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PROGRAMACIÓN DE AULA

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1º Bachillerato

TEMA 1 NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES

OBJETIVOS

· Conocer, comprender y aplicar correctamente la expresión polinómica de un número.

· Comprender los conceptos y automatizar procedimientos referentes a los números enteros, racionales y sus operaciones, imprescindibles para posteriores desarrollos.

· Interpretar y cuantificar aquellos aspectos de la realidad susceptibles de ser comprendidos mediante los números racionales tanto en su notación fraccionaria como decimal.

· Comprender la relación existente entre las expresiones decimal y fraccionaria de un número decimal.

· Utilizar, cuando la situación lo requiera, aproximaciones al realizar cálculos o mediciones y valorar el error cometido.

CONTENIDOS

Conceptos· Sistemas de numeración. Expresión polinómica de un número.· Números enteros. Operaciones.· Divisibilidad en Z.· Números racionales. Operaciones.· Expresiones decimales y fraccionarias.· Aproximaciones. Error absoluto y relativo.

Procedimientos· Reconocimiento del significado de la expresión polinómica de un número y

obtención de la descomposición polinómica de un número dado.· Paso de números expresados en una base dada a base decimal y a otra base

cualquiera.· Comparación y representación de los números enteros y resolución de

problemas reales mediante cálculos con ellos.· Utilización de las propiedades de los múltiplos y divisores en Z y los criterios de

divisibilidad para resolver problemas.· Interpretación y utilización de los números decimales y fraccionarios y las

operaciones con ellos en diferentes contextos.· Diferenciación de los tipos de fracciones y cálculo de la fracción irreducible de

una fracción dada.· Conversión de decimales a fracciones o viceversa para efectuar cálculos con

mayor facilidad.· Realización de aproximaciones de un número dado mediante redondeo y

truncamiento, calculando el error absoluto y relativo cometido.

Acitudes· Incorporación del lenguaje numérico y el cálculo a las actividades cotidianas.

· Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara de las informaciones y cálculos numéricos.

· Valoración de la utilidad de las aproximaciones para expresar distintas informaciones.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

· Utilizar la expresión polinómica de un número para solucionar cuestiones y planteamientos numéricos.

· Resolver ejercicios con enteros y racionales aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

· Resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana para los que se precise la utilización de las operaciones con números enteros, decimales y fraccionarios.

· Aplicar aproximaciones de manera oportuna al resolver problemas valorando la adecuación del resultado.

· Manejar con soltura la notación científica.

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

La unidad constituye un repaso de los conceptos y procedimientos más elementales del cálculo numérico con enteros y racionales. No debería plantear ninguna dificultad para los alumnos, pero pueden aparecer errores e ideas no correctas a la hora de operar con este tipo de números. Será este un buen momento para intentar corregir las deficiencias que se observen.

Tal vez lo más novedoso de la unidad pueda ser el estudio de las técnicas de redondeo y el cálculo de errores. La presencia del euro puede constituir una fuente interesante de ejercicios para consolidar estos conceptos.

Conviene tener presentes las siguientes orientaciones metodológicas:

· Se abordará el estudio de esta unidad planteando a los alumnos y alumnas situaciones y actividades de la vida real en las que se utilicen otros sistemas de numeración.

· Es muy importante profundizar, mediante ejercicios variados, en la expresión polinómica de un número pues nos ayudará, en posteriores estudios, a resolver diversos problemas de sistemas de ecuaciones.

· Los números enteros son ya conocidos por los alumnos, por lo que bastará con asegurarse de que no existen dudas sobre los conceptos fundamentales (múltiplos y divisores, primos y compuestos, etc.). Una serie de ejercicios que conecten con la vida real (temperaturas, magnitudes económicas, altitudes, etc.) y ejemplos aportados por los alumnos deben ser más que suficientes para analizar y valorar la conveniencia de estos números.

· Las fracciones son también muy conocidas a estas edades aunque nos encontraremos con muchas sorpresas, en ocasiones inexplicables. Conviene repasarlas comenzando por cuestiones y preguntas sencillas a los alumnos/as, detectando así posibles errores y obrando en consecuencia. No olvidaremos dedicar algunos minutos a la representación gráfica y comparación de números racionales.

· La práctica con distintos ejemplos de decimales (exactos, periódicos puros y mixtos) y fracciones no debe extenderse en exceso.

· Terminaremos el tema practicando con distintos ejemplos y tipos de número las técnicas de redondeo y truncamiento, así como el cálculo de los errores absoluto y relativo. Podemos aprovechar la inminente llegada del Euro para motivar el estudio de las aproximaciones. Conviene por último recordar la notación científica, sus usos y poner algunos ejemplos.

ACTIVIDADES

Actividades de desarrolloLas actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las que se proponen al final de la unidad. La selección de las actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.

Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como:

· Invitar a los alumnos a plantear situaciones actuales en las que se utilicen otros sistemas de numeración y debatir en grupo su conveniencia.

· Debemos asegurarnos de que los conceptos de múltiplo, divisor, números primos y compuestos están bien interiorizados. Ejercicios que conecten con la vida real (temperaturas, magnitudes económicas,...) y ejemplos aportados por los alumnos, deben ser suficientes en un primer momento.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

Actividades de refuerzo· Conviene afianzar el concepto de fracción, simulando diversas situaciones de

reparto y de medida. Practicar las operaciones con fracciones para detectar y corregir deficiencias.

· Insistir en la simplificación de fracciones exigiendo que los resultados de los ejercicios se expresen siempre de forma simplificada.

· Despertar el interés por el redondeo y su enorme utilidad práctica en el cálculo con euros.

Actividades de ampliación· Profundizar en la representación gráfica y comparación de números racionales.· Sería interesante insistir, mediante ejercicios variados, en la expresión

polinómica de un número que, en posteriores estudios, nos servirá para resolver diversos problemas de sistemas de ecuaciones.

· Resaltar la importancia de la notación científica y realizar numerosas prácticas con y sin calculadora.

CONTENIDOS TRANSVERSALES

Educación del consumidorEl hilo común de toda la unidad es el cálculo numérico. Es fundamental dominar las operaciones y cálculos básicos para desenvolverse con éxito en la sociedad de

consumo. Es importante que los alumnos logren interiorizar el ideal de consumo responsable y crítico.

Diversos ejercicios propuestos en la unidad nos aportan más ideas para profundizar en este tema: recaudación de una sala de teatro, pagar la cuenta en un restaurante, ...

Educación para la convivenciaDiversos ejercicios y actividades, incluidos en el apartado de problemas propuestos de la unidad, nos hablan de amigos que se encuentran después de un largo período de tiempo y se preguntan por sus familias, de repartir equitativamente, de personas que van juntos a comer a un restaurante,... Aprovechando este tipo de enunciados, podemos inducir la conciencia de compartir, de interesarse sinceramente por las personas de nuestro entorno inmediato, de fomentar las relaciones personales, y en definitiva de convivir fomentando situaciones que permitan desarrollar actitudes de comprensión y comunicación con las personas que nos rodean.

Es importante destacar el esfuerzo por reconocer las individualidades, por respetar la diversidad de ideas y por erigir el diálogo como recurso para contrastar opiniones.

TEMA 2 ECUACIONES Y SISTEMAS DE PRIMER GRADO

OBJETIVOS

· Comprender las características del lenguaje algebraico y su importancia a la hora de resolver ecuaciones.

· Transcribir situaciones reales como ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

· Analizar y resolver ecuaciones de primer grado.· Conocer los métodos algebraicos de resolución de sistemas lineales de dos

ecuaciones con dos incógnitas y aplicarlos.· Determinar de modo gráfico la compatibilidad o incompatibilidad de sistemas

lineales.· Conocer los conceptos y procedimientos relativos a las inecuaciones

necesarios para posteriores estudios.· Estudiar y resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando

el método de Gauss.

CONTENIDOS

Conceptos· El lenguaje algebraico.· Ecuaciones. Clasificación y resolución.· Desigualdades. Inecuaciones.· Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.· Métodos de resolución de sistemas. Análisis de las soluciones.· Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss.

Procedimientos· Expresión en lenguaje algebraico de enunciados dados en lenguaje cotidiano.· Distinción entre igualdades, identidades y ecuaciones, reconocimiento de la

equivalencia entre ecuaciones y comprobación de si un número es solución o no de una ecuación dada.

· Planteamiento de una ecuación a partir de una situación real.· Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita siguiendo

ordenadamente los pasos adecuados y aplicando sus propiedades.· Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita y

reconocimiento de la equivalencia entre inecuaciones.· Planteamiento y resolución, por métodos algebraicos y gráficos, de sistemas de

dos ecuaciones con dos incógnitas, aplicándolos a la solución de distintos problemas de la vida real.

· Clasificación de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas según el resultado del análisis de las soluciones del sistema.

· Discusión y cálculo de las soluciones de un sistema, de tres ecuaciones con tres incógnitas, aplicando el método de Gauss.

Actitudes· Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para representar, comunicar y

resolver situaciones cotidianas.

· Sentido crítico ante las soluciones intuitivas.· Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.


· Plantear mediante ecuaciones y sistemas la resolución de problemas reales que así lo requieran.

· Clasificar ecuaciones según su grado, número de soluciones y tipo de las variables.

· Resolver ecuaciones de primer grado· Resolver analítica y gráficamente sistemas lineales de ecuaciones con dos

incógnitas.· Discutir sistemas de ecuaciones lineales de manera gráfica.· Hallar las soluciones de una inecuación y representarlas sobre una recta.· Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas.


Nos encontramos con contenidos, estudiados en cursos anteriores, que no deben plantear excesivas dificultades a los alumnos. No obstante se vienen observando ciertas deficiencias en cuanto a la traducción, al lenguaje algebraico, de enunciados de problemas. Se debe insistir en este tipo de ejercicios planteando numerosas situaciones reales, cercanas al alumno, que se presten a ser estudiadas con las herramientas algebraicas estudiadas.

La resolución de sistemas por el método de Gauss es la parte más relevante de la unidad por su proyección en posteriores estudios.

Al resolver inecuaciones aparece el conjunto solución que, frecuentemente, no es bien interpretado.

Conviene tener en cuenta las siguientes orientaciones metodológicas:

· Proponemos abordar el estudio de esta unidad planteando a los alumnos y alumnas problemas que den lugar a ecuaciones y sistemas. Pedir a los alumnos/as que intenten resolverlos sin utilizar el lenguaje algebraico y comentar los resultados. Es interesante pedirles que intenten recopilar, entre sus amigos y familiares, historias y acertijos curiosos para llevarlos a clase e intentar resolverlos.

· A continuación pasaremos a realizar interpretaciones geométricas de algunos de los problemas propuestos y resueltos.

· A la hora de plantear ecuaciones y sistemas y resolverlos debemos resaltar la importancia de seguir ordenadamente todos los pasos para evitar errores. Debemos ser muy rigurosos en este aspecto y hacer especial hincapié en la comprobación y valoración de los resultados obtenidos, de especial importancia y que suele ser olvidado de manera rutinaria.

· La utilización de cuadros y tablas para organizar la información que vamos obteniendo de la lectura del enunciado de los problemas, ayuda notablemente a entender la situación que nos plantea y a llegar a su solución.

· Conviene proponer suficientes ejercicios de ecuaciones y sistemas sin solución o con infinitas soluciones. Los alumnos deben llegar a la conclusión de que existen tales ecuaciones y entender las situaciones que representan.

· Intentar demostrar algunas de las propiedades de las inecuaciones suele ser un ejercicio que ayuda a los alumnos y alumnas a entender los conceptos que subyacen en ellas. Es muy importante dejar claro que cuando se resuelven inecuaciones obtenemos un conjunto solución. Representar dicho conjunto se hace imprescindible, el proceso de resolución no termina hasta que se representan las soluciones.

· Para finalizar el tema haremos un estudio pormenorizado de sistemas por el método de Gauss que, en definitiva, es la parte más relevante de la unidad. La discusión y resolución de sistemas por este método suele ser bien acogida por el alumnado. Aprovecharemos el tirón y resolveremos numerosos problemas.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como, en una primera aproximación a la resolución de problemas mediante métodos algebraicos, insistir en la lectura comprensiva del enunciado. Se plantearán diversas situaciones cotidianas y se pedirá su interpretación y reflexión. En un primer momento deberán intentar resolverlas sin utilizar el lenguaje algebraico y se debatirán los resultados.


Actividades de refuerzo· Es fundamental que los alumnos alcancen gran destreza a la hora de resolver

ecuaciones e inecuaciones con una incógnita. Si se aprecian dificultades debe insistirse con ejercicios que aumenten progresivamente de dificultad.

· Es conveniente proponer suficientes ejercicios de ecuaciones y sistemas sin solución o con infinitas soluciones y se deben entender las situaciones que representan.

· Se hará un estudio pormenorizado de sistemas por el método de Gauss, su discusión y resolución de manera sistemática.

