80

80

Ν∈

≤+

≥+

≤≤

≤≤

yx

yx

yx

y

x


Página 16






� 114156 =+ yx

1140)0(15)0(6 que ya No, ?114156)0,0¿( <=⋅+⋅≥+∈ yx

� 10=+ yx

10000 que ya Sí, ?10)0,0¿( <=+≤+∈ yx

x 0 19 4

y 5

38 0

6

x 10 0 y 0 10


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• Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son:

� )8,0(8

0 A

y

xA ⇒

=

=

� )8,2(8

10 B

y

yxB ⇒

==+

� )6,4(114156

10 C

yx

yxC ⇒

=+

=+

�

⇒

==+

5

38,0

0

114156 D

x

yxD

• Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el máximo buscado.

yxyxf 420160),( +=

� 3360)8(420)0(160),()8,0( =⋅+⋅=⇒ yxfA

� 36803360320)8(420)2(160),()8,2( =+=⋅+⋅=⇒ yxfB

� MÍNIMO31602520640)6(420)4(160),()6,4( →=+=⋅+⋅=⇒ yxfC

� 31925

38420)0(160),(

5

38,0 =⋅+⋅=⇒

yxfD

Por tanto, El colegio debe utilizar 4 vehículos de 6 plazas y 6 vehículos de 15 plazas para que el coste del transporte sea mínimo. En tal caso, el coste mínimo sería de 3160 €


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EJERCICIO 167 Una fábrica de madera produce dos líneas de muebles: el clásico (C) y el funcional (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar? c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación

FCB 23 += , ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

SOLUCIÓN: a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

• Sean

=

=

sfuncionale muebles

clásicos muebles

y

x


� El nº de cada tipo de muebles tiene que ser un nº natural. Ν∈

≥≥

⇒ yxy

x,con

0

0

� El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura.

Recogemos esta información en la siguiente tabla:

Unidades de tiempo de

construcción Unidades de tiempo de

pintura

Mueble clásico (x) 1 3 Mueble funcional (y) 2 1

Total yx 2+ yx +3

La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y

quince de pintura. 153

102

≤+≤+

⇒yx

yx

Por tanto, las posibles combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las soluciones del sistema de inecuaciones:


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NESRESTRICCIO

,

153

102

0

0

Ν∈

≤+

≤+

≥

≥

yx

yx

yx

y

x

• Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN

FACTIBLE � 0=x (recta vertical)


� 102 =+ yx

100)0(20 que ya Sí, ?102)0,0¿( <=⋅+≤+∈ yx

� 153 =+ yx

1500)0(3 que ya Sí, ?153)0,0¿( <=+⋅≤+∈ yx

x 0 10 y 5 0

x 5 0 y 0 15


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b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar? Hay 25 posibles combinaciones:

Punto Muebles clásicos Muebles funcionales

)0,0(1A 0 0

)1,0(2A 0 1

)2,0(3A 0 2

)3,0(4A 0 3

)4,0(5A 0 4

)5,0(6A 0 5

)0,1(7A 1 0

)1,1(8A 1 1

)2,1(9A 1 2

)3,1(10A 1 3

)4,1(11A 1 4

)0,2(12A 2 0

)1,2(13A 2 1

)2,2(14A 2 2

)3,2(15A 2 3

)4,2(16A 2 4

)0,3(17A 3 0

)1,3(18A 3 1

)2,3(19A 3 2

)3,3(20A 3 3

)0,4(21A 4 0

)1,4(22A 4 1

)2,4(23A 4 2

)3,4(24A 4 3

)0,5(25A 5 0

c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación

FCB 23 += , ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo. La función que nos da el beneficio en función del número de muebles clásicos y muebles funcionales fabricados (función objetivo) es: yxyxB 23),( +=


Página 21

Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado.

⇒)0,0(1A 0)0(2)0(3)0,0( =+=B

⇒)5,0(6A 10)5(2)0(3)1,0( =+=B

⇒)3,4(24A MÁXIMO18)3(2)4(3)3,4( →=+=B

⇒)0,5(25A 15)0(2)5(3)0,5( =+=B

Por tanto, Deben fabricarse 4 muebles clásicos y 3 muebles funcionales para maximizar el beneficio. En tal caso, el beneficio máximo es de 18 (unidades en la que se mida el beneficio)


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EJEMPLO DE OPTIMIZACIÓN EN RECINTO NO ACOTADO Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función yxyxf 53),( += , en el recinto del plano determinado por las inecuaciones:

−≥−≤+

−≥

15

402

20

yx

yx

x

SOLUCIÓN

• Determinamos la REGIÓN FACTIBLE

� 20−=x (recta vertical) 200 que ya Sí, ?20)0,0¿( −>−≥∈ x

� 402 =+ yx

400)0()0(2 que ya Sí, ?402)0,0¿( <=+⋅≤+∈ yx

� 15−=− yx

150)0()0( que ya Sí, ?15)0,0¿( −>=−−≥−∈ yx

Por tanto, }B A, vérticesde abierto recinto al ),{( soluciones posibles de Conjunto ∈= yx

x 0 20 y 40 0

x 0 15− y 15 0


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�

⇒

−=−=+

370

,325

15

402 A

yx

yxA

� )5,20(15

20 −−⇒

−=−−=

Byx

xB

COMO LA REGIÓN FACTIBLE ES UN RECINTO NO ACOTADO RESOLVEMOS EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo yxyxf 53),( += sean:

� kyxrk =+≡ 53 las rectas de nivel k asociadas a ella.

