Profesor: Ing. Yadhira M. Rangel Carrillo.

Primer ParcialUniversidad Regiomontana

Unidad Roma

EcuacionesUna ecuación es un enunciado en el que dos

cantidades son iguales. Algunos ejemplos son:

x + 5 = 21 2x – 5 = 11 3x2 – 4x + 5 = 0La expresión 3x + 2 no es una ecuación,

porque no contiene el signo =En la ecuación x + 5 = 21, la expresión x + 5 es

llamada lado izquierdo, y 21 es llamado lado derecho. La letra x es llamada variable.

Resolución de Ecuaciones BásicasUna ecuación puede ser verdadera o falsa.La ecuación 16 + 5 = 21 es verdadera, pero la

ecuación 10 + 5 = 21 es falsa.La ecuación 2x – 5 = 11 podría ser verdadera o

falsa, dependiendo del valor de x. Si x = 8, la ecuación es verdadera, porque cuando nosotros substituimos 8 por x obtenemos 11

2 (8) – 5 = 16 – 5

11 = 11

EjemploEs 6 una solución de 3x – 5 = 2x?Solución: Nosotros debemos sustituir 6 por x

y simplificar.3x – 5 = 2x

3 *6 – 5 = 2 * 6

18 – 5 = 12

13 = 12

Entonces se dice que falsa, 6 no es la solución.

Problema 1. Es 1 una solución de 2x + 3 = 5 ?

Propiedad de Adición de la IgualdadResolver una ecuación significa encontrar su

solución. La propiedad dice: Suponga que a, b y c son

números reales. Si a = b, entonces a + c = b + cCuando nosotros usamos esta propiedad, el

resultado de la ecuación tendrá la misma solución como la original. Se dice que las ecuaciones son equivalentes.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Ejemplo 2Resolver x – 5 = 2

Solución: identifica el lado donde se encuentra x de uno de los lados del signo =, añade o suma 5 de ambos lados de la ecuación.

x – 5 = 2

x – 5 + 5 = 2 + 5

x – 0 = 7

x = 7

Resuelve: b – 21.8 = 13

ComprobaciónComprueba que x – 5 = 2 es equivalente a x = 7.Se sustituye 7 en x de la ecuación original y

se simplifica.x – 5 = 2

7 – 5 = 2

2 = 2Entonces, la solución es que sí son

equivalentes.

Propiedad de substracción de la igualdadSuponga que a, b, c son números reales. Tal

que,Si a = b, entonces a – c = b – c

Usamos esta propiedad para resolver la ecuación si será equivalente a la original.

En el siguiente ejemplo, usamos la propiedad de substracción de la igualdad para resolver la ecuación

x + 4 = 9 algebraicamente.Resolver si x + 4 = 9 es equivalente a x = 5

x + 4 = 9

x +4 – 4 = 9 – 4

x = 5

Debemos checar sustituyendo 5 en x en la ecuación original de la ecuación y simplificamos:

x + 4 = 9

5 + 4 = 9

9 = 9

Solución: sí son equivalentes.

Propiedad de la Multiplicación de la IgualdadSuponga que a, b, c son números reales y que

c ≠ 0. Tal que,Si a = b, entonces c * a = c * b

Ejemplo: resolver la ecuación x = 12 algebraicamente

33 ● x = 3 ● 12

3

x = 36

Problema: resolver la ecuación x = -7 algebraicamente

5

Propiedad de la División de la IgualdadSuponga que a, b, c son números reales y que

c ≠ 0. Tal que,Si a = b, entonces a = b

c c

Ejemplo: resolver 2x = 6

Solución. Aislar a x de uno de los lados del signo =, entonces para deshacer la multiplicación del 2 debemos dividir 2 en ambos lados.

2 x = 6

2 x = 6

2 2 x = 3

ProblemasResolver :a ) -5x = 15

b ) 3x = 1

5

c) x = 3.12

2.15

Reducción de precio y Marcado (Ejemplo práctico de ecuaciones)Cuando el precio de mercancía es reducido, la

cantidad de reducción es llamado Reducción de Precio (markdown) o descuento. Encontrar el precio de venta de un producto, nosotros restamos el descuento del precio regular.

