MATEMATICA FINANCIERA

Profesor: Eco. Ricardo Bermejo

INTERES COMPUESTO

El concepto y la formula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

INTERES COMPUESTO

C0 P1= C0 + I0 P2= C1+ I1 P3= C2+I2

Pn = Cn-1 +In-1

0 1 2 3 n años

En el interés compuesto, el interés (I ) ganado en cada periodo (n) es agregado al capital inicial (C0) para constituirse en un nuevo capital (Pn) sobre el cual se calcula un nuevo interés produciéndose lo que se conoce como capitalización la cual puede ser anual, trimestral, mensual, diaria y se aplica hasta que vence la transacción.

Donde :P = Monto total o capital final

C = Capital inicial

i = Tasa de interés

n = Periodo de tiempo

En los problemas de interés compuesto i y n deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes periodos de tiempo.

P = C (1+i) n

Ejemplo:1.-Usted ha depositado S/. 1,500 en una cuenta de ahorros de un banco local que le ofrece una tasa efectiva anual de 6 %. ¿Qué monto tendrá acumulado al final de tres años?.

Solución:Datos:

C = 1,500i = 0.06 anual

n = 3 añosP =  

Solución:

P = C (1+i)n

P = 1,500 (1+0.06) 3

P = 1,500 (1.191016)

P = 1,786.52

Luego de tres años se tendrá acumulados S/. 1,786.52

2.-Cacular el monto total que produjo un capital inicial de S/. 10,000 colocado en un banco durante 5 meses a una tasa efectiva anual de 18 %.

Solución:Datos:

C = 10,000i = 0.18 anual

n = 5 meses P =  

Solución:

Primero debemos expresar i y n en los mismos términos .

n = 5 meses 1 año = 0.416667 años 12 meses

P = C ( 1 + i ) n

P = 10,000 ( 1 + 0.18 ) 0.416667

P = 10,000 (1.071399)

P = 10,713.99 

3.- Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/. 5,000 colocado en un banco durante 90 días a una tasa efectiva anual de 8%.

Solución:Datos:

C = 5,000i = 0.08 anual

n = 90 días P =

 

Solución:

Primero debemos expresar i y n en los mismos términos .

n = 90 días 1 año = 0.25 años 360 días

P = C ( 1 + i ) n

P = 5,000 ( 1 + 0.08 ) 0.25

P = 5,000 (1.019427)P = 5,097.14

4.- Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/. 10,000 colocado en un banco durante 45 días a una tasa efectiva mensual de 2%.

Solución:Datos:

C = 10,000i = 0.02 mensualn = 45 días P =  

Solución:

Primero debemos expresar i y n en los mismos términos .

n = 45 días 1 mes = 1.50 mensual 30 días

P = C ( 1 + i ) n

P = 10,000 ( 1 + 0.02 ) 1.50

P = 10,000 (1.030150)P = 10,301.15

5.- Que monto total produjo un capital de S/. 20,000 colocado durante 6 días a una tasa efectiva mensual de 2.5%.

Solución:Datos:

C = 20,000i = 0.025 mensualn = 6 días P =  

Solución:

Primero debemos expresar i y n en los mismo términos .

n = 6 días 1 mes = 0.20 mes 30 días

P = C ( 1 + i ) n

P = 20,000 ( 1 + 0.025 ) 0.20

P = 20,000 (1.004951)P = 20,099.02

CAPITALIZACION

PERIODO EQUIV. ANUAL

Anual 1

Semestral 2

Cuatrimestral 3

Trimestral 4

Bimestral 6

Mensual 12

Quincenal 24

Semanal 48

Diario 360

FACTORES FINANCIEROS

En las matemáticas financieras es posible manejar cualquier operación y evaluar diversas alternativas de inversión con los factores financieros.

Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la institución ,razón por la cual deben ser evaluados con el objeto de determinar el impacto que producen en el entorno empresarial. Son factores financieros: Factor simple de capitalización (FSC), Factor simple de actualización (FSA), Factor de capitalización de la serie (FCS) y el Factor de recuperación de capital (FRC).

FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION (FSC)Transforma un capital inicial en valor futuro (Vf) con la formula general de interés compuesto.

VALOR FUTURO (Vf)El analista de cuentas de un banco de inversión necesita evaluar el costo financiero de los títulos que vende a sus inversionistas.Un gerente financiero para evaluar proyectos debe determinar el costo financiero de las operaciones que realiza.Una persona que desee administrar sus cuentas bancarias personales, sus créditos, etc, debe conocer el costo del dinero.

Por lo tanto, el valor futuro es la cantidad de dinero que se tendría, si se invirtiese hoy una cantidad y se capitalizase a un tipo de interés en un periodo determinado de tiempo.

Formula: P = C (1+i) n

P = Valor futuro (Vf) o capital final

C = Capital inicial

i = Tasa de interés

n = Periodo de tiempo

Ejemplo:1.-Una persona deposita en una cuenta de ahorros S/. 3,000 al 9% nominal anual capitalizado semestralmente durante dos años . Deseamos saber cuanto tendremos ahorrado al final de dicho periodo de tiempo.

