PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

1º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS CC SS – TEMA 3.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD (1ª PARTE) - SOLUCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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- Página 1 -

1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS

1 Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f(x) = 1

2x 3+ b) f(x) =

2

4x 1

x 5x 6

+

− + c) g(x) =

2

3x

x 1+ d) f(x) = − 24x x

e) f(x) = −

x

x 1 f) y = x 3 x 1− + + g)

−x + 3

f(x) =x 2

{ }a) R b) R c) d) ( , 0 ] [ 4 , ) e) ( 1 , ) [ 3 , ) g) ( , 3 ] ( 2 , )3

2 ; 3 R f)2

− − −∞ ∞ ∞ ∞ −∞ − ∞−

∪ ∪

2 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función f en los casos siguientes:

a) f(x) = x3 – 3x2 + 3x b) f(x) = x3 – 7x – 6 c) f(x) = x3 – 3x2 + 2

d) f(x) = x3 – 6x2 e) f(x) = x3 – 1 f) 1 2

( )2

xf x

x

+=

− g)

1( )

2 1

xf x

x

−=

−

a) b) c) d)

e) g)

(0 , 0) ( 1 , 0) ; (3 , 0) ; ( 2 , 0) ; (0 , 6) (1 3 , 0) ; (1 , 0) ; ( 0 , 2) (0 , 0) ; (6 , 0)

1(1 , 0) ; ( 1 , 0) ; ( 0 , 1) f) ( , 0) ; (0 , 2) (1 , 0) ; (0 , 1)2

− − − ±

−− − −

3 Sea f la función dada por la gráfica -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

Determina:

a) f(2) 1= − b) f(1) 5= c) f(–4) ∃ d) D(f) { }R 4− − e) Rec(f) ( , 0 ]−∞

f) Valores de x para los que f(x) = –2 3,5 ; 2,5 ; 0,5− − −

g) Soluciones de la ecuación f(x) = –3 3 ; 1 ; 3− −

h) Punto de corte con el eje de abscisas (0 , 0 ) y (1,5 ; 0 )

i) Intervalos donde la función es decreciente ( 4 , 2 ) (1 , )− − ∞∪

j) Extremos Mínimo relativo: ( 2 , 4 )− − k) Continuidad Discontinua en x 4 , x 1=− =

4 Para la función f dada por la gráfica

determina:

a) f(2) 2,5= b) f(4) ∃ c) f(0) 2= d) D(f) ( 3 , 4 )− e) Rec(f) ( 2 , 3)− f) Punto de corte con el eje de

ordenadas (0 , 2) g) Intervalo donde la función es creciente ( 2 , 2 )−

h) Extremos Máximo relativo: (2 ; 2,5) Mínimo relativo: ( 2 ; 1,5)− − i) Continuidad Es continua


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- Página 2 -

5 Considera la función f cuya gráfica es

Calcula: a) D(f) [ 20 , )− ∞ b) Rec(f) [ 15 , 15 ]− c) f(–2,5) 10= −

d) El valor de x para el que la función vale –5 Aproximadamente 1 y 11− −

e) Los intervalos donde la función es constante (0 , 5 ) ( 12,5 ; )∞∪

f) El mínimo de la función ( 5 , 15 )− − g) Continuidad Discontinua en x 0 , x 5 , x 12,5= = =

6 Estudia las características (dominio, recorrido, continuidad, monotonía y extremos) de la función f

dada por su gráfica:

a) b) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

c)-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

d)

-6 -3 3 6 9

-6

-3

3

6

X

Y

e)

X

Y

-3 4 71-2-7

910

f) g)

X

Y

-4 2

-6

3

-3

6

a) D [ 4 , 4 ] , R [ 2 , 4] ; es continua ; creciente: ( 2,2) , decreciente: ( 4, 2) (2,4) ; máx. relat. y absol.:(2,4) ;mín. relat. y absol.:( 2, 2)= − = − − − − − −∪

{ } { }b) D R , R R ; discontinua en x 3; creciente en su domin io ; no hay máximos ni mínimos3 2= − = − = −−

{ }c) D R, R ( 5 , 4] ; discont. en x 3, x 2 ; creciente: ( 3,0) , decreciente: ( , 3) (0,2), cte:(2, ); máx. relat.:(0,4);no hay mínimo5= = − =− = − −∞ − ∞∪ ∪