Actividades de ampliación· Profundizar en el estudio de inecuaciones representando el conjunto solución y

entendiendo lo que dicho conjunto representa.· Proponer una colección de ejercicios de sistemas lineales para su resolución

gráfica, interpretando las posiciones relativas de las rectas según el número de soluciones.


Educación interculturalEn esta unidad comenzamos el estudio del Álgebra y sería interesante recordar el origen árabe (al-jabr) del término (encontraremos una referencia a este hecho en el epígrafe 1 de la unidad). Fue gracias a la obra de Al-Khowarizmi como se comenzó a conocer el álgebra en Europa. Se aprovechará para comentar las enormes contribuciones matemáticas del mundo árabe.

Puede ser este un buen momento para inducir actitudes de respeto hacia los grupos culturalmente distintos en nuestro país y para reflexionar sobre la inmigración y la convivencia entre culturas.

Educación del consumidorLos actos y hábitos cotidianos de consumo están estrechamente vinculados al uso de las Matemáticas.

A lo largo de los ejercicios y actividades propuestos en esta unidad encontramos numerosos problemas susceptibles de ser analizados y resueltos con las herramientas algebraicas que vamos estudiando.. Se trata de situaciones cotidianas relacionadas con gastar dinero, marcas, precios, pesos y calidades de productos, mezclas y compuestos, compra y venta de artículos,...

A la vista de estas actividades se puede profundizar y reflexionar sobre el valor del dinero, su utilización con fines consumistas, egoístas, o solidarios, la relación entre el precio y la calidad de los artículos que más interesan a los alumnos y por último establecer un debate sobre las marcas.

TEMA 3 ECUACIONES Y SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO

OBJETIVOS

· Adquirir las destrezas y técnicas algebraicas y gráficas necesarias para resolver ecuaciones de segundo grado, bicuadradas e irracionales.

· Resolver ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadradas empleando métodos algebraicos.

· Descubrir la existencia de ecuaciones sin solución real y emplear los métodos adecuados para su resolución.

· Resolver de forma algebraica y gráfica sistemas de ecuaciones no lineales.· Representar en el plano las soluciones de inecuaciones con dos incógnitas.· Resolver sistemas con inecuaciones lineales.

CONTENIDOS

Conceptos· Ecuaciones de segundo grado. Tipos y métodos de resolución.· Relación de los coeficientes de una ecuación de segundo grado con sus

soluciones.· Ecuaciones bicuadradas.· Ecuaciones irracionales.· Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.· Inecuaciones con dos incógnitas.· Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Procedimientos· Aplicación de fórmulas para la resolución de ecuaciones de segundo grado.· Discusión del número de soluciones de una ecuación de segundo grado según

el signo del discriminante.· Utilización de las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver distintos

problemas.· Resolución de ecuaciones bicuadradas discutiendo su número de raíces.· Resolución de ecuaciones irracionales comprobando sus soluciones.· Utilización de los métodos algebraicos (sustitución, igualación y reducción) y el

método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.· Utilización e interpretación del lenguaje gráfico para la resolución de

inecuaciones lineales con dos incógnitas.· Resolución de forma gráfica de sistemas en los que aparezca una inecuación

lineal con una ecuación de primer o segundo grado y de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas, determinando la región factible del sistema.

Actitudes· Disposición a realizar abstracciones partiendo de situaciones concretas.· Valoración de la necesidad de interpretación crítica de las soluciones

obtenidas.

· Interés por el rigor lógico en el planteamiento y resolución de problemas.


· Hallar las soluciones de ecuaciones de segundo grado, ecuaciones bicuadradas y ecuaciones irracionales interpretando y comprobando su validez.

· Resolver utilizando métodos algebraicos y gráficos sistemas de ecuaciones no lineales y problemas que se puedan traducir a ellos.

· Representar e interpretar el semiplano solución de inecuaciones con dos incógnitas.

· Hallar el conjunto solución o región factible de sistemas formados por dos inecuaciones o por una inecuación y una ecuación.


La primera parte de la unidad, dedicada a las ecuaciones de segundo grado, bicuadradas e irracionales, no debe comportar una dedicación excesiva, al ser cuestiones conocidas por alumnos de estas edades. Los sistemas de ecuaciones no lineales y las inecuaciones plantearán más dificultades y exigirán un número mayor de sesiones para asegurarnos de que se adquieren las destrezas necesarias para su correcta utilización. En concreto, el estudio de las inecuaciones cobra especial relevancia por tratarse del fundamento de la Programación Lineal, rama fundamental en las Ciencias Sociales.

De forma general el planteamiento de actividades de esta unidad se puede concretar en tres frentes:

1. Expresar en el lenguaje algebraico problemas y situaciones de la vida cotidiana.

2. Resolver, por métodos algebraicos y gráficos, los problemas así planteados, utilizando los distintos algoritmos estudiados.

3. Estudio crítico de las soluciones obtenidas validando o rechazando aquellas que se adapten o no a las condiciones del enunciado.

Concretando el desarrollo del tema podemos sugerir:

· Comenzar la unidad pidiendo a la clase ejemplos de cada tipo de ecuaciones de segundo grado y dejando que ellos mismos los resuelvan sin especificar métodos ni formas. Puesta en común de las soluciones y debate.

· En cuanto a las ecuaciones bicuadradas y a las irracionales el profesor planteará ejercicios que los alumnos intentarán resolver (en parejas) sin ninguna indicación previa. Dejar que ellos mismos aporten sus sugerencias e ideas al resto de la clase para llegar en común a la respuesta correcta , señalando aquellas soluciones que sean erróneas.

· Exposición clara y ordenada de los métodos de resolución de los distintos tipos de ecuaciones indicadas arriba, dejando claro el número de soluciones posible, en cada uno de los casos, y señalando la importancia de seguir ordenadamente los pasos expuestos y la comprobación final para detectar las soluciones extrañas que puedan aparecer.

· Para el estudio de los sistemas no lineales el planteamiento de ejercicios dados de manera algebraica y otros dados en forma literal y la resolución de cada uno de ellos por ambos métodos, algebraico y gráfico, debe ser más que suficiente.

· La parte final de la unidad dedicada al estudio de las inecuaciones con dos incógnitas y los sistemas con inecuaciones es la más novedosa para los alumnos. Por ello una dedicación especial es imprescindible. Es importante resolver un gran número de ejercicios en la pizarra, pedir que los alumnos justifiquen sus opiniones de manera razonada y asegurarse de que todos comprenden los resultados.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como plantear ecuaciones sencillas de segundo grado, bicuadradas e irracionales cuyas soluciones sean números enteros. Se pretende que los alumnos, individualmente o en pequeño grupo, intenten resolverlas sin ninguna indicación previa, tanteando y estimando las soluciones por ensayo-error. Posteriormente llegaremos de manera razonada, a los métodos algebraicos que queremos introducir.


Actividades de refuerzo· Se insistirá en la discusión de las soluciones de la ecuación de segundo grado

según el valor del determinante, en la pertinencia o no de las raíces de las bicuadradas y en la comprobación de las soluciones de las irracionales.

· En los sistemas no lineales los ejercicios, dados tanto algebraicamente como en forma literal, deben ser lo más variados posibles contemplando los distintos métodos de resolución.

· El estudio de las inecuaciones exigirá que las actividades concluyan siempre con la representación gráfica de la región solución.

Actividades de ampliación· En el estudio de la ecuación de segundo grado, se puede realizar una primera

aproximación a la representación de la función cuadrática y al estudio gráfico de sus soluciones (cortes de la parábola con el eje X).

· Se profundizará en el estudio de los sistemas con dos inecuaciones y su interpretación gráfica.


Educación para la convivenciaLas fotografías que ilustran diversas páginas de la unidad (niños jugando alegremente, campo de fútbol, el salón de una casa, padre e hija dialogando, niña jugando en el hogar) nos brindan una oportunidad inmejorable para reflexionar sobre las relaciones

humanas y el diálogo como motor de convivencia. Insistiremos en el respeto a la autonomía de los demás y en el diálogo como medio de solucionar conflictos.

Aprovechando el problema que inicia la unidad, que pide calcular las dimensiones de un campo de fútbol, se puede suscitar un debate en común sobre la violencia que a veces rodea a la práctica deportiva.

Educación vialUna de las formas de utilizar las matemáticas como medio de integración de los alumnos en su entorno más inmediato y de adquisición y desarrollo de actitudes cívicas, es mediante la propuesta de problemas relacionados con la educación vial.

En el apartado de ejercicios y problemas propuestos, encontramos situaciones que hacen referencia a la elaboración de estrategias personales de estimación de distancias, velocidades, tiempos y espacios: caminante que recorre una cierta distancia con una velocidad media determinada, ciclista que al aumentar la velocidad tarda menos tiempo en llegar, pelotas y cohetes que son lanzados hacia arriba con cierta velocidad inicial,...).

Al hilo de estas situaciones se puede reflexionar sobre la conveniencia o no de aumentar la velocidad para intentar llegar antes.

TEMA 4 NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES

OBJETIVOS

· Descubrir, comprender y utilizar números no racionales.· Asimilar los conceptos y procedimientos referentes a las potencias y sus

operaciones, imprescindibles para posteriores desarrollos.· Manejar con soltura los radicales y sus operaciones.· Interiorizar y utilizar la correspondencia entre los radicales y las potencias de

exponente fraccionario.· Comprender el concepto de conjunto de números reales y operar con ellos

en distintas situaciones de cálculo y medida.· Descubrir la existencia de números complejos y utilizar sus expresiones

binómica y cartesiana.

CONTENIDOS

Conceptos· El número irracional ( , ...)· Radicales. Potencias de base y exponente racional.· Operaciones con radicales.· Números reales. Operaciones.· Orden en R. Intervalos.· Números complejos.

Procedimientos· Reconocimiento de la presencia de los números irracionales en la realidad y en

el arte, y distinción de si dos segmentos están en proporción áurea.· Determinación de la irracionalidad o no de un número y realización de

aproximaciones de números irracionales.· Cálculo con potencias de base y exponente racional.· Expresión de radicales de cualquier índice como potencia y viceversa.· Cálculo con radicales y extracción de factores de un radical.· Reconocimiento de las relaciones de inclusión entre los distintos conjuntos

numéricos, cálculo con números reales y realización de aproximaciones con éstos.

· Ordenación de un conjunto de números reales y utilización de las propiedades del orden.

· Representación de conjuntos numéricos con intervalos.· Reconocimiento de la necesidad de definir los números complejos.· Expresión de los números complejos en forma binómica y cartesiana, pasando

de una a otra.

Actitudes· Apreciación de los números reales y complejos como instrumento útil para

describir y estudiar la realidad.· Gusto por la belleza, armonía y regularidad de los números.

· Valoración sincera y crítica del uso de la calculadora.


· Resolver ejercicios y problemas en los que se necesite la utilización de operaciones con potencias de base y exponente racionales.

· Transformar potencias de exponente fraccionario en su expresión radical y viceversa.

· Resolver ejercicios en los que se requiera manejar las distintas operaciones con radicales así como de la extracción e inclusión de factores en un radical.

· Utilizar el conjunto de los números reales para intercambiar información y resolver situaciones cotidianas.

· Expresar de forma binómica y de forma cartesiana las soluciones de ecuaciones de segundo grado sin solución real y representarlas.


En cuanto al nivel y dificultad del tema, conviene tener presentes los siguientes puntos:

· Las potencias y sus propiedades son ya conocidas por los alumnos, por lo que un breve repaso será más que suficiente.

· No será tan usual encontrar alumnos avezados en el manejo de los mecanismos de cálculo con radicales. Debemos asegurarnos que la relación entre los radicales y las potencias de exponente fraccionario es asimilada correctamente.

· Las mayores dificultades surgirán a la hora de abordar las operaciones con irracionales y la representación de estos sobre la recta real. Se practicará con ellos desde diversas perspectivas.

· Por último la iniciación en los números complejos debe ser muy cuidadosa para no provocar rechazo.

Por otra parte, abordaremos el tema en función de las siguientes premisas metodológicas:

· El planteamiento de problemas geométricos elementales (cálculo de la diagonal de un cuadrado, la proporción áurea ...) y la resolución de ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones no son racionales nos aporta una razón evidente para la ampliación del campo numérico.

· Una actividad que concuerda con esta situación es el estudio de la proporción áurea en la historia del arte. Se podría llevar a cabo una investigación histórica sobre la presencia del número áureo en las distintas manifestaciones artísticas. Así conseguiremos introducir los números irracionales de una manera atractiva.

· Las potencias y sus propiedades son ya conocidas por los alumnos. Un breve repaso será más que suficiente. La expresión de potencias de exponente fraccionario en forma de radicales puede servirnos para introducir el estudio de estos últimos. Diversos ejercicios en los que se requiera el empleo de las operaciones con radicales serán de obligado planteamiento.

· Son convenientes ejercicios en los que los alumnos puedan reflexionar y debatir sobre aspectos relacionados con los radicales. Un ejemplo puede ser la reflexión sobre el caso en el que el radicando es negativo y el índice par. Se debe llegar de forma natural a la deducción de que esta situación no tiene

sentido ya que un número negativo elevado a un exponente par siempre nos da un número positivo.

