Prof. Richard GómezMatemáticas1 Tema 2 Matemática 5º Núcleo común.

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  • Prof. Richard GmezMatemticas1 Tema 2 Matemtica 5 Ncleo comn
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  • 2 FUNCIN CBICA Tema
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  • Richard Gmez PereiraMatemticas3 Si tenemos una ecuacin de la forma y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d, entonces podemos decir que es una funcin cbica y la sealaremos as: f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Al ir dando valores a x, obtenemos diferentes valores de y, que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de S. La funcin cbica, al igual que la cuadrtica o la funcin lineal, forman parte de las llamadas funciones polinmicas, pues su caracterstica principal es que su forma de expresin algebraica es un polinomio. Para representarla de forma grfica, por ahora, estudiaremos de ella principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la funcin. Funcin de Tercer Grado
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  • 4 Sea y = x 3 Tabla de valores x y -3-27 -2-8 -1-1 00 11 28 327 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al grfico, lo que se forma es una curva en forma de S. 27 -27 8 1 -8
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  • 5 DOMINIO Sea la funcin f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Todo valor de x tiene su correspondiente imagen. El dominio de f(x) ser: Dom f(x) = R RECORRIDO La imagen de una funcin cbica, al igual que el dominio es R Se designa as: Img f(x) = R SIMETRA IMPAR Sea la funcin f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Veamos si hay simetra impar: f(-x) = a.(-x) 3 + b.(-x) 2 + c.(-x) + d f(-x) = - a.x 3 + b.x 2 c.x + d Luego - f(-x) = a.x 3 - b.x 2 + c.x - d En las funciones cbicas habr simetra IMPAR si b=d=0 Dominio, imagen y simetra.
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  • I6 Sea la funcin f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d CORTES CON EL EJE Y Cortar al eje de ordenadas, Y, cuando x=0 Luego: y = a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = d El punto de corte ser: Pc = (0, d) CORTES CON EL EJE X Cortar al eje de las x cuando y=0 Luego: 0=a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Ecuacin de tercer grado. Las tres races de la ecuacin, si existen, sern los puntos de corte de la funcin con el eje de las x. Al menos habr una raz real, y por tanto un punto de corte. Cortes: Pc = (x 1, 0), Pc = (x 2, 0), Pc = (x 3, 0) V Pc X Y Cortes con los ejes
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  • @ Angel Priet BenitoMatemticas Aplicadas CS I7 Ejemplo 1 Sea la funcin: f(x) = x 3 3x + 2 Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 2 Pc(0,2) Con OX: 0 = x 3 3x + 2 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x + 2)(x 1)(x 1) Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Signo de la funcin (intervalos): En (-oo, -2) f(-3)=-27+9+2 =-16 < 0 En (-2, 1) f(0) = 0 0 +2 =2 > 0 En (1, +oo) f(2) = 8 6 + 2 = 4 > 0 Y ya podemos hacer un esbozo de la funcin. Pc
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  • @ Angel Priet BenitoMatemticas Aplicadas CS I8 Ejemplo 2 Sea la funcin f(x) = - x 3 + 4x Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 0 Pc(0,0) Con OX: 0 = - x 3 + 4x Factorizando el polinomio: f(x) = x (x 2 4) = x.(x + 2)(x 2) Pc(0,0), Pc(-2, 0), Pc(2, 0) Signo de la funcin (intervalos): En (-oo, -2) f(-3)= -(-27)-12 = 15 > 0 En (-2, 0) f(-1) = -(-1) 4 = -3 < 0 En (0, 2) f(1) = -1 + 4 = 3 > 0 En (2, +oo) f(3) = - 27 + 12 = -15 < 0 Y ya podemos hacer un esbozo de la funcin. Pc
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  • 9 Ejemplo 3 Sea la funcin: f(x) = 8 x 3 Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 8 Pc(0,8) Con OX: 0 = 8 x 3 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x 2).( x 2 2.x 4) Pc(2, 0) Signo de la funcin (intervalos): En (-oo, 2) f(0) = 8 > 0 POSITIVO En (2, +oo) f(3) = 8 27 = 19 < 0 NEGATIVO Y ya podemos hacer un esbozo de la funcin.
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  • 10 EJEMPLO DE FUNCIN POLINMICA DE ORDEN CUATRO Representar la funcin f(x) = (1/4).x 4 2.x 2 CORTES CON LOS EJES Puntos de corte con los ejes. Con OY x = 0 y = 0 Pc (0,0) Con OX y = 0 (1/4).x 4 2.x 2 = 0 Sacando factor comn a x 2 x 2 [ (1/4).x 2 2 ] = 0 x 2 = 0 x=0 Pc(0, 0) (1/4).x 2 2 = 0 x 2 = 8 x = 22 Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 22, 0) y Pc ( + 22, 0) Ntese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden. FUNCIN POLINMICA
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  • 11 Ejemplo 1 Tenemos la funcin f(x) = (1/4).x 4 2.x 2 Factorizada queda: y = (1/4).x 2.(x 2 8) y = (1/4).x 2.(x 8)(x + 8) y = (1/4).x 2.(x 22)(x + 22) Se halla el signo de cada factor: - oo 22 0 22 +oo ( x + 22 ) ( x 22 ) - + + + + + + + f(x) + - - + Signo de la funcin (1/4).x 2 - - - +
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  • 12 TENDENCIA O RAMAS ASINTTICAS Lm (1/4).x 4 2.x 2 = 0,25.(- oo) 4 2.(- oo) 2 = + oo x - oo Lm (1/4).x 4 2.x 2 = 0,25.(oo) 4 2.(oo) 2 = + oo x + oo Tendencia y Simetra SIMETRAS f ( - x) = (1/4).(-x) 4 2.(-x) 2 = (1/4).x 4 2.x 2 Vemos que presenta simetra par, pues f (x) = f ( - x) Al tener simetra par (es funcin par) No puede tener simetra impar.
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  • 13 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y Sea la funcin: y = (1/4).x 4 2.x 2 Tabla de valores x y -3 2 -22 0 -2 - 4 -1 -1,75 0 0 1 -1,75 2 - 4 22 0 3 2