Ejemplo: Un sofa está en venta en $650. Si ha sido marcado como descuento en $325, encuentra el precio regular.

Precio de Venta = Precio Regular – Descuento

650 = r - 325

650 + 325 = r - 325 + 325

975 = r

ProblemaEncuentra el precio regular de un sofa si el

descuento es de $275.Un coche con un precio de etiqueta de $17,500

tiene un margen de beneficio de $ 3,500. Encuentra el precio de la factura (el precio de venta al por mayor) para el distribuidor

Precio al por menor = Costo al por mayor + Precio marcado

17500 = w + 3500

17500 – 3500 = w + 3500 - 3500

14000 = w

El precio de la factura es $14,000.Encuentra el precio de la factura de un carro si el precio

marcado es de $6,700

Resuelve los ejercicios. TareaPágs. 89 (1-20) y de la 90 (104).Pág. 91 (121-125)

Resolviendo más ecuaciones complejasResuelve: -12x + 5 = 17

-12 x = 17 – 5

-12 x = 17 – 5

-12 -12

x = - 12

12

x = -1

a)Resolver 2x + 3 = 15

b)Resolver x - 7 = -3

3

Resolviendo más ecuaciones complejasc) Resolver x - 3 = 5

4

d) Resolver x - 7 = 9

3

Ecuaciones y SistemasResolver una ecuación es encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión

de que no tiene ninguna.

Ejemplo 1. a) x2-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1b) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R. c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....

Ecuaciones equivalentesDos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:v     Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se

obtiene una ecuación equivalente a la primera. v     Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo

número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas

prácticas: Ø      Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro

miembro restando. Si esta restando pasará sumando.Ø      De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.Esto se llama trasponer términos.

Ejemplo 2:  La ecuación   5x - 1 = 2x -3    se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.

Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.

Ecuaciones de primer gradoLa forma general de esta ecuación es a x +b =0  con a0 Trasponiendo y dividiendo por a se llega  a  .Solución que siempre existe y es única.

Ejemplo 3.  a) 3x +2 =0 Þ b)  7x + 2 = 2x -3 , si  trasponemos términos, nos queda     7x –2x = -2 –3Luego  5x = -5        de donde x = -1Ecuaciones de segundo grado La forma general de una ecuación de 2º grado es:   , donde aLa solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:

Observación. A  D = se llama discriminante de la ecuación de 2º  y se verifica:

Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadasSi D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real.   Ecuaciones incompletasSi c =0 la ecuación se reduce a  y sacando factor común x se tiene:  x(ax +b) =0Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.

Ejemplo 4. 3x2-5x=0             x(3x-5)=0Si b =0 la ecuación queda   de donde Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución,

dependiendo de que el radicando sea o no positivo. Ejemplo 5.  2 x2-=0;        2 x2=Þ                        (dos soluciones)

Ejemplo 6.  3x2+1 =0              (no tiene ninguna solución)Resolución “práctica” de una ecuaciónLo estudiamos con un ejemplo

Ejemplo 7.  Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.1º Quitar denominadoresAl multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se

obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.Multiplicamos los dos miembros de la igualdad  por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda                            3(2x-3) -2(5x-1) =6

2º Quitar paréntesisSe efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.Quitando paréntesis            6x-9 –10x+2=6

3º Trasposición de términosSe disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.Trasponiendo términos                     6x –10x =  9 - 2 + 6

4º Reducción de términos semejantesDe este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:-4x = 13                                 

5º. Despejar la incógnitaSe dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)                                                              

Ejemplo 6.  3x2+1 =0              (no tiene ninguna solución)Resolución “práctica” de una ecuaciónLo estudiamos con un ejemplo

Ejemplo 7.  Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.1º Quitar denominadoresAl multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se

obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.Multiplicamos los dos miembros de la igualdad  por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda                            3(2x-3) -2(5x-1) =6