· Es muy importante fijar, mediante ejercicios en la pizarra, los mecanismos de cálculo con radicales. No estaría de más acostumbrarse a comprobar siempre los resultados de las actividades propuestas. Debemos asegurarnos de que todos han asimilado el mecanismo que permite extraer factores de una raíz ya que suele ser un error muy común el restar en vez de dividir los exponentes.

· La definición de conjunto denso nos ayudará a realizar una actividad muy provechosa. Se pide a los alumnos que, por parejas, reflexionen sobre si el conjunto de los irracionales (y después el de los reales) es denso. Dejar que formulen hipótesis y traten de demostrarlas. Incitarles a trabajar primero con casos particulares y después en general.

· Ejercicios de representación, con regla y compás, de números reales sobre la recta e intervalos de todos los tipos deben servir para afianzar los conceptos estudiados.

· Concluiremos la unidad suscitando la necesidad de utilizar los números complejos. Se trata de una iniciación a los mismos por lo que nos conformaremos con su identificación con un par de números reales a la hora de representarlos y con realizar diversas prácticas de pasar de la forma cartesiana a la binómica y viceversa.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como tratar la resolución de ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones no son racionales. Esta actividad, junto con el planteamiento del cálculo de la diagonal de un cuadrado, nos aportarán razones evidentes para la ampliación del campo numérico.


Actividades de refuerzo· La expresión de las potencias de exponente fraccionario en forma de radicales

sirve para introducir el estudio de estos últimos. Se practicará con especial atención, mediante diversos ejercicios en la pizarra, el mecanismo para extraer factores de una raíz.

· Es conveniente insistir en el significado de los distintos intervalos como forma de ordenación de los números reales y su representación sobre la recta.

· Resolver ecuaciones de segundo grado sin solución real nos introducirá los números complejos.

Actividades de ampliación· Profundizaremos en el estudio de los números irracionales mediante su

representación, con regle y compás, sobre la recta real y operando con ellos mediante aproximaciones.

· En el estudio de los números complejos sería interesante avanzar en su representación y realizar diversas prácticas de pasar de la forma cartesiana a la binómica y viceversa.


Educación para la saludEl conocimiento del propio cuerpo y de sus órganos es una parte esencial en la educación para la salud. En la Evaluación Inicial de la unidad encontramos un problema que pide cuantificar los glóbulos rojos que tenemos en la sangre, la cantidad de sangre en nuestro cuerpo y el porcentaje que supone dicha sangre con respecto al peso corporal de una persona. En el epígrafe 1 de la unidad encontramos una figura humana en la que se utilizan las distancias ombligo-pies y ombligo-cabeza para relacionar su cociente con el número áureo. Otro ejercicio, de los que introducen la unidad, plantea una situación en una gran ciudad por lo que se podría reflexionar sobre la influencia de las condiciones ambientales de una ciudad sobre la salud.

Educación ambientalEstrechamente relacionado con el punto anterior encontramos herramientas suficientes para tratar la educación ambiental. Las grandes ciudades y sus circunstancias medioambientales nos pueden llevar a debatir, no sólo su influencia en la salud personal sino también en la “salud” del planeta. En el apartado de ejercicios propuestos encontramos un problema que hace referencia a la Tierra. A partir de ella se puede reflexionar sobre la toma de conciencia para preservar el planeta.

TEMA 5 PROGRESIONES. MATEMÁTICA FINANCIERA

OBJETIVOS

· Comprender el concepto de sucesión y la terminología a ellas asociada.· Descubrir y utilizar las progresiones aritméticas y geométricas.· Elaborar estrategias personales para resolver situaciones concretas y

problemas que precisen la utilización de las progresiones aritméticas y geométricas.

· Comprender y manejar la interpolación de términos entre dos términos dados.· Asimilar los conceptos que intervienen en la matemática financiera, necesarios

para desenvolverse en situaciones cotidianas que los precisen.· Resolver problemas financieros actuales.

CONTENIDOS

Conceptos· Sucesiones de números reales. Término general.· Progresiones aritméticas. Suma de términos.· Progresiones geométricas. Suma y producto de términos.· Interpolación.· Interés simple y compuesto.· Anualidades de amortización y capitalización.· Tasa anual equivalente (TAE).

Procedimientos· Determinación del término general de una sucesión y obtención de un cierto

término a partir de la fórmula del término general.· Reconocimiento de las progresiones aritméticas, cálculo de un término dado a

partir de otro, y de la diferencia, o bien de la diferencia dados dos términos de la progresión.

· Obtención de la suma de n términos de una progresión aritmética.· Reconocimiento de las progresiones geométricas y resolución de problemas

donde los datos sean dos términos cualesquiera o un término y la razón.· Cálculo de la suma y el producto de n términos de una progresión geométrica.· Interpolación de n medios aritméticos o geométricos entre dos términos dados.· Resolución de problemas reales que impliquen los conceptos de interés simple

y compuesto, y donde haya que calcular capitales, réditos o tiempos.· Obtención de anualidades de capitalización y amortización.· Cálculo de la tasa anual de equivalencia (TAE) en distintos contextos reales.

Actitudes· Gusto por el uso de estrategias personales al resolver situaciones que precisen

la utilización de sucesiones.

· Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas del mundo financiero en situaciones cotidianas.

· Valoración de la utilidad de la calculadora como herramienta de apoyo.


· Trabajar con sucesiones numéricas y detectar sus regularidades.· Calcular el término general de una progresión aritmética, de una progresión

geométrica y en general de cualquier tipo de sucesión.· Resolver ejercicios en los que se requiera el cálculo de la suma de los términos

de una progresión aritmética.· Resolver ejercicios de cálculo de la suma y/o producto de los términos de una

geométrica.· Interpolar términos entre dos dados de una progresión aritmética o geométrica. · Utilizar los diversos recursos que ofrece la matemática financiera para expresar

situaciones económicas cotidianas.


Los contenidos tratados en la unidad no suelen ser bien admitidos e interiorizados por los alumnos. Por ello cobra vital importancia la exposición razonada de los mismos, el acercamiento a la realidad cotidiana y el diseño atractivo de actividades.

La matemática financiera ha carecido a menudo del agrado del alumnado por la falta de proximidad a sus inquietudes y la interpretación de que se trata de problemas de adultos. Debemos ser conscientes de las dificultades que planteará esta unidad e intentar plantear los contenidos de la manera más amena posible.


· Hay numerosos ejercicios de matemática recreativa en los que subyacen bonitos ejemplos de sucesiones. Aprovechar alguno de ellos para introducir el tema puede ser muy adecuado. Se pedirá que lo resuelvan individualmente o en pequeños grupos, utilizando todas las estrategias que se les ocurran, para comentar después los resultados obtenidos y los métodos empleados.

· Dejar clara la caracterización de las progresiones aritméticas y cómo pueden ser creciente, decrecientes o constantes según el signo de la diferencia. Pediremos a los alumnos que aporten ejemplos propios y propondremos una amplia colección de ejercicios sobre todo de aquellos en los que se aprecien dificultades.

· Es muy conveniente dejar que los alumnos experimenten con algún ejemplo concreto antes de pedirles que expresen una fórmula que calcule el término general de una progresión.

· Comentar el procedimiento de Gauss para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética antes de pasar a aspectos más formales sobre este tema. Hacer ver la utilidad de disponer de una fórmula a la hora de hallar sumas que tengan gran cantidad de términos.

· Actividades similares se pueden plantear en el estudio de las progresiones geométricas. Llamar la atención sobre el caso de las progresiones ilimitadas de razón menor que la unidad.

· En las actividades de interpolación de términos entre dos dados debemos procurar que los alumnos comprendan el proceso y que no se limiten a memorizar fórmulas.

· Periódicos, revistas y anuncios nos serán de gran utilidad para practicar con distintas situaciones reales en las que es necesario el cálculo de intereses, anualidades y TAE. Ejercicios relacionados con el Euro ayudarán también a motivar la introducción de los diversos conceptos de matemática financiera.

· Dedicar alguna sesión al uso de la calculadora científica y ayudar a los alumnos en su manejo debe plantearse como una actividad imprescindible.

ACTIVIDADES



· Presentar actividades en las que dada una secuencia de números, se pida al alumno que escriba el siguiente o siguientes como inicio a las sucesiones.

· En matemática financiera se puede invitar a los alumnos a que observen anuncios publicitarios, traten de leer la letra pequeña, y tomen nota de las condiciones de financiación. Los datos recopilados se presentarán a toda la clase y, en grupos, se intentará llegar al precio real del artículo. También conviene recordar los cálculos de tantos por ciento.


Actividades de refuerzo· Reflexionar sobre la utilidad de ciertas fórmulas, en el estudio de las

progresiones, antes de introducirlas. No debemos limitar los ejercicios a meros planteamientos numéricos e incluiremos situaciones más lúdicas (palillos, figuras geométricas, cartas que se reenvían,...).

· Insistir en problemas de intereses , réditos y anualidades con situaciones reales o ficticias próximas a los centros de interés de los alumnos.

Actividades de ampliación· Plantear paradojas, como la de Zenón, para profundizar en el concepto de

sucesión e intuir la idea de límite.· Se entrará en algunos de los planteamientos financieros actuales, proponiendo

actividades que supongan realizar cálculos más avanzados (pagos aplazados con tarjeta, cálculo de la T.A.E., ...)


Educación del consumidorYa en la primera página de la unidad encontramos tres problemas que hacen referencia a ventas, descuentos, I.V.A., beneficios y pérdidas. Es evidente que situaciones tan cotidianas como las citadas y el mundo del consumo en general, son una fuente inagotable de problemas y situaciones con claro interés matemático.Toda la parte referida a la matemática financiera sustenta sus ejercicios en cálculos monetarios estrechamente relacionados con el consumo. Son estas ocasiones las que debemos aprovechar para educar, desde las matemáticas, en el consumo responsable y crítico y en la necesidad de analizar cuidadosamente las ofertas financieras y nuestros hábitos de consumo.

Educación para EuropaTodas las actividades a las que nos referimos arriba manejan constantemente el cálculo en euros. Una nota al margen en el epígrafe 8 de la unidad nos recuerda que la Unión Europea tiene como moneda única el euro. Puede ser interesante aprovechar para debatir sobre la utilidad de dicha unión monetaria y reflexionar sobre el compromiso, más allá de la utilización del mismo sistema monetario, que adquirimos al formar parte de esta Unión.

TEMA 6 FUNCIONES

OBJETIVOS

· Asimilar los conceptos y procedimientos relativos a funciones reales de variable real, necesarios para estudios posteriores.

· Representar gráficamente las funciones a partir de sus tablas de valores y viceversa.

· Asociar funciones (tablas, gráficas y fórmulas) a fenómenos corrientes. · Representar gráficamente funciones elementales (cuadráticas, de

proporcionalidad y definidas a trozos) dadas por sus expresiones analíticas.· Encontrar e interpretar los puntos comunes a dos gráficas representadas sobre

los mismos ejes de coordenadas.· Interpretar fenómenos funcionales.

CONTENIDOS

Conceptos· Sistemas de referencia.· Dependencia entre variables.· Funciones reales de variable real.· Función lineal, afín, cuadrática y de proporcionalidad inversa.· Funciones definidas a trozos.· Puntos comunes a dos gráficas.

Procedimientos· Representación y reconocimiento de puntos en el sistema cartesiano e

interpretación y dibujo de gráficas representadas en ejes con la misma y distinta escala.

· Determinación del tipo de relación existente entre dos variables (funcional o no funcional).

· Reconocimiento de las funciones reales de variable real, determinación de la variable independiente y dependiente, de su dominio y recorrido.

· Representación de funciones lineales y afines, a partir de su ecuación, una gráfica o una tabla y reconocimiento de su presencia en distintos contextos reales.

· Reconocimiento de las funciones cuadráticas y sus propiedades y representación de estas.

· Representación de funciones de proporcionalidad inversa y reconocimiento de sus aplicaciones en distintas situaciones cotidianas.

· Representación de funciones definidas a trozos y análisis de su continuidad.· Obtención de los puntos comunes a dos gráficas.

Actitudes· Valoración de la importancia de las matemáticas en la interpretación de

fenómenos sociales.· Reconocimiento del papel tan importante que desempeñan las nuevas

tecnologías en el tratamiento de la información y en la representación gráfica de funciones.

· Actitud crítica ante las informaciones, dadas en forma de gráfica, que aparecen en los distintos medios de comunicación.


· Distinguir las variables dependientes de las variables independientes en problemas que traten sobre situaciones cotidianas.

· Calcular el dominio y recorrido de funciones sencillas. · Representar gráficamente funciones elementales (rectas, parábolas,

hipérbolas) dadas por tablas, gráficas o fórmulas.· Interpretar de forma global fenómenos funcionales presentados en forma de

tabla o de gráfica.· Representar funciones definidas a trozos.· Hallar gráfica y analíticamente los puntos de intersección de dos funciones

elementales, dadas por su expresión analítica.