{ } { }d) D R , R ( , 6 ) ; discont. en x 3, x 3 ; creciente : ( , 3) (0, ) , decreciente : ( 3,0) ; mín. relat.: (0,3)3 3= − = −∞ = − = −∞ − ∞ − −∪

e) D [ 7,7] , R [ 6, ); discont. en x 3 ; creciente : ( 7,1) (4,7) , decreciente : (1, 4) ; máx. relat.: (1 , 10) ;mín. relat.: (4,1)= − = − ∞ = − − ∪

f ) D R , R ( 1 , ) ; e s co n tin u a ; c rec ie n te : (0 , 2 ) , d ec rec ien te : ( , 0 ) , c te : (2, ) ; m ín . re la t. y ab s o l. : (0 , 1)= = − ∞ −∞ ∞ − { }g) D R , R ( , 6 ); discont. en x 4, x 2 ; creciente: ( 4,2) , decreciente : (2, ), cte:( , 4) ; no hay máximos ni mínimos2= − = −∞ = − = − ∞ −∞ −


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- Página 3 -

2.- FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA

7 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y haz la gráfica de las siguientes funciones:

1( )

2

xf x

+= ( 1 , 0 ) y ( 0 ; 0,5 )−

5( ) 15

2

xg x = − (6 , 0 ) y ( 0 , 15 )−

8 Halla la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto de la gráfica de f cuya abscisa

es x0 en los siguientes casos:

a) f(x) = 2x

x

−, m = – 2, x0 = 3

132

2y x= − + b) f(x) =

4x 4

x 4

−+

, m = 5

4, x0 = 0

51

4y x= −

9 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, calcula los puntos de corte con los ejes

de coordenadas y dibuja su gráfica: a) A(−4, −5) y B(1, 3) 8 7 7 7

; ( ,0) (0, )5 8 5

xy y

+ −=

b) A(−5, −3) y B(4,0) 4 4

; (4,0) (0, )3 3

xy y

− −=

10 Averigua si la recta representada pasa por el punto P(200, –395)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5-4-3-2-1

12345678

X

Y

: 2 7 ;r y x r no pasa por P= − +

11 La altura inicial de un líquido contenido en una probeta es 12 cm.

Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel a razón de 1,5 cm cada 3 días.

a) Construye una tabla de valores y halla la fórmula de la función que expresa la altura en función del

tiempo. 12 0,5y x= − b) Representa gráficamente esta función.

c) Determina la altura del líquido al cabo de 54 horas 10,875 cm

12 Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se va vaciando, B

se va llenando.

El depósito A está lleno y tiene una capacidad de 35 litros y se vacía a razón de 2 litros por minuto.

El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de 1,5 litros por minuto.

a) Escribe las fórmulas de las funciones tiempo-litros del depósito, represéntalas en los mismos ejes,

calcula el punto donde se cortan y explica su significado. : 35 2 : 1,5A y x B y x= − =

b) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos , 19 12A pues tiene l y B tiene l

c) ¿ Y a los 12 minutos? , 18 11B pues tiene l y A tiene l

13 Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de

matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades.

Si estamos 6 meses, nos gastaremos en total 246 €, y si estamos 15 meses, nos costará 570 €.

Usando interpolación lineal halla cuánto gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año : 36 30 ; 462 €La fórmula es y x Nos gastaremos= +


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14 La siguiente tabla indica la ayuda que recibe una familia en función del número de hijos.

Número de hijos 0 1 3 4

Ayuda (en €) 0 20 100 120

Mediante interpolación/extrapolación lineal calcula la ayuda que recibe una familia de 2 hijos

y otra de 5 hijos usando los puntos de la gráfica y también, hallando la fórmula. 2 , : 40 20 ; 60 €

5 , : 20 40 ; 140 €

Para hijos la fórmula es y x la ayuda es

Para hijos la fórmula es y x la ayuda es

= −

= +

15 Esta tabla representa el volumen de agua en un gran depósito a medida que se va llenando

Tiempo (minutos) 0 12 24 48

Volumen (litros) 20 68 116 164

Halla, mediante interpolación/extrapolación lineal, el volumen de agua que hay en el depósito a la

media hora y a la hora de haber empezado. , : 2 68 ; 128

, : 2 68 ; 188

Para la media hora la fórmula es y x el volumen es litros

Para la hora la fórmula es y x el volumen es litros

= +

= +

3.- FUNCIONES CUADRÁTICAS

16 Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(−4, −5), B(−2, 3) y C(3, −12) 2 2 3y x x= − − +