� )3 , 5(−=rvr

el vector director de kr (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a

este vector)

� )5 ,3(=rnr

el vector normal a kr (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos

desplazamos en el plano paralelamente a rvr

)


que pasan por los vértices de la región factible Ar y Br .


Página 24

� Como el nivel aumenta en la dirección del vector rnr

se observa que la recta de nivel máximo es la que

corresponde al vértice A, es decir, la función objetivo alcanza el máximo en el punto

370

,325

A

MÁXIMO3

425370

5325

3),(370

,325 →=⋅+⋅=⇒

yxfA

� Como la región factible no está acotada inferiormente y el nivel aumenta en la dirección del vector rnr

o lo

que es lo mismo disminuye en sentido contrario a rnr

la función objetivo NO alcanza el mínimo.


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EJERCICIO 163 El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C1 y C2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de C2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes: el comprimido de color rojo que cuesta 0,25€ la unidad y que contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 , y el comprimido de color azul que también cuesta 0,25€ la unidad y que contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. ¿Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo? Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta.

• Sean

==

azulcolordescomprimidoy

rojocolordescomprimidox

• FUNCIÓN OBJETIVO (Coste semanal (en euros) del tratamiento): yxyxf 25,025,0),( +=



� El nº de comprimidos de cada tipo tiene que ser un nº natural. Ν∈

≥≥

⇒ yxy

x,con

0

0

� El tratamiento de la enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C1 y C2. Cada uno de los comprimidos contiene unas cantidades determinadas de los complejos vitamínicos: el comprimido de color rojo contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 , y el comprimido de color azul contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. Recogemos esta información en la siguiente tabla:

C1 C2

Comprimido rojo (x) 15 25 Comprimido azul (y) 28 10

Total yx 2815 + yx 1025 +

Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de C2 2001025

4502815

≥+≥+

⇒yx

yx

Por tanto, las posibles formas de elaborar el tratamiento son las soluciones del sistema:

NESRESTRICCIO

,

2001025

4502815

0

0

Ν∈≥+≥+

≥≥

yx

yx

yx

y

x


Página 26



� 4502815 =+ yx

4500)0(28)0(15 que ya No, ?4502815)0,0¿( <=⋅+⋅≥+∈ yx

� 40252001025 )5(: =+→=+ yxyx

2000)0(10)0(25 que ya No, ?2001025)0,0¿( <=⋅+⋅≥+∈ yx

Por tanto, },con C, B, A, vérticesde abierto recinto al ),{( soluciones posibles de Conjunto Ν∈∈= yxyx


� )20,0(2001025

0 A

yx

xA ⇒

=+=

� )15,2(4502815

2001025 B

yx

yxB ⇒

=+=+

� )0,30(0

4502815 C

y

yxC ⇒

==+

x 0 30 2

y 1,1614

225

28

450 ≈= 0 15

x 8 0 y 0 20


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COMO LA REGIÓN FACTIBLE ES UN RECINTO NO ACOTADO RESOLVEMOS EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo yxyxf 25,025,0),( += sean:

� kyxrk =+≡ 25,025,0 las rectas de nivel k asociadas a ella (en este caso el nivel representa el coste

semanal del tratamiento)

� )5,5()250́ , 250́( 20 −=→−= ⋅rr vvrr

el vector director de kr (indica la dirección de las rectas de nivel;

todas ellas son paralelas a este vector)

� )5,5()250́ , 250́( 20 =→= ⋅rr nnrr

el vector normal a kr (indica el sentido en que aumenta el nivel a

medida que nos desplazamos en el plano paralelamente a rvr

)


que pasan por los vértices de la región factible Ar , Br y Cr .

Como el nivel aumenta en la dirección del vector rnr

se observa que la recta de nivel mínimo es la que

corresponde al vértice B, es decir, la función objetivo alcanza el mínimo en el punto )15,2(B

• yxyxf 25,025,0),( +=

� 5)20(25,0)0(25,0),()20,0( =⋅+⋅=⇒ yxfA

� MÍNIMO25,4)15(25,0)2(25,0),()15,2( →=⋅+⋅=⇒ yxfB

� 5,7)0(25,0)30(25,0),()0,30( =⋅+⋅=⇒ yxfC

Por tanto, SE DEBEN TOMAR 2 COMPRIMIDOS DE COLOR ROJO Y 15 COMPRIMIDOS DE COLOR AZUL A LA SEMANA PARA QUE EL COSTE DEL TRATAMIENTO SEA MÍNIMO. EN TAL CASO, EL COSTE MÍNIMO DEL MISMO SERÍA DE ,254 €

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