Adquirir el concepto de función es un proceso largo que los alumnos ya comenzaron en cursos anteriores. Ahora es el momento de afianzarlo y utilizarlo como base para otros estudios más complejos. Los conceptos de variable dependiente e independiente deben trabajarse en profundidad.

Las funciones definidas a trozos, aunque no revisten especial dificultad, suelen plantear mucho rechazo, tal vez porque la idea de intervalo no quedó suficientemente clara en su momento. Insistiremos en ejercicios variados que requieran la utilización de este tipo de gráficas.


· Suministrar al alumno diversas informaciones en forma de gráfica, extraídas de los distintos medios de comunicación actuales, en las que se traten fenómenos de actualidad, y realizar estudios críticos de dichas informaciones, analizando el efecto de la elección de unidades y escalas en la interpretación del fenómeno que estudian. Se investigará cómo puede afectar el cambio de unidades o de escalas y si se detectan manipulaciones se confeccionará, en clase una gráfica que transmita la información de forma correcta.

· En una siguiente fase se pueden analizar con los alumnos diversos ejemplos y planteamientos en los que tengamos que señalar la variable independiente y la dependiente y obtener su relación de dependencia en el caso de dependencia funcional. Actividades de este tipo nos permitirán descubrir a tiempo, si los conceptos relativos a las funciones han sido asimilados correctamente.

· Son también de gran valor pedagógico planteamientos en los que el alumno deba traducir a un lenguaje numérico, en forma de tabla de valores, informaciones proporcionadas mediante el lenguaje verbal u obtenidas experimentalmente. Además debería ser capaz de traducir a una forma gráfica informaciones dadas en lenguaje verbal o numérico (precios de llamadas telefónicas, desplazamientos en distintos medios de transporte, etc.).

· Al plantear algunas actividades de representación de gráficas, es importante sugerir que cada alumno utilice distintas unidades y escalas. De esta forma y mediante la posterior puesta en común, el propio alumno llega a la conclusión

de que la misma información se puede expresar de distintas maneras y no por ello los resultados son distintos.

· La representación de la parábola y la hipérbola no suele ocasionar muchas dudas pero sí algunas sorpresas. Conviene recalcar la importancia del cálculo del vértice en la parábola.

· No se debe olvidar el planteamiento de actividades y ejemplos en los que no tenga sentido unir los puntos de una gráfica (número de pacientes en una consulta, número de hijos, etc.).

· En el estudio de funciones definidas a trozos conviene dejar muy claro que este tipo de funciones no tienen por qué ser discontinuas, concepto erróneo frecuentemente. Pedir a los alumnos ejemplos de funciones continuas y discontinuas ayudará a asimilar mejor el concepto.

· Por último, los alumnos no deben tener ninguna duda a la hora de señalar que los puntos comunes a dos gráficas verifican la ecuación de ambas y son, por tanto, la solución del sistema formado por dichas ecuaciones. Todos los ejercicios de este tipo conviene resolverlos gráfica y analíticamente.

ACTIVIDADES



· Se empezará presentando tablas y gráficas que reflejen la dependencia entre variables, como las que figuran en la Evaluación Inicial de la unidad. Se trata de valorar las dos formas de presentar la información e ir asimilando el concepto de dependencia entre variables, previo al concepto de función.

· Es conveniente repasar la representación gráfica de rectas y parábolas.


Actividades de refuerzo· Determinar gráficas a partir de tablas en fenómenos y situaciones próximas al

alumno (deportes, venta de discos,...) deben conducirnos a la expresión algebraica de la función. Nos limitaremos en un primer momento a la función afín, la cuadrática y la de proporcionalidad inversa. Insistiremos ahora en ejercicios que soliciten la gráfica de la función dada por su expresión algebraica.

· Por último, no se deben olvidar actividades de confección de gráficas, en las que no tenga sentido unir los puntos de la misma (número de hijos,...).

Actividades de ampliación· Profundizar en el estudio de las rectas, parábolas e hipérbolas representando

dos en el mismo sistema y estudiando los puntos comunes como puntos que

verifican la ecuación de ambas y, por lo tanto, solución del sistema formado por ellas.

· Avanzaremos en el estudio de las funciones definidas a trozos, para lo que pediremos ejemplos de funciones continuas y discontinuas.


Educación vialEn esta unidad se plantean numerosos ejercicios y problemas relacionados con los automóviles (viajes, relación entre consumo y velocidad, aparcamientos subterráneos,...) y los desplazamientos (en bicicleta, a pie, en avioneta, en autobús,...).

Se puede plantear un debate sobre la influencia del abuso del transporte privado en la congestión el tráfico, en el ahorro de energía y en la contaminación de las ciudades. Una alternativa sobre la que se puede reflexionar es la conveniencia de utilizar el transporte público como el autobús (ejercicio propuesto número 18). Otra alternativa más ecológica la constituye la bicicleta (ejercicio resuelto número 1).

En todos los casos llamar la atención sobre la importancia de respetar las normas de circulación por parte de todos.

Educación ambientalAl hilo de las reflexiones anteriores se puede enlazar con los problemas de contaminación y de consumo excesivo de energía, derivados de los diferentes medios de transporte. Otras actividades e imágenes, repartidas por toda la unidad, nos sugieren reflexionar sobre el consumo de agua, expediciones de montañeros, pescadores, buceadores,... Se puede establecer un debater sobre las actividades que contribuyen al deterioro del planeta.

TEMA 7 POLINOMIOS. FUNCIONES POLINÓMICAS

OBJETIVOS

· Comprender los conceptos ligados a los polinomios y sus operaciones.· Utilizar correctamente los algoritmos y procedimientos de cálculo con

polinomios.· Comprender el concepto de raíz de un polinomio y relacionarlo con el valor

numérico.· Estimar las posibles raíces de un polinomio y factorizarlo. · Reconocer las funciones polinómicas y manejar con soltura sus operaciones.· Dominar los procedimientos relativos al cálculo de la función inversa de una

dada. · Interpolar y extrapolar valores en una tabla obtenida experimentalmente.

CONTENIDOS

Conceptos· Polinomios. Operaciones.· Regla de Ruffini.· Raíces de un polinomio. Teorema del Resto.· Factorización de polinomios.· Funciones polinómicas. Operaciones.· Función inversa de una dada.· Interpolación y extrapolación.

Procedimientos· Reconocimiento de los polinomios y de sus elementos: coeficientes, grado,

término independiente, y cálculo del valor numérico de un polinomio.· Realización de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con polinomios.· Aplicación de la Regla de Ruffini al cálculo de cocientes de polinomios donde el

divisor sea de la forma x-a.· Utilización del Teorema del Resto para resolver distintos problemas.· Determinación de las raíces de un polinomio dentro del conjunto de divisores

del término independiente y factorizarlo.· Reconocimiento de las funciones polinómicas y realización de cálculos con

ellas.· Determinación de la función inversa de una dada de manera algebraica y

gráfica, reconociendo que ambas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

· Utilización de las técnicas de interpolación y extrapolación para obtener, de forma aproximada, los valores que toma una función a partir de otros conocidos.

Actitudes· Curiosidad para abordar matemáticamente situaciones cotidianas que se

presten a ello.· Valoración de la importancia de los polinomios, no sólo en matemáticas sino

también en otras áreas del estudio científico.

· Interés por la predicción y descubrimiento de datos desconocidos.


· Distinguir y nombrar los polinomios según su grado y reconocer sus elementos.· Realizar operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación, división)

empleando los algoritmos más adecuados a cada situación. · Aplicar el teorema del resto para descomponer un polinomio en producto de

factores.· Realizar operaciones (suma, producto por un número, producto de funciones y

composición) con funciones polinómicas.· Hallar la función inversa de una dada y entender su significado.· Calcular, de forma aproximada, los valores que toma una función desconocida

a partir de unos datos que hemos observado (interpolación y extrapolación).


Las operaciones básicas con polinomios son muy conocidas y suelen ser dominadas por los alumnos de este nivel. El teorema del resto es el que más problemas de comprensión y aplicación suele plantear por lo que se recomienda un trato especial.

Al final de la unidad encontramos dos apartados de vital importancia, en los que suelen surgir bastantes dificultades de comprensión y utilización, se trata de la composición de funciones y de la función inversa.

Concluimos con la interpolación y extrapolación, a veces olvidadas, que suponen la aplicación más cercana a problemas reales.


· Los polinomios son, a estas alturas, muy conocidos por el alumnado. No debemos detenernos demasiado en un estudio excesivamente riguroso ya que, en la mayoría de los casos, un simple repaso será suficiente.

· El Teorema del Resto es el que más problemas de comprensión y aplicación suele plantear. Aquí sí se recomienda un estudio minucioso debiendo plantearse numerosas actividades en las que intervenga la factorización de polinomios. Es fundamental, para estudios posteriores, que todos los alumnos dominen la técnica de factorización.

· Los ejercicios en los que se pide escribir el polinomio del menor grado posible cuyas raíces son conocidas y aquellos en los que se precisa la utilización de la regla de Ruffini deben completar esta parte de la unidad.

· Dadas dos funciones polinómicas se debe ser capaz de operar con ellas con soltura y celeridad. Los ejercicios de composición e funciones y de cálculo de la función inversa deben ser prioritarios.

· Para terminar el tema se propondrán actividades en las que se tenga que interpolar o extrapolar. Un ejemplo clásico lo constituye aquella situación en la que un automóvil sale de una ciudad y llega a otra habiendo recorrido una cantidad conocida de Km. Se conocen también, además de la hora de salida y llegada, los Km que llevaba recorridos a una hora intermedia. Se pide conocer, de manera aproximada, la hora a la que pasó por un determinado punto kilométrico, o cuántos Km había recorrido a una determinada hora.

· No olvidemos resaltar la diferencia entre una y otra técnica y las posibles formas de interpolar datos (lineal, cuadrática,...). Señalar su utilización en numerosos campos de la ciencia y su utilidad como técnica predictiva. Pedir, por último, a los alumnos que aporten algunos ejemplos propios.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como iniciar un repaso a las operaciones elementales con polinomios, sin detenernos demasiado por su escaso nivel de dificultad y el conocimiento que de ellas han adquirido los alumnos en cursos anteriores. Sin embargo, se debe insistir en la Regla de Ruffini, no tanto en su parte mecánica como en comprensión y utilidad en otros procesos más complicados.


Actividades de refuerzo· Se recomienda un estudio minucioso del Teorema del Resto, debiendo plantear

numerosas actividades en las que intervenga la factorización de polinomios. Es fundamental, para estudios posteriores, que se domine la técnica de factorización.

· Recordar las operaciones elementales con funciones polinómicas y detenerse en la composición de funciones y en el cálculo de la función inversa, practicando con ejercicios de enunciados variados.

Actividades de ampliación· Profundizar en los aspectos gráficos de las funciones polinómicas más

sencillas. Representar e interpretar gráficamente la suma de funciones y el producto de una función por un número. Se insistirá en ejercicios que permitan comprobar gráficamente la simetría de una función y su inversa.

· Se concluirá con ejercicios de interpolación y extrapolación, reforzando la interpretación gráfica de la solución y del error, en su caso.


Educación para la saludLa educación para la salud parte de un concepto integral de la salud como bienestar físico y mental, individual, social y medioambiental. Entre los ejercicios propuestos encontramos uno que hace referencia al nivel de ruido de los coches; podemos aprovechar para reflexionar sobre el tema del excesivo ruido en determinados

contextos cotidianos, aspecto que habitualmente los alumnos no consideran como relacionado con la salud.

Hay otros dos problemas, que nos hablan del peso ideal de hombres y mujeres, muy significativos para nuestros alumnos. Analizar la enorme importancia de llevar a cabo una alimentación correcta y adecuada y la necesidad de seguir hábitos de nutrición saludables.

Educación del consumidorDepósitos en entidades de crédito, ventas de periódicos, beneficios de empresas, facturas de compañías eléctricas,... son ejemplos, de situaciones relacionadas con la sociedad de consumo, que encontramos en esta unidad. Establecer un debate sobre los hábitos de consumo actuales y recabar la opinión de los alumnos sobre ellos.

Poner de manifiesto la gran importancia que tiene llevar a cabo un consumo crítico y responsable.

TEMA 8 FUNCIONES TRANSCENDENTES

OBJETIVOS

· Reconocer las familias habituales de funciones a partir de su gráfica y de su expresión analítica y, en este caso, representarlas.

· Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.· Asociar las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas con

distintos fenómenos naturales, sociales y económicos.· Comprender y utilizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales. · Comprender los conceptos y procedimientos referentes a los logaritmos y a las

ecuaciones logarítmicas necesarios para resolver situaciones que requieran su uso.

CONTENIDOS

Conceptos· Función exponencial. Aplicaciones.· Ecuaciones y sistemas exponenciales.· Función logarítmica. Propiedades.· Logaritmo de un número.· Ecuaciones logarítmicas y sistemas.· Razones trigonométricas de un ángulo.· Funciones y=senx, y=cosx, y=tgx.