17 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = 6x – 3x2

b) y = – x2 + 2x – 1


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- Página 5 -

c)21

y = x x + 35

−

d) y = 3x2 – 3 , donde x < 2

e) y = 2x2


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- Página 6 -

f) y = – 2x2 + 36x + 138, x ≥ 0

g) f(x) = 4x – x2

h) f(x) = x2 − 4x + 6


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- Página 7 -

i) f(x) = 2x − x2

18 Calcula el valor de “a” para que el valor mínimo de la función f(x) = 3x2 − 6x + a sea 5 8a =

19 Halla a y b en la parábola y = ax2 + bx + 5 sabiendo que tiene un máximo en el punto (2, 9) 1 , 4a b= − =

20 Dibuja la parábola que corta al eje OX en los puntos (–1,0) y (5,0) y con vértice (2, – 4).


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- Página 8 -

21 Dibuja la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (−3, 0) y (3, 0).

22 El valor, en miles de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la

función f(t) = −4t2 + 60t −15, 1 ≤ t ≤ 8.

a) ¿Cuál será el valor de la empresa para t = 2,5? 110 000 €

b) Halla el valor máximo de la empresa y el año en que se obtiene 210 000 €, que se obtiene a los 7,5 años

c) ¿En qué año el valor de la empresa es de 185 000 €? los 5 añosA

23 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado

por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7 a) Representa la gráfica de la función f.

b) ¿Cuándo alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende?

c) ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este?

6 (a los 6 años)

y asciende a 5 millones de €

4 (a los 4 años)

y 1 millón de €

Alcanza su máximo beneficio para t

Su mínimo beneficio se alcanza para t

es de

=

=

24 La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene

dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión: T(t) = 40t −10t2 , con 0 ≤ t ≤ 4.

a) Representa gráficamente la función T y determina la temperatura máxima que alcanza la pieza.

b) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en

algún otro instante?

2

2

2

40 º

1 30 º

( (1) 40.1 10.1 30)

30 º 3

( ( ) 30 40 10 30

10 40 30 0 1 , 3)

La pieza alcanza una temperatura máxima de C

Transcurrida h la temperatura es de C

T

Vuelve a tener C a las h

T t t t

t t t t

= − =

= → − =

− + = → = =


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- Página 9 -

25 El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la

función: B(x) = −0,01x2 + 3,6x − 180.

a) Representa gráficamente esta función.

b) Halla el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo.

c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no

tenga pérdidas.

) 180 ( , 144 €)

) 300 kg como máximo (y 60 kg como mínimo)

b kg beneficio máximo

c

26 Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula

B(x) = – 0,01x2 + 10x – 900, siendo x el número de artículos fabricados.

a) Representa gráficamente la función.

b) Halla el número de artículos que deben fabricarse al mes para que el beneficio sea máximo y

también dicho beneficio máximo. 500 ( , 1 600 €)artículos beneficio máximo

27 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se

encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión: h(t) = –5t2 + 40t

a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura?

b) Representa gráficamente la función h(t).

c) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura?

d) ¿En qué instante llega al suelo?


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- Página 10 -

4 , 80

6 (está ) 60

8

A los s alcanza la altura máxima m

A los s cayendo a una altura de m

A los s llega al suelo

28 Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica

que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) = – 0,2t2 + 4t + 25, 0 ≤ t ≤ 25

(t = años transcurridos desde el año 2000).

a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? 2010 ( 45)En el con un nivel de

b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? 2025 ( 1995)En el también se alcanzó en el

4.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

29 Dibuja la gráfica de las funciones: a) f(x) = 12

x


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- Página 11 -

b) f(x) = −18x

30 Completa la siguiente gráfica correspondiente a una función de proporcionalidad inversa y halla

la fórmula.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6-5-4-3-2-1

123456

X

Y

4

yx

=

31 Escribe la fórmula de la función f cuya gráfica es:

a) -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

X

Y

25y

x=


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 12 -

32 Halla la fórmula y haz la gráfica de la función que relaciona la base y la altura de los triángulos de

14 cm2 de superficie

5.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

33 Halla el dominio de definición de las funciones:

f(x) =2

2x 4, si x 0

x 1

x 3x 2 , si x 0

+ ≤ + − + >

y g(x) = 2

3x 1, si x 1

2x 5

x 4, si x 1

− < − + − > −

34 Dibuja la gráfica de las funciones: a) f(x) = x 3 , si x 4

x , si x 4

− <− ≥


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 13 -

b)