Solución:Datos:

C = 3,000i = 0.09 anualn = 2 añosP =

Capitalización semestral1 año = 2 semestres

Llevando i y n a capitalización semestral

Sí i=0.09 anualEntonces el i semestral es 0.09 /2

Luego debemos llevar el n a semestral:Si n=2 añosEntonces el n semestral es 2 x 2

 

Reemplazando los datos en la formula:

P = C ( 1 + i ) n

P = 3,000 ( 1 + 0.09 ) 2 x 2 2P = 3,000 ( 1 + 0.045 ) 4 P = 3,000 (1.192519)P = 3,577.56

Al final del periodo el ahorrista recibirá S/. 3,577.56 

Ejemplo:2.-Usted ha depositado S/. 2,000 en la cuenta de ahorros de un banco a una tasa de interés de 12 % nominal anual capitalizado trimestralmente. ¿Cuanto retirara al cabo de tres años?

Solución:Datos:

C = 2,000i = 0.12 anualn = 3 añosP =  

Capitalización trimestral1 año = 4 trimestres

Llevando i y n a capitalización trimestral.

Sí i= 0.12 anualEntonces el i trimestral es 0.12 /4

Luego debemos llevar el n a trimestral:Si n=3 añosEntonces el n trimestral es 3 x 4

Reemplazando los datos en la formula:

P = C ( 1 + i ) n

P = 2,000 ( 1 + 0.12 ) 3 x 4

4

P = 2,000 ( 1 + 0.03 ) 12

P = 2,000 (1.425761)P = 2,851.52 Al cabo de tres años el ahorrista retirara S/. 2,851.52  

Ejemplo:3.-Usted ha depositado cinco mil dólares en una cuenta de ahorros a largo plazo al 6% nominal anual capitalizado mensualmente en seis años y tres meses. Halle el monto obtenido al final de dicho periodo de tiempo.

Solución:Datos:

C = 5,000i = 0.06 anualn = 6 años y 3 mesesP =  

Debemos expresar i y n en los mismos términos .

Hallando n: 6 años y 3 meses

n = 3 meses 1 año = 0.25 años 12 mesesn = 6 + 0.25n = 6.25 años

Capitalización mensual:1 año = 12 meses

Llevando i y n a capitalización mensual.

Sí i= 0.06 anualEntonces el i mensual es 0.06 /12

Luego debemos llevar el n a mensual:Si n=6.25 añosEntonces n mensual es 6.25 x 12

Reemplazando los datos en la formula:

P = C ( 1 + i ) n

P = 5,000 ( 1 + 0.06 ) 6.25 x 12

12

P = 5,000 ( 1 + 0.005 ) 75

P = 5,000 (1.453633)P = 7,268.17

El monto obtenido al final del periodo de tiempo es U$$ 7,268.17 

FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACION (FSA)Al tener el flujo de efectivo que se recibirá al final del periodo el valor actual se obtiene despejando P.

VALOR ACTUAL (C)El valor actual es exactamente lo opuesto al proceso de valor futuro. Formula: Donde : C = Valor actual (Va)

C = P P =Capital final o valor futuro

( 1 + i )n i = Tasa de interés

n =Periodo de tiempo

Ejemplo:1.-Un alumno desea seguir una especialización en finanzas después de terminar su carrera de tres años. Si su especialización le cuesta S/.7 000,monto que tendrá que desembolsar cuando empiece sus estudios. ¿Cuanto tendría que depositar en una cuenta que le paga 6% anual para contar exactamente con la suma necesitada al iniciar su especialización.?Datos:C = ?P = 7,000

i = 0.06 anualn = 3 años 

Solución:

C = 7,000

(1+0.06)3

C = 7,000

1.191016

C = 5,877.33

Para obtener los S/.7,000 necesitara depositar en el banco S/. 5,877.33

Ejemplo:2.-¿Cuál es el valor actual de S/. 5,000 depositados en una cuenta de ahorros del Banco durante 5 años, a la tasa de 6% nominal anual capitalizado trimestralmente.

Solución:Datos:

C = ?P = 5,000

i = 0.06 anualn = 5 años

Capitalización trimestral:1 año = 4 trimestres

Llevando i y n a capitalización trimestral.

Sí i= 0.06 anualEntonces el i trimestral es 0.06 /4

Luego debemos llevar el n a trimestral:Si n=5 añosEntonces n trimestral es 5 x 4

Reemplazando los datos en la formula:C = 5,000

( 1 + 0.06 ) 5 x 4

4

C = 5,000

( 1 + 0.015 ) 20

C = 5,000 1.346856

C = 3,712.35El valor actual será S/.3,712.35

Ejemplo:3.-¿Cuál es el valor actual de un pagare de S/. 60,000 pagadero en dos años y ocho meses a la tasa de 8 % nominal anual capitalizado semestralmente?.

Solución:Datos:

C = ?P = 60,000

i = 0.08anualn = 2 años y 8 meses

Debemos expresar i y n en los mismos términos .

Hallando n: 2 años y 8 meses

n = 8 meses 1 año = 0.666667 años 12 mesesn = 2 + 0.666667n = 2.666667 años

Capitalización semestral:1 año = 2 semestres

Llevando i y n a capitalización semestral.

Sí i= 0.08 anualEntonces el i semestral es 0.08 /2

Luego debemos llevar el n a semestral:Si n=2.666667 añosEntonces n semestral es 2.666667 x 2

Reemplazando los datos en la formula:C = 60,000 ( 1+0.08 ) 2.666667 x 2

2C = 60,000 ( 1+0.04 ) 5.333334

C = 60,000 1.232663

C = 48,675.10El valor actual será S/.48,675.10