Procedimientos· Representación de funciones exponenciales, reconocimiento de la relación

entre su forma y el valor de su base.· Resolución de problemas reales en los que intervengan funciones

exponenciales.· Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.· Representación de funciones logarítmicas, análisis de la relación entre su

forma y el valor de su base.· Utilización de las propiedades de las funciones logarítmicas para resolver

problemas.· Determinación del logaritmo de un número en cualquier base y utilización de

las propiedades de los logaritmos para realizar distintas operaciones.· Resolución de ecuaciones logarítmicas y sistemas.· Aplicación de la función logarítmica a la resolución de distintos problemas

reales.· Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo, distinguiendo su signo.· Paso de grados a radianes y viceversa.· Reconocimiento y representación de las funciones trigonométricas: seno,

coseno y tangente, y distinción de sus propiedades y características.

Actitudes· Incorporación del lenguaje gráfico a la forma de tratar la información.· Aprecio de los medios tecnológicos como herramienta para analizar la realidad.

· Interés por aumentar nuestros conocimientos matemáticos.


· Clasificar funciones dadas según su tipo.· Representar funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas a partir de

por su expresión analítica. · Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales.· Aplicar las propiedades de los logaritmos para resolver problemas.· Resolver ecuaciones y sistemas logarítmicas.· Resolver problemas en los que se requiera el cálculo de razones

trigonométricas.


Los contenidos tratados en esta unidad pueden resultar difíciles de asimilar en algunos de sus planteamientos. Mientras que la trigonometría, que ya ha sido estudiada anteriormente, no debe plantear situaciones demasiado problemáticas, los logaritmos, que se estudian por primera vez, suelen despertar el rechazo de los alumnos. No es fácil entender y asimilar las propiedades de los logaritmos por lo que extremaremos la vigilancia e insistiremos en los aspectos más relevantes.

Circunstancias similares ocurren en el estudio de las ecuaciones logarítmicas y sistemas.


· Se iniciará la unidad presentando al alumno diversas gráficas que representen fenómenos y situaciones cotidianas. A continuación se realizarán actividades de representación gráfica de fenómenos expresados a través de fórmulas algebraicas, utilizando calculadoras o incluso programas informáticos para el cálculo de valores y para dibujarlas.

· Para investigar las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas es conveniente recurrir a la utilización de diversos medios motivadores: situaciones curiosas de matemática recreativa (el ajedrez y los granos de trigo,...), vídeos, software informático (winfun,...), proyecciones, etc. También es de gran ayuda hacer ver a los alumnos la presencia de estas funciones en distintos contextos de la vida real. Numerosos problemas, que despiertan la curiosidad del alumnado, precisan de estas funciones para su comprensión y resolución.

· Es interesante analizar las similitudes y diferencias entre las propiedades de la función exponencial y logarítmica. Dibujar algunas gráficas y pedirles que las distingan y cuál puede ser el valor de la base, ayuda a fijar los conceptos.

· La definición de logaritmo es sencilla a partir de la de función logarítmica. Dejar claras las propiedades de los logaritmos y poner algunos ejemplos de cada una de ellas. Es importante recalcar el logaritmo de un producto (que no es el producto de los logaritmos) y el del cociente (que no es el cociente de los logaritmos).

· Recordar las definiciones de las razones trigonométricas. Dibujar distintos triángulos rectángulos en la pizarra y jugar a que uno pregunta a otro que diga cual es el seno, coseno o tangente de un ángulo cualquiera de uno de los

triángulos; después el preguntado pasa a preguntar a otro y así sucesivamente hasta que interviene toda la clase.

· Es interesante que los alumnos elaboren una tabla con los signos de las distintas razones según el cuadrante del ángulo. De esta forma interiorizan mejor el concepto.

· Es indispensable una amplia colección de los típicos problemas de ecuaciones y sistemas en los que intervengan exponenciales y logaritmos. Ejercicios en los que se opere con logaritmos en distintas bases y otros en los que se pida pasar de grados a radianes (y viceversa). No deben faltar los clásicos problemas de cálculo de ángulos y lados de un triángulo rectángulo.

· Pedir a los alumnos que realicen las comprobaciones con la calculadora. Esto les permitirá aprender a utilizar adecuadamente las distintas funciones que aparecen en esta unidad.

ACTIVIDADES



· Presentar a los alumnos diversas gráficas que representen fenómenos y situaciones cotidianas y se hará una primera aproximación visual a las mismas, comentando sus particularidades.

· El paso siguiente será representar gráficamente fenómenos dados por fórmulas algebraicas. En un primer momento conviene hacerlo a mano, sobre papel, aunque luego se pueden utilizar calculadoras y/o ordenadores.


Actividades de refuerzo· El estudio de las diversas familias de funciones debe hacerse de forma

sistemática. Se analizarán las similitudes y diferencias existentes entre ellas y se las integrará en diferentes contextos reales.

· Se reforzará la adquisición de destrezas para resolver ecuaciones y sistemas en las que intervengan exponenciales y logaritmos, mediante una colección amplia de ejercicios.

· Recordar las razones trigonométricas de un ángulo e insistir en su interpretación gráfica.

Actividades de ampliación· Profundizar en las aplicaciones de la función exponencial (intereses,

crecimiento de poblaciones,...) y de la función logarítmica (interés compuesto, intensidad sísmica,...), mediante la resolución de problemas reales que expresen situaciones de estos tipos. Puede resultar interesante recurrir a vídeos, software informático (winfun, hojas de cálculo,...), Internet, periódicos,...


Educación ambientalSituaciones como el crecimiento de poblaciones y el aumento de madera en un bosque, son un claro ejemplo de crecimiento exponencial, tal y como se refleja en el apartado 1 de la unidad. Además entre las aplicaciones de la función logarítmica figuran: la desintegración radiactiva y la intensidad sísmica. Todas estas circunstancias pueden servir para plantear la importancia del cuidado del medioambiente. Se puede plantear la recogida de datos y estudios sobre el crecimiento demográfico, la tala de bosques o los desastres naturales. Diversos problemas resueltos hacen referencia a los terremotos y al crecimiento de la población mundial. En este punto podría reflexionarse sobre las formas de relacionarse con el medio sin deteriorarlo.

Educación para la saludUno de los objetivos que planteamos en este punto es el de adquirir un conocimiento de las principales enfermedades que pueden afectarnos y del modo de prevenirlas y curarlas. Para este planteamiento encontramos un ejercicio, en el apartado de problemas propuestos, que habla del SIDA y de su fórmula de crecimiento. Reflexionar con los alumnos sobre la expansión y la gravedad de esta enfermedad, y sobre los modos de prevención.

Hacer hincapié en la necesidad de desarrollar hábitos de salud y en la importancia de adquirir una información adecuada y correcta en lo que a esta y otras enfermedades se refiere.

TEMA 9 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

OBJETIVOS

· Comprender el concepto de límite de una función.· Manejar correctamente las propiedades y reglas necesarias para el manejo de

los límites.· Adquirir los conceptos y procedimientos necesarios para entender la

continuidad de una función.· Aplicar el concepto de continuidad en situaciones diversas. · Determinar e interpretar la función derivada y su interpretación geométrica. · Dominar el cálculo de derivadas.

CONTENIDOS

Conceptos· Límite de una función. Límites infinitos y en el infinito.· Propiedades de los límites. Indeterminaciones.· Continuidad de una función en un punto.· Variación media e instantánea.· Función derivada. Interpretación geométrica.· Derivabilidad y continuidad.· Reglas de derivación.· Recta tangente y normal.

Procedimientos· Determinación, si existe, del límite (o límites laterales) de una función en un

punto o en el infinito y aplicar las propiedades de los límites en distintos cálculos.

· Resolución de indeterminaciones del tipo , , .· Determinación de si una función es continua en un punto.· Cálculo de la variación media e instantánea de una función.· Obtención de la derivada de una función en un punto y cálculo, si es posible,

de su función derivada, reconociendo su relación con la pendiente de la tangente en ese punto.

· Reconocimiento de la relación entre continuidad y derivabilidad de una función.· Cálculo de derivadas aplicando la regla de los cuatro pasos.· Utilización de las reglas de derivabilidad para calcular derivadas de funciones

sencillas.· Obtención de la derivada de la suma, producto y cociente de funciones.· Utilización de la regla de la cadena para calcular la derivada de distintas

funciones.· Cálculo de la ecuación de las rectas tangentes y normal a una curva en un

punto.

Actitudes· Reconocimiento de la utilidad del estudio de la continuidad y derivabilidad de

funciones en los distintos contextos del desarrollo científico.

· Gusto por la presentación clara y ordenada de los desarrollos necesarios en el cálculo de derivadas.

· Capacidad para formularse preguntas nuevas explorando al máximo un fenómeno o situación.


· Determinar el límite, cuando exista, de una función y aplicar correctamente las propiedades de los límites.

· Resolver indeterminaciones en el cálculo de límites. · Estudiar la continuidad de una función en un punto dado.· Determinar las derivadas sucesivas de una función y obtener su

representación gráfica.· Aplicar la regla de los cuatro pasos, el conocimiento de algunas funciones

derivadas (potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas), y la regla de la cadena, para calcular derivadas de funciones.


La unidad es algo complicada. Muchos de los alumnos adquirirán las destrezas necesarias para efectuar los cálculos mecánicos a base de practicar, pero los conceptos que subyacen no son triviales y se observarán numerosos errores de interpretación.

El sentido geométrico de la continuidad no suele plantear problemas, aunque no sucede lo mismo con la interpretación geométrica de la derivada y la aplicación de esta al cálculo de la recta tangente y normal en un punto.El hecho de que la derivabilidad sea condición necesaria pero no suficiente para la continuidad, suele presentar dificultades de entendimiento.

· En esta unidad es muy importante captar la atención del alumno desde un principio. Los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad no son triviales por lo que una buena introducción, relajada y amena, puede ser de gran utilidad. Historias como la de Aquiles y la tortuga ayudarán a iniciarnos en estos conceptos tan difíciles de asimilar por los alumnos.

· Los instrumentos gráficos son también imprescindibles. Unos buenos dibujos en la pizarra son fundamentales para explicar numerosos aspectos de este tema. Si hay dificultad para realizarlos conviene apoyarse con otros recursos como transparencias, vídeos o software informático.

· Los ejercicios de cálculo de límites de funciones dadas se deben completar siempre con otras actividades en las que a la vista de la gráfica de una función se tenga que determinar el valor de los límites laterales en algunos de sus puntos.

· Los alumnos deben ser capaces de resolver las indeterminaciones estudiadas. Debemos concienciarlos de la importancia del cálculo de límites para posteriores estudios.

· Programas informáticos como Derive, Winfun y otros nos serán de gran ayuda para entender la derivada y su interpretación geométrica. No olvidemos plantear una gran variedad de ejercicios en los que se relacione la derivada de una función en un punto con la pendiente de la recta tangente en ese punto.

· Por último debemos resaltar la importancia y utilidad de las reglas de derivación. Practicar cada una de ellas con diversos ejemplos. Es interesante

dividir la clase en grupos de manera que, cada uno de ellos proponga ejercicios de derivación a los demás; a continuación se propone un tiempo límite para que cada grupo resuelva las suyas. El trabajo en grupo, en situaciones concretas como la anterior, suele ser muy provechoso.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como, antes de introducir el concepto de límite de una función, se podría recordar brevemente algunas de las sucesiones (unidad 5), que daban una idea de su tendencia cuando n se hacía muy grande. Diversas reflexiones sobre gráficas de funciones nos acercarán también a la idea de “acercarse tanto como se quiera a un determinado valor”.


Actividades de refuerzo· El cálculo de límites debe ocupar una parte importante del tema. Si los alumnos

interiorizan bien el concepto y adquieren las destrezas de cálculo, el estudio de la continuidad y la derivabilidad será más asequible. El estudio de las indeterminaciones debe ser riguroso; se propondrán ejercicios cuidando de incluir ejemplos variados de cada tipo.

· Los ejercicios sobre continuidad deberán centrarse mayoritariamente en las funciones definidas a trozos. Las reglas y métodos de derivación se automatizan por medio de la práctica repetitiva en una gran variedad de ejercicios.

Actividades de ampliación· Se profundizará en la interpretación geométrica de la derivada, para lo cual se

podrán utilizar como recursos, entre otros, programas informáticos.· Insistir en la relación entre continuidad y derivabilidad mostrando diversos

ejemplos en los que una función continua no sea derivable.· Practicar la aplicación de las derivadas al cálculo de límites mediante la Regla

de L’Hôpital.


Educación del consumidorEntre los objetivos que nos planteamos para la educación del consumidor están el de desarrollar un conocimiento de los mecanismos de mercado y el de crear una conciencia de consumidor responsable. Al inicio de la unidad encontramos a un vendedor de coches, que recibe cierta comisión por cada vehículo que vende; más adelante un ejemplo que habla del consumo familiar y un ejercicio resuelto que estudia la demanda en función del precio. Todos estos aspectos pueden llevarnos a la

reflexión sobre la necesidad de aprender a planificar el consumo y a desarrollar un sentido crítico en situaciones de compraventa.

