PROGRAMACIN LINEAL 25 de junio de 2008

Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 1

Programacin Lineal: en bsqueda de la alternativa ptima

En los siglos XVII y XVIII habiendo hecho contribuciones fundamentales al desarrollo del calculo infinitesimal; grandes matemticos como Newton, Leibnitz, Bernoulli y Lagrange, especialmente este ltimo, se ocuparon del problema de obtener valores mximos y mnimos de ciertas funciones, sujetos a determinadas restricciones (mximos y mnimos condicionados). Con posterioridad a estos trabajos matemticos, el matemtico francs Joseph Fourier, tuvo la notable facultad de intuir pioneramente aunque no en forma rigurosa los mtodos de la disciplina que hoy conocemos como Programacin Lineal. Despus de Fourier, haciendo excepcin del matemtico Gaspar Monge, que en 1776 se intereso por problemas de este gnero; no aparecen referencias importantes en la historia de la programacin lineal hasta la publicacin del vasto trabajo monogrfico del matemtico ruso Kantorovitch: mtodos matemticos de Organizacin y Planificacin de la Produccin en la que por vez primera a una amplia gama de problemas, se le aplica una teora matemtica rigurosa y bien definida; denominada hoy Programacin Lineal. En 1941 1942 Kantorovitch y Koopmans estudian, en forma independiente por primera vez, el problema del transporte, problema que suele denominarse, a consecuencia de esto, problema de Koopmans y Kantorovitch. En 1945, G. Stigler plantea otro problema de aplicacin importante, de la naciente teora, el cual ser conocido como rgimen alimenticio optimal. En forma paralela a los hechos mencionados, se desarrollan las tcnicas de computacin y los modernos procesadores, que permitirn la resolucin efectiva y la simplificacin de los problemas que estaban emergiendo. En 1947, George B. Dantzing seala, en trminos matemticos muy rigurosos y generales, el enunciado estndar a que debe someterse cualquier problema de Programacin Lineal. Dantzing, en 1951, comienza el estudio del mtodo Simplex, el cual posteriormente se transformara en el pilar fundamental de la Programacin Lineal.

Las contribuciones de este matemtico a la consolidacin de esta nueva disciplina son consideradas por sus pares tan relevantes que comnmente, se hace mencin de l como el padre de la Programacin Lineal. No se puede dejar de mencionar en este recuento, al genial matemtico norteamericano John Von Neumann (1903 - 1957) quien aporta los fundamentos matemticos de la Programacin Lineal. En 1928 publica su clebre trabajo: teora de Juegos; y posteriormente en 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programacin y la teora de matrices desarrollada en sus trabajos. Para finalizar, cabe sealar como un ejemplo del dinamismo de las matemticas y de la riqueza de enfoques de sus cultores en la solucin de problemas, lo acaecido en 1984: Narendra Karmakar, matemtico que trabajaba en los Laboratorios Bell, en Estados Unidos; presenta un mtodo alternativo al Simplex, el cual en comparacin a ste aporta un incremento notable en la rapidez para obtener soluciones en los problemas de Programacin Lineal. Lo anterior no mengua en absoluto el valor de los aportes de Dantzig a la Programacin Lineal. La programacin lineal es una tcnica matemtica relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de mtodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizacin (maximizar o minimizar) en el mbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centramos en este tema en aquellos problemas simple de programacin lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de mas variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado mtodo Simples (ideado por G. B. Danzing, matemtico estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemtico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es ms rpido que el mtodo simples en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran nmero de variables, se implementan en ordenadores.

PROBLEMAS 1. Grafique el sistema de inecuaciones

14

35

0 ; 0

+

x yx y

y xx y

.

Rpta:

2. Dado el siguiente problema de

programacin lineal

max. ( , ) 5 4= +f x y x y

Sujeto a:

3 5 1502 60

0, 0

+ +

x yx yx y

Esboce la regin factible.

Rpta:

3. Dadas las restricciones 2 4

30, 0

+ +

x yx yx y

,

determine el mximo valor de la funcin ( , ) 2 3= +f x y x y .

Rpta: 9

4. Calcule el mnimo valor de la funcin

( , ) 3 2= +F x y x y

Sujeto a:

2 82 6

20, 0

+ + +

x yx yx y

x y

Rpta: 28/3 5. Maximizar la funcin

( , ) 2000 5000= +f x y x y sujeta a las restricciones:

2 3 32 92 5 5

+

x yx yx y

Rpta: 15000 6. Maximizar la funcin ( , ) 3 4= +g x y x y

sujeta a las restricciones:

PROGRAMACIN LINEAL 25 de junio de 2008

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142 3 364 16

3 0

+ + +

x yx yx yx y

Rpta: No existe 7. Minimizar ( , ) 3 3= +h x y x y sujeta a las

restricciones:

53

3 12 16

4 22

+ + +

x yy xy xy xy x

Rpta: 15

8. Una industria alimentaria produce

alimentos de dos tipos, A y B. El alimento A cuesta 12 soles/kilo y el alimento B cuesta 8 soles/kilo. Se quiere minimizar el costo total de los alimentos, de manera que satisfagan tres condiciones vitamnicas. Se desea por lo menos, 30 unidades de vitamina P, 50 unidades de W y 60 unidades de vitamina Q. Cada kilo del alimento A proporciona dos unidades de vitamina P, cuatro unidades de vitamina W y siete unidades de vitamina Q. El alimento B proporciona tres unidades de P, tres unidades de W y seis unidades de Q por kilo, respectivamente. Cuntos kilos de cada alimento deben comprar? Formul el problema de programacin lineal.

Rpta:

( , ) 12 82 3 304 3 50

sujeto a :7 6 60

0, 0

= ++ + +

f x y x yx yx yx yx y

9. Un sastre tiene 80 2m de tela A y 120

2m de tela B. Un traje de caballero requiere 1 2m de A y 3 2m de B, y un vestido de seora 2 2m metros de cada tela. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo beneficio que de un vestido, halle cuantos trajes y vestidos debe fabricar para obtener la mxima ganancia.

Rpta: 20 y 30 10. Una empresa fabrica dos clases de

cuadernos. Los rayados a S/. 2 la unidad y los cuadriculados a S/. 1.5 la unidad. En la produccin diaria se sabe que el numero de cuadernos cuadriculados no supera en 1000 unidades al numero de cuadernos

rayados, entre las dos clases no superan a 3000 unidades, y los cuadernos cuadriculados no bajan de 1000 unidades. Halle el costo mximo y mnimo de la produccin diaria.

Rpta: 5500 y 1500 11. Una escuela prepara una excursin

para 400 alumnos. La empresa de transportes tiene 8 buses de 40 asientos disponibles y 10 buses de 50 asientos disponibles, pero solo dispone de nueve conductores. El alquiler de un bus grande cuesta S/. 80 y el de uno pequeo, S/. 60. Calcule cuantos buses de cada tipo hay que alquilar para que los gastos sean mnimos para la escuela.

Rpta: 4 grandes y 5 pequeos. 12. Una fbrica de muebles fabrica dos

tipos de sillones, 1S y 2S . La fbrica cuenta con dos secciones; carpintera y tapicera. Hacer un silln de tipo 1S requiere 1 hora de carpintera y 2 de tapicera, mientras que uno de tipo 2S requiere 3 horas de carpintera y 1 de tapicera. El personal de tapicera trabaja un total de 80 horas, y el de carpintera 90. Las ganancias por las ventas de 1S y 2S (unidad) son, respectivamente 60 y 30 nuevos soles. Calcular la mxima ganancia.

Rpta: 2400 13. La editorial Lumbreras produce dos

libros de Matemtica: lgebra y geometra. La utilidad por unidades es de S/. 7 para el libro de lgebra y de S/. 10 para el libro de geometra. El libro de lgebra requiere de 4 horas para su impresin y 6 horas para su encuadernacin. El libro de Geometra requiere de 5 horas para imprimirse y de 3 horas para ser encuadernado. Si se dispone de 200 horas para imprimir y de 240 horas para encuadernar, calcule la mxima utilidad que se puede obtener.

Rpta: S/. 400 14. una fbrica quiere producir bicicletas de

paseo y de montaa. La fabrica dispone de 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y para construir una bicicleta de montaa se necesitan 2 Kg. de acero y otros 2 Kg. de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las de montaa a 150 soles. Cuntas bicicletas de cada tipo debe

construir para que el beneficio sea mximo?

15. Dibuje el polgono de vrtices (10; 0),

(11,0) y (6; 6) y averiguar en qu punto ( , )x y de la regin limitada por ese polgono alcanza el mximo la funcin

( , ) 7 4= +f x y x y . 16. Una empresa tiene 2 plantas de

produccin 1P y 2P de cierto artculo que vende en 3 ciudades 1C , 2C y 3C . En 1P produce 5000 unidades, y en 2P 7000 unidades. De estas 12000 unidades las vende as: 3500 en 1C , 4000 en 2C y 4500 en 3C . Los costos de transportes, en nuevos soles por unidad de producto, desde las plantas de produccin a las ciudades son:

Envios Hasta

1C Hasta

2C Hasta

3C

Desde 1P

3 2,5 3,5

Desde2P

2,25 3,75 4

Determine el nmero de artculos que debe enviar la empresa desde cada planta a cada ciudad para que los costos de transporte sean mnimos.

Rpta: Envios Hasta

1C Hasta

2C Hasta

3C

Desde 1P

0 4000 1000

Desde2P

3500 0 3500