24x x , si x 4

f(x) =

x +1 , si x > 4

− ≤

c)2x 1 , si x 1

f (x)x 1 , si x 1

− ≤=

− >

d)2

6 x 5, 2 4( )

2 11, 4 5

x si xf x

x si x

− + − ≤ ≤=

− + < ≤


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

e) f(x) =

>−

≤−

4xsi,8x2

4xsi,2

xx2

2

f)2

21

( )

4 5 1

si xf x x

x x si x

≤= − + >

g) f(x) =

2

2

x 2x , si x 0

x 2x , x 0

− + ≤

− >


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 15 -

h)2

2

9 x si x 3f (x)

2x 16x 30 si x 3

− ≤=− + − >

i)

2

2

x si x 1f (x)

x 4x 2 si x 1

<=− + − ≥

j) f(x) =

1, si x 0

x

1, si x 0

x

<

− ≥


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 16 -

k)

− <

= ≤ < >

� ��

��

��

l) f(x) =

− − < − − − < ≤ >

�

� � ��

� � ��

� � ��


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 17 -

m) y = 2

2, si x 3

x 4, si 3 x 2

4 2x, si x 2

− < −

− − < < − ≥

n) y =

− − < − − − < ≤ >

�

� � � ��

� � � ��

� � ��

ñ)

2(x 1) , si x 0

1f (x) , si 0 x 2

x

x, si x 2

4

+ ≤

= < <

≥


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 18 -

o)2

5 si x 2

f (x) x 6x 10 si 2 x 5

4x 15 si x 5

≤

= − + < < − ≥

p)

2x , si x 1

1 x , si 1 x 2

(x 1) 2 , si x 2

≤

< ≤ − >


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 19 -

35 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años viene

dado por la función B definida por

B(t) =

2t 7t 0 t 5

10 5 t 8

si

si

− + ≤ < ≤ ≤

, donde t indica el tiempo transcurrido en años.

a) Representa gráficamente la función B y explica cómo es la evolución del beneficio esperado

durante esos 8 años

b) Calcula cuándo el beneficio esperado es de 11,25 millones de euros

3,5 , min 5 tan 8

) 2,5 4,5

El beneficio aumenta hasta los años luego dis uye hasta los años y se mantiene cons te hasta los años

b A los años y a los años

36 El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

f(x) =

≤<−

≤≤−+−

10x6si,152

x5

6x0si,60x40x5 2

donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros.

a) Representa la función f .

b) Calcula el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.

c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?

d) Calcula el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

) 2000 € c) 2000 € 6000 € ) 4000 € 20000 €b A partir de Para y d Para con un beneficio de


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 20 -

6.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

37 Calcula el dominio de definición de la función −

x

x

2f(x) =

2 1 { }( ) 0D f R= −

38 Haz la gráfica de las funciones exponenciales: a) y =

��

�

b) y =

�

!


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 21 -

c) y = 2– x

d) y = 23x


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 22 -

e) y = " #$

39 Calcula el dominio de definición de las funciones: f(x) = log (x2 – 6x + 9) g(x) = ln(x)

2 3x−

{ } 2( ) 3 ( ) (0, )

3D f R D g= − =

40 Haz la gráfica las siguientes funciones logarítmicas:

a) y = log x


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 23 -

b) y = log1/5

x

c) log4 (x)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 24 -

d) f(x) = log0,5

(x)

41 Una ciudad tiene actualmente 6 000 habitantes.

Supongamos que su población crece anualmente a un ritmo del 3%

a) ¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años?

b) ¿Cuánto tiempo debería pasar para alcanzar los 10 000 habitantes?

c) ¿Cuántos habitantes había hace 3 años? d) ¿Cuánto tiempo hace que había 2 000 habitantes? ) 7600 . ) 17 ) 5 490 . ) 37a Unos hab b Unos años c Unos hab d Unos años

42 Supongamos que la masa de un elemento químico radiactivo disminuye anualmente un 0,006%

Al principio tenemos 2 700 g.

a) ¿Cuál es la masa al cabo de 5 años?

b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la masa sea la tercera parte de la masa inicial? ) 2699,19 ) 18 309a g b Unos años

43 Se invierten 1 200 € al 2,5% de interés compuesto anual. ¿Cuánto debe pasar para tener 3 000 €?

37Unos años 44 ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un 2,25% de interés

compuesto anual, se duplique? 31Unos años

45 Una ameba se reproduce por bipartición cada minuto. Actualmente hay 163 840 amebas.

¿Cuánto tiempo hace que había 5 amebas? 15 años

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