Educación ambientalSe puede establecer una relación interesante entre el consumo, tratado arriba, y el deterioro ambiental. ¿Nuestros hábitos de consumo influyen en el medioambiente?. Los alumnos deben expresar sus opiniones y tratar de encontrar aquellos aspectos positivos y negativos de la relación entre consumo y medioambiente.

¿Existe relación entre el petróleo y el consumo? Un ejercicio, propuesto al final del tema, nos habla de una mancha circular de petróleo, de la que hay que calcular la variación del área al aumentar el radio. Se puede debatir sobre el transporte de materiales peligrosos y el impacto ambiental que producen sus accidentes.

TEMA 10 FUNCIONES Y GRÁFICAS

OBJETIVOS

· Adquirir los conocimientos relativos a la representación gráfica de funciones necesarios para posteriores estudios.

· Identificar problemas de la vida real en los que intervengan funciones racionales sencillas.

· Reconocer e interpretar funciones racionales sencillas, así como sus propiedades y características principales.

· Estudiar las características básicas de una función.· Representar funciones racionales siguiendo un proceso sistemático de estudio

de sus características.

CONTENIDOS

Conceptos· Aproximación a la representación de funciones.· Dominio de un función.· Simetrías de una función.· Puntos de corte con los ejes.· Asíntotas horizontales y verticales.· Regiones del plano donde existe la gráfica.· Representación gráfica de una función racional.

Procedimientos· Interpretación de gráficas y representación de forma aproximada.· Determinación de la racionalidad de una función.· Obtención del dominio de una función, reconociendo sus valores posibles

según el tipo de función de que se trate.· Reconocimiento y determinación de las simetrías de una función respecto al

origen y al eje de ordenadas, de manera analítica y gráfica.· Cálculo de los puntos de corte de una función con los ejes coordenados.· Obtención de las asíntotas horizontales de una función, si las tiene, calculando

su límite cuando la variable tiende a infinito.· Cálculo de las asíntotas verticales de una función.· Determinación de las regiones del plano donde la función existe, a partir de sus

puntos de corte con el eje X y sus asíntotas verticales.· Representación de gráficas a partir de su dominio, simetrías, puntos de corte,

asíntotas, regiones donde existe y puntos concretos, utilizando todos estos elementos de manera adecuada.

Actitudes· Reconocimiento de la fuerza del lenguaje gráfico como medio muy útil para el

estudio y comprensión de fenómenos de la vida real.· Valoración de la trascendencia del rigor matemático.

· Aprecio y actitud crítica ante el uso de las nuevas tecnologías como elemento simplificador de cálculos.


· Determinar e interpretar las características de especial significación en la gráfica de una función cualquiera.

· Hallar el dominio de una función racional, las simetrías, los cortes con los ejes.· Determinar las asíntotas verticales y horizontales y estudiar la posición relativa

de la gráfica con respecto a ellas.· Determinar las regiones del plano donde está definida la gráfica de una función

racional dada por su expresión algebraica.· Representar gráficamente funciones racionales a partir del estudio de sus

propiedades.


La determinación de dominios, simetrías y puntos de corte con los ejes, en el estudio de funciones racionales no suele plantear excesivos problemas en el alumnado. Sin embargo, el concepto de asíntota puede plantear mayores dificultades. Debemos trasmitir su relevancia constatando que un cálculo correcto de asíntotas y la determinación de si la función está por encima o por debajo de ellas (horizontales), o a la izquierda o derecha (verticales), puede llevar a configurar prácticamente la gráfica de la función.

La determinación de las regiones del plano donde la gráfica existe, suele suscitar dificultades.


· Es importante que, en un primer momento, el alumno realice representaciones gráficas aproximadas conociendo las propiedades globales de un fenómeno. La utilización de todo tipo de prensa puede, en estos momentos iniciales del tema, contribuir a motivar el estudio.

· Ante problemas y situaciones cotidianas extraídas de libros, revistas, enciclopedias,... haremos diversas preguntas y dejaremos que los alumnos elaboren sus propias hipótesis y realizaremos una puesta en común. Se elegirá la correcta de forma consensuada.

· La clase debe disponer de una amplia colección de gráficas de funciones, en las que figuren únicamente la expresión analítica y la gráfica. Antes de empezar con el cálculo de las características fundamentales de las funciones, conviene que los alumnos visualicen y comenten esta colección de gráficas para ir relacionando situaciones y formas.

· La determinación de dominios, simetrías y puntos de corte con los ejes debe ser el punto de partida al estudio riguroso de elementos necesarios para la representación de funciones. Nos centraremos principalmente en las funciones racionales.

· El concepto de asíntota debe quedar muy claro. Hacer ver su relevancia llegando a la conclusión de que si las hemos calculado correctamente y determinamos si la función está por encima o por debajo de ella (horizontales) o a izquierda o derecha (verticales), tendremos prácticamente configurada la gráfica de la función.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como, en una primera aproximación a la representación de funciones, presentar gráficas ya confeccionadas y pedir a los alumnos que indiquen los aspectos más destacados que observen. Conviene dirigir la observación hacia aquellas propiedades de mayor interés. Un paso más puede consistir en presentar murales en los que las gráficas estén acompañadas por sus correspondientes expresiones algebraicas; se trata de ir relacionando expresiones y formas.


Actividades de refuerzoTrabajar, casi en exclusiva, el estudio de funciones racionales. Determinar los aspectos más relevantes de las funciones que nos permitan, mediante un proceso sistemático, obtener su representación gráfica. Es conveniente, en un principio, practicar con una misma función todos los cálculos y llegar a su representación gráfica. Posteriormente detenerse en cada una de las propiedades (dominio, simetrías, cortes con los ejes, asíntotas y regiones de definición) y plantear una amplia colección de ejercicios de cada una de ellas.

Actividades de ampliaciónEs conveniente profundizar en problemas reales que expresen fenómenos funcionales que se presten a estudio mediante sus gráficas.Se puede ampliar el estudio a otras características de las funciones como crecimiento, máximos,...


Educación ambientalEl estudio de la evolución de las poblaciones de las ciudades de Bombay y de México, que aparece en los problemas propuestos en la Evaluación Inicial, puede incitar a la reflexión sobre el fenómeno de la superpoblación y sus consecuencias medioambientales. En la sección de Ejercicios y problemas resueltos encontramos un ejercicio en el que un ayuntamiento realiza una campaña con el fin de ahorrar agua. Al realizarla se podrían analizar los peligros que amenazan hoy nuestro planeta, entre ellos la escasez de agua en determinadas zonas y el derroche que de ella se hace en otras. Se puede profundizar en el uso, el abuso, el agotamiento y ahorro de los recursos naturales básicos.

En esta misma sección encontramos una situación de investigación con animales, en concreto una rana. El debate sobre los fines de la investigación con animales puede

ser muy interesante y ayudará a tomar conciencia sobre la necesidad de respetar a todas las formas de vida del planeta.

Educación para la pazRelacionado con el apartado anterior y aprovechando los mismos ejemplos, podemos incidir sobre el concepto de solidaridad y suscitar una reflexión en común sobre el desigual reparto de los recursos del planeta y el foco de conflictos de todo tipo que esto supone.

TEMA 11 ESTADÍSTICAS: TABLAS, GRÁFICAS Y PARÁMETROS

OBJETIVOS

· Comprender y manejar correctamente los conceptos estadísticos necesarios para sentar las bases de posteriores desarrollos.

· Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos a partir de situaciones reales.

· Utilizar las propiedades de las medidas de centralización para analizar y resolver problemas.

· Encontrar valores representativos de un conjunto de datos utilizando medidas de dispersión.

· Interpretar la simetría de un conjunto de datos mediante distintas representaciones gráficas.

· Manejar con soltura la calculadora científica.

CONTENIDOS

Conceptos· Aspectos generales de la Estadística.· Frecuencia y tablas.· Representaciones gráficas.· Medidas de tendencia central.· Medidas de dispersión.· Simetría y asimetría.· Cuartiles y percentiles.

Procedimientos· Distinción de los tipos de caracteres y variables estadísticas.· Reconocimiento de las diferencias entre población y muestra en situaciones

diversas extraídas de contextos reales.· Organización de un conjunto de datos en forma de tabla y cálculo de

porcentajes, frecuencias absolutas y relativas, así como las acumuladas.· Construcción, interpretación y análisis crítico de todo tipo de representaciones

gráficas: histogramas, diagramas de sectores, pictogramas y pirámides de población.

· Cálculo de las medidas de tendencia central: media, mediana y moda, de un conjunto de datos, utilizando las propiedades de cada una par resolver distintos problemas.

· Obtención de las medidas de dispersión de un conjunto de datos.· Determinación de la simetría o asimetría (a la derecha o izquierda) de una

función.· Obtención de cuartiles y percentiles de un conjunto de datos mediante cálculos

numéricos o de manera gráfica.· Utilización de la calculadora científica para realizar distintos cálculos

estadísticos.

Actitudes· Valoración de los procesos estadísticos como instrumentos importantes para

describir y estudiar la realidad.· Actitud crítica ante informaciones, presentadas de forma estadística,

aparecidas en los distintos medios de comunicación.· Gusto por la investigación sistemática de fenómenos cotidianos.


· Organizar un conjunto de datos en forma de tabla y calcular porcentajes y frecuencias.

· Diferenciar las variables discretas de las continuas. · Elaborar, interpretar y analizar críticamente todo tipo de representaciones

gráficas: histogramas, diagrama de sectores, pictogramas, pirámides de población, etc.

· Calcular e interpretar correctamente medidas de tendencia central y medidas de dispersión.

· Efectuar los cálculos complejos y repetitivos aprovechando las características de la calculadora científica.


La introducción a la estadística, el manejo de tablas y gráficos, así como el cálculo de parámetros no suele plantear excesivas dificultades. Aún así, es importante asegurarse de que son comprendidos, pues esos conceptos van a ser fundamentales para afrontar con éxito los temas sucesivos.

Especial interés merecen las medidas de carácter central y sobre todo, las de dispersión. Los conceptos de varianza y desviación típica en ocasiones no son bien asimilados y esto dificulta enormemente el estudio significativo de una distribución de datos y la comparación de distribuciones entre si.

Conviene tener presentes las siguinetes orientaciones metodológicas:

· La mejor manera de comenzar el tema es plantear a los alumnos algún trabajo de investigación o encuesta sobre una situación de su entorno más inmediato. El alumno deberá iniciarse, de esta forma, en la presentación ordenada de los resultados y en la realización de los primeros cálculos.

· La utilización de la prensa es, en esta unidad, de gran importancia. Numerosas tablas y gráficos estarán a nuestra disposición para ser comentados y analizados. Es tan grande la variedad de situaciones que nos podemos encontrar en los periódicos y revistas, que difícilmente encontremos algún alumno que no se sienta atraído por alguna de ellas.

· La utilización de software informático, vídeos y transparencias debe mejorar sensiblemente la presentación y adquisición de nuevos conceptos. La cantidad de recursos que se pueden encontrar en Internet, hace viable una utilización racional, siempre que sea posible, de esta vía de transmisión y recepción de datos e informaciones.

· Una actividad interesante es pedir a los alumnos que analicen críticamente las informaciones que se les presentan. Intentar expresar una misma información en distintos tipos de gráficos u ofrecerla, de manera consciente, de manera que apoye un cierto punto de vista, por ejemplo, cambiando las escalas de los ejes.

· Un variado repertorio de ejercicios en los que se calculen y estudien los distintos tipos de medidas estadísticas, debe ser más que suficiente para completar el estudio de esta unidad.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como que el alumno practique la interpretación de datos estadísticos presentados en tablas o que él mismo las confeccione después de haber realizado una encuesta. Insistir en la presentación ordenada de los datos y en la realización de los cálculos más elementales, como la determinación de frecuencias.


Actividades de refuerzo· Es importante entender y dominar la construcción de las representaciones

gráficas más usuales. Presentar a los alumnos una amplia gama de gráficas estadísticas (histogramas, diagramas de barras, gráficos de sectores, pictogramas,...) y pedirles que las interpreten en pequeños grupos, para una posterior puesta en común.

· Dados una serie de datos, extraídos de situaciones reales, tendrán que ordenarlos en tablas y construir las gráficas correspondientes. Pedir que calculen las frecuencias y las medidas de tendencia central y de dispersión, percentiles,....

Actividades de ampliación· Presentar actividades más complejas, extraídas de la actualidad informativa,

que requieran realizar cálculos más elaborados. Estudiar la conveniencia de utilizar medios auxiliares de cálculo y representación gráfica, como la calculadora o el ordenador. En este último caso, la utilización de hojas de cálculo, laboratorios estadísticos para PC, Internet,... será un recurso muy potente y atractivo.


Educación para la convivenciaNada más comenzar la unidad encontramos una tabla con datos del número de turistas que visitaron España durante los años 1999 y 2000. Hacer ver la importancia del turismo en nuestro país y la necesidad de convivir de manera armónica con las personas que nos visitan. Relacionado con ello puede tratarse el tema de la inmigración.