2º Quitar paréntesisSe efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.Quitando paréntesis            6x-9 –10x+2=6

3º Trasposición de términosSe disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.Trasponiendo términos                     6x –10x =  9 - 2 + 6

4º Reducción de términos semejantesDe este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:-4x = 13                                 

5º. Despejar la incógnitaSe dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)                                                              

Ejemplo 6.  3x2+1 =0              (no tiene ninguna solución) Resolución “práctica” de una ecuación Lo estudiamos con un ejemplo Ejemplo 7.  Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden. 1º Quitar denominadores Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad  por 6, que es el m.c.m. de los denominadores. Nos queda                            3(2x-3) -2(5x-1) =6 2º Quitar paréntesis Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis            6x-9 –10x+2=6 3º Trasposición de términos Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro. Trasponiendo términos                     6x –10x =  9 - 2 + 6 4º Reducción de términos semejantes De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: -4x = 13                                  5º. Despejar la incógnita Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a0)                                                                Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente. Ecuaciones de primer grado Resuelve 1)   2)   3)   4)   5)  Solución.  Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m .c. m. de los denominadores)  (2x-4)2 = 40 +4x(x +1) 4x2 –16x +16 = 40 + 4x2 +4x 4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x Reduciendo términos semejantes: 16x-4x= 40- 16 -20x =24           = -1,2 6) Ecuaciones de segundo grado Resuelve las siguiente ecuaciones 1) –6x2 +5x-1=0 2) (5x-4)(2x+3) =5 3) 30 + 9x – 3x2 =0 4)  Solución.  Multiplicamos por el M. C. M de los denominadores, que es 2(2 +x): (2 +x)(2-x) +4.2 =2(2 +x) 4 –x2 +8 =4 + 2x, agrupando términos y organizando la ecuación 0 = x2 +2x –8 Þ 5) 6) 7) Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado Ø      Ecuaciones bicuadradas Ejemplo 8. La ecuación x4 – 5x2 +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares). Para resolverla se procede así: Se hace un cambio de incógnita   x2= y con lo cual                                                 x4 = y2

Sustituyendo en la ecuación:            y2-5y+6=0 que sí es de 2º grado y podemos aplicar la fórmula:    Sustituyendo los valores en la expresión  x2= y , x = obtenemos:                y En este caso la ecuación tiene 4 soluciones. Ejercicios Resuelve: 1) x4 –3x2+2=0 2) x4-13x2+36=0 3) x4-1=0 4) x4+ 4x2 =0  Solución. Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común x2(x2 +4) =0que tiene sólo la solución (doble) x =0 5) x4-9x2=0 6) 3x4 –5x2+2=0 7) x4+ x2+1=0 8) Ø      Resolución de ecuaciones irracionales. Ejemplo 9. Se procede de la forma siguiente: 1) Se aísla la raíz:       2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 4(x-1)=(4-x)2 Þ 4x-4 = 16-8x +x2

3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que resulta x2-12x +20 =0         x =10 y x =2     (comprobarlo) 4) Se comprueban las soluciones Si x =10       16 - 4= 0 Falso, no es solución Si x =2                         4 - 4=0 Cierto,  si es solución. Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones: 1)   2)   3)   4)   5) 6)  Solución. Aislamos una de las raíces:       Elevamos al cuadrado               ( Volvemos a aislar la raíz que nos queda Elevamos al cuadrado 144(2x-1)=x2 +62x+961 288x -144 = x2 +62x +961 Es decir: x2 –226x +1105 =0 Comprobamos las soluciones: x =221 no es solución pues                       x =5     sí es solución 3=3

Sistema de EcuacionesSe llama sistema de ecuaciones, a todo

conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes.

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.a) Hay exactamente una solución.b) Un número infinito de soluciones.c) No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente.

Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables.Eliminación de una incógnita. Eliminar una

incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son:Por adición o sustracción.Por igualación.Por sustitúción.

http://carmesimatematic.webcindario.com/ecuaciones1.htm

http://www.galeon.com/student_star/ecuacio.html