Insistir en las ventajas de la convivencia plural, respetando las particularidades y autonomía de todos los miembros de nuestra comunidad.

Educación no sexistaUna pirámide de población del año 1991, ilustra el final del apartado 3 del tema, dedicado a las representaciones gráficas. En ella se incluyen, además de la población clasificada por edad y sexo, los ocupados, los parados y los inactivos.

Establecer un debate sobre la integración de la mujer en el mercado laboral y las diferencias existentes entre hombres y mujeres en cuanto a su situación laboral. Se deberá incitar a la reflexión sobre la discriminación por sexo. Puede ser interesante pedirles que investiguen sobre la evolución de la situación laboral de la mujer.

Hacer hincapié en la importancia de evitar expresiones de tipo sexista en el lenguaje, así como de comportamientos de este tipo. Señalar la importancia de respetar a todas las personas y no valorarlas en función de su sexo.

TEMA 12 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

OBJETIVOS

· Comprender y asimilar las características de las distribuciones bidimensionales necesarias para el estudio de fenómenos sociales y científicos.

· Representar e interpretar un conjunto de valores de dos variables mediante una nube de puntos.

· Estimar el coeficiente de correlación lineal a partir de una nube de puntos.· Analizar el grado de relación de dos variables de una distribución bidimensional

conocido el coeficiente de correlación lineal.· Interpretar la relación entre dos variables y realizar estimaciones.

CONTENIDOS

Conceptos· Distribuciones bidimensionales. Tablas de doble entrada. Frecuencias.· Covarianza. Métodos de cálculo.· Nube de puntos.· Correlación. Coeficiente de correlación lineal.· Ajuste de una nube de puntos mediante una recta.· Rectas de regresión. Estimaciones.

Procedimientos· Reconocimiento de las distribuciones bidimensionales dadas por tablas,

extraídas de situaciones reales.· Organización de los datos en forma de tabla de doble entrada, obteniendo las

frecuencias absolutas y relativas.· Cálculo de la covarianza de una distribución bidimensional en una tabla simple,

en una de doble entrada y con la calculadora científica.· Representación en forma de nube de puntos de una distribución e

interpretación de nubes de puntos reconociendo su dispersión y el dominio y recorrido de cada variable.

· Análisis intuitivo de la correlación de una nube de puntos y utilización de su relación con la covarianza.

· Determinación del coeficiente de correlación lineal a partir de las desviaciones típicas y la covarianza o con la calculadora.

· Obtención de las dos rectas de regresión asociadas a una distribución bidimensional, realización de distintas estimaciones a partir de ellas y determinación del error de ajuste cometido, con y sin ayuda de la calculadora.

Actitudes· Tendencia a consultar varias fuentes de información antes de sacar

conclusiones en el análisis de una situación concreta.· Disposición crítica y cautela ante las relaciones aparentes entre distintos

fenómenos sociales.

· Valoración del uso de la calculadora y el ordenador a la hora de realizar estudios estadísticos.


· Reconocer distribuciones bidimensionales y manejar tablas de doble entrada.· Calcular e interpretar correctamente la covarianza de una distribución

bidimensional. · Obtener la nube de puntos a partir de un conjunto de datos relativos a dos

variables y analizar intuitivamente su correlación.· Calcular el coeficiente de correlación lineal de distribuciones bidimensionales y

dar su interpretación.· Obtener las rectas de regresión asociadas a una distribución bidimensional,

realizar estimaciones y determinar el error cometido.


Los cálculos a partir de una tabla de doble entrada se hacen más complejos y la utilización de la calculadora científica se hace más necesaria. Asegurarse de que cada alumno conoce las posibilidades de su máquina y la utiliza correctamente.

Las mayores dificultades suelen aparecer en el estudio y la interpretación de la correlación y su relación con la covarianza, así como en el estudio de la regresión. Una colección de ejercicios, bien escogidos, y la ayuda gráfica de la nube de puntos, deben ser más que suficientes para salvar las dificultades que se pueden plantear.


· Encuestas realizadas dentro y fuera de la clase, datos y gráficos sacados de los distintos medios de comunicación y el uso de calculadoras y ordenadores para realizar los cálculos más complejos, son recursos que debemos utilizar para mejorar el proceso de asimilación de los conceptos y procedimientos relativos a las distribuciones bidimensionales.

· Es muy aconsejable plantear a los alumnos alguna encuesta o actividad de investigación. El propio alumno planificará la obtención de datos, su representación en tablas y su traducción a nubes de puntos. Realizará una primera interpretación intuitiva de la relación entre las variables. Posteriormente, una vez estudiado el coeficiente de correlación, el alumno interpretará y descubrirá con cierto rigor, el tipo de relación entre las variables estudiadas. Por último el profesor introducirá el concepto de recta de regresión y pedirá que se realicen las estimaciones oportunas.

· Es importante señalar que el propósito de las actividades que se realicen en esta unidad no es que el alumno realice infinidad de cálculos complejos para determinar los distintos parámetros que aquí intervienen. Se trata de que sea capaz de realizar estimaciones de estos coeficientes y, en todo caso, calcularlos con la ayuda de la calculadora científica o incluso programas de ordenador como Ebaolab (laboratorio estadístico) que suministra gratuitamente el PNTIC.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como la interpretación de tablas, ahora de doble entrada, para lo cual se puede organizar una búsqueda por periódicos, revistas y libros diversos. Elegir las más significativas y comentarlas en clase, pidiendo a los alumnos que representen algunas de ellas sobre unos ejes cartesianos y observen la disposición de los puntos.


Actividades de refuerzo· La simple obtención de frecuencias debe introducir a los alumnos en la

dinámica de efectuar los cálculos de parámetros de manera sistemática. Para ello se pueden emplear calculadoras y/o ordenadores, cuando los cálculos sean complejos.

· Insistir en el cuidado a la hora de representar las nubes de puntos ya que su simple observación nos permitirá realizar una primera interpretación intuitiva de la relación entre las variables. Posteriormente, con ayuda del coeficiente de correlación, estudiar dicha relación con más rigor y trabajar las técnicas de estimación.

Actividades de ampliación· Se puede profundizar en el estudio de situaciones y fenómenos interesantes,

pero mucho más complejos a la hora de efectuar los cálculos y realizar predicciones. Para ello sería interesante el manejo de algún programa informático de carácter estadístico como Ebaolab (laboratorio estadístico), que suministra gratuitamente el Ministerio de Educación a través del CNICE.


Educación vialEn el apartado Ejercicios y Problemas Propuestos encontramos un ejercicio muy significativo para el tratamiento del tema transversal que nos ocupa. El problema hace referencia al número de muertos en accidentes de carretera en los años 1993 y 1994.

Se puede investigar sobre datos más recientes y comparar con los que aporta el problema. Reflexionar sobre las causas más habituales de los accidentes de coche y sensibilizar sobre las terribles consecuencias de los accidentes de tráfico.

Hacer hincapié en la necesidad, por parte de todos, de conocer y respetar escrupulosamente las normas de circulación.

Educación para la saludEn la misma página de Ejercicios Propuestos, encontramos otro problema muy adecuado al planteamiento que ahora queremos desarrollar. Se trata de un tema de gran importancia para la salud, tanto física como mental, y de gran actualidad. Nos estamos refiriendo a las dietas de adelgazamiento. Suscitar un debate sobre los factores sociales que impulsan este hecho: importancia de la imagen, la moda, culto exagerado al cuerpo, ... y la necesidad de llevar a cabo siempre una nutrición equilibrada y adecuada.

Hacer hincapié en la importancia de no seguir dietas sin estricto control médico.

TEMA 13 ENCUESTAS, TASAS, ÍNDICES Y PRECIOS

OBJETIVOS

· Comprender los conceptos y procedimientos relativos a las encuestas, tasas, índices y precios necesarios para reflejar realidades cotidianas.

· Distinguir las distintas fases de una encuesta y analizar sus resultados.· Distinguir entre razón, proporción y porcentaje, eligiendo el cálculo más

conveniente en cada ocasión.· Comprender e interpretar las tasas como razón entre dos cantidades de

diferente unidad.· Interpretar noticias en las que intervengan conceptos actuales como la EPA, el

IPC y el PIB.

CONTENIDOS

Conceptos· Encuestas: características y fases.· Razón, proporción y porcentaje.· Tasas.· Encuesta de población activa (EPA).· Números índices. Índice de precios de consumo (IPC).· Poder adquisitivo.· Producto interior bruto (PIB).

Procedimientos· Conocimiento de las características y fases de una encuesta y realización de la

misma.· Distinción entre razón, proporción y porcentaje y cálculo de todos ellos.· Resolución e problemas que impliquen el concepto de tasa y cálculo de tasas

de distintos datos extraídos de la realidad.· Conocimiento de las características de la EPA y cálculo de sus conceptos

asociados.· Expresión de una seria de datos utilizando los números índices en tantos por

uno y tantos por ciento y utilización de sus propiedades para resolver problemas.

· Conocimiento del concepto de IPC, sus características y forma de determinación y resolución de problemas reales de cálculo de variaciones en distintos períodos de tiempo.

· Resolución de problemas que impliquen el concepto de poder adquisitivo, determinando su variación en distintos contextos.

· Conocimiento del concepto de PIB, sus métodos de obtención y resolución de problemas sobre sus variaciones a lo largo del tiempo.

Actitudes· Interés por conocer e interpretar conceptos tan repetitivos en los medios de

comunicación como la EPA, el IPC y el PIB.

· Curiosidad por las encuestas y su valoración crítica.· Valoración de los indicativos sociales y económicos como muestra del nivel de

desarrollo de un país o comunidad.


· Confeccionar encuestas e interpretar sus resultados mediante tablas y gráficos.· Obtener razones, proporciones y porcentajes distinguiendo los matices

diferenciales.· Manejar el concepto de tasa y obtener tasas de distintos datos extraídos de la

realidad. · Interpretar la Encuesta de Población Activa y determinar características

asociadas a ella.· Resolver problemas que impliquen los conceptos de números índice, poder

adquisitivo y producto interior bruto.


El estudio, elaboración e interpretación de encuestas suele ofrecer una respuesta positiva por parte del alumnado, por lo que su tratamiento no requerirá un esfuerzo desmedido.

Otros conceptos como el IPC, la EPA o el PIB, aparte de ser más complicados de entender y elaborar, son entendidos como menos próximos a la realidad del alumno por lo que se tornan más arduos en su tratamiento y plantean mayores dificultades a la hora de abordarlos. Intentar motivar su estudio mediante argumentos que destaquen su importancia a la hora de conocer la realidad social y económica del entorno.


· Se comienza la unidad revisando diversos periódicos e informativos en los que se hable del poder adquisitivo, de la inflación o del IPC. Se pretende que en un primer momento, los alumnos comenten y debatan sus conocimientos previos al respecto.

· La elaboración de encuestas propias servirá para que los alumnos tomen contacto con la importancia de ser ordenados y sistemáticos a la hora de confeccionarlas y sean capaces, posteriormente, de analizar otras sacadas de la realidad.

· Debemos resaltar la importancia de las encuestas para determinar la opinión la opinión y características de los grupos sociales. Dejar clara la importancia de la elección de la muestra y la necesidad de analizar sus resultados críticamente.

· Una tasa muy utilizada es la densidad de población (cociente entre el número de habitantes y la extensión en kilómetros cuadrados). Se puede utilizar para comparar datos entre provincias, comunidades, o incluso países. Una actividad interesante podría ser el estudio histórico de la densidad de población de un determinado territorio.

· Hay conceptos como el del IPC, que se publican mensualmente. Un repaso a las hemerotecas nos servirá para poder estudiar la evolución de este indicador tan popular.

ACTIVIDADES


Además, como en temas anteriores, la interpretación de tablas y datos sigue constituyendo la base para desarrollar con éxito los contenidos de la unidad. La interpretación y/o elaboración de encuestas será el punto de partida. Practicar las cuatro fases más importantes de una encuesta, elaborar un modelo y ponerlo en práctica puede constituir una forma amena y motivadora de iniciar en el estudio de fenómenos más complejos.


Actividades de refuerzoLa recopilación de datos sobre la propia localidad, densidad de población, tasa de paro, porcentaje de jóvenes, número de vehículos por mil habitantes,... puede ayudar a los alumnos a trabajar con tasas, porcentajes y proporciones, a la vez que conocen su realidad más cercana.Actividades similares se pueden aplicar al estudio de números índices, aunque en ausencia de datos sobre la localidad, cualquier periódico o revista aportará suficiente material para desarrollar los contenidos de la unidad.

Actividades de ampliaciónProfundizar sobre el Indice de Precios al Consumo con los datos que se publican mensualmente, sobre el poder adquisitivo o sobre el Producto Interior Bruto, supone un esfuerzo mayor de comprensión y de manejo de datos. Internet puede suministrar una gran cantidad de información sobre cualquier país del mundo.


Educación del consumidorToda la unidad está impregnada de planteamientos, situaciones y estudios estrechamente relacionados con el consumo.

En esta ocasión, aparte de tratar el tema del consumo responsable, se podría reflexionar sobre los mecanismos de consumo, los indicadores que se utilizan para obtener el IPC y el funcionamiento del mercado, las fases en la comercialización de un producto, el impacto de la publicidad, etc..

Señalar la importancia de conocer nuestros derechos y deberes como consumidores y la necesidad de un consumo crítico y responsable.

Educación para la pazEn consonancia con los aspectos reflejados en el tema del consumo, podemos establecer comparaciones con los países menos favorecidos, en cuanto a salarios y coste de la vida.

Las ayudas económicas al Tercer Mundo (en el apartado 1 de la unidad encontramos una noticia relacionada) pueden llevar a suscitar una reflexión sobre las desigualdades, la pobreza o el subdesarrollo como origen permanente de conflictos.

Señalar la necesidad de repartir la riqueza, y de la importancia de la solidaridad internacional como paso para evitar conflictos y lograr la paz.

TEMA 14 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

OBJETIVOS

· Distinguir entre probabilidad “a priori” y probabilidad “a posteriori”.· Distinguir entre sucesos compatibles e incompatibles y entre sucesos

dependientes e independientes.· Reconocer y expresar matemáticamente fenómenos aleatorios presentes en la

vida real.· Conocer las características que definen una función de distribución y

relacionarla con la probabilidad.· Interpretar gráficamente la distribución de probabilidad.· Interpretar el significado de la esperanza matemática y la varianza.

CONTENIDOS

Conceptos· Sucesos. Operaciones.· Probabilidad. Regla de Laplace.· Probabilidad condicionada.· Función de probabilidad.· Función de densidad y de distribución.· Esperanza matemática.· Varianza.

Procedimientos· Obtención de los sucesos elementales de un experimento aleatorio,

determinación de si dos sucesos son compatibles, incompatibles o contrarios y cálculo de la unión, intersección y diferencia de dos sucesos dados.

· Aplicación de la regla de Laplace en distintos contextos.· Cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos incompatibles y la

probabilidad del suceso contrario a uno dado.· Cálculo de probabilidades condicionadas en distintos experimentos aleatorios.· Determinación de las características de una variable aleatoria y representación

de su función de probabilidad. · Resolución de distintos problemas utilizando las propiedades de las variables

aleatorias discretas..· Conocimiento del concepto de función de densidad y sus propiedades y

obtención de distintas probabilidades de sucesos mediante el cálculo de áreas asociadas.

· Determinación de la función de distribución de una variable aleatoria y cálculo de probabilidades de distintos sucesos a partir de ella o de su gráfica.

· Obtención de la esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta.

Actitudes· Comportamiento reflexivo ante las creencias populares sobre la probabilidad.· Interés y curiosidad por los fenómenos aleatorios y su manera de explicarlos.

· Gusto por la investigación sistemática y organizada.


· Operar con sucesos.· Discriminar entre dependencia e independencia, compatibilidad e

incompatibilidad de sucesos.· Aplicar la regla de Laplace y calcular probabilidades condicionadas.· Caracterizar variables aleatorias, representar su función de probabilidad y

resolver problemas utilizando sus propiedades.· Determinar funciones de distribución y calcular probabilidades a partir de ellas.· Obtener la esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria

discreta.

CLAVES CIENTÍFICAS Y METODOLÓGICAS

El estudio de la probabilidad no supone, habitualmente, excesivos esfuerzos de motivación, pero suele plantear numerosas situaciones de frustración entre los alumnos. No es un tema sencillo, en contra de las primeras apreciaciones, y requerirá un gran esfuerzo de concentración y trabajo sobre planteamientos muy diversos.

Las mayores dificultades surgirán a la hora de desarrollar los conceptos de función de densidad y de función de distribución, así como en la interpretación de la esperanza matemática y la varianza. Se insistirá en el planteamiento de situaciones que refuercen estos conceptos.


· Los juegos de dados constituyen un recurso indispensable para una buena puesta en marcha en la introducción de los conceptos probabilísticos. Otros juegos o actividades como el lanzamiento de monedas, el juego del dominó o las siempre disponibles bolsas y urnas llenas de bolas de distintos colores constituyen una fuente inagotable de situaciones probabilísticas.

· Si elegimos, por ejemplo, el lanzamiento de dos dados, se pedirá al alumno que confeccione una tabla y una gráfica de resultados posibles y de sus probabilidades.

· Con este mismo ejemplo se puede introducir, más adelante, el concepto de distribución de probabilidad y de sus parámetros,, aprovechando para remarcar la importancia del concepto de esperanza matemática.

· Resulta muy interesante profundizar en la investigación de la situación elegida, en nuestro caso el lanzamiento de dos dados, alterando las condiciones iniciales del juego, preguntándose si se trata o no de un juego justo o cómo podríamos influir para que fuera o dejara de serlo.

ACTIVIDADES

Actividades de desarrolloLas actividades de desarrollo consistirán en la realización de las actividades propuestas en el libro de texto, tanto las que aparecen en las distintas tareas como las

que se proponen al final de la unidad. La selección de las actividades estará en relación con la evaluación inicial de los alumnos, con el objetivo de cumplir los objetivos previstos.

Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como los Los juegos con dados, barajas, monedas o bolsas llenas de bolas de colores, constituyen una fuente inagotable de situaciones probabilísticas, en las que se pueden trabajar los primeros conceptos relacionados con los sucesos, con la compatibilidad e incompatibilidad y con las operaciones con sucesos.


Actividades de refuerzo· Es interesante elegir un mismo experimento, como el lanzamiento de un dado,

y a través de él ir introduciendo los diferentes conceptos probabilísticos. Pedir a los alumnos que confeccionen una tabla y una gráfica de resultados posibles y de sus probabilidades. Más adelante el mismo ejemplo puede servir para introducir las distribuciones de probabilidad y sus parámetros.

· Ayudados por una bolsa con bolas de colores en su interior completar el estudio de la probabilidad condicionada.

Actividades de ampliación· Insistir en la interpretación gráfica de la función de probabilidad de una variable

aleatoria continua, mediante la función de densidad. Profundizar en las condiciones que cumple la función de densidad y practicar con ejercicios en los que, dada una función, se pida encontrar condiciones para que dicha función sea una función de densidad.

· Se puede profundizar también, en el estudio de juegos de azar no equitativos.


Educación del consumidorLa mayor parte de los ejercicios y problemas que encontramos en la unidad, hacen referencia a planteamientos y situaciones relacionadas con los juegos de azar. A la vista de ellos, podemos reflexionar sobre dicho fenómeno.

Insistir en la adquisición de destrezas para afrontar de manera crítica y responsable la presencia de los juegos de azar en nuestra sociedad, y en la toma de conciencia de las escasas probabilidades de ganar que tenemos en casi todos ellos.

Educación para la saludDesde el área de Matemáticas pueden abordarse numerosas situaciones que puedan implicar peligros o riesgos para la salud, no sólo física sino también mental. Es el caso de la ludopatía, que provoca trastornos graves de carácter psicológico, emocional y social.

Reflexionar con los alumnos sobre este fenómeno, sus causas, consecuencias y factores que pueden incidir en su prevención. Es importante reforzar en ellos la idea de aleatoriedad presente en todos estos juegos y concienciándoles de que, en los juegos de azar, la probabilidad siempre está en contra del jugador.

TEMA 15 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL

OBJETIVOS

· Asimilar los conceptos y procedimientos sobre distribuciones discretas.· Reconocer la distribución binomial.· Aplicar la distribución binomial a la resolución de problemas de la vida real.· Asimilar los conceptos y procedimientos relativos a distribuciones continuas.· Aplicar el cálculo en distribuciones normales a la estimación de la probabilidad.· Aproximar una distribución binomial mediante una normal.

CONTENIDOS

Conceptos· Sucesos dependientes e independientes.· Números combinatorios. Propiedades.· Distribución binomial.· Ajuste a una distribución binomial.· Distribución normal. Manejo de la tabla N(0,1).· Tipificación de la variable.· Ajuste de una distribución normal.· La normal como aproximación de la binomial.

Procedimientos· Determinación de la independencia de dos sucesos.· Utilización de las propiedades de los números combinatorios para resolver

problemas.· Reconocimiento de las distribuciones binomiales, obtención de su función de

probabilidad, esperanza y varianza, y cálculo de probabilidades de distintos sucesos.

· Determinación del ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial.· Reconocimientos de las distribuciones normales, su gráfica y propiedades.· Cálculo de distintas probabilidades mediante el manejo de la tabla N(0,1).· Resolución de problemas de cálculo de probabilidades mediante la tipificación

de una variable normal y el manejo de su tabla.· Determinación del ajuste de un conjunto de datos a una distribución normal.· Utilización de la distribución normal para realizar aproximaciones de una

binomial en determinados casos.

Actitudes· Interés y curiosidad por los procesos de investigación realizados y los

resultados obtenidos.· Valoración de la estadística como herramienta para la toma de decisiones

justificadas.· Interés por descubrir las leyes que rigen ciertos fenómenos aleatorios.


· Distinguir entre distribuciones discretas y continuas.· Obtener probabilidades a partir del estudio de una distribución binomial.· Determinar el grado de ajuste de un conjunto de datos a una distribución

binomial.· Asignar probabilidades a sucesos utilizando la distribución normal.· Resolver problemas reales en los que aparezca la distribución normal o

binomial, mediante el uso de tablas.· Tipificar una variable normal cualquiera.· Ajustar una distribución binomial mediante una normal en los casos que sea

preciso.


El repaso de los números combinatorios, estudiados en cursos anteriores, no debe ofrecer demasiados problemas. Otro tanto debe ocurrir con el estudio de la distribución binomial ya que se presta a investigaciones que los propios alumnos pueden realizar.

La distribución normal, al ser continua, no se puede obtener experimentalmente por los alumnos, por lo que en su estudio suelen aparecer mayores dificultades. Además requiere un cierto dominio en el manejo de las tablas de la N(0, 1) y adquirir destrezas.


· El planteamiento general de actividades debe girar en torno a situaciones de las que obtendremos datos estadísticos y en las que nos propondremos como meta llegar a una toma de decisiones.

· Sorteos, extracción de bolas, superación de exámenes, lanzamientos repetitivos de dados, pesos, medidas, accidentes, etc constituyen situaciones que se prestan al cálculo de probabilidades mediante la aplicación de distribuciones discretas o continuas.

· El proceso de resolución debe pasar por construir una distribución de probabilidad, identificar e interpretar sus parámetros, calcular probabilidades utilizando la distribución binomial o, en su caso, normalizar la distribución, tipificarla y aplicar las tablas de la normal para realizar los cálculos.

· En cualquiera de los casos y siempre que el planteamiento lo solicite, tendremos que inferir los resultados para llegar a una toma de decisiones.

ACTIVIDADES


Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como, en un primer momento, resolver algunos ejercicios muy elementales de combinatoria, mediante la utilización de diagramas de árbol. Plantea situaciones sencillas derivadas de diversos experimentos aleatorios, como lanzamiento de monedas y dados. Trabajar la obtención del espacio muestral y el cálculo de probabilidades de sucesos elementales.


Actividades de refuerzo· Realizar un estudio más profundo de la combinatoria, reforzando la adquisición

de destrezas en el manejo de los números combinatorios y sus propiedades.· Resolver situaciones típicas de experimentos que se repiten n veces,

determinando el número de éxitos o fracasos, mediante la utilización de una variable binomial. Plantear actividades en las que se precise calcular la probabilidad de una variable continua en un intervalo, mediante la utilización de una función de distribución normal. Estudiar si un conjunto de datos, obtenidos de forma experimental, se pueden ajustar a una distribución binomial o a una normal.

Actividades de ampliación· Reforzar el manejo de la tabla de la N(0, 1) y practicar la tipificación de

variables. · Plantear situaciones en las que el cálculo de probabilidades mediante una

binomial se pueda simplificar notablemente, mediante su aproximación a una normal.


Educación para la convivencia· A lo largo de toda la unidad encontramos actividades que hacen referencia a

juegos con dados, cartas, bolas, monedas,... Cuando el objetivo de este tipo de juegos no es obtener beneficios económicos, encontramos su parte más positiva, lúdica y de establecimiento de relaciones sociales.

· Señalar la importancia del juego como factor social de integración, sus posibilidades educativas y la importancia de los juegos en la historia de las matemáticas.

· Fomentar en los alumnos el desarrollo de hábitos de convivencia, respeto y sociabilidad.

Educación del consumidor· Numerosos ejercicios y problemas plantean situaciones relacionadas con los

estudios, pruebas de selectividad, oposiciones, etc.

· Señalar la enorme importancia que tiene la educación en sí misma como factor de desarrollo personal integral, y la necesidad de aprovechar al máximo el tiempo y los recursos dedicados a ella.

· Combatir la idea de que la educación es un medio para conseguir un título y “ganar mucho dinero”.

· Hacer hincapié en la necesidad de no valorar el consumo por sí mismo, sino de llevarlo a cabo de manera siempre crítica y responsable.

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